专题01二次函数概念及图象与性质精讲学案 (核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年沪教版五四制九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数概念及图象与性质，系统梳理从定义识别、最简形式y=ax²到顶点式y=a(x-h)²+k、一般式的图象特征，涵盖开口方向、对称轴、顶点、平移规律、配方转化及对称性、增减性、最值等核心知识点，构建从基础到综合的学习支架。 资料通过19类分层题型（含基础到拔高）、常见误区总结及清晰解题思路，结合实际情境（如头盔销售、长方体制作）培养抽象能力，以平移规律推导、最短路径问题等发展推理与模型意识，课中助力教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

专题01二次函数概念及图象与性质精讲学案 核心立意 理解二次函数的概念，能识别二次函数解析式，掌握实际问题中自变量取值要求；掌握y=ax2、y=a(x-h)2+k的图像与性质，掌握抛物线平移规律，会将一般式配方转化为顶点式；运用数形结合思想分析抛物线开口、对称轴、顶点、增减性与最值，利用抛物线对称性解决基础问题。 二次函数定义： 形如y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数；a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项；自变量最高次数为2，a≠0是判定二次函数的必要条件；无实际背景时自变量取全体实数，实际问题需结合场景限定自变量范围。 最简二次函数y=ax2(a≠0)： 图像为抛物线，顶点(0,0)，对称轴为直线x=0（y轴）； a>0开口向上，顶点为最低点； a<0开口向下，顶点为最高点； |a|越大，抛物线开口越窄。 顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)： 顶点坐标(h,\k)，对称轴为直线x=h；a决定抛物线开口方向与开口大小；该形式便于直接读取顶点与对称轴。 一般式基础性质： y=ax2+bx+c可通过配方法化为顶点式；对称轴：直线x= -，顶点坐标( -,)；抛物线与y轴交点为(0,c)。 图象的平移规律 从 y = ax² 出发，通过平移可以得到任意顶点式的图象： 左右平移：将 x 替换为 x - h，图象左右平移 |h| 个单位。h > 0 时向右平移，h < 0 时向左平移。 上下平移：在函数值上加 k，图象上下平移 |k| 个单位。k > 0 时向上平移，k < 0 时向下平移。 两步叠加即得顶点式 y = a(x - h)² + k。此时顶点变到 (h, k)，对称轴变到 x = h。 口诀：「左加右减，上加下减」——"左加"指的是 x 后面加一个数（x + h）导致图象向左移，容易搞反，需要配合具体数值反复练。 抛物线对称性： 抛物线上纵坐标相同的两个点，关于抛物线对称轴对称，两点横坐标的平均数等于对称轴横坐标。 增减性描述规范： 必须限定对称轴同侧；a>0，对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大；a<0，对称轴左侧y随x增大而增大，右侧y随x增大而减小。 草图绘制要点： 抓住开口方向、对称轴、顶点，在对称轴两侧取对称点描点、平滑连线。 ①判定二次函数时，忽略a≠0这个必要条件； ②顶点式y=a(x-h)2+k中，混淆h的符号，对称轴错写为x=-h； ③图像平移口诀误用，直接对x以外的常数加减，违背“左加右减自变量”规则； ④描述增减性缺少“对称轴左侧/右侧”的区间前提，笼统描述增减变化； ⑤记反|a|与开口宽窄关系，误认为|a|越小开口越窄； ⑥配方提取二次项系数后，括号内常数项未同步调整，配方运算出错； ⑦忽略实际情境下二次函数自变量的取值限制，直接默认取全体实数。 题型 考察方向 难度 题型一 列二次函数关系式 ★★ 题型二 二次函数的识别 ★ 题型三 根据二次函数的定义求参数 ★★ 题型四 y=ax2的图象和性质 ★ 题型五 y=ax2+k的图象和性质 ★ 题型六 y=a（xh）2的图象和性质 ★★ 题型七 y=a（xh）2+k的图象和性质 ★★ 题型八 二次函数图象的平移 ★★ 题型九 把y=ax2+bx+c化成顶点式 ★★ 题型十 y=ax2+bx+c的图象与性质 ★★ 题型十一 二次函数图象与各项系数符号 ★★★ 题型十二 一次函数、二次函数图象综合判断 ★★★ 题型十三 反比例函数、二次函数图象综合判断 ★★★ 题型十四 两个二次函数图象综合判断 ★★★ 题型十五 根据二次函数的图象判断式子符号 ★★★ 题型十六 已知抛物线上对称的两点求对称轴 ★★ 题型十七 根据二次函数的对称性求函数值 ★★★ 题型十八 y=ax2+bx+c的最值 ★★ 题型十九 利用二次函数对称性求最短路径 ★★★★ 拔高题 9题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★拔高 题型一：列二次函数关系式 解题思路：①审题，找准题目等量关系；②设自变量x、因变量y，列出等式；③整理成整式形式，检验最高次数为2、二次项系数不为0；④实际问题务必标注自变量取值范围。 1．公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据题意列函数关系式． 根据每月的增长百分率，依次推导8月、9月的销售量，从而得到9月销售量关于x的函数解析式． 【详解】解：∵7月份销售量为1500个，每月销售量的增长百分率为x， ∴8月份的销售量为个， ∴9月份的销售量． 故选：A． 2．长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意知剪去四个角的小正方形后，折成的无盖长方体盒子的底面长和宽各减少，因此底面积等于减少后的长与宽的乘积，再结合的取值范围即可确定函数关系式，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵矩形原长，宽，四个角剪去边长为的小正方形， ∴折起后，长方体底面的长为，宽为， ∴， 又∵，且，， ∴， ∴函数关系式为， 故选：． 3．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上一动点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为，改变点的位置，可以得到相应的点，设点的坐标是，则关于的函数解析式为_______________． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式，线段垂直平分线的性质和勾股定理，连接，过点作交于点，可知，，，在中由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作交于点， 线段的垂直平分线为， ， 点的坐标是， ，，， 在中，根据勾股定理得：， ， ， 故答案为：． 题型二：二次函数的识别 解题思路：①先把式子化简整理；②同时满足3个条件：整式、自变量最高次数=2、二次项系数a≠0；③排除一次函数、反比例函数、分式、含根号的非整式式子。 4．下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的定义，正确理解二次函数的定义是关键．形如（a，b，c是常数，）的函数为二次函数．根据二次函数的定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：选项A、，属于二次函数，符合题意； 选项B、是正比例函数，不符合题意； 选项C、是一次函数，不符合题意； 选项D、是反比例函数，不符合题意． 故选：A． 5．下列函数，一定属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，形如（、、为常数，）的整式函数为二次函数是解题的关键． 根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．将展开得，符合二次函数定义，是二次函数； B．当时，是一次函数，故该函数不一定是二次函数； C．是一次函数，不符合二次函数定义 D．中含有分式，不是整式函数，不符合二次函数定义． 故选A． 6．下列各点中，在二次函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把选项坐标代入二次函数验证即可． 【详解】A． ，选项错误，不符合题意； B． ，选项正确，符合题意； C． ，选项错误，不符合题意； D． ，选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了二次函数，解题的关键是把选项坐标代入二次函数验证． 题型三：根据二次函数的定义求参数 解题思路：①同时满足两个条件：自变量次数等于2，二次项系数≠0；②解方程与不等式；③回代检验，舍去使二次项系数为0的解。 7．___________时，是关于的二次函数． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，注意二次项系数不能为0是解题的关键．根据二次函数的定义，可得，并且注意二次项系数不能为0，即，即可解答． 【详解】解：由题意得， 解得， ， 故答案为：． 8．若是关于的二次函数，则的值是（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的定义．需满足自变量最高次数为2且二次项系数不为0，据此列方程与不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数． ∴根据二次函数定义可得： 由，得， 即或 又∵， ∴ ∴． 故选：C 9．若是关于的二次函数，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握二次函数的两个核心条件是解题关键． 根据二次函数的定义，未知数的最高次数为，且二次项系数不为0，列方程求解． 【详解】解：∵ 是二次函数， ∴ 且， 由得， ∴ ， 由得， ∴ ． 故答案为：． 10．已知二次函数可化为的形式，则的值是(    ) A． B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的一般式与顶点式的相互转化、待定系数法等知识，将顶点式化成一般式确定对应系数，然后配方即可求解，熟练能将一般式与顶点式相互转化是解题的关键． 【详解】解： ∴，， ∴． 故选：A． 题型四：y=ax2的图象和性质 解题思路：①图像是抛物线，顶点(0,0)，对称轴为y轴；②a决定开口方向，|a|越大开口越窄；③分a>0、a<0，按对称轴左右分别描述增减性与最值。 11．若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．先确定出二次函数图象的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为y轴， ∴若图象经过点，则该图象必经过点． 故选：C． 12．如图，已知点和，平移得到，顶点、分别与顶点对应.如果点都在抛物线上，那么点到点的距离是___________. 【答案】 【分析】本题考查图形的平移、二次函数的图象性质、勾股定理，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键．设沿轴正方向平移个单位，沿轴正方向平移个单位，得到点、的坐标，根据抛物线，求得、的值，进而求出点到点的距离即可． 【详解】解：设沿轴正方向平移个单位，沿轴正方向平移个单位， 则点、， 由于点、都在抛物线上， 则， 解得， 将代入得：， ∴， 故答案为：． 13．如图，分别过点（、2、…、n）作x轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（     ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得：，，，，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意可知、、的横坐标相同， ∵， ∴，， ∴， ， ∴ ． 题型五：y=ax2+k的图象和性质 解题思路：①由y=ax2上下平移得到；顶点(0,k)，对称轴y轴；②a决定开口方向，最值为k；③以对称轴为界，分左右讨论增减变化。 14．对于抛物线，下列结论正确的是（   ） A．该函数图象开口向上； B．当时，y随x的增大而减小； C．当时，取得最小值； D．当时，y的取值范围是 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴该函数图象开口向下，故A选项错误，不符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，当时，取得最大值，故B选项正确，符合题意；C选项错误，不符合题意； ∵， ∴当时，时，取得最小值，最小值为， ∴当时，y的取值范围是，故D选项错误，不符合题意； 故选：B 15．若，，为二次函数的图像上的三点，则，，的大小关系是_____．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象及其性质，根据抛物线的解析式，得出开口向上，和对称轴为轴，再根据二次函数的增减性判断即可，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及其性质的应用． 【详解】解：由，得出开口向上，和对称轴为轴， ∴与点关于即轴对称， ∵当时，随的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 16．关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．抛物线开口向下 B．当时，有最小值为3 C．顶点坐标是 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】根据二次函数的图像和性质进行判断即可． 【详解】解：， 图象开口向下，故A正确，不符合题意； 又， 对称轴为y轴，顶点为，故C正确，不符合题意； 当时，有最大值为3，故B错误，符合题意； ，对称轴为y轴， 当时，随的增大而减小，而时，随的增大而减小，故D正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 题型六：y=a（xh）2的图象和性质 解题思路：①由y=ax2左右平移得到；顶点(h,0)，对称轴直线x=h；重点注意h的符号，不要误写成x=-h；再判断开口、增减性、最值。 17．已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先根据解析式确定开口方向与对称轴，再结合二次函数的增减性和题目条件求解的取值范围． 【详解】解：∵二次函数解析式为，且， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴． 18．对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如下表所示： 根据二次函数图象的相关性质可知：_______，_______． 【答案】 4 5 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先将表格的自变量和函数值转化为点的坐标，然后根据函数的对称性直接写出每个字母的值即可． 【详解】解：对于二次函数和， 由表格中的数据得：当时，， 即； ， ∴； 当时，， 代入得，， ，代入得， 化简得，， 解得：或； 若，代入则可得，此情况不存在， 当时，代入则可得， 解得，符合， ∴，， ∴； 故答案为：4；5． 19．二次函数（是常数，且）的图象经过点，一次函数的图象经过点，当时，有四个命题：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．其中正确的命题个数为（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合，熟练掌握函数图象法是解题关键．先求出二次函数的对称轴为直线，两个函数的交点坐标，再画出两个函数的大致图象，然后结合函数图象逐个分析即可得． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 联立，解得或， 即二次函数与一次函数的两个交点坐标为和， 当时，画出两个函数的大致图象如下： 则由函数图象可知，当时，，命题①正确； 当时，，命题②正确； 当时，，命题③正确； 当时，若，则；若，则；若，则；命题④错误； 综上，正确的命题个数为3个， 故选：C． 题型七：y=a（xh）2+k的图象和性质 解题思路：①顶点式，可直接读出顶点(h,k)、对称轴x=h；②a决定开口方向、开口宽窄；③以对称轴分界分析增减性，顶点即为最值点。 20．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：抛物线为， 顶点坐标是． 21．二次函数图象的顶点坐标是_______，开口方向_______，当x_______时，随的增大而增大； 【答案】 向下 【分析】本题主要考查了二次函数的图象性质，准确分析判断是解题的关键． 通过二次函数的顶点形式，确定顶点坐标、开口方向和增减性． 【详解】二次函数可写为顶点形式 ， ，，， 顶点坐标为，对称轴为， ， 开口向下， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； 故答案是：；向下；． 22．已知二次函数的图象上有两点，则，的大小关系为________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，分别把点A、B坐标代入计算，然后进行比较即可，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象上有两点，， ∴， ， 比较 和 ： 由于 ， 因此 ， 故答案为：． 23．若二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，由二次函数的解析式可知二次函数开口向下，对称轴为直线，在对称轴左侧随增大而增大，要求当时随增大而增大，故需对称轴在直线右侧或重合，即． 【详解】解： 二次函数中， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随增大而增大， 当时，随的增大而增大， ． 故选：A． 题型八：二次函数图象的平移 解题思路：优先用顶点平移法；口诀：左加右减自变量，上加下减常数项；①平移前后a不变，抛物线形状不变；②只对单独的x进行加减，不要在括号外直接改动。 24．将抛物线向左平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】二次函数的平移的规律是左加右减，上加下减，由此可解． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，自变量变为， 得到的抛物线解析式为． 25．将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点，则________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，求代数式的值，求出平移后得到的新抛物线的解析式为，再将代入抛物线解析式可得，整体代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：将抛物线向下平移5个单位长度后，得到的新抛物线的解析式为， ∵将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 26．将抛物线向左平移个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原抛物线配方为顶点式，再根据“左加右减”的平移规则得到新抛物线顶点坐标即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线的顶点坐标为 ∵抛物线向左平移个单位，顶点横坐标减，纵坐标不变 ∴新抛物线顶点横坐标为，纵坐标仍为 即新抛物线的顶点坐标为． 27．有3个二次函数，甲：；乙：；丙．嘉嘉说：甲的图象向左平移3个单位长度，向上平移5个单位长度可以得到乙的图象；淇淇说：乙的图象向右平移6个单位长度，向上平移5个单位长度可以得到丙的图象．下列说法正确的是（   ）． A．嘉嘉说的对，淇淇说的不对 B．嘉嘉说的不对，淇淇说的对 C．两人说的都不对 D．两人说的都对 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：甲向左平移3个单位、向上平移5个单位后的函数解析式为，与乙：不符， ∴嘉嘉的说法错误； 乙向右平移6个单位、向上平移5个单位后的函数解析式为，与丙：不符， ∴淇淇的说法错误， ∴两人说的都不对， 故选：C． 题型九：把y=ax2+bx+c化成顶点式 解题思路：配方法三步：①只对含x的项提取二次项系数；②括号内配方，加一个数就要同步减去这个数；③整理成y=a(x-h)2+k标准顶点式。 28．将二次函数用配方法化成顶点式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查将二次函数一般式化为顶点式，熟练掌握利用配方法把二次函数的一般式改成顶点式是解题的关键；由题意可根据配方法的关键“加上一次项系数一半的平方”，进而问题可求解． 【详解】解：； 故答案为． 29．将二次函数配成的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查将一般式转化为顶点式，通过配方法将二次函数的一般式转换为顶点式即可. 【详解】解：， ； 故选A. 30．二次函数的图象的顶点坐标是______． 【答案】 【分析】将二次函数一般式变形为顶点式即可求解． 【详解】解：， 二次函数的图象的顶点坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查求二次函数的顶点，熟练掌握将二次函数一般式变形为顶点式是解题的关键． 31．已知抛物线（c为常数）经过点，，当时，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的顶点式、二次函数对称轴的性质以及判断二次函数在自变量范围内的增减性等知识，先求出抛物线的对称轴，判断和关于对称轴对称，从而得到和的关系，再代入，求出的取值范围，再将代入抛物线的解析式，等到关于m和的二次函数关系式，即可求得答案． 【详解】解：∵抛物线的解析式为 ∴抛物线的对称轴为， ∵和的函数值相等， ∴和关于抛物线对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 将代入， 有，变形得， 当时，m最大，， 当时，m最小，， ∴m的取值范围为， 故选：B． 题型十：y=ax2+bx+c的图象与性质 解题思路：①配方或公式法求对称轴x=-、顶点坐标；②由a判断开口方向；③以对称轴为分界描述增减性、顶点最值；④抛物线与y轴交点为(0,c)。 32．如果抛物线经过点，那么的值为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出二次函数图象上的点的坐标满足的关系式． 将点代入抛物线解析式，建立关于的方程并求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴， 即， 化简得， 解得． 故答案为：． 33．如果均在抛物线的图象上．那么的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，先确定抛物线的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性及点到对称轴的距离判断函数值大小，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵抛物线中， ∴抛物线开口向上，且对称轴为， 则点到对称轴的距离越远，函数值越大， ∵均在抛物线的图象上，且 ∴， 故选：A． 34．点，，是抛物线上的三个点，若，则，，的值可以为（     ） A．0，2，4 B．1，3，4 C．1，4，5 D．1，2，4 【答案】C 【分析】先求出抛物线对称轴为，再根据“抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大”逐项判断即可． 【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴为直线， 抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大， 选项A：三点到对称轴的距离分别为2、0、2，则，不符合题意； 选项B：三点到对称轴的距离分别为1、1、2，得，不符合题意； 选项C：三点到对称轴的距离分别为1、2、3，得，符合题意； 选项D：三点到对称轴的距离分别为1、0、2，得，不符合题意． 35．已知抛物线． （1）抛物线的对称轴为____； （2）把抛物线沿y轴向下平移个单位长度，若抛物线的顶点落在x轴上，则a的值为____； （3）设点、在抛物线上，若，则a的取值范围是____． 【答案】 或 【分析】（1）根据抛物线的性质进行求解即可； （2）根据抛物线的顶点落在x轴上，得出，求出a的值即可； （3）分两种情况：当时，当时，分别列出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：（1）由题意可得，抛物线的对称轴为：直线； （2）抛物线沿y轴向下平移个单位，可得， ∵抛物线的顶点落在x轴上， ∴， 解得：或； （3）①当时，则抛物线开口向上，若，则点P到对称轴的距离大于点Q到对称轴的距离， ∴，即， ∴或， 解得：或， 又∵， ∴． ②当时，则抛物线开口向下，若，则点P到对称轴的距离小于点Q到对称轴的距离， ∴，即， ∴， 解得：， 又∵，故此情况不成立； 综上：． 题型十一：二次函数图象与各项系数符号 解题思路：①a看开口方向；c看抛物线与y轴交点位置；②利用对称轴x=-判断b的符号；③结合图像上特殊点代入，判断代数式正负。 36．二次函数的，，，那么其图象必过（     ） A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二象限 D．第一、二、三象限 【答案】C 【分析】根据题意可以判断出该抛物线的开口方向、顶点坐标在y轴的哪一侧，交y轴的位置，从而可以判断出该函数图象一定经过哪几个象限即可． 【详解】解：∵二次函数的， ∴该函数图象开口向上， 又∵，， ∴，顶点在y轴左侧，经过y轴正半轴， ∴该二次函数的图象必过第一、二象限． 37．已知二次函数的图象如图．其中b，c的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的对称轴位置判断b的符号，根据图象与y轴的交点位置判断c的符号，从而确定选项． 【详解】∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴当时，， 观察各选项，只有C选项满足条件． 38．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两个点），对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点位置确定．利用数形结合的思想是解题的关键．根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①∵图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴图象与x轴的另一个交点为， ∴当时，， ∴，故①错误； ②∵函数开口方向向上， ∴， ∵抛物线与y轴交点在和之间，对称轴为直线， ∴顶点纵坐标要小于， ∴，且， ∴，故②正确； ③∵图象与y轴的交点在和之间， ∴， ∵图象与x轴交于点和， ∴的两根为和3， 由根与系数关系可知：， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④∵对称轴为直线， ∴， ∵，， ∴，故④正确． 综上所述，正确的有②③④． 故选：②③④． 题型十二：一次函数、二次函数图象综合判断 解题思路：①同一坐标系中，两个函数相同字母参数a、b符号必须保持一致；②先由抛物线开口定a，再检验直线斜率、截距是否匹配；③出现参数矛盾的选项直接排除。 39．在同一平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据二次函数的开口方向确定出的符号，根据一次函数的图象确定出的符号，看是否矛盾，以此判断即可． 【详解】解：A．抛物线开口向下，则；一次函数图象上升，，两函数矛盾，故选项错误； B．抛物线开口向上，则；一次函数图象下降，，两函数矛盾，故选项错误； C．抛物线开口向上，则；一次函数图象下降，，两函数矛盾，故选项错误； D．抛物线开口向下，则；一次函数图象下降，，故选项正确． 故选D． 40．将抛物线的图象位于直线以下的部分向上翻折，得到如图图象，若直线与此图象有四个交点；则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象变换，涉及了二次函数与一次函数的交点问题，根据题意，画出新图象，分别确定直线与抛物线有一个交点、直线经过点时的的值，即可求解． 【详解】解：根据题意，画出新图象如图所示： 直线与抛物线有一个交点时：方程有一个实数根， 整理方程得：， ， 解得：； 由解得：，， ∴ 当直线经过点时，得， ∴m的取值范围是： 故答案为：． 41．已知二次函数（）与反比例函数（）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则一次函数的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数开口及顶点判断，的正负，根据反比例函数图象所在象限判断的正负，结合一次函数图象性质即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下， ∴， ∵二次函数图象与y轴交于正半轴， ∴ ∵反比例函数图象在第二，四象限， ∴， 一次函数过一、二、四象限． 题型十三：反比例函数、二次函数图象综合判断 解题思路：①先通过二次函数开口、对称轴确定a、b符号；②反比例y=根据象限判断k正负；③核对公共参数符号是否统一，矛盾选项直接排除。 42．反比例函数与二次函数（）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与反比例函数图象的综合判定，根据二次函数图象与系数的关系，反比例函数图象与系数的关系逐项判断即可． 【详解】解：A、由二次函数图象开口向上，可得，由二次函数图象与y轴交点位于y轴的负半轴，可得，两者矛盾，故此选项错误； B、由二次函数图象开口向下 ，可得，由反比例函数图象位于第一、三象限，可得，两者矛盾，故此选项错误； C、由二次函数图象开口向上，可得，由二次函数图象与y轴交点位于y轴的正半轴，可得，由反比例函数图象位于第一、三象限，可得，符合要求，故此选项正确； D、由二次函数图象开口向下 ，可得，由二次函数图象与y轴交点位于y轴的正半轴，可得，两者矛盾，故此选项错误； 故选C． 43．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数和二次函数的图象大致如图所示，它们的表达式可能分别为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数图像的位置判断的符号，再结合二次函数的图像和性质，逐项判断即可 【详解】A、由反比例函数的图像可知，，则二次函数的图像开口应向下，与图像不符，故选项错误； B、由反比例函数的图像可知，，则二次函数的图像开口应向下，与图像不符，故选项错误； C、由反比例函数的图像可知，，则二次函数的图像开口向上，对称轴应位于轴的右侧，与图像不符，故选项错误； D、由反比例函数的图像可知，，则二次函数的图像开口向上，对称轴应位于轴的左侧，与图像相符，故选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数，二次函数图像的性质，解题关键是熟练掌握反比例函数和二次函数的图像和性质． 44．如图，函数与（其中），同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质可确定反比例函数a的范围，再利用二次函数的性质确定二次函数中字母a的范围，看a的范围是否统一． 【详解】解：A、反比例函数图象在第一、三象限，则，二次函数的图象开口向上，抛物线与y轴交于负半轴，则，前后矛盾，故此选项不合题意； B、二次函数的图象开口向下，则，抛物线与y轴交于负半轴，则，前后矛盾，故此选项不合题意； C、反比例函数图象在第二、四象限，，二次函数的图象开口向下，抛物线与y轴交于正半轴，则，前后矛盾，故此选项不合题意； D、反比例函数图象在第二、四象限，，二次函数的图象开口向上，抛物线与y轴交于负半轴，则，前后一致，故此选项符合题意． 题型十四：两个二次函数图象综合判断 解题思路：①分别观察两条抛物线开口、顶点、对称轴；②对比公共参数a的符号是否一致；③结合顶点位置、与坐标轴交点信息，排除冲突选项。 45．函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的识别是解答本题的关键．根据函数图象的开口方向、与y轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可． 【详解】解：由图象知，函数和函数的开口都向上，所以函数的开口一定向上，故C选项不符合题意； 由图象知，函数的对称轴在y轴的右侧，函数的对称轴也在y轴的右侧， 所以，函数的图象的对称轴也在y轴的右侧，故选项D不符合题意； 函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，且前者的绝对值小于后者的绝对值，所以，函数的图象与y轴的负半轴相交，故选项A不符合题意，选项B符合题意． 故选：B． 46．已知与是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A． B． B． C．D． 【答案】A 【详解】解：设， ， 由图象知，， ， y的图像开口向上，与y轴负半轴相交，选项D，不符合题意； 由图象知： 时，，，，选项C，不符合题意； 时，与相交，即， ∴时，，即与x轴交点是，选项B，不符合题意； 所以选A． 47．如图，抛物线与抛物线交于点，过点A作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于B、C两点，若点B是的中点，则（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】先推导出，，得到，进而推导出，将，代入，，可得到，则，即可解答． 【详解】解：抛物线的对称轴为，抛物线的对称轴为， ∵抛物线与抛物线相交于点， ∴由抛物线的对称性可知，， 即， ∴， ∵点B是的中点， ∴，即：， 将，代入，，得 ， 则， ∴， ∴， ∴． 题型十五：根据二次函数的图象判断式子符号 解题思路：①读取图像信息：开口、对称轴、交点、特殊点位置；②将x=1、x=-1、x=2等代入，得到a+b+c、a-b+c这类代数式；③利用点纵坐标正负判断式子符号。 48．二次函数开口向上，与轴交于负半轴，对称轴在轴左侧，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据二次函数的基本性质，由开口方向与的关系确定a的正负，对称轴位置与的关系确定b的正负，与轴交点的位置与的关系确定c的正负，逐一判断选项，即可得到正确结论． 【详解】解： 二次函数 开口向上， ，选项A错误； 对称轴在轴左侧，二次函数对称轴为 ， ， 又， ，选项B错误； 二次函数与轴交于负半轴，且当时，， ，选项C错误； 由， 得， ∴， ∵， ∴，选项D正确． 49．如图，抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点在，两点之间，下列结论：①；②；③；④方程必有两个不相等的实数根．其中正确的结论有_____．（填正确的序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由图象可得，抛物线开口向下，与轴交于正半轴，且对称轴为，从而可得，，，求出，即可判断①③；由图象可得，当时，，由抛物线的对称性可得，当时，，即可判断②；方程，即，则，结合，的值无法确定大小，从而无法保证，即可判断④；熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，抛物线开口向下，与轴交于正半轴，且对称轴为， ∴，，， ∴， ∴，故①正确； 由图象可得，当时，， ∴由抛物线的对称性可得，当时，， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； 方程，即，则， ∵，的值无法确定大小， ∴无法保证，故④错误； 综上所述，正确的有①②③； 故答案为：①②③． 50．二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】①根据图象的开口方向即可判断，②根据图象与轴交点坐标即可判断；③根据图象与轴的交点的个数即可判断；④根据对称点，判断对称轴，再根据对称轴公式求出的关系即可判断． 【详解】关于①，由图可知二次函数开口向下，即，故①符合题意； 关于②，由图可知二次函数与轴交于正半轴，即，故②符合题意； 关于③，由图可知二次函数与轴有两个交点，即，故③符合题意； 关于④，由图可知二次函数与轴有两个交点分别为，，则对称轴为直线，因为，所以，即，故④符合题意； 综上，共有4个符合题意． 题型十六：已知抛物线上对称的两点求对称轴 解题思路：纵坐标相等两点(x1,y)、(x2,y)，对称轴公式：x=，直接取两点横坐标的平均数。 51．已知二次函数的图象经过点和点，则该抛物线对称轴为（    ） A．轴 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的对称性，熟练掌握二次函数图象上纵坐标相同的两点关于对称轴对称是解答本题的关键． 二次函数图象上纵坐标相同的两点关于对称轴对称，对称轴为两点横坐标的平均值． 【详解】解：∵点和点的纵坐标均为2， ∴对称轴为直线． ∴该抛物线对称轴为直线． 故选：D． 52．已知二次函数的、部分对应值如下表，则该二次函数图象的对称轴为直线_____． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的对称性，中点坐标公式，在表格中找到两个函数值相等的点是解题关键． 根据二次函数的对称性，由函数值相等的点确定对称轴的位置． 【详解】解：由表格数据可知，当和时，函数值均为， 则点和关于二次函数图象的对称轴对称， 故对称轴为直线． 故答案为：． 53．抛物线过点，，抛物线上有两点，，使得一定成立，则m的取值范围为（     ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】先根据抛物线与x轴两交点求对称轴，再计算A、B两点到对称轴的距离，按开口方向分类讨论，根据抛物线性质，离对称轴越远，开口向上时函数值越大，开口向下时函数值越小，列不等式求解，取交集得到m的取值范围． 【详解】解：抛物线过点，，P，Q是两个不同交点， ，抛物线的对称轴为 ， ，， 两点到对称轴的距离分别为 ，， 当时，抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， 恒成立， ， 即， ， ， 解得，符合， 当时，抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 恒成立， ， 即， 解得，即， 结合，得， 综上，m的取值范围为或． 题型十七：根据二次函数的对称性求函数值 解题思路：①先用对称两点求出对称轴；②找到已知点关于对称轴的对称点；③抛物线上对称点函数值相等，据此求值。 54．抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的对称性，解题关键是明确二次函数的对称性，根据关于对称轴对称点的坐标特征解答． 根据对称性可直接求出坐标． 【详解】解：设抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∵抛物线对称轴是直线， ∴抛物线与轴的两个交点关于直线对称， ∴， 解得：， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， 故选：D． 55．已知抛物线关于直线对称，其部分图象如图所示，则________． 【答案】 【分析】首先由抛物线的对称轴为得到，将要求的代数式恒等变形为，结合抛物线图象与性质确定关于直线的对称点是，且抛物线过点，从而得到当时，，即可得到答案． 【详解】解：抛物线关于直线对称， ，即， 则， 抛物线过点，且关于直线对称， 关于直线的对称点是，且抛物线过点， 则当时，， 即． 【点睛】对于抛物线中求系数构成代数式的值，通常需要根据代数式的特征来取值，对于缺少某项系数的时候，通常利用对称轴得到恒等式去变形还原出含有的式子后再取值求解． 56．在同一平面直角坐标系中，若抛物线：与抛物线：关于直线对称，则抛物线上的点在抛物线上的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在抛物线上取两点，根据对称性求出对应坐标，代入抛物线中计算出的值即可． 【详解】∵抛物线： ∴抛物线过，， ∵抛物线：与抛物线：关于直线对称， ∴抛物线：过，， 代入可得， 解得， ∴点 ∴抛物线上的点在抛物线上的对应点的坐标是， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，根据对称性求出的值是解题的关键． 题型十八：y=ax2+bx+c的最值 解题思路：①自变量取全体实数时，最值在顶点：a>0有最小值，a<0有最大值；②若自变量限定区间：对称轴在区间内，顶点取最值；对称轴不在区间，在区间端点取最值。 57．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得出，利用二次函数的性质即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∴顶点坐标为． ∴的最小值为． 58．一条抛物线的对称轴为直线，的最大值是，且与抛物线的形状相同，则这条抛物线的解析式是________． 【答案】 【分析】利用对称轴和最值确定抛物线顶点，用顶点式设出解析式，再根据两抛物线形状相同确定二次项系数的值，代入即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，的最大值为， 抛物线的顶点坐标为， 设这条抛物线的解析式为， 该抛物线与的形状相同，且抛物线有最大值，开口向下， ， 这条抛物线的解析式为． 59．当时，二次函数的最大值为m，最小值为n，则_______． 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，再根据的取值范围，结合二次函数的性质，求出最大值和最小值，最后计算即可． 【详解】解：∵， ∴该二次函数二次项系数为，则开口向上，对称轴为直线， ∵ ，即对称轴在给定区间内， 当时，二次函数取得最小值， 当时，； 当时，； 比较得，二次函数的最大值， 因此． 60．已知二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，则h的值为（     ） A．1或3 B．4或6 C．3或6 D．1或6 【答案】D 【分析】先判断该二次函数的开口方向和对称轴，利用二次函数的增减性，分三种情况讨论h的范围，分别列方程求解，舍去不符合条件的解即可得到结果． 【详解】解：∵二次函数的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 分三种情况讨论： ①若，此时在对称轴右侧，随增大而减小，因此时取最大值， 可得 ，解得或，，舍去，得； ②若，此时函数在处取最大值为，与题目中最大值为矛盾，此情况无解； ③若，此时在对称轴左侧，随增大而增大，因此时取最大值， 可得 ，解得或，，舍去，得； 综上，的值为或． 题型十九：利用二次函数对称性求最短路径 解题思路：将军饮马模型，目标求两条线段之和最小；①找定点关于抛物线对称轴的对称点；②连接对称点与另一定点，连线和对称轴交点即为所求动点；③这条线段长度就是最短路径长。 61．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是______．    【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，轴对称求最小值问题；连接，，设交抛物线对称轴于点，当与点重合时，取得最小值，最小值为，令分别求得的坐标，勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，，设交抛物线对称轴于点，    ∵， ∴， ∴当与点重合时，取得最小值，最小值为， ∵，当时，，则 当时，， 解得：, ∴， ∴ 即的最小值为， 故答案为：． 62．如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点，M点在抛物线的对称轴上，当周长最小时，点M的坐标为__________ 【答案】 【分析】连接，由点M在对称轴上，根据对称性可得，根据两点间线段最短可得，确定当点M在上时，最小，利用待定系数法求出的解析式，再求抛物线对称轴与的交点M的坐标即可． 【详解】解：连接， ∵点M在对称轴上， ∴， ∴， ∴当点M在上时，的最小值，此时的周长最小， ∵点， 设解析式为，把点A、C的坐标代入得：， 解得， ∴解析式为， 当时， 则点． 63．已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3，6），P是抛物线上一动点，则△PMF周长的最小值是（   ） A．5 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】如图所示过点P作PE⊥x轴于点E，由抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，得到PE=PF，则△PMF的周长=FM+PM+PF，则要使△PMF周长最小，则PM+PF最小，即PM+PE最小，故当P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME，由此求解即可． 【详解】解：如图所示过点P作PE⊥x轴于点E， ∵抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等， ∴PE=PF， ∴△PMF的周长=FM+PM+PF， ∴要使△PMF周长最小，则PM+PF最小，即PM+PE最小， ∴当P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME， ∵M坐标为（3，6）， ∴ME=6， ∴PF+PM=6 ∵F（0，2）， ∴ ∴△PMF周长的最小值=ME+FM=6+5=11， 故选C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最短路径问题，两点距离公式，解题的关键在于能够准确读懂题意得到PE=PF． 解答题 1．如图，矩形的长是，宽是，如果将其长与宽各增加，那么面积增加． (1)写出与的函数关系式； (2)上述函数是什么函数？ (3)自变量的取值范围是什么？ 【答案】(1) (2)二次函数 (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟悉掌握矩形的面积公式列出函数是解题的关键． （1）根据矩形面积公式解答即可； （2）由函数式子判断即可； （3）结合题意解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 即：； （2）解：∵， ∴是的二次函数； （3）解：由题意得：自变量的取值范围是． 2．已知函数． (1)若这个函数是一次函数，求的值． (2)若这个函数是二次函数，则的值应是怎样． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的二次项的系数不等于零是解题关键． （1）根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，可得方程组，根据解方程组，可得答案； （2）根据二次项的系数不等于零，可得方程，根据解不等式，可得答案． 【详解】（1）解：依题意得， ∴由①得或， ∴； （2）解：依题意得， ∴且． 3．已知函数，和． (1)在同一个平面直角坐标系中画出这三个函数的图象； (2)分别说出这三个函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)试讨论函数的性质． 【答案】(1) 解：列表： x … 0 1 2 … … … 列表： x … … … … 列表： x … … … … 如图所示为所求： (2) ：开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； ：开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； ：开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为. (3) 函数开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大.函数有最小值，最小值为． 【分析】（1）利用描点法画出函数图象即可； （2）利用顶点式二次函数的特征，可直接得到开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）观察图象即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：对于顶点形式的二次函数，决定开口方向，对称轴为直线，顶点坐标为． 对于，，，，因此开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 对于，，，，因此开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 对于，，，，因此开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． （3）解：函数开口向上，对称轴为直线， 因此当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，当时，有最小值． 4．在平面直角坐标系中，将点变换为点，称该变换为点到点的线性变换，记作：变换，．例如：按照线性变换进行变换，则得，即经变换后得到点． (1)若点经过线性变换后得到点，求点坐标； (2)二次函数图象上一点，经过线性变换后，所得的点恰好是该二次函数的顶点，求的值； (3)已知在二次函数图象上，点先经线性变换得到点；再将点经线性变换得到点．若、两点均在抛物线上，且满足，．试探究：是否存在这样的、、？若存在，求出所有值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在满足题意的、、．理由如下： ∵在二次函数图象上， ∴， 由题意得：，， ∵、两点均在抛物线上， ， ①－②，得， 整理得：， ∵， ∴ 将代入，得， ∵， ． 又， ． 又，，， ，即． 又， ∴不存在满足题意的、、． 【分析】（1）依据题意，根据线性变换的意义，由，，则可得的坐标，从而得解； （2）依据题意，设这点的坐标为，又二次函数为，从而顶点为，又点经过线性变换后，所得的点恰好是该二次函数的顶点，从而 ，进而计算可以得解； （3）由题意得：，，，则，结合，，得出，最后可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴点P坐标为． （2）解：设这点的坐标为， ∵二次函数为， ∴顶点为． ∵点经过线性变换后，所得的点恰好是该二次函数的顶点， ∴， ∴． （3）略 5．如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上且在第一象限内，且，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质： （1）根据二次函数的性质解答即可； （2）设点的坐标为，根据抛物线的对称性可求出点的坐标，再由，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴点， 当时，， ∴点； （2）设点的坐标为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点为点关于对称轴对称的点，点， ∴点， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∵点在抛物线上，将代入抛物线得， ， 解得：， ∵在第一象限内， ∴， ∴点的坐标为． 6．已知二次函数，它与x轴的交点坐标为，，与y轴的交点坐标为． (1)求出，，的值，并写出此二次函数的解析式； (2)求顶点坐标，画出函数图象，并求当时函数的最大值和最小值． 【答案】(1)， (2)顶点坐标为 当时，函数最大值为，最小值为 【分析】（1）利用待定系数法求出，，的值，即可得到二次函数的解析式； （2）把二次函数的解析式整理成顶点坐标式即可得到抛物线的顶点坐标，根据解析式画出抛物线，由函数图象可知当时，函数的最大值即为抛物线顶点的纵坐标，当时，有最小值，最小值为． 【详解】（1）解：将，，代入， 可得：， 解得：， ； （2）解：， 抛物线顶点坐标为，抛物线开口向下， 当时，函数最大值为， 当时，有最小值，最小值为， 图略． 7．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点．点、是该抛物线上的两点，横坐标分别为、，已知点，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，构造四边形． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)当两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点的坐标； (3)设抛物线在、两点之间的部分（含、两点）为图象．当时，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为．求的值； (4)连结、，当时，直接写出的取值范围（这里、、均是大于且小于的角）． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】（1）根据待定系数法，将点代入即可求解． （2）通过抛物线对称轴公式确定对称轴，利用对称点横坐标中点在对称轴上求 m 值，再根据点关于点对称的中点公式求对称点坐标． （3）根据抛物线顶点及开口方向，确定区间与顶点位置关系，分情况讨论最高点坐标，利用纵坐标差建立方程求解． （4）根据平行线的性质，先分析条件可得点在之间，利用中点公式计算求出各点的坐标，再计算直线的解析式，根据点分别在上时，取得临界值，求得的值，即可求解． 【详解】（1）将点代入中得： 解得：， ∴． （2）根据抛物线对称轴公式可知： 抛物线的对称轴为， ∵、关于对称轴对称，且横坐标分别为、， ∴、中点在对称轴上， ∴， ， 解得：， ∵点是该抛物线上的点， 将代入抛物线解析式得， ， 即 设是A关于的对称点，则： 解得，， ∴点坐标为． （3）∵抛物线顶点为，开口向上，，， 当时，包含，最低点为。 当时，，最高点为A，纵坐标差为：， 解得：； 当时，，最高点为B，纵坐标差为： ， 解得：． 综上，m的值为或． （4）∵点是点关于点的对称点，点是点关于点的对称点，结合题意可知： ∴，，，， ∴，，，， 如图，四边形是平行四边形，当点在之间，的左侧，过点作 ∴ ∴ ∴ 当点在上时， ∴ ∴ 解得， 当点在上时 ∴， ∴， ∴， 解得，． 其中，，时，如图，经检验符合， 综上，． 【点睛】本题主要考虑二次函数的解析式、二次函数的图象和性质、二次函数的最值、平行四边形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 8．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围； (3)已知和是该抛物线上的两点．若对于，，都有，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用配方法或直接套用顶点坐标公式求解即可； （2）由（1）易知抛物线的对称轴为直线,在此基础上利用二次函数的增减性即可求解； （3）由于的符号不确定，故点相对于对称轴的位置无法确定，因此先对m进行分类讨论，然后在此基础上利用增减性和对称性求解． 【详解】（1）解：， 顶点坐标为； （2）解：，对称轴是直线， 抛物线的开口向上． 当时，随的增大而减小， 时，随的增大而增大， ； （3）解：当时，则， 点在对称轴的右侧或对称轴上，此时，随的增大而增大． 对于，，都有， ，解得， ； 当时，则， 点在对称轴的右侧，点在对称轴的左侧． 点关于对称轴的对称点在对称轴的右侧，此时，随的增大而增大． 对于，，都有， ，解得， ， 综上可知m的取值范围为． 9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，其中点B的坐标是． (1)求该二次函数的解析式； (2)在y轴正半轴上是否存在点P，使得的值最小？若存在，求出点P的坐标以及这个最小值；若不存在，请说明理由； (3)若将线段向右平移n个单位长度，若线段与二次函数的图象无交点，请直接写出平移距离n的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）待定系数法求函数解析式； （2）先找对称点，再连接，根据两点之间线段最短确定的最小值，进而确定点P坐标； （3）数形结合，根据临界值判断n的取值范围． 【详解】（1）将代入得，，所以解析式为； （2）由可知，，对称轴为， ，对称轴， 取点C关于y轴的对称点，连接，与y轴交于点P，此时的值最小，最小值为的长． 设直线的解析式为，将、代入得，解得，，． 此时的值最小，最小值为的长，； （3）连接， 由知，， 线段向右平移时，当点与点重合时，线段与二次函数的图象有交点，此时，，当时，线段与二次函数的图象无交点； 线段继续向右平移，当点与点重合时，线段与二次函数的图象有交点，此时，令，，解得，，，，当时，线段与二次函数的图象无交点； 综上所述，或，线段与二次函数的图象无交点． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求解析式、最短路径问题、勾股定理、交点问题，数形结合是解题关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01二次函数概念及图象与性质精讲学案 核心立意 理解二次函数的概念，能识别二次函数解析式，掌握实际问题中自变量取值要求；掌握y=ax2、y=a(x-h)2+k的图像与性质，掌握抛物线平移规律，会将一般式配方转化为顶点式；运用数形结合思想分析抛物线开口、对称轴、顶点、增减性与最值，利用抛物线对称性解决基础问题。 二次函数定义： 形如y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数；a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项；自变量最高次数为2，a≠0是判定二次函数的必要条件；无实际背景时自变量取全体实数，实际问题需结合场景限定自变量范围。 最简二次函数y=ax2(a≠0)： 图像为抛物线，顶点(0,0)，对称轴为直线x=0（y轴）； a>0开口向上，顶点为最低点； a<0开口向下，顶点为最高点； |a|越大，抛物线开口越窄。 顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)： 顶点坐标(h,\k)，对称轴为直线x=h；a决定抛物线开口方向与开口大小；该形式便于直接读取顶点与对称轴。 一般式基础性质： y=ax2+bx+c可通过配方法化为顶点式；对称轴：直线x= -，顶点坐标( -,)；抛物线与y轴交点为(0,c)。 图象的平移规律 从 y = ax² 出发，通过平移可以得到任意顶点式的图象： 左右平移：将 x 替换为 x - h，图象左右平移 |h| 个单位。h > 0 时向右平移，h < 0 时向左平移。 上下平移：在函数值上加 k，图象上下平移 |k| 个单位。k > 0 时向上平移，k < 0 时向下平移。 两步叠加即得顶点式 y = a(x - h)² + k。此时顶点变到 (h, k)，对称轴变到 x = h。 口诀：「左加右减，上加下减」——"左加"指的是 x 后面加一个数（x + h）导致图象向左移，容易搞反，需要配合具体数值反复练。 抛物线对称性： 抛物线上纵坐标相同的两个点，关于抛物线对称轴对称，两点横坐标的平均数等于对称轴横坐标。 增减性描述规范： 必须限定对称轴同侧；a>0，对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大；a<0，对称轴左侧y随x增大而增大，右侧y随x增大而减小。 草图绘制要点： 抓住开口方向、对称轴、顶点，在对称轴两侧取对称点描点、平滑连线。 ①判定二次函数时，忽略a≠0这个必要条件； ②顶点式y=a(x-h)2+k中，混淆h的符号，对称轴错写为x=-h； ③图像平移口诀误用，直接对x以外的常数加减，违背“左加右减自变量”规则； ④描述增减性缺少“对称轴左侧/右侧”的区间前提，笼统描述增减变化； ⑤记反|a|与开口宽窄关系，误认为|a|越小开口越窄； ⑥配方提取二次项系数后，括号内常数项未同步调整，配方运算出错； ⑦忽略实际情境下二次函数自变量的取值限制，直接默认取全体实数。 题型 考察方向 难度 题型一 列二次函数关系式 ★★ 题型二 二次函数的识别 ★ 题型三 根据二次函数的定义求参数 ★★ 题型四 y=ax2的图象和性质 ★ 题型五 y=ax2+k的图象和性质 ★ 题型六 y=a（xh）2的图象和性质 ★★ 题型七 y=a（xh）2+k的图象和性质 ★★ 题型八 二次函数图象的平移 ★★ 题型九 把y=ax2+bx+c化成顶点式 ★★ 题型十 y=ax2+bx+c的图象与性质 ★★ 题型十一 二次函数图象与各项系数符号 ★★★ 题型十二 一次函数、二次函数图象综合判断 ★★★ 题型十三 反比例函数、二次函数图象综合判断 ★★★ 题型十四 两个二次函数图象综合判断 ★★★ 题型十五 根据二次函数的图象判断式子符号 ★★★ 题型十六 已知抛物线上对称的两点求对称轴 ★★ 题型十七 根据二次函数的对称性求函数值 ★★★ 题型十八 y=ax2+bx+c的最值 ★★ 题型十九 利用二次函数对称性求最短路径 ★★★★ 拔高题 9题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★拔高 题型一：列二次函数关系式 解题思路：①审题，找准题目等量关系；②设自变量x、因变量y，列出等式；③整理成整式形式，检验最高次数为2、二次项系数不为0；④实际问题务必标注自变量取值范围。 1．公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 2．长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上一动点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为，改变点的位置，可以得到相应的点，设点的坐标是，则关于的函数解析式为_______________． 题型二：二次函数的识别 解题思路：①先把式子化简整理；②同时满足3个条件：整式、自变量最高次数=2、二次项系数a≠0；③排除一次函数、反比例函数、分式、含根号的非整式式子。 4．下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 5．下列函数，一定属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 6．下列各点中，在二次函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 题型三：根据二次函数的定义求参数 解题思路：①同时满足两个条件：自变量次数等于2，二次项系数≠0；②解方程与不等式；③回代检验，舍去使二次项系数为0的解。 7．___________时，是关于的二次函数． 8．若是关于的二次函数，则的值是（ ） A． B． C． D．或 9．若是关于的二次函数，则的值为______． 10．已知二次函数可化为的形式，则的值是(    ) A． B．3 C． D．5 题型四：y=ax2的图象和性质 解题思路：①图像是抛物线，顶点(0,0)，对称轴为y轴；②a决定开口方向，|a|越大开口越窄；③分a>0、a<0，按对称轴左右分别描述增减性与最值。 11．若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（   ） A． B． C． D． 12．如图，已知点和，平移得到，顶点、分别与顶点对应.如果点都在抛物线上，那么点到点的距离是___________. 13．如图，分别过点（、2、…、n）作x轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（     ） A． B．2 C． D． 题型五：y=ax2+k的图象和性质 解题思路：①由y=ax2上下平移得到；顶点(0,k)，对称轴y轴；②a决定开口方向，最值为k；③以对称轴为界，分左右讨论增减变化。 14．对于抛物线，下列结论正确的是（   ） A．该函数图象开口向上； B．当时，y随x的增大而减小； C．当时，取得最小值； D．当时，y的取值范围是 15．若，，为二次函数的图像上的三点，则，，的大小关系是_____．（用“”连接） 16．关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．抛物线开口向下 B．当时，有最小值为3 C．顶点坐标是 D．当时，随的增大而减小 题型六：y=a（xh）2的图象和性质 解题思路：①由y=ax2左右平移得到；顶点(h,0)，对称轴直线x=h；重点注意h的符号，不要误写成x=-h；再判断开口、增减性、最值。 17．已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 18．对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如下表所示： 根据二次函数图象的相关性质可知：_______，_______． 19．二次函数（是常数，且）的图象经过点，一次函数的图象经过点，当时，有四个命题：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．其中正确的命题个数为（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 题型七：y=a（xh）2+k的图象和性质 解题思路：①顶点式，可直接读出顶点(h,k)、对称轴x=h；②a决定开口方向、开口宽窄；③以对称轴分界分析增减性，顶点即为最值点。 20．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 21．二次函数图象的顶点坐标是_______，开口方向_______，当x_______时，随的增大而增大； 22．已知二次函数的图象上有两点，则，的大小关系为________． 23．若二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型八：二次函数图象的平移 解题思路：优先用顶点平移法；口诀：左加右减自变量，上加下减常数项；①平移前后a不变，抛物线形状不变；②只对单独的x进行加减，不要在括号外直接改动。 24．将抛物线向左平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是（     ） A． B． C． D． 25．将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点，则________． 26．将抛物线向左平移个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 27．有3个二次函数，甲：；乙：；丙．嘉嘉说：甲的图象向左平移3个单位长度，向上平移5个单位长度可以得到乙的图象；淇淇说：乙的图象向右平移6个单位长度，向上平移5个单位长度可以得到丙的图象．下列说法正确的是（   ）． A．嘉嘉说的对，淇淇说的不对 B．嘉嘉说的不对，淇淇说的对 C．两人说的都不对 D．两人说的都对 题型九：把y=ax2+bx+c化成顶点式 解题思路：配方法三步：①只对含x的项提取二次项系数；②括号内配方，加一个数就要同步减去这个数；③整理成y=a(x-h)2+k标准顶点式。 28．将二次函数用配方法化成顶点式为______． 29．将二次函数配成的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 30．二次函数的图象的顶点坐标是______． 31．已知抛物线（c为常数）经过点，，当时，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 题型十：y=ax2+bx+c的图象与性质 解题思路：①配方或公式法求对称轴x=-、顶点坐标；②由a判断开口方向；③以对称轴为分界描述增减性、顶点最值；④抛物线与y轴交点为(0,c)。 32．如果抛物线经过点，那么的值为______． 33．如果均在抛物线的图象上．那么的大小关系为（    ） A． B． C． D． 34．点，，是抛物线上的三个点，若，则，，的值可以为（     ） A．0，2，4 B．1，3，4 C．1，4，5 D．1，2，4 35．已知抛物线． （1）抛物线的对称轴为____； （2）把抛物线沿y轴向下平移个单位长度，若抛物线的顶点落在x轴上，则a的值为____； （3）设点、在抛物线上，若，则a的取值范围是____． 题型十一：二次函数图象与各项系数符号 解题思路：①a看开口方向；c看抛物线与y轴交点位置；②利用对称轴x=-判断b的符号；③结合图像上特殊点代入，判断代数式正负。 36．二次函数的，，，那么其图象必过（     ） A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二象限 D．第一、二、三象限 37．已知二次函数的图象如图．其中b，c的值可能是（     ） A． B． C． D． 38．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两个点），对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；其中所有正确结论的序号是__________． 题型十二：一次函数、二次函数图象综合判断 解题思路：①同一坐标系中，两个函数相同字母参数a、b符号必须保持一致；②先由抛物线开口定a，再检验直线斜率、截距是否匹配；③出现参数矛盾的选项直接排除。 39．在同一平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 40．将抛物线的图象位于直线以下的部分向上翻折，得到如图图象，若直线与此图象有四个交点；则的取值范围是______． 41．已知二次函数（）与反比例函数（）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则一次函数的大致图象是（     ） A． B． C． D． 题型十三：反比例函数、二次函数图象综合判断 解题思路：①先通过二次函数开口、对称轴确定a、b符号；②反比例y=根据象限判断k正负；③核对公共参数符号是否统一，矛盾选项直接排除。 42．反比例函数与二次函数（）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（    ） A． B． C． D． 43．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数和二次函数的图象大致如图所示，它们的表达式可能分别为（  ） A． B． C． D． 44．如图，函数与（其中），同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 题型十四：两个二次函数图象综合判断 解题思路：①分别观察两条抛物线开口、顶点、对称轴；②对比公共参数a的符号是否一致；③结合顶点位置、与坐标轴交点信息，排除冲突选项。 45．函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 46．已知与是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A． B． B． C．D． 47．如图，抛物线与抛物线交于点，过点A作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于B、C两点，若点B是的中点，则（   ） A． B．3 C． D．9 题型十五：根据二次函数的图象判断式子符号 解题思路：①读取图像信息：开口、对称轴、交点、特殊点位置；②将x=1、x=-1、x=2等代入，得到a+b+c、a-b+c这类代数式；③利用点纵坐标正负判断式子符号。 48．二次函数开口向上，与轴交于负半轴，对称轴在轴左侧，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 49．如图，抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点在，两点之间，下列结论：①；②；③；④方程必有两个不相等的实数根．其中正确的结论有_____．（填正确的序号） 50．二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 题型十六：已知抛物线上对称的两点求对称轴 解题思路：纵坐标相等两点(x1,y)、(x2,y)，对称轴公式：x=，直接取两点横坐标的平均数。 51．已知二次函数的图象经过点和点，则该抛物线对称轴为（    ） A．轴 B．直线 C．直线 D．直线 52．已知二次函数的、部分对应值如下表，则该二次函数图象的对称轴为直线_____． 53．抛物线过点，，抛物线上有两点，，使得一定成立，则m的取值范围为（     ） A． B．或 C． D． 题型十七：根据二次函数的对称性求函数值 解题思路：①先用对称两点求出对称轴；②找到已知点关于对称轴的对称点；③抛物线上对称点函数值相等，据此求值。 54．抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 55．已知抛物线关于直线对称，其部分图象如图所示，则________． 56．在同一平面直角坐标系中，若抛物线：与抛物线：关于直线对称，则抛物线上的点在抛物线上的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 题型十八：y=ax2+bx+c的最值 解题思路：①自变量取全体实数时，最值在顶点：a>0有最小值，a<0有最大值；②若自变量限定区间：对称轴在区间内，顶点取最值；对称轴不在区间，在区间端点取最值。 57．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 58．一条抛物线的对称轴为直线，的最大值是，且与抛物线的形状相同，则这条抛物线的解析式是________． 59．当时，二次函数的最大值为m，最小值为n，则_______． 60．已知二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，则h的值为（     ） A．1或3 B．4或6 C．3或6 D．1或6 题型十九：利用二次函数对称性求最短路径 解题思路：将军饮马模型，目标求两条线段之和最小；①找定点关于抛物线对称轴的对称点；②连接对称点与另一定点，连线和对称轴交点即为所求动点；③这条线段长度就是最短路径长。 61．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是______．    62．如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点，M点在抛物线的对称轴上，当周长最小时，点M的坐标为__________ 63．已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3，6），P是抛物线上一动点，则△PMF周长的最小值是（   ） A．5 B．9 C．11 D．13 解答题 1．如图，矩形的长是，宽是，如果将其长与宽各增加，那么面积增加． (1)写出与的函数关系式； (2)上述函数是什么函数？ (3)自变量的取值范围是什么？ 2．已知函数． (1)若这个函数是一次函数，求的值． (2)若这个函数是二次函数，则的值应是怎样． 3．已知函数，和． (1)在同一个平面直角坐标系中画出这三个函数的图象； (2)分别说出这三个函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)试讨论函数的性质． 4．在平面直角坐标系中，将点变换为点，称该变换为点到点的线性变换，记作：变换，．例如：按照线性变换进行变换，则得，即经变换后得到点． (1)若点经过线性变换后得到点，求点坐标； (2)二次函数图象上一点，经过线性变换后，所得的点恰好是该二次函数的顶点，求的值； (3)已知在二次函数图象上，点先经线性变换得到点；再将点经线性变换得到点．若、两点均在抛物线上，且满足，．试探究：是否存在这样的、、？若存在，求出所有值；若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上且在第一象限内，且，求点的坐标． 6．已知二次函数，它与x轴的交点坐标为，，与y轴的交点坐标为． (1)求出，，的值，并写出此二次函数的解析式； (2)求顶点坐标，画出函数图象，并求当时函数的最大值和最小值． 7．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点．点、是该抛物线上的两点，横坐标分别为、，已知点，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，构造四边形． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)当两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点的坐标； (3)设抛物线在、两点之间的部分（含、两点）为图象．当时，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为．求的值； (4)连结、，当时，直接写出的取值范围（这里、、均是大于且小于的角）． 8．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围； (3)已知和是该抛物线上的两点．若对于，，都有，求m的取值范围． 9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，其中点B的坐标是． (1)求该二次函数的解析式； (2)在y轴正半轴上是否存在点P，使得的值最小？若存在，求出点P的坐标以及这个最小值；若不存在，请说明理由； (3)若将线段向右平移n个单位长度，若线段与二次函数的图象无交点，请直接写出平移距离n的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $