专题06有理数乘方与混合运算及近似数精讲学案 (核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数乘方与混合运算及近似数核心知识点，系统梳理乘方意义、符号法则、混合运算顺序，衔接科学记数法及近似数的精确度判断，构建从概念理解到运算应用的完整学习支架。 资料通过14类分层题型（含基础到拔高）、易错点精准归纳（如乘方底数括号问题）及实际应用（“24点”游戏、程序流程图），培养运算能力与推理意识，提升数据观念。课中辅助教师针对性教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识掌握。

专题06有理数乘方与混合运算及近似数精讲学案 核心立意 理解乘方的意义，掌握乘方运算与科学记数法；牢记有理数完整运算顺序，熟练进行有理数混合运算；分清准确数、近似数、精确度，会按要求求近似数，提升运算严谨性。 有理数乘方概念： 求n个相同因数的积的运算叫做乘方；an中，a为底数，n为指数，结果叫幂；读作a的n次方；负数、分数作底数时，必须加括号。 乘方符号法则： 正数的任何次幂都是正数； 负数的偶次幂为正，奇次幂为负； 0的正整数次幂等于0； 1的任何次幂等于1； -1偶次幂为1，奇次幂为-1。 科学记数法（必考）： 把一个大于10的数记成a10n形式，要求1a<10}；n等于原数整数位数减1。 有理数混合运算顺序： 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 同级运算从左往右；有括号先算括号内， 顺序：小括号→中括号→大括号；可合理利用运算律简化计算。 准确数与近似数： 与实际完全符合是准确数；通过测量、四舍五入得到，接近实际的数叫近似数。 精确度： 四舍五入到哪一位，就说近似数精确到哪一位；看近似数最后一位数字所在数位；带单位、科学记数法形式的近似数，要还原成原数再判断精确数位。 ①混淆-an与(-a)n：-an底数是a；(-a)n底数是-a，二者意义不同，结果经常不等； ②负数、分数做乘方底数，漏写括号，直接造成结果错误； ③混合运算顺序搞错，先算加减后算乘方，跳步计算符号出错； ④科学记数法写错a的范围，a必须满足1 a<10，n算错位数； ⑤-1，0，1的乘方，指数奇偶判断失误； ⑥带单位近似数判断精确度不还原原数，如2.4万，错误认为精确到十分位； ⑦近似数末尾的0不能随意去掉，末尾0代表精确度。 题型 考察方向 难度 题型一 有理数幂的概念理解 ★ 题型二 有理数的乘方运算 ★★ 题型三 有理数乘方逆运算 ★★★ 题型四 乘方运算的符号规律 ★★ 题型五 乘方的应用 ★★★ 题型六 用科学记数法表示绝对值大于 1 的数 ★★ 题型七 将用科学记数法表示的数变回原数 ★★ 题型八 程序流程图与有理数计算 ★★★ 题型九 算 “24” 点 ★★★ 题型十 含乘方的有理数混合运算 ★★★ 题型十一 求一个数的近似数 ★★ 题型十二 求近似数的精确度 ★★★ 题型十三 近似数推断取值范围 ★★★★ 题型十四 计算器 —— 有理数 ★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★拔高 题型一：有理数幂的概念理解 解题思路：①分清底数、指数、幂三个概念；②重点区分(-a)n与-an，看清负号是否属于底数；③分数、负数作底数时，留意括号带来的意义差别。 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查乘方的定义，依据乘方的概念直接推导即可． 【详解】解：∵求个相同因数的积的运算叫做乘方，其中相同因数为底数，因数的个数为指数， ∴个相乘可表示为， ∴答案选：． 2．___________(结果用含m、n的式子表示)． 【答案】 【分析】本题考查乘方和乘法的定义，根据乘方和乘法的定义求解即可． 【详解】解：分子为个相乘，即；分母为个相加，即， 因此，原式可表示为， 故答案为：． 3．下列判断中，（1）1是最小的自然数；（2）正数、零、负数统称为有理数；（3）的底数为－3；（4）a、b互为相反数，则a＋b＝0；（5）当x＝时，，正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据自然数的定义（自然数为非负整数，包括0和所有的正整数）、有理数的定义（整数和分数统称为有理数）、有理数幂的定义（在中，叫做底数，叫做指数）、相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数）逐个判断即可得． 【详解】解：（1）0是最小的自然数；则原说法错误； （2）整数和分数统称为有理数，正数和负数不一定都是有理数，则原说法错误； （3）的底数是3，则原说法错误； （4）、互为相反数，则，原说法正确； （5）当时，，则原说法错误； 综上，正确的个数为1个， 故选：A． 【点睛】本题考查了自然数、有理数、有理数幂、相反数，熟记各概念是解题关键． 题型二：有理数的乘方运算 解题思路：①确定底数与指数；②利用乘方符号法则定符号：正数任何次幂为正，负数偶次幂正、奇次幂负；③计算绝对值部分，注意不要随意漏掉括号。 4．计算的结果是_______ ． 【答案】 【分析】根据乘方的定义进行计算即可． 【详解】解：． 5．若，则的值是（    ） A．1 B． C．0 D．2025 【答案】A 【详解】解：∵任意数的平方和绝对值都是非负数，且， ∴，， 解得 ，， 将， 代入 得：. 6．阅读以下内容： 根据这一规律，计算：________． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方，对于任意正整数，有，令，，即可求得答案． 【详解】根据题意可知，对于任意正整数，有． 令，，可得 ． 即 ． 故答案为： 7．比较这组数，0，，，，大小正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题先化简每个给出的数，再将化简后的数按从大到小排序，即可得到正确选项． 【详解】解：，，，， 将所有数从大到小排序得：， 即． 故选：B． 题型三：有理数乘方逆运算 解题思路：①已知幂和指数，反推底数；②注意正数的偶次幂对应两个互为相反数的底数；③0、1、-1特殊值优先代入验证。 8．如图，在下列计算程序中填写适当的数______． 【答案】4或 【分析】本题主要考查了有理数乘方的逆运算，根据得到要填写的数与1的和为，据此可得答案． 【详解】解：∵，且， ∴填写的数为4或， 故答案为；4或． 9．定义一种新运算，若，则，例，．已知，则x的值为 __． 【答案】56 【分析】设，根据新运算可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：设 ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：56． 【点睛】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，会用新定义解答问题． 10．若，，且，则的值等于（    ） A．1或5 B．1或 C．或 D．或5 【答案】A 【分析】根据绝对值的意义以及乘方的逆运算得出的值，代入求值即可，注意分类讨论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，即， 当时，； 当时，； 综上，的值等于或， 故选：A． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，有理数的加法，乘方的逆运算等知识点，运用分类讨论的思想结合绝对值的意义解题是关键． 题型四：乘方运算的符号规律 解题思路：①看底数正负，再看指数奇偶；②正数任意次幂恒正；③负数：偶次幂正，奇次幂负；④结合0、1、‑1的乘方特点快速判断。 11．已知的最大值为______． 【答案】 【分析】本题考查乘方的非负性．熟练乘方的非负性是解题的关键． 根据乘方的非负性，确定最大值即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴的最大值为：； 故答案为：． 12．已知，则的值是（ ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查非负数的性质，即几个非负数的和为零，则每个非负数均为零．也考查了有理数的加法． 根据非负数的性质，平方和绝对值均非负，它们的和为零，则每个部分必为零，据此求解即可． 【详解】解：∵且，且， ∴且， ∴，即， ∴，即， ∴． 故选B． 13．在，，，中，结果是负数的有_________个． 【答案】1 【分析】分别计算四个数的结果，判断正负性，统计负数的个数． 【详解】解：逐个计算各数并判断正负： ，结果为正数，不是负数； ，结果为负数，是符合要求的数； ，结果为正数，不是负数； ，结果为正数，不是负数； 统计可得，结果是负数的共有个． 14．a，b互为相反数，，n为自然数，则下列叙述正确的有（    ）个 ①互为相反数                ②互为相反数 ③互为相反数               ④互为相反数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据有理数乘方的定义，负数的偶次方为正，奇次方为负，正数的任意次方都为正，再根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：∵a，b互为相反数，a≠0，n为自然数， ∴-a，-b互为相反数，故①说法正确； 当n是奇数时，an与bn互为相反数，当n为偶数时，an与bn相等，故②说法错误； a2n与b2n相等，故③说法错误； a2n+1，b2n+1互为相反数，故④说法正确； 所以叙述正确的有2个． 故选：B． 【点睛】此题考查了相反数以及有理数的乘方，用到的知识点是正数的任何次是正数，负数的偶次幂是正数，奇数次幂是负数． 题型五：乘方的应用 解题思路：①读懂实际情景，识别倍增、对折这类乘方模型；②找准基数与次数，列出乘方算式；③计算结果，结合题意解释实际含义。 15．有一根2米长的木棒，第一次截去它的一半，第二次截去剩下的一半，以此方式进行下去，则第六次截去之后剩下的木棒的长度是_____米 【答案】 【分析】本题考查有理数乘方的应用，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 每次截取后剩余长度均为前一次长度的一半，经过六次截取，剩余长度是原长乘以． 【详解】解：原长为2米，经过次截取后，剩余长度为， 故答案为：． 16．数的进制是一种计数方式．如十进制数用0至9这十个数字表示，满十进一，如；计算机中使用0和1这两个数字表示二进制数，满二进一，如二进制数1101可用式子转换为十进制数13．下列说法中：①二进制数1110可转化为十进制数14；②十进制数17可转化为二进制数10001；③古代用结绳计数，满七进一，则图1的七进制数转化为十进制数为111；④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，则图3表示的二进制数转化为十进制数是7；正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意列式计算后逐项判断即可． 【详解】解：①，那么二进制数1110可转化为十进制数14，则①正确； ②，那么十进制数17可转化为二进制数10001，则②正确； ③，那么图1的七进制数转化为十进制数为111，则③正确； ④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，图3表示二进制数110， ，那么图3表示的二进制数转化为十进制数是6，则④不正确． 综上所述，正确的有3个． 17．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一个人在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录摘得的果子的数目．请根据图，计算他一共摘了____________个果子． 【答案】274 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．根据题意“满6进1”可知，从右到左第一根绳子上一个结代表一个1，第二根绳子上一个结代表6，第三根绳子一个结代表，再进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：274． 题型六：用科学记数法表示绝对值大于 1 的数 解题思路：①写成a10n，满足1a<10}；②n等于原数的整数位数减1；③移动小数点确定a，不要写错指数n。 18．被誉为“新世界七大奇迹”之一的港珠澳大桥是中国境内一座连接香港、广东珠海和澳门的桥隧工程，它是世界上最长的跨海大桥，桥隧全长55000米，其中55000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数． 【详解】解：． 19．2026年5月13日，我国金川水电站正式并网发电，该电站年发电量约35亿度，数据35亿用科学记数法表示为__________． 【答案】 【详解】解：亿． 20．2026年1月，浙江省统计局公布2025年全省11个地市与增速，如下图所示．如果以2025年的增速预测舟山2026年全年增量，并且以元为单位表示这个数据，那么这个数据用科学记数法可以表示约为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法．将的结果用科学记数法表示，即写成的形式，其中，为整数，即可作答． 【详解】解：依题意，亿， 则 即这个数据用科学记数法可以表示约为． 题型七：将用科学记数法表示的数变回原数 解题思路：①看10的指数n；②把a的小数点向右移动n位，位数不够补0；③核对原数位数，防止多写、少写0。 21．在2008北京“奥运会国家体育场”的鸟巢钢结构工程施工建设中，首次使用了我国科研人员自主研制的强度为帕的钢材，那么的原数为（     ） A．4600000 B．46000000 C．460000000 D．4600000000 【答案】C 【分析】根据科学记数法的表示方法，把的小数点向右移动位即可． 【详解】解：． 22．地球上水的总储量为，但目前能被人们利用的水仅占总储量的，即约为，关于数据“”，下列说法正确的是（     ） A．用科学记数法可以表示为 B．用科学记数法可以表示为 C．该数是一个18位数 D．该数是一个19位数 【答案】A 【分析】用科学记数法表示绝对值大于的数，其科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，且的值为原数的整数位数减，据此求解即可． 【详解】解：，故A正确，B错误； 该数是一个位数，故C，D错误． 23．神舟十八号飞船是我国神舟载人飞船系列之一，神舟十八号飞船在航行轨道的速度大约是每秒7.9公里，飞船t小时飞行的距离用科学记数法表示为“”公里，则下列说法正确的是（    ） A．a的值为28.44 B．a为正整数 C．n的值为4或5 D．将“”还原为原数，则原数中“0”的个数不可能为0 【答案】C 【分析】先根据路程公式计算总路程的取值范围，再结合科学记数法的定义逐一判断选项即可． 【详解】解：首先单位换算，1小时=3600秒， ∴总路程， 又∵， ∴， 用科学记数法表示为， 选项A：科学记数法表示为“”时，，，不符合科学记数法对的要求，A错误； 选项B：若，则，科学记数法为，不是正整数，B错误； 选项C：，因此只能为4或5，C正确； 选项D：取，得，原数中0的个数为0，D错误， 故选：C． 题型八：程序流程图与有理数计算 解题思路：①读懂流程图的运算规则与判断条件；②按流程顺序分步代入数值计算；③遇到循环要注意终止条件，避免无限计算。 24．根据如图所示的程序，当输入的值为1时，输出的值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】先输入1，得到结果，再输入，得到结果，即可． 【详解】解：输入1，， 输入，， 所以输出的值为4． 25．给出如图所示的程序．当输入的值为1时，输出的值为1；当输入的值为时，输出的值为．故当输入的值为0.5时，输出的值为_________． 【答案】 【分析】根据程序流程，可得出函数关系式。已知两组、的对应值，可将其代入函数式，得到一个关于、的二元一次方程组，解出 、的值后，再将代入求出对应的值． 【详解】解：由题意可列方程组 即解得 当输入的值为时，输出的值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用和函数关系式的确定，解题关键是将程序流程转化为数学表达式，再利用已知条件建立方程组求解． 26．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入x的值是6时，根据程序，第一次计算输出的结果是3，第二次计算输出的结果是，…，这样下去第2 026次计算输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据程序框图计算出前9个数，从而得出这列数除前2个数外，每4个数为一个周期的规律．先根据程序框图计算出前9个数，从而得出这列数除前1个数外，每4个数为一个周期，据此求解可得． 【详解】解：由题意知，第1次输出的结果为3，第2次输出的结果为， 第3次输出的结果为，第4次输出的结果为， 第5次输出的结果为，第6次输出的结果为， 第7次输出的结果为，第8次输出的结果为， 第9次输出的结果为，… 这列数除前1个数外，每4个数为一个周期， ∵， ∴第次计算输出的结果是， 故选：D． 题型九：算 “24” 点 解题思路：①利用加减乘除、乘方组合给定数字；②优先凑3×8、4×6、12×2等24的因数组合；③每个数字只能使用一次。 27．将有理数3，4，，10进行加、减、乘、除四则运算（每个数必须用且只能用一次），使其结果等于24，请你写出符合要求的一个算式，即：_____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的运算，熟练掌握其运算规则是解题的关键．通过尝试不同的运算组合，利用括号改变运算顺序，使结果等于24即可． 【详解】解： 故答案为：（答案不唯一）． 28．根据如图所示的4张扑克牌上的点数进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为，可以列出综合算式是________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，弄清“24点”游戏规则是解本题的关键．利用“24点”游戏规则列出等式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 29．“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】根据有理数的四则混合计算法则求解即可． 【详解】解：①这四个数分别为6、-3、6、2， ∵， ∴①符合题意； ②这四个数分别为-4、-6、6、2， ∵， ∴②符合题意； ③这四个数分别为-4、-3、12、2， ∵， ∴③符合题意； ④这四个数分别为-4、-3、6、1， ∵， ∴④符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 题型十：含乘方的有理数混合运算 解题思路：①严格遵循运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内；②分步处理符号，减少跳步；③合理使用运算律简化计算。 30．计算：－22＋(－2)2－(－1)3＝___________． 【答案】1 【分析】本题根据有理数混合运算顺序，先计算乘方，再进行加减运算即可得到结果． 【详解】解： ． 31．定义，例如，则的结果为（     ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴ ． 32．计算：________． 【答案】 【分析】根据有理数乘方法则、绝对值的性质、有理数混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 33．下列各组运算结果中，数值最小的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，需先计算各选项的数值，再比较大小． 【详解】∵A、， B、， C、， D、， 又∵， ∴数值最小的是D． 故选：D． 题型十一：求一个数的近似数 解题思路：①看清题目要求精确到哪一位；②对目标数位的后一位做四舍五入；③近似数末尾的0不能随意删除。 34．精确到百分位，应等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据精确到百分位需观察千分位数字四舍五入，结果保留两位小数，末尾的0不能省略，即可解决． 【详解】解：∵将精确到百分位，观察千分位数字为， ∴向百分位进， ∴百分位，向十分位进，百分位记， ∴十分位， ∴最终结果为． 35．用四舍五入法将取近似数精确到十分位是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查近似数，熟练掌握近似数精确的条件是解题的关键．根据“四舍五入”即可得到答案． 【详解】解：根据四舍五入， 取近似数精确到十分位是， 故答案为：． 36．用四舍五入法对下列各数取近似值，其中结果错误的是（    ） A．（精确到个位） B．（精确到十分位） C．（精确到） D．（精确到百位） 【答案】C 【分析】本题主要考查了近似数的精确到哪一位，熟知近似数的精确度是解题的关键． 根据四舍五入法，精确到某一位时，需看该位的后一位数字：若小于5则舍去，否则进位，据此求解即可． 【详解】解：A．精确到个位：个位为4，后一位， ∴舍去，得304，正确； B．精确到十分位：十分位为8，后一位， ∴舍去，得，正确； C．精确到（百分位）：百分位为0，后一位， ∴应得，但选项为（表示精确到十分位），错误； D．原数1205，精确到百位：百位为2，后一位， ∴舍去，得1200，即，正确． 故选C． 37．期中考试后，小明用计算器计算出他六科的平均成绩为分．对小明这六科的平均成绩，下面用四舍五入法按要求取近似值，其中错误的是（    ） A．（精确到千分位） B．（精确到） C．（精确到） D．（精确到个位） 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数的近似数，精确到哪一位，就对这一位的下一位数字进行四舍五入即可，熟练掌握精确到哪一位，就对这一位的下一位数字进行四舍五入是解题的关键． 【详解】解：A、（精确到千分位），故选项不符合题同意； B、（精确到），故选项符合题同意； C、（精确到），故选项不符合题同意； D、（精确到个位），故选项不符合题同意； 故选：B． 题型十二：求近似数的精确度 解题思路：①普通小数直接看最后一位所在数位；②科学记数法、带单位的近似数，要还原成原数，再判断末位数字的实际数位。 38．近似数万精确到（   ）位． A．十 B．十分位 C．千 D．万 【答案】C 【分析】判断带计数单位的近似数的精确度，需先将带单位的近似数还原为不带单位的原数，再观察最后一位有效数字所在的数位，即可得到近似数精确到的数位． 【详解】解：万，85000中最后一位有效数字“”位于千位， 则近似数万精确到千位． 39．近似数精确到______位，它有______个有效数字． 【答案】 万分 四 【详解】解：近似数精确到万分位，它有四个有效数字． 40．下列说法正确的是（    ） A．精确到百分位 B．精确到千分位 C．精确到千位 D．万精确到个位 【答案】C 【分析】本题主要考查近似数的知识点． 根据近似数的精确度定义，科学记数法的精确度由系数的最后一位数字决定，需结合指数判断实际精确位． 【详解】∵ 近似数的精确度取决于最后一位有效数字的位置； 选项A.：最后一位数字0在千分位，故精确到千分位，不是百分位，不符合题意； 选项B.：中系数最后一位在千分位，乘以后精确到十位，不是千分位，不符合题意； 选项C.：中系数最后一位在百分位，乘以后精确到千位，正确，符合题意； 选项D.：万，最后一位有效数字在万位，故精确到万位，不是个位，不符合题意． 故选C． 41．长城总长约为6.7×106米，下列关于6.7×106的精确程度说法正确的是（    ） A．精确到十分位 B．精确到个位 C．精确到十万位 D．以上说法都不对 【答案】C 【分析】根据106为百万，即可确定精确度． 【详解】解：6.7×106＝6700000， 由于7位于十万位上，所以6.7×106精确到十万位． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了有效数字和精确度，一个近似数，最后一位是哪一位，就叫精确到哪一位． 题型十三：近似数推断取值范围 解题思路：①明确四舍五入的临界点；②最小值：原数向下取（入的情况），最大值：原数向上取（舍的情况）；③注意边界值能否取等号。 42．近似数3.14所表示的准确数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查近似数的取值范围，根据四舍五入法则，近似数3.14表示准确数a四舍五入到百分位后为3.14，因此a的范围需满足千分位进一和舍去的情况． 【详解】解：∵近似数3.14是通过四舍五入到百分位得到的， ∴当千分位大于等于5时，进一，原百分位为3，故； 当千分位小于5时，舍去，原百分位为4，故． ∴ a的取值范围是3.135 ≤ a < 3.145． 故选D． 43．近似值是的最大三位小数是______，最小三位小数是______． 【答案】 【分析】本题考查了近似数，根据“四舍五入”法即可求解，掌握“四舍五入”法是解题的关键． 【详解】解：近似值是的最大三位小数是，最小三位小数是， 故答案为：，． 44．数精确到时近似数是，那么的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查近似数的四舍五入规则，精确到时需根据千分位的数字进行四舍五入，分千分位舍去和千分位进一两种情况讨论，即可确定原数的范围． 【详解】分两种情况讨论： ①若千分位数字舍去，可得千分位数字小于5，此时原数最大小于，即 ②若千分位数字进一，可得千分位数字大于等于5，进一后得到，因此原数最小为，即 ∴ 数的范围为． 题型十四：计算器 —— 有理数 解题思路：①熟悉计算器乘方、负号、括号按键；②输入负数、分数、乘方时注意添加括号；③核对输入式子，避免按键顺序错误。 45．如图若用我们数学课本上采用的科学计算器按顺序输入，它表示的计算式是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学计算器的使用和有理数的混合运算，熟练掌握科学计算器的使用方法是解题的关键． 根据按键的顺序得出算式即可． 【详解】解：根据按键顺序可知算式为, 故答案为：． 46．计算器上的三个按键、、的功能分别是：将屏幕显示的数变成它的平方；将屏幕显示的数变成它的倒数；将屏幕显示的数变成它的算术平方根．小蕊输入一个数后，依次按照如下图所示的三步循环重复按键，则第2023次按键后，显示的结果是__________．    【答案】4 【分析】根据题意分别计算出前六步显示的结果，从而得出数字的循环规律，利用周期规律求解． 【详解】解：输入一个数后， 第一步的结果为， 第二步的结果为， 第三步的结果为， 第四步的结果为， 第五步的结果为， 第六步的结果为， 第七步的结果为， 由此可知，运算的结果六步为一个周期，， ， 第2023次按键后，显示的结果是4， 故答案为4． 【点睛】本题考查了计算器，通过列举例子发现规律是解题的关键． 47．下列关于计算器的按键说法中，错误的是（    ） A．按键显示结果：45 B．按键 显示结果： C．按键 显示结果： D．按键显示结果：66 【答案】D 【分析】根据计算器的按键对应的功能即可求解． 【详解】解：A.按键显示结果：45，正确，不符合题意； B.按键 显示结果：，正确，不符合题意； C.按键 显示结果：，正确，不符合题意； D. 按键 显示结果：66，错误，应为，故D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了利用计算器进行有理数的相关运算，解题的关键是掌握科学计算器中各按键的功能． 解答题 1．根据要求，用四舍五入法取下列各数的近似值： (1) （精确到百分位）； (2) （精确到）． (3)近似数精确到 位，有 个有效数字． (4)所有绝对值小于4的整数的积是 ，和是 ． 【答案】(1) (2) (3)千；3 (4)0，0 【分析】本题主要考查精确度、有效数字、绝对值的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）精确到百分位，就是对千分位进行四舍五入； （2）精确到，就是对位进行四舍五入； （3）易得整数数位1所在的数位是十万，看最后的有效数字3在哪一位即可； （4）先求出绝对值小于4的所有整数，再根据有理数的乘法法则求出它们的积，有理数的加法法则求出它们的和． 【详解】（1）精确到百分位，即精确到小数点后第二位，由四舍五入法可得； （2）精确到，即精确到小数点后第三位，由四舍五入法可得； （3）近似数精确到千位，有效数字是1，2，3，一共3个； （4）∵绝对值小于4的整数有：，，，， ∴所有绝对值小于4的整数的积是0，和是0． 2．某工厂小张师傅接受了加工两根轴的任务，他很快地完成了任务，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小张不服气地说：“图纸上要求的是，而我做的轴，一根是，另一根是，怎么不合格了？” 请你说一说，是小张师傅做的轴不合格，还是质检员故意刁难？为什么？ 【答案】 小张师傅做的轴不合格．理由如下： ∵近似数的精确数x应满足，而小张师傅做的一根轴长，小于， ∴不合格； ∵另一根轴长，大于， ∴也不合格． 【分析】本题主要考查了近似数的应用，根据题意推出近似数的精确数x应满足，据此可得结论． 【详解】略 3．如果，那么为的“劳格数”，记为．例如：，，，，，． (1)根据定义，填空：________，________． (2)“劳格数”有如下运算性质： 若m，n为正数，则，． ①根据运算性质，填空：________； ②若，分别计算，． 【答案】(1)4； (2)①；②， 【分析】（1）根据定义，找到10的多少次方等于对应数，这个指数就是劳格数； （2）①利用除法性质，拆分计算； ②把4、8拆成2相乘的形式，用乘法性质展开计算． 【详解】（1）解：， ； ， ． （2）解：①； ②， ， ． 4．数学活动 在上个月，我们学习了“有理数乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算，定义：与（，m、n都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作，运算法则如下：． 解决问题 根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题： (1)填空： ； ； (2)如果，求出x的值； (3)如果，请直接写出x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的乘方逆运算，掌握乘方逆运算法则、分类讨论思想的运用是解题的关键． （1）根据定义的运算法则计算即可； （2）逆用运算法则列一元一次方程求解； （3）根据题意分三种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：根据题意得 ； ； 故答案为：； （2）解：根据题意得 ， ∵， ∴， ∴ ， 解得； （3）解：根据题意得，可分为三种情况， 当指数相等，且底数不为0时，即，且。 ∴ 解得， ∵， ∴符合题意， 当底数为时，即 解得， 此时指数为， 式子为，符合条件； 当底数为时，且指数差为偶数，即，且是偶数， ∴ 解得， 计算指数差： ， 此时，符合条件， ∴x的值． 5．如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小明输入4，7这两个数时，则两次输出的结果依次为______，______； (2)你认为当输入数等于______时（写出一个即可），其输出结果为0； (3)你认为这个“数值转换机”不可能输出______（填写：正数、0、负数）； (4)有一次，小明操作的时候输入了一个小于10的正整数，最后输出的结果是2，聪明的你判断一下，小明输入的正整数是______． 【答案】(1)1，2 (2)（答案不唯一）． (3)负 (4)7或2 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、相反数、绝对值、倒数的概念及应用，熟练掌握这些概念和数值转换机的运算流程是解题的关键． （1）按照数值转换机的流程，对输入的4和7逐步进行判断和运算． （2）从输出0的结果出发，逆向分析转换机中能产生0的运算环节，确定输入数． （3）分析转换机各步骤的运算结果类型，判断不可能输出的数． （4）从输出结果2逆向推导，结合输入为小于10的正整数的条件，找出符合的输入数． 【详解】（1）解：输入4：∵， ∴， ∵， ∴， 为正数， ∴取1的倒数，输出的结果为1； 输入7：∵， ∴， ∵不大于， ∴取相反数， ∵不是正数， ∴取的绝对值，输出的结果为2， 故答案为：，； （2）解：∵的绝对值是，的相反数是， ∴输入时：不大于，，不是正数，取的绝对值， ∴输入数可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． （3）解：若数大于，经“加上”后运算，后续计算或得正数、或得； 若数不大于，取相反数后为正则取倒数（正数），非正则取绝对值（非负数）．因此不可能输出负数． 故答案为：负； （4）解：输入1：∵， ∴取相反数为； ∵非正， ∴取绝对值为，输出． 输入2：∵不大于， ∴取相反数为； ∵非正， ∴取绝对值为，输出． 输入3：∵， ∴进行； ∵， ∴取相反数为； ∵（为正）， ∴取倒数为，输出． 输入4：∵， ∴进行； ∵， ∴取相反数为； ∵（为正）， ∴取倒数为，输出． 输入5：∵， ∴进行； ∵不大于， ∴取相反数为； ∵非正， ∴取绝对值为，输出． 输入6：∵， ∴进行； ∵， ∴取相反数为； ∵非正， ∴取绝对值为，输出． 输入7：∵， ∴进行； ∵不大于， ∴取相反数为； ∵非正， ∴取绝对值为，输出． 输入8： ∵， ∴进行； ∵， ∴进行； ∵， ∴取相反数为； ∵（为正）， ∴取倒数为，输出． 输入9：∵， ∴进行； ∵， ∴进行； ∵， ∴取相反数为； ∵（为正）， ∴取倒数为，输出． 故答案为：或． 6．如图，从卫生纸的包装纸上得到以下信息：300格，每格，如图①；用尺子量出整卷卫生纸的半径与纸筒内芯的半径分别为和，如图②．求卫生纸的厚度．（取3） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用，有理数的乘除的混合应用，圆柱的体积，正确掌握相关性质是解题的关键． 先结合整卷卫生纸的半径与纸筒内芯的半径分别为和，且运用圆柱的体积公式进行列式计算可得整卷卫生纸的体积，再根据图中的数据信息进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵整卷卫生纸的半径与纸筒内芯的半径分别为和， ∴整卷卫生纸的体积， 则卫生纸的厚度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06有理数乘方与混合运算及近似数精讲学案 核心立意 理解乘方的意义，掌握乘方运算与科学记数法；牢记有理数完整运算顺序，熟练进行有理数混合运算；分清准确数、近似数、精确度，会按要求求近似数，提升运算严谨性。 有理数乘方概念： 求n个相同因数的积的运算叫做乘方；an中，a为底数，n为指数，结果叫幂；读作a的n次方；负数、分数作底数时，必须加括号。 乘方符号法则： 正数的任何次幂都是正数； 负数的偶次幂为正，奇次幂为负； 0的正整数次幂等于0； 1的任何次幂等于1； -1偶次幂为1，奇次幂为-1。 科学记数法（必考）： 把一个大于10的数记成a10n形式，要求1a<10}；n等于原数整数位数减1。 有理数混合运算顺序： 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 同级运算从左往右；有括号先算括号内， 顺序：小括号→中括号→大括号；可合理利用运算律简化计算。 准确数与近似数： 与实际完全符合是准确数；通过测量、四舍五入得到，接近实际的数叫近似数。 精确度： 四舍五入到哪一位，就说近似数精确到哪一位；看近似数最后一位数字所在数位；带单位、科学记数法形式的近似数，要还原成原数再判断精确数位。 ①混淆-an与(-a)n：-an底数是a；(-a)n底数是-a，二者意义不同，结果经常不等； ②负数、分数做乘方底数，漏写括号，直接造成结果错误； ③混合运算顺序搞错，先算加减后算乘方，跳步计算符号出错； ④科学记数法写错a的范围，a必须满足1 a<10，n算错位数； ⑤-1，0，1的乘方，指数奇偶判断失误； ⑥带单位近似数判断精确度不还原原数，如2.4万，错误认为精确到十分位； ⑦近似数末尾的0不能随意去掉，末尾0代表精确度。 题型 考察方向 难度 题型一 有理数幂的概念理解 ★ 题型二 有理数的乘方运算 ★★ 题型三 有理数乘方逆运算 ★★★ 题型四 乘方运算的符号规律 ★★ 题型五 乘方的应用 ★★★ 题型六 用科学记数法表示绝对值大于 1 的数 ★★ 题型七 将用科学记数法表示的数变回原数 ★★ 题型八 程序流程图与有理数计算 ★★★ 题型九 算 “24” 点 ★★★ 题型十 含乘方的有理数混合运算 ★★★ 题型十一 求一个数的近似数 ★★ 题型十二 求近似数的精确度 ★★★ 题型十三 近似数推断取值范围 ★★★★ 题型十四 计算器 —— 有理数 ★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★拔高 题型一：有理数幂的概念理解 解题思路：①分清底数、指数、幂三个概念；②重点区分(-a)n与-an，看清负号是否属于底数；③分数、负数作底数时，留意括号带来的意义差别。 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．___________(结果用含m、n的式子表示)． 3．下列判断中，（1）1是最小的自然数；（2）正数、零、负数统称为有理数；（3）的底数为－3；（4）a、b互为相反数，则a＋b＝0；（5）当x＝时，，正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二：有理数的乘方运算 解题思路：①确定底数与指数；②利用乘方符号法则定符号：正数任何次幂为正，负数偶次幂正、奇次幂负；③计算绝对值部分，注意不要随意漏掉括号。 4．计算的结果是_______ ． 5．若，则的值是（    ） A．1 B． C．0 D．2025 6．阅读以下内容： 根据这一规律，计算：________． 7．比较这组数，0，，，，大小正确的为（   ） A． B． C． D． 题型三：有理数乘方逆运算 解题思路：①已知幂和指数，反推底数；②注意正数的偶次幂对应两个互为相反数的底数；③0、1、-1特殊值优先代入验证。 8．如图，在下列计算程序中填写适当的数______． 9．定义一种新运算，若，则，例，．已知，则x的值为 __． 10．若，，且，则的值等于（    ） A．1或5 B．1或 C．或 D．或5 题型四：乘方运算的符号规律 解题思路：①看底数正负，再看指数奇偶；②正数任意次幂恒正；③负数：偶次幂正，奇次幂负；④结合0、1、‑1的乘方特点快速判断。 11．已知的最大值为______． 12．已知，则的值是（ ） A． B．1 C．2 D．3 13．在，，，中，结果是负数的有_________个． 14．a，b互为相反数，，n为自然数，则下列叙述正确的有（    ）个 ①互为相反数                ②互为相反数 ③互为相反数               ④互为相反数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型五：乘方的应用 解题思路：①读懂实际情景，识别倍增、对折这类乘方模型；②找准基数与次数，列出乘方算式；③计算结果，结合题意解释实际含义。 15．有一根2米长的木棒，第一次截去它的一半，第二次截去剩下的一半，以此方式进行下去，则第六次截去之后剩下的木棒的长度是_____米 16．数的进制是一种计数方式．如十进制数用0至9这十个数字表示，满十进一，如；计算机中使用0和1这两个数字表示二进制数，满二进一，如二进制数1101可用式子转换为十进制数13．下列说法中：①二进制数1110可转化为十进制数14；②十进制数17可转化为二进制数10001；③古代用结绳计数，满七进一，则图1的七进制数转化为十进制数为111；④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，则图3表示的二进制数转化为十进制数是7；正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一个人在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录摘得的果子的数目．请根据图，计算他一共摘了____________个果子． 题型六：用科学记数法表示绝对值大于 1 的数 解题思路：①写成a10n，满足1a<10}；②n等于原数的整数位数减1；③移动小数点确定a，不要写错指数n。 18．被誉为“新世界七大奇迹”之一的港珠澳大桥是中国境内一座连接香港、广东珠海和澳门的桥隧工程，它是世界上最长的跨海大桥，桥隧全长55000米，其中55000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 19．2026年5月13日，我国金川水电站正式并网发电，该电站年发电量约35亿度，数据35亿用科学记数法表示为__________． 20．2026年1月，浙江省统计局公布2025年全省11个地市与增速，如下图所示．如果以2025年的增速预测舟山2026年全年增量，并且以元为单位表示这个数据，那么这个数据用科学记数法可以表示约为（   ） A． B． C． D． 题型七：将用科学记数法表示的数变回原数 解题思路：①看10的指数n；②把a的小数点向右移动n位，位数不够补0；③核对原数位数，防止多写、少写0。 21．在2008北京“奥运会国家体育场”的鸟巢钢结构工程施工建设中，首次使用了我国科研人员自主研制的强度为帕的钢材，那么的原数为（     ） A．4600000 B．46000000 C．460000000 D．4600000000 22．地球上水的总储量为，但目前能被人们利用的水仅占总储量的，即约为，关于数据“”，下列说法正确的是（     ） A．用科学记数法可以表示为 B．用科学记数法可以表示为 C．该数是一个18位数 D．该数是一个19位数 23．神舟十八号飞船是我国神舟载人飞船系列之一，神舟十八号飞船在航行轨道的速度大约是每秒7.9公里，飞船t小时飞行的距离用科学记数法表示为“”公里，则下列说法正确的是（    ） A．a的值为28.44 B．a为正整数 C．n的值为4或5 D．将“”还原为原数，则原数中“0”的个数不可能为0 题型八：程序流程图与有理数计算 解题思路：①读懂流程图的运算规则与判断条件；②按流程顺序分步代入数值计算；③遇到循环要注意终止条件，避免无限计算。 24．根据如图所示的程序，当输入的值为1时，输出的值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 25．给出如图所示的程序．当输入的值为1时，输出的值为1；当输入的值为时，输出的值为．故当输入的值为0.5时，输出的值为_________． 26．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入x的值是6时，根据程序，第一次计算输出的结果是3，第二次计算输出的结果是，…，这样下去第2 026次计算输出的结果是（    ） A． B． C． D． 题型九：算 “24” 点 解题思路：①利用加减乘除、乘方组合给定数字；②优先凑3×8、4×6、12×2等24的因数组合；③每个数字只能使用一次。 27．将有理数3，4，，10进行加、减、乘、除四则运算（每个数必须用且只能用一次），使其结果等于24，请你写出符合要求的一个算式，即：_____． 28．根据如图所示的4张扑克牌上的点数进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为，可以列出综合算式是________． 29．“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 题型十：含乘方的有理数混合运算 解题思路：①严格遵循运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内；②分步处理符号，减少跳步；③合理使用运算律简化计算。 30．计算：－22＋(－2)2－(－1)3＝___________． 31．定义，例如，则的结果为（     ） A． B． C．1 D．3 32．计算：________． 33．下列各组运算结果中，数值最小的是（） A． B． C． D． 题型十一：求一个数的近似数 解题思路：①看清题目要求精确到哪一位；②对目标数位的后一位做四舍五入；③近似数末尾的0不能随意删除。 34．精确到百分位，应等于（     ） A． B． C． D． 35．用四舍五入法将取近似数精确到十分位是_________． 36．用四舍五入法对下列各数取近似值，其中结果错误的是（    ） A．（精确到个位） B．（精确到十分位） C．（精确到） D．（精确到百位） 37．期中考试后，小明用计算器计算出他六科的平均成绩为分．对小明这六科的平均成绩，下面用四舍五入法按要求取近似值，其中错误的是（    ） A．（精确到千分位） B．（精确到） C．（精确到） D．（精确到个位） 题型十二：求近似数的精确度 解题思路：①普通小数直接看最后一位所在数位；②科学记数法、带单位的近似数，要还原成原数，再判断末位数字的实际数位。 38．近似数万精确到（   ）位． A．十 B．十分位 C．千 D．万 39．近似数精确到______位，它有______个有效数字． 40．下列说法正确的是（    ） A．精确到百分位 B．精确到千分位 C．精确到千位 D．万精确到个位 41．长城总长约为6.7×106米，下列关于6.7×106的精确程度说法正确的是（    ） A．精确到十分位 B．精确到个位 C．精确到十万位 D．以上说法都不对 题型十三：近似数推断取值范围 解题思路：①明确四舍五入的临界点；②最小值：原数向下取（入的情况），最大值：原数向上取（舍的情况）；③注意边界值能否取等号。 42．近似数3.14所表示的准确数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 43．近似值是的最大三位小数是______，最小三位小数是______． 44．数精确到时近似数是，那么的范围是（    ） A． B． C． D． 题型十四：计算器 —— 有理数 解题思路：①熟悉计算器乘方、负号、括号按键；②输入负数、分数、乘方时注意添加括号；③核对输入式子，避免按键顺序错误。 45．如图若用我们数学课本上采用的科学计算器按顺序输入，它表示的计算式是_______． 46．计算器上的三个按键、、的功能分别是：将屏幕显示的数变成它的平方；将屏幕显示的数变成它的倒数；将屏幕显示的数变成它的算术平方根．小蕊输入一个数后，依次按照如下图所示的三步循环重复按键，则第2023次按键后，显示的结果是__________．    47．下列关于计算器的按键说法中，错误的是（    ） A．按键显示结果：45 B．按键 显示结果： C．按键 显示结果： D．按键显示结果：66 解答题 1．根据要求，用四舍五入法取下列各数的近似值： (1) （精确到百分位）； (2) （精确到）． (3)近似数精确到 位，有 个有效数字． (4)所有绝对值小于4的整数的积是 ，和是 ． 2．某工厂小张师傅接受了加工两根轴的任务，他很快地完成了任务，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小张不服气地说：“图纸上要求的是，而我做的轴，一根是，另一根是，怎么不合格了？” 请你说一说，是小张师傅做的轴不合格，还是质检员故意刁难？为什么？ 3．如果，那么为的“劳格数”，记为．例如：，，，，，． (1)根据定义，填空：________，________． (2)“劳格数”有如下运算性质： 若m，n为正数，则，． ①根据运算性质，填空：________； ②若，分别计算，． 4．数学活动 在上个月，我们学习了“有理数乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算，定义：与（，m、n都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作，运算法则如下：． 解决问题 根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题： (1)填空： ； ； (2)如果，求出x的值； (3)如果，请直接写出x的值． 5．如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小明输入4，7这两个数时，则两次输出的结果依次为______，______； (2)你认为当输入数等于______时（写出一个即可），其输出结果为0； (3)你认为这个“数值转换机”不可能输出______（填写：正数、0、负数）； (4)有一次，小明操作的时候输入了一个小于10的正整数，最后输出的结果是2，聪明的你判断一下，小明输入的正整数是______． 6．如图，从卫生纸的包装纸上得到以下信息：300格，每格，如图①；用尺子量出整卷卫生纸的半径与纸筒内芯的半径分别为和，如图②．求卫生纸的厚度．（取3） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $