1.4 充分条件与必要条件（第四课时）同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学“充分条件与必要条件”新授课同步练，分层设计梯度清晰，从基础概念辨析到综合应用，强化逻辑推理与数学表达，适配课时教学目标。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一充分、必要条件判断|单选题1-4直接辨析概念，巩固数学抽象能力| |中档|综合条件辨析与参数范围|多选题7-8结合命题、集合判断，填空题9-10求参数范围，发展推理意识| |提升|集合与充要条件综合证明|解答题13证明充分不必要条件，培养逻辑推理与数学表达能力|

1.4 充分条件与必要条件（第四课时） 一、单选题 1．已知实数，，则“”是“，且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设，则成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 3．在下列选项中，是的必要不充分条件的是（   ） A．， B．：三角形是等腰三角形，：三角形是等边三角形 C．在一元二次方程中，有实数根， D．， 4．已知集合则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知或，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 6．“且”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 7．下列说法正确的有（    ）. A．“”是“”的充分条件 B．命题“”是真命题 C．已知集合， 则满足条件的集合N的个数为4 D．集合，， 若， 则实数a的取值集合为 8．下列说法正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“为无理数”是“都为无理数”的必要不充分条件 C．是的充分不必要条件 D．设，则“”是“”的充要条件 三、填空题 9．已知命题，或，若是的充分不必要条件，则的取值范围为_______． 10．已知，，若是的充要条件，则实数______． 四、解答题 11．已知全集，集合 ，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 12．已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围． 13．已知集合 (1)判断8，9，10是否属于集合A； (2)已知集合，证明：“”的充分不必要条件是“”； (3)若集合A中所有的偶数构成的集合为P，集合，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4充分条件与必要条件（第四课时) 一、单选题 1．已知实数，，则“”是“，且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】举例说明证明充分性，根据不等式的性质证明必要性，即可下结论. 【详解】若，令，则且不成立，故充分性不成立； 若且，则，故必要性成立， 所以“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B 2．设，则成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于两个集合来说，根据充分条件是找子集，必要条件是找集合，即可得到答案. 【详解】若集合是集合的必要条件，则， 所以在选项中使得成立的一个必要条件只有， 故选：A 3．在下列选项中，是的必要不充分条件的是（   ） A．， B．：三角形是等腰三角形，：三角形是等边三角形 C．在一元二次方程中，有实数根， D．， 【答案】B 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合交集、并集的性质逐项判断即得. 【详解】对于A，由，得，即；而当时，， 即不能推出，因此是的充分不必要条件，A不是； 对于B，三角形是等边三角形，则该三角形是等腰三角形，而三角形是等腰三角形无法推 出该三角形是等边三角形，因此是的必要不充分条件，B是； 对于C，一元二次方程有实数根，则，即； 反之当时，一元二次方程有实数根，即， 因此是的充要条件，C不是； 对于D，由，得，即；而当时，， 即不能推出，因此是的充分不必要条件，D不是. 故选：B 4．已知集合则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分必要条件的定义判断. 【详解】若，则一定有，因此“”是“”的充分条件， 若，又有，则有，因此若集合，则“”是“”的必要条件， 所以若集合，则“”是“”的充要条件. 故选：C. 5．已知或，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据充分不必要条件可得集合的包含关系，即可得到答案. 【详解】根据题意，或， 是的充分不必要条件， 所以且， 则. 故选：D 6．“且”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若且，则且成立，故充分性成立． 若“”，则且或且． 而且时，． 所以由且可以推出且，故必要性成立． 因此“且”是“且”的充要条件． 故选：C． 二、多选题 7．下列说法正确的有（    ）. A．“”是“”的充分条件 B．命题“”是真命题 C．已知集合， 则满足条件的集合N的个数为4 D．集合，， 若， 则实数a的取值集合为 【答案】AC 【分析】对A，根据充分条件的判定即可；对B，根据一元二次方程的解即可判断；对C，根据子集的个数即可判断；对D，分和讨论即可. 【详解】对A，根据“”可以推出“”，则充分性成立，故A正确； 对B，，无实数解，故B错误； 对C，若，则，而集合的子集个数为4，故C正确； 对D，若，则，当，则， 当，则或，则或，解得或2； 综上实数a的取值集合为，故D错误. 故选：AC. 8．下列说法正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“为无理数”是“都为无理数”的必要不充分条件 C．是的充分不必要条件 D．设，则“”是“”的充要条件 【答案】CD 【分析】由充分条件、必要条件的定义逐项判断可得. 【详解】对于A，令，则，所以充分性不成立， 若，则一定有，所以必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，故A错误； 对于B，令，则为无理数，但为有理数，故充分性不成立， 令，则，所以必要性不成立， 综上，“为无理数”是“都为无理数”的既不充分也不必要条件，故B错误； 对于C，因为，所以，充分性成立， 当时，比如，但， 故不一定推出，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，由，可得， 解得，故“”是“”的充要条件，故D正确. 故选：CD 三、填空题 9．已知命题，或，若是的充分不必要条件，则的取值范围为_______． 【答案】 【详解】命题对应集合， 命题对应集合或， 若是的充分不必要条件，则集合是集合的真子集， 则有或，解得或，即， 又，故的取值范围为. 10．已知，，若是的充要条件，则实数______． 【答案】5 【分析】根据充要条件列出等式求解即可. 【详解】因为，又，是的充要条件， 所以，解得实数． 故答案为：5 四、解答题 11．已知全集，集合 ，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】条件可转化为，分和分别列不等式求的范围. 【详解】∵“”是“”的必要条件， ∴，∴. 当，即时，，满足． 当时，由，得，解得. 综上所述，实数的取值范围是 ． 12．已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用并集和补集运算即可； （2）利用充分条件转化为子集关系，再结合分类讨论即可求解. 【详解】（1）当时，代入集合得, 由，因此， 求补集得. （2）因为“”是“”的充分条件，所以，分两种情况讨论： 当为空集，空集是任意集合的子集，此时满足，解得，符合要求； 当不为空集，需同时满足，解不等式组可得， 综上可得，的取值范围是 13．已知集合 (1)判断8，9，10是否属于集合A； (2)已知集合，证明：“”的充分不必要条件是“”； (3)若集合A中所有的偶数构成的集合为P，集合，求证：． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由，即可证，若，而，列方程组判断是否存在整数解，即可判断10是否属于A. （2）由，结合集合A的描述知，由（1），而，即可证结论； 由集合A的描述：，讨论m，n同奇或同偶、一奇一偶，即可确定的奇偶性，进而写出所有满足集合A的偶数. （3）由集合A的描述：，讨论m，n同奇或同偶、一奇一偶，即可确定的奇偶性，进而得到集合． 【详解】（1），，故，， 假设，，则，且， 由，得或，显然均无整数解， ∴，综上，，，； （2）证明：集合，则恒有， ∴，即一切奇数都属于A，即，则必有； 又，而，即，推不出， ∴“”的充分不必要条件是“”； （3）证明：集合，， ①当m，n同奇或同偶时，均为偶数，为4的倍数； ②当m，n一奇一偶时，均为奇数，为奇数， 综上，所有满足集合A的偶数为，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $