第一章 三角形（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 2026-2027学年八年级上册数学第一章“三角形·基础通关”单元卷，融合中考真题与期中检测题，覆盖三角形性质、判定及作图等核心知识，通过基础巩固与探究应用梯度设计，适配单元复习，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|等腰三角形周长（1）、尺规作高（2）、三角形内角和（3）|选用2026年四川、广西等地中考真题，考查基础概念辨析| |填空题|6/18|命题改写（12）、角平分线性质（14）、全等判定条件（15）|结合期中题，强化性质应用与符号表达| |解答题|8/72|作图与面积计算（18）、倍长中线探究（23）、一线三等角模型（24）|设置分层探究题，如“倍长中线”法（23）培养推理能力，模型应用（24）发展创新意识|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第一章 三角形·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2026·四川达州·中考真题）若等腰三角形的底边和腰不等，它的两边长是不等式的正整数解．则等腰三角形的周长为（ ） A．3 B．4 C．5 D．4或5 2．（2026·广西·中考真题）根据下列尺规作图痕迹，可判断所作的是的高的是（ ） A． B． C． D． 3．（2026·四川成都·中考真题）如图，已知，则的度数为（ ） A． B． C． D． 4．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，四边形中，若，则称四边形为筝形．筝形一定具有的性质是（ ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．两组对边分别平行 D．两组对边分别相等 5．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A． B． C． D． 6．下列句子中，属于命题的是（    ） A．垂线段最短 B．作一个角等于已知角 C．将16开平方 D．负数小于正数吗？ 7．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，把一块直角三角板放置在直线、之间，点B、C分别落在直线、上，若，则（） A． B． C． D． 8．在下列条件：①；②；③；④，能确定为直角三角形的条件有（ ） A．1个 B．4个 C．3个 D．2个 9．如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于（ ） A． B． C． D． 10．（2026·湖北·中考真题）如图、在中，，，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧、两弧交于，两点，作直线与边交于点，连接，则的周长是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．命题“同位角相等”的条件是______． 12．把命题“等角的余角相等”改写成：“如果____________，那么____________”． 13．（25-26八年级上·河南三门峡·期中 ）如图，是的两条高，，则___________． 14．（2026·四川凉山·中考真题）如图，点P是的平分线上一点，过点P作交于点C，若，，则点P到的距离的长是_______． 15．（2026·四川达州·中考真题）如图，、．请你添加一个条件________，使得． 16．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，在中，，分别平分，，于点．若，的面积是50，则的周长为____． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（8分）（25-26八年级上·江西宜春·期中）已知，，是的三边长． (1)若，则___________，化简：___________．___________． (2)若，，满足，试判断的形状，并说明理由． 18．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点均在小正方形的顶点上． (1)画出的边上的高． (2)画出的边上的中线． (3)求的面积． 19．（8分）如图，在中，是中线，． (1)求与的周长差； (2)点E在边上，连接．若的周长被分成的两部分的差是，求线段的长． 20．（8分）如图，在中，，． (1)求的度数； (2)平分交于，于点，求的度数． 21．（8分）（2026·四川乐山·中考真题）如图，已知，．求证：． 22．（10分）（25-26八年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，中，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作边的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若（1）中所作的垂直平分线分别交于点，求的度数； (3)在（2）的条件下，若与的周长分别为，试用含的代数式表示的长． 23．（10分）（25-26八年级上·浙江杭州·期中）【探究与发现】 数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图1，已知是的中点，点在上，且．求证：． 小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结．易证，故对应角，所以，因此可得．以上解法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题： (1)【初步感知】请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到，依据是（    ） A．    B．    C．    D． (2)【灵活运用】如图2，是的中线，若，，设，则的取值范围是___________； (3)【拓展延伸】如图3，在中，平分，为的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：． 24．（12分）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现] 如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； [模型应用] 如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． [深入探究] 如图3，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第一章三角形·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.C 2.B 3.C 4.B 5.D 6.A 7.C 8.D 9.B 10.C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.两角是同位角 12.两个角是相等的角的余角 这两个角相等 13. 10 14.1 15.AB=DE(答案不唯一，如∠A=∠D或∠ACB=∠F等)， 1611g03时 三、解答题（共8小题，共72分） 17.(8分) 【详解】(1)解：·a-2+b-3=0, 1/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.a=2,b=3, 则a+b=5: 根据三角形三边关系，a+b>C,a+b-c>0, 则a+b-c=a+b-c=5-c: .b-c-a=b-c+a且a+c>b, ∴.b-a+c<0, .b-c-a)=-b-c-a)=-b+c+a=c-1. 答：5,5-c,c-1. 6分 (2)解：.a-b+b-c=0,且a-b≥0，b-c≥0， a-b=0 可得b-c=0 a=b 解得b=c ∴.a=b=C,△ABC为等边三角形. 答：△ABC为等边三角形. 8分 18.(8分) 【答案】(1) 如图，AD即为所求； 2分 (2) 如图，BE即为所求： E D C B 4分 63)SA=2BC·AD 5×3×4=6, BE为中线， 1 .S△ABE=2 △ABC=3. 8分 2/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.(8分) 【详解】(1)解：△ABD的周长=AB+BD+AD,△ACD的周长=AC+CD+AD, AD是中线， .BD=CD, △ABD与△ACD的周长差：AB+BD+AD-AC+CD+AD=AB-AC=4Cm 2分 (2)解：由图可知：△BDE的周长=BE+BD+DE,四边形ACDE的周长=AE+AC+DC+DE, ①当△BDE的周长-四边形ACDE的周长=2cm时， ,D是BC的中点， .'BD=DC, ..BE+BD+DE-AE+AC+DC+DE=2, .'BE=AE+AC+2, 又，AB=10cm,AC=6cm,BE=AB-AE, ..AE+AC+2=AB-AE, ∴.10-AE=AE+6+2 ∴.AE=1cm; 5分 ②四边形ACDE的周长-△BDE的周长=2cm时， ,D是BC的中点， .BD=DC ..AE+AC+DC+DE-BE+BD+DE=2, ..AE+AC=BE+2. 又，AB=10cm,AC=6cm,BE=AB-AE, ∴.AE+AC=AB-AE+2, .AE+6=10-AE+2 .'.AE=3cm; 综上，线段AE的长为1cm或3cm. 8分 20.(8分) 3/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°， .∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-80°=60°： 3分 (2)解：∠BAC=60°，AE平分∠BAC, ∠BAE=∠CAE=克∠BAC=×60=30 ,AD⊥BC,即∠ADB=90°， ∴.△ABD是直角三角形， .∠BAD=90°-∠B=90°-40°=50°， ,∠BAD=∠BAE+∠EAD, ∴.∠EAD=∠BAD-∠BAE=50°-30°=20°. 8分 21.(8分) 【答案】证明：在△ABC和△ABD中， .'AC=AD,∠CAB=∠DAB,AB=AB, 4分 ∴.△ABC2△ABD|SAS, 6分 .BC=BD. 8分 22.(10分) 【详解】（1)解：如图所示； D B 2分 (2)解：连接AE, 4/8 ©命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (p D △ABC ∠ABC=30°，∠ACB=45° B C 中， ∴.∠BAC=180°-30°-45°=105°， .DE为AB的垂直平分线， ∴.AE=BE, ∴.∠EAB=∠EBA=30°， .∴.∠CAE=∠BAC-∠BAE=105°-30°=75°： 6分 (3)解：，DE是AB的垂直平分线， .∴.AD=BD,BE=AE, ,'△AEC的周长为n, .AC+AE+EC=AC+EC+BE=AC+BC=n, .△ABC的周长为m, .'AC+BC+AB=m, 即n+2AD=m, AD-im 10分 23.(10分) 【详解】(1)解：，E是BC的中点， .BE=CE, 在△ABE和△FCE中， EF=AE ∠AEB=∠FEC BE=CE ∴.△ABE≌△FCE SAS. 故选：B: 2分 (2)解：如图，延长AD至点E,使得AD=ED,连接BE, 5/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,AD是△ABC的中线， ..BD=CD, 在△ADC和△EDB中， AD=ED ∠ADC=∠EDC, DC=BD ∴.△ADC≌△EDB SAS, ∴.AC=BE .AD=x, .'AE=2x, .AB=5,AC=9, ..BE-AB<AE<BE+AB, .9-5<2x<9+5, .4<2x<14, ∴.2<x<7, 故答案为：2<x<7: D B E 6分 (3)证明，如图，延长AE至点H,使得EH=AE,连接CH, ,点E是BC的中点， ∴.BE=CE, 在△ABE和△HCE中， BE=CE ∠AEB=∠CEH, AE=EH .∴△ABE≌△HCESAS, .AB=CH,∠BAE=∠H, 6/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .DE GF, .∠CGF=∠D,∠DAG=∠AGF, .FG平分∠BGC, .∠BGF=∠CGF .∠D=∠DAG, .∠BAE=∠DAG .∠H=∠D, .CD=CH. ∴.AB=CD D H 10分 24.(12分) 【详解】[模型呈现]解：.△ABC≌△DAE, ∴.AC=DE 故答案为：DE! 2分 [模型应用]解：如图2中， E D B 6 ▣ 3 A G 图2 由“K字”模型可知，△EPA≌△AGB,△BGC≌△CHD, .EP=AG=6,PA=BG=3,BG=CH=3,GC=DH=4, .∴.PH=PA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16. '.图中实线所围成的图形的面积=梯形EPHD的面积-△EPE的面积-△ABG的面积-△BGC的面 积-△CHD的面积 7/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =号×16+4×16-2×2×3x6-2××3×4 2 2 =50. 故答案为：50. 6分 [深入探究]证明：如图3，过D作DM⊥AF于M,过E作EN⊥AF于N, 图3 由“K字”模型得：△ABF≌△DAM AAS, .'AF=DM, 同理：AF=EN, ∴.EN=DM, .DM⊥AF,EN⊥AF, ∴.∠GMD=∠GNE=90°， 在△DMG与△ENG中 ∠DGM=∠EGN < DMG=∠ENG, DM=EN ∴.△DMG≌△ENG AAS, ∴.DG=EG, 即点G是DE的中点. 12分 8/8 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第一章 三角形·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2026·四川达州·中考真题）若等腰三角形的底边和腰不等，它的两边长是不等式的正整数解．则等腰三角形的周长为（ ） A．3 B．4 C．5 D．4或5 【答案】C 【分析】先解一元一次不等式得到正整数解，再结合等腰三角形底边与腰不等的条件，分情况讨论，根据三角形三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长得到答案． 【详解】解：解不等式，移项得． ．不等式的正整数解为和． 等腰三角形的底边和腰不等，三边长可能为和， 分两种情况讨论：①若腰长为，底边长为，三边长为． ，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去． ②若腰长为，底边长为，三边长为，满足三角形三边关系， 此时周长为． 因此等腰三角形的周长为， 故选C． 2．（2026·广西·中考真题）根据下列尺规作图痕迹，可判断所作的是的高的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据每个选项的尺规作图痕迹逐选项即可判断． 【详解】解：由尺规作图的作图痕迹，可判断： A．作的是的角平分线，是的角平分线，不符合题意； B． 作的是，是的高，符合题意； C． 作的是边上的垂直平分线，是的中线，不符合题意； D． 作的是，不是的高，不符合题意． 3．（2026·四川成都·中考真题）如图，已知，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得出，再根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 4．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，四边形中，若，则称四边形为筝形．筝形一定具有的性质是（ ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．两组对边分别平行 D．两组对边分别相等 【答案】B 【分析】连接，交于点，利用线段垂直平分线的判定定理即可得出结论. 【详解】解：连接，交于点， ∵， ∴， ∴正确，错误. 5．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形任意两边之和大于第三边逐项分析即可得解，熟练掌握三角形三边关系的应用是解此题的关键． 【详解】解：选项A：，则不能组成三角形，故本选项不符合题意； 选项B：，则不能组成三角形，故本选项不符合题意； 选项C：，则不能组成三角形，故本选项不符合题意； 选项D：，则能组成三角形，故本选项符合题意； 故选：D 6．下列句子中，属于命题的是（    ） A．垂线段最短 B．作一个角等于已知角 C．将16开平方 D．负数小于正数吗？ 【答案】A 【分析】本题主要考查命题，熟练掌握命题的定义是解题的关键；命题是能判断真假的陈述句；选项A是陈述句且为真；选项B和C是操作指令，不是陈述句；选项D是疑问句，不是陈述句． 【详解】解：∵命题是能判断真假的陈述句， ∴A.“垂线段最短”是陈述句，且为真； B.“作一个角等于已知角”是操作指令，不是陈述句； C.“将16开平方”是操作指令，不是陈述句； D.“负数小于正数吗？”是疑问句，不是陈述句； 故选：A． 7．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，把一块直角三角板放置在直线、之间，点B、C分别落在直线、上，若，则（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质以及直角三角形两锐角互余的性质，建立角度之间的等量关系进行求解． 【详解】解：∵， ∴， 由图可知，， ∴， ∵为直角三角板，， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．在下列条件：①；②；③；④，能确定为直角三角形的条件有（ ） A．1个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】此题主要考查了直角三角形的判定，关键是掌握三角形内角和为．利用三角形内角和定理，判断每个条件是否能使三角形有一个角为． 【详解】解：①，则，是直角三角形； ②：：：：，则，，由三角形内角和定理，得，解得，，于是有，是直角三角形； ③，则由三角形内角和定理，得，解得，，则，不是直角三角形； ④，不是直角三角形，是等边三角形， 能确定是直角三角形的条件有个， 故选：D． 9．如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的面积、中线，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键． 根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”得到阴影部分的面积与的面积的数量关系，从而求出的面积． 【详解】解：如图，点F是的中点， ∴的底是，的底是，即，而高相等， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ， ∴，即阴影部分的面积为． 故选：B． 10．（2026·湖北·中考真题）如图、在中，，，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧、两弧交于，两点，作直线与边交于点，连接，则的周长是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用垂直平分线的性质把的长替换成的长求解即可． 【详解】解：由题意得垂直平分， ， ，， 的周长为． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．命题“同位角相等”的条件是______． 【答案】两角是同位角 【分析】本题主要考查了命题的定义，命题“同位角相等”是省略形式，可转化为“如果两角是同位角，那么它们相等”的标准命题形式，从而确定条件部分． 【详解】解：命题“同位角相等”的完整表述是“如果两个角是同位角，那么这两个角相等”，其中“如果”后面的部分是条件，即“两个角是同位角”，简写为“两角是同位角”． 故答案为：两角是同位角． 12．把命题“等角的余角相等”改写成：“如果____________，那么____________”． 【答案】 两个角是相等的角的余角 这两个角相等 【分析】本题考查了命题的改写，将命题改写成“如果…那么…”形式，需明确题设和结论，“如果”后接题设，“那么”后接结论． 【详解】解：命题“等角的余角相等”中，“等角的余角”是题设；“相等”是结论．因此改写成“如果两个角是相等的角的余角，那么这两个角相等”． 故答案为：两个角是相等的角的余角，这两个角相等． 13．（25-26八年级上·河南三门峡·期中 ）如图，是的两条高，，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的面积，解题的关键是掌握等面积法求高． 利用三角形的等面积法求高即可． 【详解】解：根据等面积得，， ∴， 故答案为：． 14．（2026·四川凉山·中考真题）如图，点P是的平分线上一点，过点P作交于点C，若，，则点P到的距离的长是_______． 【答案】1 【分析】根据角平分线定义和平行线性质证得是等腰三角形，求出的长，过点作于点，求出，根据角平分线的性质得出点到的距离． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴,, ∴， 过点作于点， ∴， ∵平分，， ∴, 即点到的距离为1． 15．（2026·四川达州·中考真题）如图，、．请你添加一个条件________，使得． 【答案】（答案不唯一，如或等）． 【分析】根据平行线的性质得出，根据线段的和差关系得出，此时具备了一边一角对应相等，根据全等三角形的判定定理、或添加相应的条件即可． 【详解】解：， ． ， ，即． 若添加， 在和中， ． 若添加 在和中， ． 若添加 在和中， ． 16．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，在中，，分别平分，，于点．若，的面积是50，则的周长为____． 【答案】/ 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解此题的关键．连接，过点O作于点E，作于点F，由角平分线的性质定理可得，，再结合三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：连接，过点O作于点E，作于点F，如图所示： 由，分别平分，，于点，， 故， 故， ， 解得， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）（25-26八年级上·江西宜春·期中）已知，，是的三边长． (1)若，则___________，化简：___________．___________． (2)若，，满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)5，，． (2)为等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查非负数的性质，三角形三边关系和等边三角形的判定，结合“三角形三边关系”，判断绝对值内表达式的正负是解题关键． （1）根据非负数的性质和三角形三边关系去绝对值后计算即可； （2）根据非负数的性质可判断出，进而确定的形状． 【详解】（1）解： ， ，， 则； 根据三角形三边关系，，， 则； 且， ， ． 答：5，，． （2）解： ，且，， 可得， 解得， ，为等边三角形． 答：为等边三角形． 18．（8分）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点均在小正方形的顶点上． (1)画出的边上的高． (2)画出的边上的中线． (3)求的面积． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 如图，即为所求； (3)3 【分析】本题考查画三角形的高线，中线，与三角形的高有关的计算： （1）根据高线的定义，作高即可； （2）取的中点，连接即可； （3）求出的面积，根据中线平分面积求出的面积即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）， ∵为中线， ∴． 19．（8分）如图，在中，是中线，． (1)求与的周长差； (2)点E在边上，连接．若的周长被分成的两部分的差是，求线段的长． 【答案】(1) (2)线段的长为或 【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键． （1）的周长，的周长，由中线的定义可得，即可解答； （2）由图可知三角形的周长，四边形的周长，，进而分当的周长-四边形的周长和四边形的周长-当的周长两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：的周长，的周长， ∵是中线， ∴， 与的周长差： （2）解：由图可知：的周长，四边形的周长， 当的周长-四边形的周长时， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴ ∴； 四边形的周长 的周长时， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴ ∴； 综上，线段的长为或． 20．（8分）如图，在中，，． (1)求的度数； (2)平分交于，于点，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的性质等知识. （1）根据三角形的内角和定理即可求解； （2）根据角平分线可得，由垂直可得是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， ∴； （2）解：，平分， ∴， ∵，即， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴． 21．（8分）（2026·四川乐山·中考真题）如图，已知，．求证：． 【答案】证明：在和中， ，，， ， ． 【分析】利用证明，即可证明． 【详解】略 22．（10分）（25-26八年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，中，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作边的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若（1）中所作的垂直平分线分别交于点，求的度数； (3)在（2）的条件下，若与的周长分别为，试用含的代数式表示的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，尺规作垂线，三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在左侧交于点，在右侧交于点，作直线交，于点，即可； （2）连接，由三角形内角和定理可得，根据为的垂直平分线得到，即可解答； （3）由是的垂直平分线可得，根据三角形的周长可得，即可解答． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：连接， 中，， ， 为的垂直平分线， ， ， ； （3）解：是的垂直平分线， ， 的周长为， ， 的周长为， ， 即， ． 23．（10分）（25-26八年级上·浙江杭州·期中）【探究与发现】 数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图1，已知是的中点，点在上，且．求证：． 小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结．易证，故对应角，所以，因此可得．以上解法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题： (1)【初步感知】请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到，依据是（    ） A．    B．    C．    D． (2)【灵活运用】如图2，是的中线，若，，设，则的取值范围是___________； (3)【拓展延伸】如图3，在中，平分，为的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：． 【答案】(1)B； (2)； (3)见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系，三角形的中线的性质，勾股定理． （1）根据题干证明即可； （2）延长至点，使得，连接，根据中线的性质，全等三角形的判定和性质，则，可得，根据三角形三边的关系，可，即可； （3）延长至点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，则，根据平行线的性质，则，，根据角平分线的性质，可得，根据等量代换，等角对等边，即可证明． 【详解】（1）解：∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：B； （2）解：如图，延长至点，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）证明，如图，延长至点，使得，连接， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．（12分）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现] 如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； [模型应用] 如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． [深入探究] 如图3，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点． 【答案】[模型呈现]； [模型应用]； [深入探究]证明：如图3，过作于，过作于， 由“字”模型得：， ， 同理：， ， ，， ， 在与中 ， ， 即点是的中点． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握“K字”模型全等是解题的关键； [模型呈现]根据题意可直接进行求解； [模型应用] 由“字”模型可知，，，则有，，，，然后根据割补法求面积即可； [深入探究] 过作于，过作于，由“字”模型得：，则有，然后可证，进而问题可求解． 【详解】[模型呈现]解：， ． 故答案为：． [模型应用]解：如图2中， 由“字”模型可知，，， ，，，， ， 图中实线所围成的图形的面积梯形的面积的面积的面积的面积的面积 ． 故答案为：50． [深入探究]略 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第一章 三角形·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2026·四川达州·中考真题）若等腰三角形的底边和腰不等，它的两边长是不等式的正整数解．则等腰三角形的周长为（ ） A．3 B．4 C．5 D．4或5 2．（2026·广西·中考真题）根据下列尺规作图痕迹，可判断所作的是的高的是（ ） A． B． C． D． 3．（2026·四川成都·中考真题）如图，已知，则的度数为（ ） A． B． C． D． 4．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，四边形中，若，则称四边形为筝形．筝形一定具有的性质是（ ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．两组对边分别平行 D．两组对边分别相等 5．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A． B． C． D． 6．下列句子中，属于命题的是（    ） A．垂线段最短 B．作一个角等于已知角 C．将16开平方 D．负数小于正数吗？ 7．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，把一块直角三角板放置在直线、之间，点B、C分别落在直线、上，若，则（） A． B． C． D． 8．在下列条件：①；②；③；④，能确定为直角三角形的条件有（ ） A．1个 B．4个 C．3个 D．2个 9．如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于（ ） A． B． C． D． 10．（2026·湖北·中考真题）如图、在中，，，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧、两弧交于，两点，作直线与边交于点，连接，则的周长是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．命题“同位角相等”的条件是______． 12．把命题“等角的余角相等”改写成：“如果____________，那么____________”． 13．（25-26八年级上·河南三门峡·期中 ）如图，是的两条高，，则___________． 14．（2026·四川凉山·中考真题）如图，点P是的平分线上一点，过点P作交于点C，若，，则点P到的距离的长是_______． 15．（2026·四川达州·中考真题）如图，、．请你添加一个条件________，使得． 16．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，在中，，分别平分，，于点．若，的面积是50，则的周长为____． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）（25-26八年级上·江西宜春·期中）已知，，是的三边长． (1)若，则___________，化简：___________．___________． (2)若，，满足，试判断的形状，并说明理由． 18．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点均在小正方形的顶点上． (1)画出的边上的高． (2)画出的边上的中线． (3)求的面积． 19．（8分）如图，在中，是中线，． (1)求与的周长差； (2)点E在边上，连接．若的周长被分成的两部分的差是，求线段的长． 20．（8分）如图，在中，，． (1)求的度数； (2)平分交于，于点，求的度数． 21．（8分）（2026·四川乐山·中考真题）如图，已知，．求证：． 22．（10分）（25-26八年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，中，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作边的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若（1）中所作的垂直平分线分别交于点，求的度数； (3)在（2）的条件下，若与的周长分别为，试用含的代数式表示的长． 23．（10分）（25-26八年级上·浙江杭州·期中）【探究与发现】 数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图1，已知是的中点，点在上，且．求证：． 小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结．易证，故对应角，所以，因此可得．以上解法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题： (1)【初步感知】请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到，依据是（    ） A．    B．    C．    D． (2)【灵活运用】如图2，是的中线，若，，设，则的取值范围是___________； (3)【拓展延伸】如图3，在中，平分，为的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：． 24．（12分）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现] 如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； [模型应用] 如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． [深入探究] 如图3，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $