13.3.1 第2课时 直角三角形的两锐角互余 课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“直角三角形的两锐角互余”，涵盖性质定理及判定定理。通过三角板情境导入，引导学生观察两锐角和，结合三角形内角和定理推导，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接已有知识。 其亮点在于以数学眼光观察现实（三角板实例），通过合作探究培养推理能力（定理推导），规范几何语言表达（符号表示）。“8字形”基本图形总结和易错点归纳，帮助学生构建知识体系，提升应用意识，教师可利用分层练习和考法示例优化教学。

人教版（新教材）数学八年级上册 第13章 三角形 13.3.1 第2课时 直角三角形的两锐角互余 授课教师： . 班 级： 八年级（ ）班 . 时 间： . 2026/8/15 人教版八年级上册13.3.1第2课时 直角三角形的两锐角互余专项练习 一、核心知识梳理 1. 核心定理：直角三角形的两个锐角互余。即在直角三角形中，有一个内角为90°，结合三角形内角和180°，可直接得出剩余两个锐角的和为90°，这是直角三角形角度计算的核心定理，可大幅简化运算步骤。 2. 定理逆定理（判定定理）：有两个角互余的三角形是直角三角形。若一个三角形中，任意两个内角相加等于90°，则第三个内角必然为90°，可直接判定该三角形为直角三角形，常用于三角形形状判定题型。 3. 符号表示：在Rt△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°；反之，在△ABC中，若∠A+∠B=90°，则△ABC为直角三角形，且∠C=90°。 4. 综合解题要点：该知识点常与三角形高、角平分线、对顶角、外角性质结合出题。解题时无需反复套用内角和公式，优先使用互余性质快速求角；复杂图形中，可通过“同角的余角相等”“等角的余角相等”推导相等角度，是几何角度推理的常用技巧。 二、基础专项练习题 （一）选择题 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若一个锐角为42°，则另一个锐角为（ ） A. 42° B. 48° C. 58° D. 68° 2. 若一个三角形的两个内角分别为36°和54°，则这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 3. 直角三角形的一个锐角是另一个锐角的2倍，则较小锐角的度数为（ ） A. 20° B. 30° C. 40° D. 45° （二）填空题 4. 在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=37°，则∠C=______°。 5. 已知直角三角形两个锐角的度数之比为2:7，这两个锐角分别是______°和______°。 6. 在△ABC中，∠A=25°，∠B=65°，则△ABC是______三角形。 （三）解答题 7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，求证：∠ACD=∠B。 8. 在直角三角形中，一个锐角比另一个锐角大18°，求这个直角三角形两个锐角的度数。 三、参考答案与详细解析 1. B 解析：直角三角形两锐角互余，90°−42°=48°，故选B。 2. B 解析：36°+54°=90°，根据逆定理，有两个角互余的三角形是直角三角形。 3. B 解析：设较小锐角为x，较大锐角为2x，x+2x=90°，解得x=30°。 4. 53 解析：两锐角互余，∠C=90°−37°=53°。 5. 20、70 解析：设两角为2x、7x，2x+7x=90°，解得x=10°，两角分别为20°、70°。 6. 直角 解析：∠A+∠B=90°，由逆定理可判定该三角形为直角三角形。 7. 证明：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°。∵CD是AB边上的高，∴∠CDB=90°，∴∠B+∠BCD=90°。根据同角的余角相等，可得∠ACD=∠B。 8. 解：设较小锐角为x°，则较大锐角为(x+18)°。由两锐角互余得：x+x+18=90，解得2x=72，x=36。则另一锐角为36°+18°=54°。答：两个锐角分别为36°、54°。 四、易错点总结 1. 定理混淆：只会用内角和求直角三角形角度，不会直接用两锐角互余定理，解题步骤繁琐；2. 忽略逆定理应用，无法通过两角互余快速判定直角三角形；3. 角度比例、差值题型不会设未知数，计算出现偏差；4. 几何推理中，不会运用“同角或等角的余角相等”，导致证明过程逻辑不严谨、步骤缺失。 情境导入 1.探索并掌握直角三角形的性质定理“直角三角形的两个锐角互余”和判定“有两个角互余的三角形是直角三角形”. 2.能熟练运用直角三角形的性质定理和判定定理解决相关角度计算问题. 学习目标 思考 如下图所示是我们常用的三角板，它们两锐角的度数之和分别为多少度? 45° 45° 90° 90° 30° 60° 30° + 60° = 90° 45° + 45° = 90° 是不是所有的直角三角形都是这样呢？ 情境导入 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 问题 以上三种三角形的内角大小确定么？如果确定是多少呢？ 探究新知 知识点1：直角三角形的两个锐角互余 合作探究 如图，在刚刚形成的直角△ABC 中，∠C＝90°，两锐角的和等于多少？ 三角形内角和定理 ∠A +∠B +∠C＝180° ∠A + ∠B＝90° 探究新知 直角三角形的性质： 直角三角形的两个锐角_____. 互余 几何语言： 在 Rt△ABC 中， ∵∠C＝90°， ∴∠A +∠B＝90°． “Rt△” 探究新知 例1 如图，∠C＝∠D＝90°，AD，BC 相交于点 E. ∠CAE 与 ∠DBE 有什么关系？为什么？ 解：在Rt△ACE 中， ∠CAE = 90°－∠AEC. 在Rt△BDE 中， ∠DBE = 90°－∠BED. ∵∠AEC =∠BED， ∴∠CAE =∠DBE. 探究新知 1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D. ∠ACD与∠B有什么关系？为什么？ C A D B 解：∠ACD=∠B.理由如下： 在△ABC中，∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°. ∵CD⊥AB,∴∠ADC=90°， ∴∠A+∠ACD=90°. ∴∠ACD=∠B. 举一反三 2.如图，在Rt△ABC中，∠C= 90°，AD平分∠CAB交BC于点D，BE⊥AD交 AD的延长线于点E. 若∠DBE=25°，则∠CAB的度数为_________. 50° 25° 25° 25° 举一反三 ∵∠B＝∠C＝90°， ∴∠A + ∠AOB＝90°， ∠D + ∠COD＝ 90°. ∵∠AOB＝∠COD， ∴∠A＝∠D. 1. 如图，∠B＝∠C＝90°，AD 交 BC 于点 O，∠A 与 ∠D 有什么关系？ 探究新知 通过前面的例题 ，你能画出这些题型的基本图形吗？ ∠A + ∠B＝∠C + ∠D 8 字形 ∠A＝∠D ∠A + ∠B＝∠C + ∠D ∠A＝∠C 探究新知 3.给出下列条件： ①∠A+∠B=∠C, ②∠A:∠B:∠C=1:2:3, ③∠A=90°-∠B, ④∠A=∠B=∠C, ⑤∠A=2∠B=3∠C. 其中能确定△ABC是直角三角形的有 ( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 C 举一反三 4.如图，在△ABC中，∠A= 30°，∠B=60°，CE平分∠ACB. (1)求∠ACE的度数. (1)解：在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°， ∴∠ACB=180°-∠A-∠B=90°. ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE= ∠ACB=45°. 举一反三 知识点2：直角三角形的判定 如图，在 △ABC 中，∠A +∠B＝90°， 那么△ABC 是直角三角形吗？ 问题：有两个角互余的三角形是直角三角形吗？ ∠A +∠B +∠C ＝180° ∠A +∠B＝90° ∠C＝90° 探究新知 直角三角形的判定： 有两个角_____的三角形是直角三角形. 互余 几何语言： 尝试翻译成几何语言. 在△ABC 中， ∵∠A +∠B＝90°， ∴△ABC 是直角三角形． 探究新知 4.如图，在△ABC中，∠A= 30°，∠B=60°，CE平分∠ACB. (2)若CD⊥AB于点D，∠CDF=75°.求证：△CFD是直角三角形. (2)证明：∵CD⊥AB，∠B=60°， ∴∠BCD=90°-∠B=30°， ∵CE平分∠ACB，∴∠BCE= ∠ACB=45°. ∴∠DCF=∠BCE-∠BCD=15°. ∵∠CDF=75°， ∴∠CFD=180°-∠DCF-∠CDF=90°, ∴△CFD是直角三角形. 举一反三 知识点1 直角三角形的两个锐角互余 1.［2025唐山月考］在中， ，若 ，则 等于( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 17 2.在中， ，，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 18 3.［教材P练习T变式］［2025石家庄调研］如图，在 中， ，于点.若 ，则 的度数为_____. 返回 考试考法 19 知识点2 有两个角互余的三角形是直角三角形 4.已知 ， ，则 为( ) C A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上都有可能 返回 考试考法 20 5.［教材P练习T变式］如图， ，垂足 为，.求证： 是直角三角形. 证明：， ， . ， ， ， 是直角三角形. 返回 考试考法 21 （第6题） 6.如图，直线，的顶点在直线 上， ，若 ， ，则 ( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 22 判定 直角三角形的性质和判定 有两个角_____的三角形是直角三角形 性质 直角三角形的两个锐角_____ 互余 互余 课堂小结 谢谢观看 THANKS $