重难点专题01 认识二元一次方程组（专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 以“概念辨析-性质应用-建模实践”为主线，系统提炼二元一次方程组的定义判断、解的检验、参数计算及建模方法，强化抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二元一次方程组|5重难点（含9类题型）|定义判断三条件（未知数、次数、整式）、解的代入验证法、参数问题代解求参法|从二元一次方程定义到方程组解的判定，形成“概念-性质-应用”递进链条| |列二元一次方程组|2重难点（含10类应用题）|实际问题等量关系提取法、几何图形性质转化法|从文字情境到图形信息，构建“现实问题-数学模型”转化路径，发展应用意识|

重难点专题01 认识二元一次方程组 模块一、二元一次方程组 重难点一、二元一次方程的定义 判断二元一次方程紧抓三大条件：含有两个未知数；未知数最高次数为 1；整式方程，未知数不能在分母、根号内。做题逐项核对，警惕隐藏陷阱，例如xy=1未知数次数为 2，不是整式方程，均不符合定义。牢记标准形式，快速排除干扰选项。 1．（25-26七年级下·山东聊城·期末）下列方程中，是二元一次方程有（     ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（25-26七年级下·云南西双版纳·阶段检测）下列方程中，是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·福建泉州·期末）若是关于，的二元一次方程，则的值（     ） A．1 B．3 C． D． 4．（24-25七年级下·甘肃庆阳·期中） 若是关于，的二元一次方程，则的值是________． 5．（25-26七年级下·吉林长春·期末）若是关于、的二元一次方程，则________． 6．（17-18七年级下·全国·期末）若方程组是关于 ，的二元一次方程组，则代数式的值是_____． 7．（25-26七年级下·山东泰安·期中）若是关于的二元一次方程，则的值为_____． 8．（22-23七年级下·贵州铜仁·期中）若方程是关于x，y的二元一次方程，则m的值为________． 9．（25-26七年级下·全国·周测）已知方程组是关于，的二元一次方程组，求的值． 重难点二、二元一次方程的解 二元一次方程有无数组解。判断一组数值是否为解，直接将 x、y 代入方程左右两边验算，两边相等即为解。求方程整数解时，先用一个未知数表示另一个未知数，结合取值范围枚举。注意区分二元一次方程与一元方程解的个数差异，不要混淆概念。 1．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）如果是方程的一个解，那么代数式的值是（     ） A． B．0 C．1 D．4053 2．（21-22七年级下·河南信阳·阶段检测）方程的非负整数解的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（25-26七年级下·河北保定·期末）观察表格数据，可知方程组的解为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知是方程的解，则的值为______． 5．（25-26七年级下·北京·期末）写出二元一次方程的一组整数解：_________________． 6．（25-26七年级下·吉林长春·期末）方程的正整数解是___________． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知三对数值： (1)哪几对数值能使方程的左、右两边的值相等？ (2)哪几对数值是方程组的解？ 重难点三、判断是否是二元一次方程组 二元一次方程组核心要点：一共两个未知数；组内每个方程都是一次整式方程。方程组不要求两个方程都同时含有两个未知数，例如依然成立。甄别题型时，留意未知数次数、分式形式，快速剔除含有高次、分式方程的错误选项。 1．（25-26七年级下·吉林·期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山东烟台·期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）下列方程组是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）若 是关于x，y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组，则m的值是（     ） A． B．3 C． D．任意实数 5．（19-20七年级下·山东临沂·期末）下列方程组中，①；②；③；④；属于二元一次方程组的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 重难点四、判断是否是二元一次方程组的解 方程组的解需要同时满足组内所有方程。检验时，把数值依次代入每一个方程，全部成立才是方程组的解，只满足其中一个方程不算正确答案。解题切勿只验算单个方程，这是高频易错点。答题养成完整验算习惯，规避粗心丢分。 1．（25-26七年级下·广东潮州·期末）解为的方程组是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）下列选项中，不是方程的解的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·山东菏泽·阶段检测）已知，，是二元一次方程的三个解，，，是二元一次方程的三个解，则方程组的解为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·北京通州·期中）下列是方程的解的一组数是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·北京·期末）关于和的二元一次方程和的部分解分别如表、表所示，则关于和的二元一次方程组的解是（     ） 表1 x 0 1 2 表2 x 0 1 2 y y 4 1 A． B． C． D． 重难点五、已知二元一次方程组的解求参数 已知方程组的解，直接把解代入原方程组，得到关于参数的全新方程组。按照解方程组方法算出参数数值。遇到含参数、含未知数的复合题型，分清未知数与参数，不要混淆字母。计算完成后代回原式复核，避免计算失误。 1．（25-26七年级下·江西上饶·期末）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则的值为（     ） A． B．4 C． D．5 2．（25-26七年级下·云南曲靖·阶段检测）若方程组的解为，则的值为（   　 ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（25-26七年级下·北京房山·期末）如果，是关于，的方程的解，那么的值为（     ） A． B．2 C．1 D． 4．（25-26七年级下·河北承德·期末）已知是方程的解，则的值是（     ） A． B． C． D． 5．（2022·福建福州·模拟预测）若方程组，则的值是_____． 6．（25-26七年级下·甘肃定西·期末）若是二元一次方程组的解，则的值是________． 7．（25-26七年级下·福建泉州·期末）已知关于，的二元一次方程． (1)若是该方程的一个解，求的值； (2)当每取一个不为零的值时，都可得到一个方程，而这些方程有一组公共解，试求出这组公共解． 模块二、列二元一次方程组 重难点一、根据实际问题列二元一次方程组 审题先圈出两组等量关系，设置两个未知数。梳理题干信息，把文字描述转化等式，一条等量关系列出一个方程。避开常见误区：等量关系重复、单位不统一。列式完成简单验证，确保两个方程相互独立。适合行程、购物、工程类应用题，理清逻辑是关键。 1．（25-26七年级下·天津河北·期末）《九章算术》卷第八“方程”中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：5头牛和2只羊共值10两金，2头牛和5只羊共值8两金．设每头牛值两金，每只羊值两金，则可列出方程组为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·北京丰台·期末）《算法统宗》里有这样一道题：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”大意是：有很多客人来到李三公店里住宿，如果每间客房住7人，就会多出7人没客房住；如果每间客房住9人，就会空出一间客房没人住．问客房有多少间，客人有多少人？如果设客房一共有x间，客人一共有y人，那么可列方程组为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·福建泉州·期末）清源山景区售卖特色文创礼盒，每个大盒含6枚石刻徽章，每个小盒含4枚茶花书签，两种礼盒共45盒，文创物品总数为230件．设大盒有盒，小盒有盒，根据题意列出的方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·河南周口·期末）某车间工人加工同一种零件，若每名工人每日加工个零件，当日总加工量比当日定额少个；若每名工人每日加工个零件，当日总加工量比当日定额多个．设车间共有名工人，当日定额为个零件，则下列方程组符合题意的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·山东烟台·期末）路上一群马车行，车车坐人都相等．五人同车三车空，四人同车九步行．问车有多少辆，共有多少人？设有辆车，个人，根据题意，可列出关于，的方程组为（     ） A． B． C． D． 重难点二、根据几何图形列二元一次方程组 依托几何性质寻找等量关系，常用角度和、边长相等、周长、面积公式。从图形标注提取边长、角度信息，设置未知数，依据两条几何等量关系建立方程组。重点读懂图形标注，挖掘隐藏条件，比如对顶角相等、长方形对边相等，转化成数学等式列式。 1．（25-26七年级下·广西梧州·期末）“燕几”即宴几，是古代一种组合桌，由北宋进士黄伯思（字长睿）设计，他编写的《燕几图》是组合家具设计图册，也是益智玩具“七巧板”的萌芽．如图，给出了一款名为“屏山”的桌面组合方式，它由两张长桌、两张中桌和三张小桌组成一个长为，宽为的长方形．已知每张桌子的宽均相等，若设每张桌子的宽为，中桌的长为，根据题意，可列方程组（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河北保定·期末）我国古代数学问题：现有甲、乙两个钱袋，甲袋装的钱币比乙袋装的钱币多8枚，从甲袋取12枚钱币放到乙袋，乙袋的钱币数量就是甲袋的两倍．设甲袋原有钱币枚，乙袋原有钱币枚，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）一副三角板按如图摆放，且的度数比的度数大，若设，，则可得到的方程组为（    ） A． B． C． D． 4．（16-17七年级下·河北石家庄·期中）如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个大长方形，设长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意列方程组正确的是（    ）    A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·浙江金华·期末）如图1，甲、乙两张等宽的长方形纸片，长分别为a，b，如图2，把甲纸片长的与乙纸片长的叠合在一起，此时纸片总长为30．则关于a，b的方程组不正确的是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图是由同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高，2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖低，设每块墙砖的长为，宽为，则符合右侧图形的方程组是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，设小长方形的长为，宽为，根据题意得到的二元一次方程组为_____． 8．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）如图，将四边形中的一角折叠，折痕为，点落在点处，其中，比大．设和的度数分别为和，那么和满足的方程组是___________． 9．（25-26七年级上·江西九江·阶段检测）如图所示为两个形状、大小完全一样的小长方形拼接而成的图形．设小长方形的宽为，长为，则可列方程组为______． 10．（25-26七年级下·湖北宜昌·期末）如图，在长方形中，放入个形状、大小完全相同的小长方形（即空白部分），其中，，则图中阴影部分的面积为________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题01 认识二元一次方程组 模块一、二元一次方程组 重难点一、二元一次方程的定义 判断二元一次方程紧抓三大条件：含有两个未知数；未知数最高次数为 1；整式方程，未知数不能在分母、根号内。做题逐项核对，警惕隐藏陷阱，例如xy=1未知数次数为 2，不是整式方程，均不符合定义。牢记标准形式，快速排除干扰选项。 1．（25-26七年级下·山东聊城·期末）下列方程中，是二元一次方程有（     ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】根据二元一次方程的定义逐个判断，统计符合条件的方程个数即可得到答案，二元一次方程需满足三个条件：是整式方程，含有两个不同未知数，含未知数的项的次数为1． 【详解】解：①只含有1个未知数，∴①不是二元一次方程； ②整理后为，满足二元一次方程的定义，∴②是二元一次方程； ③中不是整式，方程是分式方程，∴③不是二元一次方程； ④整理后为，满足二元一次方程的定义，∴④是二元一次方程； ⑤满足二元一次方程的定义，∴⑤是二元一次方程； ⑥中项的次数为2，不满足次数为1的要求，∴⑥不是二元一次方程； 综上，二元一次方程共有3个． 2．（25-26七年级下·云南西双版纳·阶段检测）下列方程中，是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.95 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】按整式方程、未知数个数、含未知数项的次数的顺序逐一筛选． 【详解】解：选项中， 的分母含未知数，不是整式方程，故不符合要求； 选项、中，与均只含1个未知数，且中含未知数的项的最高次数为2，故不符合要求； 选项中，是整式方程，含2个未知数，且含未知数的项的次数均为1，符合二元一次方程定义． 3．（25-26七年级下·福建泉州·期末）若是关于，的二元一次方程，则的值（     ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【难度】0.7 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】从二元一次方程“二元”“一次”的核心特征入手，列关于的关系式求解． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ∴且， 由得， 解得或， 由，得， ∴． 4．（24-25七年级下·甘肃庆阳·期中） 若是关于，的二元一次方程，则的值是________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】二元一次方程的定义 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴，且， 解得． 5．（25-26七年级下·吉林长春·期末）若是关于、的二元一次方程，则________． 【答案】1 【难度】0.91 【知识点】二元一次方程的定义 【详解】解：∵ 方程是关于、的二元一次方程， ∴ 未知数的次数等于，即． 6．（17-18七年级下·全国·期末）若方程组是关于 ，的二元一次方程组，则代数式的值是_____． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】根据二元一次方程组的定义：（1）含有两个未知数；（2）含有未知数的项的次数都是1，进行求解即可． 【详解】解：∵方程组是关于x，y的二元一次方程组， ∴，或，， 解得：，或，， ∴或． 7．（25-26七年级下·山东泰安·期中）若是关于的二元一次方程，则的值为_____． 【答案】2 【难度】0.4 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】根据二元一次方程的定义，可得的次数为，且的系数不为，据此列方程求解即可得到的值． 【详解】解：根据二元一次方程的定义，得： ，且， 解绝对值方程，得： 或 ， 解得： 或 ， ， 舍去，得． 8．（22-23七年级下·贵州铜仁·期中）若方程是关于x，y的二元一次方程，则m的值为________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】根据二元一次方程的定义，可得的次数为，且的系数不为，据此求解即可得到的值． 【详解】解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴，， 由得，解得， 由得， ∴． 9．（25-26七年级下·全国·周测）已知方程组是关于，的二元一次方程组，求的值． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】要使方程组是二元一次方程组，需要满足两个条件：①方程 中，未知数的次数必须为； ②方程中，未知数的系数不能为，否则方程组就只含有一个未知数，不符合二元一次方程组的定义． 【详解】解：方程组是关于，的二元一次方程组， 且， 由解得或， 又，即． ． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义和绝对值方程的解法，解题关键是牢记二元一次方程组的定义：方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是，并且都是整式方程．特别要注意第二个方程中未知数的系数不能为零． 重难点二、二元一次方程的解 二元一次方程有无数组解。判断一组数值是否为解，直接将 x、y 代入方程左右两边验算，两边相等即为解。求方程整数解时，先用一个未知数表示另一个未知数，结合取值范围枚举。注意区分二元一次方程与一元方程解的个数差异，不要混淆概念。 1．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）如果是方程的一个解，那么代数式的值是（     ） A． B．0 C．1 D．4053 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、二元一次方程的解 【分析】根据方程的解的定义，得到的值，再代入所求代数式计算即可； 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴； 2．（21-22七年级下·河南信阳·阶段检测）方程的非负整数解的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】二元一次方程的解 【详解】解：∵， ∴， ∵，是非负整数， ∴，即，且是2的倍数， ∴，且为偶数， ∴的可能取值为0，2，4，6， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴非负整数解共有4个． 3．（25-26七年级下·河北保定·期末）观察表格数据，可知方程组的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】二元一次方程的解 【分析】根据方程组解的定义，同时满足方程组中两个方程的一组未知数的值就是方程组的解，只需观察表格找到两个方程中x取值相同y也相同的一组值即可． 【详解】∵二元一次方程组的解需要同时满足方程组中的两个方程， ∴需要找到对同一个x，两个方程对应同一个y的一组值， 观察表格可知，当时，方程对应的，方程对应的y也为， 所以方程组的解为． 4．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知是方程的解，则的值为______． 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、二元一次方程的解 【分析】把方程的解代入方程得到，整体代入法求出代数式的值即可. 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴. 5．（25-26七年级下·北京·期末）写出二元一次方程的一组整数解：_________________． 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.9 【知识点】二元一次方程的解 【分析】先将原方程变形，再给取任意整数值，计算得到对应的整数值即可得到方程的一组整数解. 【详解】解：， ， 当时，， ∴是方程的一组整数解. （答案不唯一） 6．（25-26七年级下·吉林长春·期末）方程的正整数解是___________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】二元一次方程的解 【分析】先用的代数式表示出，再结合正整数的要求，枚举验证得到方程的解. 【详解】解：， ， 当时，， 是正整数，符合要求； 当时，， 不是正整数，舍去； 当时，， 为负数，不符合正整数要求，舍去； 方程的正整数解是． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知三对数值： (1)哪几对数值能使方程的左、右两边的值相等？ (2)哪几对数值是方程组的解？ 【答案】(1)和能使方程左右两边的值相等 (2)是方程组的解 【难度】0.65 【知识点】二元一次方程的解、判断是否是二元一次方程组的解 【分析】（1）把三组、数值依次代入方程，验证等式左右是否相等，相等即为该方程的解； （2）方程组的解需要同时满足方程组里两个方程，即在（1）满足第一个方程的数值里，再代入第二个方程验算． 【详解】（1）解：①， 左边，不符合； ② 左边右边，符合； ③， 左边右边，符合， 故、能使左右相等． （2）解：方程组， 从（1）得：，满足①式，分别代入： ：左边，不满足； ：左边右边，满足， 所以只有是方程组的解． 重难点三、判断是否是二元一次方程组 二元一次方程组核心要点：一共两个未知数；组内每个方程都是一次整式方程。方程组不要求两个方程都同时含有两个未知数，例如依然成立。甄别题型时，留意未知数次数、分式形式，快速剔除含有高次、分式方程的错误选项。 1．（25-26七年级下·吉林·期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】本题根据二元一次方程组的定义判断即可，二元一次方程组的定义为：方程组共含有两个未知数，每个方程都是整式方程，且含未知数的项的最高次数为1． 【详解】解：A选项满足上述要求，符合题意； B选项中的未知项次数为2，C选项中不是整式方程，D选项中的项次数为2，均不符合二元一次方程组定义． 2．（25-26八年级下·山东烟台·期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】根据二元一次方程组的定义逐个判断，二元一次方程组需满足：共含有两个未知数，所有方程都是整式方程，且每个方程中未知数的最高次数为1． 【详解】解：A、第一个方程中未知数次数为2，不是二元一次方程组，不符合题意； B、方程组共含两个未知数，两个方程均为一次整式方程，符合二元一次方程组的定义，符合题意； C、方程组共含三个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意； D、第二个方程不是整式方程，不是二元一次方程组，不符合题意． 3．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）下列方程组是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】判定二元一次方程组需满足三个条件：①所有方程都是整式方程；②所有方程都是一次方程；③方程组一共只含有两个未知数，根据条件逐项判断即可． 【详解】解：A.第二个方程是二次方程，不符合一次要求，不符合题意； B.两个方程均为一次整式方程，且共含两个未知数，符合二元一次方程组的定义，符合题意； C.第二个方程不是整式方程，不符合要求，不符合题意； D.方程组共含有三个未知数，不是二元方程组，不符合要求，不符合题意． 4．（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）若 是关于x，y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组，则m的值是（     ） A． B．3 C． D．任意实数 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【详解】解：原方程组是关于x，y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组， 解得：且 m的值是． 5．（19-20七年级下·山东临沂·期末）下列方程组中，①；②；③；④；属于二元一次方程组的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】二元一次方程组需满足三个条件：①方程组共含有两个未知数；②每个未知数的最高次数为1次；③方程组中的方程都是整式方程，据此逐个判断即可． 【详解】解：根据二元一次方程组的定义逐个判断： ∵①中含有三个未知数， ∴①不属于二元一次方程组； ∵②中共含两个未知数，未知数最高次数为1，均为整式方程，满足定义， ∴②属于二元一次方程组； ∵③共含两个未知数，未知数最高次数为1，均为整式方程，满足定义， ∴③属于二元一次方程组； ∵④中未知数的最高次数为2， ∴④不属于二元一次方程组； 综上，属于二元一次方程组的共个． 重难点四、判断是否是二元一次方程组的解 方程组的解需要同时满足组内所有方程。检验时，把数值依次代入每一个方程，全部成立才是方程组的解，只满足其中一个方程不算正确答案。解题切勿只验算单个方程，这是高频易错点。答题养成完整验算习惯，规避粗心丢分。 1．（25-26七年级下·广东潮州·期末）解为的方程组是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【详解】解：∵， ∴A，C选项的第一个方程不成立，排除A，C． ∵， ∴B选项的第二个方程不成立，排除B． ∵代入D选项，，，两个方程均成立， ∴D选项符合题意． 2．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）下列选项中，不是方程的解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】将各选项的代入方程，计算左边的值，若左边不等于右边，则该组值不是方程的解． 【详解】解：将各选项的代入方程，计算左边的值并验证： ∵ 选项A代入得：左边，，等式不成立， ∴ 选项A不是方程的解； 选项B：左边右边，是方程的解； 选项C：左边右边，是方程的解； 选项D：左边右边，是方程的解． 3．（25-26七年级下·山东菏泽·阶段检测）已知，，是二元一次方程的三个解，，，是二元一次方程的三个解，则方程组的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【详解】解：∵同时满足两个方程， ∴二元一次方程组的解是． 4．（25-26七年级下·北京通州·期中）下列是方程的解的一组数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.95 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】把各选项的数据代入方程看是否成立． 【详解】解：A、将代入，则，该选项符合题意； B、将代入，则，该选项不符合题意； C、将代入，则，该选项不符合题意； D、将代入，则，该选项不符合题意． 5．（25-26七年级下·北京·期末）关于和的二元一次方程和的部分解分别如表、表所示，则关于和的二元一次方程组的解是（     ） 表1 x 0 1 2 表2 x 0 1 2 y y 4 1 A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】二元一次方程的解、判断是否是二元一次方程组的解 【分析】根据“二元一次方程组的解是同时满足两个方程的公共解”，分析表格中数据即可获得答案． 【详解】解：∵二元一次方程组的解是同时满足两个方程的公共解， ∴对比表1与表2的对应值， 当时，两表的值均为， 即为方程组的解． 重难点五、已知二元一次方程组的解求参数 已知方程组的解，直接把解代入原方程组，得到关于参数的全新方程组。按照解方程组方法算出参数数值。遇到含参数、含未知数的复合题型，分清未知数与参数，不要混淆字母。计算完成后代回原式复核，避免计算失误。 1．（25-26七年级下·江西上饶·期末）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则的值为（     ） A． B．4 C． D．5 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题利用二元一次方程组的解的定义，将已知解代入原方程组，求出和的值，即可计算得到的结果． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴将解代入原方程组得 解①得， 整理②， ∴． 2．（25-26七年级下·云南曲靖·阶段检测）若方程组的解为，则的值为（   　 ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【详解】解：∵方程组的解为， ∴， 得，， ∴． 3．（25-26七年级下·北京房山·期末）如果，是关于，的方程的解，那么的值为（     ） A． B．2 C．1 D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数、已知方程的解，求参数 【分析】已知解代入原方程，解一元一次方程即可得到的值． 【详解】∵是关于，的方程的解， ∴将，代入方程得 ， 解得 ． 4．（25-26七年级下·河北承德·期末）已知是方程的解，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.95 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【详解】解：把代入方程得：， 解得． 5．（2022·福建福州·模拟预测）若方程组，则的值是_____． 【答案】24 【难度】0.65 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、已知二元一次方程组的解求参数 【详解】解：由可得， ∴ ． 6．（25-26七年级下·甘肃定西·期末）若是二元一次方程组的解，则的值是________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】二元一次方程的解、已知二元一次方程组的解求参数 【分析】将方程组的解代入原方程组，得到关于、的二元一次方程组，解出、的值，再计算． 【详解】解：把代入方程组， 可得：， ①+②得：，解得． 将代入①式： ， ， ， ． 7．（25-26七年级下·福建泉州·期末）已知关于，的二元一次方程． (1)若是该方程的一个解，求的值； (2)当每取一个不为零的值时，都可得到一个方程，而这些方程有一组公共解，试求出这组公共解． 【答案】(1) (2) 【难度】0.62 【知识点】二元一次方程的解、已知二元一次方程组的解求参数 【分析】（1）将方程的解代入方程中求解即可； （2）将原方程转化为，根据当每取一个不为零的值时所得方程都有一个公共解可得，，解之即可． 【详解】（1）解：把代入，得 ， 解得. （2）解：， ． 当时，无论取何值，始终为2． 又∵当每取一个不为零的值时，都可得到一个方程，而这些方程有一组公共解， ∴，， ∴这组公共解为． 模块二、列二元一次方程组 重难点一、根据实际问题列二元一次方程组 审题先圈出两组等量关系，设置两个未知数。梳理题干信息，把文字描述转化等式，一条等量关系列出一个方程。避开常见误区：等量关系重复、单位不统一。列式完成简单验证，确保两个方程相互独立。适合行程、购物、工程类应用题，理清逻辑是关键。 1．（25-26七年级下·天津河北·期末）《九章算术》卷第八“方程”中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：5头牛和2只羊共值10两金，2头牛和5只羊共值8两金．设每头牛值两金，每只羊值两金，则可列出方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】找准题目中的两个等量关系，结合所设未知数列出对应方程即可． 【详解】解：设每头牛值两金，每只羊值两金， ∵5头牛和2只羊共值10两金， ∴可得； ∵2头牛和5只羊共值8两金， ∴可得， 因此列出的方程组为． 2．（25-26七年级下·北京丰台·期末）《算法统宗》里有这样一道题：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”大意是：有很多客人来到李三公店里住宿，如果每间客房住7人，就会多出7人没客房住；如果每间客房住9人，就会空出一间客房没人住．问客房有多少间，客人有多少人？如果设客房一共有x间，客人一共有y人，那么可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.83 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】根据两种住宿方案中客人总人数不变的等量关系列方程组． 【详解】解：∵每间住7人多7人， ∴，即， ∵每间住9人空出1间房，实际入住房间数为， ∴，即， 联立得． 3．（25-26七年级下·福建泉州·期末）清源山景区售卖特色文创礼盒，每个大盒含6枚石刻徽章，每个小盒含4枚茶花书签，两种礼盒共45盒，文创物品总数为230件．设大盒有盒，小盒有盒，根据题意列出的方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.9 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【详解】解：∵设大盒有盒，小盒有盒，两种礼盒共盒， ∴可得方程 ； 又∵每个大盒含枚文创物品，每个小盒含枚文创物品，文创物品总数为件， ∴大盒的物品总数为，小盒的物品总数为，可得方程 ； 因此列出的方程组为 ． 4．（25-26七年级下·河南周口·期末）某车间工人加工同一种零件，若每名工人每日加工个零件，当日总加工量比当日定额少个；若每名工人每日加工个零件，当日总加工量比当日定额多个．设车间共有名工人，当日定额为个零件，则下列方程组符合题意的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】根据两种加工情况的等量关系分别列方程，即可得到正确答案． 【详解】解：设车间共有名工人，当日定额为个零件， 每名工人每日加工个零件，当日总加工量比当日定额少个，总加工量为， ， 每名工人每日加工8个零件时，当日总加工量比当日定额多18个，总加工量为， ， ∴符合题意的方程组为． 5．（25-26七年级下·山东烟台·期末）路上一群马车行，车车坐人都相等．五人同车三车空，四人同车九步行．问车有多少辆，共有多少人？设有辆车，个人，根据题意，可列出关于，的方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】设有辆车，个人，根据“五人同车三车空，四人同车九步行”列出关于，的二元一次方程组即可． 【详解】解：设有辆车，个人， ∵五人同车三车空，四人同车九步行， ∴可列出关于，的方程组为． 重难点二、根据几何图形列二元一次方程组 依托几何性质寻找等量关系，常用角度和、边长相等、周长、面积公式。从图形标注提取边长、角度信息，设置未知数，依据两条几何等量关系建立方程组。重点读懂图形标注，挖掘隐藏条件，比如对顶角相等、长方形对边相等，转化成数学等式列式。 1．（25-26七年级下·广西梧州·期末）“燕几”即宴几，是古代一种组合桌，由北宋进士黄伯思（字长睿）设计，他编写的《燕几图》是组合家具设计图册，也是益智玩具“七巧板”的萌芽．如图，给出了一款名为“屏山”的桌面组合方式，它由两张长桌、两张中桌和三张小桌组成一个长为，宽为的长方形．已知每张桌子的宽均相等，若设每张桌子的宽为，中桌的长为，根据题意，可列方程组（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.7 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】根据题意及图形列方程组即可． 【详解】解：设每张桌子的宽为，中桌的长为， 列方程组为． 2．（25-26七年级下·河北保定·期末）我国古代数学问题：现有甲、乙两个钱袋，甲袋装的钱币比乙袋装的钱币多8枚，从甲袋取12枚钱币放到乙袋，乙袋的钱币数量就是甲袋的两倍．设甲袋原有钱币枚，乙袋原有钱币枚，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】先根据原有数量关系列出第一个方程，再根据移动后乙袋钱币数量是甲袋的两倍列出第二个方程，即可得到正确方程组． 【详解】设甲袋原有钱币枚，乙袋原有钱币枚， ∵甲袋原有钱币比乙袋多枚， ∴（等价形式为）， 从甲袋取枚放入乙袋后，甲袋剩余钱币为枚，乙袋现有钱币为枚， ∵此时乙袋的钱币数量是甲袋的两倍， ∴，整理得， 因此可得方程组． 3．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）一副三角板按如图摆放，且的度数比的度数大，若设，，则可得到的方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【详解】解：根据题意得，． 4．（16-17七年级下·河北石家庄·期中）如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个大长方形，设长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意列方程组正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】根据图示可得：矩形的宽可以表示为，宽又是75厘米，故，矩形的长可以表示为，或，故，整理得，联立两个方程即可．此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽． 【详解】解：根据图示可得， 故选：B． 5．（25-26七年级下·浙江金华·期末）如图1，甲、乙两张等宽的长方形纸片，长分别为a，b，如图2，把甲纸片长的与乙纸片长的叠合在一起，此时纸片总长为30．则关于a，b的方程组不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】根据题意找出两个等量关系：一是重叠部分的长度相等，二是拼接后的总长度为30，据此列出方程或方程组进行判断即可． 【详解】解： ∵甲纸片长的与乙纸片长的叠合在一起， ∴重叠部分的长度为，也为，即 变形可得，即或，也可得 ∵此时纸片总长为30 ∴总长可表示为：甲未重叠部分+乙全长，即即或表示为：甲全长+乙未重叠部分，即即， 对于A，符合题意，正确； 对于B，中第二个方程由变形得到，正确； 对于C，中第二个方程与推导出的不符，错误； 对于D，两个方程分别表示总长的两种计算方式，联立可解出满足题意的，正确． 6．（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图是由同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高，2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖低，设每块墙砖的长为，宽为，则符合右侧图形的方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】根据题意，设每块墙砖的长为，宽为，利用“3块横放比1块竖放高”和“2块横放比2块竖放低”这两个等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设每块墙砖的长为 ，宽为 ∵3块横放的墙砖高度为，1块竖放的墙砖高度为 ∴ 可得方程：，即 ∵2块横放的墙砖高度为，2块竖放的墙砖高度为 ∴可得方程：，即 ∴ 联立可得方程组：． 7．（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，设小长方形的长为，宽为，根据题意得到的二元一次方程组为_____． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据图形，找到合适的等量关系列出方程组是解题的关键． 设小长方形的长为，宽为，根据各边之间的关系，可得出关于x，y的二元一次方程组． 【详解】解：小长方形的长为，宽为， 根据题意得：． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）如图，将四边形中的一角折叠，折痕为，点落在点处，其中，比大．设和的度数分别为和，那么和满足的方程组是___________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组、折叠问题 【分析】本题考查了列二元一次方程组，折叠的性质． 根据折叠的性质得到，进而根据“，比大”列方程组即可． 【详解】解：∵将四边形中的一角折叠，折痕为， ∴， ∵， ∴， ∵比大， ∴， 即． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·江西九江·阶段检测）如图所示为两个形状、大小完全一样的小长方形拼接而成的图形．设小长方形的宽为，长为，则可列方程组为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】本题主要考查列二元一次方程组，解题关键是要读懂题干配图．根据题意和图，找出合适的等量关系，即可列出方程组． 【详解】解：由题意和图可得， ． 故答案为：． 10．（25-26七年级下·湖北宜昌·期末）如图，在长方形中，放入个形状、大小完全相同的小长方形（即空白部分），其中，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】设每个小长方形的长为 x，宽为y，根据题意列方程可求得，即每个小长方形的面积为；再运用阴影部分的面积等于长方形的面积减去5个小长方形的面积即可． 【详解】解：设每个小长方形的长为 x，宽为y， 则，解得：， 所以每个小长方形的面积为， 所以图中阴影部分的面积为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $