专题讲义 06 有理数的乘法与除法 2026--2027学年浙教版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数的乘法与除法核心知识点，系统梳理乘法法则（含符号确定、特殊数运算及多因数乘积规律）、乘法运算律（交换律、结合律、分配律）、倒数（定义及求法）、除法法则（转化为乘法及符号规则）及乘除混合运算（顺序与转化），构建从基础法则到综合应用的学习支架。 资料以思维导图整合知识框架培养抽象能力，题型专练涵盖实际应用（如温度变化、快递重量计算）提升运算能力与推理意识，即学即练与巩固练习结合，课中辅助分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化应用意识。

专题06 有理数的乘法与除法 思维导图 知识点梳理 有理数的乘法法则 知识点一 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2. 0与任何数相乘都得0； 3. 任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数； 4. 拓展： （1） 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2） 几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0. （3） 一般地，在乘法运算中，若有带分数和小数，应先把带分数化为假分数，小数化为分数之后再计算，方便约分. 即学即练 1．我国元代《算术启蒙》中记载：“同名相乘为正，异名相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意给出的“同名相乘为正，异名相乘为负”，结合乘任何数都得的性质，判断各选项结果的符号，即可得出答案． 【详解】解：选项A：，不是负数，不符合要求； 选项B：，两数同号，同名相乘得正，结果为正数，不符合要求； 选项C：，两数同号，同名相乘得正，结果为正数，不符合要求； 选项D：，两数异号，异名相乘得负，结果为负数，符合要求． 2．计算 的结果等于（     ） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】根据有理数乘法法则，同号两数相乘得正，再将两个数的绝对值相乘. 与都是负数，符号相同， . 3．绝对值小于3.5的所有有理数的乘积为___________． 【答案】0 【分析】本题考查绝对值的性质及有理数的乘法运算，由于绝对值小于3.5的有理数中包含0，根据有理数乘法法则，0与任何数相乘都得0，因此乘积为0． 【详解】解：∵绝对值小于3.5的有理数包括0， ∴所有有理数的乘积为0． 故答案为：0． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的乘法法则． （1）根据有理数的乘法法则计算即可； （2）根据有理数的乘法法则计算即可； （3）根据有理数的乘法法则计算即可； （4）根据有理数的乘法法则计算即可； （5）根据有理数的乘法法则计算即可； （6）根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)5 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算和乘法运算律，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可； （2）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可； （3）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可； （4）根据乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 有理数的乘法运算律 知识点二 1. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即； 2. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即； 3. 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即. 4. 拓展： （1） 三个或三个以上有理数相乘，任意交换因数的位置，或者先把其中几个因数相乘，积相等； （2） 乘法分配律对一个有理数同多个有理数的和相乘仍适用 即学即练 6．算式可以变形为，依据是（     ） A．乘法交换律 B．分配律 C．移项 D．乘法结合律 【答案】D 【详解】解：原式变形为， 是将三个数相乘的运算顺序从“先算前两个数相乘”变为“先算后两个数相乘”， 符合乘法结合律的特征，故该变形的依据是乘法结合律． 7．计算： （_______）（_______）（利用乘法交换律） （_______）（_______）（利用乘法结合律） （_______）（_______）_______． 【答案】 8 【分析】本题考查了有理数的乘法，利用乘法交换律进行交换，再进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：；；；；；8； 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则以及运算律进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算和乘法运算律，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据乘法交换律简化计算即可； （2）根据乘法交换律和结合律简化计算即可； （3）根据乘法分配律进行计算即可； （4）逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 倒数 知识点三 1.倒数：乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. PS：单独的一个数不能称为倒数；0与任何数相乘都等于0，不可能等于1，所以0没有倒数. 2求一个数的倒数的方法： （1）一个不为0的整数的倒数，是用这个数作分母，1作分子的分数； （2）求一个真分数的倒数，就是将这个分数的分子与分母交换一下位置； （3）求带分数的倒数，要先将带分数化成假分数，再交换分子与分母的位置； （4）求小数的倒数，先将小数化为分数，再求倒数. 3.化为倒数的两个数的符号是相同的，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数. 即学即练 10．的倒数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】乘积为的两个数互为倒数. 【详解】解：， 的倒数是. 11．一个数的倒数等于它本身，则这个数是（ ） A．1 B． C． D．和0 【答案】C 【分析】根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，0没有倒数，找出倒数等于自身的数即可． 【详解】解：∵， ∴1的倒数是1， ∵， ∴的倒数是， ∵0没有倒数， ∴选项D不符合题意， 综上：倒数等于本身的数是1和． 12．已知互为相反数，互为倒数，则的值为___________． 【答案】1 【分析】本题主要考查了相反数，倒数，代数式求值，根据相反数和倒数的定义，得出和 ，然后代入计算即可． 【详解】解：∵a、b互为相反数， ∴； ∵c、d互为倒数， ∴． ∴． 故答案为：1． 13．写出下列各数的倒数： 1，，，3.5． 【答案】1；；； 【分析】本题主要考查倒数的概念，根据倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，整数可视为分母为1的分数，小数需先化成分数，再求倒数． 【详解】解：因为，所以1的倒数是1； 因为，所以的倒数是； 因为，所以的倒数是； 化成分数为，因为，所以3.5的倒数为． 14．已知a与b互为相反数，c和d互为倒数，，求的值． 【答案】4或 【分析】本题考查有相反数、倒数、绝对值及代数式求值，掌握相反数和倒数的性质是本题的关键．根据有关定义，求出与、和的关系和的值，分别代入代数式求值即可． 【详解】解：与互为相反数，和互为倒数，， ，，或， ， 当时，； 当时，； 综上，的值为4或． 有理数除法法则 知识点四 1. 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数； 2. 两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 3. 0除以任何一个不为0的数都等于0，0不能作为除数，无意义. 4. 一个非零的数除以它的本身等于1. 两数相除要先确定商的符号，再确定绝对值，其中商的符号的确定方法与有理数乘法中积的符号确定方法相同. 补充： （1） 两个数相除，若商是1，则这两个数相等；若商是-1，则这两个数互为相反数. （2） 有理数的除法中没有交换律、结合律、分配律. 即学即练 15．计算的结果等于（     ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】运用有理数除法法则计算即可得到结果. 【详解】解：． 16．若定义表示两数中取较小的一个，表示两数中取较大的一个，则_____． 【答案】1 【分析】本题考查了新定义，有理数的大小比较及除法运算，理解新定义是关键；根据定义，先计算内部括号中的最大值或最小值，逐步化简表达式． 【详解】解： （因为 ） （因为 ） （因为 ） （因为 ） ； 故答案为：1． 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3)21 (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了有理数的除法， 根据有理数的除法法则逐个计算，两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 18．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2)2 (3)3 (4) 【分析】本题考查有理数的除法运算．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；符号法则：同号得正，异号得负．对于连续除法，从左到右依次计算或统一转换为乘法后计算． （1）根据除法计算即可； （2）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （3）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （4）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 有理数乘除混合运算 知识点五 1. 有理数乘除混合运算顺序：没有括号的情况下，按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的； 2. 要先将除法化为乘法，化成连乘的形式，同时，有带分数的先化成假分数，有小数的要先化成分数，然后按照有理数乘法运算法则进行计算. 即学即练 19．( ) A．2 B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，关键是掌握同级运算从左到右依次进行，或把除法转化为乘法后再计算，注意符号的处理． 【详解】解： ． 故选：D． 20．计算： (1) (2) 【答案】(1)8 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将除法转化为乘法，再由有理数乘法运算法则计算即可得到答案； （2）先将除法转化为乘法，然后计算有理数乘法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： 22．计算： (1)． (2). (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)2994 【分析】本题主要考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握相关运算是解答的关键． （1）先将除法转化为乘法，再利用乘法运算法则求解即可； （2）先计算括号内的乘法，再利用除法运算法则求解即可； （3）先将小数化为分数，除法转化为乘法，再利用乘法运算法则求解即可； （4）先将原算式化为，再利用乘法分配律去掉括号，再利用乘法和减法运算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型专练 【题型1 两个有理数的乘法运算】 1．计算：（    ） A．4 B． C．21 D． 【答案】D 【详解】解：． 2．若，，且，则_________ ． 【答案】7或 【分析】直接利用绝对值的性质以及有理数乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴时；时， 则或． 3．不计算，说出下列两数积的符号： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)正 (2)负 (3)负 (4)正 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据两有理数相乘，同号得正，异号得负；即可逐题进行判断． 【详解】（1）3与5的乘积的符号为正号； （2）与4的乘积的符号为负号 （3）9与的乘积的符号为负号； （4）与的乘积的符号为正号． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查两个有理数的乘法，根据“同号得正，异号得负”的法则求解即可． 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)1 (2) (3) (4)3 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据两个有理数乘法运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)30 (3) (4)8 【分析】本题主要考查了两个有理数的乘法运算，熟练掌握两个有理数乘法运算法则是解题的关键． 根据两数相乘，同号的正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积仍得0进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【题型2 多个有理数的乘法运算】 1．不计算，直接判断的结果是（   ） A．正数 B．负数 C．0 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了有理数乘法中的负号问题． 负数个数为奇数时，结果为负；偶数时为正，所有因数均非零，故结果不为零． 【详解】解：∵负数有：、、，共3个（奇数）， ∴结果为负数． 故选：B． 2．绝对值不大于的所有整数的积等于______． 【答案】 【分析】根据绝对值的意义，可得绝对值不大于的所有整数中包含，结合有理数乘法法则即可得到结果． 【详解】解：由绝对值的定义可知，绝对值不大于的所有整数中包含因数0， 根据有理数乘法法则，任何数与相乘的积都为， 因此绝对值不大于的所有整数的积等于． 3．在五个数，，，，中任取三个数相乘，其中最小的积等于 __． 【答案】 【分析】本题考查有理数乘法运算．根据题意可知将最小的负数和最大的两个正数相乘结果即为本题答案． 【详解】解：要使得积最小，则必为负数，则所取三个数中有一个或三个负数， ∵， ∴当所取三个数中有一个负数，可取最小的负数是，最大的两个正数是和， 此时积为． 当所取三个数中有三个负数，即取， 此时积为． ∵， ∴最小的积等于 ． 故答案为：． 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)36 (2) 【分析】此题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键 （1）先确定乘积的符号，再计算后两个数相乘，最后再计算乘法即可； （2）先确定乘积的符号，按照从左到右的顺序计算即可 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 5．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算． （1）根据有理数的乘法法则计算即可； （2）根据“乘以任何数都等于” 计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键；小数转化为分数，带分数转化为假分数是易错点，转化的时候要注意； （1）有三个负数相乘，可将负号提至最前，再将分数相乘，约分即可； （2）几个数相乘，中间有零，根据零乘任何数都得零，可直接得出答案； （3）小数转化为分数，带分数转化为假分数，再计算即可； （4）小数转化为分数，带分数转化为假分数，再计算即可． 【详解】（1） ； （2）∵零乘以任何数都得零 ∴； （3） ； （4） ． 7．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)120 (2) (3)0 【分析】本题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解决本题的关键． （1）按有理数的乘法法则计算即可； （2）先把带分数化成假分数，再把小数化成分数，最后按有理数的乘法法则计算； （3）按有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：． 【题型3 有理数乘法的实际应用】 1．高度每增加1千米，气温就下降．如果现在地面气温是，那么离地面高度为5千米的高空的气温是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘法与加法运算及实际问题中的数量关系分析，根据高度每增加1千米气温下降的规律，计算5千米高度气温下降量，再结合地面气温求解． 【详解】解：∵高度增加5千米， ∴气温下降， 又∵地面气温为， ∴高空气温为， 故选：B． 2．杨梅开始采摘啦！每筐杨梅以5千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下，，，，则这4筐杨梅的总质量是（    ） A．19.7千克 B．19.9千克 C．20.1千克 D．20.3千克 【答案】C 【分析】此题考查了正负数以及有理数的加法运算，正确列出算式并熟练掌握运算法则是解本题的关键．用记录中的数的和，再计算基准数即可． 【详解】解：∵每筐基准为5千克， ∴4筐基准总质量为千克， 偏差记录总和为千克， ∴总质量为千克， 故选：C． 3．某水果店有15箱苹果，以每箱为标准，超过或不足的千克数分别用正数、负数来表示，称重后记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 0 2 箱数 2 3 4 4 2 若苹果每千克售价为6元，出售这15箱苹果可卖______元． 【答案】918 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的混合运算的应用． 先计算与标准质量的总差值，再求实际总重量，最后根据单价计算总售价． 【详解】解：与标准质量的总差值为：， 故总超过， 实际总重量为：， 总售价为：元． 故答案为：918． 4．在我国征收利息税的某段时期，利息税的税率是(即储蓄利息的)．小江在银行存入人民币2千元，定期一年，年利率为，存款到期时，应交利息税_______元． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算的应用．先根据本金和年利率计算利息，再根据利息税率计算利息税，即可求解． 【详解】解：本金为2000元，年利率为， 则利息元． 利息税税率为， 故利息税元． 故答案为：元． 5．大连一名网约车司机从门店出发，在东西走向的道路接送乘客，向东为正，行驶记录（单位：）： ． (1)接送完最后一批乘客后，司机在门店的哪个方向？距离门店多远？ (2)该车每千米耗油，求总耗油量； (3)计价规则：行驶路程不超收费元，超过的部分每千米收费元，不足按算，求司机本次一共收到车费多少元． 【答案】(1)司机在门店东侧，距离门店 (2)总耗油量为 (3)司机本次一共收到车费为元 【分析】（1）根据题意，进行有理数加法即可得到答案； （2）根据总耗油量单位耗油量总路程，即可得到答案； （3）根据计价标准分别计算每位客人的车费，相加即可得到答案． 【详解】（1）解：， 答：司机在门店东侧，距离门店； （2）解：总路程： 总耗油量：； （3）解：第1单：行驶，超过的部分为，按计算，费用为（元）； 第2单：行驶，超过的部分为，按计算，费用为（元）； 第3单：行驶，超过的部分为，费用为（元）； 第4单：行驶，超过的部分为，按计算，费用为（元）； 第5单：行驶，超过的部分为，按计算，费用为（元）； 总车费：（元）． 6．某原料仓库一天的原料进出记录如下表（运进用正数表示，运出用负数表示）： 进出数量（单位：吨） 4 2 进出次数 2 1 3 3 2 (1)这天仓库的原料比原来增加了还是减少了？请说明理由： (2)根据实际情况，现有两种方案： 方案一：运进每吨原料费用5元，运出每吨原料费用8元； 方案二：不管运进还是运出费用都是每吨原料6元；从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案比较合适． 【答案】(1)减少9吨，见解析 (2)方案二运费少 【分析】（1）先分别将运进数量×运进次数，运出数量×运出次数，再把它们相加即可求解； （2）分别求出两种方案的运费，再进行比较，即可求解． 【详解】（1）解： 答：这天仓库的原料比原来减少了9吨； （2）解：方案一： （元）， 方案二 （元） ∵ ， ∴方案二运费少，选择方案二比较合适． 7．2020年爆发的“新冠肺炎”疫情，人们对口罩的需求大幅增加，某口罩加工厂为满足市场需求，计划每天生产口罩5000个，由于各种原因实际每天生产量与原计划每天生产量相比有出入，下表是10月份某一周的生产情况（超产为正，减产为负，单位：个）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个？ (2)与原计划产量比较，这周产量超产或减产多少个？ (3)若口罩加工厂实行计件工资，每生产一个口罩0.2元，则本周口罩加工厂需支付工人的工资总额为多少元？ 【答案】(1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产550个 (2)与原计划产量比较，这周超产300个 (3)本周口罩加工厂需支付工人的工资7060元 【分析】（1）根据正负数的意义确定星期五超产最多，星期三减产最多，然后用记录相减计算即可得解； （2）求出一周记录的和即可求出这周产量超产或减产多少个； （3）求出一周记录的和，然后根据工资总额的计算方法列式计算即可得解． 【详解】（1）解：（个） 产量最多的一天比产量最少的一天多生产550个； （2）解：（个）   与原计划产量比较，这周超产300个； （3）解：（元） 本周口罩加工厂需支付工人的工资7060元． 【题型4 倒数】 1．的倒数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，， 的倒数是，即的倒数是． 2．下列说法正确的是（    ） A．绝对值一定是正数 B．相反数等于本身的数只有 C．倒数等于本身的数只有 D．负数的绝对值小于本身 【答案】B 【分析】本题根据绝对值、相反数、倒数的基本概念，逐一判断各选项正误即可． 【详解】解：对于A，的绝对值是，不是正数，故A错误，不符合题意； 对于B，若一个数的相反数等于它本身，满足，解得，相反数等于本身的数只有，故B正确，符合题意； 对于C，倒数等于本身的数有和，故C错误，不符合题意； 对于D，负数的绝对值是它的相反数，为正数，正数大于负数，因此负数的绝对值大于它本身，故D错误，不符合题意． 3．的相反数是__________；的绝对值是__________；的倒数__________． 【答案】 // / 【分析】根据相反数、绝对值、倒数的定义，分别对三个数进行计算求解即可． 【详解】解：根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，可得的相反数是； 根据绝对值的性质：负数的绝对值是它的相反数，可得； 将化为分数得，根据倒数的定义：乘积为的两个数互为倒数， 可得，即的倒数是． 4．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，相反数和倒数的定义，互为相反数的两个数的和为0，互为倒数的两个数的乘积为1，据此可得和的值，然后整体代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数， ∴，， ∴． 故答案为：． 5．请填写下面的表格： 有理数 相反数 倒数 绝对值 【答案】 有理数 相反数 倒数 绝对值 1 1 【分析】本题考查了相反数、倒数和绝对值的定义，根据相反数、倒数和绝对值的定义，逐个计算每个有理数的对应值，相反数是与原数相加为零的数，倒数是与原数相乘为一的数，绝对值是数轴上点到原点的距离，注意倒数存在时原数不为零 【详解】解：对于有理数，相反数为 ，倒数为，绝对值为； 对于有理数，相反数为，倒数为，绝对值为； 对于有理数，相反数为 ，故倒数为，绝对值为； 对于有理数，相反数为 ，倒数为，绝对值为； 对于有理数，相反数为，倒数为，绝对值为； 对于有理数，相反数为，倒数为，绝对值为 6．先计算，再阅读材料，解决问题： (1)简便计算：． (2)认真阅读材料，解决问题：计算： 分析：除法没有分配律，无法运用简便运算．但可以先交换除数与被除数的位置，求出原 式的倒数． 解：原式的倒数是： 故原式． 请你根据以上方法，计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是有理数的混合运算； （1）根据乘法分配律可以解答本题； （2）根据题目中的例子，可以求出所求式子的值． 【详解】（1）解：； （2）解：原式的倒数是： ， 则原式． 【题型5 有理数乘法运算律】 1．下列各式运用运算律不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律的定义． 结合乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律及除法无分配律的特性，逐一判断各选项运算律的运用是否正确即可． 【详解】解：选项A运用乘法交换律，运算律运用正确； 选项B运用乘法结合律，运算律运用正确； 选项C中，除法无分配律，运算律运用错误； 选项D运用乘法分配律，运算律运用正确； 故选：C． 2．下表是嘉淇的解题过程，下列说法正确的是（　　） 第一步 第二步 第三步 A．解题运用了乘法交换律 B．从第一步开始出错 C．从第二步开始出错 D．从第三步开始出错 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘法运算及乘法分配律的应用，解题的关键是正确运用乘法分配律计算． 嘉淇将带分数拆分为整数与分数的差，运用了乘法分配律，但第二步计算时符号出现错误，导致结果错误． 【详解】解：第一步：将写成，这一步是正确的，利用了带分数的拆分，为后续用乘法分配律计算做准备， 第二步：根据乘法分配律，正确计算应为： 但嘉淇计算成了，所以从第二步开始出错． 故选：C． 3．计算的过程中运用的运算律是______． 【答案】乘法的交换律和乘法的结合律 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，在计算过程中，通过改变因子的顺序和分组，简化运算步骤，这涉及乘法运算律的应用． 【详解】解：的过程中运用的运算律是乘法的交换律和乘法的结合律， 故答案为：乘法的交换律和乘法的结合律． 4．计算：___________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，利用乘法分配律计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 5．计算：． 【答案】 4 【分析】利用乘法分配律计算即可； 【详解】解： ． 6．简便运算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的乘法运算律． 根据乘法分配律进行简便计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 7．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)1 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算和乘法运算律，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可； （2）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可； （3）根据乘法分配律进行计算即可； （4）根据乘法的交换律和结合律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 8．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算和乘法运算律，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据乘法交换律，进行计算即可； （2）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可； （3）根据乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【题型6 有理数的除法运算】 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的除法运算，根据两数相除同号得正，异号得负，并把绝对值相除解答． 【详解】解：． 故选：D． 2．如果，那么的值为（　　） A． B． C．0或 D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的除法，绝对值的性质，熟练运用相关性质是解题的关键． 根据绝对值的性质和有理数的除法可得，即可解答． 【详解】解：， 故选：B． 3．定义表示不超过的最大整数．例：，，则的值为________． 【答案】/ 【分析】本题考查新定义，有理数的除法运算，根据定义分别求出和的值，然后进行有理数除法运算即可． 【详解】解：由题意，，， ∴． 故答案为： 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)5 (3) (4) (5)0 (6) 【分析】本题考查了有理数的除法运算，熟练掌握有理数除法法则是解题的关键； （1）利用两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除计算即可； （2）利用两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除计算即可； （3）根据除以一个数等于乘以它的倒数即可解答； （4）根据除以一个数等于乘以它的倒数即可解答； （5）根据0除以任何一个非零的数等于0即可； （6）根据除以一个数等于乘以它的倒数即可解答；； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的除法，有理数的除法法则是除以一个数等于乘以这个数的倒数，解决本题的关键是根据有理数的除法法则把除法转化为乘法，再根据有理数的乘法法则进行计算． (1)根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，可得：原式，再根据有理数的乘法法则计算； (2)根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，可得：原式，再根据有理数的乘法法则计算； (3)先将小数化为分数，再根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，可得：原式，再根据有理数的乘法法则计算； (4)根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，可得：原式，再根据有理数的乘法法则计算； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的除法运算．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；符号法则：同号得正，异号得负．对于连续除法，从左到右依次计算或统一转换为乘法后计算． （1）根据除法法则计算即可； （2）根据除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （3）根据除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （4）根据除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ， （3）解： ； （4）解： ． 7．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的除法运算，掌握算理是解决问题的关键． （1）先转化为乘法运算，然后利用有理数乘法运算法则即可解答； （2）先转化为乘法运算，再利用乘法分配律运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型7 有理数除法的应用】 1．一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为80米与100米，它们相向行驶在平行的轨道上，若坐在高速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是6秒，则坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是（　　） A．秒 B．秒 C．5秒 D．4秒 【答案】B 【分析】两车相向行驶，相对速度保持不变，旅客看见对方列车驶过窗口时，行驶路程等于对方列车的车身长，先根据已知条件求出相对速度，再计算所求时间． 【详解】解：∵两车相向行驶，相对速度不变，坐在高速列车上的旅客观察普通列车时，行驶路程为普通列车车身长100米，时间为6秒， ∴两车的相对速度为（米/秒）． ∵坐在普通列车上的旅客观察高速列车时，行驶路程为高速列车车身长80米， ∴坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间为（秒）． 2．一次数学达标检测的成绩以80分为标准，“腾飞”小组4名学生的成绩与标准成绩的差（单位：分）如下：，，，．则他们的平均成绩为（    ） A．79分 B．80分 C．81分 D．84分 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算的应用，有理数除法运算的应用，先计算4名学生与标准成绩80分的差值的总和，再求平均值，最后加到80上得到平均成绩即可． 【详解】解：差值的和：， 差值的平均值：， ∴平均成绩：（分）． 故选：C． 3．雪峰山是湖南省重要的山脉，其最高峰苏宝顶位于怀化洪江市境内，海拔约1934米，因独特的高山气候和自然风光成为湘中知名的观景地．已知海拔高度每上升100米，气温约下降，湖南省邵阳市洞口县县城城区海拔大约200米，某日洞口县县城地面温度为，那么此时苏宝顶顶部的气温大约为_____．（最后结果四舍五入，保留整数） 【答案】20 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，先计算苏宝顶与洞口县县城的海拔差，再根据海拔每上升100米气温下降的规律，求出气温下降值，最后从洞口县地面温度中减去该值并四舍五入保留整数即可． 【详解】解：． 故答案为：20． 4．如图，大小两个正方形的各顶点处都有一个“圆圈”，将，，，，0，1，2，3分别填入“圆圈”中，使大正方形顶点处、小正方形顶点处以及大正方形的每条对角线上的四个“圆圈”内的数之和都相等，若，0已填入如图所示的位置．则表示的两个数的和为______，所表示的数分别为______（填出一种即可）． 【答案】 2 （答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数加减法的应用、有理数除法的应用，正确列式是解题关键．先求出大正方形顶点处、小正方形顶点处以及大正方形的每条对角线上的四个“圆圈”内的数之和都为，再利用减去即可得表示的两个数的和；假设所表示的数为3，则所表示的数为，然后分别求出表示的两个数的和、表示的两个数的和，据此解答即可得． 【详解】解：∵，， ∴大正方形顶点处、小正方形顶点处以及大正方形的每条对角线上的四个“圆圈”内的数之和都为， ∴表示的两个数的和为． 若所表示的数为3，则所表示的数为， ∴表示的两个数的和为， 表示的两个数的和为， ∴此时所表示的数分别为， 故答案为：2；（答案不唯一）． 5．某快递中转站12月第一周平均每天收到快递1200件，12月第二周每天收到快递件数与12月第一周平均每天收到的快递件数相比，增加记作“”，减少记作“”，12月第二周收件情况如下表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 件数 (1)该快递中转站12月第二周收件最多的一天收到快递件数为___________，收件最少的一天收到快递件数为___________． (2)求该快递中转站12月第二周平均每天收到的快递件数． 【答案】(1)1236，1162 (2)该快递中转站12月第二周平均每天收到的快递件数为件． 【分析】本题主要考查了有理数四则运算的应用，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算． （1）利用正负数的实际应用及加减法分别求出第二周每天收到快递的件数，比较即可解答； （2）由（1）知第二周每天收到快递的件数，再根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：第二周周一收到快递的件数为（件）， 第二周周二收到快递的件数为（件）， 第二周周三收到快递的件数为（件）， 第二周周四收到快递的件数为（件）， 第二周周五收到快递的件数为（件）， 第二周周六收到快递的件数为（件）， 第二周周日收到快递的件数为（件）， ， 该快递中转站12月第二周收件最多的一天收到快递件数为件，收件最少的一天收到快递件数为件， 故答案为：，； （2）解：由（1）知第二周每天收到快递的件数， 则 （件） 答：该快递中转站12月第二周平均每天收到的快递件数为件． 6．体育课上，全班女生进行了百米跑步测验，把跑步时间达标成绩18秒记为0，大于18秒的用正数表示，小于18秒的用负数表示，第一小组8名女生的百米跑步成绩如下： (1)第一小组女生达标率为多少？（达标率） (2)第一小组女生的平均成绩是多少秒？ 【答案】(1) (2)秒 【分析】本题考查正负数的应用，有理数运算的实际应用，正确的列出算式是解题的关键： （1）根据题意，利用非正数的个数除以总人数，进行计算即可； （2）求出8个数据的平均数，再加上18即可． 【详解】（1）解：由题意，小于等于18秒的为达标， 故达标人数为6人，； 答：第一小组女生达标率为； （2）（秒）； 答：第一小组女生的平均成绩是秒． 7．为了增强学生身体素质，激发学生锻炼热情，某校七年级每个班选派8名同学代表班级参加团体跳绳比赛，以1分钟跳160次作为标准，超过的部分记为正数，不足的部分记为负数．七年级9班参赛学生的1分钟跳绳次数记录如下（单位：次）： ，，，，，，，． (1)求七年级9班参赛学生平均每人1分钟跳绳的次数； (2)本次活动采取积分制，跳绳次数超过标准1次记“”分，跳绳次数不足标准1次记“”分，刚好达到标准记“0”分．例如：1分钟跳162次记“”分，155次记“”分．计算七年级9班此次团体跳绳比赛的总积分． 【答案】(1)162次 (2)总积分为56分 【分析】本题主要考查了正数和负数的实际应用，有理数的混合运算，掌握平均数的计算方法以及有理数混合运算法则是解题的关键． （1）根据平均数的计算方法进行计算即可； （2）根据积分规则计算得分即可． 【详解】（1）解： （次）． （次）． 答：七年级9班参赛学生平均每人1分钟跳绳162次． （2）解：方法1： （分）． 方法2：（分）． 答：七年级9班此次团体跳绳比赛的总积分为56分． 【题型8 有理数乘除混合运算】 1．计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先将带分数化为假分数，再将除法转化成乘法运算即可； （2）先将带分数化为假分数，再将除法转化成乘法运算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握分数的乘除法法则、符号规则以及带分数与假分数的相互转换是解题的关键．解题时需先将带分数转换为假分数，并将除法转换为乘法．注意符号规则：负负得正，最后通过约分简化得到结果． 【详解】（1）解： （2）解： ． 3．计算下列各题 (1) (2) 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算与乘法运算律，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）先将带分数化为假分数，将除法转化为乘法，再利用乘法分配律的逆运算计算即可； （2）先计算小括号里的减法，再计算中括号里的乘法，最后计算除法即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 4．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的乘除运算，熟练掌握有理数的乘除运算是解题的关键； （1）根据有理数的乘法及除法运算可进行求解； （2）根据有理数的除法运算可进行求解； （3）根据有理数的乘法及除法运算可进行求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 5．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先计算绝对值，并将小数、带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后计算乘法即可； （2）先计算绝对值，并将小数、带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后计算乘法即可； （3）先将带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后计算乘法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【题型9 有理数乘除中的简便运算】 1．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的运算定律，进行简便计算； （1）运用乘法分配律计算即可； （2）运用乘法结合律计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ； 2．下列各题，怎样简便就怎样算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)1 (3) (4) 【分析】本题考查运用运算律进行简便运算，掌握算理是解决问题的关键． （1）运用乘法分配律的逆应用将原式化为，进行简便计算即可； （2）运用乘法结合律将原式化为，进行简便计算即可； （3）运用运算律将原式化为，进行简便计算即可； （4）可以先求，再取倒数即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， ， ， ， ∴． 3．能简便计算的用简便方法计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)100 (4) 【分析】本题考查了简便计算，解题的关键是掌握相关运算律． （1）把2024写成，然后根据乘法的分配律计算即可； （2）先把除法转化为乘法，然后根据乘法法则计算即可； （3）先把除法转化为乘法，然后逆用乘法的分配律计算即可； （4）根据加法的交换律和结合律，并逆用乘法的分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． （4）解∶ ． 4．请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，乘法分配律的运用，熟练掌握有理数混合运算的法则和乘法分配律是解题的关键.计算，把除法变成乘法，再利用乘法分配律求解，所得结果取倒数即为答案. 【详解】解：原式的倒数为： ， ∴． 故答案为. 【题型10 有理数的四则混合运算】 1．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 2．计算： 【答案】 【详解】解： 3．计算： 【答案】 （或） 【分析】先根据有理数的混合运算法则计算括号内的，再根据有理数的乘除法法则计算． 【详解】解：原式 ． 4．计算题 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题按照分数四则混合运算顺序计算．有括号先算括号内的运算．再算括号外的运算．没有括号按从左到右顺序计算．先算乘除后算加减．除以分数转化为乘这个分数的倒数计算．第（3）小题可以利用乘法分配律简便计算． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 5．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算． （1）先计算乘除法，再计算减法即可； （2）先计算乘除法，再计算加法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 6．能简算的要简算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)100 (3) (4)9 【分析】按照四则运算顺序进行计算，然后要注意合理利用乘法分配律和结合律进行简便计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 7．下面各题，能简便计算的用简便方法计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)8.4 (2)10 (3)2.4 (4) 【分析】本题考查了简单的四则混合运算，计算时先理清楚运算顺序，根据运算顺序逐步求解即可． （1）先同时计算除法和乘法，再算减法； （2）先把除法变成乘法，再根据乘法分配律简算； （3）根据减法的性质计算； （4）先根据乘法分配律简算，再根据加法结合律简算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【题型11 有理数四则混合运算的实际应用】 1．有6筐水果，以每筐20千克为准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称后记录如下：1.5，，2，，，．这6筐水果总重量为（    ） A．112千克 B．115.5千克 C．123.5千克 D．131.5千克 【答案】B 【分析】先计算6筐水果的标准总重量，再计算所有重量偏差的和，最后将两者相加得到实际总重量． 【详解】解：（千克）． 答：这6筐水果总重量为115.5千克． 2．《九章算术》中记载“今有上八人，下六人，上每人得钱五，下每人出钱三，问余钱几何？”（注：“上”指收入，“下”指支出，收入为正，支出为负）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是有理数的混合运算的应用，根据题意列式，再计算即可. 【详解】解：由题意可得：. 故选：B 3．某品牌电脑原来的售价是5000元，先降价，再降价，则现在的售价是_____元． 【答案】4050 【分析】第一次降价以原价为基础，第二次降价以第一次降价后的价格为基础，计算得到最终售价． 【详解】解：第一次降价后，售价为元； 第二次降价，以第一次降价后的价格为基础计算，售价为元． 4．实验测得，海拔每增加，气温大约下降．小王所在位置的气温是，如果当时地面的气温是，则小王所在位置离地面的高度大约为___________． 【答案】3 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键； 先计算地面与小王位置的气温差，再根据海拔每增加气温下降的关系，求高度． 【详解】解：∵地面气温为，小王所在位置气温为， ∴气温差为， ∵海拔每增加，气温下降， ∴高度增加为； 故答案为：3． 5．某便利店一周每日营业额以 500 元为标准，超出记正、不足记负： 周一： 周二： 周三： 周四： 周五： 周六： 周日： (1)求该便利店这一周平均每天营业额多少元； (2)每天固定成本200元，超出500元的部分按额外盈利，求这周总盈利多少元． 【答案】(1)元 (2)元 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）根据每天固定成本200元，超出500元的部分按额外盈利，列式计算即可． 【详解】（1）解： （元）， 答：该便利店这一周平均每天营业额为元； （2）解： （元）， 答：这周总盈利元． 6．某高速公路养护小组．乘车沿东西方向公路巡视维护，如果规定向东为正方向，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）：，请你解答下列问题： (1)养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ (2)若汽车行驶每千米耗油量为升，那么这次养护小组的汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)养护小组最后到达的地方在出发点的东边，距出发点3千米 (2)这次养护小组的汽车共耗油升 【分析】（1）利用正负意义的量及有理数加减混合运算法则即可求解； （2）先求出高速公路养护小组当天的行驶总路程，再乘以汽车行驶每千米耗油量，即可求解． 【详解】（1）解： (千米)， 答：养护小组最后到达的地方在出发点的东边，距出发点3千米． （2）解： （千米）， ∴（升）． 答：这次养护小组的汽车共耗油升． 巩固练习 1．2026的倒数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】乘积为的两个数互为倒数. 【详解】解：， 的倒数是. 2．在“”的“□”里填入“”“”“”“”运算符号中的一个，使计算结果最小的运算符号是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的运算，有理数的大小比较，正确计算是解题的关键． 分别计算填入四种运算符号后的结果，比较大小即可得到使结果最小的运算符号． 【详解】解：依次计算四种情况的结果： 填入时，. 填入时，. 填入时，. 填入时，. 比较大小得 . 因此计算结果最小的运算符号是， 故选：A． 3．实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴判断的符号及绝对值的大小． 【详解】解：由数轴可知， ， ，故选项A错误，不符合题意； ， ，故选项B错误，不符合题意； 由数轴观察可知，b到原点的距离大于c到原点的距离，即， 故选项D正确，符合题意； ，且， ∴， ∴，故选项C错误，不符合题意． 4．按照运算顺序，计算第一步应算（     ） A． B． C．同时计算 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：有理数混合运算顺序：先乘除，后加减，所以第一步先算． 5．下列各算式中，不能利用乘法分配律进行简便运算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是乘法分配律的应用，解题关键是熟练掌握乘法分配律． 乘法分配律适用于算式中存在加法或减法的情况，据此对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：、，可以利用乘法分配律进行简便运算，不符合题意； 、，可以利用乘法分配律进行简便运算，不符合题意； 、，可以利用乘法分配律进行简便运算，不符合题意； 、仅为有理数相乘，无加减法，不能利用乘法分配律进行简便运算，符合题意． 故选：． 6．如图，杆秤是中国传统的计量工具．已知秤钩到提纽的水平距离是，秤砣质量是．用杆秤称苹果，当秤砣与提纽的水平距离为时，杆秤左右平衡，此时苹果质量是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据杠杆原理得：秤钩到提纽的水平距离苹果质量秤砣与提纽的水平距离秤砣质量，即可求解． 【详解】解：苹果质量为：． 7．已知，为有理数，则下列说法正确的个数为（   ） 若，，则，； 若，，则，且或，且； 若，，则，； 若，，则，且或，且． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题主要考查了有理数的除法法则以及有理数加法法则的应用，熟练掌握法则是解题关键．根据有理数的加法法则以及有理数的除法法则分别分析得出即可． 【详解】解：①若，，则，，故①结论正确； ②若，，则，且或，且，故②结论正确； ③若，，则，，故③结论正确； ④若，，则，且或，且，故结论正确． 故正确的有4个． 故选：D． 8．规定新运算阶乘：，，……则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目给出的阶乘新定义，展开分子分母后约分计算即可得到结果． 【详解】解：根据题中阶乘的定义，得，， ∴． 二、填空题 9．按运算步骤：输入乘加，若输入，则输出结果为______． 【答案】1 【详解】解：根据题意得，． 10．计算：_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、乘法分配律的应用以及分数的通分与计算，熟练掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键．先利用乘法分配律展开计算，或先计算括号内的加减运算，再与括号外的数相乘，最后根据有理数乘法法则得出结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 11．高度每增加1千米，气温大约降低，山顶的气温是，地面气温是，则山的高度大约是_________千米． 【答案】1.5 【分析】根据题意列出算式，根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】解：根据题意得：（千米）， 则山的高度大约是1.5千米． 12．若定义一种新运算，规定，则______． 【答案】0 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴． 13．已知a、b、c为非零有理数，的值为________． 【答案】4或或0 【分析】本题考查有理数的运算，分三个有理数同正，同负，一正两负，一负两正，四种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当a、b、c同正时，原式； 当a、b、c同负时，原式； 当a、b、c一正两负时，不妨设a为正，则原式； 当a、b、c一负两正时，不妨设a为负，则原式； 综上：的值为4或或0； 故答案为：4或或0． 三、解答题 14．计算下面各题，怎样简便就怎样算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用乘法分配律计算即可； （2）先把除法变为乘法，再利用乘法交换律和结合律计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 15．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)． (3)64 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 16．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 17．用简便方法进行计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 18．“宫、商、角、徵、羽”是中国古代音乐的基本音阶，其发音管的管长可以通过“三分损益法”计算得出．方法如下： 假设基本音“宫”的管长是81，经“三分益一”得“徵”，即“徵”音的管长是81×；“徵”经“三分损一”得“商”，即“商”音的管长是．“商”经“三分益一”得“羽”，“羽”经“三分损一”得“角”． 请你根据以上音乐文化的理解，按照上面的假设，求“角”音的管长． 【答案】 64 【分析】本题主要考查分数四则混合运算的应用，解题的关键是理解题意；由题意易得“角”音的管长，然后问题可求解 【详解】解：，； ∴“角”音的管长是64. 19．气候变暖导致全球大部分地区极端强降水事件增多，由此引发的洪涝等灾害风险已倍受各界广泛关注．为揭示气候变暖背景下极端降水的变化规律，查阅山东省气象信息中心1961——2020年降水量资料发现，夏季出现极端降水次数最多． (1)若设定100次为标准次数，试完成表1： 地区 济南 潍坊 青岛 日照 淄博 菏泽 次数 100 96 102 95 88 与标准次数的差值 0 表1  1961——2020年极端降水出现次数 (2)极端降水出现次数最多的地区与最少的地区相差______次； (3)以上地区出现极端降水的平均次数是多少？ 【答案】(1)见详解． (2)31 (3)100次 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，正数与负数，根据对相应的运算法则解题即可． （1）根据正数与负数的定义，结合题意进行求解即可； （2）根据表格中的数据找出最多与最少的次数相减即可； （3）根据平均数的求解方法进行运算即可． 【详解】（1）解∶ 日照的降水次数为∶ (次)， 潍坊的降水次数与标准次数为∶ (次)， 完成表一如下： 地区 济南 潍坊 青岛 日照 淄博 菏泽 次数 100 96 102 119 95 88 与标准次数的差值 0 （2）极端降水出现次数最多的地区与最少的地区相差∶ （3） 故平均次数为：， 20．素材1：每年秋天是灵昆柿子饼盛产期．小黄同学打算从灵昆寄5袋柿子饼到杭州，以每袋3千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下表所示： 柿子饼袋 ① ② ③ ④ ⑤ 与标准重量的差值（单位：千克） 0 素材2：小黄同学选择了某快递，收费标准如下：3千克以内15元（含3千克），超过1千克的部分为2元/每千克（不足1千克按1千克计）．现该快递公司提供多种寄件方式： 纸箱类型 中型纸箱 大型纸箱 可容纳袋数（袋/个） 2 4 重量（千克/个） 价格（元/个） 3 5 方案一：小黄购买了中型纸箱将重量最低的②、④柿子饼袋打包在一起，其余每小袋各自寄出． 方案二： ． 【任务1】 (1)求这5袋柿子饼的总重量． 【任务2】 (2)求方案一所需要的费用． 【任务3】 (3)请你设计方案二，使它的费用低于方案一，并计算你的方案费用． 【答案】(1) (2)元 (3)购买大纸箱，将①、②、④、⑤打包在一起，③单独寄出；元（答案不唯一） 【分析】本题考查正负数的概念，关键是理解正负数的实际意义． （1）根据题意列式计算即可． （2）根据题意列式计算即可． （3）根据题意设计的方案二的费用低于方案一即可． 【详解】（1）解： ； 答：这5袋柿子饼的总重量； （2）解：②、④打包后重量：， ②、④的费用为（元），③的费用为15元，①的费用为元，⑤的费用为元， ∴， 答：方案一所需要的费用为73元； （3）解：可设计方案： 购买大纸箱，将①、②、④、⑤打包在一起，③单独寄出， 费用为：①、②、④、⑤打包后重量：； ①、②、④、⑤费用：（元），③费用15元； 此方案费用共计元； 可设计方案： 购买2个中纸箱，分别将①④、②⑤打包，③单独寄出， 费用为：①④打包后重量， ②⑤打包后重量， ①④费用：（元）， ②⑤费用：（元）， ③费用15元； 此方案费用共计元； 可设计方案： 购买2个中纸箱，分别将②④、①⑤打包，③单独寄出， 费用为：①⑤打包后重量； ②④打包后重量：； ①⑤费用：（元）， ②④费用：（元）， ③费用15元； 此方案费用共计65元． 21．课堂上老师给出一道计算题：．同学们积极思考，甲、乙、丙三位同学的做法如下： 甲：原式 乙：原式 丙：原式的倒数 故原式． 请认真阅读，解答下列问题： (1)上述三位同学的解法中，正确的是______，错误的是______；(填写“甲”“乙”“丙”) (2)计算： ① ② 【答案】(1)乙、丙；甲； (2)①；② 【分析】本题考查有理数的混合运算，核心知识点为有理数的除法法则与混合运算顺序，关键在于明确除法不满足分配律，对于复杂的除法运算可通过倒数法简化计算． （1）根据除法运算的性质判断：除法没有分配律，甲错误运用分配律导致结果错误；乙按照“先括号内，再括号外”的运算顺序计算，步骤正确；丙利用倒数的性质，先计算原式的倒数再求原式，方法简便且正确． （2）①可先计算括号内的加减运算，再进行除法运算； ②由于括号内的项较多，采用倒数法计算更简便，先求原式的倒数，再通过倒数关系得到原式的值． 【详解】（1）解：除法不具有分配律，甲同学将除法错误地使用分配律，甲的解法错误； 乙同学先计算括号内的有理数加减，再进行除法运算，符合有理数混合运算顺序，解法正确； 丙同学先计算原式的倒数，再根据倒数关系求出原式的值，方法正确；故正确的是乙、丙，错误的是甲； 故答案为：乙、丙；甲． （2）①解： ； ②解：设原式为，则的倒数为， ， 的倒数为， ． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 有理数的乘法与除法 思维导图 知识点梳理 有理数的乘法法则 知识点一 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2. 0与任何数相乘都得0； 3. 任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数； 4. 拓展： （1） 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2） 几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0. （3） 一般地，在乘法运算中，若有带分数和小数，应先把带分数化为假分数，小数化为分数之后再计算，方便约分. 即学即练 1．我国元代《算术启蒙》中记载：“同名相乘为正，异名相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 2．计算 的结果等于（     ） A． B． C． D．1 3．绝对值小于3.5的所有有理数的乘积为___________． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4) ； (5)； (6)． 5．计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 有理数的乘法运算律 知识点二 1. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即； 2. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即； 3. 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即. 4. 拓展： （1） 三个或三个以上有理数相乘，任意交换因数的位置，或者先把其中几个因数相乘，积相等； （2） 乘法分配律对一个有理数同多个有理数的和相乘仍适用 即学即练 6．算式可以变形为，依据是（     ） A．乘法交换律 B．分配律 C．移项 D．乘法结合律 7．计算： （_______）（_______）（利用乘法交换律） （_______）（_______）（利用乘法结合律） （_______）（_______）_______． 8．计算： (1)； (2)； (4) ； (4)． 9．计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 倒数 知识点三 1.倒数：乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. PS：单独的一个数不能称为倒数；0与任何数相乘都等于0，不可能等于1，所以0没有倒数. 2求一个数的倒数的方法： （1）一个不为0的整数的倒数，是用这个数作分母，1作分子的分数； （2）求一个真分数的倒数，就是将这个分数的分子与分母交换一下位置； （3）求带分数的倒数，要先将带分数化成假分数，再交换分子与分母的位置； （4）求小数的倒数，先将小数化为分数，再求倒数. 3.化为倒数的两个数的符号是相同的，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数. 即学即练 10．的倒数是（     ） A． B． C． D． 11．一个数的倒数等于它本身，则这个数是（ ） A．1 B． C． D．和0 12．已知互为相反数，互为倒数，则的值为___________． 13．写出下列各数的倒数： 1，，，3.5． 14．已知a与b互为相反数，c和d互为倒数，，求的值． 有理数除法法则 知识点四 1. 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数； 2. 两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 3. 0除以任何一个不为0的数都等于0，0不能作为除数，无意义. 4. 一个非零的数除以它的本身等于1. 两数相除要先确定商的符号，再确定绝对值，其中商的符号的确定方法与有理数乘法中积的符号确定方法相同. 补充： （1） 两个数相除，若商是1，则这两个数相等；若商是-1，则这两个数互为相反数. （2） 有理数的除法中没有交换律、结合律、分配律. 即学即练 15．计算的结果等于（     ） A．3 B． C．2 D． 16．若定义表示两数中取较小的一个，表示两数中取较大的一个，则_____． 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4) ； (5)； (6)． 18．计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 有理数乘除混合运算 知识点五 1. 有理数乘除混合运算顺序：没有括号的情况下，按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的； 2. 要先将除法化为乘法，化成连乘的形式，同时，有带分数的先化成假分数，有小数的要先化成分数，然后按照有理数乘法运算法则进行计算. 即学即练 19．( ) A．2 B． C．1 D．4 20．计算： (1) (2) 21．计算： (1)； (2)． 22．计算： (1)． (2). (4) ． (4)． 题型专练 【题型1 两个有理数的乘法运算】 1．计算：（    ） A．4 B． C．21 D． 2．若，，且，则_________ ． 3．不计算，说出下列两数积的符号： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 5．计算： (1)； (2)； (4) ； (4)． 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型2 多个有理数的乘法运算】 1．不计算，直接判断的结果是（   ） A．正数 B．负数 C．0 D．无法确定 2．绝对值不大于的所有整数的积等于______． 3．在五个数，，，，中任取三个数相乘，其中最小的积等于 __． 4．计算： (1)； (2)． 5．计算： (1)； (2)． 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 7．计算： (1)； (2)； (3)． 【题型3 有理数乘法的实际应用】 1．高度每增加1千米，气温就下降．如果现在地面气温是，那么离地面高度为5千米的高空的气温是（   ） A． B． C． D． 2．杨梅开始采摘啦！每筐杨梅以5千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下，，，，则这4筐杨梅的总质量是（    ） A．19.7千克 B．19.9千克 C．20.1千克 D．20.3千克 3．某水果店有15箱苹果，以每箱为标准，超过或不足的千克数分别用正数、负数来表示，称重后记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 0 2 箱数 2 3 4 4 2 若苹果每千克售价为6元，出售这15箱苹果可卖______元． 4．在我国征收利息税的某段时期，利息税的税率是(即储蓄利息的)．小江在银行存入人民币2千元，定期一年，年利率为，存款到期时，应交利息税_______元． 5．大连一名网约车司机从门店出发，在东西走向的道路接送乘客，向东为正，行驶记录（单位：）： ． (1)接送完最后一批乘客后，司机在门店的哪个方向？距离门店多远？ (2)该车每千米耗油，求总耗油量； (3)计价规则：行驶路程不超收费元，超过的部分每千米收费元，不足按算，求司机本次一共收到车费多少元． 6．某原料仓库一天的原料进出记录如下表（运进用正数表示，运出用负数表示）： 进出数量（单位：吨） 4 2 进出次数 2 1 3 3 2 (1)这天仓库的原料比原来增加了还是减少了？请说明理由： (2)根据实际情况，现有两种方案： 方案一：运进每吨原料费用5元，运出每吨原料费用8元； 方案二：不管运进还是运出费用都是每吨原料6元；从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案比较合适． 7．2020年爆发的“新冠肺炎”疫情，人们对口罩的需求大幅增加，某口罩加工厂为满足市场需求，计划每天生产口罩5000个，由于各种原因实际每天生产量与原计划每天生产量相比有出入，下表是10月份某一周的生产情况（超产为正，减产为负，单位：个）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个？ (2)与原计划产量比较，这周产量超产或减产多少个？ (3)若口罩加工厂实行计件工资，每生产一个口罩0.2元，则本周口罩加工厂需支付工人的工资总额为多少元？ 【题型4 倒数】 1．的倒数是（     ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（    ） A．绝对值一定是正数 B．相反数等于本身的数只有 C．倒数等于本身的数只有 D．负数的绝对值小于本身 3．的相反数是__________；的绝对值是__________；的倒数__________． 4．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则的值是______． 5．请填写下面的表格： 有理数 相反数 倒数 绝对值 6．先计算，再阅读材料，解决问题： (1)简便计算：． (2)认真阅读材料，解决问题：计算： 分析：除法没有分配律，无法运用简便运算．但可以先交换除数与被除数的位置，求出原 式的倒数． 解：原式的倒数是： 故原式． 请你根据以上方法，计算：． 【题型5 有理数乘法运算律】 1．下列各式运用运算律不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下表是嘉淇的解题过程，下列说法正确的是（　　） 第一步 第二步 第三步 A．解题运用了乘法交换律 B．从第一步开始出错 C．从第二步开始出错 D．从第三步开始出错 3．计算的过程中运用的运算律是______． 4．计算：___________． 5．计算：． 6．简便运算． (1)； (2)． 7．计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 8．计算： (1)； (2)； (3)． 【题型6 有理数的除法运算】 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．如果，那么的值为（　　） A． B． C．0或 D．不确定 3．定义表示不超过的最大整数．例：，，则的值为________． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4) ； (5)； (6)． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 7．计算： (1)； (2)． 【题型7 有理数除法的应用】 1．一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为80米与100米，它们相向行驶在平行的轨道上，若坐在高速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是6秒，则坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是（　　） A．秒 B．秒 C．5秒 D．4秒 2．一次数学达标检测的成绩以80分为标准，“腾飞”小组4名学生的成绩与标准成绩的差（单位：分）如下：，，，．则他们的平均成绩为（    ） A．79分 B．80分 C．81分 D．84分 3．雪峰山是湖南省重要的山脉，其最高峰苏宝顶位于怀化洪江市境内，海拔约1934米，因独特的高山气候和自然风光成为湘中知名的观景地．已知海拔高度每上升100米，气温约下降，湖南省邵阳市洞口县县城城区海拔大约200米，某日洞口县县城地面温度为，那么此时苏宝顶顶部的气温大约为_____．（最后结果四舍五入，保留整数） 4．如图，大小两个正方形的各顶点处都有一个“圆圈”，将，，，，0，1，2，3分别填入“圆圈”中，使大正方形顶点处、小正方形顶点处以及大正方形的每条对角线上的四个“圆圈”内的数之和都相等，若，0已填入如图所示的位置．则表示的两个数的和为______，所表示的数分别为______（填出一种即可）． 5．某快递中转站12月第一周平均每天收到快递1200件，12月第二周每天收到快递件数与12月第一周平均每天收到的快递件数相比，增加记作“”，减少记作“”，12月第二周收件情况如下表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 件数 (1)该快递中转站12月第二周收件最多的一天收到快递件数为___________，收件最少的一天收到快递件数为___________． (2)求该快递中转站12月第二周平均每天收到的快递件数． 6．体育课上，全班女生进行了百米跑步测验，把跑步时间达标成绩18秒记为0，大于18秒的用正数表示，小于18秒的用负数表示，第一小组8名女生的百米跑步成绩如下： (1)第一小组女生达标率为多少？（达标率） (2)第一小组女生的平均成绩是多少秒？ 7．为了增强学生身体素质，激发学生锻炼热情，某校七年级每个班选派8名同学代表班级参加团体跳绳比赛，以1分钟跳160次作为标准，超过的部分记为正数，不足的部分记为负数．七年级9班参赛学生的1分钟跳绳次数记录如下（单位：次）： ，，，，，，，． (1)求七年级9班参赛学生平均每人1分钟跳绳的次数； (2)本次活动采取积分制，跳绳次数超过标准1次记“”分，跳绳次数不足标准1次记“”分，刚好达到标准记“0”分．例如：1分钟跳162次记“”分，155次记“”分．计算七年级9班此次团体跳绳比赛的总积分． 【题型8 有理数乘除混合运算】 1．计算下列各题： (1)； (2)． 2．计算： (1)； (2)． 3．计算下列各题 (1) (2) 4．计算： (1)； (2)； (3)． 5．计算： (1)； (2)； (3)． 【题型9 有理数乘除中的简便运算】 1．用简便方法计算： (1)； (2)． 2．下列各题，怎样简便就怎样算． (1) (2) (3) (4) 3．能简便计算的用简便方法计算． (1) (2) (3) (4) 4．请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 【题型10 有理数的四则混合运算】 1．计算：． 2．计算： 3．计算： 4．计算题 (1) (2) (3) 5．计算： (1)； (2)． 6．能简算的要简算． (1) (2) (3) (4) 7．下面各题，能简便计算的用简便方法计算． (1) (2) (3) (4) 【题型11 有理数四则混合运算的实际应用】 1．有6筐水果，以每筐20千克为准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称后记录如下：1.5，，2，，，．这6筐水果总重量为（    ） A．112千克 B．115.5千克 C．123.5千克 D．131.5千克 2．《九章算术》中记载“今有上八人，下六人，上每人得钱五，下每人出钱三，问余钱几何？”（注：“上”指收入，“下”指支出，收入为正，支出为负）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．某品牌电脑原来的售价是5000元，先降价，再降价，则现在的售价是_____元． 4．实验测得，海拔每增加，气温大约下降．小王所在位置的气温是，如果当时地面的气温是，则小王所在位置离地面的高度大约为___________． 5．某便利店一周每日营业额以 500 元为标准，超出记正、不足记负： 周一： 周二： 周三： 周四： 周五： 周六： 周日： (1)求该便利店这一周平均每天营业额多少元； (2)每天固定成本200元，超出500元的部分按额外盈利，求这周总盈利多少元． 6．某高速公路养护小组．乘车沿东西方向公路巡视维护，如果规定向东为正方向，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）：，请你解答下列问题： (1)养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ (2)若汽车行驶每千米耗油量为升，那么这次养护小组的汽车共耗油多少升？ 巩固练习 1．2026的倒数是（     ） A． B． C． D． 2．在“”的“□”里填入“”“”“”“”运算符号中的一个，使计算结果最小的运算符号是（     ） A． B． C． D． 3．实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（） A． B． C． D． 4．按照运算顺序，计算第一步应算（     ） A． B． C．同时计算 D．无法确定 5．下列各算式中，不能利用乘法分配律进行简便运算的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，杆秤是中国传统的计量工具．已知秤钩到提纽的水平距离是，秤砣质量是．用杆秤称苹果，当秤砣与提纽的水平距离为时，杆秤左右平衡，此时苹果质量是（     ） A． B． C． D． 7．已知，为有理数，则下列说法正确的个数为（   ） 若，，则，； 若，，则，且或，且； 若，，则，； 若，，则，且或，且． A．1 B．2 C．3 D．4 8．规定新运算阶乘：，，……则的值为（     ） A． B． C． D． 9．按运算步骤：输入乘加，若输入，则输出结果为______． 10．计算：_____． 11．高度每增加1千米，气温大约降低，山顶的气温是，地面气温是，则山的高度大约是_________千米． 12．若定义一种新运算，规定，则______． 13．已知a、b、c为非零有理数，的值为________． 14．计算下面各题，怎样简便就怎样算． (1)； (2)． 15．计算： (1) (2) (3) 16．计算： (1) (2) (3) (4) 17．用简便方法进行计算： (1)； (2)； (3)． 18．“宫、商、角、徵、羽”是中国古代音乐的基本音阶，其发音管的管长可以通过“三分损益法”计算得出．方法如下： 假设基本音“宫”的管长是81，经“三分益一”得“徵”，即“徵”音的管长是81×；“徵”经“三分损一”得“商”，即“商”音的管长是．“商”经“三分益一”得“羽”，“羽”经“三分损一”得“角”． 请你根据以上音乐文化的理解，按照上面的假设，求“角”音的管长． 19．气候变暖导致全球大部分地区极端强降水事件增多，由此引发的洪涝等灾害风险已倍受各界广泛关注．为揭示气候变暖背景下极端降水的变化规律，查阅山东省气象信息中心1961——2020年降水量资料发现，夏季出现极端降水次数最多． (1)若设定100次为标准次数，试完成表1： 地区 济南 潍坊 青岛 日照 淄博 菏泽 次数 100 96 102 95 88 与标准次数的差值 0 表1  1961——2020年极端降水出现次数 (2)极端降水出现次数最多的地区与最少的地区相差______次； (3)以上地区出现极端降水的平均次数是多少？ 20．素材1：每年秋天是灵昆柿子饼盛产期．小黄同学打算从灵昆寄5袋柿子饼到杭州，以每袋3千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下表所示： 柿子饼袋 ① ② ③ ④ ⑤ 与标准重量的差值（单位：千克） 0 素材2：小黄同学选择了某快递，收费标准如下：3千克以内15元（含3千克），超过1千克的部分为2元/每千克（不足1千克按1千克计）．现该快递公司提供多种寄件方式： 纸箱类型 中型纸箱 大型纸箱 可容纳袋数（袋/个） 2 4 重量（千克/个） 价格（元/个） 3 5 方案一：小黄购买了中型纸箱将重量最低的②、④柿子饼袋打包在一起，其余每小袋各自寄出． 方案二： ． 【任务1】 (1)求这5袋柿子饼的总重量． 【任务2】 (2)求方案一所需要的费用． 【任务3】 (3)请你设计方案二，使它的费用低于方案一，并计算你的方案费用． 21．课堂上老师给出一道计算题：．同学们积极思考，甲、乙、丙三位同学的做法如下： 甲：原式 乙：原式 丙：原式的倒数 故原式． 请认真阅读，解答下列问题： (1)上述三位同学的解法中，正确的是______，错误的是______；(填写“甲”“乙”“丙”) (2)计算： ① ② 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $