精品解析：安徽省合肥市庐江县2024-2025学年五年级下学期期末数学试卷

2024－2025学年度第二学期期末学业质量监测 五年级数学（苏教版） 注意事项： 1.本试卷共6页，满分100分，考试时间90分钟； 2.答卷前，请将姓名、班级等信息填写到相应位置； 3.本试卷任何人不能以任何形式外传，翻印！如若发现，必追究法律责任！ 一、填空题。（每空1分，共25分） 1. 我国科普基础设施建设稳中求进。全国科技馆和科学技术类博物馆共计约1780个，展厅面积660.03万平方米，其中科学技术类博物馆的个数约是科技馆个数的1.5倍，设科技馆有x个，则科学技术类博物馆有（ ）个，可根据（ ）的等量关系，列出方程（ ）。 2. 五（1）班第一小组20名同学围成一圈玩数学游戏，游戏规则是：从1开始一个一个往后数，遇到3的倍数或个位上是3的数时要说“过”，遇到5的倍数要说“来”，遇到质数要说“质”，遇到合数要说“合”，若一个数字满足多种情况，每种情况都要说。一圈数下来，一共要说（ ）次“过”字，要说（ ）次“来”字，要说（ ）次“质”字，要说（ ）次“合”字。 3. 五（1）班的学生人数在40~50之间。体育课上同学们按“1，2，3，1，2，3，…”报数，最后一个同学报3；然后又按“1，2，3，4，1，2，3，4，…”报数，最后一个同学报4。那么五（1）班一共有（ ）名同学，我的理由是（ ）。 4. 一节数学课的时间是小时，李老师讲课的时间是这节课的。第一个“”的含义是把（ ）看作单位“1”，平均分成3份，表示这样的2份；第二个“”的含义是把（ ）小时看作单位“1”，平均分成3份，表示这3样的2份。 5. 李子柒推广漆器、竹编、蜀锦、绒花、木雕这5种非遗项目，若她选择竹编和绒花，则所选项目占非遗项目总数的，这个分数的分数单位是（ ），有（ ）个这样的分数单位，与它分数单位相同的最小带分数是（ ）。 6. 校运会上，小聪和小明同时参加了跳远比赛和百米赛跑。 （1）跳远比赛中，小聪跳了1.75米，小明跳了米。 （2）赛跑比赛中，小聪用了分钟，小明用了分钟。 我认为（ ）的跳远成绩好，我的理由是（ ）；（ ）跑得快，我的理由是（ ）。 7. 双面绣也叫两面绣，是中国优秀的民族传统工艺之一。下面的双面绣作品中间部分是一个圆，周长是62.8厘米，想知道圆的面积，我的思路是可以先求出圆的半径是（ ）厘米，再根据圆的面积公式列出算式（ ），从而求得这个圆的面积是（ ）平方厘米。 8. 小实验，大道理。小明用一张圆形纸片做投影实验，他量得墙上圆形影子的周长是94.2厘米，圆形影子的面积是圆形纸片的9倍，则圆形纸片的面积是（ ）平方厘米。 9. 某市举行中小学生足球比赛，若有8支球队参加决赛，以单场淘汰制进行，要决出冠军，一共赛（ ）场，我的想法是（ ）。 二、选择题。（每小题2分，共10分） 10. 要反映“五一”小长假期间，华山和黄山两个景点每天参观人数的变化情况，应该制成（ ）统计图。 A. 单式条形 B. 单式折线 C. 复式折线 D. 复式条形 11. 下列说法正确的有（ ）。 ①大于而小于的分数只有一个 ②小明今年M岁，小雪今年（M＋24）岁。再过10年，他们相差24岁 ③一个非零数的最小倍数就是它本身 ④两个异分母分数通分后，分数单位不一定相同 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 2024年前三季度，科普图书的零售码洋比重已经超过2023年全年水平，同学们对科普书的兴趣和热情日益高涨，王老师要为每位同学制作一个图书角的借书证，借书证的规格是：长8cm，宽6cm。下面各种规格的纸板中，选用（ ）最合适。（在剪时没有剩余） A. 40cm×35cm B. 12cm×20cm C. 24cm×36cm D. 30cm×20cm 13. 如图（单位：cm），尺上圆的箭头指向了断尺的“10”刻度处。尺上的圆向右滚动一周后，圆上的箭头落在（ ）。 A. 20~30之间 B. 30~40之间 C. 40~50之间 14. 如图两个正方形的大小相同，两个阴影部分（ ）。 A. 周长相等，面积也相等 B. 周长相等，面积不相等 C. 周长不相等，面积相等 D. 周长不相等，面积也不相等 三、细心计算。（共34分） 15. 直接写得数。 16. 计算。（能简算的要简算） 17. 解方程。 18. 求阴影部分的面积。（单位：cm） 19. 求阴影部分的面积。（单位：cm） 四、阅读探究题。（共5分） 20. 明明把一个圆平均分成16份，拼成一个近似的梯形，根据梯形面积公式推导出了圆的面积公式。你能帮他完成下面的推导过程吗？（在推导过程中，圆的半径用r表示，圆周率用π表示。） 通过观察，可以发现这个梯形的上底＋下底的和是圆周长的（ ），高是（ ）个半径的长。 因为梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，所以圆的面积＝梯形的面积。 ＝（ ）×（ ）÷2 ＝（ ）÷2 ＝πr2 五、解决问题。（共26分） 21. 阅读材料，回答问题。 运动软件可以记录用户的配速、心率、卡路里消耗等多项数据，并提供实时音频反馈，用户可以选择开启语音指导，获得实时建议和鼓励。此外，它还提供个性化跑步计划，由专业跑步教练设计，帮助用户提升速度、耐力和跑步技巧。 王老师购买了3根跳绳和一个32元的运动软件年卡会员，一共花了86元。购买一根跳绳需要多少元？ （1）解答这个问题时，小明、小雪、小辉据自己的理解，分别写出了不同的等量关系（如图），（ ）写出的等量关系是正确的。 小明：跳绳的单价×3＋32＝86 小辉：跳绳的单价×3－32＝86 小雪：跳绳的单价×3－86＝32 （2）根据正确的等量关系列方程解答这个问题。 （3）小明和小辉一起做体能训练，小明每隔10分钟完成一组，小辉每隔6分钟完成一组，中午12：45同时完成一组后，下次同时完成一组是几时几分？ （4）小明和爸爸妈妈三人使用同一款运动软件来记录跑步里程，挑战在一个月内跑够一定的里程数，他们决定每隔相同的里程数就在软件上打卡一次，完成他们设定的里程数时正好打最后一次卡。他们每人最少需要打卡几次？ 小明 妈妈 爸爸 挑战里程/千米 45 75 105 22. 2025年六五环境日的主题为“美丽中国我先行”，五一路小学在这天举办了植树活动，各年级的植树情况如下表所示。 一、二年级 三年级 四年级 五年级 六年级 （ ） （ ） 四、五、六年级植树的棵数占总棵数的 （1）请把表格填写完整。 （2）请你再提出一个数学问题并解答。 23. 我国古代数学名著《九章算术》的“方田章”中记载了这样一种求圆环面积的公式，“并中外周而半之，以径乘之为积步”，意思是将外圆和内圆的周长的平均数乘圆环的宽度可以得到圆环的面积。利用这个公式求下面的圆环的面积。并利用我们教材上计算圆环面积的方法验证结果是否正确。 24. 新能源电车被认为是未来汽车产业的发展方向，国家通过免征购置税鼓励大家选择更环保的出行方式。如图表示某电车从A站经过B站到达C站，然后又原路返回的行驶情况。去时在B站停车，而返回时不停，去时的车速为0.5千米/分。求电车往返的平均速度。（停车时间除外） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第二学期期末学业质量监测 五年级数学（苏教版） 注意事项： 1.本试卷共6页，满分100分，考试时间90分钟； 2.答卷前，请将姓名、班级等信息填写到相应位置； 3.本试卷任何人不能以任何形式外传，翻印！如若发现，必追究法律责任！ 一、填空题。（每空1分，共25分） 1. 我国科普基础设施建设稳中求进。全国科技馆和科学技术类博物馆共计约1780个，展厅面积660.03万平方米，其中科学技术类博物馆的个数约是科技馆个数的1.5倍，设科技馆有x个，则科学技术类博物馆有（ ）个，可根据（ ）的等量关系，列出方程（ ）。 【答案】 ①. 1.5x ②. 全国科技馆数量＋科学技术类博物馆数量＝1780 ③. x＋1.5x＝1780 【解析】 【分析】根据题意，设科技馆有x个，求倍数，用乘法，则科学技术类博物馆有1.5x个；全国科技馆和科学技术类博物馆共计约1780个，即全国科技馆的数量＋科学技术类博物馆的数量＝1780，列方程：x＋1.5x＝1780，据此解答。 【详解】根据分析可知，设科技馆有x个，则科学技术类博物馆有1.5x个，可根据全国科技馆数量＋科学技术类博物馆数量＝1780的等量关系，列出方程x＋1.5x＝1780。 2. 五（1）班第一小组20名同学围成一圈玩数学游戏，游戏规则是：从1开始一个一个往后数，遇到3的倍数或个位上是3的数时要说“过”，遇到5的倍数要说“来”，遇到质数要说“质”，遇到合数要说“合”，若一个数字满足多种情况，每种情况都要说。一圈数下来，一共要说（ ）次“过”字，要说（ ）次“来”字，要说（ ）次“质”字，要说（ ）次“合”字。 【答案】 ①. 7 ②. 4 ③. 8 ④. 11 【解析】 【分析】3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。据此求出20以内3的倍数以及个位上是3的数，进而求出要说多少次“过”字； 5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。据此求出20以内5的倍数的数，进而求出要说多少次“来”字； 一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，据此求出20以内的质数，进而求出要说多少次“质”字； 一个数，除了1和它本身外，还有其他因数，这样的数叫做合数，据此求出20以内的合数，进而求出要说多少次“合”字。 【详解】20以内3的倍数以及个位是3的数有：3，6，9，12，13，15，18，一共7个，即要说7次“过”字。 20以内5的倍数有：5，10，15，20，一共4个，即要说4次“来”字。 20以内的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19，一共有8个，即要说8次“质”字。 20以内的合数有：4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，一共11个，即要说11次“合”字。 3. 五（1）班的学生人数在40~50之间。体育课上同学们按“1，2，3，1，2，3，…”报数，最后一个同学报3；然后又按“1，2，3，4，1，2，3，4，…”报数，最后一个同学报4。那么五（1）班一共有（ ）名同学，我的理由是（ ）。 【答案】 ①. 48 ②. 3和4最小公倍数是12，40~50之间12的倍数只有48 【解析】 【分析】按1、2、3循环报数，最后一人报3，说明总人数除以3余数是0，总人数是3的倍数； 按1、2、3、4循环报数，最后一人报4，说明总人数除以4余数是0，总人数是4的倍数； 因此班级人数是3和4的公倍数，先求出3和4最小公倍数，再找出40~50之间符合条件的公倍数。 【详解】求3和4的最小公倍数3和4互质， 最小公倍数：。 找出12的倍数：12、24、36、48、60…… 筛选40~50之间的数：只有48符合条件。 所以五（1）班一共有48名同学，我的理由是3和4最小公倍数是12，40~50之间12的倍数只有48。 4. 一节数学课的时间是小时，李老师讲课的时间是这节课的。第一个“”的含义是把（ ）看作单位“1”，平均分成3份，表示这样的2份；第二个“”的含义是把（ ）小时看作单位“1”，平均分成3份，表示这3样的2份。 【答案】 ①. 1小时 ②. 【解析】 【分析】根据分数的意义，把单位“1”平均分成若干份，用分数表示，分母是分成的份数，分子是要表示的份数。据此分析即可。 【详解】根据分析可知， 一节数学课的时间是小时，李老师讲课的时间是这节课的。第一个“”的含义是把1小时看作单位“1”，平均分成3份，表示这样的2份；第二个“”的含义是把小时看作单位“1”，平均分成3份，表示这3样的2份。 【点睛】分数的意义：一个整体被平均分成几份，其中的1份或几份占这个整体的几分之一或几分之几；注意单位“1”的变化。 5. 李子柒推广漆器、竹编、蜀锦、绒花、木雕这5种非遗项目，若她选择竹编和绒花，则所选项目占非遗项目总数的，这个分数的分数单位是（ ），有（ ）个这样的分数单位，与它分数单位相同的最小带分数是（ ）。 【答案】；；2； 【解析】 【分析】李子柒推广的非遗项目总数为5种，选择竹编和绒花共2种，根据分数的意义，把5种非遗项目看成“单位1”，平均分成5份，所选的2种占其中的2份，因此占比为；分数单位的定义是：把单位“1”平均分成若干份，取其中的一份的数。对于分数，它是把单位“1”平均分成5份，因此的分数单位是；分数的分子是2，表示有2个，因此有2个这样的分数单位；带分数由“整数部分”和“真分数部分”组成，且分数单位与相同，即，要使带分数最小，整数部分取最小的整数1，真分数部分取，因此最小的带分数是。 【详解】根据分析：所选项目占非遗项目总数的，这个分数的分数单位是，有2个这样的分数单位，与它分数单位相同的最小带分数是。   6. 校运会上，小聪和小明同时参加了跳远比赛和百米赛跑。 （1）跳远比赛中，小聪跳了1.75米，小明跳了米。 （2）赛跑比赛中，小聪用了分钟，小明用了分钟。 我认为（ ）的跳远成绩好，我的理由是（ ）；（ ）跑得快，我的理由是（ ）。 【答案】 ①. 小聪 ②. 1.75米米，跳得越远，成绩越好 ③. 小明 ④. 分钟分钟，用的时间越少，跑得越快 【解析】 【分析】我认为小聪跳的远；根据分数化小数的方法：用分子除以分母，得到的商就是小数；再根据小数比较大小的方法：从高位到低位，据此解答。 我认为小明跑得快；根据同分子比较大小：分子相同，分母越大，分数越小；由此可知，分数越小，用的时间越少，跑得越快，据此解答。 【详解】我认为小聪的跳远成绩好。 ＝8÷5＝1.6 1.75＞1.6，即1.75米＞米，小聪跳得远。 小明跑得快。 因为4＜5，所以分钟＞分钟，小明跑得快。 7. 双面绣也叫两面绣，是中国优秀的民族传统工艺之一。下面的双面绣作品中间部分是一个圆，周长是62.8厘米，想知道圆的面积，我的思路是可以先求出圆的半径是（ ）厘米，再根据圆的面积公式列出算式（ ），从而求得这个圆的面积是（ ）平方厘米。 【答案】 ①. 10 ②. ③. 【解析】 【分析】根据圆的周长公式C＝2πr得r＝C÷π÷2，算出圆的半径；圆的面积，代入数值计算即可。 【详解】圆的半径： 62.8÷3.14÷2 ＝20÷2 ＝10（厘米） 圆的面积： 3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 8. 小实验，大道理。小明用一张圆形纸片做投影实验，他量得墙上圆形影子的周长是94.2厘米，圆形影子的面积是圆形纸片的9倍，则圆形纸片的面积是（ ）平方厘米。 【答案】78.5 【解析】 【分析】先根据圆的周长公式（C＝2πr）求出墙上圆形影子的半径（r＝C÷π÷2），进而根据圆的面积公式（S＝πr2）求出圆形影子的面积；再根据两圆面积的倍数关系，用圆形影子的面积除以9，求出圆形纸片的面积。 【详解】影子的半径： 94.2÷3.14÷2 ＝30÷2 ＝15（厘米） 影子的面积： 3.14×152 ＝3.14×225 ＝706.5（平方厘米） 纸片的面积：706.5÷9＝78.5（平方厘米） 9. 某市举行中小学生足球比赛，若有8支球队参加决赛，以单场淘汰制进行，要决出冠军，一共赛（ ）场，我的想法是（ ）。 【答案】 ①. 7##七 ②. 每淘汰1支球队赛1场，决出冠军需淘汰7支球队 【解析】 【分析】单场淘汰制是指每场比赛之后，输的球队淘汰不能再继续比赛，赢的球队晋级下一轮，直到最后决出冠军。第一轮要赛8÷2＝4场，第二轮要赛4÷2＝2场，第三轮要赛2÷2＝1场，把所有场数相加就是一共要比赛的场数，据此解答。 【详解】第一轮：8支球队，赛8÷2＝4（场） 第二轮：4支球队，赛4÷2＝2（场） 第三轮：2支球队，赛2÷2＝1（场） 4＋2＋1 ＝6＋1 ＝7（场） 故要决出冠军，一共赛7场，我的想法是每淘汰1支球队赛1场，决出冠军需淘汰7支球队。 二、选择题。（每小题2分，共10分） 10. 要反映“五一”小长假期间，华山和黄山两个景点每天参观人数的变化情况，应该制成（ ）统计图。 A. 单式条形 B. 单式折线 C. 复式折线 D. 复式条形 【答案】C 【解析】 【分析】条形统计图主要用于表示数量的多少，折线统计图不仅能表示数量的多少，还能清楚地表示出数量的增减变化情况。单式统计图用于表示一组数据，复式统计图用于表示两组或两组以上的数据，便于比较。根据题干中“变化情况”和“两个景点”这两个关键信息，即可确定统计图的类型，据此解答。 【详解】A．单式条形统计图，只能表示一组数据的数量多少，不能反映变化情况，此选项错误； B．单式折线统计图，只能表示一组数据的变化情况，不能同时表示两个景点的数据，此选项错误； C．复式折线统计图，既能表示两个景点的数据，又能反映变化情况，此选项正确； D．复式条形统计图，能表示两个景点的数据，但主要用于比较数量多少，不能直观反映变化情况，此选项错误。 11. 下列说法正确的有（ ）。 ①大于而小于的分数只有一个 ②小明今年M岁，小雪今年（M＋24）岁。再过10年，他们相差24岁 ③一个非零数的最小倍数就是它本身 ④两个异分母分数通分后，分数单位不一定相同 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】①分数的大小比较，不仅可以是同分母分数，也可以是异分母分数。 ②年龄差是固定不变的，因为两人的年龄同时增长相同的年数。 ③倍数的定义是“一个数乘整数得到的数就是它的倍数”，其中乘1得到的就是它本身。 ④通分的定义是把异分母分数化成和原来分数相等的同分母分数，分数单位由分母决定。 【详解】①大于、小于的同分母分数只有，但把分数通分或扩大分母后，还能找到无数个，比如、、等，说法错误。 ②今年两人的年龄差是（M＋24）－M＝24岁，10年后小明是M＋10岁，小雪是M＋24＋10岁，年龄差还是（M＋34）－（M＋10）＝ M＋34－M－10＝24岁，说法正确。 ③根据倍数和因数的意义，一个非零自然数的倍数有无数个，其中最小的倍数是它本身，最大的因数也是它本身，说法正确。 ④通分后分母相同，分数单位也一定相同，比如和通分后是和，分数单位都是，所以“不一定相同”的说法错误。 综上，正确的是②和③，共2个。 12. 2024年前三季度，科普图书的零售码洋比重已经超过2023年全年水平，同学们对科普书的兴趣和热情日益高涨，王老师要为每位同学制作一个图书角的借书证，借书证的规格是：长8cm，宽6cm。下面各种规格的纸板中，选用（ ）最合适。（在剪时没有剩余） A. 40cm×35cm B. 12cm×20cm C. 24cm×36cm D. 30cm×20cm 【答案】C 【解析】 【分析】要使纸板剪成借书证没有剩余，纸板的长和宽应分别是借书证长和宽的倍数。逐一验证选项中纸板的长和宽是否能被8和6整除。 【详解】A．长：40÷8＝5，是8的倍数；宽：35÷6＝5……5，不是6的倍数，此选项错误。 B．若长对应6cm，宽对应8cm：12÷6＝2，是6的倍数；20÷8＝2……4，不是8的倍数。若长对应8cm，宽对应6cm：12÷8＝1……4，不是8的倍数，此选项错误。 C．长：24÷8＝3，是8的倍数；宽：36÷6＝6，是6的倍数。可以剪出3×6＝18个借书证，且没有剩余，此选项正确。 D．若长对应6cm，宽对应8cm：30÷6＝5，是6的倍数；20÷8＝2……4，不是8的倍数，此选项错误。 综上所述，选用规格为的纸板最合适。 13. 如图（单位：cm），尺上圆的箭头指向了断尺的“10”刻度处。尺上的圆向右滚动一周后，圆上的箭头落在（ ）。 A. 20~30之间 B. 30~40之间 C. 40~50之间 【答案】C 【解析】 【分析】由图可知，这个圆的直径为10cm，根据圆的周长＝，用圆的周长加上10即可求出尺上的圆向右滚动一周后，圆上的箭头落在哪个范围内。 【详解】3.14×10＋10 ＝31.4＋10 ＝41.4（cm） 即尺上的圆向右滚动一周后，圆上的箭头落在40~50之间。 故答案为：C 14. 如图两个正方形的大小相同，两个阴影部分（ ）。 A. 周长相等，面积也相等 B. 周长相等，面积不相等 C. 周长不相等，面积相等 D. 周长不相等，面积也不相等 【答案】C 【解析】 【分析】左边图形阴影部分的周长＝以正方形边长为直径的半圆的周长×2＋两条正方形的边长；右边图形阴影部分的周长＝以正方形边长为直径的四分之一圆的周长×4；左边图形阴影部分的面积＝正方形的面积－以正方形边长为直径的两个半圆的面积之和；右边图形阴影部分的面积＝正方形的面积－以正方形边长为直径的四分之一圆的面积×4，据此判断。 【详解】①比较周长： 以正方形边长为直径的半圆的周长×2＝以正方形边长为直径的圆的周长 因此左边图形阴影部分的周长＝以正方形边长为直径的圆的周长＋两条正方形的边长 以正方形边长为直径的四分之一圆的周长×4＝以正方形边长为直径的圆的周长 因此右边图形阴影部分的周长＝以正方形边长为直径的圆的周长 因为两个正方形的大小相同，即边长相同，所以左边图形阴影部分的周长＞右边图形阴影部分的周长。 ②比较面积： 以正方形边长为直径的两个半圆的面积之和＝以正方形边长为直径的四分之一圆的面积×4，所以左边图形阴影部分的面积＝右边图形阴影部分的面积。 因此两个阴影部分的周长不相等，面积相等。 故答案为：C 三、细心计算。（共34分） 15. 直接写得数。 【答案】；；；； ；；； 16. 计算。（能简算的要简算） 【答案】；； ；0 【解析】 【分析】运用减法的性质简算； 括号前面是减号，去括号后括号里面的减号变加号，连同数字前面的运算符号一起交换数字位置，将同分母分数相结合简算； 括号前面是减号，去括号后括号里面的加号变减号，连同数字前面的运算符号一起交换数字位置，将同分母分数相结合简算； 运用加法交换律和减法的性质简算。 【详解】 17. 解方程。 【答案】；； ； 【解析】 【分析】（1）先把方程化简成，然后方程两边同时除以，求出方程的解； （2）方程两边先同时加上，将方程变成，然后方程两边同时减去，求出方程的解； （3）先把方程化简成，然后方程两边同时减去，再同时除以，求出方程的解； （4）方程两边同时减去，求出方程的解。 【详解】（1） 解： （2） 解： （3） 解： （4） 解： 18. 求阴影部分的面积。（单位：cm） 【答案】263.76cm2 【解析】 【分析】如图所示，圆环的外半径是10cm，内半径是4cm，根据圆环面积公式S＝π（R2－r2），解答即可。 【详解】3.14×（102－42） ＝3.14×（100－16） ＝3.14×84 ＝263.76（cm2） 故阴影部分的面积是263.76cm2。 19. 求阴影部分的面积。（单位：cm） 【答案】10.75cm2 【解析】 【分析】图里空白部分是直径为10cm的半圆，整体是一个长方形，长方形的长等于半圆直径，长方形的宽等于半圆半径，阴影部分面积＝长方形面积－半圆面积，计算即可。 【详解】半圆的半径：10÷2＝5（cm） 长方形面积：10×5＝50（cm2） 空白半圆的面积：（cm2） 阴影面积：50－39.25＝10.75（cm2） 四、阅读探究题。（共5分） 20. 明明把一个圆平均分成16份，拼成一个近似的梯形，根据梯形面积公式推导出了圆的面积公式。你能帮他完成下面的推导过程吗？（在推导过程中，圆的半径用r表示，圆周率用π表示。） 通过观察，可以发现这个梯形的上底＋下底的和是圆周长的（ ），高是（ ）个半径的长。 因为梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，所以圆的面积＝梯形的面积。 ＝（ ）×（ ）÷2 ＝（ ）÷2 ＝πr2 【答案】 ①. 一半 ②. 2 ③. ④. ⑤. 【解析】 【分析】根据题意，把一个半径是r的圆平均分成16份，拼成一个近似的梯形（如上图），观察图形发现，这个梯形的上、下底之和是圆周长的一半，高是2个半径的长，圆的面积与梯形面积相等。根据“梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2”，可以推导出圆的面积公式：。 【详解】通过观察，可以发现这个梯形的上底＋下底的和是圆周长的一半，高是2个半径的长。 因为梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，所以圆的面积＝梯形面积。                     ↓             ↓                ＝（）×2r÷2                ＝÷2                ＝ 五、解决问题。（共26分） 21. 阅读材料，回答问题。 运动软件可以记录用户的配速、心率、卡路里消耗等多项数据，并提供实时音频反馈，用户可以选择开启语音指导，获得实时建议和鼓励。此外，它还提供个性化跑步计划，由专业跑步教练设计，帮助用户提升速度、耐力和跑步技巧。 王老师购买了3根跳绳和一个32元的运动软件年卡会员，一共花了86元。购买一根跳绳需要多少元？ （1）解答这个问题时，小明、小雪、小辉据自己的理解，分别写出了不同的等量关系（如图），（ ）写出的等量关系是正确的。 小明：跳绳的单价×3＋32＝86 小辉：跳绳的单价×3－32＝86 小雪：跳绳的单价×3－86＝32 （2）根据正确的等量关系列方程解答这个问题。 （3）小明和小辉一起做体能训练，小明每隔10分钟完成一组，小辉每隔6分钟完成一组，中午12：45同时完成一组后，下次同时完成一组是几时几分？ （4）小明和爸爸妈妈三人使用同一款运动软件来记录跑步里程，挑战在一个月内跑够一定的里程数，他们决定每隔相同的里程数就在软件上打卡一次，完成他们设定的里程数时正好打最后一次卡。他们每人最少需要打卡几次？ 小明 妈妈 爸爸 挑战里程/千米 45 75 105 【答案】（1）小明 （2） 18元 （3） 13时15分 （4） 小明最少需要打卡3次，妈妈最少需要打卡5次，爸爸最少需要打卡7次。 【解析】 【分析】（1）根据题意，总花费等于3根跳绳的总价加上运动软件年卡会员的费用。据此判断三人谁的等量关系符合题意； （2）设购买一根跳绳需要x元，根据总花费等于3根跳绳的总价加上运动软件年卡会员的费用，列出方程，求解即可； （3）小明和小辉同时完成一组后，下次同时完成一组经过的时间应是10和6的最小公倍数。求出最小公倍数后，从12：45向后推算相应时间； （4）要使每人打卡次数最少，则每次打卡的间隔里程数应尽可能大。间隔里程数应是45、75和105的公因数，最大间隔里程数即为这三个数的最大公因数。分别用各自的挑战里程除以最大公因数，即可求出各自的打卡次数。 【小问1详解】 根据题意，总花费86元由两部分组成：3根跳绳的钱和1个会员的钱。等量关系为：跳绳的单价×3＋会员费＝总花费，代入数值，跳绳的单价×3＋32＝86，对比可知，小明的写出的等量关系是正确的； 【小问2详解】 解：设购买一根跳绳需要x元，根据题意，列方程： 答：购买一根跳绳需要18元。 【小问3详解】 10＝2×5，6＝2×3，10和6的最小公倍数是：2×3×5＝30，即经过30分钟两人再次同时完成一组。 12时45分＋30分＝13时15分 答：下次同时完成一组是13时15分。 【小问4详解】 ，， 45、75和105的最大公因数是3×5＝15，即每隔15千米打卡一次，打卡次数最少。 小明：（次） 妈妈：（次） 爸爸：（次） 答：小明最少需要打卡3次，妈妈最少需要打卡5次，爸爸最少需要打卡7次。 22. 2025年六五环境日的主题为“美丽中国我先行”，五一路小学在这天举办了植树活动，各年级的植树情况如下表所示。 一、二年级 三年级 四年级 五年级 六年级 （ ） （ ） 四、五、六年级植树的棵数占总棵数的 （1）请把表格填写完整。 （2）请你再提出一个数学问题并解答。 【答案】（1） 一、二年级 三年级 四年级 五年级 六年级 四、五、六年级植树的棵数占总棵数的 （2）三年级和四年级的植树棵数共占总棵数的几分之几？（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）一、二年级植树棵数占总棵数的分率＝总棵数单位“1”－三至六年级植树棵数占总棵数的分率之和； 五年级植树棵数占总棵数的分率＝四、五、六年级植树棵数占总棵数的分率－四年级植树棵数占总棵数的分率－六年级植树棵数占总棵数的分率。 （2）根据表格中的数据，可以提出关于两个年级占比之和或差的问题，并利用分数加减法进行解答（答案不唯一）。 【小问1详解】 一、二年级植树棵数占总棵数的分率： 五年级植树棵数占总棵数的分率： 【小问2详解】 问题：三年级和四年级植树棵数占总棵数的几分之几？（问题不唯一） 解答： 答：三年级和四年级的植树棵数占总棵数的。 23. 我国古代数学名著《九章算术》的“方田章”中记载了这样一种求圆环面积的公式，“并中外周而半之，以径乘之为积步”，意思是将外圆和内圆的周长的平均数乘圆环的宽度可以得到圆环的面积。利用这个公式求下面的圆环的面积。并利用我们教材上计算圆环面积的方法验证结果是否正确。 【答案】验算结果正确 【解析】 【分析】根据古代数学计算方法：外圆和内圆的周长的平均数乘圆环的宽度可以得到圆环的面积，先计算外圆和内圆的周长的平均数，再乘圆环的宽度，求出圆环的面积。 教材方法计算：根据圆的周长＝π×半径×2，半径＝周长÷2÷π，代入数据，求出外圆半径和内圆半径，再根据圆环的面积＝π×（大圆半径2－小圆半径2），据此求出圆环面积，再进行比较，即可解答。 【详解】古代数学计算方法： （31.4＋25.12）÷2×1 ＝56.52÷2×1 ＝28.26×1 ＝28.26（平方厘米） 教材方法计算： 31.4÷2÷3.14 ＝15.7÷3.14 ＝5（厘米） 25.12÷2÷3.14 ＝12.56÷3.14 ＝4（厘米） 3.14×（52－42） ＝3.14×（25－16） ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 28.26平方厘米＝28.26平方厘米，验证结果正确。 答：验算结果正确。 24. 新能源电车被认为是未来汽车产业的发展方向，国家通过免征购置税鼓励大家选择更环保的出行方式。如图表示某电车从A站经过B站到达C站，然后又原路返回的行驶情况。去时在B站停车，而返回时不停，去时的车速为0.5千米/分。求电车往返的平均速度。（停车时间除外） 【答案】千米/分钟 【解析】 【分析】根据统计图可知，去时的时间是（10－1）分，速度是0.5千米/分；根据路程＝速度×时间，据此求出A站到C站的路程，再乘2，求出往返总路程；再用去时与返回的时间减去B站停车时间，求出往返总时间，根据速度＝路程÷时间，用往返路程÷往返时间，即可解答。 【详解】0.5×（10－1）×2÷（15－1） ＝0.5×9×2÷14 ＝4.5×2÷14 ＝9÷14 ＝（千米/分钟） 答：电车往返的平均速度是千米/分钟。 第1页/共1页 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