1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定（教学设计）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦全称量词命题和存在量词命题的否定，通过“乌鸦都是黑色的”生活情境导入，纠正“所有都不是”的错误认知，衔接上节课量词概念，搭建从具体到抽象的学习支架。 特色是结合实例归纳“改变量词，否定结论”规则，培养逻辑推理素养，情境导入体现用数学眼光观察现实，含参问题练习提升数学语言表达能力。帮助学生形成严谨推理习惯，为教师提供清晰教学流程和实例支撑。

1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定教学设计 课题 全称量词命题和存在量词命题的否定 单元 第一章集合与常用逻辑用语 学科 高中数学 （人教版） 年级 高一 学习目标 1、掌握全称量词命题、存在量词命题的否定形式，能写出两类命题的否定并判断真假，理解命题否定的规律，发展逻辑推理素养。 2、通过对比、归纳探究命题否定改写规则，区分原命题与否定命题真假关系，熟练完成自然语言与数学命题的转化，提升归纳辨析能力。 3、体会逻辑数学语言的严谨规范，养成有理有据、细致严谨的推理习惯，感受逻辑用语在数学表达中的实用价值。 教材 分析 本节课是人教A版必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》第1.5节的第二课时，是在第一课时学习了全称量词与存在量词的概念、全称量词命题与存在量词命题的真假判断的基础上，进一步研究这两类命题的否定。命题的否定是逻辑用语中的核心概念之一，全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，这种量词互换、结论否定的规则体现了数学逻辑的严密性和对称美。本节课通过生活情境引入命题否定的概念，再通过对比归纳探究两类命题否定的改写规则，最后应用于真假判断和含参问题求解。命题否定的思想在后续学习逻辑用语中的"非"运算、反证法、集合补集运算等知识中有广泛应用，对培养学生的逻辑推理和数学抽象素养具有重要作用。 学情 分析 学生已在第一课时学习了全称量词与存在量词的概念，掌握了全称量词命题（）和存在量词命题（）的表述形式及真假判断方法，具备了基本的逻辑推理能力。同时，学生在初中阶段已接触过命题的否定，但尚未形成严格的逻辑定义。学生在学习本节课时可能存在以下困难：一是容易将命题的否定与命题的否命题混淆，误认为"全称量词命题的否定"只是简单地在结论前加"不"；二是在否定全称量词命题时，容易遗漏量词的转换——全称量词应变为存在量词，而非仅否定结论；三是在含参问题中，利用命题否定的真假关系求参数范围时，转化方向容易出错——需明确"原命题为假⇔否定为真"的等价关系，需要通过具体实例逐步突破。 教学 重点 掌握全称、存在量词命题否定改写规则，分清量词互换与结论否定，能准确写出两类命题的否定并判断真假。 教学 难点 易混淆仅否定结论与完整否定形式，复杂条件命题改写易漏改量词，区分原命题与否定命题真假对立关系。 教学 准备 多媒体课件（PPT） 教学过程 教学 环节 教师活动 学生活动 新课 引入 【情境导入 激发思考】 教师PPT呈现情境（PPT呈现）： 情境1：命题"所有的乌鸦都是黑色的"。 问题1：它的否定是"所有的乌鸦都不是黑色的"吗？ 教师追问：什么是命题的否定？我们如何对一个命题进行否定呢？一个命题和它的否定之间是什么关系呢？ 教师引导学生思考：以"56是7的倍数"为例，它的否定是"56不是7的倍数"。 【回顾旧知 提出课题】 教师引导：上节课我们学习了全称量词与存在量词，掌握了全称量词命题和存在量词命题的概念及真假判断。 那么对于这两类命题，我们如何对它们进行否定呢？否定后又是什么类型的命题？原命题和它的否定之间在真假上有什么关系？ 教师揭示课题：今天我们就来学习全称量词命题和存在量词命题的否定——这就是本节课的研究主题。 设计意图：通过"乌鸦"生活情境引发学生对命题否定的思考，纠正"全称否定"的错误认知，自然引出命题否定的概念和两类命题否定的课题，激发探究欲望。 1、阅读情境中的命题，思考其否定的正确表述； 2、回顾命题的概念，理解"否定"的含义； 3、对比"所有都是"与"所有都不是"的差异，发现正确否定应为"存在一个不是"； 4、明确本节课的学习目标——命题的否定及两类命题的否定形式，进入探究状态。 新知 探究 · 探究一：全称量词命题的否定 【活动一：命题否定的概念】 教师引导学生回顾"56是7的倍数"与"56不是7的倍数"的关系： ⭐命题的否定：一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定。 记作：，读作"非"。 ⭐重要关系：一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假。 【活动二：全称量词命题的否定】 思考1：写出下列命题的否定： (1) 所有的矩形都是平行四边形； (2) 每一个素数都是奇数； (3) 。 教师引导学生写出否定： (1) 存在一个矩形不是平行四边形； (2) 存在一个素数不是奇数； (3) 。 问题2：这几个原命题是什么类型的命题？它们的否定是什么类型的命题？ 师生共同归纳： 原命题是全称量词命题，它们的否定是存在量词命题。 ⭐全称量词命题的否定规则： 对含有一个量词的全称量词命题进行否定，只需要把"所有的""任意一个"等全称量词，变成"并非所有的""并非任意一个"等短语即可。 即：的否定是。 ⭐口诀：全称量词命题的否定 = 存在量词命题（改变量词，否定结论）。 设计意图：通过具体实例归纳全称量词命题的否定规则，渗透从特殊到一般的归纳思想；强调"改变量词，否定结论"的改写方法，培养逻辑推理能力。 · 探究二：存在量词命题的否定 【活动三：存在量词命题的否定】 思考2：写出下列命题的否定： (1) 存在一个实数的绝对值是正数； (2) 有些平行四边形是菱形； (3) 。 教师引导学生写出否定： (1) 所有实数的绝对值都不是正数； (2) 每一个平行四边形都不是菱形； (3) 。 问题3：这几个原命题是什么类型的命题？它们的否定是什么类型的命题？ 师生共同归纳： 原命题是存在量词命题，它们的否定是全称量词命题。 ⭐存在量词命题的否定规则： 对含有一个量词的存在量词命题进行否定，只需要把"存在一个""至少有一个"等存在量词，变成"不存在一个""没有一个"等短语即可。 即：的否定是 。 ⭐口诀：存在量词命题的否定 = 全称量词命题（改变量词，否定结论）。 【活动四：两类命题否定对比总结】 教师引导学生对比全称量词命题与存在量词命题的否定规则： ⭐全称量词命题的否定： （全称量词变为存在量词，结论取否定） ⭐存在量词命题的否定： （存在量词变为全称量词，结论取否定） ⭐方法总结：全称量词命题和存在量词命题是互为否定的关系。 总结起来就是"改变量词，否定结论"——从集合的角度来看，的范围没有变，只是对结论进行了否定。 ⭐重要关系：一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假。 设计意图：通过与全称量词命题否定的对比，归纳存在量词命题的否定规则，形成"改变量词，否定结论"的统一认知；两类命题互为否定的关系体现了数学逻辑的对称美，培养逻辑推理素养。 1、理解命题否定的概念，记忆符号¬p和"一真一假"的关系； 2、独立写出思考1中命题的否定，与教师板书对照； 3、观察原命题与否定命题的类型变化——全称→存在； 4、跟随教师归纳否定规则，记录"改变量词，否定结论"口诀； 5、独立写出思考2中命题的否定，与教师板书对照； 6、观察原命题与否定命题的类型变化——存在→全称； 7、跟随教师归纳存在量词命题的否定规则，记录口诀； 8、对比两类命题的否定规则，理解"互为否定"的关系； 课堂练习 · 典例精讲 【例3】写出下列全称量词命题的否定： (1)所有能被3整除的整数都是奇数； (2)每一个四边形的四个顶点在同一个圆上； (3)对任意，的个位数字不等于3。 【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，进行否定时，将改为，再对结论进行否定即可。 解： (1)该命题的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数。 (2)该命题的否定：存在一个四边形的四个顶点不在同一个圆上。 (3)该命题的否定：，的个位数字等于3. 【例4】写出下列存在量词命题的否定： (1)； (2)有的三角形是等边三角形； (3)有一个偶数是素数。 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，进行否定时，将改为，再对结论进行否定即可。 解： (1)该命题的否定：。 (2)该命题的否定：所有的三角形都不是等边三角形。 (3)该命题的否定：任意一个偶数都不是素数。 【例5】写出下列命题的否定，并判断真假： (1)任意两个等边三角形都相似； (2)。 解： （1）该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似。 因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都相似。因此这是一个假命题。 （2）该命题的否定：. 因为对任意，所以这是一个真命题。 课堂练习 【题型1：全称量词命题与存在量词命题的否定】 1、全称命题：的否定是（　　） ． ． ． ．以上都不正确 【答案】 2、设，集合为偶数集，若命题，则（　　） ． ． ． ． 【答案】 3、写出下列命题的否定 （1）； （2）任意奇数的平方还是奇数； （3）每个平行四边形都是中心对称图形； （4）. （5）； 解： (1) 。 (2)存在一个奇数，它的平方不是奇数。 (3)存在一个平行四边形不是中心对称图形。 (4). （5）. 【题型2：命题否定的真假判断】 1、写出下列命题的否定，并判断其真假. (1)对于所有的实数方程必有实数根； (2)任意一个实数乘以-1都等于它的相反数； (3)矩形的对角线相等。 解： (1)存在实数使得方程没有实数根.真命题. (2)存在一个实数乘以-1不等于它的相反数.假命题. (3)有的矩形的对角线不相等.假命题. 教师补充以下注意事项： ⭐当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假， ⭐当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真。 2、写出下列命题的否定，并判断真假． （1）正方形都是菱形； （2），使； （3），有； （4）集合是集合或集合的子集． 解：（1）命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题． （2）命题的否定：，有． 因为当时，，所以“有”是假命题． （3）命题的否定：，使． 当时，，所以“，使”是真命题． （4）命题的否定：集合既不是集合的子集也不是集合的子集，假命题． 【题型3：根据命题否定的真假求参数】 1、已知命题“函数的图象和轴至多有一个公共点”是假命题，求实数的取值范围。 解： 全称量词命题“函数的图象和轴至多有一个公共点”的否定形式为“函数的图象和轴有两个公共点”。 由“命题为真，其否定为假；命题为假，其否定为真”可知，这个否定形式的命题是真命题。 由二次函数的图象易知 解得所以实数的取值范围是 2、已知.若的否定为假命题，求实数的取值范围。 解： ∵的否定为假命题，∴为真命题， 即，恒成立。 ∴，恒成立。 易知，的最小值为0，∴， 即实数的取值范围是(－∞，0]. 教师补充以下注意事项： ⭐求解含有量词的命题中参数范围的策略： (1)对于全称量词命题“(或)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值（或最小值），即(或)。 (2)对于存在量词命题“(或)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数的最小值（或最大值），即(或)。 3、已知命题“”为假命题，求实数的取值范围 解： ∵命题“”为假命题， ∴它的否定命题：“”为真命题。 即关于的方程有实数根， 当时，方程化为，显然有解； 当时，应满足解得且； 综上可知，实数的取值范围是 4、已知命题，若的否定为假命题，求实数的取值范围 解：因为的否定为假命题， 所以命题：为真命题， 可化为， 即成立，只需即可， 故实数的取值范围为. (本题也可利用二次函数的图象的顶点在轴上方，转化为对应方程进行解题) 1、例3阶段：独立写出全称量词命题的否定，注意量词转换； 2、例4阶段：独立写出存在量词命题的否定，注意结论否定； 3、例5阶段：先写否定，再判断真假，体会"一真一假"关系； 4、将否定步骤和真假判断方法整理在笔记本上。 5、独立完成题型1，注意量词转换和结论否定； 6、独立完成题型2，利用"一真一假"关系判断真假； 7、独立完成题 型3含参问题，注意转化方向； 8、错题整理：量词遗漏、结论否定不完整、转化方向错误。 课堂 小结 教师引导学生回顾，构建本节知识框架： 一、命题的否定 ·定义：对命题进行否定得到的新命题，记作，读作"非" ·真假关系：原命题与否定命题一真一假 二、全称量词命题的否定： 三、存在量词命题的否定： 两类命题互为否定，量词互换，结论取反 四、真假判断方法 ·利用"一真一假"关系：判断否定真假⇔判断原命题真假取反 ·否定真假不易判断时，转化为判断原命题 五、含参问题的转化 ·为真 ⇔ 恒成立问题（求最值） ·为真 ⇔ 有解问题（求值域） ·命题为假 ⇔ 否定为真 教师强调：命题否定的核心是"改变量词，否定结论"——全称量词命题的否定变为存在量词命题，存在量词命题的否定变为全称量词命题，的范围不变。原命题与否定命题一真一假，利用这一关系可以简化真假判断。含参问题中，要正确区分"恒成立"与"有解"，注意"命题为假⇔否定为真"的转化方向。 1、跟随教师引导，自主口头梳理本节课知识点； 2、独立绘制简易思维导图，梳理两类命题否定规则和真假关系； 3、主动举手分享本节课易错点； 4、完成自我评价：能否独立写出两类命题的否定并判断真假。 作业 布置 1、P28 书后练习第3、4题； 2、P29 习题1.5 第4、5、6题； 3、拓展：已知命题，若为真命题，求实数的取值范围。 记录作业要求，课后独立完成； 拓展题选做，注意为真为假的转化。 板书 设计 第一章 1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定 一、命题的否定：（非） 二、全称量词命题的否定： ( 全称→ 存在) 三、存在量词命题的否定： (存在 → 全称) 四、真假判断：原命题与否定一真一假 五、含参问题转化 ·为真 ⇔ 恒成立（求最值） ·为真 ⇔ 有解（求值域） ·命题为假 ⇔ 否定为真 1/1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $