3.3 轴对称与坐标变化同步讲义 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

本讲义聚焦“轴对称与坐标变化”核心知识点，系统梳理点关于x轴、y轴对称的坐标规律（横坐标不变纵坐标相反，横坐标相反纵坐标不变），延伸至图形关于直线对称（如x=m、y=n）的坐标变换，再到作图步骤（确定对称点、连线）及图案设计，构建递进式学习支架。 资料特色在于结合阅兵飞机队形、剪纸艺术等生活实例培养数学眼光，通过归纳对称规律（如直线对称坐标公式）发展推理意识，借助作图与设计题提升应用意识。课中题型分类清晰助力教学，课后过关验收题帮助学生查漏补缺，强化知识掌握。

第3章 3.3 轴对称与坐标变化 内 容 导 航 题型1 关于x轴、y轴对称的点的坐标 题型2 坐标与图形变化-对称 题型3 作图-轴对称变换 题型4 利用轴对称设计图案 考 点 演 练 题型1 关于x轴、y轴对称的点的坐标 解｜题｜知｜识 （1）关于x轴的对称点的坐标特点： 横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． （2）关于y轴的对称点的坐标特点： 横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 【典例1】2025年9月，中国以一场盛大阅兵，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，阅兵式中多架飞机以轴对称的方式列阵长空（图一）象征着在民族复兴征程上夺取新的伟大胜利．如图二是现场飞机队形简略图，以飞机D、E所在的直线为轴，过点A且垂直于DE的直线为y轴建立平面直角坐标系，若飞机C的坐标为（m，n），则飞机B的坐标为（　　） A．（m，n） B．（﹣m，n） C．（m，﹣n） D．（﹣m，﹣n） 【变式1】剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为（n，2m），其关于y轴对称的点F的坐标为（n﹣4，m+1），则（n﹣m）2024的值为（　　） A．32024 B．﹣1 C．1 D．0 【变式2】在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，2）关于y轴对称点的坐标是（　　） A．（3，2） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣3，﹣2） 【变式3】已知点A（2，a）关于x轴的对称点为点B（b，﹣3），则a+b的值为（　　） A．5 B．1 C．﹣1 D．﹣5 题型2 坐标与图形变化-对称 解｜题｜知｜识 （1）关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数． （2）关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数． （3）关于直线对称 ①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b） ②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b） 【典例1】在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，2），过点A作AB⊥y轴于点B，连接OA，作△ABO关于直线AO的对称图形，得到△AEO，AE交x轴于点F，则点F的坐标为（　　） A． B． C．（3，0） D． 【变式1】剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合，则点A（﹣4，2）关于对称轴对称的点的坐标为（　　） A．（﹣4，﹣2） B．（4，﹣2） C．（4，2） D．（﹣2，﹣4） 【变式2】点（4，5）关于直线x＝﹣1[注：与x轴垂直且过点（﹣1，0）的直线]的对称点为（　　） A．（﹣6，5） B．（4，﹣5） C．（﹣4，5） D．（4，﹣7） 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标（0，3），点B坐标（4，0），将点O沿直线yx+b对折，点O恰好落在∠OAB的平分线上的O'处，则b的值为（　　） A． B． C． D． 题型3 作图-轴对称变换 解｜题｜知｜识 几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是： ①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足； ②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点； ③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． ④作出的垂线为最短路径． 【典例1】下面是四位同学作△ABC关于直线MN的轴对称图形，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C是其中的三个格点．请根据下列要求，完成作图（仅用无刻度的直尺）及填空． （1）画出△ABC关于直线m对称的△A1B1C1； （2）直线m上是否存在点P，使点P到点A，C的距离相等．若存在，请画出点P；若不存在，请说明理由； （3）△ABC的面积为　 　 ，BC边上的高为　 ． 【变式2】在平面直角坐标系中，A（﹣2，2），B（﹣3，0），C（1，﹣3）． （1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1． （2）写出△A1B1C1三点的坐标：A1　 　 ，B1　 　 ，C1　 　 ． （3）△ABC的面积是 ． 【变式3】在如图所示的网格（每个小正方形的边长为1）中，△ABC的顶点A的坐标为（﹣2，1），顶点B的坐标为（﹣1，2）． （1）在网格图中画出两条坐标轴，并标出坐标原点； （2）作△A′B′C′关于x轴对称的图形△A″B″C″； （3）求△ABB''的面积． 题型4 利用轴对称设计图案 解｜题｜知｜识 利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案. 【典例1】斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 过 关 验 收 1．点A（﹣3，2）关于x轴的对称点A′的坐标为（　　） A．（3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣3，2） D．（﹣3，﹣2） 2．已知点P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2025的值为（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．无法确定 3．若点A（2，﹣1）关于x轴对称的点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．将第一象限的“小旗”各点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘以﹣1，符合上述要求的图形是（　　） A． B． C． D． 5．已知点P（m﹣1，n+2）与点Q（2m﹣4，2）关于x轴对称，则（m+n）2021的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．2021 D．﹣2021 6．在平面直角坐标系中，点（﹣4，3）关于x轴对称的点的坐标是　 　 ． 7．已知点M（3，m）与点N（n，4）关于x轴对称，那么m+n＝　 　 ． 8．在平面直角坐标系中，点A（3，a﹣b）与B（2a﹣b，﹣4）关于x轴对称，则　 　 ． 9．对于平面直角坐标系中任一点（a，b），规定以下三种“雅境变换”： ①A（a，b）＝（﹣a，b）．如：A（7，3）＝（﹣7，3）； ②B（a，b）＝（b，a）．如：B（7，3）＝（3，7）； ③C（a，b）＝（﹣a，﹣b）．如：C（7，3）＝（﹣7，﹣3）； 例如：A（B（2，﹣3））＝A（﹣3，2）＝（3，2）． 请回答下列问题： （1）利用“雅境变换”化简：B（﹣2，8）＝　 ；C（6，﹣5）＝　 　 ；A（C（5，﹣3））＝　 　 ； （2）通过以上“雅境变换”得到的坐标叫做“YJ”坐标，规定“YJ”坐标可以进行如下运算： （a，c）+（b，d）＝（a+b，c+d），（a，c）﹣（b，d）＝（a﹣b，c﹣d）； 当（a，c）＝（b，d）时，a＝b且c＝d． ①“YJ”坐标P（x，y）中横坐标为整数，满足： C（A（tx，﹣2））+B（C（﹣2，﹣6））＝（x+4t，y）（常数t为正整数），求存在的点P的坐标． ②“YJ”坐标Q（x，y）在第四象限，满足： A（B（2x，﹣kx））﹣C（A（1+y，﹣2））＝C（B（ky﹣1，﹣1））+A（C（y，x）），当k为正整数时，求点Q的坐标． 10．如图，在下列带有坐标系的网格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，A（﹣3，3），B（﹣4，﹣2），C（0，﹣1）． （1）直接写出△ABC的面积为 ； （2）画出△ABC关于y轴的对称的△DEC（点D与点A对应，点E与点B对应），点E的坐标为 　 　 ； （3）用无刻度的直尺，运用所学的知识作图（保留作图痕迹）． ①作出△ABC的高线AF； ②在边BC上确定一点P，使得∠CAP＝45°． 11．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣4，1），B（﹣3，3），C（﹣2，﹣2）． （1）作出△ABC； （2）作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1； （3）求△A1B1C1的面积． 12．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A坐标为（﹣2，3），顶点B，C均在小正方形的网格点上． （1）作△A1B1C1，使△A1B1C1和△ABC关于y轴对称； （2）分别写出以下顶点的坐标：A1　 　 ；B1　 　 ；C1　 　 ； （3）直接写出△ABC的面积： 　 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点分别在边长为1的格点上． （1）作出△A1B1C1关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标； （2）若在x轴上有一点P，使得线段AP+CP的值最小，请你在图中标出点P的位置． 14．尺规作图：（保留作图痕迹，不要求写作法） 已知直线l及其两侧两点A，B，如图，在直线l上找一点P，使得PA＝PB． 15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2）． （1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1； （2）直接写出点C关于y轴的对称点C2的坐标：　 　 ； （3）在空白处用直尺和圆规作一个角∠MPN，使∠MPN＝∠ABC（注：作图时在原角和新角上必须保留作图痕迹）． 16．如图：在直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2）；C（3，5），请回答下列问题： （1）方格纸中画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1． （2）直接写出A1、B1、C1的坐标．A1（ 　 ）、B1（ 　 ）、C1（ 　 　 ）． （3）若点M（m﹣1，3）与点N（﹣2，n+1）关于x轴对称，直接写出m＝　 　 、n＝　 　 ． （4）若y轴上一点P的坐标为（0，m），当2≤m≤4时，S△PAB＝4，求点P的坐标． 17．在边长为1的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，点A、点B的坐标分别为（2，1），（5，0）． （1）画出△OAB关于x轴对称图形； （2）在平面直角坐标系内找一点D（不与点B重合），使△OAD与△OAB全等，请直接写出所有可能的点D的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 3.3 轴对称与坐标变化 内 容 导 航 题型1 关于x轴、y轴对称的点的坐标 题型2 坐标与图形变化-对称 题型3 作图-轴对称变换 题型4 利用轴对称设计图案 考 点 演 练 题型1 关于x轴、y轴对称的点的坐标 解｜题｜知｜识 （1）关于x轴的对称点的坐标特点： 横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． （2）关于y轴的对称点的坐标特点： 横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 【典例1】2025年9月，中国以一场盛大阅兵，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，阅兵式中多架飞机以轴对称的方式列阵长空（图一）象征着在民族复兴征程上夺取新的伟大胜利．如图二是现场飞机队形简略图，以飞机D、E所在的直线为轴，过点A且垂直于DE的直线为y轴建立平面直角坐标系，若飞机C的坐标为（m，n），则飞机B的坐标为（　　） A．（m，n） B．（﹣m，n） C．（m，﹣n） D．（﹣m，﹣n） 【答案】B 【解答】解：由条件可知C（m，n）， 所以飞机B的坐标为（﹣m，n）， 故选：B． 【变式1】剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为（n，2m），其关于y轴对称的点F的坐标为（n﹣4，m+1），则（n﹣m）2024的值为（　　） A．32024 B．﹣1 C．1 D．0 【答案】C 【解答】解：∵E（n，2m），F（n﹣4，m+1）关于y轴对称， ∴， 解得：， ∴如果图中点E的坐标为（n，2m），其关于y轴对称的点F的坐标为（n﹣4，m+1），则（n﹣m）2024＝（2﹣1）2024＝1， 故选：C． 【变式2】在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，2）关于y轴对称点的坐标是（　　） A．（3，2） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣3，﹣2） 【答案】A 【解答】解：∵点A关于y轴对称对称点的横坐标为：﹣（﹣3）＝3，纵坐标为：2， ∴点A关于y轴对称点的坐标为（3，2）． 故选：A． 【变式3】已知点A（2，a）关于x轴的对称点为点B（b，﹣3），则a+b的值为（　　） A．5 B．1 C．﹣1 D．﹣5 【答案】A 【解答】解：∵点A（2，a）关于x轴的对称点是B（b，﹣3）， ∴a＝3，b＝2， ∴a+b＝3+2＝5． 故选：A． 题型2 坐标与图形变化-对称 解｜题｜知｜识 （1）关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数． （2）关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数． （3）关于直线对称 ①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b） ②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b） 【典例1】在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，2），过点A作AB⊥y轴于点B，连接OA，作△ABO关于直线AO的对称图形，得到△AEO，AE交x轴于点F，则点F的坐标为（　　） A． B． C．（3，0） D． 【答案】B 【解答】解：过点A作x轴的垂线，垂足为M， 由对称可知， ∠BAO＝∠EAO． ∵点A坐标为（4，2），且AB⊥y轴，AM⊥x轴， ∴OM＝AB＝4，AM＝BO＝2． ∵AB∥x轴， ∴∠BAO＝∠FOA， ∴∠FOA＝∠EAO， ∴FO＝FA， ∴FM＝4﹣OF＝4﹣AF． 在Rt△AFM中， 22+（4﹣AF）2＝AF2， 解得AF， ∴OF＝AF， ∴点F的坐标为（）． 故选：B． 【变式1】剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合，则点A（﹣4，2）关于对称轴对称的点的坐标为（　　） A．（﹣4，﹣2） B．（4，﹣2） C．（4，2） D．（﹣2，﹣4） 【答案】C 【解答】解：由所给图形可知， 此图形关于y轴对称， 所以点A（﹣4，2）关于对称轴对称的点的坐标为（4，2）． 故选：C． 【变式2】点（4，5）关于直线x＝﹣1[注：与x轴垂直且过点（﹣1，0）的直线]的对称点为（　　） A．（﹣6，5） B．（4，﹣5） C．（﹣4，5） D．（4，﹣7） 【答案】C 【解答】解：设点（4，5）关于直线x＝﹣1的对称点为（a，5）， 则4﹣（﹣1）＝﹣1﹣a， 解得a＝﹣6， ∴点（4，5）关于直线x＝﹣1的对称点为（﹣6，5）， 故选：C． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标（0，3），点B坐标（4，0），将点O沿直线yx+b对折，点O恰好落在∠OAB的平分线上的O'处，则b的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：如图，设AE是△AOB的角平分线，过点E作EH⊥AB于H，过点O作OT⊥AB于T，交直线yx+b于J． ∵A（0，3），B（4，0）， ∴OA＝3，OB＝4， ∴AB5，直线AB的解析式为yx+3， ∵AE平分∠OAB，EO⊥OA，EH⊥AB， ∴OE＝EH，设OE＝EH＝a，则BE＝4﹣a，OA＝AH＝3，BH＝2， 在Rt△BHE中，则有a2+22＝（4﹣a）2， 解得a， ∴E（，0）， ∴直线AE的解析式为y＝﹣2x+3， ∵直线解析式为yx+b对折，AB的解析式为yx+3， ∴这条直线平行AB，点O′在直线OT上， ∵直线OT的解析式为tx， 由，解得， ∴O′（，）， ∵OJ＝JO′， ∴J（，）， 则有b， 解得b． 故选：D． 题型3 作图-轴对称变换 解｜题｜知｜识 几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是： ①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足； ②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点； ③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． ④作出的垂线为最短路径． 【典例1】下面是四位同学作△ABC关于直线MN的轴对称图形，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：作△ABC关于直线MN的轴对称图形正确的是B选项， 故选：B． 【变式1】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C是其中的三个格点．请根据下列要求，完成作图（仅用无刻度的直尺）及填空． （1）画出△ABC关于直线m对称的△A1B1C1； （2）直线m上是否存在点P，使点P到点A，C的距离相等．若存在，请画出点P；若不存在，请说明理由； （3）△ABC的面积为　7　 ，BC边上的高为　　 ． 【答案】（1） （2） （3）7；． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）如图，作线段AC的垂直平分线交直线m于点P， 则点P即为所求． （3）△ABC的面积为． 由勾股定理可得，， 设BC边上的高为h， ∴， ∴h， 即BC边上的高为． 故答案为：7；． 【变式2】在平面直角坐标系中，A（﹣2，2），B（﹣3，0），C（1，﹣3）． （1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1． （2）写出△A1B1C1三点的坐标：A1　（2，2）　 ，B1　（3，0）　 ，C1　（﹣1，﹣3）　 ． （3）△ABC的面积是 　　 ． 【答案】（1）见解析； （2）（2，2），（3，0），（﹣1，﹣3）； （3）． 【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求； （2）A1（2，2），B1（3，0），C1（﹣1，﹣3）， 故答案为：（2，2），（3，0），（﹣1，﹣3）； （3）S△ABC＝4×5， 故答案为：． 【变式3】在如图所示的网格（每个小正方形的边长为1）中，△ABC的顶点A的坐标为（﹣2，1），顶点B的坐标为（﹣1，2）． （1）在网格图中画出两条坐标轴，并标出坐标原点； （2）作△A′B′C′关于x轴对称的图形△A″B″C″； （3）求△ABB''的面积． 【答案】（1）（2）作图见解析部分； （3）3． 【解答】解：（1）如图，平面直角坐标系如图所示： （2）如图，△A″B″C″即为所求； （3）S△ABB″＝3×41×13×32×4＝3． 题型4 利用轴对称设计图案 解｜题｜知｜识 利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案. 【典例1】斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，故本选项符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 过 关 验 收 1．点A（﹣3，2）关于x轴的对称点A′的坐标为（　　） A．（3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣3，2） D．（﹣3，﹣2） 【答案】D 【解答】解：点A（﹣3，2）关于x轴的对称点A′的坐标为：（﹣3，﹣2）． 故选：D． 2．已知点P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2025的值为（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．无法确定 【答案】B 【解答】解：由条件可知， 解得， ∴（a+b）2025＝（3﹣4）2025＝（﹣1）2025＝﹣1， 故选：B． 3．若点A（2，﹣1）关于x轴对称的点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解答】解：∵已知点A（2，﹣1），关于x轴对称的点的坐标：横坐标保持2不变，纵坐标﹣1的相反数是1， ∴对称点的坐标为（2，1）， ∴点（2，1）的横坐标和纵坐标都是正数，符合第一象限的坐标特征； 故选：A． 4．将第一象限的“小旗”各点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘以﹣1，符合上述要求的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵第一象限的“小旗”各点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘以﹣1， ∴所得小旗的点与原来的小旗的点关于x轴对称， 故选：B． 5．已知点P（m﹣1，n+2）与点Q（2m﹣4，2）关于x轴对称，则（m+n）2021的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．2021 D．﹣2021 【答案】B 【解答】解：∵P（m﹣1，n+2）与点Q（2m﹣4，2）关于x轴对称， ∴， 解得m＝3，n＝﹣4， ∴（m+n）2021＝（3﹣4）2021＝﹣1． 故选：B． 6．在平面直角坐标系中，点（﹣4，3）关于x轴对称的点的坐标是　（﹣4，﹣3）　 ． 【答案】（﹣4，﹣3）． 【解答】解：根据横坐标不变，纵坐标互为相反数可知： 点（﹣4，3）关于x轴对称的点的坐标（﹣4，﹣3）， 故答案为：（﹣4，﹣3）． 7．已知点M（3，m）与点N（n，4）关于x轴对称，那么m+n＝　﹣1　 ． 【答案】﹣1 【解答】解：∵点M（3，m）与点N（n，4）关于x轴对称， ∴n＝3，m＝﹣4， ∴m+n＝﹣4+3＝﹣1． 故答案为：﹣1． 8．在平面直角坐标系中，点A（3，a﹣b）与B（2a﹣b，﹣4）关于x轴对称，则　　 ． 【答案】 【解答】解：∵点A（3，a﹣b）与B（2a﹣b，﹣4）关于x轴对称， ∴， 解得：， 则． 故答案为：． 9．对于平面直角坐标系中任一点（a，b），规定以下三种“雅境变换”： ①A（a，b）＝（﹣a，b）．如：A（7，3）＝（﹣7，3）； ②B（a，b）＝（b，a）．如：B（7，3）＝（3，7）； ③C（a，b）＝（﹣a，﹣b）．如：C（7，3）＝（﹣7，﹣3）； 例如：A（B（2，﹣3））＝A（﹣3，2）＝（3，2）． 请回答下列问题： （1）利用“雅境变换”化简：B（﹣2，8）＝　（8，﹣2）　 ；C（6，﹣5）＝　（﹣6，5）　 ；A（C（5，﹣3））＝　（5，3）　 ； （2）通过以上“雅境变换”得到的坐标叫做“YJ”坐标，规定“YJ”坐标可以进行如下运算： （a，c）+（b，d）＝（a+b，c+d），（a，c）﹣（b，d）＝（a﹣b，c﹣d）； 当（a，c）＝（b，d）时，a＝b且c＝d． ①“YJ”坐标P（x，y）中横坐标为整数，满足： C（A（tx，﹣2））+B（C（﹣2，﹣6））＝（x+4t，y）（常数t为正整数），求存在的点P的坐标． ②“YJ”坐标Q（x，y）在第四象限，满足： A（B（2x，﹣kx））﹣C（A（1+y，﹣2））＝C（B（ky﹣1，﹣1））+A（C（y，x）），当k为正整数时，求点Q的坐标． 【答案】（1））（8，﹣2）．（﹣6，5）．）（5，3）． （2）①P（2，4）或（3，4）． ②Q（）． 【解答】解：（1）B（﹣2，8）＝（8，﹣2）． C（6，﹣5）＝（﹣6，5）． A（C（5，﹣3））＝A（﹣5，3）＝（5，3）． 故答案为：（8，﹣2）．（﹣6，5）．）（5，3）． （2）①∵C（A（tx，﹣2））+B（c（﹣2，﹣6））＝（x+4t，y）． ∴（6+tx，4）＝（x+4t，y）． ∴6+tx＝x+4ty＝4． ． ∵x是整数，t为正整数． ∴t﹣1＝1或2． 解得 t＝2或t＝3． ∴P（2，4）或（3，4）． ②∵A（B（2x，﹣kx））﹣C（A（1+y，﹣2））＝C（B（ky﹣1，﹣1））+A（C（y，x）） ∴A（﹣kx，2x）﹣C（﹣1﹣y，﹣2）＝C（﹣1，ky﹣1）+A（﹣y，﹣x）， ∴（kx，2x）﹣（1+y，2）＝（1，﹣ky+1）+（y，﹣x）， ∴（kx﹣1﹣y，2x﹣2）＝（1+y，﹣ky+1﹣x）． ∵（a，c）＝（b，d） 时，a＝b且c＝d， ∴kx﹣1﹣y＝1+y，2x﹣2＝﹣ky+1﹣x， ∵坐标P（x，y）在第四象限， ∴x＞0，y＜0， ∴2k+6＞0，3k﹣6＜0， ∴﹣3＜k＜2， ∵k是正整数， ∴k＝1． ∴x，y． ∴． 10．如图，在下列带有坐标系的网格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，A（﹣3，3），B（﹣4，﹣2），C（0，﹣1）． （1）直接写出△ABC的面积为 　　 ； （2）画出△ABC关于y轴的对称的△DEC（点D与点A对应，点E与点B对应），点E的坐标为 　（4，﹣2）　 ； （3）用无刻度的直尺，运用所学的知识作图（保留作图痕迹）． ①作出△ABC的高线AF； ②在边BC上确定一点P，使得∠CAP＝45°． 【答案】（1）； （2）作图见解析部分，E（4，﹣2）； （3）①②作图见解析部分． 【解答】解：（1）S△ABC＝4×51×51×43×4， 故答案为：； （2）如图，△DEC即为所求，E（4，﹣2）， 故答案为：（4，﹣2）； （3）①如图，线段AF即为所求． ②如图，点P即为所求． 11．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣4，1），B（﹣3，3），C（﹣2，﹣2）． （1）作出△ABC； （2）作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1； （3）求△A1B1C1的面积． 【答案】（1）（2）见解析； （3）3.5． 【解答】解（1）如图，△ABC 即为所求； （2）如图，△A1B1C1 即为所求； （3）△A1B1C1的面积＝2×51×52×31×2＝3.5． 12．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A坐标为（﹣2，3），顶点B，C均在小正方形的网格点上． （1）作△A1B1C1，使△A1B1C1和△ABC关于y轴对称； （2）分别写出以下顶点的坐标：A1　（2，3）　 ；B1　（3，﹣1）　 ；C1　（6，5）　 ； （3）直接写出△ABC的面积：　9　 ． 【答案】（1）． （2）（2，3），（3，﹣1），（6，5）； （3）9； 【解答】解：（1）△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1如图所示． （2）由图可知：A1（2，3）；B1（3，﹣1）；C1（6，5）； 故答案为：（2，3），（3，﹣1），（6，5）． （3）△ABC的面积为（4+6）×41×43×6＝9， 故答案为：9． 13．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点分别在边长为1的格点上． （1）作出△A1B1C1关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标； （2）若在x轴上有一点P，使得线段AP+CP的值最小，请你在图中标出点P的位置． 【答案】（1） 点A1的坐标为（4，3），点B1的坐标为（﹣3，0），点C1的坐标为（2，5）； （2） ． 【解答】解：（1）作出△A1B1C1关于y轴的对称图形△A1B1C1，如图， 点A1的坐标为（4，3），点B1的坐标为（﹣3，0），点C1的坐标为（2，5）； （2）作点C关于x轴的对称点C2，连接AC2交x轴于P，如图．． 14．尺规作图：（保留作图痕迹，不要求写作法） 已知直线l及其两侧两点A，B，如图，在直线l上找一点P，使得PA＝PB． 【答案】 【解答】解：如图，作AB的垂直平分线交直线l于P点，点P即为所作， 15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2）． （1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1； （2）直接写出点C关于y轴的对称点C2的坐标：　（1，2）　 ； （3）在空白处用直尺和圆规作一个角∠MPN，使∠MPN＝∠ABC（注：作图时在原角和新角上必须保留作图痕迹）． 【答案】（1）△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，如图1即为所求； （2）（1，2）； （3）使∠MPN＝∠ABC的∠MPN，如图2即为所求． 【解答】解：（1）△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，如图1即为所求； （2）C（1，2）；理由如下： 由轴对称的性质得：点C关于y轴的对称点C2的坐标为（1，2）， 故答案为：（1，2）； （3）使∠MPN＝∠ABC的∠MPN，如图2即为所求． 16．如图：在直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2）；C（3，5），请回答下列问题： （1）方格纸中画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1． （2）直接写出A1、B1、C1的坐标．A1（ 　1，﹣4　 ）、B1（ 　4，﹣2　 ）、C1（ 　3，﹣5　 ）． （3）若点M（m﹣1，3）与点N（﹣2，n+1）关于x轴对称，直接写出m＝　﹣1　 、n＝　﹣4　 ． （4）若y轴上一点P的坐标为（0，m），当2≤m≤4时，S△PAB＝4，求点P的坐标． 【答案】（1）见解答； （2）1，﹣4；4，﹣2；3，﹣5； （3）﹣1；﹣4； （4）（0，2）． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）由图可得，A1（1，﹣4），B1（4，﹣2），C1（3，﹣5）． 故答案为：1，﹣4；4，﹣2；3，﹣5． （3）∵点M（m﹣1，3）与点N（﹣2，n+1）关于x轴对称， ∴， 解得， 故答案为：﹣1；﹣4． （4）设点P的坐标为（0，m）， 当2≤m≤4时， S△PAB（1+4）×2（4﹣m）4×（m﹣2）＝4， 解得m＝2， ∴点P的坐标为（0，2）． 17．在边长为1的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，点A、点B的坐标分别为（2，1），（5，0）． （1）画出△OAB关于x轴对称图形； （2）在平面直角坐标系内找一点D（不与点B重合），使△OAD与△OAB全等，请直接写出所有可能的点D的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图所示，△OA′B即为所求； （2）如图所示，△OAD′，△OAD″，△OAD′″即为所求，其中点D的坐标为（﹣1，﹣3）或（3，4）或（﹣3，1）． 学科网（北京）股份有限公司 $