4.3.2 第1课时 等比数列的前n项和（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

第四章 数列 4．3　等比数列 4．3．2　等比数列的前n项和公式 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 第1课时　等比数列的前n项和 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 目录 contents Part 01 Part 02 课时作业（九） Part 03 课前预习 课堂互动 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 课 前 预 习 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 课 堂 互 动 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 数列 返回导航 数学 选择性必修第二册 第四章 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(1)数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列． (2)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)． (3)若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n项中，eq \f(S偶,S奇)＝q；②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝eq \f(a1＋a2n＋1q,1－（－q）)＝eq \f(a1＋a2n＋2,1＋q)(q≠－1)． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn＝eq \f(a1（1－qn）,1－q)来求．(　　) (2)等比数列的前n项和不可以为0．(　　) (3)首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn＝na．(　　) (4)若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，则此数列一定是等比数列．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2，a2＝4，那么S10等于(　　) A．210＋2　　　　　　 B．29－2 C．210－2 D．211－2 解析：选D　因为q＝eq \f(a2,a1)＝2，且a1＝2，所以S10＝eq \f(a1（1－q10）,1－q)＝eq \f(2（1－210）,1－2)＝2(210－1)＝211－2． 3．等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为(　　) A．4　 　　　　　　　 B．－4 C．2 D．－2 解析：选A　由S5＝eq \f(a1[1－（－2）5],1－（－2）)＝44，得a1＝4． 4．若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝__________，前n项和Sn＝________． 解析：∵a3＋a5＝q(a2＋a4)，∴40＝20q， ∴q＝2， ∵a1(q＋q3)＝20，∴a1＝2， ∴Sn＝eq \f(2（1－2n）,1－2)＝2n＋1－2． 答案：2　2n＋1－2 题型一　等比数列的前n项和公式的基本运算 [例 1]　在等比数列{an}中． (1)若a1＝1，a5＝16，且q>0，求S7； (2)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n； (3)若a3＝eq \f(3,2)，S3＝eq \f(9,2)，求a1和公比q． 解：(1)∵{an}为等比数列且a1＝1， a5＝16， ∴a5＝a1q4，∴16＝q4， ∴q＝2(负的舍去)． ∴S7＝eq \f(a1（1－q7）,1－q)＝eq \f(1－27,1－2)＝127． (2)法一：由公式Sn＝eq \f(a1（1－qn）,1－q)， an＝a1qn－1 以及已知条件得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(189＝\f(a1（1－2n）,1－2)，,96＝a1·2n－1.)) ∴a1·2n＝192，∴2n＝eq \f(192,a1)． ∴189＝a1(2n－1)＝a1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(192,a1)－1))， ∴a1＝3． 又∵2n－1＝eq \f(96,3)＝32， ∴n＝6． 法二：由公式Sn＝eq \f(a1－anq,1－q)及已知条件得189＝eq \f(a1－96×2,1－2)， 解得a1＝3，又由an＝a1·qn－1， 得96＝3×2n－1，解得n＝6． (3)①当q≠1时，S3＝eq \f(a1（1－q3）,1－q)＝eq \f(9,2)， 又a3＝a1·q2＝eq \f(3,2)， ∴a1(1＋q＋q2)＝eq \f(9,2)，即eq \f(\f(3,2),q2)(1＋q＋q2)＝eq \f(9,2)， 解得q＝－eq \f(1,2)(q＝1舍去)， ∴a1＝6． ②当q＝1时，S3＝3a1， ∴a1＝eq \f(3,2)． 综上得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝6，,q＝－\f(1,2)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(3,2)，,q＝1.)) 等比数列前n项和运算的技巧 (1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答． (2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，eq \f(a1,1－q)都可看作一个整体．　　 1．设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S20＝(210＋1)S10，则数列{an}的公比为(　　) A．4　　　　　　　 B．2 C．1 D．eq \f(1,2) 解析：选B　设正项等比数列{an}的公比为q(q>0)，且S20＝(210＋1)S10，可得q≠1，则有eq \f(a1（1－q20）,1－q)＝(210＋1)·eq \f(a1（1－q10）,1－q)，可得1－q20＝(1＋210)(1－q10)，即为1＋q10＝1＋210，解得q＝2． 2．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________． 解析：因为在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．因为Sn＝126，所以eq \f(2－2n＋1,1－2)＝126，即2n＋1＝128，解得n＝6． 答案：6 题型二　等比数列前n项和的性质 [例 2]　(1)已知等比数列{an}中，若前10项的和是10，前20项的和是30，则前30项的和是________． (2)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝__________． 解析：(1)法一：因为数列{an}是等比数列， 所以有S10，S20－S10，S30－S20成等比数列， 所以(S20－S10)2＝S10(S30－S20)， 即(30－10)2＝10×(S30－30)， 即S30－30＝40，即S30＝70． 法二：由等比数列前n项和的性质Sm＋n＝Sn＋qnSm， 得S20＝S10＋q10S10， 即30＝10＋10q10， 所以q10＝2． 所以S30＝S20＋q20S10＝30＋40＝70． (2)由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S奇＋S偶＝－240，,S奇－S偶＝80，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S奇＝－80，,S偶＝－160.)) 所以q＝eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(－160,－80)＝2． 答案：(1)70　(2)2 解决有关等比数列前n项和的问题时，若能恰当地使用等比数列前n项和的相关性质，则可以避繁就简，不仅可以减少解题步骤，而且可以使运算简便，同时还可以避免对公比q的讨论．　　 1．设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于(　　) A．eq \f(1,8)　　 B．－eq \f(1,8)　　　 C．eq \f(57,8)　　　 D．eq \f(55,8) 解析：选A　因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝eq \f(1,8)．所以a7＋a8＋a9＝eq \f(1,8)． 2．若等比数列{an}的公比为eq \f(1,3)，且a1＋a3＋…＋a99＝60，则{an}的前100项和为__________． 解析：令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60， Y＝a2＋a4＋…＋a100， 则S100＝X＋Y， 由等比数列前n项和性质知 eq \f(Y,X)＝q＝eq \f(1,3)， 所以Y＝20， 即S100＝X＋Y＝80． 答案：80 题型三　等比数列前n项和的实际应用问题 [例 3]　王老师在手机店买了一部手机，价值10 000元．双方协商，按分期付款方式，以月利率为1%，每月以复利计息还款，王老师从拿到手机后第二个月开始等额还款，分6个月还清，试问每月应还款多少元？(1．016≈1．061，1．015≈1．051) 解：法一：设每个月还款a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还款a元后，还剩下欠款an元(1≤n≤6)， 则a0＝10 000，a1＝1．01a0－a， a2＝1．01a1－a＝1．012a0－(1＋1．01)a， … a6＝1．01a5－a＝…＝1．016a0－[1＋1．01＋…＋1．015]a． 由题意，可知a6＝0， 即1．016a0－[1＋1．01＋…＋1．015]a＝0， ∴a＝eq \f(1.016×102,1.016－1)． ∵1．016≈1．061， ∴a＝eq \f(1.061×102,1.061－1)≈1 739． 故每月应还款1 739元． 法二：一方面，将10 000元以相同的条件存储6个月，则它的本利和为 S1＝104(1＋0．01)6＝104×1．016(元)． 另一方面，设每个月还款a元，分6个月还清，到还清时，其本利和为 S2＝a(1＋0．01)5＋a(1＋0．01)4＋…＋a ＝eq \f(a[（1＋0.01）6－1],1.01－1)＝a[1．016－1]×102(元)． 由S1＝S2，得a＝eq \f(1.016×102,1.016－1)．以下解法同法一，得a≈1 739，故每月应还款1 739元． 解答数列应用题的步骤 (1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意． (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学(数列)问题，弄清该数列的结构和特征． (3)求解——求出该问题的数学解． (4)还原——将所求结果还原到实际问题中．　　 受贸易战的影响，某电商平台今年销售某国产品牌手机5 000部，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30 000部？(结果保留到个位)(提示：lg 1．6≈0．20，lg 1．1≈0．041) 解：根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同．所以，从今年起，每年的销售量组成一个等比数列{an}，其中a1＝5 000，q＝1＋10%＝1．1，Sn＝30 000．于是得到eq \f(5 000（1－1.1n）,1－1.1)＝30 000． 整理，得1．1n＝1．6．两边取对数，得nlg 1．1＝lg 1．6． 根据提示算得n＝eq \f(lg 1.6,lg 1.1)≈eq \f(0.20,0.041)≈5(年)．即大约5年可以使总销售量达到30 000部． 题型四　等差数列、等比数列及前n项和的综合应用 [例 4]　设{an}是等差数列，且a1＝ln 2，a2＋a3＝5ln 2． (1)求{an}的通项公式； (2)求ea1＋ea2＋…＋ean． 解：(1)设{an}的公差为d． 因为a2＋a3＝5ln 2， 所以2a1＋3d＝5ln 2． 又a1＝ln 2，所以d＝ln 2． 所以an＝a1＋(n－1)d＝nln 2． (2)因为ea1＝eln 2＝2，eq \f(ean,ean－1)＝ean－an－1＝eln 2＝2， 所以数列{ean}是首项为2，公比为2的等比数列， 所以ea1＋ea2＋…＋ean＝eq \f(2×（1－2n）,1－2)＝2(2n－1)＝2n＋1－2． 解决等差数列与等比数列综合问题(即双数列问题)的关键在于用好它们的有关知识，理顺两个数列间的关系．注意运用等差数列与等比数列的基本量，还应注意等差数列与等比数列之间的相互转化．　　 已知公差不为0的等差数列{an}满足S7＝77，a1，a3，a11成等比数列． (1)求an； (2)若bn＝2an，求{bn}的前n项和Tn． 解：(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)， 由S7＝eq \f(7（a1＋a7）,2)＝77可得7a4＝77，则a1＋3d＝11．① 因为a1，a3，a11成等比数列， 所以aeq \o\al(2,3)＝a1a11，整理得2d2＝3a1d． 又d≠0，所以2d＝3a1，② 联立①②，解得a1＝2，d＝3， 所以an＝3n－1． (2)因为bn＝2an＝23n－1＝4·8n－1， 所以{bn}是首项为4，公比为8的等比数列． 所以Tn＝eq \f(4（1－8n）,1－8)＝eq \f(23n＋2－4,7)． [课堂小结] 1．等比数列前n项和公式的有关运算 在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用． 2．等比数列前n项和公式的运用误区 (1)求等比数列前n项和时，有时会忽视q≠1这一条件，直接使用公式Sn＝eq \f(a1（1－qn）,1－q)或Sn＝eq \f(a1－anq,1－q)导致出错． (2)对于公比q是否等于1不明确时，应分q＝1与q≠1两种情况进行讨论，避免解答出现漏洞． 3．等比数列前n项和中用到2个数学思想 (1)分类讨论思想：①利用等比数列前n项公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a1>0，q>1或a1<0，0<q<1时为递增数列；当a1<0，q>1或a1>0，0<q<1时为递减数列；当q<0时为摆动数列；当q＝1时为常数列． (2)函数思想：等比数列的通项an＝a1qn－1＝eq \f(a1,q)·qn(q>0且q≠1)常和指数函数相联系；等比数列前n项和Sn＝eq \f(a1,q－1)(qn－1)(q≠1)．设A＝eq \f(a1,q－1)，则 Sn＝A(qn－1)与指数函数相联系． $$