25.2.4一元二次方程的根与系数的关系（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过情境导入中填写方程两根和与积的表格，引导学生观察规律，结合求根公式推导韦达定理，构建从具体计算到抽象结论的知识支架。 其亮点在于以数学眼光引导学生发现规律，通过推导过程发展推理意识，分层习题与中考真题强化应用意识。教学中注重学生自主探索，帮助掌握整体代入思想，学生能提升运算能力，教师可用于课后巩固与专项拔高。

人教版（新教材）数学九年级上册 第25章 一元二次方程 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 2026/8/16 人教版数学九年级上册25.2.4一元二次方程的根与系数的关系专项练习 本次专项练习紧扣人教版九年级上册25.2.4课时内容，聚焦一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）核心知识点，涵盖基础公式记忆、两根和与积计算、代数式整体求值、参数求解、根的符号判断及综合应用。习题设计分层递进，贴合教材重难点与中考高频考点，适配课后巩固、专项拔高与随堂检测，配套完整规范解析，帮助学生掌握整体代入解题思想，熟练运用韦达定理简化运算。 一、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 已知一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁、x₂，则下列根与系数关系正确的是（） A. x₁+x₂=b/a，x₁x₂=c/a B. x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a C. x₁+x₂=b/a，x₁x₂=-c/a D. x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=-c/a 2. 方程x²-5x+6=0的两根之和为（） A. 5 B. -5 C. 6 D. -6 3. 已知方程2x²+3x-2=0的两根为x₁、x₂，则x₁x₂的值为（） A. 1 B. -1 C. 3/2 D. -3/2 4. 若一元二次方程x²+mx+4=0的两根之积为4，则m的值（） A. 只能为4 B. 只能为-4 C. 为±4 D. 无法确定 5. 已知方程x²-4x-1=0的两根为x₁、x₂，则1/x₁+1/x₂的值为（） A. 4 B. -4 C. 1/4 D. -1/4 二、基础填空题（每题4分，共20分） 6. 方程x²+2x-3=0的两根之和为__________，两根之积为__________。 7. 已知方程3x²-6x+1=0的两根为x₁、x₂，则x₁+x₂=__________。 8. 若方程x²+(k-2)x+2k=0的两根之和为1，则k=__________。 9. 已知一元二次方程两根分别为2和3，则该方程为__________（写一个即可）。 10. 方程x²-7x+12=0的两根平方和为__________。 三、解答题（共40分） 11. 已知一元二次方程2x²-4x-3=0的两根为x₁、x₂，不解方程，求下列代数式的值（每题6分，共24分） （1）x₁²+x₂² （2）(x₁-1)(x₂-1) （3）|x₁-x₂| （4）x₁²x₂+x₁x₂² 12. 已知关于x的方程x²+(m+1)x+m=0的一个根为3，求另一个根及m的值。（8分） 13. 已知方程x²-2x+k=0的两根满足x₁²+x₂²=10，求k的值。（8分） 四、拓展提升题（20分） 14. 已知关于x的一元二次方程x²-2(k+1)x+k²=0有两个实数根，且两根之和为6，求k的值及方程的两根。 15. 已知x₁、x₂是方程2x²-5x-1=0的两根，求证：2x₁²=5x₁+1，并求x₁²+x₂²的值。 参考答案与详细解析 一、选择题 1. B 解析：一元二次方程标准形式根与系数关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a，使用前提为方程有实数根。 2. A 解析：a=1，b=-5，x₁+x₂=-b/a=5。 3. B 解析：a=2，c=-2，x₁x₂=c/a=-1。 4. D 解析：由x₁x₂=4可知c/a=4，本题满足条件的m可取任意使方程有实根的值，无法确定具体数值。 5. A 解析：1/x₁+1/x₂=(x₁+x₂)/x₁x₂=4/(-1)=-4。 二、填空题 6. -2、-3 7. 2 8. 1 9. x²-5x+6=0 10. 25 三、解答题 11. 解：由题意得x₁+x₂=2，x₁x₂=-3/2。 （1）x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=4+3=7； （2）(x₁-1)(x₂-1)=x₁x₂-(x₁+x₂)+1=-3/2-2+1=-5/2； （3）|x₁-x₂|=√[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]=√(4+6)=√10； （4）x₁²x₂+x₁x₂²=x₁x₂(x₁+x₂)=-3/2×2=-3。 12. 解：设另一根为x₀，由根与系数关系得3+x₀=-(m+1)，3x₀=m，联立解得x₀=-1，m=-3。 13. 解：x₁+x₂=2，x₁x₂=k，x₁²+x₂²=4-2k=10，解得k=-3，验证Δ>0，符合题意。 四、拓展提升题 14. 解：由x₁+x₂=2(k+1)=6，得k=2，代入方程得x²-6x+4=0，解得x₁=3+√5，x₂=3-√5。 15. 证明：∵x₁是方程根，代入得2x₁²-5x₁-1=0，即2x₁²=5x₁+1；由韦达定理得x₁+x₂=5/2，x₁x₂=-1/2，x₁²+x₂²=(5/2)²-2×(-1/2)=29/4。 本次练习重点考查一元二次方程根与系数的核心关系，强化整体代入的解题思维，突破两根和、积、平方和、倒数和等常见代数式求值题型，同时结合参数取值、根的性质综合考查。该知识点是一元二次方程重难点，也是后续二次函数学习的基础，通过专项训练可熟练规避不解方程求值、忽略判别式检验等易错问题。（字数：1212） 情境导入 1. 熟练掌握一元二次方程根与系数的关系. (重点) 2. 通过创设一定的问题情境，注重由学生自己探索，让学生参与两根之和与两根之积的规律发现、完成归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程.(难点) 学习目标 一元二次方程 两 根 x1 x2 x² - 8x + 1 = 0 x2 - 2x - 1 = 0 x2 + 3x - 4 = 0 4+ x1 + x2 =？ x1·x2 =？ 1+ 4 1 填一填，然后想一想如何验证你发现的规律. 8 1 2 - 1 -4 1 -3 -4 情境导入 由一元二次方程的解法可知，当Δ ≥0 时，方程 +bx +c=0 (a≠0)的根可由系数a,b,c确定.由求根公式可知，通过对系数a,b,c进行有限次加、减、乘、除、乘方、开方等运算，可以得到方程的根.求根公式反映了一元二次方程的根与系数的关系，这种关系还有其他表现形式吗？ 探究新知 思考：观察求根公式 x=，它有什么特点？由此考虑一元二次方程的两个根与系数的关系，你能获得什么启发？ 整体上看，两个根分别是“m+n”和“m-n”的形式，而且式子“n”中含有根号. 这种形式的式子相加可以消去“n”，相乘可以去掉“n”中的根号，从而使形式简洁. 探究新知 因为 x1=，x2=. 所以 x1+x2 = = =﹣ . x1x2 = = = = . 探究新知 由此得出，一元二次方程 +bx +c=0 的两个根x1，x2与其系数a，b，c有如下关系： x1+x2 =﹣ ，x1x2 = . 使用条件： (1)方程是一元二次方程，即二次项系数不为0； (2)方程有实数根，即△≥0. 探究新知 1. [教材变式]不解方程，求下列方程两个根的和与积. (1)x2＋4x－1＝0； 解：x1＋x2＝－4，x1x2＝－1. (2)2x2＋4x＋1＝0； 解：x1＋x2＝－4，x1x2＝－1. 解：x1＋x2＝－2，x1x2＝. (3)6x2－x＝2x2＋3. 解：原方程化为一般形式得4x2－x－3＝0， 则x1＋x2＝，x1x2＝－. 解：原方程化为一般形式得4x2－x－3＝0， 则x1＋x2＝，x1x2＝－. 举一反三 上述关系还可以用如下方法得出. 我们知道，如果一元二次方程 +bx +c=0 的左边可以分解因式为，那么方程 +bx +c=0的两个根为 x1和 x2 . 反过来，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根为x1和 x2， 那么 即 ax²+bx+c=ax²-a(x1+ x2)x+ax1x2. 由此可得 -a(x1+ x2)=b，ax1x2=c. 因此 x1+x2 = ﹣ ，x1x2 = . 探究新知 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 ，的和与积： (1)－6x－15 = 0；(2)+7x－9 = 0(3). 例1 解：(1) ， . (2) ，. (3)方程化为 ， 所以 ，. 探究新知 2. [高频易错]已知关于x的方程x2＋(2k＋1)x＋ k2－k＋1＝0有两个实数根. (1)求k的取值范围； 解：∵方程有两个实数根， ∴Δ＝(2k＋1)2－4(k2－k＋1)≥0，解得k≥. 解：∵方程有两个实数根， ∴Δ＝(2k＋1)2－4(k2－k＋1)≥0，解得k≥. 举一反三 (2)若该方程有两个实数根x1，x2，且(x1＋1)(x2＋1) ＝11，求k的值. 解：∵x1＋x2＝－2k－1，x1x2＝k2－k＋1， (x1＋1)(x2＋1)＝11， ∴x1x2＋(x1＋x2)＋1＝11，即k2－k＋1－2k－1＋1＝11. 整理得k2－3k－10＝0，解得k1＝－2，k2＝5. ∵k≥，∴k＝5. 举一反三 跟踪训练 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1,x2的和与积： (1)3x2-2x-1=0； (2)5x-5=6x2-4. 解：(1)∵a = 3， b = -2，c = -1， ∴ ， . (2) 方程化为 6- 5x + 1 = 0，∴ a = 6， b = -5， c = 1， ∴ ，. 将方程整理为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式 确定a,b,c的值 根据x1+x2 = ， x1x2 = 求解. ∆≥0 探究新知 1. 返回 [广西中考]已知x1，x2是方程x2－20x－25＝0的两个实数根，则x1＋x2＝(　　) A．－25 B．－20 C．20 D．25 C 考试考法 14 返回 2. [湖北中考]一元二次方程x2－4x＋3＝0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是(　　) A．x1＋x2＝－4 B．x1＋x2＝3 C．x1x2＝4 D．x1x2＝3 D 考试考法 返回 3. 以2和－5为根的一元二次方程可以是(　　) A．x2－3x＋10＝0 B．x2＋3x＋10＝0 C．x2＋3x－10＝0 D．x2－3x－10＝0 C 考试考法 返回 4. [教材P16例5变式]不解方程，求下列方程两个根x1，x2的和与积： (1)x2＋4x－2＝0；　 (2)3x2－2x－6＝0； 解：x1＋x2＝－4，x1x2＝－2. 考试考法 返回 (3)4x2＋1＝7x; (4)3x2＋5x－2＝2x＋3. 考试考法 已知x1，x2是关于x的方程x2＋bx－1＝0的两个根，且x1＋x2＝4，则b＝(　　) A．－1 B．1 C．－4 D．4 返回 5. C 考试考法 已知α，β分别是方程x2－4x－1＝0的两个根，则代数式α2＋β2的值为(　　) A．16 B．18 C．20 D．22 返回 6. B 考试考法 返回 7. [苏州中考]已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则x2＝________． －3 考试考法 返回 8. [眉山中考]已知方程x2－2x－5＝0的两根分别为x1，x2，那么(x1＋1)(x2＋1)的值为________． －2 考试考法 返回 9. 若关于x的一元二次方程x2＋2x－2m＋1＝0的两实数根之积为负数，则实数m的取值范围是________． 考试考法 23 返回 10. 已知x1，x2是一元二次方程x2－5x－2＝0的两个根，不解方程，求下列各式的值： (1)x12x2＋x1x22；　　　 解：由题意得x1＋x2＝5，x1x2＝－2. (1)x12x2＋x1x22＝x1x2(x1＋x2)＝－2×5＝－10. 考试考法 24 一元二次方程 +bx +c=0 (a≠0)的根与系数的关系 x1+x2 =﹣ x1x2 = 探究新知 谢谢观看 THANKS 解：x1＋x2＝－＝，x1x2＝＝－2. 解：方程可化为3x2＋3x－5＝0， ∴x1＋x2＝－＝－1，x1x2＝－. 解：方程可化为4x2－7x＋1＝0， ∴x1＋x2＝－＝，x1x2＝. m＞ (2)＋＝＝－. (2)＋. $