2.1等式性质与不等式性质（第1课时）（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦等式与不等式性质，通过生活中高矮、限速等不等关系情境导入，结合三角形三边关系等实例，引导学生类比等式性质探究不等式性质，搭建从具体到抽象的学习支架，掌握作差比较法等核心方法。 其亮点在于融入赵爽弦图等数学文化，通过类比推理和作差法培养逻辑推理与数学运算素养，如用重要不等式证明及代数式比较实例强化应用。采用情境探究与典例精讲结合，帮助学生构建知识脉络，提升数学抽象能力，也为教师提供系统教学资源。

第一章 集合与常用逻辑用语 2.1等式性质与不等式性质 2.1等式性质与不等式性质（第1课时） 学 习 目 标 1 2 3 梳理等式的基本性质，掌握不等式的八大基本性质，能利用不等式性质比较代数式大小、进行简单变形，培育数学运算核心素养. 通过类比等式性质探究不等式性质，学会作差比较法判断两式大小，体会类比推理、转化化归的数学思想，提升逻辑推理能力. 感受等式与不等式知识的内在关联，体会数学知识的系统性，养成严谨规范的代数变形习惯，体会不等关系在现实生活中的广泛应用. 新课引入 情境1：在自然界和社会生活中，存在着大量的相等关系、不等关系、函数关系。我们曾经用等式（包括方程）刻画一些相等关系，用不等式刻画一些不等关系，用函数刻画一些函数关系，研究了等式、不等式、函数所具有的性质，并应用这些性质去解决问题。 高矮 胖瘦 轻重 长短 （1）某路段限速；； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量应不少于2.3%； （3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 新课引入 设该路段行驶的汽车速度为，则 ， 设三角形三边分别为，则 设是直线外任意一点，是到的垂线段，是直线上任意一点，则 问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ 探究一：不等关系 新知探究 问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？ 元万本 单价提高元销量减少2000本 单价提高元销量减少2万本 解：设提价后每本杂志的单价为元，则销售总收入为万元. 于是，不等关系“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为： ① 探究一：不等关系 新知探究 在数学中，我们用不等式来表示不等关系. 文字语言 数学符号 文字语言 大于 ＞ 大于，高于，超过 小于 ＜ 小于，低于，少于 大于或等于 ≥ 至少，不少于，不低于 小于或等于 ≤ 至多,不多于,不超过 那么我们该如何解不等式呢？对于两个实数的大小关系我们是如何刻画，如何比较的？ 探究一：不等关系 新知探究 形 数 0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标杆”. 如何刻画两个实数,的大小关系？ 典例精讲 例1：比较和的大小 【分析】数字的大小可以通过作差后与0比较，类比我们也可以比较它们的大小。 解： ∵ ∴ 小技巧：作差法比较大小一般步骤： 探究一：不等关系 新知探究 思考1：除了可以通过作差与比较大小来判断大小关系外，还有什么其他的方法吗？ ① ② ③ ① ② ③ 作商法 即时训练 辨析1.设，比较与的大小. 解：由，得，，， 因此， 所以. 小提示：1是相等与不等的分界线，它也为比较实数的大小提供了标杆. 新知探究 思考2：右图是在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？ 探究二：重要不等式 很显然赵爽弦图是我们在初中研究勾股定理时的模型，我们把它抽象成如图所示的图形. 用以证明勾股定理： 即， (1)正方形的面积________； 四个直角三角形的面积和_____; (2) 与有什么样的不等关系，如何表示？ （3）与会出现相等的情况吗，什么时候相等？ 探究二：重要不等式 新知探究 设直角三角形的两直角边分别为,，则 大于，即 A B C D E(FGH) 当时，，即 A B C D E F G H 当时 综上， 将风车图抽象成左图，则 探究二：重要不等式 新知探究 一般地，，有，当且仅当时，等号成立. 问题3：你能证明这个重要不等式吗？ 证明：由完全平方公式可得 因为，，当且仅当时，等号成立， 所以当且仅当时，等号成立. 即时训练 题型1 实际问题的不等关系 2、用一段长为30的篱笆围成一个一遍靠墙的矩形菜园，墙长18，要求矩形菜园的长宽都不能超过11，靠墙的一边长为试用不等式表示其中的不等关系. 解：由于矩形菜园靠墙的一边长为， 这时菜园的另一条边长为 而矩形的长宽都不能超过11， ∴有 即. 即时训练 题型1 实际问题的不等关系 1、用一段长为30的篱笆围成一个一遍靠墙的矩形菜园，墙长18，要求菜园的面积不小于110靠墙的一边长为试用不等式表示其中的不等关系. 解：由于矩形菜园靠墙的一边长为，而墙长为18，∴ 这时菜园的另一条边长为 因此菜园的面积 依题意有即 故该题中的不等式关系表示为 即时训练 题型2 比较大小 1、比较与的大小 解： ∵ ∵ ∴ ∴ 即 作差法比较大小注意： 技巧点拨 1.用作差法比较两个数(式)的大小时,其关键是变形,一般采用配方、因式分解、通分、有理化等手段变形,这样有利于定号.特别是作差后的式子为二次三项式时,常考虑因式分解或配方法变形. 2.注意培养逻辑推理素养和数学运算素养. 即时训练 题型2 比较大小 2、比较和的大小 解： ∵ 当时，，所以 当时，，所以 即时训练 题型2 比较大小 3、 解： 即 所以 即时训练 题型3 不等式的证明 1、 解： 即 同理 即 所以 课堂小结 感谢聆听! $