专题05有理数的乘法与除法精讲学案 (核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数乘法与除法核心知识点，系统梳理两数及多个有理数乘法法则、乘法三大运算律，衔接倒数概念，通过转化思想构建除法与乘法的联系，形成从基础运算到混合运算的递进学习支架。 资料以13种分层题型（含实际应用、数轴翻折等）为载体，结合易错点提示，通过商品打折等实例培养模型意识，数轴问题提升几何直观，强化运算能力，课中辅助教师系统授课，课后助力学生针对性练习查漏补缺。

专题05有理数的乘法与除法精讲学案 核心立意 掌握有理数乘法、除法运算法则，能正确判定结果符号；理解倒数定义；熟练运用乘法运算律简化计算；会将除法转化为乘法进行乘除混合运算，强化转化思想。 有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 任何数与0相乘，积为0； 多个有理数相乘，负因数个数为偶数，积为正； 负因数个数为奇数，积为负； 只要有一个因数为0，则积为0。 乘法三大运算律： 交换律 ab=ba； 结合律 (ab)c=a(bc)； 分配律 a(b+c)=ab+ac；分配律为本节高频考点，括号外因数必须乘括号内每一项。 倒数概念： 乘积为1的两个数互为倒数；0没有倒数； 正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。 有理数除法法则： 法则一：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任意不为0的数得0； 法则二（转化思想）：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数：a b=a (b0)。 乘除混合运算： 先把除法统一转化为乘法； 根据负因数个数确定符号； 再约分计算绝对值； 乘除属于同级运算，严格从左向右运算。 ①多个有理数相乘，漏数负因数的个数，符号判断错误； ②混淆倒数与相反数，错误认为0有倒数；求负分数倒数时丢掉负号； ③除法没有分配律，极易错误写成 a(b+c)=ab+ac； ④乘除同级运算，随意跳步改变从左往右的运算顺序； ⑤除法变乘法时，只改动除号，忘记把除数改写为它的倒数； ⑥做分配律运算时，漏乘括号内其中某一项，尤其括号内含有负数时出错。 题型 考察方向 难度 题型一 两个有理数的乘法运算 ★ 题型二 多个有理数的乘法运算 ★★ 题型三 有理数乘法的实际应用 ★★ 题型四 倒数 ★★ 题型五 有理数乘法运算律 ★★★ 题型六 有理数的除法运算 ★ 题型七 有理数除法的应用 ★★ 题型八 有理数乘除混合运算 ★★ 题型九 有理数乘除中的简便运算 ★★★ 题型十 有理数四则混合运算 ★★★ 题型十一 有理数四则混合运算的实际应用 ★★★ 题型十二 根据点在数轴的位置判断式子的正负 ★★★ 题型十三 数轴上的翻折 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★拔高 题型一：两个有理数的乘法运算 解题思路：①判断两个因数的符号；②按照“同号得正，异号得负”确定积的符号；③将绝对值相乘算出结果。 1．笑笑打开数学书，发现左右两页页码的乘积是．她打开的这两页的页码分别是( )和( )． 2．定义新运算“⊕”如下：当时，；当时，；按上述定义计算的值为（    ） A． B． C． D． 3．我国古代数学家很早就对整数乘积最值问题进行了深入研究，《九章算术》中便蕴含着丰富的整数运算与优化思想，彰显了古人对数字规律的智慧探索．请你探究： （1）用数字1，2，3，4组成两个没有重复数字的两位数，使其乘积最小，这两个数是_______； （2）用5个数字组成一个没有重复数字的两位数和一个没有重复数字的三位数，使其乘积最小，这两个数是_______． 题型二：多个有理数的乘法运算 解题思路：①先看因数中有没有0，有0则结果直接为0；②统计负因数的个数，偶数个负因数积为正，奇数个负因数积为负；③绝对值相乘计算数值。 4．若，则的值为___________．（填“正数”或“负数”） 5．若有四个不同的正整数a，b，c，d，满足，则__________． 6．下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 题型三：有理数乘法的实际应用 解题思路：①用正负数表示题目中相反意义的量；②读懂题意列出乘法算式；③完成计算，结合情景解释结果的实际含义。 7．一件商品原价元，打九折后的价格为__________元． 8．妈妈给小明一个大盒子，里面装着6个纸盒子，每个纸盒子又装4个小盒子，小明一共有（     ）个盒子． A．30 B．31 C．26 D．27 9．开学前，甲、乙、丙三人拿出同样多的钱，合伙购买同种规格的文件夹．买来后，甲、乙分别比丙多拿了5和7个文件夹，最后结算时，甲付给丙8元，乙应付给丙______元． 10．一列火车车头及车身共41节，每节车头及车身长都是30米，节与节间隔1.5米，这列货车以每分钟1.5千米的速度过山洞，恰好用2分钟，这个山洞长（    ）米． A．1708.5 B．1710 C．1711.5 D．1713 题型四：倒数 解题思路：①利用乘积等于1求倒数；②牢记0没有倒数；③分数颠倒分子分母，负数的倒数依旧是负数。 11．的倒数是___________． 12．的倒数的相反数是（     ） A． B．2022 C． D． 13．的倒数与互为相反数，则_____． 14．下列说法正确的是（    ） A．a是任何数，则a的倒数是 B．因为6÷4＝1.5，所以说6能被4整除 C．一个正整数乘以真分数，积一定小于这个数 D．一个数的倒数总是比它本身小 题型五：有理数乘法运算律 解题思路：①区分交换律、结合律、分配律；②优先结合互为约分、凑整的数字；③运用分配律时，外部因数要乘括号内每一项，不能漏乘。 15．计算：______． 16．计算：_______． 17．下列变形中，运用运算律正确的是（     ） A． B． C． D． 题型六：有理数的除法运算 解题思路：①可以选用符号法则判定正负：同号得正，异号得负；②除法转化为乘法，除数改写为它的倒数；③按乘法完成运算，注意0不能作除数。 18．计算：_______ 19．计算得，则是（     ） A．2 B． C． D． 20．如果，那么 的值为______． 21．现定义一种新运算：．若，则，所以．若，则___________． 题型七：有理数除法的应用 解题思路：①读懂实际情景，分清被除数与除数；②列出除法算式；③转化乘法计算；④对最终结果做出实际意义说明。 22．将2025转换为八进制数为__________． 23．王师傅说“我每天加工6把椅子，”李师傅说“我4天加工20把椅子．”他们谁做得快些？（   ） A．王师傅 B．李师傅 C．一样快 24．一根木头，锯成5段要付费2.2元，如果要锯成10段应付费( )元． 25．如图，杆秤是中国传统的计量工具．已知秤钩到提纽的水平距离是，秤砣质量是．用杆秤称苹果，当秤砣与提纽的水平距离为时，杆秤左右平衡，此时苹果质量是（     ） A． B． C． D． 题型八：有理数乘除混合运算 解题思路：①全部除法统一转化成乘法；②统计负因数个数确定整体符号；③约分后计算绝对值；④同级运算严格从左往右依次计算。 26．计算：_____． 27．计算的结果是（   ） A．16 B．25 C． D． 28．给一间房间铺地板，选用边长3分米的方砖需要240块，若选用边长6分米的方砖，需_______块． 29．下列算式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 题型九：有理数乘除中的简便运算 解题思路：①全部转化为乘法；②利用交换律、结合律分组，优先凑整、约分；③分配律注意不要误用除法分配律；④分组后再进行求值。 30．计算： (1)； (2)． 31．计算：． 32．用运算律简便运算 (1) (2) 题型十：有理数四则混合运算 解题思路：①牢记运算顺序：先乘除，后加减；有括号先算括号内部；②注意符号处理，分步计算，减少跳步；③合理使用运算律简化运算。 33．计算：________． 34．甲数是a，比乙数的3倍多b，求乙数，正确的列式是（     ）． A． B． C． D． 35．已知a、b、c为非零有理数，的值为________． 36．定义一种新运算“⊗”，规定：，等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：，，则的值为（ ） A．3 B．9 C．15 D．27 题型十一：有理数四则混合运算的实际应用 解题思路：①用正负表示实际问题中的数量；②依据题意列出四则混合算式；③按照运算顺序计算；④结合实际情境作答。 37．春节快到的时候，小明做了一个家庭月收支记录．爸妈工资收入共9500元，春节给老人2000元，给小明和妹妹各100元压岁钱，交上个月的水电等费用400元，购买800元食品，4口人买新衣服需要1000元．请你算出小明家这个月的余额是___________元． 38．联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排，所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：）如下： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目．一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按________的先后顺序彩排． 39．周日，小敏与妈妈一起去买月饼，妈妈买了一盒月饼（共计6枚）．回家后她仔细地看了标签和包装盒上面写着净含量克，她们把6枚月饼的质量称重后统计列表如下：（其中超出标准质量记为正，不足标准质量记为负），则这六枚月饼的总质量为（     ）． 第n枚 1 2 3 4 5 6 质量偏差/克 A．420.3克 B．423克 C．420克 D．417克 题型十二：根据点在数轴的位置判断式子的正负 解题思路：①从数轴读出各数大小、正负，分清离原点远近；②判断和、差、积、商结果符号；③重点区分两数大小关系，判断加减结果正负。 40．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子中正确的是____． ①；②；③；④． 41．两个有理数、在数轴上的位置如图所示，则；___________0；___________；___________0（填“”或“”）． 42．已知有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型十三：数轴上的翻折 解题思路：①先确定翻折的中心点；②利用“两点到中点距离相等”列式；③结合数轴上点的移动规则列算式求解；④算出对应点表示的有理数。 43．在一条可以折叠的数轴上，表示的数分别是，4，如图，以点为折点，将此数轴向右对折，若点在点的右边，且，则点表示的数是（   ） A． B． C． D．1 44．数轴上点O为原点，点A表示2．现在将数轴折叠，使O与A重合．折叠后，点B与数轴上表示的点C重合，若点B表示的数是8，则C表示的数为________． 45．小张在纸上画了一条数轴，如图，折叠纸面，使数轴上表示与表示4的点重合，若该数轴上A、B两点之间的距离为8，且折叠后也互相重合，则A点表示的数是（     ） A． B． C．或5 D．或3 解答题 1．用简便方法计算： (1)； (2)； (3)． 2．计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 3．2026年世界杯将于2026年6月在北美（美国、加拿大和墨西哥）举行．为了备战世界杯，某运动员沿一条东西方向的跑道，以每秒钟9米的速度向东跑．记该运动员在跑道上的某一位置为点O，那么在点O的3秒后、2秒后、1秒后、0秒、1秒前、2秒前、3秒前，他位于点O的哪个方向？相距多少米？ 提示：向东和向西行进的速度都是具有方向的量，如果我们规定：向东为正，向西为负． 4．某公交车每月的支出费用为元，每月的乘车人数（人）与每月的利润（元）的变化关系如下表所示． （人） … （元） … (1)观察表中数据可知，每月乘客量至少达到 人时，该公交车才不会亏损； (2)当每月乘车人数为人时，每月利润为多少元？（注：每位乘客的公交票价是固定不变的，利润收入支出） 5．为鼓励居民节约用水，长沙市自来水公司制定了下面的收费方式：每户每月用水吨以内（含吨），按元/吨收取；超出吨但不超过吨（含吨）的部分，按元/吨收取，超过吨的部分，按元/吨收取． (1)小明家月份用水吨，应缴水费多少元？ (2)小明家月份用了吨水，应缴水费多少元？ (3)小红家月份缴水费元，她家月份用水多少吨？ 6．点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b． (1)把这四个数用“”连接起来： ； (2)用“”或“”填空： 0， 0； (3)若，，c、d互为相反数，m、n互为倒数，求的值． 7．如图：将下面的数轴进行对折，使表示的点与表示3的点重合，然后回答下列问题： (1)表示5的点与表示 的点重合，与重合的数是 ； (2)若数轴上A、B两点之间的距离为9，点A在点B的一侧，且A、B两点折叠后重合，求A点和B点表示的数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05有理数的乘法与除法精讲学案 核心立意 掌握有理数乘法、除法运算法则，能正确判定结果符号；理解倒数定义；熟练运用乘法运算律简化计算；会将除法转化为乘法进行乘除混合运算，强化转化思想。 有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 任何数与0相乘，积为0； 多个有理数相乘，负因数个数为偶数，积为正； 负因数个数为奇数，积为负； 只要有一个因数为0，则积为0。 乘法三大运算律： 交换律 ab=ba； 结合律 (ab)c=a(bc)； 分配律 a(b+c)=ab+ac；分配律为本节高频考点，括号外因数必须乘括号内每一项。 倒数概念： 乘积为1的两个数互为倒数；0没有倒数； 正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。 有理数除法法则： 法则一：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任意不为0的数得0； 法则二（转化思想）：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数：a b=a (b0)。 乘除混合运算： 先把除法统一转化为乘法； 根据负因数个数确定符号； 再约分计算绝对值； 乘除属于同级运算，严格从左向右运算。 ①多个有理数相乘，漏数负因数的个数，符号判断错误； ②混淆倒数与相反数，错误认为0有倒数；求负分数倒数时丢掉负号； ③除法没有分配律，极易错误写成 a(b+c)=ab+ac； ④乘除同级运算，随意跳步改变从左往右的运算顺序； ⑤除法变乘法时，只改动除号，忘记把除数改写为它的倒数； ⑥做分配律运算时，漏乘括号内其中某一项，尤其括号内含有负数时出错。 题型 考察方向 难度 题型一 两个有理数的乘法运算 ★ 题型二 多个有理数的乘法运算 ★★ 题型三 有理数乘法的实际应用 ★★ 题型四 倒数 ★★ 题型五 有理数乘法运算律 ★★★ 题型六 有理数的除法运算 ★ 题型七 有理数除法的应用 ★★ 题型八 有理数乘除混合运算 ★★ 题型九 有理数乘除中的简便运算 ★★★ 题型十 有理数四则混合运算 ★★★ 题型十一 有理数四则混合运算的实际应用 ★★★ 题型十二 根据点在数轴的位置判断式子的正负 ★★★ 题型十三 数轴上的翻折 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★拔高 题型一：两个有理数的乘法运算 解题思路：①判断两个因数的符号；②按照“同号得正，异号得负”确定积的符号；③将绝对值相乘算出结果。 1．笑笑打开数学书，发现左右两页页码的乘积是．她打开的这两页的页码分别是( )和( )． 【答案】 【分析】数学书打开的两页页码是连续正整数，根据两页乘积为分解质因数求解即可； 【详解】解：∵数学书相邻两页的页码是连续正整数， 且 ， 故笑笑打开的两页页码分别是和； 2．定义新运算“⊕”如下：当时，；当时，；按上述定义计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查定义新运算，有理数的运算，先比较和的大小，由于，即，故使用定义，代入计算即可． 【详解】解：当， 时， ∵， ∴， ∴， 故选A． 3．我国古代数学家很早就对整数乘积最值问题进行了深入研究，《九章算术》中便蕴含着丰富的整数运算与优化思想，彰显了古人对数字规律的智慧探索．请你探究： （1）用数字1，2，3，4组成两个没有重复数字的两位数，使其乘积最小，这两个数是_______； （2）用5个数字组成一个没有重复数字的两位数和一个没有重复数字的三位数，使其乘积最小，这两个数是_______． 【答案】 13和24 和 【分析】要使两个数乘积最小，需将较小数字放在高位，再确定各数位数字，即可得到乘积最小的组合． 【详解】解：（1）根据乘积最小要求，较小数字放在十位，因此十位选择和，剩余和作为个位，得到两种组合，计算得： ， ∵， ∴乘积最小的两个两位数为和． （2）已知，，可得， 要使乘积最小，应将最小的两个数字放在最高位，即，应为两个数的最高位（三位数的百位和两位数的十位），为使乘积更小，应将较小的首位数字用于位数较少的两位数，d用于三位数的百位数，使乘积最小，应使较小的两位数尽可能小，故其个位取剩余数字中最小的， ∴将作为两位数的十位，搭配剩余数字中最小的作为两位数的个位，得到两位数为 剩余的数字，按从小到大的顺序依次放在三位数的十位和个位，三位数的百位为，得到三位数为， ∴得到两位数为，三位数为． 题型二：多个有理数的乘法运算 解题思路：①先看因数中有没有0，有0则结果直接为0；②统计负因数的个数，偶数个负因数积为正，奇数个负因数积为负；③绝对值相乘计算数值。 4．若，则的值为___________．（填“正数”或“负数”） 【答案】负数 【分析】本题考查有理数的乘法法则中积的符号确定；几个有理数的相乘，积的符号由负因数的个数确定，当负因数的个数为偶数个时，积为正数；当负因数的个数为奇数个时，积为负数；当含有因数0时，积为0. 【详解】解： 其中负因数有7个，为奇数个 ∴的值为负数. 故答案为：负数. 5．若有四个不同的正整数a，b，c，d，满足，则__________． 【答案】8087或8089 【分析】根据、、、是四个不同的正整数， 得到四个括号内是各不相同的整数，不妨设，又得到这四个数从小到大可以取以下几种情况：①，1，2；②，1，3．进一步计算即可得到答案． 【详解】解：∵、、、是四个不同的正整数， ∴四个括号内是各不相同的整数， 不妨设， 又∵， ∴这四个数从小到大可以取以下几种情况：①，1，2；②，1，3． ∵ ， ∴， ∴当时， ． 当时， ． 故答案为：8087或8089． 【点睛】此题考查了有理数混合运算的应用，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 6．下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数乘法的符号法则，同号为正，异号为负，积的符号由负因数的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 【详解】解：A、有2个负因数，积的符号为正，不符合题意； B、有3个负因数，积的符号为负，符合题意； C、积为0，不符合题意； D、有4个负因数，积的符号为正，不符合题意． 题型三：有理数乘法的实际应用 解题思路：①用正负数表示题目中相反意义的量；②读懂题意列出乘法算式；③完成计算，结合情景解释结果的实际含义。 7．一件商品原价元，打九折后的价格为__________元． 【答案】 【详解】解：商品打九折指售价为原价的，根据题意列式计算得：． 8．妈妈给小明一个大盒子，里面装着6个纸盒子，每个纸盒子又装4个小盒子，小明一共有（     ）个盒子． A．30 B．31 C．26 D．27 【答案】B 【分析】分别求出大盒子，纸盒子，小盒子的数量后相加即可，注意不要遗漏最外层的1个大盒子. 【详解】解：∵ 总盒子数为大盒子数量、纸盒子数量与小盒子数量的和，已知大盒子共1个，纸盒子共6个，每个纸盒子装4个小盒子， ∴ 小盒子的数量为 ， ∴总盒子数为 . 9．开学前，甲、乙、丙三人拿出同样多的钱，合伙购买同种规格的文件夹．买来后，甲、乙分别比丙多拿了5和7个文件夹，最后结算时，甲付给丙8元，乙应付给丙______元． 【答案】24 【分析】本题考查的是有理数的混合运算的实际应用，由条件可知三个人出了同样的钱买所有文件夹，根据题意可知每个人的公平份额是比丙拿的数量多4个，甲比自己的公平份额多拿了1个，乙比自己的公平份额多拿了3个，所以必须还丙的钱，按比例可推出结果． 【详解】解：因为三人拿出同样多的钱，所以每人应分得同样数量的文件夹， 根据题意，以丙为标准，甲比丙多拿5个，乙比丙多拿7个， 则甲和乙共比丙多拿了个， 这12个文件夹应由三人平均分配，每人应分得个， 即每个人的公平份额是比丙拿的数量多4个， 因为甲实际比丙多拿5个，所以甲比自己的公平份额多拿了个， 又因为乙实际比丙多拿7个，所以乙比自己的公平份额多拿了个， 根据题意，甲为多拿的1个文件夹付给丙8元，可知每个文件夹的价格是8元， 因此，乙应为多拿的3个文件夹付给丙元 所以，乙应付给丙24元． 故答案为：24． 10．一列火车车头及车身共41节，每节车头及车身长都是30米，节与节间隔1.5米，这列货车以每分钟1.5千米的速度过山洞，恰好用2分钟，这个山洞长（    ）米． A．1708.5 B．1710 C．1711.5 D．1713 【答案】B 【分析】本题考查火车过山洞问题，根据山洞长等于火车行驶的路程减去整列火车长进行计算即可． 【详解】解：千米米， 米； 故选B． 题型四：倒数 解题思路：①利用乘积等于1求倒数；②牢记0没有倒数；③分数颠倒分子分母，负数的倒数依旧是负数。 11．的倒数是___________． 【答案】 【详解】解：将化为分数，得， ∵互为倒数的两个数乘积为， ∴的倒数为． 12．的倒数的相反数是（     ） A． B．2022 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵的倒数为，的相反数为， ∴的倒数的相反数是． 13．的倒数与互为相反数，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了倒数和相反数，先求出的相反数，再求出的倒数即可得出的值． 【详解】解：的相反数为， 的倒数是， 即，， 故答案为：． 14．下列说法正确的是（    ） A．a是任何数，则a的倒数是 B．因为6÷4＝1.5，所以说6能被4整除 C．一个正整数乘以真分数，积一定小于这个数 D．一个数的倒数总是比它本身小 【答案】C 【分析】分别根据倒数的定义，整除的定义，正整数与真分数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．a≠0时，a的倒数是，故本选项不合题意； B．因为6÷4=1.5，商是小数，所以不能说6能被4整除，故本选项不合题意； C．一个正整数乘以真分数，积一定小于这个数，正确，故本选项符合题意； D．一个数的倒数总是比它本身小，错误，真分数的倒数比它大． 故选：C． 【点睛】本题考查了倒数的定义，有理数的乘除法，熟记相关定义是解题的关键． 题型五：有理数乘法运算律 解题思路：①区分交换律、结合律、分配律；②优先结合互为约分、凑整的数字；③运用分配律时，外部因数要乘括号内每一项，不能漏乘。 15．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据乘法分配律计算即可． 【详解】解：原式， ， ， 故答案为： 16．计算：_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了小数的巧算，、、、根据积的变化规律化为，然后运用乘法分配律的逆运算计算即可． 【详解】解： ， 故答案为: ． 17．下列变形中，运用运算律正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、乘法分配律，逐一判断变形是否正确即可． 【详解】解：对选项A，，变形错误； 对选项B，根据乘法交换律与结合律，可得，变形正确； 对选项C，，变形错误； 对选项D，根据乘法分配律，得，变形错误． 题型六：有理数的除法运算 解题思路：①可以选用符号法则判定正负：同号得正，异号得负；②除法转化为乘法，除数改写为它的倒数；③按乘法完成运算，注意0不能作除数。 18．计算：_______ 【答案】0 【详解】解：． 19．计算得，则是（     ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，，，， 故是． 20．如果，那么 的值为______． 【答案】0 【分析】本题考查有理数的除法，绝对值的意义，利用，得出有一个正数，二个负数是解题关键．根据，得出中有1个正数，2个负数，设，，，化简绝对值即可求解． 【详解】解：∵， ∴中有1个正数，2个负数． 不妨设，，，则 ． 故答案为：0． 21．现定义一种新运算：．若，则，所以．若，则___________． 【答案】27 【分析】题目主要考查新定义运算，理解题意是解题关键． 根据新运算的定义 （其中 ），利用已知 ，通过代入减法的形式逐步求解即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴，即 ， 同理，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：27． 题型七：有理数除法的应用 解题思路：①读懂实际情景，分清被除数与除数；②列出除法算式；③转化乘法计算；④对最终结果做出实际意义说明。 22．将2025转换为八进制数为__________． 【答案】 【分析】本题考查进制的转换，将十进制数2025转换为八进制数，通过不断除以8并取余数，直到商为0，然后将余数从下往上排列得到八进制数． 【详解】解：余1 余5 余7 余3 将余数从下往上排列为3751，故2025的八进制数为3751； 故答案为：． 23．王师傅说“我每天加工6把椅子，”李师傅说“我4天加工20把椅子．”他们谁做得快些？（   ） A．王师傅 B．李师傅 C．一样快 【答案】A 【分析】本题主要考查了除法的应用，通过计算每天加工椅子的数量来比较工作效率，王师傅每天加工6把，根据李师傅4天加工20把，求出李师傅每天加工数量，再进行比较即可． 【详解】解：∵李师傅4天加工20把椅子， ∴李师傅每天加工数量为：（把）， ∵， ∴王师傅做得快些． 故选：A． 24．一根木头，锯成5段要付费2.2元，如果要锯成10段应付费( )元． 【答案】 【分析】锯木头问题中，锯的次数等于段数减1，先计算锯1次需要的费用，再计算锯成10段的总费用． 【详解】解：锯成5段需要锯的次数为． 锯1次需要付费（元）． 锯成10段需要锯的次数为． 总付费为（元）． 25．如图，杆秤是中国传统的计量工具．已知秤钩到提纽的水平距离是，秤砣质量是．用杆秤称苹果，当秤砣与提纽的水平距离为时，杆秤左右平衡，此时苹果质量是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据杠杆原理得：秤钩到提纽的水平距离苹果质量秤砣与提纽的水平距离秤砣质量，即可求解． 【详解】解：苹果质量为：． 题型八：有理数乘除混合运算 解题思路：①全部除法统一转化成乘法；②统计负因数个数确定整体符号；③约分后计算绝对值；④同级运算严格从左往右依次计算。 26．计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除运算． 根据有理数的乘除运算法则，按照从左到右的顺序依次计算． 【详解】解： ． 故答案为：． 27．计算的结果是（   ） A．16 B．25 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘除运算．根据有理数的乘除运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：B 28．给一间房间铺地板，选用边长3分米的方砖需要240块，若选用边长6分米的方砖，需_______块． 【答案】60 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，注意运算顺序，以及正方形的面积的求法，解答此题的关键是要明确：正方形的面积边长边长． 首先根据正方形的面积边长边长，求出边长3分米的方砖的面积，然后用它乘240，求出这间房间的底面积，最后用这间房间的底面积除以边长6分米的方砖的面积，求出需要边长6分米的方砖多少块即可． 【详解】解： （块）． 答：若选用边长6分米的方砖，需60块． 故答案为：60． 29．下列算式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法、有理数的除法，首先根据除以一个不为的数等于乘以这个数的倒数，把除法转化为乘法，然后再根据有理数的乘法法则进行计算，根据计算的结果判断正误． 【详解】解：A选项：，故A选项错误； B选项：，故B选项错误； C选项：，故C选项正确； D选项：，故D选项错误． 故选：C． 题型九：有理数乘除中的简便运算 解题思路：①全部转化为乘法；②利用交换律、结合律分组，优先凑整、约分；③分配律注意不要误用除法分配律；④分组后再进行求值。 30．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的除法运算，能够进行简便计算是解题的关键． （1）先将原式转化为，再利用乘法分配律进行简便运算； （2）先将原式转化为，再利用乘法分配律进行简便运算． 【详解】（1）解： ； （2） ． 31．计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了有理数的加减乘除混合运算，乘法运算律，根据有理数的加减乘除混合运算，乘法运算律进行求解即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． ． 32．用运算律简便运算 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的运算，运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据乘法分配律即可求解； （）根据乘法分配律即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型十：有理数四则混合运算 解题思路：①牢记运算顺序：先乘除，后加减；有括号先算括号内部；②注意符号处理，分步计算，减少跳步；③合理使用运算律简化运算。 33．计算：________． 【答案】 17 【分析】本题根据有理数混合运算顺序计算，先计算括号内的乘法，再计算括号内的减法，最后计算除法即可得到结果． 【详解】解： ． 34．甲数是a，比乙数的3倍多b，求乙数，正确的列式是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：把甲数代入“乙数甲数”中，得： 乙数 乙数 乙数 乙数 乙数． 35．已知a、b、c为非零有理数，的值为________． 【答案】4或或0 【分析】本题考查有理数的运算，分三个有理数同正，同负，一正两负，一负两正，四种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当a、b、c同正时，原式； 当a、b、c同负时，原式； 当a、b、c一正两负时，不妨设a为正，则原式； 当a、b、c一负两正时，不妨设a为负，则原式； 综上：的值为4或或0； 故答案为：4或或0． 36．定义一种新运算“⊗”，规定：，等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：，，则的值为（ ） A．3 B．9 C．15 D．27 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． 先算，列式为，然后再算即可． 【详解】解： ， 则 ， 故选：C． 题型十一：有理数四则混合运算的实际应用 解题思路：①用正负表示实际问题中的数量；②依据题意列出四则混合算式；③按照运算顺序计算；④结合实际情境作答。 37．春节快到的时候，小明做了一个家庭月收支记录．爸妈工资收入共9500元，春节给老人2000元，给小明和妹妹各100元压岁钱，交上个月的水电等费用400元，购买800元食品，4口人买新衣服需要1000元．请你算出小明家这个月的余额是___________元． 【答案】5100 【详解】解：（元） 38．联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排，所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：）如下： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目．一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按________的先后顺序彩排． 【答案】 【分析】由题意可得，节目和演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长较长的节目应该放在后面，那么在的前面，和彩排时长一样，人数不一样，那么人数较少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么在前面，再分情况分别计算，比较即可得出结果． 【详解】解：由题意可得，节目和演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长较长的节目应该放在后面，那么在的前面，和彩排时长一样，人数不一样，那么人数较少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么在前面， 按照顺序，则候场时间为； 按照顺序，则候场时间为； 按照顺序，则候场时间为； 按照顺序，则候场时间为； 按照顺序，则候场时间为； 按照顺序，则候场时间为， ∵， ∴若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按的先后顺序彩排． 39．周日，小敏与妈妈一起去买月饼，妈妈买了一盒月饼（共计6枚）．回家后她仔细地看了标签和包装盒上面写着净含量克，她们把6枚月饼的质量称重后统计列表如下：（其中超出标准质量记为正，不足标准质量记为负），则这六枚月饼的总质量为（     ）． 第n枚 1 2 3 4 5 6 质量偏差/克 A．420.3克 B．423克 C．420克 D．417克 【答案】A 【分析】先计算6枚月饼的标准总质量，再计算所有质量偏差的和，两者相加得到实际总质量． 【详解】解：∵由题意得，每枚月饼标准质量为70克，共6枚， ∴6枚月饼的标准总质量为克， 计算6枚月饼的质量偏差和： ， ∴这六枚月饼的实际总质量为克． 题型十二：根据点在数轴的位置判断式子的正负 解题思路：①从数轴读出各数大小、正负，分清离原点远近；②判断和、差、积、商结果符号；③重点区分两数大小关系，判断加减结果正负。 40．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子中正确的是____． ①；②；③；④． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了根据数轴判断式子大小，相反数的意义，以及有理数的运算法则． 根据数轴得到，，进而逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴，，， 故正确的是①②④． 故答案为：①②④． 41．两个有理数、在数轴上的位置如图所示，则；___________0；___________；___________0（填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了数轴的性质、有理数的加法与乘法、绝对值，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先根据数轴的性质可得，，再根据有理数的乘法与加法法则即可得． 【详解】解：由数轴可知，，， 则，， 故答案为：；；． 42．已知有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据点在数轴上的位置判断式子的正负． 由图可得，，即可求解． 【详解】解：由图可得，， ∴，，，， ∴选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意． 故选：D． 题型十三：数轴上的翻折 解题思路：①先确定翻折的中心点；②利用“两点到中点距离相等”列式；③结合数轴上点的移动规则列算式求解；④算出对应点表示的有理数。 43．在一条可以折叠的数轴上，表示的数分别是，4，如图，以点为折点，将此数轴向右对折，若点在点的右边，且，则点表示的数是（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查数轴上点表示的数，涉及折叠性质，数形结合是解决问题的关键． 先由折叠性质得到点表示的数是，且，再由数轴上中点表示的数的求法列式求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 以点为折点，将此数轴向右对折，若点在点的右边，，如图所示： 点表示的数是，且， 则由数轴上中点表示的数的求法得，点表示的数是， 故选：C． 44．数轴上点O为原点，点A表示2．现在将数轴折叠，使O与A重合．折叠后，点B与数轴上表示的点C重合，若点B表示的数是8，则C表示的数为________． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上两点中点的求解，关键是掌握数轴上两点距离求解． 折叠后点O与点A重合，求出折痕对应的数为，然后根据点B与数轴上表示的点C重合即可求出点C表示的数． 【详解】解：∵折叠后，点O与点A重合， ∴折痕对应的数为． ∵折叠后，点B与数轴上表示的点C重合， ∴点B与数轴上表示的点C重合分布在折痕的两侧． ∵点B表示的数是8， ∴点C表示的数为． 故答案为：． 45．小张在纸上画了一条数轴，如图，折叠纸面，使数轴上表示与表示4的点重合，若该数轴上A、B两点之间的距离为8，且折叠后也互相重合，则A点表示的数是（     ） A． B． C．或5 D．或3 【答案】C 【分析】点和点4重合的中点是1，数轴上，两点经上述折叠后重合，且，两点之间的距离为8，则点与点到1的距离都是4，进而求出点表示的数即可． 【详解】解：折叠后数轴上表示的点与表示4的点重合， 折叠点为和4的中点为1， 数轴上，两点经上述折叠后重合，且，两点之间的距离为8， 点与点到1的距离都是4， 当点在中点右侧时，对应的数为， 当点在中点左侧时，对应的数是． 解答题 1．用简便方法计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)27 (2)11 (3) 【分析】本题考查了有理数的乘法，利用运算定律可以使计算更简便，要注意对运算算式的整理． （1）把带分数化为假分数，然后利用有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； （2）利用乘法分配律进行计算即可得解； （3）把写成，然后利用乘法分配律进行计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：， ， ， ， ． 2．计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）利用加法交换律和结合律简化运算； （2）利用加法交换律和结合律简化运算； （3）先将带分数化为假分数，再按有理数乘除法则计算； （4）先通分计算括号内的运算，再计算乘法； （5）将带分数拆分后简化计算； （6）按先算括号内，再算乘除，最后算加减的顺序计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； 3．2026年世界杯将于2026年6月在北美（美国、加拿大和墨西哥）举行．为了备战世界杯，某运动员沿一条东西方向的跑道，以每秒钟9米的速度向东跑．记该运动员在跑道上的某一位置为点O，那么在点O的3秒后、2秒后、1秒后、0秒、1秒前、2秒前、3秒前，他位于点O的哪个方向？相距多少米？ 提示：向东和向西行进的速度都是具有方向的量，如果我们规定：向东为正，向西为负． 【答案】 3秒后 2秒后 1秒后 0秒 1 秒前 2秒前 3秒前 位于点O方向 东 东 东 西 西 西 距点O的距离 27米 18米 9米 0米 9米 18米 27米 【分析】根据速度，时间，路程之间的关系，结合有理数的乘法，以及绝对值的意义进行计算，即可解题． 【详解】解：某运动员以每秒钟9米的速度向东跑． 时间在当下及之后，向东运动， 3 秒后：距离为米； 2 秒后：距离为米； 1 秒后：距离为米； 0 秒：距离为米； 时间在当下之前，可理解为向西运动， 1 秒前：距离为米； 2 秒前：距离为米； 3 秒前：距离为米． 则可填表如下： 3秒后 2秒后 1秒后 0秒 1 秒前 2秒前 3秒前 位于点O方向 东 东 东 西 西 西 距点O的距离 27米 18米 9米 0米 9米 18米 27米 4．某公交车每月的支出费用为元，每月的乘车人数（人）与每月的利润（元）的变化关系如下表所示． （人） … （元） … (1)观察表中数据可知，每月乘客量至少达到 人时，该公交车才不会亏损； (2)当每月乘车人数为人时，每月利润为多少元？（注：每位乘客的公交票价是固定不变的，利润收入支出） 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）根据值为负时表示亏损，值为时不亏不盈，观察数据填写即可； （2）根据表格数据推理即可. 【详解】（1）解：观察表中数据可知:每月乘客量至少达到人时，该公交车才不会亏损． 故答案为：； （2）解：由上表可知，每月的乘车人数每增加人，每月的利润可增加元， ∴每月乘车人数为人时，每月的利润是（元）． 答：每月利润为元． 5．为鼓励居民节约用水，长沙市自来水公司制定了下面的收费方式：每户每月用水吨以内（含吨），按元/吨收取；超出吨但不超过吨（含吨）的部分，按元/吨收取，超过吨的部分，按元/吨收取． (1)小明家月份用水吨，应缴水费多少元？ (2)小明家月份用了吨水，应缴水费多少元？ (3)小红家月份缴水费元，她家月份用水多少吨？ 【答案】(1)元 (2)元 (3)吨 【分析】（1）根据收费的三个区间分界点，结合缴费的计算求解即可； （2）根据用水量，结合第二阶段收费的计算求解即可； （3）根据缴费情况，判定用水量，即可求解． 【详解】（1）解：吨吨， 按第一档计费：（元）； 答：小明家月份用水吨，应缴水费元； （2）解：吨吨吨， 分两档计费：吨费用：（元） ， 超出吨的部分：（吨），费用（元）， 总水费：（元）； 答：月份用了吨水，应缴水费元； （3）解：吨总水费元， 吨总水费： （元） ， ， 用水量在吨之间， 超出吨的费用：（元） ，超出吨的水量：（吨）， 总用水量：（吨）． 答：她家月份用水吨． 6．点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b． (1)把这四个数用“”连接起来： ； (2)用“”或“”填空： 0， 0； (3)若，，c、d互为相反数，m、n互为倒数，求的值． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）利用数轴比较大小即可解答； （2）由数轴可得，，且，再利用有理数的加法、减法法则即可解答； （3）由数轴可知，，从而确定a、b的值，再根据相反数和倒数的定义得出，，再代入计算即可． 【详解】（1）解：由数轴得，，， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）得，，， ∴，， 故答案为：；； （3）解：由数轴得，，， 又∵，， ∴，， ∵c、d互为相反数，m、n互为倒数， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了数轴、绝对值、相反数、倒数，有理数的大小比较，有理数的加法和减法，求代数式的值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 7．如图：将下面的数轴进行对折，使表示的点与表示3的点重合，然后回答下列问题： (1)表示5的点与表示 的点重合，与重合的数是 ； (2)若数轴上A、B两点之间的距离为9，点A在点B的一侧，且A、B两点折叠后重合，求A点和B点表示的数． 【答案】(1)， (2)点A表示的数为，点B表示的数为或点A表示的数为，点B表示的数为 【分析】本题主要考查数轴上数的表示、数轴的折叠，根据数轴的折叠求对称中心表示的数是解题的关键． （1）首先根据已知条件求出对称中心为1，即可求解与5和重合的点表示的数； （2）首先根据题意分两种情况进行讨论：①点B在点A右侧，即可得到求解A点和B点表示的数；②点A在点B右侧，即可得到求解A点和B点表示的数． 【详解】（1）解：∵折叠后表示的点与表示3的点重合， ∴对称中心为， 设与5重合的点表示的数为x，与重合的点表示的数为y， ∴，解得：；，解得：； ∴与5重合的点表示的数为，与重合的点表示的数为， 故答案为：，； （2）解：由①得：对称中心为1，设点A表示的数为a，点B表示的数为b， ∵A、B两点之间的距离为9， ∴a距离1的距离为，b距离1的距离为， ∴点A表示的数为，点B表示的数为或点A表示的数为，点B表示的数为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $