专题 2.7 反比例函数全章中考常考点专题（知识储备 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年苏科版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

该初中数学讲义通过知识框架系统梳理反比例函数核心内容，涵盖定义、k的符号与图像增减性、对称性、几何意义及基础求值方法，以矩形/直角三角形模型呈现k的几何意义，用口诀归纳增减规律，构建清晰知识脉络。 讲义亮点在于分层题型设计，从基础的单点代入求k值到压轴的双点对称组合图形面积计算，每个题型附思路总结培养推理意识与几何直观，同步检测含选择、填空、解答题适配不同学生，助力教师实施精准教学。

专题 2.7 反比例函数全章中考常考点专题（知识储备 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识储备 1 【知识点一】反比例函数定义 1 【知识点二】k的符号与图像、增减性 2 【知识点三】双曲线两大对称性 2 【知识点四】k的几何意义（中考必考） 2 【知识点五】基础求值通用方法 2 二.题型精析 2 【题型 1】反比例函数定义与参数求解 2 【题型 2】k符号与图像象限判断 3 【题型 3】单点代入求k值、求函数解析式 4 【题型 4】几何基础面积计算 5 【题型 5】增减性+跨象限函数值大小比较 6 【题型 6】双曲线对称性求值 7 【题型 7】由面积反求k值（填空压轴） 8 【题型 8】双点对称组合图形面积压轴 9 【题型 9】含参点代入+参数分类综合压轴 10 三.同步检测 11 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 11 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 14 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 15 一.知识储备 【知识点一】反比例函数定义 1. 标准形式： 2. 三种等价写法：① ② ③ 3. 判定双重条件：x的次数为；比例系数，二者缺一不可。 4. 取值限制：，图像永远不与坐标轴相交。 【知识点二】k的符号与图像、增减性 1. 图像名称：双曲线，分为两个独立分支，图像不连续。 2. ：图像位于一、三象限；在每个象限内，y随x增大而减小。 3. ：图像位于二、四象限；在每个象限内，y随x增大而增大。 口诀：k正一三减，k负二四增，增减规律仅限同一分支。 【知识点三】双曲线两大对称性 1. 中心对称：图像关于原点中心对称，若在双曲线上，则也在图像上。 2. 轴对称：图像关于直线、对称，点关于对称点为。 【知识点四】k的几何意义（中考必考） 设点在图像上，则，。 1. 矩形模型：过P分别作x轴、y轴垂线，围成矩形面积； 2. 直角三角形模型：过P作任意一条坐标轴垂线，连接原点形成直角三角形，面积； 3. 核心结论：同一反比例函数上任意一点对应的矩形、三角形面积为固定值，与点的位置无关。 【知识点五】基础求值通用方法 若点坐标满足反比例函数，直接代入快速计算比例系数，再写出完整解析式。 二.题型精析 【题型 1】反比例函数定义与参数求解 核心考向：中考基础必考，根据反比例函数定义列方程求参数值 【例题1】（25-26八年级下·重庆·期中）一个反比例函数的图象经过点． （1）求该反比例函数的解析式． （2）当时，求x的值． 【变式1】（2026·河北·中考真题）平面直角坐标系中有，，三点．若直线经过原点，则点一定在（     ） A．函数的图象上 B．函数的图象上 C．函数的图象上 D．函数的图象上 【变式2】（2026·甘肃白银·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上，则的值为_________． 【变式3】（24-25九年级上·江西上饶·期末）已知反比例函数，当时，随着的增大而减小． （1）求的值； （2）当时，求的取值范围． 思路总结：判定反比例函数两步走，指数等于、系数不为0，双重条件检验，杜绝漏限制条件失分。 【题型 2】k符号与图像象限判断 核心考向：根据图像分布象限反求参数取值范围 【例题2】（24-25八年级下·吉林长春·阶段检测）反比例函数的图象的一分支如图所示． （1）求m的取值范围． （2）若该函数的图象与正比例函数的图象在第一象限的交点为，求的值． 【变式1】（2026·四川巴中·中考真题）函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·湖北武汉·中考真题）反比例函数（为常数）的图象位于第二、第四象限，写出一个符合条件的的值是_________． 【变式3】（25-26九年级上·湖南常德·期中）已知反比例函数的图象位于第二、四象限． （1）求k的取值范围； （2）若点是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值的大小． 思路总结：对应一、三象限，对应二、四象限，直接根据象限列不等式求解参数。 【题型 3】单点代入求k值、求函数解析式 核心考向：基础送分题型，已知图像上点坐标求函数参数 【例题3】（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）已知反比例函数（k为常数，且）与一次函数的图象都过．求反比例函数的表达式． 【变式1】（25-26八年级下·重庆·期末）已知点在反比例函数的图象上，则k的值为（     ） A．6 B． C．12 D． 【变式2】（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、D分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象经过正方形顶点C，若点、，则_____． 【变式3】（24-25九年级上·广西贵港·期末）如图，已知反比例函数的图象经过点． （1）求k的值； （2）已知点B在x轴的正半轴上，且，求的面积． 思路总结：优先使用速算，无需整理分式，简化计算步骤，减少计算失误。 【题型 4】几何基础面积计算 核心考向：中考填空基础题型，考查k的几何意义基础模型 【例题4】（24-25九年级上·全国·单元测试）已知一个反比例函数，当时，．写出这个函数的解析式．如果在它的图象上任取一点，作轴，轴，，为垂足，求矩形的面积． 【变式1】（2026·云南红河·二模）如图，点是反比例函数的图象上任意一点，过点作轴于点，若的面积等于3，则的值为（    ）    A．5 B． C． D．6 【变式2】（2025·浙江杭州·三模）如图，正比例函数图象与反比例函数图象交于A，B两点，轴于点H，连接交y轴于点G，若，则k的值为______． 【变式3】（25-26八年级下·四川乐山·期末）如图，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点．若轴，垂足为，面积为6． （1）求值； （2）求的面积． 思路总结：坐标轴垂线矩形面积等于，直角三角形面积等于，计算必须带绝对值。 【题型 5】增减性+跨象限函数值大小比较 核心考向：中考高频易错题，得分率低，考查增减性适用条件 【例题5】（24-25九年级上·河北廊坊·阶段检测）在平面直角坐标系中，为双曲线上一点． （1）求的值； （2）在（1）的条件下： ①点和在双曲线上，比较与的大小； ②点在双曲线上，点的坐标为．若的面积为8，求点的坐标． 【变式1】（2026·天津·中考真题）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·吉林·中考真题）已知点，都在反比例函数的图象上，比较与的大小：__________． 【变式3】（25-26九年级下·贵州铜仁·期中）如图，点、在反比例函数的图象上，轴，垂足为点C，轴，垂足为点D，延长交的延长线于点E． （1）根据图象，直接比较、的大小：____（选填“>”“<”或“=”）； （2）若四边形的面积为20，求反比例函数的表达式． 思路总结：先划分点所在象限，利用正负快速区分；同象限依据增减性比较，严禁跨象限套用增减规律。 【题型 6】双曲线对称性求值 核心考向：隐性考点，常结合坐标求值、解析式验证考查 【例题6】（2024·青海西宁·一模）如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，点是点关于轴的对称点，连接，． （1）求该反比例函数的解析式和正比例函数的解析式； （2）在轴上找一点，使得是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【变式1】（24-25八年级下·山西长治·期中）已知一条过原点的直线与双曲线的一个交点为，则它们的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·陕西西安·模拟预测）已知反比例函数图象与正比例函数的图象交于点和点，则______________． 【变式3】（2026·河南洛阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，的边经过原点，点，关于轴对称，点的坐标为，反比例函数的图象经过点． （1）求此反比例函数的表达式； （2）将向上平移，当点落在反比例函数的图象上时，求出平移的距离． 思路总结：原点对称横纵坐标全变号，直线对称横纵坐标互换。 【题型 7】由面积反求k值（填空压轴） 核心考向：江苏中考填空高频压轴，结合象限判定k的正负 【例题7】（2026·浙江温州·模拟预测）如图，在直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B在x轴的正半轴上，轴交函数的图象于点C，连结，四边形的面积为． （1）求的值； （2）若，，求k的值． 【变式1】（24-25九年级下·吉林长春·阶段检测）如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过，两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，与反比例函数的图象交于点D．若，则k的值为__________． 【变式3】（2025九年级上·全国·专题练习）如下图，A是反比例函数图象上一点，轴于点C，且与反比例函数的图象交于点，连接．若的面积为6，求的值． 思路总结：先通过面积求出，再根据图像所在象限判断k的正负，避免符号错误。 【题型 8】双点对称组合图形面积压轴 核心考向：中档压轴题型，融合对称性与k的面积模型，综合性强 【例题8】（2026·湖北黄冈·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，，并延长交反比例函数图象于点C，直线交x轴于点D． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）若点P是x轴上一点，当时求点P的坐标． 【变式1】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，函数与函数交于、两点，点在轴上，且，若，则的值为（     ） A．4 B．6 C．12 D．24 【变式2】（24-25九年级下·福建泉州·期中）将向右平移两个单位，向下平移个单位，与有两个交点，分别为，，则_____． 【变式3】（25-26八年级下·山东济南·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）直线与轴交于点，在轴上找一点，使得最小，求点坐标，并求出最小值； （3）如图2，为第二象限内反比例函数图象上的点，且点在点右侧，连接、，当的面积为30时，求点的坐标． 思路总结：利用双曲线原点对称性质，将不规则组合图形分割为基础面积模型，快速秒杀压轴面积题。 【题型 9】含参点代入+参数分类综合压轴 核心考向：单元压轴高频题型，融合参数求解、图像性质判断，考点综合 【例题9】（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点，两点，O为坐标原点，连接，． （1）求与的解析式； （2）当时，请结合图象直接写出自变量x的取值范围； （3）求的面积； （4）设直线与的交点横坐标分别为，，与直线的交点横坐标为，若，直接写出b的取值范围． 【变式1】（2026·内蒙古通辽·一模）已知点，都在反比例函数的图象上，若，则m的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【变式2】（2026·上海·中考真题）已知点与点在同一条反比例函数的图象上，若，则的取值范围是________． 【变式3】（25-26八年级下·上海宝山·期末）已知一次函数与反比例函数的图像交于点． （1）求和的值； （2）判断反比例函数的图像位于哪些象限？ （3）在平面直角坐标系中，求直线上位于轴上方的所有点的横坐标的取值范围． 思路总结：含参点代入函数等式列方程求参数，再根据k的正负判断图像象限与增减性，步骤完整、逻辑闭环。 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·福建·中考真题）下列各点中，在函数图象上的点是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·山西·中考真题）已知点，点，点都在反比例函数的图象上，则，，的关系是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·天津·中考真题）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，平面直角坐标系中，在轴上，，点的坐标为，将绕点逆时针旋转，点的对应点恰好落在双曲线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．若点，都在图象上，且，则 C．图象位于第二、四象限 D．当时，随的增大而减小 6．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于点，，分别过，作轴，轴的垂线，垂足分别为，．若四边形的面积为，则（     ）． A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段检测）如图，点在双曲线上，过点A作轴，垂足为C，线段的垂直平分线交于点B，，则周长的值是（     ） A．4 B． C． D． 8．（23-24九年级下·广东湛江·自主招生）一次函数经过第一、二、三象限，则函数的图像大致为（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点B为x轴上的点，点D是第一象限内的一点，轴，已知线段交反比例函数的图像于点C，连接，点C为的中点，连接，交反比例函数图像于点A．若的面积为5，则k的值为（     ） A．10 B．5 C．8 D．20 10．（2025·浙江温州·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数图象上，轴于点，轴于点，连结，，若，，则的值为（     ） A． B．3 C． D．4 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·云南·中考真题）若函数的图象经过点，则________． 12．（2026·湖北·中考真题）反比例函数的图象位于第一、第三象限，写出一个符合条件的的值是______． 13．（2024·内蒙古包头·中考真题）若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则______． 14．（2026·陕西·中考真题）如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过矩形的对称中心．若矩形的面积为12，则的值为_________． 15．（2026·四川广元·中考真题）如图，在中，轴，点为的中点，函数的图象经过，两点，过点作的平行线交轴于点，连接，若的面积为2，则的值为__________． 16．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，轴，点C是x轴上一点，若的面积为3，则k的值为_________． 17．（2024·陕西·中考真题）如图，点和点在同一个反比例函数的图象上，AC和BC分别垂直于x轴和y轴．若的面积为32，则k的值为________． 18．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图所示，点是反比例函数（）图象上的任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，点，在轴上，则的面积为________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2026·四川广元·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与函数的图象交于点． （1）求，的值； （2）将线段绕点逆时针旋转到，连接，将沿直线平移，当点的对应点恰好落在函数的图象上时，求点的坐标． 20．（本小题满分8分）（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与x轴相交于点，与y轴相交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）点P为y轴负半轴上一点，连接．若的面积为6，求点P的坐标． 21．（本小题满分10分）（2026·甘肃嘉峪关·二模）反比例函数的图象与直线相交于点，， （1）求反比例函数与直线的解析式； （2）连接，，求的面积S． （3）直接写出当x取何值时，． 22．（本小题满分10分）（2026·四川雅安·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点A的横坐标为． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若点D是y轴上一点，且的面积为20，求点D坐标． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点B的横坐标为． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当时，自变量x的取值范围； （3）若点D是y轴上的一点，且，求出点D坐标． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·江苏南京·期末）利用反比例函数的图象能将一个角三等分，也能将一条线段三等分．    （1）如图①，是的三等分线，，点在上，过点作，交于点，分别过点、点作，，垂足为、，交于点，点是的中点，连接并延长交于点．猜想与的数量关系，并说明理由． （2）古希腊数学家帕普斯借助反比例函数的图象成功将锐角三等分，作法如下： 1．如图②，建立平面直角坐标系，将已知的顶点与原点重合，角的一边与轴正方向重合； 2．在平面直角坐标系里，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点； 3．以为圆心，以为半径作弧，交函数的图象于点； 4．分别过点和作轴和轴的平行线，两线相交于点； 5．连接，得到． 请根据以上作法，证明． （3）如图③，在平面直角坐标系中，点在轴上，请你利用反比例函数（，）的图象作出线段的三等分点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.7 反比例函数全章中考常考点专题（知识储备 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识储备 1 【知识点一】反比例函数定义 1 【知识点二】k的符号与图像、增减性 2 【知识点三】双曲线两大对称性 2 【知识点四】k的几何意义（中考必考） 2 【知识点五】基础求值通用方法 2 二.题型精析 2 【题型 1】反比例函数定义与参数求解 2 【题型 2】k符号与图像象限判断 5 【题型 3】单点代入求k值、求函数解析式 7 【题型 4】几何基础面积计算 10 【题型 5】增减性+跨象限函数值大小比较 13 【题型 6】双曲线对称性求值 17 【题型 7】由面积反求k值（填空压轴） 20 【题型 8】双点对称组合图形面积压轴 24 【题型 9】含参点代入+参数分类综合压轴 31 三.同步检测 34 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 34 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 41 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 47 一.知识储备 【知识点一】反比例函数定义 1. 标准形式： 2. 三种等价写法：① ② ③ 3. 判定双重条件：x的次数为；比例系数，二者缺一不可。 4. 取值限制：，图像永远不与坐标轴相交。 【知识点二】k的符号与图像、增减性 1. 图像名称：双曲线，分为两个独立分支，图像不连续。 2. ：图像位于一、三象限；在每个象限内，y随x增大而减小。 3. ：图像位于二、四象限；在每个象限内，y随x增大而增大。 口诀：k正一三减，k负二四增，增减规律仅限同一分支。 【知识点三】双曲线两大对称性 1. 中心对称：图像关于原点中心对称，若在双曲线上，则也在图像上。 2. 轴对称：图像关于直线、对称，点关于对称点为。 【知识点四】k的几何意义（中考必考） 设点在图像上，则，。 1. 矩形模型：过P分别作x轴、y轴垂线，围成矩形面积； 2. 直角三角形模型：过P作任意一条坐标轴垂线，连接原点形成直角三角形，面积； 3. 核心结论：同一反比例函数上任意一点对应的矩形、三角形面积为固定值，与点的位置无关。 【知识点五】基础求值通用方法 若点坐标满足反比例函数，直接代入快速计算比例系数，再写出完整解析式。 二.题型精析 【题型 1】反比例函数定义与参数求解 核心考向：中考基础必考，根据反比例函数定义列方程求参数值 【例题1】（25-26八年级下·重庆·期中）一个反比例函数的图象经过点． （1）求该反比例函数的解析式． （2）当时，求x的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将代入利用待定系数法求解即可； （2）将代入求解即可． （1）解：将代入得 ， ∴该反比例函数的解析式为； （2）解：当时，代入得， ． 【变式1】（2026·河北·中考真题）平面直角坐标系中有，，三点．若直线经过原点，则点一定在（     ） A．函数的图象上 B．函数的图象上 C．函数的图象上 D．函数的图象上 【答案】B 【分析】先根据直线过原点设出直线解析式，代入A、B坐标得到与的乘积，再根据C点坐标判断其满足哪个函数解析式． 解：∵直线经过原点， ∴设直线的解析式为， 把代入解析式得，即， ∴直线的解析式为， 把代入得，即， ∵点的坐标为， ∴点横纵坐标的乘积为， 对函数变形可得，满足点的坐标特征， ∴点一定在函数的图象上． 【变式2】（2026·甘肃白银·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上，则的值为_________． 【答案】4 【分析】若点在反比例函数图象上，则点的坐标满足反比例函数解析式，将点坐标代入解析式即可求出的值． 解：点在反比例函数的图象上， 将，代入得：， 则． 【变式3】（24-25九年级上·江西上饶·期末）已知反比例函数，当时，随着的增大而减小． （1）求的值； （2）当时，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质与定义，得出m的值是解题的关键． （1）根据反比例函数定义，以及反比例函数增减性列出等式与不等式求解，即可解题； （2）由（1）得到反比例函数解析式，结合解析式分析求解，即可解题． （1）解：反比例函数，且当时，随着的增大而减小， 且， 解得且， ； （2）解：由（1）知，即， 当时，，且当时，随着的增大而减小， 当时，或． 思路总结：判定反比例函数两步走，指数等于、系数不为0，双重条件检验，杜绝漏限制条件失分。 【题型 2】k符号与图像象限判断 核心考向：根据图像分布象限反求参数取值范围，中考高频选择题 【例题2】（24-25八年级下·吉林长春·阶段检测）反比例函数的图象的一分支如图所示． （1）求m的取值范围． （2）若该函数的图象与正比例函数的图象在第一象限的交点为，求的值． 【答案】（1）；（2）52 【分析】（1）由反比例函数的图象的一分支在第一象限，得比例系数一定大于0，即可求得m的范围； （2）首先，把点A代入中得n的值，再将点A代入得m的值，最后，代入可求得的值． （1）解：∵反比例函数的图象的一分支在第一象限， ∴， 解得； （2）解：根据题意，把点代入，得； ∴点， 把点代入，得， 解得， ∴． 【变式1】（2026·四川巴中·中考真题）函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的符号分两种情况讨论，结合函数图象经过的象限进行判断即可． 解：分两种情况讨论：①当时，则， 反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限； 观察选项A、B，图象均不符合； ②当时，则， 反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限； 观察选项C，直线经过第一、三、四象限，不符合； 观察选项D，双曲线在第二、四象限，直线经过第一、二、四象限，符合． 【变式2】（2026·湖北武汉·中考真题）反比例函数（为常数）的图象位于第二、第四象限，写出一个符合条件的的值是_________． 【答案】1（答案不唯一，即可） 【分析】根据反比例函数图象的性质，得到比例系数小于0，列出不等式求出的取值范围，任取范围内一个值即可． 解：反比例函数的图象位于第二、第四象限， ，解得， 只要取小于的任意实数都符合条件，例如． 【变式3】（25-26九年级上·湖南常德·期中）已知反比例函数的图象位于第二、四象限． （1）求k的取值范围； （2）若点是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了反比例函数增减性与比例系数的关系，比较反比例函数函数值的大小，解题的关键在于熟知反比例函数图象增减性以及经过的象限与比例系数的关系． （1）反比例函数图象经过第二、四象限，那么比例系数小于0，据此求解即可； （2）根据题意可得在每个象限内，y随x增大而增大，根据点的坐标可知点A和点B都在第二象限，由此可得答案． 解：（1）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∴； （2）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴在每个象限内，y随x增大而增大， ∵点是该反比例函数图象上的两点，， ∴点A和点B都在第二象限， ∴． 思路总结：对应一、三象限，对应二、四象限，直接根据象限列不等式求解参数。 【题型 3】单点代入求k值、求函数解析式 核心考向：基础送分题型，已知图像上点坐标求函数参数 【例题3】（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）已知反比例函数（k为常数，且）与一次函数的图象都过．求反比例函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查一次函数性质，以及求反比例函数表达式，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 将点代入中求得的值，即得出点A的坐标，再将点A的坐标代入中求解，即可解题． 解：将点代入中得：， 解得：， 则点A的坐标为， 将点代入中得：， ∴反比例函数的表达式为． 【变式1】（25-26八年级下·重庆·期末）已知点在反比例函数的图象上，则k的值为（     ） A．6 B． C．12 D． 【答案】D 【分析】反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将已知点的坐标代入反比例函数解析式即可求出的值． 解：把点代入可得． 【变式2】（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、D分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象经过正方形顶点C，若点、，则_____． 【答案】24 【分析】根据全等三角形的判定方法可得求出C的坐标，代入，利用待定系数法求出k． 解：如图，作轴于M， 由正方形的性质可知，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点、， ∴，， ∴，， ∴， ∵反比例函数的图象经过正方形顶点C， ∴． 【变式3】（24-25九年级上·广西贵港·期末）如图，已知反比例函数的图象经过点． （1）求k的值； （2）已知点B在x轴的正半轴上，且，求的面积． 【答案】（1）；（2）12． 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一性质的应用和反比例函数系数k的几何意义．解得关键是用找到三角形面积与k之间的关系． （1）把点A坐标代入即可； （2）过A作与C，设点A的坐标为，得到，根据得到，将的面积用m，n来表示即可． （1）解：把代入到，得 ， 解得，； （2）如图，过A作于点C，设点A的坐标为，    设点A的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积为， 故答案为：12． 思路总结：优先使用速算，无需整理分式，简化计算步骤，减少计算失误。 【题型 4】几何基础面积计算 核心考向：中考填空基础题型，考查k的几何意义基础模型 【例题4】（24-25九年级上·全国·单元测试）已知一个反比例函数，当时，．写出这个函数的解析式．如果在它的图象上任取一点，作轴，轴，，为垂足，求矩形的面积． 【答案】8 【分析】本题考查了反比例函数中的几何意义，设反比例函数的解析式为，把，代入即可得出的值，再根据矩形面积是个定值，即即可得出答案． 解：设反比例函数的解析式为，把，代入，得， 矩形的面积． 【变式1】（2026·云南红河·二模）如图，点是反比例函数的图象上任意一点，过点作轴于点，若的面积等于3，则的值为（    ）    A．5 B． C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义和反比例函数的性质．利用反比例函数k的几何意义得到，然后根据反比例函数的性质和绝对值的意义确定k的值． 解：∵的面积等于3， ∴， 而图象在第二象限，， ∴， 故选：C． 【变式2】（2025·浙江杭州·三模）如图，正比例函数图象与反比例函数图象交于A，B两点，轴于点H，连接交y轴于点G，若，则k的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k值的几何意义是关键．先根据正比例函数与反比例函数的性质得出A，B两点关于原点对称，得到，继而，可得k值． 解：正比例函数图象与反比例函数图象交于A，B两点， ，， ， ， ， ， 反比例函数图象在第二象限， ， 故答案为： 【变式3】（25-26八年级下·四川乐山·期末）如图，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点．若轴，垂足为，面积为6． （1）求值； （2）求的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据反比例函数的几何意义，即可求解； （2）根据（1）得出反比例函数解析式为，进而求得，，直线的解析式为，进而得出，再根据三角形的面积公式，即可求解． （1）解：∵轴，垂足为，面积为6 ∴ ∵反比例函数图象在第一象限 ∴ ∴； （2）解：由（1）可得反比例函数解析式为 ∵，在图像上， ∴，， 解得： ∴， 设直线的解析式为，代入，得 ，解得： ∴直线的解析式为 当时， 解得： ∴ ∴ ∴ 思路总结：坐标轴垂线矩形面积等于，直角三角形面积等于，计算必须带绝对值。 【题型 5】增减性+跨象限函数值大小比较 核心考向：中考高频易错题，得分率低，考查增减性适用条件 【例题5】（24-25九年级上·河北廊坊·阶段检测）在平面直角坐标系中，为双曲线上一点． （1）求的值； （2）在（1）的条件下： ①点和在双曲线上，比较与的大小； ②点在双曲线上，点的坐标为．若的面积为8，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）①；②或者 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数上点的特征，求函数值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①将点代入函数解析式，求得，再比较大小即可；②利用，求得或，然后再代入求出横坐标即可． （1）解：为双曲线上一点， ， ； （2）解：①点和在双曲线上， ， ， ； ②不妨设， 点的坐标为， ， ， ， 或， 当代入，得到； 当代入，得到； 或者． 【变式1】（2026·天津·中考真题）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据k的正负判断函数图象所在象限，再结合同一象限内y随x的变化规律，即可比较横坐标的大小． 解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随 的增大而减小， ∵点 的纵坐标， ∴点 在第三象限，可得， ∵点 、的纵坐标都大于， ∴点 、都在第一象限， 又∵， ∴ 综上可得 ． 【变式2】（2026·吉林·中考真题）已知点，都在反比例函数的图象上，比较与的大小：__________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的比例系数判断函数图象经过的象限，以及在每个象限内的函数增减性，结合两点的横坐标比较纵坐标的大小即可． 解：∵在反比例函数 中，， ∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∵点，的横坐标都为正， ∴这两点都在第一象限， 又∵ ， ∴． 【变式3】（25-26九年级下·贵州铜仁·期中）如图，点、在反比例函数的图象上，轴，垂足为点C，轴，垂足为点D，延长交的延长线于点E． （1）根据图象，直接比较、的大小：____（选填“>”“<”或“=”）； （2）若四边形的面积为20，求反比例函数的表达式． 【答案】（1）>；（2） 【分析】（1）将两点横坐标代入反比例函数，求出，，再根据比较大小； （2）先证得四边形是矩形，再说明，，然后根据四边形的面积为20，得出点A的坐标，求出k的值． （1）解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴，， ∵， ∴， 即． （2）解：∵轴，垂足为点C，轴，垂足为点D，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴、、， ∴，， ∵四边形的面积为20， ∴，解得， ∴， 又∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得， ∴反比例函数的表达式为． 思路总结：先划分点所在象限，利用正负快速区分；同象限依据增减性比较，严禁跨象限套用增减规律。 【题型 6】双曲线对称性求值 核心考向：隐性考点，常结合坐标求值、解析式验证考查 【例题6】（2024·青海西宁·一模）如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，点是点关于轴的对称点，连接，． （1）求该反比例函数的解析式和正比例函数的解析式； （2）在轴上找一点，使得是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，正比例函数的解析式为；（2）或或或． 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）利用对称性求出点的坐标，设，分点为顶点和点为顶点两种情况，利用两点间距离公式列出方程解答即可求解； 本题考查了待定系数法求反比例函数和正比例函数解析式，反比例函数的图象和几何应用，等腰三角形的性质，两点间距离公式，运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）解：把代入得，， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得，， ∴， ∴正比例函数的解析式为； （2）解：∵点关于原点对称， ∴， 设， ∵是以为腰的等腰三角形， 当点为顶点时，， ∴， ，， ∴点的坐标为或； 当点为顶点时，， ∴， ，， ∴点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 【变式1】（24-25八年级下·山西长治·期中）已知一条过原点的直线与双曲线的一个交点为，则它们的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据过原点的直线与反比例函数构成的是中心对称图形，利用关于原点对称的点的特点横坐标相反，纵坐标也相反，解答即可． 本题考查了图象是中心对称图形，熟练掌握关于原点对称的点的特点横坐标相反，纵坐标也相反是解题的关键． 解：根据过原点的直线与反比例函数构成的是中心对称图形，且一个交点为， 则另一个交点为， 故选：C． 【变式2】（2026·陕西西安·模拟预测）已知反比例函数图象与正比例函数的图象交于点和点，则______________． 【答案】 【分析】根据正比例函数和反比例函数交点的中心对称得出自变量的关系，然后根据反比例函数的性质求解． 解：∵反比例函数图象与正比例函数的图象交于点和点， ∴点与点关于原点对称， ∴，且， ∴． 【变式3】（2026·河南洛阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，的边经过原点，点，关于轴对称，点的坐标为，反比例函数的图象经过点． （1）求此反比例函数的表达式； （2）将向上平移，当点落在反比例函数的图象上时，求出平移的距离． 【答案】（1）反比例函数的表达式为；（2）平移的距离为 【分析】（1）利用轴对称的性质求得点B的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）求解，设将向上平移个单位，点D落在反比例函数的图象上，即点落在反比例函数的图象上，据此求解即可． （1）解：∵的边经过原点，点，关于轴对称，点的坐标为， ∴点B的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点B， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵的边经过原点，点，关于轴对称，点的坐标为，点B的坐标为， ∴，， ∴，， 设将向上平移个单位，点D落在反比例函数的图象上， 即点落在反比例函数的图象上， ∴， 解得． 将向上平移2个单位，点D落在反比例函数的图象上， ∴平移的距离为． 思路总结：原点对称横纵坐标全变号，直线对称横纵坐标互换。 【题型 7】由面积反求k值（填空压轴） 核心考向：江苏中考填空高频压轴，结合象限判定k的正负 【例题7】（2026·浙江温州·模拟预测）如图，在直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B在x轴的正半轴上，轴交函数的图象于点C，连结，四边形的面积为． （1）求的值； （2）若，，求k的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了梯形的面积，矩形的性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）设点，根据梯形的面积公式列方程即可得到结论； （2）由（1）知；求得，过点C作于H，则四边形是矩形，根据勾股定理即可得到结论． （1）解：设点， 轴，轴， 四边形的面积为，，， ， ， ， ； （2）解：由（1）知； ， ， 过点C作于H，则四边形是矩形， ，， ， 在中，， ， ， 【变式1】（24-25九年级下·吉林长春·阶段检测）如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过，两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，设点的坐标是，则点的坐标是，根据等腰三角形的性质可得，根据反比例函数的解析式可知点的纵坐标是，从而可得，根据三角形的面积公式即可求出的值． 解：如下图所示，过点作于点， 设点的坐标是，则点的坐标是， ，， 是等腰三角形， ， 轴 点的横坐标是，纵坐标是， 轴交双曲线于点， 点的横坐标是， 点的纵坐标是， ， ， ， ． 【变式2】（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，与反比例函数的图象交于点D．若，则k的值为__________． 【答案】 【分析】根据反比例函数k的几何意义得，结合，可得，进而可求出k的值． 解：∵点A在反比例函数的图象上，点D在反比例函数的图象上，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式3】（2025九年级上·全国·专题练习）如下图，A是反比例函数图象上一点，轴于点C，且与反比例函数的图象交于点，连接．若的面积为6，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，掌握反比例函数系数的几何意义是正确解答的关键． 由的面积为6，可求出的面积为2，进而求出的面积为8，再根据反比例函数系数的几何意义可求出，进而得出答案． 解：， ， ． 又，且， ， ． 故的值为． 思路总结：先通过面积求出，再根据图像所在象限判断k的正负，避免符号错误。 【题型 8】双点对称组合图形面积压轴 核心考向：中档压轴题型，融合对称性与k的面积模型，综合性强 【例题8】（2026·湖北黄冈·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，，并延长交反比例函数图象于点C，直线交x轴于点D． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）若点P是x轴上一点，当时求点P的坐标． 【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为；（2）点的坐标为或． 【分析】（1）由点，在反比例函数图象上，得横纵坐标乘积相等，求出，再用待定系数法求一次函数表达式． （2）先求出点，坐标，再设，利用直线与轴的交点把的面积转化为含的式子，由面积关系列方程求解． （1）解：点，在反比例函数的图象上， ， 或0（舍去） ，， ， 反比例函数的表达式为． 设一次函数的表达式为， 把，代入，得 ， 解得，， 一次函数的表达式为． （2）解：作直线， 直线经过原点和点， 直线的表达式为． 联立与，得 ， 解得或， 点的坐标为． 直线的表达式为， 令，得， 点的坐标为， ． 点到轴的距离为， ． 设点的坐标为． ． 点，到轴的距离分别为，， ． ， ， ， 解得或， 点的坐标为或． 【变式1】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，函数与函数交于、两点，点在轴上，且，若，则的值为（     ） A．4 B．6 C．12 D．24 【答案】B 【分析】根据点A和点B关于原点对称，则，据此可得；过点A作轴于点E，则，据此可得，进而可得，即可求出． 解：∵函数与函数交于、两点， ∴点A和点B关于原点对称， ∴， ∴； 如图所示，过点A作轴于点E， ∵， ∴， ∴， 又∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（24-25九年级下·福建泉州·期中）将向右平移两个单位，向下平移个单位，与有两个交点，分别为，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的平移，反比例函数图象的性质，由平移可得平移后所得函数解析式为，进而反比例函数的图象关于点中心对 称，恒过点，可得点，关于中心对称，即得，得到，即可得，再代入代数式计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 解：∵将向右平移两个单位，向下平移个单位， ∴平移后所得函数解析式为， ∵反比例函数的图象关于点中心对称，恒过点， ∴点，关于中心对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·山东济南·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）直线与轴交于点，在轴上找一点，使得最小，求点坐标，并求出最小值； （3）如图2，为第二象限内反比例函数图象上的点，且点在点右侧，连接、，当的面积为30时，求点的坐标． 【答案】（1），；（2），；（3） 【分析】（1）利用待定系数法计算可得一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为，再联立求解即可； （2）先求出，作点E关于x轴的对称点，则，根据轴对称性质，，则．当、P、B三点在一条直线上时，的值最小，最小值为线段的长度．结合勾股定理计算即可得出的最小值为．求出直线的方程为，令，得，解得，即可得出结果； （3）过C作轴交于点T，设，则，表示出，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果． （1）解：将代入直线得，， 解得， ∴一次函数的解析式为， 再将代入得，， ∴反比例函数的解析式为， 联立，得， 解得：（舍去），， ∴； （2）解：在中，当时，，则， 作点E关于x轴的对称点，则， 根据轴对称性质，， ∴． 当、P、B三点在一条直线上时，的值最小，最小值为线段的长度． ， ∴的最小值为． 设直线的方程为． 将和代入得， 解得． ∴直线的方程为 令，得，解得． ∴点P的坐标为． （3）解：如图，过C作轴交于点T， 设，则， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴点C的坐标为． 思路总结：利用双曲线原点对称性质，将不规则组合图形分割为基础面积模型，快速秒杀压轴面积题。 【题型 9】含参点代入+参数分类综合压轴 核心考向：单元压轴高频题型，融合参数求解、图像性质判断，考点综合 【例题9】（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点，两点，O为坐标原点，连接，． （1）求与的解析式； （2）当时，请结合图象直接写出自变量x的取值范围； （3）求的面积； （4）设直线与的交点横坐标分别为，，与直线的交点横坐标为，若，直接写出b的取值范围． 【答案】（1）；；（2）或；（3）；（4） 【分析】（1）根据反比例函数性质得到，求出值，得到点，坐标，再利用待定系数法求解，即可解题； （2）根据图象交点坐标直接得出自变量x的取值范围即可； （3）利用一次函数性质求出其与轴交点坐标，再结合利用割补法求三角形面积，即可解题； （4）根据题意得到即与的交点在之间，求出当过时，当过时b的临界值，即可得到b的取值范围． （1）解：反比例函数和一次函数的图象相交于点，两点， ， 解得， 点，， ， 反比例函数解析式为； 又，解得， 一次函数解析式为； （2）解：由图象可知，当时，自变量x的取值范围是或； （3）解：， 当时，，解得， 的面积； （4）解：直线与的交点横坐标分别为，，与直线的交点横坐标为，若， 即与的交点在之间， 当过时，．解得， 当过时，．解得， b的取值范围为． 【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据交点情况求不等式解集，待定系数法求函数解析式，三角形的面积，数形结合是解题的关键． 【变式1】（2026·内蒙古通辽·一模）已知点，都在反比例函数的图象上，若，则m的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】先得出这个反比例函数的图象位于第一、三象限；且在每一象限内，随的增大而减小，再分两种情况：①和②解答即可得． 解：∵在反比例函数中，， ∴这个反比例函数的图象位于第一、三象限；且在每一象限内，随的增大而减小． ①当时， ∵点，都在反比例函数的图象上，且， ∴，符合题意； ②当时， ∵点，都在反比例函数的图象上，且， ∴要使，则，符合题意； 综上，的取值范围是或． 【变式2】（2026·上海·中考真题）已知点与点在同一条反比例函数的图象上，若，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先根据点的坐标求出反比例函数的值，得到反比例函数解析式，再利用反比例函数的增减性，结合的取值范围，得到的取值范围． 解：点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数解析式为， ， 反比例函数在第一象限内，随的增大而减小， 点在该反比例函数图象上，且， 当时，， ． 【变式3】（25-26八年级下·上海宝山·期末）已知一次函数与反比例函数的图像交于点． （1）求和的值； （2）判断反比例函数的图像位于哪些象限？ （3）在平面直角坐标系中，求直线上位于轴上方的所有点的横坐标的取值范围． 【答案】（1）；；（2）第一、三象限；（3） 【分析】（1）利用待定系数法代入函数解析式求解即可； （2）根据反比例函数的性质即可求解； （3）根据题意列出不等式求解即可． （1）解：根据题意点既在一次函数也在反比例的图像上， ∴， 解得； ， 解得； （2）由（1）可得， ∴反比例函数的图像位于第一、三象限； （3）根据题意得：， 解得． ∴所有这样的点的横坐标的取值范围是． 思路总结：含参点代入函数等式列方程求参数，再根据k的正负判断图像象限与增减性，步骤完整、逻辑闭环。 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·福建·中考真题）下列各点中，在函数图象上的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】反比例函数图象上任意一点的坐标都满足函数解析式，将各选项点的横坐标代入解析式，计算对应的y值，和点的纵坐标对比即可得出结论． 解：对于函数 A、当时，， 点在函数的图象上，此选项符合题意； B、当时，， 点不在函数的图象上，此选项不符合题意； C、当时，， 点不在函数的图象上，此选项不符合题意； D、当时，， 点不在函数的图象上，此选项不符合题意． 2．（2026·山西·中考真题）已知点，点，点都在反比例函数的图象上，则，，的关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用反比例函数的性质直接判断． 解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∵， ∴函数图象在一三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∵， ∴． 3．（2026·天津·中考真题）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据k的正负判断函数图象所在象限，再结合同一象限内y随x的变化规律，即可比较横坐标的大小． 解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随 的增大而减小， ∵点 的纵坐标， ∴点 在第三象限，可得， ∵点 、的纵坐标都大于， ∴点 、都在第一象限， 又∵， ∴ 综上可得 ． 4．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，平面直角坐标系中，在轴上，，点的坐标为，将绕点逆时针旋转，点的对应点恰好落在双曲线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质得到，可知，，进而求出，将代入计算即可． 解：点的坐标为，绕点逆时针旋转， ∴， ，， 故， 将代入中，得． 5．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．若点，都在图象上，且，则 C．图象位于第二、四象限 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 解：将代入函数得：， ∴这个函数的图象经过点，不经过点，则选项A错误； ∵反比例函数中的， ∴图象位于第一、三象限；则选项C错误； 在每一象限内，随的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小，选项D正确； 若，或，则；若，则，则选项B错误． 6．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于点，，分别过，作轴，轴的垂线，垂足分别为，．若四边形的面积为，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用反比例函数中心对称性及的几何意义，将四边形面积分割为三个三角形面积之和． 解：设，其中，， 点在反比例函数上， ， 直线过原点， 点与点关于原点对称， ， 轴，轴， ，， ，，，， ，， ， ， ， ， ． 7．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段检测）如图，点在双曲线上，过点A作轴，垂足为C，线段的垂直平分线交于点B，，则周长的值是（     ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，进而求出，再说明，然后根据勾股定理得，即可求出，最后根据的周长为得出答案． 解：∵点A在双曲线上， ∴， ∴，则． ∵线段的垂直平分线交于点B， ∴． 在中，， ， 则， 即， 解得（负值舍去）， ∴的周长为． 8．（23-24九年级下·广东湛江·自主招生）一次函数经过第一、二、三象限，则函数的图像大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数经过的象限确定 、 的符号，进而确定反比例函数型的图像分布区域； 解：一次函数 的图像经过第一、二、三象限， ，， 函数的图像经过第一、三象限，且无限接近轴， 函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，其无限接近直线，排除B、C选项； 当时，，当时，，排除D选项；A选项符合题意． 9．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点B为x轴上的点，点D是第一象限内的一点，轴，已知线段交反比例函数的图像于点C，连接，点C为的中点，连接，交反比例函数图像于点A．若的面积为5，则k的值为（     ） A．10 B．5 C．8 D．20 【答案】A 【分析】利用三角形中线性质得出，结合反比例函数k的几何意义求解． 解：∵C为中点，且的面积为5， ∴， ∴， ∵轴，点C在反比例函数图像上， ∴， ∴，解得， ∵该反比例函数的图像在第一象限， ∴， ∴． 10．（2025·浙江温州·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数图象上，轴于点，轴于点，连结，，若，，则的值为（     ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】设，，根据勾股定理列方程即可解答． 解：作轴于M， ∴轴， ∵轴于点C，轴于点D， ∴， ∵， ∴，， ∴， 点，在反比例函数图象上， ，， ， ， 解得（负数舍去）． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·云南·中考真题）若函数的图象经过点，则________． 【答案】 【分析】函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将点代入反比例函数解析式，即可求出的值． 解：函数的图象经过点， 将，代入得：． 12．（2026·湖北·中考真题）反比例函数的图象位于第一、第三象限，写出一个符合条件的的值是______． 【答案】1（答案不唯一，即可） 【分析】对于反比例函数，当比例系数时，图象位于第一、第三象限，据此列出关于的不等式，求解得到的取值范围，任取范围内一个值即可． 解：反比例函数的图象位于第一、第三象限， ， 解得， ∴只要取大于的任意实数都符合条件，例如（答案不唯一）． 13．（2024·内蒙古包头·中考真题）若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则______． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，负整数指数幂，正确得出与的关系是解题关键．直接利用反比例函数的性质分别得出与，再代入进而得出答案． 解：函数，当时，函数随的增大而减小，最大值为， 时，， ，当时，函数随的增大而减大，函数的最大值为， ． 故答案为：． 14．（2026·陕西·中考真题）如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过矩形的对称中心．若矩形的面积为12，则的值为_________． 【答案】3 【分析】设矩形边长，表示出对称中心D的坐标，利用点D在反比例函数图象上建立k与边长的关系，结合矩形面积求解． 解：设矩形的边，， 则点B的坐标为，， ∵点D是矩形的对称中心， ∴点D是对角线的中点， ∴点D的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴， ∴． 15．（2026·四川广元·中考真题）如图，在中，轴，点为的中点，函数的图象经过，两点，过点作的平行线交轴于点，连接，若的面积为2，则的值为__________． 【答案】/ 【分析】设点的坐标为，则点的坐标为，进而可得， 求出 ， 进一步可得 ，根据三角形的中线平分三角形的面积得到，由平行线的性质得到，则，解之即可得到答案． 解：如图，连接， 设点的坐标为， 点为的中点，为坐标原点 ， 点的坐标为， 轴， 点的纵坐标为， 点在反比例函数的图象上， 点的横坐标为，即， ， ， 点为的中点， ， ，即， 点到直线的距离等于点到直线的距离， ， ， ， 解得． 16．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，轴，点C是x轴上一点，若的面积为3，则k的值为_________． 【答案】 【分析】连接，，由轴可得，再根据反比例函数的几何意义可知，，即可列方程求解． 解：连接，， 轴， ， 点A在函数的图象上，点B在函数的图象上， ，， ， 解得． 17．（2024·陕西·中考真题）如图，点和点在同一个反比例函数的图象上，AC和BC分别垂直于x轴和y轴．若的面积为32，则k的值为________． 【答案】15 【分析】依题意得点，则，，根据的面积为32得，即，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得，然后解方程组求出m，n的值，进而可得k的值． 解：点，点，AC和BC分别垂直于x轴和y轴， 点C的坐标为，且， ，， 的面积为32， ， ， 整理得：， 点，点在同一个反比例函数的图象上， ， 解方程组，得：， 故答案为： 【点拨】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达式，正确地表示出点C的坐标，灵活运用三角形的面积公式构造方程组是解决问题的关键． 18．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图所示，点是反比例函数（）图象上的任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，点，在轴上，则的面积为________． 【答案】9 【分析】连接、，设交轴于点，利用反比例函数系数的几何意义分别求出和的面积，进而得到的面积，最后根据平行四边形面积与三角形面积的关系求解． 解：连接、，设交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2026·四川广元·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与函数的图象交于点． （1）求，的值； （2）将线段绕点逆时针旋转到，连接，将沿直线平移，当点的对应点恰好落在函数的图象上时，求点的坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先利用反比例函数的解析式求出a的值得到点C的坐标，将点C的坐标代入一次函数的解析式中，求出b的值； （2）先求出点A、B的坐标，过点D作轴于点E，证明，由此求出点D的坐标，由平移知，可求出直线的解析式，再求出直线与反比例函数的图象交点即为点E的坐标． （1）解：将点代入中，得， 解得， ∴， 将代入中，得； （2）由（1）知， 令得；令得， ∴， ∴， 过点D作轴于点E， 由旋转得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵直线的解析式为，平移后， ∴设直线解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴直线解析式为， 令， 解得或（舍去）， ∴， ∴． 20．（本小题满分8分）（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与x轴相交于点，与y轴相交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）点P为y轴负半轴上一点，连接．若的面积为6，求点P的坐标． 【答案】（1）一次函数解析式为：；反比例函数解析式为：；（2）点P的坐标为． 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点坐标，利用三角形面积公式，列出方程求解即可． （1）解：∵点在一次函数图象上， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为：； ∵点在一次函数图象上， ∴， 解得， ∴点， ∵点在反比例函数图象上， ∴ ∴反比例函数解析式为：； （2）解：∵， ∴当时，， ∴， 由题意得， 解得， ∵点P为y轴负半轴上一点， ∴， ∴点P的坐标为． 21．（本小题满分10分）（2026·甘肃嘉峪关·二模）反比例函数的图象与直线相交于点，， （1）求反比例函数与直线的解析式； （2）连接，，求的面积S． （3）直接写出当x取何值时，． 【答案】（1），；（2）；（3）或 【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）先求得直线与y轴的交点坐标，再利用坐标与图形的性质，结合三角形的面积公式求解即可； （3）找出函数的图象位于直线下方部分的点的横坐标的取值范围即可求解． （1）解：由题意，将代入中，得， ∴； 将代入中，得， ∴， 将，代入中，得， 解得， ∴； （2）解：如图，设直线与y轴的交点为D， 当时，，则， ∴， ∴； （3）解：由图象可知，当或时，． 22．（本小题满分10分）（2026·四川雅安·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点A的横坐标为． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若点D是y轴上一点，且的面积为20，求点D坐标． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；（2）点的坐标为或． 【分析】（1）先用点求出反比例函数中的，再由点的横坐标求出点的纵坐标，最后用待定系数法求一次函数解析式． （2）设点的坐标为，利用一次函数解析式求出直线与轴的交点，把的面积转化为与的面积之和，列方程求解． （1）解：点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为， 点的横坐标为，且点在的图象上， ， ， 一次函数的图象过点、， ， 解得：， 一次函数的解析式为． （2）解：设点的坐标为， 一次函数与轴交于点， ， ， 、， 点到轴的距离为，点到轴的距离为， ， ， 又， ， ， 或， 解得：或， 点的坐标为或． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点B的横坐标为． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当时，自变量x的取值范围； （3）若点D是y轴上的一点，且，求出点D坐标． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；（2）或；（3）点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）找出一次函数的图象在反比例函数图象上面的部分即可； （3）求出，设，则，再根据三角形的面积公式计算即可得出结果． （1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点B的横坐标为， ∴， ∴， 将，代入一次函数得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：观察图象，当时，自变量x的取值范围为或； （3）解：在中，当时，， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·江苏南京·期末）利用反比例函数的图象能将一个角三等分，也能将一条线段三等分．    （1）如图①，是的三等分线，，点在上，过点作，交于点，分别过点、点作，，垂足为、，交于点，点是的中点，连接并延长交于点．猜想与的数量关系，并说明理由． （2）古希腊数学家帕普斯借助反比例函数的图象成功将锐角三等分，作法如下： 1．如图②，建立平面直角坐标系，将已知的顶点与原点重合，角的一边与轴正方向重合； 2．在平面直角坐标系里，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点； 3．以为圆心，以为半径作弧，交函数的图象于点； 4．分别过点和作轴和轴的平行线，两线相交于点； 5．连接，得到． 请根据以上作法，证明． （3）如图③，在平面直角坐标系中，点在轴上，请你利用反比例函数（，）的图象作出线段的三等分点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．） 【答案】（1）解：，理由如下， ，， ，， ， ，，， ，即和是直角三角形， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 则； （2）证明：如图，分别过点和作轴和轴的平行线，两线相交于点，和相交于点， 设，，则，， 设直线的解析式为， ，解得， ， 当时，， 即点在直线上， 轴，轴，轴，轴，轴轴 ， 四边形是矩形， 对角线，相等且互相平分， ， ， 轴， ， ， ，即， ， ， ， 则； （3）解：如图，点，即为线段的三等分点； 过点作轴的垂线，交函数（，）的图象于点，过点作轴的垂线于点，在轴上顺次截取，过点作轴的垂线，交函数的图象于点，过点作轴的垂线于点，在轴上截取，点，即为线段的三等分点． 点，在函数（，）的图象上， ，， ， ， ， ， ， 则点，为线段的三等分点． 【分析】（1）先根据垂直的定义和平行线的性质，可得和是直角三角形，再根据“直角三角形斜边上的中线是斜边的一半”，得，最后利用角之间的关系和等量代换，易得，，从而，，进而可得，； （2）分别过点和作轴和轴的平行线，两线相交于点，和相交于点，设，，则，，求直线的解析式，可证点在直线上，再证四边形是矩形，从而根据矩形的性质，可证，进而可证，，，，即可求证； （3）根据“过一个点作已知直线的垂线”尺规作图的方法，作轴，交函数的图象于点，作矩形，在轴上顺次截取，过点作轴的垂线，交函数的图象于点，作矩形，根据反比例函数的几何意义，即可得到，在轴上截取，即可求解． 解：（1）略 （2）略 （3）略 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $