重难点专题05 三元一次方程组（专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 以“定义-解法-应用”为逻辑主线，系统构建三元一次方程组知识体系，提炼消元转化、整体思想等核心方法，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三元一次方程组|15题（含定义判定5题、解法10题）|定义判定三条件（三未知数/整式/一次）；消元法（代入/加减转化二元）|从概念辨析到解法原理，通过消元实现知识迁移，培养运算能力| |三元一次方程组的应用|16题（阅读材料8题、实际应用8题）|阅读材料题用整体换元；实际应用题抓三组等量关系建模|从数学抽象到实际应用，通过新定义与情境问题发展模型意识与应用意识|

重难点专题05 三元一次方程组 模块一、三元一次方程组 重难点一、三元一次方程组的定义 判定三元一次方程组抓住三大条件：一共含有三个未知数；每一个方程都是整式方程；未知数最高次数为 1。注意不需要每个方程都同时包含三个未知数，只要方程组整体满足条件即可。做题区分一次项与常数项，警惕未知数乘积形式，出现 xy 等次项就不属于一次方程。 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列方程是三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】需根据定义逐一分析选项，即可解答． 【详解】A、，含有三个未知数、、，且每个未知数的次数都是1，是整式方程，符合三元一次方程的定义，故符合题意； B、，项的次数为，是三元三次方程，不符合 “一次” 的要求，故不符合题意； C、，只含有两个未知数、，是二元一次方程，不符合 “三元” 的要求，故不符合题意； D、，未知数的项、的次数为，是三元二次方程，不符合 “一次” 的要求，故不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了三元一次方程的定义，熟练掌握三元一次方程需同时满足三个未知数、未知数的项次数为 1、整式方程是解题的关键． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查了三元一次方程组的相关知识点，掌握三元一次方程组的定义是解题的关键． 本题对每个选项中的方程组从未知数的个数有个、含未知数的项的次数是次以及是否为整式方程这几个方面去分析，即可解决问题． 【详解】解：A、方程中，未知数的次数是次，不满足“含有未知数的项的次数是”的条件，不符合题意； B、方程中含有，不是整式方程，不符合题意； C、方程中，的次数是2次，不满足“含有未知数的项的次数是”的条件，不符合题意； D、方程组满足 “含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的整式方程”，符合题意． 故选：D． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查了三元一次方程组的定义，熟练掌握三元一次方程组的定义是解题的关键． 根据三元一次方程组的定义分别进行判断即可． 【详解】解：A、第三个方程中x的次数为2，不符合题意； B、第一个方程为分式方程，不符合题意； C、此方程组为三元一次方程组，符合题意； D、方程组只含有两个未知数，不符合题意． 故选：C． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可． 【详解】解：A．是三元一次方程组，符合题意； B．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； C．只含有2个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； D．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查了解三元一次方程组，熟练掌握三元一次方程组的定义是解本题的关键． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列方程组中，不属于三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查了三元一次方程组的定义，即含有三个未知数，并且所含未知数的次数都是1的整式方程组叫做三元一次方程组，再根据三元一次方程组的定义判断即可． 【详解】解：A．符合定义，是三元一次方程组，不符合题意； B．符合定义，是三元一次方程组，不符合题意； C．符合定义，是三元一次方程组，不符合题意； D．方程组含有两个未知数，不是三元一次方程组，符合题意； 故选：D． 重难点二、三元一次方程组的解 三元一次方程组的解，是同时满足方程组内所有方程的一组未知数的值。解题核心思路为消元，先通过代入或加减消元消去一个未知数，转化成熟悉的二元一次方程组。求出两个未知数后，再回代求出第三个未知数。算出结果后，务必代入全部方程逐一检验。 1．（25-26七年级下·甘肃天水·期中）已知，要使解法较为简便，应该（   ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】解三元一次方程组时，优先消去系数最简单、最易消去的未知数，观察方程组中各未知数的系数，y的系数更便于直接消元，能让计算更简便． 【详解】解：将原方程组标记为， ∵可直接消去y，得到只含x，z的方程， 也可直接消去y，得到另一个只含x，z的方程， 两步即可将三元方程组转化为二元方程组，过程最简便， ∴先消去y的解法更简便，故选B． 2．（25-26七年级下·海南海口·期中）解三元一次方程组，若先消去，组成关于、的二元一次方程组，则应对方程组进行的变形为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】三元一次方程组的定义及解、加减消元法 【详解】解：A．，得，，符合题意； B．，得，，不符合题意； C．，得，，不符合题意； D．，得，，不符合题意． 3．（22-23七年级下·浙江温州·期中）三元一次方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.9 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】利用代入消元法，逐步消元求解三元一次方程组即可． 【详解】解：， 将①代入②，得 解得， 将①和代入③，得 解得， 将代入①，得， 原方程组的解为． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）三元一次方程组消去未知数z后，得到的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】通过加减消元消去未知数，得到二元一次方程组，再对比选项得出正确结果． 【详解】解： ∵，得， 即，可排除C、D选项； 再将，得， 即， ∴ 消去后得到的二元一次方程组为，符合选项A． 若选择消去，可得，选项B中常数项为，因此B错误． 5．（25-26八年级上·全国·期末）在三元一次方程 中， 用含 的代数式表示 ：______________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查了三元一次方程的变形，掌握移项法则和等式的性质是解题的关键．通过移项和系数化为1，将z用含x、y的代数式表示． 【详解】　解：将方程 移项，得 ； 两边同时除以，得 ，化简得 故答案为： ． 6．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）三元一次方程组，则________ 【答案】14 【难度】0.85 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】方程组中三个方程左右两边相加，变形即可得到的值． 【详解】解：， ，得， ∴． 7．（25-26七年级下·天津和平·期中）三元一次方程组的解是___________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【详解】解： 将③代入①得：④， 将③代入②得：⑤， 得：，即， 将代入③得：， 将代入④得：， 则方程组的解为． 故答案为：． 8．（25-26七年级下·四川遂宁·阶段检测）已知，当时，；当时，；当时，，求a、b、c的值． 【答案】 【难度】0.86 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】将，；，；，分别代入，得到三元一次方程组，再解方程组即可． 【详解】将，；，；，分别代入 得，， 解得． 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）解方程组：． 【答案】 【难度】0.9 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】将③代入①消去z，可得，再结合②根据加减消元法求出，然后将x的值代入方程求出另外两个未知数的值即可． 【详解】解：， 把③代入①，得， 整理得：， ，得，解得：， 把代入③，得， 把代入④，得， ∴原方程组的解为． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【难度】0.85 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查三元一次方程组的求解，核心方法是通过加减消元法消去未知数，将三元一次方程组逐步转化为二元一次方程组、一元一次方程求解． （1）先利用方程①和②消去，再利用方程②和③消去，得到关于、的二元一次方程组，求解后代入原方程求出； （2）先利用方程①和②消去，得到关于、的方程，再与方程③联立求出、，最后代入原方程求出． 【详解】（1）解：①+②得：④； ②-③得：⑤； 由④得， 将其代入⑤得：，解得； 将代入④得； 将，代入③得，解得； ∴方程组的解为； （2）解：①+②得：，化简得④； ③+④得：，解得； 将代入④得，解得； 将，代入①得，解得； ∴方程组的解为． 模块二、三元一次方程组的应用 重难点一、阅读材料题型 三元一次方程组阅读材料题，先要读懂题干给出的新概念、新方法。提炼材料中的运算规则，结合消元思想灵活套用。按照例题示范步骤搭建方程组，不要主观自创规则。遇到整体求值类问题，优先考虑整体换元，避免盲目求出所有未知数，简化复杂运算。 1．（25-26七年级下·吉林长春·期末）先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组 在本题中，先将看作一个整体，将①整体代入②，得，解得． 把代入①得，所以 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答． (1)用这种方法解方程组 (2)方程组的解为__________． 【答案】(1) (2) 【难度】0.62 【知识点】三元一次方程组的定义及解、二元一次方程组的特殊解法 【分析】（1）将①整体代入②，得，再把代入①，即可求解； （2）将①整体代入②，得，把代入得，再把代入①得：，即可求解． 【详解】（1）解：， 将①整体代入②，得， 解得， 把代入①得：， 解得， 所以原方程组的解为； （2）解：， 将①整体代入②，得， 解得：， 把代入得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 2．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）数学课上，老师布置了这样一道题目：已知方程组，求的值．针对此问题，乐乐同学认为可以用“整体思想”和“消元、转化”方法求解．因为问题是求解整体的值，因此可以在原方程组中“分离”出即可，即，接下来把和分别看作一个整体，采用“代入消元法”或者“加减消元法”均可解决该问题了． (1)请你替乐乐同学完成接下来的步骤，求出的值； (2)请你用上述思想方法求解问题：已知，求的值． 【答案】(1)20 (2)1 【难度】0.69 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】（1）求出，然后代入①求解即可； （2）将原方程组变形成，然后同（1）求解即可． 【详解】（1）解：， 得，， 将③代入①，得，即； （2）解：将原方程组变形成， 得：， 将③代入①，得，即． 3．（24-25七年级下·北京通州·期末）小明在解方程组时发现，可以将①＋②得：③，将③得：④，将④得：⑤，用⑤－①得：，②－⑤得：，方程组的解为，小明高兴的给自己发现的解法取名为“凑整消元法”，请你参考小明的“凑整消元法”解决下列问题． (1)已知关于的方程组，则方程组的解是________． (2)已知关于的方程组，则________．方程组的解是________． (3)对于有理数定义一种新的运算：，其中是常数，等式的右边是有理数的运算，若，，求的值． 【答案】(1) (2)； (3) 【难度】0.85 【知识点】三元一次方程组的定义及解、加减消元法 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，三元一次方程组的解法，新定义．掌握凑整消元法是解题的关键，注意计算过程中系数的准确性． （1）通过将方程组两方程相加化简得到，再利用代入消元法逐步求解和的值． （2）通过将方程组三个方程相加化简得到的值，再用该值分别减去原方程，逐步求出的值． （3）根据新定义运算列出关于的方程组，通过方程组相减和变形求出的值，即的结果． 【详解】（1）解：， 将①＋②得：③， 将③得：④， 将④得：⑤， 将⑤－①得：， 将代入③得：， ∴方程组得解为． （2）解：， 由①＋②＋③得：④， 将④得：⑤， 将⑤①得：， 将⑤②得：， 将⑤③得：， ∴方程组得解为． （3）解：∵且，， ∴， ∴， 由②①得：③， 将③得：④， 将①④得：， ∴． 4．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）【阅读感悟】已知关于，的方程组，求代数式和的值． 本题常规思路是解方程组求得，的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过变形整体求得代数式的值，例如，由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知关于，的方程组，则_______；________； 【拓展延伸】 (2)某班组织活动购买小奖品，买10支中性笔、4支记号笔、2本日记本共需42元；买19支中性笔、7支记号笔、3本日记本共需74元．求购买1支中性笔、1支记号笔、1本日记本共需多少元？ 【答案】(1)14，12 (2)10元 【难度】0.65 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、三元一次方程组的应用、二元一次方程组的特殊解法 【分析】（1）根据等式性质，两个方程相减即可求得的值；两个方程相加再两边除以3即可求得的值； （2）设中性笔单价a元，记号笔单价b元，日记本单价c元，列出方程组，再根据等式性质即题干中的方法求解即可． 【详解】（1）解：将方程组的两个方程相减，得； 两个方程相加，得，方程两边同时除以3，得； （2）解：设中性笔单价a元，记号笔单价b元，日记本单价c元，则 ， ，得③， ，得． 答：购买1支中性笔、1支记号笔、1本日记本共需10元． 5．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）【阅读理解】在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：，所以，的值为2． 【类比迁移】 (1)已知，求的值； 【实际应用】 (2)某班级组织活动购买小奖品，买3支铅笔、2块橡皮、1本笔记本共需15元，买7支铅笔、5块橡皮、3本笔记本共需38元，则购买15支铅笔、15块橡皮、15本笔记本共需多少元？ 【答案】(1)20 (2)购买15支铅笔、15块橡皮、15本笔记本共需120元 【难度】0.56 【知识点】三元一次方程组的定义及解、三元一次方程组的应用 【分析】（1）根据题中所给方法进行求解即可； （2）设1支铅笔需要元，1块橡皮需要元，1本笔记本需要元，依题意可得：，然后进行求解即可． 【详解】（1）解： 得：③， ，得：， 所以，的值为20． （2）解：设1支铅笔需要元，1块橡皮需要元，1本笔记本需要元，依题意可得： ， ，得：， ； 答：购买15支铅笔、15块橡皮、15本笔记本共需120元． 6．（25-26七年级下·山东德州·期末）阅读感悟： 有些关于方程组的问题，我们不需要单独求出每一个未知数的具体数值，而是要得到关于这些未知数的整体表达式的值，如以下问题： 已知实数满足，，求和的值． 本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则 ， ； (2)某班级组织活动购买小奖品，买支铅笔、本日记本共需元，买支铅笔、本日记本共需元，利用上述“整体思想”求购买5支铅笔、5本日记本共需多少元？ (3)对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么 ． 【答案】(1)， (2)购买支铅笔、本日记本共需元 (3) 【难度】0.57 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、三元一次方程组的应用、加减消元法 【分析】（1）把两个方程相减、加即可得到答案； （2）设每支铅笔元，每本日记本元，则，然后即可求解； （3）由得，，，然后进行加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 由可得， 由得， ∴； （2）解：设每支铅笔元，每本日记本元， 则， ，得， ，得， ∴， ∴购买支铅笔、本日记本共需元； （3）解：∵ ∴，，， ∴，得， ∴， ，得， ，得， ∴， 即． 7．（25-26七年级下·云南昆明·期末）【感悟思想】 已知实数x，y满足①，②，求和的值． 思考：常规思路是将①②联立成方程组，解出x，y的值再代入所求代数式求值． 观察这两个方程未知数的系数之间的数量关系，还可以通过适当整体变形求代数式的值．如可得；可得． 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【体会思想】 (1)已知二元一次方程组，则________，________； (2)已知方程组：，则________； 【应用思想】 (3)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需27元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需50元，若铅笔、橡皮和日记本的价格均为正整数，则1支铅笔、1块橡皮、1本日记本的价格共需多少元？ 【答案】(1)， (2) (3)购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需4元 【难度】0.57 【知识点】实数概念理解、三元一次方程组的应用、加减消元法、二元一次方程组的特殊解法 【分析】（1）把两个方程相加可求，相减可求； （2）把3个方程相加得； （3）设未知数列出方程组，用整体思想求解即可． 【详解】（1）解：， 得 ， 得 ， 解得. （2）解：， ①+②+③得， ， 即； （3）解：设购买1支铅笔a元，1块橡皮b元，1本日记本c元,根据题意列方程组得， ． ①②得， ， 答：购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需4元． 8．（25-26七年级下·四川乐山·期中）阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程： 令，原方程组化为，解得， 把代入，得，解得， ∴原方程组的解为． 学以致用： (1)解方程组： (2)有甲、乙、丙三种商品，如果购买甲3件、乙2件、丙1件共需315元，购买甲1件、乙2件、丙3件共需285元，求购买甲、乙、丙三种商品各1件共需多少钱． 【答案】(1) (2)购买甲、乙、丙三种商品各1件共需150元 【难度】0.62 【知识点】三元一次方程组的应用、二元一次方程组的特殊解法 【分析】（1）根据题中所给的换元法进行求解即可； （2）设购买1件甲商品需元，购买1件乙商品需元，购买1件丙商品需元，由题意得：，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可令，原方程组化为， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：设购买1件甲商品需元，购买1件乙商品需元，购买1件丙商品需元，由题意得： ， 得：， ∴； 答：购买甲、乙、丙三种商品各1件共需150元． 重难点二、实际应用题型 三元一次方程组实际应用题，题干通常包含三组等量关系。合理设出三个未知数，根据文字描述列出方程组，运用消元法逐步求解。最后结合现实情况筛选答案，人数、物品数量等一般取正整数。审题梳理清楚数量关系，防止混淆条件，做完检验数值是否符合题意。 1．（25-26七年级下·山东泰安·期末）如图，有A，B，C三种砝码，按如图方式放在天平两边的托盘上，天平都能平衡，则一个B砝码和一个C砝码的质量比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】设A，B，C三种砝码的质量分别为a，b，c，根据天平列出等式求解即可． 【详解】解：设A，B，C三种砝码的质量分别为a，b，c， 根据题意得，，， ∴， ∴， ∴一个B砝码和一个C砝码的质量比为． 2．（25-26八年级下·北京怀柔·期中）如图，两个天平都平衡，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】根据天平平衡列出方程组，通过消元可得答案． 【详解】解：由题意得，， 得， ∴，即． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）有甲、乙、丙三种货物，若购甲件、乙件、丙件，共需元；若购甲件、乙件、丙件，共需元；现购甲件、乙件，共需（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．设购买甲、乙、丙各一件分别需要、、元，根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设购买甲、乙、丙各一件分别需要、、元，   由题意得：，   得： ，   即购甲件、乙件，共需元， 故选：C． 4．（25-26七年级下·内蒙古赤峰·期末）春节期间，相关部门为增添节日气氛，对政府广场进行装饰．其中用到甲、乙、丙三种造型的花束，甲种花束由5朵红花、4朵黄花和3朵紫花搭配而成，乙种花束由3朵红花、3朵黄花和2朵紫花搭配而成，丙种花束由2朵红花、1朵黄花和1朵紫花搭配而成．这些花束一共用了1060朵红花，680朵黄花，则紫花一共用了（     ）朵． A．480 B．560 C．580 D．610 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】设甲、乙、丙三种花束分别有x束、y束、z束，再通过列方程消元整体推导紫花总数即可． 【详解】解：设甲、乙、丙三种花束分别有x束、y束、z束． ∵红花共用了1060朵，黄花共用了680朵， ∴， 得，， 将③代入②得， ∴， 由题意得，紫花总数为， ∴ 将③和④代入得，， ∴紫花总数为580朵． 5．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）现有四张分别写有数字的卡片A，B，C，D．李明同学计算出三张卡片上的数字的和．如下表： 卡片编号 A，B，C B，C，D C，D，A D，A，B 三数的和 则卡片C上标有的数字为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】设四张卡片的数字分别为，根据表格得到四组三个数的和，将四个等式相加求出四个数的总和，再减去不含的三个数的和，即可得到的值． 【详解】解：设卡片上的数字分别为， 根据题意得 ， 将四个等式左右两边分别相加，则， ， ， ． 6．（2026·浙江金华·二模）我国南宋数学家杨辉在其所著《续古摘奇算法》中的攒九图一节中提出了“幻圆”的概念．如图是一个二阶幻圆模型，其内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，的值等于（     ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】根据题意易得，，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意可知： ①，②， 由①可知：，由②可知：， 把代入得：， ∴． 7．（25-26七年级上·山东枣庄·阶段检测）如图是一正方体的展开图，若正方体相对面所表示的数相等，则______． 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】三元一次方程组的应用、正方体相对两面上的字 【分析】此题主要考查了三元一次方程组的应用，以及正方体相对两个面上的文字．根据相对的两个面的代数式的值相等可得方程组，再解方程组即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：． 故答案为：1． 8．（25-26七年级上·广东广州·期末）某市在国庆节前夕举办了庆国庆足球联赛活动，这次足球联赛共11轮，胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．某校队所负场数是胜的场数的，结果共得20分，则该校队胜______场、平______场、负______场． 【答案】 6 2 3 【难度】0.85 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用．设胜场数为x，平场数为y，负场数为z，根据总场数、总得分和负场与胜场的关系列出方程组，即可求解． 【详解】解：设胜x场、平y场、负z场，根据题意得： ， 解得：， 答：胜6场、平2场、负3场． 故答案为：6，2，3 9．（25-26七年级下·北京朝阳·期中）“3·28活动”是北京中学大地课程的重要组成部分，学校为每个班级提供2000元活动经费，需要同学们自主规划一次户外活动．初一某班级计划参观奥林匹克森林公园（免门票），在租车和为每名同学购买一份保险的情况下，需要购买一些纪念品作为活动奖励，所需费用如下表： 租车费用（辆） 个人保险（人） 纪念品套装（套） （包含一个冰箱贴和一个徽章） 纪念品徽章（个） 纪念品冰箱贴（个） 1500元 5元 30元 16元 20元 （1）已知这个班级共有学生42人，在所需费用不超过活动经费的基础上，本次活动最多能够买______个纪念品（纪念品套装算两个纪念品）； （2）如果该班级想同时买到纪念品套装、纪念品徽章及纪念品冰箱贴，并且刚好把活动经费用完，则一共有______种购买方案． 【答案】 19 6 【难度】0.45 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】(1)先计算租车和保险的固定费用，得到可购买纪念品的剩余费用，要得到最多纪念品数量，需优先购买平均单价最低的纪念品套装，再计算剩余费用可购买的单个纪念品数量，得到总个数； (2)设出三种纪念品的购买数量，根据总费用列出方程，结合三个数量均为正整数的条件，分类讨论得到所有符合条件的购买方案数量． 【详解】（1）计算固定支出：租车费用为1500元，42名学生的保险费用为元，总固定支出为：元。 可用于购买纪念品的费用为：元． 纪念品套装平均单价为元，低于徽章的16元和冰箱贴的20元，因此要得到最多纪念品个数，应尽可能多买套装． 设购买套套装，则，得的最大整数值为9，此时花费元，剩余费用元，可再购买1个单个纪念品． 总纪念品个数为； （2）设购买套装套，徽章个，冰箱贴个，由题意可知，，均为正整数，总费用满足：． 两边同除以2得：， 由奇偶性可知为奇数，因此为奇数，又，得，因此的可能取值为1，3，5，7，9，分类讨论： 当时，方程化简为，正整数解为，，共3组解； 当时，方程化简为，正整数解为，共2组解； 当时，方程化简为，正整数解为共1组解； 当时，方程化简为，无符合条件的正整数解； 当时，剩余费用不足以同时购买至少1个徽章和1个冰箱贴，无符合条件的解； 总符合条件的方案数为． 10．（24-25八年级上·四川成都·期末）某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，B，C三种盲盒各一个．其中A盒中有2个耳机，3个优盘，1个音箱；B盒中耳机与音箱的数量之和等于优盘的数量，耳机与音箱的数量之比为；C盒中有1个耳机，3个优盘，2个音箱．经核算，A盒的价值为145元，B盒的价值为245元，则C盒的价值为 _______元． 【答案】155 【难度】0.4 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】先根据题意求出B盲盒中三种物品的数量，再设未知数列出方程组，整体变形求解得到C盲盒的价值． 【详解】解：由题意得，A盲盒物品总数为个，C盲盒物品总数为个， 因此B盲盒物品总数为个； 设B盲盒中蓝牙耳机数量为，迷你音箱数量为， 由B盲盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，得多接口优盘数量为， 因此，解得， 即B盲盒中有蓝牙耳机3个，多接口优盘5个，迷你音箱2个； 设一个蓝牙耳机成本为元，一个多接口优盘成本为元，一个迷你音箱成本为元， 根据题意列方程组得： 得：， 变形得， 将代入得： ， 整理得， ∴C盲盒的价值为，将代入得： ． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知方程组的解使式子的值等于，求的值． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】三元一次方程组的定义及解、三元一次方程组的应用 【分析】本题考查三元一次方程组的求解与代数式求值，核心思路是先通过方程组消元，将、、用含的代数式表示，再代入给定的等式构建关于的一元一次方程，进而求出的值． 【详解】解：已知方程组， ①+②+③，得：，即④， ④-②，得； ④-③，得； ④-①，得； ∴，解得． 12．（24-25七年级下·山东德州·阶段检测）某服装厂专门安排名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个小袖、1个衣身、1个衣领组成，如果每人每天能够缝制衣袖个，或衣身个，或衣领个，那么应该安排多少名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套． 【答案】应该安排名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套 【难度】0.94 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，解题关键是找准等量关系． 设应该安排名工人缝制衣袖，名工人缝制衣身，名工人缝制衣领，根据题中的等量关系列出方程组求解． 【详解】解：设应该安排名工人缝制衣袖，名工人缝制衣身，名工人缝制衣领，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套， 依题意有， 解得． 答：应该安排名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套． 13．（24-25七年级下·江苏南京·期中）用方程组解决问题：某动物保护机构要准备三种类型的食物共310份给需要救助的动物，现安排40名志愿者来准备这些食物，每名志愿者只能准备同一种类型的食物，且要求每名志愿者满工作量．根据以下表格信息，回答问题． 食物类型 每名志愿者准备量（份） 6 8 9 (1)如果类型食物安排了16名志愿者，那么两种类型食物各需多少名志愿者？ (2)现要求每种类型的食物至少安排11名志愿者，求三种类型的食物各需安排多少名志愿者，写出所有可行的方案． 【答案】(1)两种类型食物各需13名，11名志愿者 (2)方案一：A类型11人，B类型17人，C类型12人；方案二：A类型12人，B类型14人，C类型14人；方案三：A类型13人，B类型11人，C类型16人． 【难度】0.85 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、三元一次方程组的应用 【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解答本题的关键． （1）设两种类型食物各需x名，y名志愿者，根据共有40名志愿者和共310份食物列方程组求解即可； （2）设三种类型的食物各需x，y，z名志愿者，根据共有40名志愿者和共310份食物列方程组求解即可． 【详解】（1）设两种类型食物各需x名，y名志愿者，由题意，得 ， 解得， 所以两种类型食物各需13名，11名志愿者； （2）设三种类型的食物各需x，y，z名志愿者，由题意，得 ， 得： ， ∴， ∵每种类型的食物至少安排11名志愿者， ∴当时，， 当时，， 当时，， 所以方案一：A类型11人，B类型17人，C类型12人；方案二：A类型12人，B类型14人，C类型14人；方案三：A类型13人，B类型11人，C类型16人． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题05 三元一次方程组 模块一、三元一次方程组 重难点一、三元一次方程组的定义 判定三元一次方程组抓住三大条件：一共含有三个未知数；每一个方程都是整式方程；未知数最高次数为 1。注意不需要每个方程都同时包含三个未知数，只要方程组整体满足条件即可。做题区分一次项与常数项，警惕未知数乘积形式，出现 xy 等次项就不属于一次方程。 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列方程是三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列方程组中，不属于三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 重难点二、三元一次方程组的解 三元一次方程组的解，是同时满足方程组内所有方程的一组未知数的值。解题核心思路为消元，先通过代入或加减消元消去一个未知数，转化成熟悉的二元一次方程组。求出两个未知数后，再回代求出第三个未知数。算出结果后，务必代入全部方程逐一检验。 1．（25-26七年级下·甘肃天水·期中）已知，要使解法较为简便，应该（   ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数 2．（25-26七年级下·海南海口·期中）解三元一次方程组，若先消去，组成关于、的二元一次方程组，则应对方程组进行的变形为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（22-23七年级下·浙江温州·期中）三元一次方程组的解为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）三元一次方程组消去未知数z后，得到的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·全国·期末）在三元一次方程 中， 用含 的代数式表示 ：______________. 6．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）三元一次方程组，则________ 7．（25-26七年级下·天津和平·期中）三元一次方程组的解是___________． 8．（25-26七年级下·四川遂宁·阶段检测）已知，当时，；当时，；当时，，求a、b、c的值． 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）解方程组：． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1)； (2)． 模块二、三元一次方程组的应用 重难点一、阅读材料题型 三元一次方程组阅读材料题，先要读懂题干给出的新概念、新方法。提炼材料中的运算规则，结合消元思想灵活套用。按照例题示范步骤搭建方程组，不要主观自创规则。遇到整体求值类问题，优先考虑整体换元，避免盲目求出所有未知数，简化复杂运算。 1．（25-26七年级下·吉林长春·期末）先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组 在本题中，先将看作一个整体，将①整体代入②，得，解得． 把代入①得，所以 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答． (1)用这种方法解方程组 (2)方程组的解为__________． 2．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）数学课上，老师布置了这样一道题目：已知方程组，求的值．针对此问题，乐乐同学认为可以用“整体思想”和“消元、转化”方法求解．因为问题是求解整体的值，因此可以在原方程组中“分离”出即可，即，接下来把和分别看作一个整体，采用“代入消元法”或者“加减消元法”均可解决该问题了． (1)请你替乐乐同学完成接下来的步骤，求出的值； (2)请你用上述思想方法求解问题：已知，求的值． 3．（24-25七年级下·北京通州·期末）小明在解方程组时发现，可以将①＋②得：③，将③得：④，将④得：⑤，用⑤－①得：，②－⑤得：，方程组的解为，小明高兴的给自己发现的解法取名为“凑整消元法”，请你参考小明的“凑整消元法”解决下列问题． (1)已知关于的方程组，则方程组的解是________． (2)已知关于的方程组，则________．方程组的解是________． (3)对于有理数定义一种新的运算：，其中是常数，等式的右边是有理数的运算，若，，求的值． 4．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）【阅读感悟】已知关于，的方程组，求代数式和的值． 本题常规思路是解方程组求得，的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过变形整体求得代数式的值，例如，由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知关于，的方程组，则_______；________； 【拓展延伸】 (2)某班组织活动购买小奖品，买10支中性笔、4支记号笔、2本日记本共需42元；买19支中性笔、7支记号笔、3本日记本共需74元．求购买1支中性笔、1支记号笔、1本日记本共需多少元？ 5．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）【阅读理解】在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：，所以，的值为2． 【类比迁移】 (1)已知，求的值； 【实际应用】 (2)某班级组织活动购买小奖品，买3支铅笔、2块橡皮、1本笔记本共需15元，买7支铅笔、5块橡皮、3本笔记本共需38元，则购买15支铅笔、15块橡皮、15本笔记本共需多少元？ 6．（25-26七年级下·山东德州·期末）阅读感悟： 有些关于方程组的问题，我们不需要单独求出每一个未知数的具体数值，而是要得到关于这些未知数的整体表达式的值，如以下问题： 已知实数满足，，求和的值． 本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则 ， ； (2)某班级组织活动购买小奖品，买支铅笔、本日记本共需元，买支铅笔、本日记本共需元，利用上述“整体思想”求购买5支铅笔、5本日记本共需多少元？ (3)对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么 ． 7．（25-26七年级下·云南昆明·期末）【感悟思想】 已知实数x，y满足①，②，求和的值． 思考：常规思路是将①②联立成方程组，解出x，y的值再代入所求代数式求值． 观察这两个方程未知数的系数之间的数量关系，还可以通过适当整体变形求代数式的值．如可得；可得． 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【体会思想】 (1)已知二元一次方程组，则________，________； (2)已知方程组：，则________； 【应用思想】 (3)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需27元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需50元，若铅笔、橡皮和日记本的价格均为正整数，则1支铅笔、1块橡皮、1本日记本的价格共需多少元？ 8．（25-26七年级下·四川乐山·期中）阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程： 令，原方程组化为，解得， 把代入，得，解得， ∴原方程组的解为． 学以致用： (1)解方程组： (2)有甲、乙、丙三种商品，如果购买甲3件、乙2件、丙1件共需315元，购买甲1件、乙2件、丙3件共需285元，求购买甲、乙、丙三种商品各1件共需多少钱． 重难点二、实际应用题型 三元一次方程组实际应用题，题干通常包含三组等量关系。合理设出三个未知数，根据文字描述列出方程组，运用消元法逐步求解。最后结合现实情况筛选答案，人数、物品数量等一般取正整数。审题梳理清楚数量关系，防止混淆条件，做完检验数值是否符合题意。 1．（25-26七年级下·山东泰安·期末）如图，有A，B，C三种砝码，按如图方式放在天平两边的托盘上，天平都能平衡，则一个B砝码和一个C砝码的质量比为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·北京怀柔·期中）如图，两个天平都平衡，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）有甲、乙、丙三种货物，若购甲件、乙件、丙件，共需元；若购甲件、乙件、丙件，共需元；现购甲件、乙件，共需（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 4．（25-26七年级下·内蒙古赤峰·期末）春节期间，相关部门为增添节日气氛，对政府广场进行装饰．其中用到甲、乙、丙三种造型的花束，甲种花束由5朵红花、4朵黄花和3朵紫花搭配而成，乙种花束由3朵红花、3朵黄花和2朵紫花搭配而成，丙种花束由2朵红花、1朵黄花和1朵紫花搭配而成．这些花束一共用了1060朵红花，680朵黄花，则紫花一共用了（     ）朵． A．480 B．560 C．580 D．610 5．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）现有四张分别写有数字的卡片A，B，C，D．李明同学计算出三张卡片上的数字的和．如下表： 卡片编号 A，B，C B，C，D C，D，A D，A，B 三数的和 则卡片C上标有的数字为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·浙江金华·二模）我国南宋数学家杨辉在其所著《续古摘奇算法》中的攒九图一节中提出了“幻圆”的概念．如图是一个二阶幻圆模型，其内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，的值等于（     ） A． B．1 C．2 D．3 7．（25-26七年级上·山东枣庄·阶段检测）如图是一正方体的展开图，若正方体相对面所表示的数相等，则______． 8．（25-26七年级上·广东广州·期末）某市在国庆节前夕举办了庆国庆足球联赛活动，这次足球联赛共11轮，胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．某校队所负场数是胜的场数的，结果共得20分，则该校队胜______场、平______场、负______场． 9．（25-26七年级下·北京朝阳·期中）“3·28活动”是北京中学大地课程的重要组成部分，学校为每个班级提供2000元活动经费，需要同学们自主规划一次户外活动．初一某班级计划参观奥林匹克森林公园（免门票），在租车和为每名同学购买一份保险的情况下，需要购买一些纪念品作为活动奖励，所需费用如下表： 租车费用（辆） 个人保险（人） 纪念品套装（套） （包含一个冰箱贴和一个徽章） 纪念品徽章（个） 纪念品冰箱贴（个） 1500元 5元 30元 16元 20元 （1）已知这个班级共有学生42人，在所需费用不超过活动经费的基础上，本次活动最多能够买______个纪念品（纪念品套装算两个纪念品）； （2）如果该班级想同时买到纪念品套装、纪念品徽章及纪念品冰箱贴，并且刚好把活动经费用完，则一共有______种购买方案． 10．（24-25八年级上·四川成都·期末）某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，B，C三种盲盒各一个．其中A盒中有2个耳机，3个优盘，1个音箱；B盒中耳机与音箱的数量之和等于优盘的数量，耳机与音箱的数量之比为；C盒中有1个耳机，3个优盘，2个音箱．经核算，A盒的价值为145元，B盒的价值为245元，则C盒的价值为 _______元． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知方程组的解使式子的值等于，求的值． 12．（24-25七年级下·山东德州·阶段检测）某服装厂专门安排名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个小袖、1个衣身、1个衣领组成，如果每人每天能够缝制衣袖个，或衣身个，或衣领个，那么应该安排多少名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套． 13．（24-25七年级下·江苏南京·期中）用方程组解决问题：某动物保护机构要准备三种类型的食物共310份给需要救助的动物，现安排40名志愿者来准备这些食物，每名志愿者只能准备同一种类型的食物，且要求每名志愿者满工作量．根据以下表格信息，回答问题． 食物类型 每名志愿者准备量（份） 6 8 9 (1)如果类型食物安排了16名志愿者，那么两种类型食物各需多少名志愿者？ (2)现要求每种类型的食物至少安排11名志愿者，求三种类型的食物各需安排多少名志愿者，写出所有可行的方案． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $