重难点专题02 二元一次方程组的解法（专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 以“消元思想”为主线，系统整合基础解法、特殊技巧及综合应用，构建“方法-题型-素养”三维训练体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解二元一次方程组|3类重难点/28题|代入消元法（系数±1优先）、加减消元法（防漏乘常数项）、整体换元法（连等/重复代数式处理）|从基础消元到技巧优化，形成“二元→一元”转化思维链| |解二元一次方程组的应用|4类重难点/36题|错解复原（代入正确方程）、构造方程组（非负性/同类项）、参数问题（系数比值分析）、同解问题（先求公共解）|从逆向纠错到综合构造，深化方程思想与模型意识|

重难点专题02 二元一次方程组的解法 模块一、解二元一次方程组 重难点一、代入消元法 代入消元法核心思路是消元，将二元转化为一元。优先挑选未知数系数为 ±1 的方程，变形为用一个未知数表示另一个未知数，再代入另一个方程求解。计算时注意括号符号，避免去括号漏变号。求出一个未知数后，代回变形后的简易式子求另一个值，最后记得检验答案。 1．（25-26七年级下·湖北荆州·期末）用代入消元法解方程组较为简便的方法是（     ） A．先把变形 B．先把变形 C．可先把变形，也可先把变形 D．把同时变形 2．（21-22七年级下·河南驻马店·阶段检测）方程组的解是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·福建泉州·期末）把方程变形，用含的式子表示，可得__________． 4．（25-26七年级下·福建泉州·期末）已知方程，用含的代数式表示，则_________ 5．（22-23七年级下·广西柳州·阶段检测）解方程组：． 6．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）解方程组： 【答案】 7．（25-26八年级上·广东茂名·阶段检测）解方程组： (1)； (2)． 8．（25-26七年级下·江西南昌·期末）按要求解答下列问题： (1)方程组的解与是否互为相反数？说明你的理由． (2)若方程组的解与互为相反数，求的值． 9．（2022·浙江台州·模拟预测）解方程组． 重难点二、加减消元法 加减消元法通过等式同乘倍数，制造互为相反数或相等的同类项。系数互为相反数用加法，系数相等用减法。统一系数时方程每一项都要乘，切勿漏乘常数项。消元算出一元解后，带回原方程组求值。系数复杂时先化简方程组，减少计算失误。 1．（21-22七年级下·云南西双版纳·阶段检测）已知x，y满足方程组，则的值为（     ） A． B． C．2 D．5 2．（25-26七年级下·福建泉州·期末）二元一次方程组的解为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）方程组的解是（     ） A． B． C． D． 4．（21-22九年级·浙江温州·学业考试模拟）已知，则的值为（     ） A． B．8 C． D．4 5．（25-26七年级下·青海玉树·期末）用加减法解方程组，由可得________． 【答案】 6．（21-22七年级下·四川德阳·期中）如果关于x，y的方程组的解满足，则k的值为______． 7．（21-22七年级下·甘肃庆阳·期中）解下列方程组 8．（21-22七年级下·云南西双版纳·阶段检测）解方程组： 9．（23-24八年级上·广西柳州·开学考试）解方程组； 10．（25-26七年级下·江西南昌·期末）解下列二元一次方程组： (1)； (2)． 11．（25-26七年级下·西藏昌都·期末）解方程组： (1)． (2) 12．（21-22七年级下·内蒙古兴安·阶段检测）解方程组 (1) (2) 重难点三、二元一次方程组的特殊解法 针对轮换、比例型方程组，可灵活运用整体换元法简化运算。遇到连等形式，拆分为两个独立方程；出现重复代数式，设置新元替换。不必机械套用常规消元步骤。整体思想是核心，避开繁琐计算，完成求解后带回换元关系算出原始未知数。 1．（25-26七年级下·安徽淮南·期末）若关于，的方程组的解是，则关于的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·期末）已知方程组的解是，那么方程组的解是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·四川宜宾·期末）已知关于的方程组的解为，则关于的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·山东滨州·期末）已知方程组那么________． 5．（25-26七年级下·浙江宁波·开学考试）已知方程组，则的值是___________． 6．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）已知关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是_____． 7．（2025·四川自贡·模拟预测）已知关于的二元一次方程组的解为，那么关于的二元一次方程组的解为__________ ． 8．（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·阶段检测）若方程组的解是，则方程组的解为___________． 9．（24-25七年级下·河南濮阳·期末）阅读下面的材料解决问题． 解方程组． 解：由①得，将③代入②得，解得；把代入①解得，所以该方程组的解为，这种方法称为“整体代入法”．请你用这种方法解方程组． 10．（25-26七年级下·广西钦州·阶段检测）阅读材料，回答问题． 解方程组时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，，原方程组可化为，解得，即，所以原方程组的解为，这种解方程组的方法叫做整体换元法． (1)已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于，的二元一次方程组的解为__________； (2)用材料中的方法解二元一次方程组； (3)关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的方程组的解． 模块二、解二元一次方程组的应用 重难点一、二元一次方程组的错解复原问题 错解复原抓住关键：看错系数的解，依旧满足没有看错的方程。把错误解代入系数无误的方程，建立新方程组求出参数。不要直接使用错解带入出错方程。算出参数后还原完整方程组，正常求解得到正确答案，这是初中高频易考题型。 1．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）甲、乙两人同求方程的整数解，甲正确的求出一个解为，乙把看成，求得一个解为，则、的值分别为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河北石家庄·阶段检测）李明、王超两位同学同时解方程组，李明解对了，得：，王超抄错了，得：，则原方程组中的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 3．（25-26七年级下·河南鹤壁·阶段检测）甲、乙两名同学在解方程组时，甲解题时看错了m，解得，乙解题时看错了n，解得，请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）用消元法解方程组时，两位同学的解法如下： 解法一：由①-②，得…… 解法二：由②，得．③ 把①代入③，得…… (1)上述两个解法中有一个计算有误，请指出计算有误的解法并进行改正． (2)请选择一种你喜欢的解法解方程组． 5．（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段检测）小明和小文解一个关于x，y的二元一次方程组小明正确解得，小文因看错了c，解得．已知小文除看错了c外没有出现其他错误，求的值． 6．（24-25七年级下·河南南阳·阶段检测）甲、乙两人同时解方程组甲看错了b，求得的解为乙看错了a，求得的解为你能求出原题中正确的a，b吗？ 7．（25-26七年级下·湖北荆州·期末）下面是颖颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务： 解方程组： 解：，得③第一步； ，得．第二步 将代入①，得．第三步 所以，原方程组的解为．第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_______；以上求解步骤中，第一步的依据是_______； (2)第_______步开始出现错误，具体错误是_________； (3)求出该方程组的正确解． 8．（25-26七年级下·甘肃陇南·期末）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试求的值． 9．（25-26七年级下·江西赣州·期末）小马、小虎两人同时解方程组,小马由于看错了方程①中的，得到方程组的解为，小虎看错了方程②中的，得到方程组的解为． (1)求的值； (2)求出原方程组的正确解． 10．（25-26六年级下·上海闵行·期末）在解方程组时，由于粗心，小马看错了方程①中的系数，得出解为；小虎看错了方程②中的系数而得解为．请你根据上述条件，求出原方程组的解． 11．（25-26七年级下·全国·期末）已知是一个被墨水污染的方程组．这个方程组的解与方程组的解相同；因为看错了第二个方程中的的系数，求出的解是，请你根据以上信息，把方程组复原出来． 重难点二、构造二元一次方程组求解 题目缺少方程组时，挖掘题干隐藏条件构造等式。常结合绝对值、平方、算术平方根非负性，令多个非负数分别等于 0 列出方程；或是利用同类项定义、坐标特征建立关系式。联立得到二元一次方程组，再用消元法计算目标未知数。 1．（25-26七年级下·河南洛阳·期中）在等式中，当时，；当时，．则（    ） A． B． C． D． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）若，则的值是（   ） A．4 B．2 C． D． 3．（25-26七年级下·北京·期末）如下表是当取不同值时对应的整式的值．小明不小心打翻了墨水在纸上，导致表格部分数据看不见，则的值分别为（     ） x 1 2 ax+3b 3 1 A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·云南昆明·阶段检测）若，则的值为_________． 5．（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）对于x，y定义一种新运算（a，b是非零常数）．例如．若，，则______． 6．（25-26七年级下·河南鹤壁·阶段检测）若单项式与是同类项，则_____． 重难点三、已知二元一次方程组的解的情况求参数 二元一次方程组解分三种：唯一解、无数解、无解。化成统一标准形式，对比未知数系数与常数项比值。比值全部相等则无数解；未知数系数比相等，常数项比值不等则无解；系数比值不等存在唯一解。严格区分比例关系，防止混淆结论。 1．（25-26七年级下·山东临沂·期末）关于，的方程组的解满足，则的值是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山东烟台·期末）若方程组的解满足，则k的值为（     ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 3．（25-26七年级下·四川南充·期末）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则的值是（     ） A．3 B．2 C．1 D．-2 4．（25-26七年级下·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）若方程组的解满足，则k的值是（     ） A．2 B． C．4 D． 5．（25-26七年级下·山西吕梁·期末）若关于， 的二元一次方程组的解满足，则的值为_________． 6．（22-23七年级下·山东淄博·阶段检测）已知关于x、y的方程组的解满足，则______． 7．（25-26七年级下·贵州安顺·期末）若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则________． 8．（25-26七年级下·河南安阳·期末）在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点的“美好点”为点．例如，点的“美好点”是点． (1)①点的“美好点”的坐标是______． ②若点的“美好点”的坐标为，求点的坐标． (2)若点的“美好点”在轴上，求的值． 9．（25-26七年级下·福建福州·期中）已知二元一次方程组的解满足，求的值． 10．（25-26七年级下·吉林松原·期末）已知关于x，y的方程组，当x与y互为相反数时，求a的值及方程组的解． 重难点四、二元一次方程组相同解问题 两个方程组有相同解，意味着这组解同时满足四个方程。优先选取不含参数的两个方程联立，先求出公共解；再把公共解代入含有参数的方程，联立算出参数数值。切忌直接联立带参数方程，理清解题顺序能够大幅简化计算。 1．（25-26七年级下·北京通州·期中）如果关于，的方程组与有相同的解，那么的值是（   ） A． B． C．3 D． 2．（25-26七年级下·山东泰安·期中）若关于的二元一次方程组和有相同的解，则的值为_____． 3．（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）已知关于的方程组和有相同的解，那么值是___________． 4．（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）已知关于，的方程组与方程组同解，则________，________． 5．（25-26七年级下·浙江·期中）已知关于的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解． (2)求的值． 64．（25-26七年级上·贵州铜仁·阶段检测）已知关于的方程组和的解相同，求的值． 7．（21-22七年级下·吉林长春·阶段检测）已知方程组的解和方程组的解相同，求的值． 8．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解． (2)求的值． 9．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）数学方法：解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于，的二元一次方程组的解为那么关于、的二元一次方程组的解为：____________； (2)知识迁移：请用这种方法解方程组 (3)拓展应用：已知关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的二元一次方程组的解． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题02 二元一次方程组的解法 模块一、解二元一次方程组 重难点一、代入消元法 代入消元法核心思路是消元，将二元转化为一元。优先挑选未知数系数为 ±1 的方程，变形为用一个未知数表示另一个未知数，再代入另一个方程求解。计算时注意括号符号，避免去括号漏变号。求出一个未知数后，代回变形后的简易式子求另一个值，最后记得检验答案。 1．（25-26七年级下·湖北荆州·期末）用代入消元法解方程组较为简便的方法是（     ） A．先把变形 B．先把变形 C．可先把变形，也可先把变形 D．把同时变形 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】代入消元法 【分析】观察方程组未知数的系数，优先选择系数为的未知数所在方程变形． 【详解】解：方程中的系数为，可变形为，代入计算简便； 方程中的系数为，可变形为，代入计算简便， ∴先把变形或先把变形均较为简便． 2．（21-22七年级下·河南驻马店·阶段检测）方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】代入消元法 【分析】根据代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：， 由得， 将代入， 得， ， ， ， 把代入， 得， 即方程组的解为． 3．（25-26七年级下·福建泉州·期末）把方程变形，用含的式子表示，可得__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】代入消元法 【分析】根据等式的性质计算即可得出结果． 【详解】解：， 移项得， 系数化为1得． 4．（25-26七年级下·福建泉州·期末）已知方程，用含的代数式表示，则_________ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】代入消元法 【分析】利用等式的性质对方程进行变形，再用含的代数式表示即可求解． 【详解】解：， 移项得：． 5．（22-23七年级下·广西柳州·阶段检测）解方程组：． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】代入消元法 【分析】利用代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：， 将①代入②得， 解得， 将代入①得， ∴方程组的解为． 6．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）解方程组： 【答案】 【难度】0.85 【知识点】代入消元法 【详解】解：， 由①得③， 将③代入②中得，解得， 将代入③，可得， ∴该方程组的解为． 7．（25-26八年级上·广东茂名·阶段检测）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】代入消元法、加减消元法 【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）利用代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 由得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：， 由①可得， 将代入②得， 解得， 将代入得， ∴方程组的解为． 8．（25-26七年级下·江西南昌·期末）按要求解答下列问题： (1)方程组的解与是否互为相反数？说明你的理由． (2)若方程组的解与互为相反数，求的值． 【答案】(1)是，理由如下： ， 由得，， 解得：， 将代入②得，， 解得：， ， 方程组的解与互为相反数； (2) 【难度】0.65 【知识点】相反数的定义、代入消元法、加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组，再根据相反数的定义判断即可； （2）由相反数的定义可得，再代入方程组求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：方程组的解与互为相反数， ， ， 代入方程组得，即， 解得：． 9．（2022·浙江台州·模拟预测）解方程组． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】代入消元法 【详解】解：方程组 整理得：， 由①得：， 代入②得：， 解得：， 将代入得：， ∴原方程组的解为 重难点二、加减消元法 加减消元法通过等式同乘倍数，制造互为相反数或相等的同类项。系数互为相反数用加法，系数相等用减法。统一系数时方程每一项都要乘，切勿漏乘常数项。消元算出一元解后，带回原方程组求值。系数复杂时先化简方程组，减少计算失误。 1．（21-22七年级下·云南西双版纳·阶段检测）已知x，y满足方程组，则的值为（     ） A． B． C．2 D．5 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】加减消元法 【分析】观察方程组系数特点，将两方程相加后整体求解的值． 【详解】解： ，得． 两边同时除以5，得． 2．（25-26七年级下·福建泉州·期末）二元一次方程组的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】加减消元法 【详解】解：， 得：， 解得， 把代入②得：， 解得， ∴原方程组的解为． 3．（25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】加减消元法 【分析】将两式相加消去y求出x，再将x的值代入方程②求出y即可得解． 【详解】解：， ，得. 把代入②，得， 解得. ∴方程组的解是． 4．（21-22九年级·浙江温州·学业考试模拟）已知，则的值为（     ） A． B．8 C． D．4 【答案】B 【难度】0.7 【知识点】加减消元法 【分析】观察目标式与方程组的系数特征，将两方程直接相加即可求得结果． 【详解】解： ，得， 整理得：． 5．（25-26七年级下·青海玉树·期末）用加减法解方程组，由可得________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】加减消元法 【分析】对①和②左右两边分别作差，化简即可得到结果． 【详解】解：计算的左边：， 计算的右边：， 因此可得． 6．（21-22七年级下·四川德阳·期中）如果关于x，y的方程组的解满足，则k的值为______． 【答案】 9 【难度】0.65 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】将方程组两个方程相加，可直接得到关于的表达式，结合已知条件即可求出的值． 【详解】解：， 得，， ∵方程组的解满足， ∴， 解得． 7．（21-22七年级下·甘肃庆阳·期中）解下列方程组 【答案】 【难度】0.9 【知识点】加减消元法 【详解】解： 由得， 把代入①得，，解得 ∴原方程组的解为． 8．（21-22七年级下·云南西双版纳·阶段检测）解方程组： 【答案】 【难度】0.85 【知识点】加减消元法 【详解】解： ①②，得， 解得， 把代入①，得， 解得 所以，方程组的解是． 9．（23-24八年级上·广西柳州·开学考试）解方程组； 【答案】 【难度】0.85 【知识点】加减消元法 【分析】用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：， ①②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 方程组的解为． 10．（25-26七年级下·江西南昌·期末）解下列二元一次方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.7 【知识点】代入消元法、加减消元法 【详解】（1）解：， 把①代入②，得， 解得， 把代入①，得， 所以方程组的解为． （2）解：， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 所以方程组的解为． 11．（25-26七年级下·西藏昌都·期末）解方程组： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.7 【知识点】代入消元法、加减消元法 【详解】（1）解： 由②，得 把③代入①，得 解得 把代入③，得 故原方程组的解为 （2）解： ，得 ，得 ，得 把代入①，得 解得 故原方程组的解为 12．（21-22七年级下·内蒙古兴安·阶段检测）解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】加减消元法 【详解】（1）解： 整理得 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 整理得 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为． 重难点三、二元一次方程组的特殊解法 针对轮换、比例型方程组，可灵活运用整体换元法简化运算。遇到连等形式，拆分为两个独立方程；出现重复代数式，设置新元替换。不必机械套用常规消元步骤。整体思想是核心，避开繁琐计算，完成求解后带回换元关系算出原始未知数。 1．（25-26七年级下·安徽淮南·期末）若关于，的方程组的解是，则关于的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】对比两个方程组的结构，将新方程组中和看作整体，对应原方程组的和，结合原方程组的已知解即可求出新方程组的解． 【详解】解：令，，则新方程组可转化为：， ∵原方程组的解是， ∴可得，即， 解得． 2．（25-26七年级下·全国·期末）已知方程组的解是，那么方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【详解】解：由题意得，， 解得，． 3．（25-26七年级下·四川宜宾·期末）已知关于的方程组的解为，则关于的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.45 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】利用整体换元思想，将所求方程组变形，使其与已知解的原方程组结构一致，对应得到关于的方程，进而求解． 【详解】解：∵， ∴， 令，则方程组可化为， ∵关于的方程组的解为， ∴关于的方程组的解为， ∴， ∴． 4．（25-26七年级下·山东滨州·期末）已知方程组那么________． 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【详解】解： 得， ∴． 5．（25-26七年级下·浙江宁波·开学考试）已知方程组，则的值是___________． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】直接利用第一个方程减去第二个方程即可求解； 【详解】解：， 由得：． 6．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）已知关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是_____． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】利用换元法将待解方程组转化为与已知结构相同的方程组，结合已知解求解新方程组． 【详解】解：设，， 则方程组可化为， ∵已知方程组的解是， ∴代入换元关系式得， 解得． 7．（2025·四川自贡·模拟预测）已知关于的二元一次方程组的解为，那么关于的二元一次方程组的解为__________ ． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】设，，对比两个方程组的结构，利用换元法得到关于的方程组，求解即可． 【详解】解：设，， 则方程组可化为方程组， ∵关于的二元一次方程组的解为， ∴关于的二元一次方程组的解为， ∴关于的二元一次方程组的解满足， 得，解得， 把代入①得，解得， ∴方程组的解为， ∴关于的二元一次方程组的解为． 8．（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·阶段检测）若方程组的解是，则方程组的解为___________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【详解】解：∵， ∴． ∵方程组的解是， ∴， 解得． 9．（24-25七年级下·河南濮阳·期末）阅读下面的材料解决问题． 解方程组． 解：由①得，将③代入②得，解得；把代入①解得，所以该方程组的解为，这种方法称为“整体代入法”．请你用这种方法解方程组． 【答案】 【难度】0.74 【知识点】代入消元法、二元一次方程组的特殊解法 【分析】根据题意，用整体代入法即可解答． 【详解】解：由①得， 所以， 将③代入②得， 解得； 把代入①，解得， 所以该方程组的解为． 10．（25-26七年级下·广西钦州·阶段检测）阅读材料，回答问题． 解方程组时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，，原方程组可化为，解得，即，所以原方程组的解为，这种解方程组的方法叫做整体换元法． (1)已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于，的二元一次方程组的解为__________； (2)用材料中的方法解二元一次方程组； (3)关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.48 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】（1）（2）利用整体换元法求解即可； （3）原方程组可化为 ，再利用整体换元法求解即可． 【详解】（1）解：设，， 则原方程组可化为， 与关于，的二元一次方程组系数一致， ∴， ∴，解得． （2）解：设，， 则原方程组可化为，解得． ∴，解得． （3）解：原方程组可化为 ， 设，， 则原方程组可化为 ， 与关于，的二元一次方程组的系数一致， ∴． ∴，解得． 模块二、解二元一次方程组的应用 重难点一、二元一次方程组的错解复原问题 错解复原抓住关键：看错系数的解，依旧满足没有看错的方程。把错误解代入系数无误的方程，建立新方程组求出参数。不要直接使用错解带入出错方程。算出参数后还原完整方程组，正常求解得到正确答案，这是初中高频易考题型。 1．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）甲、乙两人同求方程的整数解，甲正确的求出一个解为，乙把看成，求得一个解为，则、的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】二元一次方程的解、二元一次方程组的错解复原问题 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解及其解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】解：把甲的解代入方程可得：， 把乙的解代入方程可得：， 联立可得：， 解得：； 故选C． 2．（24-25七年级下·河北石家庄·阶段检测）李明、王超两位同学同时解方程组，李明解对了，得：，王超抄错了，得：，则原方程组中的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数、二元一次方程组的错解复原问题 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据题意可得和都是方程的解，据此可得，解方程组即可得到答案． 【详解】解：∵李明、王超两位同学同时解方程组，李明解对了，得：，王超抄错了，得：， ∴， 解得， 故选：B． 3．（25-26七年级下·河南鹤壁·阶段检测）甲、乙两名同学在解方程组时，甲解题时看错了m，解得，乙解题时看错了n，解得，请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】加减消元法、二元一次方程组的错解复原问题 【分析】先根据甲的解求出的值，根据乙的解求出的值，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：由题意得：是方程的解，是方程的解， ∴，， 解得，， ∴原方程组为， ①②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， ∴原方程组的解为． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）用消元法解方程组时，两位同学的解法如下： 解法一：由①-②，得…… 解法二：由②，得．③ 把①代入③，得…… (1)上述两个解法中有一个计算有误，请指出计算有误的解法并进行改正． (2)请选择一种你喜欢的解法解方程组． 【答案】(1)解：解法一计算有误，应改正为由①-②，得． (2) （任选一种解法解方程组即可）解法一：由①-②，得，解得． 把代入①，得，解得． 故原方程组的解是 解法二：由②，得．③ 把①代入③，得，解得． 把代入①，得，解得． 故原方程组的解是 【难度】0.85 【知识点】二元一次方程组的错解复原问题 【分析】（1）解法一是错误的； （2）利用加减消元法和代入消元法进行计算，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键． 5．（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段检测）小明和小文解一个关于x，y的二元一次方程组小明正确解得，小文因看错了c，解得．已知小文除看错了c外没有出现其他错误，求的值． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】二元一次方程组的错解复原问题 【分析】此题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 把代入方程组第一个方程求出c的值，将x与y的两对值代入第二个方程求出的值，即可求出的值． 【详解】解：把代入， 得， 解得． 把代入， 得， 即， 所以． 6．（24-25七年级下·河南南阳·阶段检测）甲、乙两人同时解方程组甲看错了b，求得的解为乙看错了a，求得的解为你能求出原题中正确的a，b吗？ 【答案】能，，． 【难度】0.85 【知识点】二元一次方程组的错解复原问题 【分析】此题考查了二元一次方程组的解．根据题意，把甲求得的解代入①，求出，把乙求得的解代入②，求出，即可得到答案． 【详解】解：能． 甲看错了b，把甲求得的解代入①，得， 得， 乙看错了a，把乙求得的解代入②，得， 得， 即，． 7．（25-26七年级下·湖北荆州·期末）下面是颖颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务： 解方程组： 解：，得③第一步； ，得．第二步 将代入①，得．第三步 所以，原方程组的解为．第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_______；以上求解步骤中，第一步的依据是_______； (2)第_______步开始出现错误，具体错误是_________； (3)求出该方程组的正确解． 【答案】(1)加减消元法；等式的基本性质2 (2)解：二，合并同类项计算错误 (3) 【难度】0.65 【知识点】加减消元法、二元一次方程组的错解复原问题 【分析】（1）根据等式的性质及加减消元法的概念即可得出答案； （2）根据解方程的方法即可得出答案； （3）根据，求出的值再代入①即可得出答案． 【详解】（1）解：这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，以上求解步骤中，第一步的依据是等式的基本性质2； （2）略 （3）解：，得 ③ ，得 整理可得 将代入①，得 解得 ∴原方程组的解为 8．（25-26七年级下·甘肃陇南·期末）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试求的值． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、二元一次方程组的错解复原问题 【分析】本题考查二元一次方程组错解问题，解此类问题抓住一句话“看错谁，不用谁”，把解代入未看错方程来组建新的关于，的方程解题． 【详解】解：甲看错了方程①中的，得到方程组的解为， ， 解得：， 同理乙看错了方程②中的，得到方程组的解为， 可得：， 解得：， ． 9．（25-26七年级下·江西赣州·期末）小马、小虎两人同时解方程组,小马由于看错了方程①中的，得到方程组的解为，小虎看错了方程②中的，得到方程组的解为． (1)求的值； (2)求出原方程组的正确解． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.62 【知识点】加减消元法、二元一次方程组的错解复原问题 【分析】利用看错系数的解仍满足未看错的方程，代入计算即可求出和的值； 把的值代入原方程组，再利用加减法解答即可． 【详解】（1）解： 小马看错方程①中的，得到的解满足方程②， 将代入②，得 ， 解得， 小虎看错方程②中的，得到的解满足方程①， 将代入①，得 ， 解得； （2）解：将，代入原方程组，得 ， ①②，得 ， ∴， 把代入①，得 ， 解得， ∴原方程组的正确解为． 10．（25-26六年级下·上海闵行·期末）在解方程组时，由于粗心，小马看错了方程①中的系数，得出解为；小虎看错了方程②中的系数而得解为．请你根据上述条件，求出原方程组的解． 【答案】 【难度】0.45 【知识点】代入消元法、二元一次方程组的错解复原问题 【分析】根据题意，将方程组的解代入正确的方程中解得，，然后代入原方程求解即可． 【详解】解：小马看错①中，解满足②：， 解得 小虎看错②中，解满足①：， 解得， 原方程组为， 由代入， 解得： ． 11．（25-26七年级下·全国·期末）已知是一个被墨水污染的方程组．这个方程组的解与方程组的解相同；因为看错了第二个方程中的的系数，求出的解是，请你根据以上信息，把方程组复原出来． 【答案】 【难度】0.45 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数、加减消元法、二元一次方程组的错解复原问题 【分析】求出的解，然后代入中求得的值；设方程中的系数为，的系数为，把原方程组的正确解与错误解代入第一个方程中求解即可求解． 【详解】解：解方程组，得， 把代入，得，， 设方程组中含有▲的方程中的系数为，的系数为， 把和代入含有▲的方程得， 解得， 原方程组为． 重难点二、构造二元一次方程组求解 题目缺少方程组时，挖掘题干隐藏条件构造等式。常结合绝对值、平方、算术平方根非负性，令多个非负数分别等于 0 列出方程；或是利用同类项定义、坐标特征建立关系式。联立得到二元一次方程组，再用消元法计算目标未知数。 1．（25-26七年级下·河南洛阳·期中）在等式中，当时，；当时，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.95 【知识点】构造二元一次方程组求解 【分析】根据“当时，；当时，”列方程组求解即可． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴， 解得：． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）若，则的值是（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值、构造二元一次方程组求解 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，代数式求值，非负数的性质，根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0得到，解方程组求出a、b的值，最后代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴． 故选：D． 3．（25-26七年级下·北京·期末）如下表是当取不同值时对应的整式的值．小明不小心打翻了墨水在纸上，导致表格部分数据看不见，则的值分别为（     ） x 1 2 ax+3b 3 1 A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】构造二元一次方程组求解 【分析】根据表格中给出的完整数据，选取两组x和对应整式的值列出方程组，求解即可得到a和b的值． 【详解】解：由表格可知，当时，， 当时，， ， 得， 将代入， 得，解得， 即． 4．（25-26七年级下·云南昆明·阶段检测）若，则的值为_________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值、构造二元一次方程组求解 【分析】根据几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，据此求出和的值，再计算即可． 【详解】解：∵， 又 由，解得 将代入，得， 解得 ． 5．（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）对于x，y定义一种新运算（a，b是非零常数）．例如．若，，则______． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】构造二元一次方程组求解 【分析】根据新定义建立二元一次方程组求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， 解得 ． ∴． 6．（25-26七年级下·河南鹤壁·阶段检测）若单项式与是同类项，则_____． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值、构造二元一次方程组求解 【分析】根据同类项中的字母相同，相同字母的指数也相同，列出方程组进行求解即可. 【详解】解：由题意，得，解得， ∴. 重难点三、已知二元一次方程组的解的情况求参数 二元一次方程组解分三种：唯一解、无数解、无解。化成统一标准形式，对比未知数系数与常数项比值。比值全部相等则无数解；未知数系数比相等，常数项比值不等则无解；系数比值不等存在唯一解。严格区分比例关系，防止混淆结论。 1．（25-26七年级下·山东临沂·期末）关于，的方程组的解满足，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】将方程组中的两个方程相减整理得到，然后根据题意得到，然后求解即可． 【详解】解： 得，， ∴， ∵关于，的方程组的解满足， ∴， ∴． 2．（25-26七年级下·山东烟台·期末）若方程组的解满足，则k的值为（     ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】把两个方程相加得到与的关系式，再结合已知条件求解的值． 【详解】解： 得， 两边同除以得， ， ， ． 3．（25-26七年级下·四川南充·期末）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则的值是（     ） A．3 B．2 C．1 D．-2 【答案】B 【难度】0.9 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】利用二元一次方程组的解的定义，将解代入原方程，依次求出和的值，再计算即可. 【详解】解：∵ 二元一次方程组的解是， ∴ 将，代入方程得： ， 解得， 再将，代入方程得： ， 解得， ∴. 4．（25-26七年级下·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）若方程组的解满足，则k的值是（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【难度】0.84 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】将方程组两个方程相加，整理得到含的表达式，结合已知列方程，即可求解． 【详解】解： 将两个方程相加，得 整理得 解得． 5．（25-26七年级下·山西吕梁·期末）若关于， 的二元一次方程组的解满足，则的值为_________． 【答案】14 【难度】0.85 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】将与组成一个新的二元一次方程组，解这个方程组，得到和的值，代入中，即可求出的值． 【详解】解：将与组成一个新的二元一次方程组， 得到 解得 将， 代入中， 可得． 6．（22-23七年级下·山东淄博·阶段检测）已知关于x、y的方程组的解满足，则______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】将两个方程相加得到，然后根据得到，然后求解即可． 【详解】解： 得， ∴ ∵ ∴ ∴． 7．（25-26七年级下·贵州安顺·期末）若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则________． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】先求解关于，的二元一次方程组，得到用表示的和，再代入即可求出的值． 【详解】解：， 两式相加得， 解得：， 将代入，得， 即方程组的解为，将其代入， 得，化简得， 解得：． 8．（25-26七年级下·河南安阳·期末）在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点的“美好点”为点．例如，点的“美好点”是点． (1)①点的“美好点”的坐标是______． ②若点的“美好点”的坐标为，求点的坐标． (2)若点的“美好点”在轴上，求的值． 【答案】(1)①；②点的坐标是 (2) 【难度】0.62 【知识点】构造二元一次方程组求解、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】（1）①根据定义进行解答即可； ②设点P的坐标是，由点P的“美好点”为，根据定义构造方程组求解即可； （2）设点P的“美好点”为，根据定义和点的“美好点”位于x轴上构造方程组求解即可． 【详解】（1）解：①由点P点坐标为， ∴， 则点的“美好点”的坐标是， ②设点的坐标是， 根据"美好点"的定义可得 解得， ∴点的坐标是． （2）解：设点的坐标为， 根据"美好点"的定义可得 ， 即， 又∵点在轴上， ∴， ∴． 9．（25-26七年级下·福建福州·期中）已知二元一次方程组的解满足，求的值． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】根据题意得到，然后求解即可． 【详解】解：∵二元一次方程组的解满足， ∴ 解得． 10．（25-26七年级下·吉林松原·期末）已知关于x，y的方程组，当x与y互为相反数时，求a的值及方程组的解． 【答案】， 【难度】0.65 【知识点】相反数的定义、加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】先根据，得出，根据x、y的值互为相反数，即可求出a的值，再将a的值代入方程组，利用加减消元法求出方程组的解． 【详解】解：， 得：， ， 的值互为相反数， ， ， ， ， 得： ， 解得：， 将代入④得：， 解得：， 方程组的解为． 重难点四、二元一次方程组相同解问题 两个方程组有相同解，意味着这组解同时满足四个方程。优先选取不含参数的两个方程联立，先求出公共解；再把公共解代入含有参数的方程，联立算出参数数值。切忌直接联立带参数方程，理清解题顺序能够大幅简化计算。 1．（25-26七年级下·北京通州·期中）如果关于，的方程组与有相同的解，那么的值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】方程组相同解问题 【分析】两个方程组有相同的解 说明公共解满足所有方程，先确定公共解为，再代入含的方程，整理即可求出的值． 【详解】解：∵两个方程组有相同的解， ∴两个方程组的公共解为， 将代入和 ，得 ， 将两个方程左右两边分别相加，得 ， 两边同除以4，得． 2．（25-26七年级下·山东泰安·期中）若关于的二元一次方程组和有相同的解，则的值为_____． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】方程组相同解问题、加减消元法 【分析】将方程组中不含的两个方程联立，求得的值，代入含有的两个方程中联立求得的值，再代入代数式中求解即可． 【详解】解：根据题意， 解得，， 将代入得，， 解得，， ∴． 3．（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）已知关于的方程组和有相同的解，那么值是___________． 【答案】6 【难度】0.85 【知识点】方程组相同解问题 【分析】本题考查了列二元一次方程组求解，解题的关键是得到，．先根据关于，的方程组和有相同的解，列出方程组求出x、y的值，再代入计算求出a、b的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵关于，的方程组和有相同的解， ∴，， 解得， 将代入得： ， 解得， ∴ 故答案为：6． 4．（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）已知关于，的方程组与方程组同解，则________，________． 【答案】 1 8 【难度】0.85 【知识点】方程组相同解问题 【分析】本题考查两个方程组同解求参数，先联立不含参数的方程和 解出x和y，再代入含参数的方程求a和b． 【详解】解：联立方程 ， 解得 ， 把 代入 ，得， 解得 故答案为 1，8． 5．（25-26七年级下·浙江·期中）已知关于的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】方程组相同解问题、加减消元法 【分析】（1）根据方程组有相同的解得到，再利用加减消元法运算即可； （2）把代入，得，再运算求解即可． 【详解】（1）解：∵方程组和有相同的解， ∴ ①②得， 解得， 将代入①得， ∴方程组的解为； （2）解：把，代入，得， 解得， ∴． 64．（25-26七年级上·贵州铜仁·阶段检测）已知关于的方程组和的解相同，求的值． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】方程组相同解问题、已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题主要考查了方程组同解问题，根据方程组和的解相同， 得出这两个方程组的解也是方程组的解，然后解方程组，得出，将代入原方程组得出，求出a、b的值，最后代入求值即可． 【详解】解：因为方程组和的解相同， 所以这两个方程组的解也是方程组的解． 解得， 将代入方程组得， 解得， 所以． 7．（21-22七年级下·吉林长春·阶段检测）已知方程组的解和方程组的解相同，求的值． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】方程组相同解问题、已知二元一次方程组的解求参数、加减消元法 【分析】联立两方程组中不含a与b的方程组成新的方程组，求出新方程组的解得到x与y的值，代入剩下的方程构成方程组求出的值，即可求出原式的值． 【详解】解：联立得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴， 把代入，得， 把代入，得， 联立， 得：， ∴． 8．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】方程组相同解问题、二元一次方程的解、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】熟练掌握二元一次方程组的解的概念，解二元一次方程组，正确计算是解题的关键． （1）根据题意组成新的方程组，求解即可； （2）把（1）中、的值代入另两个方程得到关于、的方程组，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意联立得， 解得， 即两个方程组相同的解是； （2）把代入方程和中， 得， 解得， ∴． 9．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）数学方法：解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于，的二元一次方程组的解为那么关于、的二元一次方程组的解为：____________； (2)知识迁移：请用这种方法解方程组 (3)拓展应用：已知关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的二元一次方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】方程组相同解问题、二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键． （1）设，，即可得，解方程组即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解； （3）设，，则所求方程组可化为，根据的解为，可得，即有，则问题得解． 【详解】（1）解：设，，则原方程组可化为， 的解为， ， 解得， 故答案为：； （2）解：设，，则原方程组可化为， 解得， 即有， 解得， 故方程组的解为； （3）解：设，，则可化简得， 关于，的二元一次方程组的解为， 的解，即有， 解得：． 故方程组的解为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $