15.3 角的平分线（第2课时）教案 2026-2027学年沪科版八年级数学上册

该教案聚焦角平分线的性质定理及其逆定理，通过复习作角平分线的方法及垂线与角平分线的联系，搭建旧知到新知的学习支架，梳理前后知识脉络。 以“猜想-证明-应用”为主线，通过探究活动培养推理意识，结合几何语言规范表达提升数学语言能力，如证明性质定理及逆定理、探究三角形内角平分线交点，既发展学生逻辑思维，又为教师提供结构化教学流程和实例，助力高效教学。

第十五章 轴对称图形与等腰三角形 3 角的平分线 第2课时 一、教学目标 1.经历探索过程，学会证明角的平分线的性质定理及其逆定理，进一步发展推理证明意识和能力． 2.能够利用角的平分线的性质定理及其逆定理证明相关结论，理解三角形三个内角的平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等. 3.能应用这两个性质解决一些简单的实际问题，增强几何空间意识. 4.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力，感悟逻辑推理在现实生活中的应用价值 . 二、教学重难点 重点：会证明角的平分线的性质定理及其逆定理. 难点：角平分线的性质定理及其逆定理的综合运用. 三、教学过程设计 环节一：情境导入 【复习回顾】 教师活动：教师提出问题，引导学生回答，师生共同回顾、交流，适时做好总结. 问题1：作角平分线的方法有哪几种？ 预设：(1)折纸法；(2)度量法；(3)尺规作图法. 问题2：（1）过直线上一点作已知直线的垂线就是作以已知点为顶点的平角的 . （2）过直线外一点作已知直线的垂线就是作已知直线上一条线段的 . 预设：（1）角平分线；（2）垂直平分线 问题3：你能利用尺规作出角平分线吗? 预设：1. 以O为圆心，任意长为半径画弧分别交OA，OB于点M，N. 2.分别以点M，N为圆心，以大于MN长为半径，在角的内部画弧交于点P. 3.作射线OP，则OP为所要求作的∠AOB的平分线. 学生活动：学生思考并回答. 设计意图：回顾旧知识，通过回答问题，回顾作角平分线的有关知识，自然过渡到下一个环节. 环节二：探究新知 【思考】 教师重视学生的课堂参与，让学生在活动中自主探究以及与同伴交流，有条理的进行思考和表达思考的过程，获得分析问题和解决问题的能力. 提问：如图，OP是∠AOB的平分线，P是OP上的任一点，过点P分别作PC⊥OA，PD⊥OB，点C，D是垂足.你能猜想PC，PD长度间有什么关系吗？ 教师活动：组织学生讨论，鼓励学生找出更多的方法.观察学生的讨论情况，了解存在的共性问题，引导学困小组解决问题. 猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 追问：你能用三角形全等证明PC=PD吗？ 下面我们给出上面“思考”中猜想结论的证明. 证明：∵OP平分∠AOB，(已知) ∴∠AOP=∠BOP.(角平分线定义) 又 ∵PC⊥OA，PD⊥OB，(已知) ∴∠PCO=∠PDO=90°.(垂直的定义) 在△PCO和△PDO中， ∵∠AOP=∠BOP，(已证) ∠PCO=∠PDO，(已证) OP=OP，(公共边) ∴△PCO≌△PDO.(AAS) ∴PC=PD. 学生活动：学生思考并回答. 设计意图：培养学生独立思考能力并运用三角形全等的知识解决问题的能力.让学生体验得到角平分线的性质定理的过程.同时，培养学生严谨、有序的数学思维. 角平分线的性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 几何语言: ∵ OP平分∠AOB， PD ⊥OB，PC ⊥OA， ∴ PD=PC. 教师强调：推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个. 思考：交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？ 角的平分线上的点到角两边的距离相等． 逆命题 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 提问：这是真命题吗？ 已知：如图，PD⊥OB，PC⊥OA，点D、C为垂足，PD＝PC． 求证：点P在∠AOB的平分线上. 证明: ∵ PD⊥OB，PC⊥OA，(已知) 　∴ ∠PDO＝∠PCO＝90°.(垂直定义) 在Rt△PDO和Rt△PCO中 ∴ Rt△PDO≌Rt△PCO(HL). ∴ ∠ POD＝∠POC. (全等三角形对应角相等) ∴点P在∠AOB的平分线上.(角平分线定义) 结论：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 几何语言: ∵点P是∠AOB 内的一点，PD⊥OB于D，PC⊥OA于C，且PD=PC. ∴点P在∠AOB的平分线上， 即OP是∠AOB的平分线. (角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上) 学生活动：学生思考，尝试证明. 设计意图：本环节是在前一部分知识的基础上衍生、演绎出新的结论.学生在教师的引导下进行思维过程的重新整理，进而很自然地阐述角平分线性质定理的逆定理，加深了对数形结合思想与转化思想的理解. 【做一做】 教师活动：参与学生的交流过程，巡视学生做题情况，及时总结，及时纠正. 1.已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.判断下列结论是否正确： (1)DE=DF ( ) (2)BD=CD. ( ) (3)AD上任一点到AB，AC的距离相等 . ( ) (4)AD上任一点到B，C的距离相等. ( ) 答案：(1)√；(2)√；(3)√；(4)√. 2 .已知：如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交CD，CB于点E，F，FG⊥AB，垂足为点G.求证：CE=FG. 【分析】先根据角平分线的性质得出CF=FG，由HL定理得出△ACF≌△AGF，故可得出∠AFC=∠AFG，再由平行线的性质得出∠AFG =∠CEF，故可得出∠CEF=∠AFC，由此可得出结论. 证明：∵AF是∠BAC的平分线， ∠ACB=90°，FG⊥AB，∴ CF=FG. 在Rt△ACF与Rt△AGF中， ∵AF=AF. CF=FG， ∴△ACF≌△AGF( HL ) ∴∠AFC=∠AFG. ∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴CD∥FG， ∴∠AFG=∠CEF， ∴∠CEF=∠AFC ∴CE=CF. ∴CE=FG. 学生活动：学生认真思考，回答问题 设计意图：通过学生快速看题培养学生的应变能力.综合运用知识，巩固本节课的重点知识. 【探究】 活动1： 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 教师活动：巡视学生作三角形角平分线的过程，引导学生发现问题并总结. 发现：三角形的三条角平分线相交于一点. 活动2： 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量每组垂线段，你发现了什么？ 教师活动：巡视学生作三角形三边垂线的过程，引导学生发现问题并总结. 发现：过交点作三角形三边的垂线段的长度相等. 追问：你能证明这个结论吗？ 学生活动：画三角形角平分线，并交流做法. 设计意图：这个过程丰富了学生原有的知识体系，完善了学生的数学认知结构，为新知识的增长提供新的认知基础.同时，学生通过思考，对自己的总结有了一个重新审视的过程，这个过程为今后学生在数学上的发展将起到至关重要的作用. 环节三：应用新知 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再在小组内交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 【例】已知：如图，△ABC中， ∠B的平分线BE与∠C的平分线CF相交于点P. 求证：AP平分∠BAC. 【分析】先过点P分别作PM⊥BC，PN ⊥AC，PQ⊥AB，垂足分别为点 M，N，Q.根据角平分线上的点到角两边的距离相等求得PQ =PM，PN = PM，，然后再利用角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，进而求得结论. 证明: 过点P分别作PM⊥BC，PN ⊥AC，PQ⊥AB，垂足分别为点 M，N，Q. ∵BE是 ∠B的平分线，点P在BE上，(已知) ∴PQ =PM.(角平分线上的点到角两边的距离相等) 同理，PN = PM. ∴PN = PQ.(等量代换) ∴AP 平分∠BAC.(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上) 结论：三角形的三条内角平分线交于一点，这点到三角形三边距离相等. 学生活动：思考问题，尝试回答问题，明确例题的做法. 设计意图：通过对具体实例的分析，既让学生掌握做题技能，又能让学生通过证明加深对角平分线性质定理的认识及理解.并通过例题得出“三角形的三条内角平分线交于一点，这点到三角形三边距离相等”的结论. 环节四：课堂练习 教师活动：教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 1.到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形( ) A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三条边的垂直平分线的交点 D. 三条角平分线的交点 答案：D. 2.如图在四边形ABDC中，∠B=∠D =90o，∠BAC与∠ACD的平分线交于点O，且点O在线段BD上，BD=4，则点O到边AC的距离( ) A.1 B.1.5 C.2 D.3 答案：C 3.如图，∠AOB=50o，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠OCD= . 答案：65 o. 4.如图，△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD＝3 cm，则点D到AB的距离为 cm． 答案：3 5.如图，一所学校在公路的南侧，在河的西岸，学校到公路边与到河沿的距离相等，且与河上公路桥西首的点A 距离为 200 m.请在图上标出学校的位置，并说明理由. 【分析】根据题意作河与公路西南边夹角的平分线即可解决问题. 答案：作河与公路西南边夹角的平分线AC，并在AC上截取AB=1 cm. 理由：∵AC平分河与公路的夹角， ∴ 点B到公路与河的距离相等. ∵ l cm表示实际距离200 m. AB=1 cm， ∴ AB的实际距离为200 m. ∴点B处是学校的位置. 6.如图，△ABC中，AD 平分∠BAC，DE ⊥AB 于点E，DF ⊥AC于点F，BD = CD. 求证:∠B = ∠C. 【分析】由AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF ⊥AC，得出DE=DF.∠DEB=∠DFC=90o，由HL证得Rt△DEB≌Rt△DFC，得出∠B=∠C，即可得出结论. 证明:∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.∠DEB=∠DFC=90°. 在Rt△DEB与Rt△DFC中 ∴Rt△DEB≌Rt△DFC. ( HL ) ∴∠B=∠C. 学生活动：自主完成练习，然后集体交流评价. 设计意图：设置一些难度较低但概念性较强、能考查角平分线性质定理及其逆定理的基础练习，不仅对学生所学新知起到检测作用，有利于知识的掌握与理解，还有利于学生获得成功的体验，激发更佳的学习状态. 环节五：总结归纳 学生活动：学生尝试归纳总结本节所学内容及收获. 设计意图：回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯. 学科网（北京）股份有限公司 $