14.1 全等三角形及其性质 课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件围绕全等三角形展开，涵盖全等形与全等三角形的定义、对应元素识别及性质。通过生活实例情境导入，结合折纸剪纸动手操作，引导学生从图形变换角度理解全等，构建“定义—对应元素—性质”的知识脉络。 其亮点在于注重数学眼光与思维培养，通过平移翻折旋转等操作发展空间观念，结合几何语言规范推理过程。例题与考法设计层层递进，帮助学生用数学语言解决实际问题，既提升学生探究能力，又为教师提供结构化教学支持。

人教版（新教材）数学八年级上册 第14章 全等三角形 14.1 全等三角形及其性质 授课教师： . 班 级： 八年级（ ）班 . 时 间： . 2026/8/15 人教版八年级上册第13章 三角形 单元复习专项练习 一、单元核心知识体系梳理 （一）三角形基础概念与边长性质 1. 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角形，具备3个顶点、3条边、3个内角。 2. 分类：按边分为不等边三角形、等腰三角形（等边三角形是特殊等腰三角形）；按角分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 3. 三边关系（核心考点）：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。解题简便方法：只需验证较短两边之和大于最长边，即可判定能否构成三角形，常用于边长取值范围求解、等腰三角形周长计算。 （二）三角形的三条重要线段 1. 三角形的高：从顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段。锐角三角形三条高均在内部；直角三角形两直角边互为高；钝角三角形两条高在外部，一条在内部，三条高所在直线交于一点。 2. 三角形的中线：连接顶点与对边中点的线段。三条中线均在三角形内部，交点为重心，核心性质是中线将三角形分成两个面积相等的小三角形。 3. 三角形的角平分线：平分三角形内角且与对边相交的线段，属于线段（区别于射线形式的角平分线），三条角平分线均在内部且交于一点。 （三）三角形内角与外角定理 1. 内角和定理：任意三角形内角和为180°，是角度计算的基础依据。 2. 直角三角形性质与判定：直角三角形两锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形。 3. 外角定理：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和；三角形的外角大于任意一个与它不相邻的内角。三角形三个外角和恒为360°，外角与相邻内角互为邻补角（和为180°）。 二、单元综合练习题 （一）选择题（每题4分，共24分） 1. 下列各组线段中，能组成三角形的是（ ） A. 2cm、3cm、5cm B. 3cm、4cm、6cm C. 1cm、2cm、4cm D. 4cm、4cm、8cm 2. 已知等腰三角形两边长为5cm和10cm，则其周长为（ ） A. 20cm B. 25cm C. 20cm或25cm D. 无法确定 3. 能将三角形面积平分的线段是（ ） A. 高 B. 中线 C. 角平分线 D. 任意线段 4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，一个锐角为28°，则另一个锐角为（ ） A. 62° B. 72° C. 52° D. 28° 5. 三角形的一个外角为105°，其中一个不相邻内角为45°，则另一个不相邻内角为（ ） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 6. 下列说法错误的是（ ） A. 三角形三条中线都在内部 B. 三角形的外角不一定大于相邻内角 C. 直角三角形只有一条高 D. 等边三角形属于等腰三角形 （二）填空题（每题4分，共24分） 7. 已知三角形三边长为4、7、x，则x的取值范围是__________。 8. 在△ABC中，AD是BC边上的中线，BC=12cm，则BD=__________cm。 9. 三角形三个内角比为2:3:4，则该三角形是__________三角形。 10. 直角三角形两锐角的度数比为1:2，则较大锐角为__________°。 11. 在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，则∠C的外角为__________°。 12. 三角形三个外角的和为__________°。 （三）解答题（共52分） 13.（12分）已知等腰三角形周长为28cm，一边长为8cm，求另外两边的长。 14.（12分）在△ABC中，∠B=35°，∠C=65°，AD是角平分线，求∠BAD的度数。 15.（14分）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，∠ACD=35°，∠BCD=25°，求△ABC的内角及外角度数。 16.（14分）在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=25°，∠ADC=65°，求∠C的度数。 三、参考答案与详细解析 1. B 解析：根据三边关系，较短两边之和大于最长边，只有3+4＞6，符合条件，其余选项均不满足三边关系。 2. B 解析：分类讨论，腰长5cm时，5+5＜10，无法构成三角形；腰长10cm时，周长=10+10+5=25cm。 3. B 解析：三角形中线平分对边，两个小三角形等底同高，面积相等。 4. A 解析：直角三角形两锐角互余，90°−28°=62°。 5. B 解析：由外角定理，105°−45°=60°。 6. C 解析：直角三角形有三条高，两条直角边互为高，斜边另有一条高。 7. 3＜x＜11 解析：7−4＜x＜7+4，根据三边差值与和值确定取值范围。 8. 6 解析：中线平分对边，BD=BC÷2=6cm。 9. 锐角 解析：设角度为2x、3x、4x，解得x=20°，最大角80°，为锐角三角形。 10. 60 解析：设锐角为x、2x，x+2x=90°，解得2x=60°。 11. 110 解析：外角=∠A+∠B=50°+60°=110°。 12. 360 解析：任意三角形外角和恒为360°。 13. 解：分两种情况讨论。①若底边长为8cm，腰长=(28−8)÷2=10cm，三边为10cm、10cm、8cm，符合三边关系；②若腰长为8cm，底边长=28−8×2=12cm，三边为8cm、8cm、12cm，符合三边关系。综上，另外两边长为10cm、10cm或8cm、12cm。 14. 解：∠BAC=180°−35°−65°=80°，AD平分∠BAC，∠BAD=80°÷2=40°。 15. 解：CD为高，∠ADC=∠BDC=90°，∠A=90°−35°=55°，∠B=90°−25°=65°，∠ACB=35°+25°=60°。各外角分别为125°、115°、120°。 16. 解：∠ADC是△ABD外角，∠BAD=∠ADC−∠B=65°−25°=40°，AD平分∠BAC，∠BAC=80°，∠C=180°−25°−80°=75°。 四、单元高频易错点汇总 1. 边长问题易错：等腰三角形边长、周长计算未分类讨论，或分类后未用三边关系检验，出现无效解；忽略三边关系边界，取值范围漏写不等号。 2. 线段概念混淆：混淆高、中线、角平分线的性质，记错高的位置特点，误判直角三角形、钝角三角形的高的数量和位置。 3. 角度定理误用：混淆内角和、外角定理、直角三角形互余性质；记错外角性质，认为外角大于所有内角，忽略“不相邻”限定条件。 4. 几何推理漏洞：综合题型中不会结合角平分线、高线性质推导角度，推理步骤不规范、逻辑不严谨，解题思路单一，不会灵活运用外角定理简化计算。 情境导入 理解全等形的概念，能根据全等形的概念，判断两个图形是不是全等形. 理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角. 经历全等三角形的拼图过程，从图形变换的角度认识全等三角形及其性质，体会图形的变化，发展空间观念. 能利用全等三角形的性质进行简单的有关线段、角的推理和计算. 学习目标 如图，对开的大门、设计的图案中都有形状、大小相同的图形的形象. 情境导入 问题：观察下面各组图形，说说它们有什么共同特点. 推拉门 翻开的书本 精美的风车 都是由形状、大小相同的图形构成的. 情境导入 知识点1：全等三角形的定义 都能完全重合. 思考1 翻动课本，把每页纸看作一个图形，那么这些图形有什么样的特点呢？ 这类型的图形我们怎么去表述它们呢？ 探究新知 能够__________的两个图形叫作全等形. 全等形的定义 完全重合 探究新知 活动一：拿出一张纸，先将这张纸对折，在一面用三角尺画出一个三角形，并用剪刀剪下这个三角形(纸张两面一起剪)，得到两个三角形.这两个三角形能完全重合吗？ 那么可否类比全等形对这类三角形进行定义呢？ 能 探究新知 全等三角形的定义 能够完全重合的两个三角形叫作___________. 全等三角形 探究新知 知识点2：全等三角形的对应元素 活动探究 活动二：把活动一制作的三角形，拿出一个进行如下操作： 各图中的两个三角形全等吗？ 操作 1：将 △ABC 沿直线 BC 平移. 操作 2：将 △ABC 沿直线 BC 翻折 180°. 操作 3：将 △ABC 绕点 A 旋转. 探究新知 操作 1 操作 2 操作 3 D E F D D E 各操作得到的三角形都能和 △ABC 完全重合，可以得出：平移、翻折、旋转前后的图形全等. 探究新知 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角. “全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”. △ABC≌△FDE 对角和对应角，对边和对应边一样吗？ 探究新知 几何语言 ∵△ABC≌△DEF， ∴点 A 和 ，点 B 和 ，点 C 和____是对应顶点； ∠A 和 ，∠B 和 ，∠C 和 是对应角； AB 和 ，BC 和 ，AC 和 是对应边. 点 D 点 E 点 F ∠D ∠E ∠F EF DF DE 探究新知 类比操作 1 ，说一说操作 2、操作 3 的对应顶点、对应边、对应角. 操作 2 操作 3 探究新知 例1 如图，△ABC≌△AEF， ∠B 和∠E 是对应角，BC 与 EF 是对应边，说出另两组对应角和对应边. E A B C F ∠BAC 和∠EAF 是对应角. 解：∵△ABC≌△AEF， ∴∠C 和∠F 是对应角， ∴ AB 和 AE 、AC 和 AF 是对应边. 探究新知 E A B C F ∠BAC 和∠EAF 是对应角. 解：∵△ABC≌△AEF， ∴∠C 和∠F 是对应角， ∴ AB 和 AE 、AC 和 AF 是对应边. 探究新知 1.如图，△ABC≌△BDE，∠A和∠EBD，∠C和∠E是对应角. 说出这两个三角形的对应边和另一组对应角. 解：（1）对应边有AC与BE，CB与ED，AB与BD； 对应角还有∠CBA和∠D. 举一反三 2.如图，△OCA≌△OBD，点C和点B，点A和点D是对应顶点. 说出这两个三角形中相等的边和角. 解：相等的边：AC=DB，AO=DO，CO=BO; 相等的角：∠C=∠B，∠A=∠D，∠AOC=∠DOB. 举一反三 知识点3：全等三角形的性质 在操作 1 中，将△ABC 沿直线 BC 平移得到△DEF，对应边有什么关系，对应角呢？ 猜一猜 量一量 分析： 探究新知 猜一猜 量一量 全等三角形的对应边相等， 全等三角形的对应角相等. ∠A ∠B ∠C ∠D ∠E ∠F AB BC CA DE EF FD 探究新知 全等三角形的性质 全等三角形的对应边______，全等三角形的对应角______. 相等 相等 探究新知 ∵△ABC≌△FDE ∴A B = F D，A C = F E，B C = D E ∠A =∠F，∠B =∠D，∠C =∠E (对应边相等) (对应角相等) 几何语言 探究新知 3.图中有两个全等三角形，其中的小写字母表示三角形的边长， 则∠1等于多少度？ 解：由题得， △ABC≌△DEF， ∴∠1=∠C. 在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠C=180°-∠A-∠B =180°-60°-54°=66°. ∴∠1=66°. ( ( 54° 60 ° a c b A　 B　 C　 ( 1 b c F　 E　 D　 举一反三 4.如图，△EFG≌△NMH，∠F和∠M是对应角，在△EFG中，FG是最长边.在△NMH中，MH是最长边，且EF=2.1 ，EH=1.1 ，NH=3.3 . （1）写出其他对应边及对应角； （2）求线段NM及线段HG的长度. 解：（1）对应边有EF和NM，FG和MH，EG和NH； 对应角有∠E和∠N，∠EGF和∠NHM. 举一反三 4.如图，△EFG≌△NMH，∠F和∠M是对应角，在△EFG中，FG是最长边.在△NMH中，MH是最长边，且EF=2.1 ，EH=1.1 ，NH=3.3 . （1）写出其他对应边及对应角； （2）求线段NM及线段HG的长度. 解：（2）∵△EFG≌△NMH， ∴NM=EF=2.1 ，EG=NH=3.3. ∴HG=EG –EH=3.3 – 1.1=2.2. 举一反三 例 如图，△ABC≌△BAD，点 A 和点 B，点 C 和点 D 是对应顶点，∠BAC = 65°，∠ABC = 26°，AC，BD 的延长线相交于点 E. 求∠CBD，∠AEB 的度数. 解：∵△ABC≌△BAD， ∴∠ABD =∠BAC = 65°. ∴∠CBD =∠ABD－∠ABC = 65°－26°=39°. 在△AEB 中，∠AEB +∠BAE +∠ABE = 180°， ∴∠AEB = 180°－∠BAE－∠ABE = 180°－65°－65° = 50°. E A B C D 探究新知 5.如图，△ABC≌△DEC，CA与CD，CB与CE是对应边.∠ACD和∠BCE相等吗？为什么？ 解：∠ACD和∠BCE相等，理由如下： ∵△ABC≌△DEC， ∴∠ACB=∠DCE. ∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE， 即∠ACD=∠BCE. A　 E　 B　 C　 D　 举一反三 1.如图，已知，点在上， 与交于点，，， ， . （1）求 的长度； 解： ， . . 考试考法 27 （2）求 的度数. 解： ， . . 返回 考试考法 28 2.［教材习题 变式］如图，已知 ，点在上，与 交于 点 . （1）若 ， ，求 的度数； 解： ， ， 即 . . 考试考法 29 （2）若，，求与 的周长之和. 解：， ， . 与的周长之和为 . 返回 考试考法 30 全等形 全等三角形 概念 符号表示 概念 性质 用“___”连接两个全等三角形 对应边_______； 对应角_______ ≌ 相等 相等 能够完全重合的两个图形 能够完全重合的两个三角形 课堂小结 谢谢观看 THANKS $