14.2.5《直角三角形全等的判定》分层作业（基础过关+进阶思维+中考链接）2026-2027学年人教版八年级上数学上册

**基本信息** 人教版八年级上册14.2“直角三角形全等的判定”同步练，分层设计清晰，通过基础巩固、思维进阶、中考衔接三阶路径，强化HL定理及判定方法应用，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关题|HL定理理解、证明及应用（线段/角相等）、一般判定方法选择|以选择、填空、简单证明为主，如HL识别题（题型01）、基础证明题（题型02），夯实概念理解| |进阶思维题|角平分线性质、等腰直角三角形综合应用|含选择（如角平分线距离计算）、填空（如线段和差）、解答题（如等腰三角形三线合一），提升逻辑推理| |中考链接题|中考真题题型（判定依据选择、条件补充、综合证明）|直接对接中考考点，如HL条件添加题、实际应用题，强化应用意识与解题规范|

人教版八年级上册 第14章 全等三角形 14.2全等三角形的判定 第5课时 直角三角形全等的判定 本节知识点总结 1. 直角三角形全等的特殊判定方法——HL： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：HL只适用于直角三角形，对于一般三角形不适用。 2. 一般三角形全等判定方法在直角三角形中的应用： SAS、ASA、AAS、SSS同样适用于直角三角形。 因为直角三角形有一个直角（90°），所以： ① 两条直角边分别相等 → SAS（夹角为直角）； ② 一条直角边和一个锐角分别相等 → ASA或AAS； ③ 斜边和一个锐角分别相等 → AAS； ④ 三边分别相等 → SSS。 3. HL的应用： ① 证明两个直角三角形全等； ② 证明线段相等（全等三角形对应边相等）； ③ 证明角相等（全等三角形对应角相等）。 4. 判定直角三角形全等的方法选择： 已知斜边和一条直角边 → HL； 已知两条直角边 → SAS； 已知斜边和一锐角 → AAS； 已知一直角边和一锐角 → ASA或AAS。 5. 重要提醒： 使用HL时，必须先说明两个三角形是直角三角形，再指出斜边和一条直角边分别相等。 书写格式：在Rt△ABC和Rt△DEF中，AB=DE，BC=EF，∴ Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 HL判定定理的理解与识别 1．（2024-2025八年级上·北京朝阳·期中）下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是（　　） A．一个锐角对应相等 B．两个锐角对应相等 C．一条边对应相等 D．斜边和一条直角边对应相等 【答案】D 【分析】HL判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 【详解】解：A选项，一个锐角对应相等，只能判定两个三角形相似，不能判定全等； B选项，两个锐角对应相等，只能判定相似，不能判定全等； C选项，一条边对应相等，条件不足，不能判定全等； D选项，斜边和一条直角边对应相等，符合HL判定定理，可以判定两个直角三角形全等。 故选：D。 2．（2024秋·上海浦东·单元测）下列说法中，正确的是（　　） A．两条直角边分别相等的两个直角三角形全等（HL） B．斜边和一个锐角分别相等的两个直角三角形全等（AAS） C．一条直角边和一个锐角分别相等的两个直角三角形不全等 D．斜边相等的两个直角三角形全等 【答案】B 【分析】逐项分析各选项所使用的判定方法是否正确。 【详解】解：A选项，两条直角边分别相等，应用SAS判定，不是HL，说法错误； B选项，斜边和一个锐角分别相等，加上直角相等，符合AAS，说法正确； C选项，一条直角边和一个锐角分别相等，加上直角相等，可用ASA或AAS判定全等，说法错误； D选项，只有斜边相等，条件不足，不能判定全等，说法错误。 故选：B。 3．（2024-2025八年级上·广东深圳·月考）如图，在△ABC和△DEF中，∠B=∠E=90°，AC=DF，AB=DE，则判定△ABC≌△DEF的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．HL 【答案】D 【分析】已知两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，应用HL。 【详解】解：∵ ∠B = ∠E = 90°， ∴ △ABC和△DEF都是直角三角形。 在Rt△ABC和Rt△DEF中： AC = DF（斜边相等）， AB = DE（直角边相等）， ∴ Rt△ABC ≌ Rt△DEF（HL）。 故选：D。 4．（2024秋·江苏南京·期中）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，若AB=DE，AC=DF，则Rt△ABC___≌___Rt△DEF，依据是__HL____。 【答案】≌；HL 【分析】斜边和一条直角边分别相等，用HL判定。 【详解】解：∵ ∠C = ∠F = 90°，∴ △ABC和△DEF都是直角三角形。 在Rt△ABC和Rt△DEF中： AB = DE（斜边相等）， AC = DF（直角边相等）， ∴ Rt△ABC ≌ Rt△DEF（HL）。 题型02 利用HL证明直角三角形全等 5．（2024-2025八年级上·浙江杭州·单元测）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD。求证：△ABC≌△BAD。 【答案】证明见详解 【分析】两个三角形都是直角三角形，斜边AB公共，直角边AC=BD，用HL证明。 【详解】证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD， ∴ ∠C = ∠D = 90°，即△ABC和△BAD都是直角三角形。 在Rt△ABC和Rt△BAD中： AB = BA（公共斜边）， AC = BD（已知）， ∴ Rt△ABC ≌ Rt△BAD（HL）。 6．（2024秋·山东济南·月考）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D。求证：Rt△ABD≌Rt△ACD。 【答案】证明见详解 【分析】两个直角三角形斜边AB=AC，直角边AD公共，用HL证明。 【详解】证明：∵ AD⊥BC，∴ ∠ADB = ∠ADC = 90°， 即△ABD和△ACD都是直角三角形。 在Rt△ABD和Rt△ACD中： AB = AC（已知）， AD = AD（公共直角边）， ∴ Rt△ABD ≌ Rt△ACD（HL）。 7．（2024-2025八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知AB=CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，且AE=CF。求证：Rt△ABE≌Rt△CDF。 【答案】证明见详解 【分析】两个直角三角形斜边AB=CD，直角边AE=CF，用HL证明。 【详解】证明：∵ AE⊥BD，CF⊥BD， ∴ ∠AEB = ∠CFD = 90°，即△ABE和△CDF都是直角三角形。 在Rt△ABE和Rt△CDF中： AB = CD（已知斜边相等）， AE = CF（已知直角边相等）， ∴ Rt△ABE ≌ Rt△CDF（HL）。 题型03 利用HL证明线段相等 8．（2024秋·四川成都·单元测）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D。求证：BD=CD。 【答案】证明见详解 【分析】先用HL证明Rt△ABD≌Rt△ACD，再由全等三角形对应边相等得BD=CD。 【详解】证明：∵ AD⊥BC，∴ ∠ADB = ∠ADC = 90°， 即△ABD和△ACD都是直角三角形。 在Rt△ABD和Rt△ACD中： AB = AC（已知）， AD = AD（公共边）， ∴ Rt△ABD ≌ Rt△ACD（HL）。 ∴ BD = CD（全等三角形对应边相等）。 9．（2024-2025八年级上·河北石家庄·月考）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD，AC与BD相交于点O。求证：OC=OD。 【答案】证明见详解 【分析】先用HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD，得BC=AD，再证△AOD≌△BOC得OC=OD。 【详解】证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD，∴ ∠D = ∠C = 90°。 在Rt△ABC和Rt△BAD中： AB = BA（公共斜边）， AC = BD（已知）， ∴ Rt△ABC ≌ Rt△BAD（HL）。 ∴ BC = AD（全等三角形对应边相等）。 在△AOD和△BOC中： ∠D = ∠C（已证）， ∠AOD = ∠BOC（对顶角相等）， AD = BC（已证）， ∴ △AOD ≌ △BOC（AAS）。 ∴ OC = OD（全等三角形对应边相等）。 10．（2024秋·陕西西安·期中）如图，点P在∠AOB的内部，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，PD=PE。求证：OD=OE。 【答案】证明见详解 【分析】连接OP，先用HL证明Rt△OPD≌Rt△OPE，再由对应边相等得OD=OE。 【详解】证明：连接OP。 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，∴ ∠ODP = ∠OEP = 90°， 即△OPD和△OPE都是直角三角形。 在Rt△OPD和Rt△OPE中： OP = OP（公共斜边）， PD = PE（已知）， ∴ Rt△OPD ≌ Rt△OPE（HL）。 ∴ OD = OE（全等三角形对应边相等）。 题型04 利用HL证明角相等 11．（2024-2025八年级上·重庆沙坪坝·单元测）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D。求证：∠BAD=∠CAD。 【答案】证明见详解 【分析】先用HL证明Rt△ABD≌Rt△ACD，再由对应角相等得∠BAD=∠CAD。 【详解】证明：∵ AD⊥BC，∴ ∠ADB = ∠ADC = 90°， 即△ABD和△ACD都是直角三角形。 在Rt△ABD和Rt△ACD中： AB = AC（已知）， AD = AD（公共边）， ∴ Rt△ABD ≌ Rt△ACD（HL）。 ∴ ∠BAD = ∠CAD（全等三角形对应角相等）。 12．（2024秋·辽宁沈阳·月考）如图，点P在∠AOB的内部，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，PD=PE。求证：OP平分∠AOB。 【答案】证明见详解 【分析】先用HL证明Rt△OPD≌Rt△OPE，得∠POD=∠POE，即OP平分∠AOB。 【详解】证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，∴ ∠ODP = ∠OEP = 90°， 即△OPD和△OPE都是直角三角形。 在Rt△OPD和Rt△OPE中： OP = OP（公共斜边）， PD = PE（已知）， ∴ Rt△OPD ≌ Rt△OPE（HL）。 ∴ ∠POD = ∠POE（全等三角形对应角相等）。 ∴ OP平分∠AOB。 13．（2024-2025八年级上·湖南长沙·期中）如图，已知AB=CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，且BF=DE。求证：∠B=∠D。 【答案】证明见详解 【分析】由BF=DE得BE=DF，再用HL证明Rt△ABE≌Rt△CDF，得∠B=∠D。 【详解】证明：∵ AE⊥BD，CF⊥BD，∴ ∠AEB = ∠CFD = 90°。 ∵ BF = DE，∴ BF - EF = DE - EF，即 BE = DF。 在Rt△ABE和Rt△CDF中： AB = CD（已知斜边相等）， BE = DF（已证直角边相等）， ∴ Rt△ABE ≌ Rt△CDF（HL）。 ∴ ∠B = ∠D（全等三角形对应角相等）。 题型05 一般判定方法在直角三角形中的应用 14．（2024秋·安徽合肥·单元测）两个直角三角形，如果两条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等的依据是（　　） A．HL B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】B 【分析】两条直角边的夹角是直角，两边及其夹角对应相等，用SAS。 【详解】解：两个直角三角形的两条直角边分别相等，而两条直角边的夹角都是直角（90°）， 即两边及其夹角分别相等，符合SAS判定定理。 故选：B。 15．（2024-2025八年级上·福建福州·月考）两个直角三角形，如果斜边和一个锐角分别相等，那么这两个直角三角形全等的依据是（　　） A．HL B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】D 【分析】斜边、一锐角、直角，两角及其中一角的对边对应相等，用AAS。 【详解】解：两个直角三角形中，斜边和一个锐角分别相等，加上直角相等， 即两角及其中一角（直角）的对边（斜边）分别相等，符合AAS判定定理。 故选：D。 16．（2024秋·江西南昌·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E。求证：△ADC≌△CEB。 【答案】证明见详解 【分析】利用同角的余角相等得∠DAC=∠ECB，再用AAS证明全等。 【详解】证明：∵ ∠ACB = 90°，∴ ∠ACD + ∠BCE = 90°。 ∵ AD⊥MN，BE⊥MN，∴ ∠ADC = ∠CEB = 90°。 ∴ ∠ACD + ∠DAC = 90°，∴ ∠DAC = ∠ECB（同角的余角相等）。 在△ADC和△CEB中： ∠ADC = ∠CEB（已证）， ∠DAC = ∠ECB（已证）， AC = CB（已知）， ∴ △ADC ≌ △CEB（AAS）。 题型06 直角三角形全等判定方法的选择 17．（2024-2025八年级上·天津南开·单元测）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，下列条件中不能判定两三角形全等的是（　　） A．AC=DF，BC=EF B．∠A=∠D，AC=DF C．AB=DE，AC=DF D．∠A=∠D，∠B=∠E 【答案】D 【分析】三个角对应相等只能判定相似，不能判定全等。 【详解】解：A选项，AC=DF，BC=EF，加上∠C=∠F=90°，可用SAS判定全等； B选项，∠A=∠D，AC=DF，加上∠C=∠F=90°，可用ASA判定全等； C选项，AB=DE，AC=DF，斜边和一条直角边相等，可用HL判定全等； D选项，∠A=∠D，∠B=∠E，加上∠C=∠F=90°，三个角对应相等，只能判定相似，不能判定全等。 故选：D。 18．（2024秋·河南郑州·月考）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，已知AB=DE，BC=EF，则判定两三角形全等的依据是__HL____；若已知AC=DF，BC=EF，则判定依据是___SAS___；若已知∠A=∠D，AB=DE，则判定依据是__AAS____。 【答案】HL；SAS；AAS 【分析】根据已知条件选择合适的判定方法。 【详解】解：① AB=DE（斜边），BC=EF（直角边），用HL； ② AC=DF，BC=EF（两条直角边），夹角为直角，用SAS； ③ ∠A=∠D，AB=DE（斜边），加上直角相等，用AAS。 19．（2024-2025八年级上·云南昆明·期中）如图，已知AC=BD，要使Rt△ABC≌Rt△ABD（∠C=∠D=90°），还需要添加的条件是（　　） A．∠ABC=∠ABD B．BC=BD C．∠BAC=∠BAD D．以上都可以 【答案】D 【分析】已有斜边AB公共和一条直角边AC=BD，分析各选项能否补充判定条件。 【详解】解：已知∠C=∠D=90°，AB=BA（公共斜边）。 A选项，添加∠ABC=∠ABD，加上∠C=∠D，AB=AB，可用AAS判定全等； B选项，添加BC=BD，两条直角边分别相等，可用SAS判定全等（也已有HL）； C选项，添加∠BAC=∠BAD，加上∠C=∠D，AB=AB，可用AAS判定全等； 各选项添加后都能判定全等。故选：D。 题型07 HL的实际应用 20．（2024-2025八年级上·广西南宁·单元测）如图，要测量池塘两端A、B的距离，可在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC=CD，再过点D作BF的垂线DE，使A、C、E在同一直线上。若测得DE=20米，求AB的长。 【答案】AB=20米 【分析】两个直角三角形有对顶角和直角边相等，用ASA证明全等，再由对应边相等得AB=DE。 【详解】解：∵ AB⊥BF，DE⊥BF，∴ ∠B = ∠CDE = 90°。 在△ABC和△EDC中： ∠B = ∠CDE（已证）， BC = DC（已知）， ∠ACB = ∠ECD（对顶角相等）， ∴ △ABC ≌ △EDC（ASA）。 ∴ AB = DE（全等三角形对应边相等）。 ∵ DE = 20米，∴ AB = 20米。 21．（2024秋·贵州贵阳·月考）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，且∠BAC=∠EDF=90°。求证：∠ACB=∠DFE。 【答案】证明见详解 【分析】两个直角三角形斜边相等（滑梯长度相同），一条直角边AC=DF，用HL证明全等。 【详解】证明：由题意知，滑梯长度相同，即 BC = EF（斜边相等）。 又∵ ∠BAC = ∠EDF = 90°， ∴ △ABC和△DEF都是直角三角形。 在Rt△ABC和Rt△DEF中： BC = EF（滑梯长度相等）， AC = DF（已知）， ∴ Rt△ABC ≌ Rt△DEF（HL）。 ∴ ∠ACB = ∠DFE（全等三角形对应角相等）。 22．（2024秋·内蒙古呼和浩特·单元测）如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两个木桩到旗杆底部的距离相等吗？请说明理由。 【答案】相等，理由见详解 【分析】两个直角三角形斜边相等（绳长相同），直角边（旗杆）公共，用HL证明全等。 【详解】解：两个木桩到旗杆底部的距离相等。理由如下： 设旗杆底部为点O，旗杆顶端为点A，两个木桩分别为点B、C。 由题意知，旗杆垂直于地面，即 AO⊥BC，∴ ∠AOB = ∠AOC = 90°。 绳长相同，即 AB = AC = 12米。 在Rt△AOB和Rt△AOC中： AB = AC（绳长相等）， AO = AO（公共直角边）， ∴ Rt△AOB ≌ Rt△AOC（HL）。 ∴ OB = OC（全等三角形对应边相等）。 即两个木桩到旗杆底部的距离相等。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024-2025八年级上·北京海淀·期中）下列说法中，错误的是（　　） A．斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等 B．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 C．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 D．两个锐角对应相等的两个直角三角形全等 【答案】D 【分析】三个角对应相等只能判定相似，不能判定全等。 【详解】解：A选项，斜边和一锐角对应相等，加上直角相等，可用AAS判定全等，正确； B选项，两条直角边对应相等，夹角为直角，可用SAS判定全等，正确； C选项，斜边和一条直角边对应相等，可用HL判定全等，正确； D选项，两个锐角对应相等，加上直角相等，三个角对应相等，只能判定相似，不能判定全等，错误。 故选：D。 2．（2024秋·上海闵行·月考）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E。若AB=6cm，则△DEB的周长为（　　） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 【答案】B 【分析】利用角平分线性质得CD=DE，再用HL证Rt△ACD≌Rt△AED得AC=AE，△DEB周长=DE+DB+BE=CD+DB+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB。 【详解】解：∵ AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB， ∴ CD = DE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 在Rt△ACD和Rt△AED中： AD = AD（公共斜边）， CD = DE（已证）， ∴ Rt△ACD ≌ Rt△AED（HL）。 ∴ AC = AE（全等三角形对应边相等）。 ∵ AC = BC，∴ BC = AE。 △DEB的周长 = DE + DB + BE = CD + DB + BE = BC + BE = AE + BE = AB = 6cm。 故选：B。 3．（2024-2025八年级上·广东广州·单元测）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，AB=10，∠BAC的平分线AD交BC于点D，则点D到AB的距离为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】设点D到AB的距离为DE=h，由角平分线性质CD=DE=h，利用面积法：S△ABC = S△ACD + S△ABD。 【详解】解：设点D到AB的距离为DE = h，由角平分线性质得 CD = DE = h。 S△ABC = × AC × BC = × 6 × 8 = 24。 S△ABC = S△ACD + S△ABD = × AC × CD + × AB × DE = × 6 × h + × 10 × h = 3h + 5h = 8h。 ∴ 8h = 24，解得 h = 3。 即点D到AB的距离为3。 故选：B。 4．（2024秋·江苏苏州·期中）如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（　　） A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠BCA=∠DCA D．∠B=∠D=90° 【答案】C 【分析】已有AB=AD和AC公共，分析各选项能否补充判定条件。 【详解】解：已知 AB = AD，AC = AC（公共边）。 A选项，添加 CB = CD，三边对应相等，可用SSS判定全等； B选项，添加 ∠BAC = ∠DAC，两边及其夹角对应相等，可用SAS判定全等； C选项，添加 ∠BCA = ∠DCA，两边及其中一边的对角对应相等（SSA），不能判定全等； D选项，添加 ∠B = ∠D = 90°，斜边和一条直角边相等，可用HL判定全等。 故选：C。 5．（2024-2025八年级上·浙江宁波·月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点F。若BF=AC，则∠ABC的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】B 【分析】先证△BDF≌△ADC（AAS），得BD=AD，即△ABD为等腰直角三角形，∠ABC=45°。 【详解】解：∵ AD⊥BC，BE⊥AC，∴ ∠BDF = ∠ADC = ∠BEC = 90°。 ∴ ∠FBD + ∠C = 90°，∠CAD + ∠C = 90°， ∴ ∠FBD = ∠CAD（同角的余角相等）。 在△BDF和△ADC中： ∠BDF = ∠ADC（已证）， ∠FBD = ∠CAD（已证）， BF = AC（已知）， ∴ △BDF ≌ △ADC（AAS）。 ∴ BD = AD（全等三角形对应边相等）。 又∵ ∠ADB = 90°，∴ △ABD是等腰直角三角形， ∴ ∠ABC = 45°。 故选：B。 6．（2024秋·山东青岛·单元测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线l，点A、B到直线l的距离分别为AE、BF。若AE=3，BF=5，则EF的长为（　　） A．2 B．5 C．8 D．15 【答案】C 【分析】先证△AEC≌△CFB（AAS），得CE=BF=5，CF=AE=3，EF=CE+CF=8。 【详解】解：∵ ∠ACB = 90°，∴ ∠ACE + ∠BCF = 90°。 ∵ AE⊥l，BF⊥l，∴ ∠AEC = ∠CFB = 90°。 ∴ ∠ACE + ∠CAE = 90°，∴ ∠CAE = ∠BCF（同角的余角相等）。 在△AEC和△CFB中： ∠AEC = ∠CFB（已证）， ∠CAE = ∠BCF（已证）， AC = CB（已知）， ∴ △AEC ≌ △CFB（AAS）。 ∴ CE = BF = 5，CF = AE = 3。 ∴ EF = CE + CF = 5 + 3 = 8。 故选：C。 （二）填空题 7．（2024秋·四川成都·期中）在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，且AB=10，AC=6，BC=8，则△BDE的周长为___12___。 【答案】12 【分析】由角平分线性质CD=DE，用HL证Rt△ACD≌Rt△AED得AE=AC=6，BE=AB-AE=4，△BDE周长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=8+4=12。 【详解】解：∵ AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，∴ CD = DE。 在Rt△ACD和Rt△AED中：AD = AD，CD = DE， ∴ Rt△ACD ≌ Rt△AED（HL），∴ AE = AC = 6。 ∴ BE = AB - AE = 10 - 6 = 4。 △BDE的周长 = BD + DE + BE = BD + CD + BE = BC + BE = 8 + 4 = 12。 8．（2024秋·重庆渝中·月考）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE于点D，BE⊥CE于点E，若AD=8，BE=3，则DE=______。 【答案】5 【分析】先证△ACD≌△CBE（AAS），得CD=BE=3，CE=AD=8，DE=CE-CD=5。 【详解】解：∵ ∠ACB = 90°，∴ ∠ACD + ∠BCE = 90°。 ∵ AD⊥CE，BE⊥CE，∴ ∠ADC = ∠CEB = 90°。 ∴ ∠ACD + ∠CAD = 90°，∴ ∠CAD = ∠BCE。 在△ACD和△CBE中： ∠ADC = ∠CEB，∠CAD = ∠BCE，AC = CB， ∴ △ACD ≌ △CBE（AAS）。 ∴ CD = BE = 3，CE = AD = 8。 ∴ DE = CE - CD = 8 - 3 = 5。 （三）解答题 9．（2024秋·湖南长沙·月考）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，E为AD上一点，连接BE、CE。 （1）求证：BD=CD； （2）求证：BE=CE。 【答案】（1）（2）证明见详解 【分析】（1）用HL证Rt△ABD≌Rt△ACD得BD=CD；（2）用SAS证△BDE≌△CDE得BE=CE。 【详解】证明：（1）∵ AD⊥BC，∴ ∠ADB = ∠ADC = 90°。 在Rt△ABD和Rt△ACD中： AB = AC（已知）， AD = AD（公共边）， ∴ Rt△ABD ≌ Rt△ACD（HL）。 ∴ BD = CD（全等三角形对应边相等）。 （2）在△BDE和△CDE中： BD = CD（已证）， ∠BDE = ∠CDE = 90°， DE = DE（公共边）， ∴ △BDE ≌ △CDE（SAS）。 ∴ BE = CE（全等三角形对应边相等）。 10．（2024-2025八年级上·安徽合肥·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E。 （1）求证：△ADC≌△CEB； （2）若AD=5，BE=3，求DE的长。 【答案】（1）证明见详解；（2）DE=8 【分析】（1）利用同角的余角相等得∠DAC=∠ECB，用AAS证全等；（2）由全等得DC=BE=3，CE=AD=5，DE=DC+CE=8。 【详解】解：（1）证明：∵ ∠ACB = 90°，∴ ∠ACD + ∠BCE = 90°。 ∵ AD⊥MN，BE⊥MN，∴ ∠ADC = ∠CEB = 90°。 ∴ ∠ACD + ∠DAC = 90°，∴ ∠DAC = ∠ECB（同角的余角相等）。 在△ADC和△CEB中： ∠ADC = ∠CEB（已证）， ∠DAC = ∠ECB（已证）， AC = CB（已知）， ∴ △ADC ≌ △CEB（AAS）。 （2）∵ △ADC ≌ △CEB， ∴ DC = EB = 3，CE = AD = 5（全等三角形对应边相等）。 ∴ DE = DC + CE = 3 + 5 = 8。 11．（2024秋·福建福州·单元测）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC，BD=CE，M是AC边的中点，连接BM、DM、EM。 求证：△DME是等腰直角三角形。 【答案】证明见详解 【分析】利用等腰直角三角形性质得BM=CM=AM，∠ABM=∠C=45°，再证△BDM≌△CEM（SAS），得DM=EM，∠DMB=∠EMC，从而∠DME=∠BMC=90°。 【详解】证明：∵ ∠B = 90°，AB = BC，M是AC的中点， ∴ BM = CM = AM（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）， BM⊥AC（等腰三角形三线合一），∠ABM = ∠C = 45°。 ∴ ∠BMC = 90°。 在△BDM和△CEM中： BD = CE（已知）， ∠DBM = ∠C = 45°（已证）， BM = CM（已证）， ∴ △BDM ≌ △CEM（SAS）。 ∴ DM = EM（全等三角形对应边相等）， ∠DMB = ∠EMC（全等三角形对应角相等）。 ∴ ∠DME = ∠DMB + ∠BME = ∠EMC + ∠BME = ∠BMC = 90°。 又∵ DM = EM，∴ △DME是等腰直角三角形。 三、中考链接题 1．（2024·四川中考）如图，在和中，点B、D、C、E在同一条直线上，点C和点E重合．，，若添加一个条件后可用“”定理证明，添加的条件是（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 本题考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据HL进行判断作答即可． 【解答】 解：由题意知，添加的条件为 ， ， ， Rt Rt (HL), 故选：D.  2.（25-26·辽宁中考）如图，若AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则判定△ABD和△CDB全等的依据是（ ） A.AAS B.SAS C.ASA D.HL 【答案】 D 【解析】 根据已知条件进行推理证明，从而确定判定依据即可. 【解答】 解： AB BD，CD BD， ， 即： 和 均为直角三角形， 在Rt 和Rt 中， Rt Rt (HL), 判定 和 全等的依据是HL，故D正确. 故选：D. 3.（25·广东中考）如图所示，在和中，，点E在上，点D在上，与交于点O，，，则可判定的依据是（     ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 此题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握HL定理是关键．在Rt 和Rt 中， ， AD=BE，DC=EC，即可根据HL定理证明Rt Rt . 【解答】 解：在Rt 和Rt 中， ， AD=BE，DC=EC， Rt Rt (HL)， 故选：C 4.（25-26·河南中考）如图，已知在和中，，，，若用“HL”判定，则需要添加的条件是（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 此题考查了对全等三角形判定定理HL的理解和掌握，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理进行判断即可. 【解答】 解：∵ AB ⊥ BO，CD ⊥ CO， ∴ ∠ ABO = ∠ DCO = 90°， A. AO = DO，AB = DC，符合两直角三角形全等的判定定理HL，故该选项符合题意； B. ∠ A = ∠ D，AO = DO，不是两直角三角形全等的判定定理HL，是证明三角形全等的AAS，故该选项不符合题意； C. ∠ AOB = ∠ DOC，AO = DO，不符合两直角三角形全等的判定定理，是证明三角形全等的AAS，故该选项不符合题意； D. OB = OD，AO = DO，不能证明这两个直角三角形全等，故该选项不符合题意； 故选：A. 5.（24·湖南月考）如图，四边形中，，连接，请你添加一个条件____ （或 ）____（写出一种即可），可以根据“”得到． 【答案】 （或 ） 【解析】 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL），根据题意两个直角三角形的斜边为公共边，因此只需要条件一组直角边对应相等即可。 【解答】 解： 当 当 6.（25-26·江苏中考）如图，，垂足为C，且，若用“”证明，则需添加的条件是________． 【答案】 【解析】 本题考查了全等三角形的判定的应用，求出 ，根据HL推出即可. 【解答】 解：需添加的条件是： 理由是： 在Rt 和Rt 中， 故答案为： 7.（24-25·四川中考）如图，在和中，，若要利用“”证明，则需要添加条件____________________（答案不唯一）． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 本题考查了全等三角形的判定，根据，且要利用“”证明，则添加，即可作答． 【解答】 解：，且要利用“”证明， 需要添加条件， 故答案为：（答案不唯一）   8.（25·陕西中考）如图，在与中，于点．若，求证：． 【答案】 见解答 【解析】 由 AE BD，结合CD AE，推出CD BD，得 ，确定两个三角形均为直角三角形。利用HL定理证明 Rt Rt ．最后根据全等三角形对应边相等，即可解答． 【解答】 证明： AE BD， 在Rt 和Rt 中， Rt Rt (HL)； 9.（24贵州·内蒙古中考）如图，在和中，，与分别为边上的中线，且，求证：． 【答案】 证明见解析 【解析】 本题考查了全等三角形的判定，三角形中线的定义，先根据三角形中线的定义证明 ，再利用HL即可求证，掌握全等三角形的判定是解题的关键. 【解答】 证明： AD与 分别为 边上的中线， ， CD= 在Rt 和Rt 中， Rt Rt (HL) 10.（25·四川中考） 如图，四边形中，于点，交于点，连接，平分． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】 见解析； 【解析】 （1）利用角平分线的性质定理即可证明； （2）证明，得，由即可求解． 【解答】 （1）解：证明：， ， 平分， ， 又， ； （2）解：在和中， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版八年级上册 第14章 全等三角形 14.2全等三角形的判定 第5课时 直角三角形全等的判定 本节知识点总结 1. 直角三角形全等的特殊判定方法——HL： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：HL只适用于直角三角形，对于一般三角形不适用。 2. 一般三角形全等判定方法在直角三角形中的应用： SAS、ASA、AAS、SSS同样适用于直角三角形。 因为直角三角形有一个直角（90°），所以： ① 两条直角边分别相等 → SAS（夹角为直角）； ② 一条直角边和一个锐角分别相等 → ASA或AAS； ③ 斜边和一个锐角分别相等 → AAS； ④ 三边分别相等 → SSS。 3. HL的应用： ① 证明两个直角三角形全等； ② 证明线段相等（全等三角形对应边相等）； ③ 证明角相等（全等三角形对应角相等）。 4. 判定直角三角形全等的方法选择： 已知斜边和一条直角边 → HL； 已知两条直角边 → SAS； 已知斜边和一锐角 → AAS； 已知一直角边和一锐角 → ASA或AAS。 5. 重要提醒： 使用HL时，必须先说明两个三角形是直角三角形，再指出斜边和一条直角边分别相等。 书写格式：在Rt△ABC和Rt△DEF中，AB=DE，BC=EF，∴ Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 HL判定定理的理解与识别 1．（2024-2025八年级上·北京朝阳·期中）下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是（　　） A．一个锐角对应相等 B．两个锐角对应相等 C．一条边对应相等 D．斜边和一条直角边对应相等 2．（2024秋·上海浦东·单元测）下列说法中，正确的是（　　） A．两条直角边分别相等的两个直角三角形全等（HL） B．斜边和一个锐角分别相等的两个直角三角形全等（AAS） C．一条直角边和一个锐角分别相等的两个直角三角形不全等 D．斜边相等的两个直角三角形全等 3．（2024-2025八年级上·广东深圳·月考）如图，在△ABC和△DEF中，∠B=∠E=90°，AC=DF，AB=DE，则判定△ABC≌△DEF的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．HL 4．（2024秋·江苏南京·期中）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，若AB=DE，AC=DF，则Rt△ABC______Rt△DEF，依据是______。 题型02 利用HL证明直角三角形全等 5．（2024-2025八年级上·浙江杭州·单元测）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD。求证：△ABC≌△BAD。 6．（2024秋·山东济南·月考）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D。求证：Rt△ABD≌Rt△ACD。 7．（2024-2025八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知AB=CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，且AE=CF。求证：Rt△ABE≌Rt△CDF。 题型03 利用HL证明线段相等 8．（2024秋·四川成都·单元测）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D。求证：BD=CD。 9．（2024-2025八年级上·河北石家庄·月考）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD，AC与BD相交于点O。求证：OC=OD。 10．（2024秋·陕西西安·期中）如图，点P在∠AOB的内部，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，PD=PE。求证：OD=OE。 题型04 利用HL证明角相等 11．（2024-2025八年级上·重庆沙坪坝·单元测）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D。求证：∠BAD=∠CAD。 12．（2024秋·辽宁沈阳·月考）如图，点P在∠AOB的内部，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，PD=PE。求证：OP平分∠AOB。 13．（2024-2025八年级上·湖南长沙·期中）如图，已知AB=CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，且BF=DE。求证：∠B=∠D。 题型05 一般判定方法在直角三角形中的应用 14．（2024秋·安徽合肥·单元测）两个直角三角形，如果两条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等的依据是（　　） A．HL B．SAS C．ASA D．AAS 15．（2024-2025八年级上·福建福州·月考）两个直角三角形，如果斜边和一个锐角分别相等，那么这两个直角三角形全等的依据是（　　） A．HL B．SAS C．ASA D．AAS 16．（2024秋·江西南昌·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E。求证：△ADC≌△CEB。 题型06 直角三角形全等判定方法的选择 17．（2024-2025八年级上·天津南开·单元测）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，下列条件中不能判定两三角形全等的是（　　） A．AC=DF，BC=EF B．∠A=∠D，AC=DF C．AB=DE，AC=DF D．∠A=∠D，∠B=∠E 18．（2024秋·河南郑州·月考）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，已知AB=DE，BC=EF，则判定两三角形全等的依据是____；若已知AC=DF，BC=EF，则判定依据是______；若已知∠A=∠D，AB=DE，则判定依据是______。 19．（2024-2025八年级上·云南昆明·期中）如图，已知AC=BD，要使Rt△ABC≌Rt△ABD（∠C=∠D=90°），还需要添加的条件是（　　） A．∠ABC=∠ABD B．BC=BD C．∠BAC=∠BAD D．以上都可以 题型07 HL的实际应用 20．（2024-2025八年级上·广西南宁·单元测）如图，要测量池塘两端A、B的距离，可在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC=CD，再过点D作BF的垂线DE，使A、C、E在同一直线上。若测得DE=20米，求AB的长。 21．（2024秋·贵州贵阳·月考）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，且∠BAC=∠EDF=90°。求证：∠ACB=∠DFE。 22．（2024秋·内蒙古呼和浩特·单元测）如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两个木桩到旗杆底部的距离相等吗？请说明理由。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024-2025八年级上·北京海淀·期中）下列说法中，错误的是（　　） A．斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等 B．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 C．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 D．两个锐角对应相等的两个直角三角形全等 2．（2024秋·上海闵行·月考）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E。若AB=6cm，则△DEB的周长为（　　） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 3．（2024-2025八年级上·广东广州·单元测）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，AB=10，∠BAC的平分线AD交BC于点D，则点D到AB的距离为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2024秋·江苏苏州·期中）如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（　　） A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠BCA=∠DCA D．∠B=∠D=90° 5．（2024-2025八年级上·浙江宁波·月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点F。若BF=AC，则∠ABC的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 6．（2024秋·山东青岛·单元测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线l，点A、B到直线l的距离分别为AE、BF。若AE=3，BF=5，则EF的长为（　　） A．2 B．5 C．8 D．15 （二）填空题 7．（2024秋·四川成都·期中）在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，且AB=10，AC=6，BC=8，则△BDE的周长为______。 8．（2024秋·重庆渝中·月考）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE于点D，BE⊥CE于点E，若AD=8，BE=3，则DE=______。 （三）解答题 9．（2024秋·湖南长沙·月考）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，E为AD上一点，连接BE、CE。 （1）求证：BD=CD； （2）求证：BE=CE。 10．（2024-2025八年级上·安徽合肥·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E。 （1）求证：△ADC≌△CEB； （2）若AD=5，BE=3，求DE的长。 11．（2024秋·福建福州·单元测）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC，BD=CE，M是AC边的中点，连接BM、DM、EM。 求证：△DME是等腰直角三角形。 三、中考链接题 1．（2024·四川中考）如图，在和中，点B、D、C、E在同一条直线上，点C和点E重合．，，若添加一个条件后可用“”定理证明，添加的条件是（       ） A. B. C. D.  2.（25-26·辽宁中考）如图，若AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则判定△ABD和△CDB全等的依据是（ ） A.AAS B.SAS C.ASA D.HL 3.（25·广东中考）如图所示，在和中，，点E在上，点D在上，与交于点O，，，则可判定的依据是（     ） A. B. C. D. 4.（25-26·河南中考）如图，已知在和中，，，，若用“HL”判定，则需要添加的条件是（       ） A. B. C. D. 5.（24·湖南月考）如图，四边形中，，连接，请你添加一个条件________（写出一种即可），可以根据“”得到． 6.（25-26·江苏中考）如图，，垂足为C，且，若用“”证明，则需添加的条件是________． 7.（24-25·四川中考）如图，在和中，，若要利用“”证明，则需要添加条件____________________（答案不唯一）． 8.（25·陕西中考）如图，在与中，于点．若，求证：． 9.（24贵州·内蒙古中考）如图，在和中，，与分别为边上的中线，且，求证：． 10.（25·四川中考） 如图，四边形中，于点，交于点，连接，平分． （1）求证：； （2）若，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $