6.1 平均数与方差（第4课时）教学设计2026-2027学年数学北师大版八年级上册

该初中数学教学设计聚焦数据的分析，核心知识点为极差、方差、标准差的计算及应用，通过气温变化图导入，引导学生从图表读取信息，联系平均数知识，过渡到用方差判断数据离散程度，搭建直观到理性的学习支架。 此资料以情境化探究为特色，如运动员选拔案例纠正“方差越小越好”的认知，培养数据意识与推理意识，苹果直径分组问题用“组内离差平方和最小”方法，发展抽象能力与应用意识。助力学生提升数据处理能力，帮助教师高效突破重难点。

第六章 数据的分析 1平均数与方差 第4课时 一、教学目标 1.进一步熟练极差、方差、标准差的计算方法；能用方差对数据的离散程度作出判断，进一步培养学生的估计能力． 2. 根据描述一组数据极差、方差、标准差的大小，对实际问题做出解释，培养学生解决问题的能力． 3. 经历对统计图中数据的读取与处理的过程，进一步发展学生的统计意识和数据处理能力． 4. 通过解决现实情境中的问题，提高学生数学统计的素养，用数学的眼光看世界.通过小组活动，培养学生的合作意识和能力． 二、教学重难点 重点：熟练极差、方差、标准差的计算方法；能用方差对数据的离散程度作出判断． 难点：根据描述一组数据极差、方差、标准差的大小，对实际问题做出解释． 三、教学过程设计 环节一：情景导入 教师活动： 多媒体展示，如图所示的是某一天A，B两地的气温变化图. 教师提出问题 不计算，你能说说A，B两地这一天气温的特点吗？ 分别计算A，B两地这一天气温的平均数和方差，与你刚才的看法一致吗？ 让学生独立思考，由于读取的数据多且复杂，引导学生利用计算器来高效完成，提高运算的速度和效果.最后引导学生从图形中比较两组数据的稳定性和数据得出的结论有何关联. 预设答案： 从图中能得到A地：早晨和深夜较凉，而中午比较热，日温差较大. B地：一天气温相差不大，而且比较平缓，日温差较小. 设计意图：通过两地气温的变化的例子，培养学生从图表中读取信息、分析数据的能力，更准确地理解方差及其在现实生活中的应用. 环节二：探究新知 【议一议】 问题：我们知道，一组数据的方差越小，这组数据就越稳定，那么，是不是方差越小就表示这组数据越好？ 多媒体展示课本议一议 分小组进行讨论，小组内交流，教师巡视、指导，等学生完成后，请各小组学生代表分别独立作答，对于表现好的小组加以表扬和鼓励，做的不是太完美的小组及时纠正和完善. 设计意图：针对不少同学认为的方差越小越好的错误认识，设计一个现实生活中的例子，旨在消除学生的这种不正确的认识，体会数据的波动是极其广泛的. 某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项校际比赛．在最近10次选拔赛中，他们的成绩（单位：cm）如下： 甲：585　596　610　598　612　597　604　600　613　601 乙：613　618　580　574　618　593　585　590　598　624 问题： (1)甲乙的平均成绩分别是多少？ (2)甲乙这10次比赛成绩的方差分别是多少？ (3)这两名运动员的运动成绩各有什么特点？ (4)历届比赛成绩表明，成绩达到5.96m就可以夺冠，你认为为了夺冠，应该让谁参加这项比赛？如果历届比赛成绩表明，成绩达到6.10m就能打破记录，那么你认为为了打破记录应该选谁参加这项比赛呢？ 预设答案： 解：(1) ̅甲 = (585+596+610+598+612+597+604+600+613+601)=601.6 乙 = (613+618+580+574+618+593+585+590+589+624)=599.3 (2) 甲的方差：65.84，乙的方差：284.21． (3) 甲的平均成绩比乙好；甲的方差，极差都比较小，因此甲的成绩更稳定；乙的最远成绩比甲的最远成绩好等． (4) 10次比赛中，甲有9次超过596cm，乙仅有5次，因此一般应选甲运动员参加这项比赛；但是若要打破610cm的记录，则一般应选乙运动员． 注意：学生对两名运动员特点的回答往往会呈多样性，如甲较稳定，乙有潜力等，对于第(4)题的回答则有不同的意见，教师从中做好引导，经过仔细分析，最终统一认识，不再认为方差越小就表示这组数据越好，而是认为方差越小表示这组数据越稳定，至于数据的好坏，则要根据具体的情况进行具体分析. 【归纳】 在解决实际问题时，方差的作用是什么？ 方差可以反应数据的波动大小，方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，可以用样本的方差估计总体的方差． 运用方差解决实际问题的一般步骤是怎样的？ 1.计算数据样本平均数； 2.两组数据的平均数相等或相近时，利用样本方差来估计总体数据的波动情况． 3.在实际应用中，不是数据越稳定就越好，要根据实际情况进行具体分析． 【思考】 10 个苹果的直径如图所示. (1)若想把这 10 个苹果分成两组，使每组苹果的 “个头” 差不多，你想怎么分？ (2)一般情况下，如果想把一组数据分成若干组，使每组组内的数据差距不大，且组与组之间的数据差别明显，那么你认为应遵循怎样的分组原则？ 在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使 “组内离差平方和达到最小”.多组数据的组内离差平方和是指每组数据的离差平方和的和. 环节三：应用新知 例1 按照 “组内离差平方和达到最小” 的方法，把思考中的 10 个苹果按直径大小分成两组. 解：将 10 个数据由小到大排序： 65，69，70，75，76，76，78，80，80，81. 把 10 个数据分成两组，共有 9 种情况： 第一组 1 个数据 {65}，第二组 9 个数据 {69，…，81}； 第一组 2 个数据 {65，69}，第二组 8 个数据 {70，…，81}；……； 第一组 9 个数据 {65，…，80}，第二组 1 个数据 {81}. 以第 2 种分组情况为例，计算组内离差平方和. 其中，第一组有2个数据 {65，69}，这2个数据的平均数是67， 故第一组数据的组内离差平方和S12 = (65 - 67)2 + (69 - 67)2 = 8； 第二组有8个数据{70，75，76，76，78，80，80，81}， 这8个数据的平均数是77， 故第二组数据的组内离差平方和S22= (70 - 77)2 + (75 - 77)2 +…+ (81 - 77)2 = 90. 因此第 2 种分组情况的组内离差平方和S2= S12+ S22= 8 + 90 = 98. 同理计算其他 8 种分组情况的组内离差平方和，结果如下： 分组情况 组内离差平方和 第一组1个，第二组9个 146.889 第一组2个，第二组8个 98 第一组3个，第二组7个 48 第一组4个，第二组6个 74.25 第一组5个，第二组5个 98 第一组6个，第二组4个 107.583 第一组7个，第二组3个 136.095 第一组8个，第二组2个 182.375 第一组9个，第二组1个 218 计算结果表明，第 3 种情况的组内离差平方和最小。因此把 10 个苹果按直径大小分成的两组是 {65，69，70}，{75，76，76，78，80，80，81}. 例2甲、乙、丙三人的射击成绩如下图： 三人中，谁的射击成绩更好，谁更稳定？你是怎么判断的？还可以从其他方面对三人的成绩进行考察吗？ 分析：根据前面学习的内容， 判断成绩好坏应计算平均数，判断谁的成绩稳定应计算方差． 教师活动：引导学生先直观估计，再计算. 通过计算看看与估计的是否一致.1，2组合作计算甲的平均数和方差，3，4组合作计算乙的，5，6组合作计算丙的. 预设答案： 甲的平均数7.9，方差3.29； 乙的平均数7.9，方差0.49； 丙的平均数5.2，方差0.36. 甲乙的平均成绩相同，但是乙的方差较小，因此乙的成绩比甲稳定，丙的平均成绩较低，但是方差最小，因此丙的成绩最稳定. 通过数据可以看出，甲的成绩一般情况下都很好，但是偶尔会有严重失误等． 在分析数据时，要根据实际情况，具体问题具体分析，像这个题目中的问题，我们可以先算平均数，再算方差，最后再视具体情况具体分析. 设计意图：通过此题，力图进一步强调解决统计问题时可以“先直觉估计再理性计算”. 环节四：课堂练习 1.从下面两幅图中，你能分别“读”出甲、乙两队员射击成绩的平均数吗？ 2.通过估计比较甲、乙两队员射击成绩的方差的大小，说说你的估计过程. 3.分别计算甲、乙两队员射击成绩的方差，看看刚才自己的估计是否正确. 分析：根据平均数和方差的计算公式分别对每一项进行分析，即可得出案． 预设答案：甲10次射击成绩的平均数：(6+3×7+2×8+3×9+10)÷10=8(环)， 乙10次射击成绩的平均数=(6+2×7+4×8+2×9+10)÷10=8(环)， 甲队的方差= [(6-8)2+3×(7-8)2+2×(8-8)2+3×(9-8)2+(10-8)2]=1.4； 乙队的方差=[(6-8)2+2×(7-8)2+4×(8-8)2+2×(9-8)2+(10-8)2]=1.2； 甲的方差是1.4，乙的方差是1.2，因为1.4>1.2，所以甲队的方差较大，判断准确. 设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 环节五：总结归纳 设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识. 学科网（北京）股份有限公司 $