【微专题4】绝对值有关最值问题 专项练习 -2026-2027学年浙教版七年级数学上册

**基本信息** 以绝对值几何意义为核心，按数量、系数、运算类型系统构建最值问题解题体系，通过阶梯式题型设计培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |两个绝对值之和|4题|当x取中间值时，最小值为两定点距离|从数轴距离模型切入，建立"中间值"求最值基本方法| |三个绝对值之和|5题|当x取中间点时，最小值为两端点距离和|拓展至奇数个绝对值，强化数轴上点的位置分析| |三个以上绝对值之和|4题|取中间区间值时，最小值为端点距离总和|推广至偶数个绝对值，培养归纳推理能力| |系数不为1型|5题|通过变量替换转化为基本型|渗透转化思想，建立复杂问题简化模型| |绝对值之差|2题|端点处取得最大值，利用距离性质推导|逆向思维训练，完善绝对值运算最值体系| |隐藏最值|3题|利用绝对值非负性构建不等关系|综合应用绝对值性质，提升问题解决能力|

绝对值有关最值问题 类型1 两个绝对值之和求最小值 若，则当时，有最小值为。 1．（2026-七年级-数学）的最小值是______． 2．（2026-七年级-数学）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，数轴上A、B两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． （1）求___； （2）的最小值是___． 3．（2026-七年级-数学）若为有理数，已知，则的最小值为___________． 4．（2026-七年级-数学）当代数式取最小值时，相应的的取值范围是________． 类型2 三个绝对值之和求最小值 若，则当时，有最小值为。 1．（2026-七年级-数学）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示和的两点之间的距离是____；表示和两点之间的距离是____；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于，如果表示数和的两点之间的距离是，那么____． （2）若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_____． （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是___． （4）当___时，的值最小，最小值是____． 2．（2026-七年级-数学）当______时，的最小值是______． 3．（2026-七年级-数学）的最小值为______． 4．（2026-七年级-数学）如果，当__________，最小值是_____． 5．（2026-七年级-数学）已知是有理数，则的最小值是______． 类型3 三个以上绝对值之和求最小值 1．（2026-七年级-数学）我们知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地可以规定，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：．利用此结论，那么式子的最小值是__________． 2．（2026-七年级-数学）式子的最小值是______． 3．（2026-七年级-数学）的最小值是________ 4．（2026-七年级-数学）的最小值为______． 类型4 系数不为“1”型绝对值之和求最小值 1．（2026-七年级-数学）的最小值为______． 2．（2026-七年级-数学）数轴上点A表示的数是x，点B表示的数是2，表示A，B两点间的距离，则的最小值为________． 3．（2026-七年级-数学）的最小值为______ 4．（2026-七年级-数学）如果是有理数，那么的最小值为______． 5．（2026-七年级-数学）的最小值为_________． 类型5 绝对值之差求最大值 1．（2026-七年级-数学）若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为 （1）若，这样的数x为_______； （2）结合数轴探究：存在x的值，使式子有最大值，这个最大值是_______． 2．（2026-七年级-数学）当x满足条件________时，取得最大值，最大值为________； 当x满足条件________时，取得最小值，最小值为________． 类型6 利用隐藏最值求最值 1．（2026-七年级-数学）已知，求的最大值与最小值的差是_______． 2．（2026-七年级-数学）若有理数，，满足，则的最小值是_________． 3．（2026-七年级-数学）已知，则的最大值为_________；的最小值为_________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝对值有关最值问题 类型1 两个绝对值之和求最小值 若，则当时，有最小值为。 1．（2026-七年级-数学）的最小值是______． 【答案】8 【分析】本题考查了绝对值的性质，从数轴和绝对值的几何意义考虑求解更简便． 利用绝对值的几何意义，表示数轴上点x到点和点7的距离之和，当x在与7之间时，距离之和最小，为两点之间的距离． 【详解】解：设点x在数轴上， 表示点x到点的距离，表示点x到点7的距离． 当点x在点和点7之间时，即，距离之和最小， 最小值为：． 故答案为：8． 2．（2026-七年级-数学）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，数轴上A、B两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． （1）求___； （2）的最小值是___． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的几何含义，数轴上两点间的距离，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据阅读材料，利用绝对值的几何意义进行解答计算即可； （2）根据绝对值的几何意义，分成、、三种情况分别讨论即可． 【详解】解：（1）∵表示，所对应的点之间的距离， ∴， 故答案为：． （2）可以看作对应的点到和对应的点的距离之和， 当时，则，， ∴ ∵， ∴； 当时，则，， ∴； 当时，则，， ∴， ∵， ∴； ∴的最小值为， 故答案为：． 3．（2026-七年级-数学）若为有理数，已知，则的最小值为___________． 【答案】5 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义． 该问题理解为在数轴上表示数的点到表示数和的点的距离之和的最小值，再由绝对值的几何意义分类讨论求解即可． 【详解】解：，则可理解为在数轴上表示数的点到表示数和的点的距离之和， ∴的最小值即为在数轴上表示数的点到表示数和的点的距离之和的最小值， 当时，则； 当时，则； 当时，， ∴的最小值为， 故答案为：5． 4．（2026-七年级-数学）当代数式取最小值时，相应的的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的几何意义，理解绝对值的几何意义，作出图形是解决问题的关键． 先由绝对值的几何意义得到表示数轴上点到点之间的距离；表示数轴上点到点之间的距离，数形结合，在数轴上表示出取最小值时的情况，从而得到答案． 【详解】解：由绝对值的几何意义得到表示数轴上点到点之间的距离；表示数轴上点到点之间的距离， 当表示的点在表示的与表示的点构成的线段上时，代数式取最小值，如图所示：    ∴， 故答案为：． 类型2 三个绝对值之和求最小值 若，则当时，有最小值为。 1．（2026-七年级-数学）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示和的两点之间的距离是____；表示和两点之间的距离是____；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于，如果表示数和的两点之间的距离是，那么____． （2）若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_____． （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是___． （4）当___时，的值最小，最小值是____． 【答案】 或 【详解】（1）数轴上表示和的两点之间的距离是，； 表示和两点之间的距离是，； 一般地，数轴上表示和数的两点之间的距离等于， 如果表示数和的两点之间的距离是，则可记为：，那么或． 故答案为；；或． （2），． 故答案为． （3）当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 使得的所有整数为：，，，，，，，， ． 故答案为． （4）当时，， 当时，，则， 当时，，则， 当时，， 由上可得，当时，的值最小，最小值是. 故答案为；． 2．（2026-七年级-数学）当______时，的最小值是______． 【答案】 【分析】表示数轴上点到点的距离，原式可转化为数轴上一点到三个定点，，的距离之和，当取奇数个定点中位于中间的点时，距离之和取得最小值，代入计算即可得到结果． 【详解】根据绝对值的几何意义可知：表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离， 因此表示点到，，三点的距离之和， 将三点从小到大排列为，共奇数个点，中间点为，此时距离之和最小， 将代入原式． 3．（2026-七年级-数学）的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，绝对值表达式的最小值问题，通常通过找到关键点（即绝对值内的表达式为零的点）并分段讨论，本题中关键点为、、，将数轴分为四个区间，分别讨论每个区间内表达式的简化形式，并求最小值． 【详解】解：，表示数轴上点到点的距离之和， 当 时，表达式为，最小值在时的值为， 当时，表达式为，随x增大而增大，最小值在时的值为， 当时，表达式为，随x增大而增大，最小值在时的值恒大于， 当时，表达式为，最小值在时的值恒大于， 综上，最小值为． 故答案为：. 4．（2026-七年级-数学）如果，当__________，最小值是_____． 【答案】 8 【分析】本题主要考查的是绝对值的几何意义，熟悉绝对值的几何意义是解题的关键． 由绝对值的几何意义知，当x在和3之间的时距离的和最小． 【详解】解：表示：数轴上一点到，3和距离的和， ∴当时，的值最小， 此时． 故答案为：，8． 5．（2026-七年级-数学）已知是有理数，则的最小值是______． 【答案】14 【分析】本题考查绝对值的几何意义，求代数式的最小值，利用数轴上点到点的距离和，最小值通常出现在中间点. 【详解】解：根据绝对值的几何意义表示到的距离； 表示到的距离；表示到的距离； 的最小值时，满足条件； 则 故答案为：14. 类型3 三个以上绝对值之和求最小值 1．（2026-七年级-数学）我们知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地可以规定，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：．利用此结论，那么式子的最小值是__________． 【答案】 【分析】的几何意义为表示数的点到表示数的点的距离之和，可得当x在1和9之间的5时距离的和最小，据此求解即可． 【详解】解：的几何意义为表示数的点到表示数的点的距离之和， ∴根据绝对值的几何意义可得，当x在1和9之间的5时距离的和最小， 那么当时，， ∴式子的最小值是． 2．（2026-七年级-数学）式子的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，数轴上两点间距离，由绝对值的几何意义可知式子表示分别到的距离之和，设点分别在数轴上对应有理数，点对应的数为，可知当点与点重合，即时，点到各点的距离之和最小，最小值为，再利用数轴上两点间距离公式计算即可求解，掌握绝对值的几何意义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴式子表示分别到的距离之和， 设点分别在数轴上对应有理数，点对应的数为， 如图，当点与点重合时，点到各点的距离之和为： ； 如图，当点与点不重合时，点到各点的距离之和为： ； ∵， ∴当点与点重合，即时，点到各点的距离之和最小，最小值为， ∴式子的最小值为：， 故答案为：． 3．（2026-七年级-数学）的最小值是________ 【答案】 【分析】表示a的点到表示b的点的距离，根据绝对值的几何意义把问题转化为求x到1，2，3，，2009，2010的距离之和，而当x表示的点处在最中间两个数1005，1006对应的点之间时，距离之和最小，再根据绝对值的化简求解即可． 【详解】表示x到1，2，3， ，2009，2010的距离之和， 当时，距离之和最小， ． 4．（2026-七年级-数学）的最小值为______． 【答案】 【分析】此题考查了绝对值的几何意义． 根据绝对值的几何意义，多个绝对值之和的最小值出现在中间的数值处．由于点从1到2026共2026个，是偶数，中间的数值为第1013个点和第1014个点的平均值，即． 【详解】解：设．当时，取得最小值． ． 故答案为． 类型4 系数不为“1”型绝对值之和求最小值 1．（2026-七年级-数学）的最小值为______． 【答案】4 【分析】根据绝对值的几何意义判断出当时，的值最小，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴可以理解为表示x的数到3的距离加上表示x的数到的距离加上2倍表示x的数到的距离，如图， ∴由数轴可得，当时，的值最小，最小值为． 2．（2026-七年级-数学）数轴上点A表示的数是x，点B表示的数是2，表示A，B两点间的距离，则的最小值为________． 【答案】 【分析】先将转化为，根据题中对绝对值的定义结合当在点与之间时取得最小值来求解． 【详解】解：， 由题知，表示与之间的距离，表示与之间的距离， 当在和之间时（含端点），与的和最小，最小值为， ∴的最小值． 3．（2026-七年级-数学）的最小值为______ 【答案】15 【分析】本题考查绝对值及数轴上点的距离，题目难度较大，解题关键理解绝对值的几何意义．数轴上有奇数个点，到这些点距离之和最小的点即是正中间那个点，据此求解即可． 【详解】解：可以看成数轴上一个表示的点到1个、个、3个、4个、5个的距离之和，共个点， ∵数轴上有奇数个点，到这些点距离之和最小的点即是正中间那个点，15个点正中间的是第8个点， ∴当时，有最小值， 最小值 ， 故答案为：． 4．（2026-七年级-数学）如果是有理数，那么的最小值为______． 【答案】/2.25 【分析】本题主要考查绝对值的几何意义，根据表示x与所对应的两点之间的距离，表示x与2所对应的两点之间距离的倍，再结合x位于不同范围求得其对应的代数式，综合即可求得其最小值． 【详解】解：（1）当，原式 ∵ ∴随x的增大而减小，的最小值趋于； （2）当，原式 ∵ ∴随x的增大而增大， 当时，取得最小值为； （3）当，原式 ∵ ∴随x的增大而增大，当时，取得最小值为3； 则的最小值为， 故答案为：． 5．（2026-七年级-数学）的最小值为_________． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，，的几何意义为：数轴上数表示的点到表示的点的距离，与数轴上数表示的点到表示的点的距离的倍之和；分类讨论当时，当时，当时，当时，当时，即可求解； 【详解】解：， 分别令，可得，； 的几何意义为：数轴上数表示的点到表示的点的距离，与数轴上数表示的点到表示的点的距离的倍之和； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，当时，的最小值为； 故答案为： 类型5 绝对值之差求最大值 1．（2026-七年级-数学）若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为 （1）若，这样的数x为_______； （2）结合数轴探究：存在x的值，使式子有最大值，这个最大值是_______． 【答案】 5或1 6 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，数轴上两点间的距离等知识， （1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可； （2）分、、分别化简，结合x的取值范围确定代数式值的范围，从而求出代数式的最大值； 熟练掌握绝对值的定义是解决此题的关键． 【详解】（1）由绝对值的几何意义知：表示在数轴上x表示的点到3的距离等于2， ∴，或， ∴或1； 故答案为：5或1； （2）当时，即表求x的点在的左侧时， 当时，即表求x的点在和5之间时， ∴， 当时，即表求x的点在5的右侧时， ∴的最大值为6， 故答案为：6． 2．（2026-七年级-数学）当x满足条件________时，取得最大值，最大值为________； 当x满足条件________时，取得最小值，最小值为________． 【答案】 / 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，掌握是数轴上表示的点与表示的点之间的距离是解题关键．根据绝对值的几何意义，利用分类思想，分情况讨论即可． 【详解】解：当时， ，则时，有最大值； 当时， 为定值； 当时， 为定值； 故当时，有最大值，且最大值为2； 当时， ，则时，有最小值； 当时， ； 当时， ； 故当时，取有最小值，且最小值为； 故答案为：，；，． 类型6 利用隐藏最值求最值 1．（2026-七年级-数学）已知，求的最大值与最小值的差是_______． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点间距离计算，理解数轴上两点间距离公式是解题的关键． 表示数轴上表示x的点到表示和2的两个点的距离之和，得．同理，，，可得，，．于是． 【详解】解：表示数轴上表示x的点到表示和2的两个点的距离之和， ∴． 同理，，， 而， ∴，，． ∴． ∴． ∴的最大值为14，最小值为， ∴的最大值与最小值的差为． 故答案为：． 2．（2026-七年级-数学）若有理数，，满足，则的最小值是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的性质．根据绝对值的性质分别得出，，的取值范围，进而得出，，的取值范围进而得出答案． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， 所以可知， 同理可得： ， ， 所以， 所以， ， ， 所以， ， ， 的最小值是：． 故答案为：． 3．（2026-七年级-数学）已知，则的最大值为_________；的最小值为_________． 【答案】 5 【分析】本题考查了绝对值，有理数的混合运算，掌握绝对值的几何意义是解题关键．根据绝对值的几何意义可得，当时，有最小值3；当时，有最小值6，再根据、的取值得出答案即可 ． 【详解】解：当时，有最小值3； 当时，有最小值6； ， 当，时，有最大值为5；当，时，有最小值为； 故答案为：， 学科网（北京）股份有限公司 $