精品解析：广东省2024届高三上学期10月份大联考数学试题

2024届高三年级10月份大联考 数学试题 本试卷共4页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. ，的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 4. 下列函数既是奇函数，又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 5. （ ） A. B. C. D. 6. 碳14是碳元素的一种同位素，具有放射性．活体生物其体内的碳14含量大致不变，当生物死亡后，其组织内的碳14开始衰变并逐渐消失．已知碳14的半衰期为年，即生物死亡年后，碳14所剩质量，其中为活体组织中碳14的质量．科学家一般利用碳14这一特性测定生物死亡年代，2023年科学家发现某生物遗体中碳14含量约为原始质量的倍，依据计算结果可推断该生物死亡的时间约为公元前（参考数据：） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 7. 命题：函数的最大值为，函数的最小值为；命题：的最大值为，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 8. 若函数在区间上恰有个极值点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 若函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 有2个极值点 C. 有1个零点 D. 的一条切线方程为 11. 已知函数，则（ ） A. 若，则 B. 若函数为偶函数，则 C. 若在上单调，则 D. 若时，且在上单调，则 12. 若，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 若满足：，则满足上述条件数列的一个通项公式为________． 14. 已知，，若有且只有3个不同的零点，则的取值范围是_________． 15. 已知矩形和圆的面积相等，周长分别为，，则的取值范围为________． 16. ，为一个有序实数组，表示把A中每个-1都变为，0，每个0都变为，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，例如：，则．定义，，若，中有项为1，则的前项和为________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知集合，． （1）若，求，及； （2）若，求的取值范围． 18. （1）求方程的根； （2）若，，求的取值范围． 19. 已知数列，的前项和分别为，，且满足，，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求的取值范围． 20. 已知，，． （1）求的值； （2）若，求的值． 21. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D是边上一点，，，，且． （1）若，证明：； （2）在（1）的条件下，且，求的值． 22. 已知函数，． （1）函数的导函数是，求证：； （2）若函数在上存在最大值，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024届高三年级10月份大联考 数学试题 本试卷共4页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. ，的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】运用含有量词的命题的否定的性质求解即可. 【详解】由题设知，原命题的否定为：，. 故选：B. 2. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求对数型函数值域可得集合M，结合集合交运算即可求得结果. 【详解】因为，所以定义域为， 所以，即， 所以. 故选：D. 3. 若，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】配凑后运用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，当且仅当，即时取等号. 故选：D. 4. 下列函数既是奇函数，又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用定义法分别判断各选项的奇偶性，并利用导数判断单调性. 【详解】A选项：，则，为偶函数，A选项错误； B选项：，则，为偶函数，B选项错误； C选项：，，为奇函数，又，令，解得，所以函数在和单调递增，在上单调递减，C选项错误； D选项：，，为奇函数，又恒成立，所以函数在上单调递增，D选项正确； 故选：D. 5. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用裂项相消的求和方法，可得答案. 【详解】因为， 所以 ． 故选：C． 6. 碳14是碳元素的一种同位素，具有放射性．活体生物其体内的碳14含量大致不变，当生物死亡后，其组织内的碳14开始衰变并逐渐消失．已知碳14的半衰期为年，即生物死亡年后，碳14所剩质量，其中为活体组织中碳14的质量．科学家一般利用碳14这一特性测定生物死亡年代，2023年科学家发现某生物遗体中碳14含量约为原始质量的倍，依据计算结果可推断该生物死亡的时间约为公元前（参考数据：） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知代入数据，根据指数与对数的运算式化简运算. 【详解】由题意知，所以， 所以， 所以可推断该生物死亡的时间约为公元前年, 故选：A． 7. 命题：函数的最大值为，函数的最小值为；命题：的最大值为，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】取特殊函数方法判断充分必要条件即可. 【详解】设，分别存在最大值和最小值，则的最大值为，所以充分性不成立； 设，，取得最大值为1，但不存在最小值，所以必要性不成立． 故选:D． 8. 若函数在区间上恰有个极值点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角恒等变换化简函数解析式，根据极值点个数列不等式，解不等式. 【详解】由已知，， 当时，， 因为在区间上恰有个极值点， 所以， 所以． 故选：B． 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的单调性分别判断各选项. 【详解】A选项：由可知，又对数函数在上单调递增，所以，A选项正确； B选项： 由于正弦函数在定义域范围内不单调，所以无法判断与的大小； C选项：由在上单调递增，且，所以，C选项正确； D选项：函数在上单调递增，且，则，所以，D选项错误； 故选：AC. 10. 若函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 有2个极值点 C. 有1个零点 D. 的一条切线方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数奇偶性定义判断A选项，根据导函数正负确定函数单调性及极值点判断B,C选项，求导数可得切线斜率再根据点斜式写出切线方程判断D选项. 【详解】A选项，由题意，，故是奇函数，故A正确； 当时，，故此时调递增， 又是奇函数，所以当时，单调递增，在处图象不间断， 因此在上单调递增，且，故有1个零点，无极值点，故B错误，C正确； D选项，由题意设在处的切线斜率，解得， 因此在这两点处的切线方程分别为，，故D正确． 故选:ACD． 11. 已知函数，则（ ） A. 若，则 B. 若函数为偶函数，则 C. 若在上单调，则 D. 若时，且在上单调，则 【答案】BD 【解析】 【分析】将代入求出函数值，根据的范围即可判断选项A；根据偶函数的性质即可判断选项B；根据在上单调，则即可判断选项C；根据整体思想以及正弦函数的性质即可判断选项D. 【详解】对于选项A，若，则，即，∵，∴，则A错误； 对于选项B，若函数为偶函数，则或，即，则B正确； 对于选项C：若在上单调，则，但不一定小于，则C错误； 对于选项D：若，则，当时，，∵在上单调，∴ ，解得，则D正确． 故选：BD． 12. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】应用构造函数，根据函数的单调性判断大小关系. 【详解】，构造函数，，所以在（0，1）单调递增，在单调递减， 所以，，，构造函数，， 因为时，，所以单调递增，所以，所以． 故选:ACD． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 若满足：，则满足上述条件数列的一个通项公式为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，数列单调递减，且，写出符合要求的即可. 【详解】因为，即数列单调递减， 所以满足上述条件数列的一个通项公式可以为． 故答案为：.（答案符合条件即可） 14. 已知，，若有且只有3个不同的零点，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知：与直线有且只有3个不同的交点，结合的图象分析求解. 【详解】令，可得， 若有且只有3个不同的零点，可知与直线有且只有3个不同的交点， 当时，单调递减，且； 当时，单调递减，且； 当时，， 当且仅当时，等号成立； 如图，作出的图象， 由图象可知：的取值范围是． 故答案为：． 15. 已知矩形和圆的面积相等，周长分别为，，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式求取值范围. 【详解】设矩形长为，宽为，设圆的半径为，则， 所以， 当且仅当时，等号成立． 故答案为：． 16. ，为一个有序实数组，表示把A中每个-1都变为，0，每个0都变为，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，例如：，则．定义，，若，中有项为1，则的前项和为________． 【答案】 【解析】 【分析】设中有项为0，其中1和的项数相同都为，由已知条件可得①，②，进而可得③，再结合④可得，分别研究为奇数与为偶数时的通项公式，运用累加法及并项求和即可求得结果. 【详解】因为，依题意得，，， 显然，中有2项，其中1项为，1项为1， 中有4项，其中1项为，1项为1，2项为0， 中有8项，其中3项为，3项为1，2项为0， 由此可得中共有项，其中1和的项数相同， 设中有项为0，所以，， 从而①， 因为表示把A中每个都变为，0，每个0都变为，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组， 则②， ①+②得，③， 所以④， ④-③得，， 所以当为奇数且时， ， 经检验时符合， 所以（为奇数）， 当为偶数时，则为奇数， 又因为， 所以， 所以， 当为奇数时，， 所以的前项和为 . 故答案为：. 【点睛】本题的解题关键是根据题目中集合的变换规则找到递推式，求出通项公式，再利用数列的特征采取分组求和解出. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知集合，． （1）若，求，及； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）运用集合交、并、补运算即可. （2）分别解、、时一元二次不等式的解集，结合集合包含关系求解即可. 【小问1详解】 当时，， 则，，． 【小问2详解】 当时，，显然成立； 当时，，显然不成立； 当时，， 因为，，所以，即此时． 综上，． 故的取值范围为. 18. （1）求方程的根； （2）若，，求的取值范围． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】（1）设，则，解得，再代入求出； （2）设，则对于恒成立，参变分离得到在时恒成立，求出的最大值，即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）设，则，即，得，， 即或，解得或， 所以方程的根为：，． （2）设，因为，则，令，， 由题意可得对于恒成立，即在时恒成立， 而在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取最大值为，所以． 19. 已知数列，的前项和分别为，，且满足，，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用退一相减法结合累乘法可得数列的通项公式； （2）利用错位相减法可得，进而解不等式. 【小问1详解】 由已知，所以， 当时，， 两个等式相减得， 整理可得， 即，，，，，， 等式左右分别相乘可得， 因为，所以， 【小问2详解】 由（1）得，所以①， 所以②， ①②，得， 即， 所以， 则，恒成立， 所以是关于的增函数，且， 所以，所以，即. 20. 已知，，． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式求得，由可得解. （2）由和差公式及同角三角函数基本关系式求得，利用和角公式求. 【小问1详解】 ∵，∴， ∴，， ∵， ∴． 【小问2详解】 ∵， ∴． ∵，， ∴，， 又∵，， ∴． 21. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D是边上一点，，，，且． （1）若，证明：； （2）在（1）的条件下，且，求的值． 【答案】（1） 在中，由正弦定理得，则， 在中，由正弦定理得，则， 因为，所以， 而． 所以，即． （2） 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理得、，根据已知有，将左侧化简整理为，即可证结论； （2）由及余弦定理得到，结合求得，最后应用余弦定理求即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，得，， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 由，， 即，整理得，， 在中，由余弦定理得， ∴，故，即， 所以. 22. 已知函数，． （1）函数的导函数是，求证：； （2）若函数在上存在最大值，求的取值范围． 【答案】（1） 由，得，其中， 要证，即证，即， 设，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 即； （2） 【解析】 【分析】（1）求导，构造函数，利用导数可证，进而可证； （2）二次求导，分情况讨论函数的单调性与最值情况. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，其中， 可得，， 令，可得， ①当时，，在上单调递增，所以， 所以函数在上单调递增，所以函数在上不存在最大值； ②当时，， 可得在上单调递减，所以， 所以函数在上单调递减， 所以函数在上不存在最大值； ③当时，由，可得， 所以当时，，所以在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 因为，所以，又当时，， 所以由零点的存在性定理，存在使得， 所以，当时，，即， 当时，，即， 所以在单调递增，在单调递减， 此时在上存在最大值，符合题意， 综上所述，实数的取值范围是． 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $