专题 1.6 一元二次方程中考常考点专题（知识储备 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年苏科版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

该初中数学讲义通过知识框架图系统梳理了一元二次方程的知识体系，涵盖定义、四种解法（优先级排序）、根的判别式（中考高频）、韦达定理及三大实际应用模型，清晰呈现各知识点内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于题型分层设计，从基础定义参数求解到含参分类讨论压轴题，例题配变式题强化训练，如优选解法题型强调“能因式分解不套公式”培养运算能力，增长率应用题突出模型意识，同步检测分层题满足不同学生需求，助力教师实施精准化复习教学。

专题 1.6 一元二次方程中考常考点专题（知识储备+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】一元二次方程定义 1 【知识点二】一元二次方程四种解法（优先级排序） 2 【知识点三】根的判别式（中考高频） 2 【知识点四】根与系数关系（韦达定理） 2 【知识点五】一元二次方程实际应用模型 2 二.题型精析 2 【题型 1】一元二次方程定义与参数求解 2 【题型 2】优选方法解一元二次方程 3 【题型 3】根的判别式判断根的情况 3 【题型 4】判别式含参求取值范围 4 【题型 5】韦达定理基础求值 4 【题型 6】韦达定理代数式变形压轴 5 【题型 7】一元二次方程增长率实际应用 6 【题型 8】含参方程根的分类讨论压轴 6 【题型 9】面积裁剪几何压轴应用题 7 三.同步检测 8 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 8 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 10 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 11 一.知识梳理与解读 【知识点一】一元二次方程定义 1. 标准形式： 2. 三大核心特征：只含一个未知数、未知数最高次数为2、整式方程。 3. 判定关键：二次项系数a≠0，此条件为含参题型必考陷阱。 4. 常见易错：化简后二次项系数为0的方程，不属于一元二次方程。 【知识点二】一元二次方程四种解法（优先级排序） 1. 直接开平方法：适用于形式方程； 2. 因式分解法（最快）：适用于可十字相乘、提公因式的整式方程，中考基础题首选； 3. 配方法：通用方法，多用于公式推导、代数式最值求解； 4. 公式法：万能解法，求根公式 。 【知识点三】根的判别式（中考高频） 对于方程，记 1. ：方程有两个不相等的实数根； 2. ：方程有两个相等的实数根； 3. ：方程无实数根。 【知识点四】根与系数关系（韦达定理） 若一元二次方程的两根为，且，则： ， 常用变形： 【知识点五】一元二次方程实际应用模型 中考三大必考模型：增长率问题、面积裁剪问题、销售利润问题，核心步骤：设未知数→列方程→解方程→舍去不合理解（负数、超范围值）。 二.题型精析 【题型 1】一元二次方程定义与参数求解 核心考向：基础必考题型，根据定义列条件求参数值 【例题1】（24-25九年级上·全国·随堂练习）若关于x的方程是一元二次方程，求m的值． 【变式1】（2024·辽宁抚顺·二模）下列方程是一元二次方程的是（   ）． A． B． C． D． 【变式2】（2026·江西上饶·三模）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则______． 【变式3】（25-26九年级上·北京·期中）已知是关于x的方程的一个根，求代数式的值． 思路总结：定义解题两步走：次数为2、二次项系数不为0，缺一不可，杜绝漏判系数条件。 【题型 2】优选方法解一元二次方程 核心考向：中考解答基础题，考查解题方法选择与计算准确率 【例题2】（2026·江苏徐州·模拟预测）解方程： （1）； （2） 【变式1】（2026·四川宜宾·中考真题）已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南常德·模拟预测）若关于的方程有增根，则增根可能是______． 【变式3】（2026·广西南宁·模拟预测）先化简，其中a满足方程． 思路总结：能因式分解不套公式，优先简化运算，提升解题速度与正确率。 【题型 3】根的判别式判断根的情况 核心考向：选择填空高频考点，无需解方程直接判断根的个数 【例题3】（24-25九年级上·湖北武汉·开学考试）若关于x的一元二次方程x2＋2x＋m＝0有两个相等的实数根，求m的值及此时方程的根． 【变式1】（2026·上海·中考真题）下列方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·山东青岛·一模）已知二次函数的图象与直线有且只有1个交点，则a的值为______． 【变式3】（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）如果方程的两个实数根为，，且k与都为整数，求k所有可能的值． 思路总结：算判别式、比大小、定根情，三步秒杀基础题型。 【题型 4】判别式含参求取值范围 核心考向：中档必考，结合参数范围、分类讨论考查 【例题4】（24-25九年级下·北京朝阳·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若方程的两个根都是有理数，请选择一个合适的非零实数m，并求出此方程的根． 【变式1】（2026·四川广元·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·四川甘孜·中考真题）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 【变式3】（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）关于x的一元二次方程（a﹣6）x2﹣8x+9＝0有实数根． （1）求a的最大整数值； （2）当a取最大整数值时，求出该方程两根． 思路总结：有两个根（相等与不等）均用，无实数根用。 【题型 5】韦达定理基础求值 核心考向：中考填空中档题，不解方程求代数式的值 【例题5】（25-26九年级上·宁夏吴忠·阶段检测）已知方程的两根分别为、，求的值． 【变式1】（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·湖南湘西·中考真题）已知一元二次方程的一个根为．则另一个根__________． 【变式3】（25-26九年级上·全国·单元复习）课本再现： （1）若一元二次方程的两个根是，，则_____，_____．（用含，，的代数式表示） 类比探究： （2）写出以2和3为根且二次项系数为1的一元二次方程是_____． 思路总结：已知根求代数式，优先韦达定理，规避复杂解方程运算。 【题型 6】韦达定理代数式变形压轴 核心考向：填空高频压轴，考查公式变形能力 【例题6】（25-26八年级下·河北张家口·期末）已知关于x的方程． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若，是方程的两根． ①当时，求m的值； ②直接写出代数式的最小值． 【变式1】（24-25九年级上·山东青岛·阶段检测）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边上的高是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·安徽滁州·期末）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为__________． 【变式3】（25-26八年级下·北京石景山·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）记此方程的两个根为，．当取满足条件的最小整数时，求的值． 思路总结：平方和必用完全平方变形，是韦达定理最核心考法。 【题型 7】一元二次方程增长率实际应用 核心考向：中考解答必考应用题，基础拿分题型 【例题7】（24-25九年级上·山东聊城·期末）在可持续发展的道路上，绿色转型已成为一个重要的话题，绿色转型不仅是一种环保理念，更是一种经济发展方式，新能源汽车在践行绿色低碳循环理念推动高质量发展中发挥重要作用．近年来，随国家政策扶持，新能源车的销量逐年增加，据统计，2022年新能源汽车全国销量为578万辆，2024年新能源汽车全国销量达到832.32万辆． （1）求2022—2024年这两年新能源汽车销量的平均增长率； （2）若增长率保持不变，请估计到2025年全国新能源汽车的销量是多少？ 【变式1】（25-26八年级·全国·暑假作业）某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的营业总额共1000万元，如果平均每月增长率为x，由题意列方程应为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·湖南怀化·阶段检测）某铅笔厂准备生产一种环保型铅笔，随着技术的成熟，从刚开始每月生产625万支新型铅笔，经过两次技术革新后，上升至每月生产900万支新型铅笔．设每次技术革新的平均增长率为x，则可列方程：____ 【变式3】（24-25九年级上·宁夏中卫·期中）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨1元，就少卖10个． （1）若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ （2）商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升．两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 思路总结：增长率模型：，结果需符合实际意义。 【题型 8】含参方程根的分类讨论压轴 核心考向：单元中档压轴，易错重灾区，区分一次、二次方程 【例题8】（25-26九年级下·山东济南·自主招生）若实数a，b，c满足：，． （1）若，求m的最小值； （2）若，且a为整数，求； （3）若a，b，c均为整数，判断m能否为奇数并说明理由． 【变式1】（2025九年级上·上海奉贤·竞赛）设二次方程有实数根，其中、都是素数，那么它的根一定是（     ） A．奇数 B．偶数 C．分数 D．无理数 【变式2】（25-26九年级下·山东·自主招生）关于的方程只有整数根，则满足条件的所有正实数的和为__________． 【变式3】（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的方程． （1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． （2）若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 思路总结：含参二次方程必先讨论二次项系数是否为0，区分一次与二次方程，杜绝漏解。 【题型 9】面积裁剪几何压轴应用题 核心考向：中考解答压轴小问，几何与方程综合核心题型 【例题9】（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，点A在反比例函数的图象上，点B，C都在反比例函数的图象上，且轴，点C在下方．设点B的横坐标为． （1）点A的坐标为 （用含a的代数式表示）． （2）当时，求a的值． 【变式1】（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式2】（2025·山东威海·中考真题）把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形的面积等于四边形面积的2倍，则___________． 【变式3】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）某农场要建一个大饲养场（矩形），两面靠墙，位置的墙最大可用长度为17米，位置的墙最大可用长度为12米，围成如图所示的矩形场地，每个场地各留一个1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长34米．设木栏的长为米． （1）①__________米（用含的代数式表示） ②若饲养场面积为160平方米时，求的长； （2）饲养场面积能达到170平方米吗？若能，请求出的长，若不能，请说明理由． 思路总结：几何面积应用题核心：用未知数表示边长，结合面积公式列方程，解后必须检验取值合理性。 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·安徽芜湖·三模）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东枣庄·开学考试）已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（     ） A．2 B．1或 C．1 D． 3．（2026·江苏常州·一模）一元二次方程的两根为、，则的值是（   ） A．2 B． C．1 D． 4．（25-26八年级下·安徽淮南·阶段检测）若关于的一元二次方程的一个根为，则方程的根是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 5．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）冬春季是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，流感病毒是我国急性呼吸道传染病主要病原体．某班级最初有人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有人患流感，若设每轮传染中平均一人传染了人，则根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·浙江湖州·期末）已知一个矩形相邻两边长（单位：）是关于的方程（是常数）的两个根，则这个矩形的面积（单位：）可能是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知一元二次方程的两根为，，一元二次方程的两根为，，则值是（    ） A．1 B． C．5 D． 8．（24-25八年级下·浙江宁波·阶段检测）关于x的一元二次方程（其中，且为常数）的根的情况，描述正确的是（     ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不等的实数根 D．可能只有一个实数根 9．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）定义运算：，例如，时，．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）关于的一元二次方程，有下列四个结论：①若是该方程的一个根，则一定有成立；②若，则方程有一根为；③若该方程的解为和，则方程的解是或；④当，，时，方程一定有实数根．其中，正确的有（     ） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·河北张家口·期末）若是关于的方程的一个根，则的值为______． 12．（25-26八年级下·陕西西安·期末）用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 13．（25-26八年级下·福建福州·期末）设、是方程的两个实数根，则的值为________． 14．（25-26八年级下·北京·期末）若是关于的方程的一个根，代数式的值为__________． 15．（25-26八年级下·陕西西安·期末）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为___________． 16．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．关于的方程（是常数）是“邻根方程”，则的值是________． 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在一块长12m、宽8m的长方形空地上修建同样宽的两条道路，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为．设道路的宽为，根据题意，可列方程：______． 18．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在菱形中，，，点E是边上一点，连接，将沿翻折得到；线段所在直线与所在直线交于点G，当时，求线段的长______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·广西崇左·期中）解方程： （1）； （2）． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）求出方程的根； （3）若方程的两个根都是正整数，求整数的值． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·湖南湘西·期末）已知关于的方程． （1）若方程总有两个实数根，求的取值范围； （2）若与是该方程的两个实数根，且满足，求的值． 22．（本小题满分10分）（2026·安徽芜湖·三模）一次函数与反比例函数交于、两点，两点横坐标分别为和． （1）求、的值； （2）求直线与坐标轴围成的的面积． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·陕西西安·期末）西安非遗关中剪纸享誉四方，某文创店铺售卖两款剪纸礼盒：礼盒甲、礼盒乙．已知礼盒甲每件售价比礼盒乙贵元．上一周，礼盒甲销售总额为元，礼盒乙销售总额为元，且两款礼盒销售量相等． （1）上一周，礼盒甲、乙的销售单价分别是多少元？（列分式方程求解） （2）本周店铺开展促销，礼盒甲每降价元，销量增加件；礼盒乙每件提价元，销量和上周一样．调整价格后，两款礼盒总销售额比上周多元，求礼盒甲每件降价多少元？ 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·吉林长春·期末）在复习一元二次方程时，旺仔同学总结了三个知识点： 知识点一：根的判别式； 知识点二：求根公式； 知识点三：若一元二次方程的两个实数根为，，则． 根据以上知识点完成下列问题： （1）若一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）若一元二次方程的两个实数根为， ①计算 ， ； ②求的值； （3）若一元二次方程的两个实数根为，，且，直接写出的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.6 一元二次方程中考常考点专题（知识储备+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】一元二次方程定义 1 【知识点二】一元二次方程四种解法（优先级排序） 2 【知识点三】根的判别式（中考高频） 2 【知识点四】根与系数关系（韦达定理） 2 【知识点五】一元二次方程实际应用模型 2 二.题型精析 2 【题型 1】一元二次方程定义与参数求解 2 【题型 2】优选方法解一元二次方程 4 【题型 3】根的判别式判断根的情况 6 【题型 4】判别式含参求取值范围 9 【题型 5】韦达定理基础求值 11 【题型 6】韦达定理代数式变形压轴 13 【题型 7】一元二次方程增长率实际应用 16 【题型 8】含参方程根的分类讨论压轴 18 【题型 9】面积裁剪几何压轴应用题 22 三.同步检测 26 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 26 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 31 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 36 一.知识梳理与解读 【知识点一】一元二次方程定义 1. 标准形式： 2. 三大核心特征：只含一个未知数、未知数最高次数为2、整式方程。 3. 判定关键：二次项系数a≠0，此条件为含参题型必考陷阱。 4. 常见易错：化简后二次项系数为0的方程，不属于一元二次方程。 【知识点二】一元二次方程四种解法（优先级排序） 1. 直接开平方法：适用于形式方程； 2. 因式分解法（最快）：适用于可十字相乘、提公因式的整式方程，中考基础题首选； 3. 配方法：通用方法，多用于公式推导、代数式最值求解； 4. 公式法：万能解法，求根公式 。 【知识点三】根的判别式（中考高频） 对于方程，记 1. ：方程有两个不相等的实数根； 2. ：方程有两个相等的实数根； 3. ：方程无实数根。 【知识点四】根与系数关系（韦达定理） 若一元二次方程的两根为，且，则： ， 常用变形： 【知识点五】一元二次方程实际应用模型 中考三大必考模型：增长率问题、面积裁剪问题、销售利润问题，核心步骤：设未知数→列方程→解方程→舍去不合理解（负数、超范围值）。 二.题型精析 【题型 1】一元二次方程定义与参数求解 核心考向：基础必考题型，根据定义列条件求参数值 【例题1】（24-25九年级上·全国·随堂练习）若关于x的方程是一元二次方程，求m的值． 【答案】3 【分析】此题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程即为一元二次方程，根据定义列方程求出答案 解：由一元二次方程的定义可知， 由①得． 由②得， 所以． 【变式1】（2024·辽宁抚顺·二模）下列方程是一元二次方程的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 一元二次方程必须满足四个条件： （1）未知数的最高次数是； （2）二次项系数不为； （3）是整式方程； （4）含有一个未知数； 由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 解：A 、含有个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； B、方程整理后是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意； C、是一元二次方程，故该选项正确，符合题意； D、不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【变式2】（2026·江西上饶·三模）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的概念得到，再把代入计算，由此得到a的值． 解：关于x的一元二次方程有一个根为， ∴，， ∴且， ∴ ． 【变式3】（25-26九年级上·北京·期中）已知是关于x的方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，掌握相关知识是解决问题的关键．把方程的解代入原方程，可得，所求代数式可化简为，再将代入其中，即可求出结论． 解：将代入原方程得：， ， 原式 ． 思路总结：定义解题两步走：次数为2、二次项系数不为0，缺一不可，杜绝漏判系数条件。 【题型 2】优选方法解一元二次方程 核心考向：中考解答基础题，考查解题方法选择与计算准确率 【例题2】（2026·江苏徐州·模拟预测）解方程： （1）； （2） 【答案】（1），；（2） （1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，； （2）解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 【变式1】（2026·四川宜宾·中考真题）已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用因式分解法解方程求出方程的两个根，则可得到菱形的两条对角线的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半计算面积即可． 解：∵， ∴， ∴或， 解得或， ∵方程的两根恰好是某菱形的对角线长， ∴该菱形的两条对角线的长分别为2和7， ∴该菱形的面积为． 【变式2】（2025·湖南常德·模拟预测）若关于的方程有增根，则增根可能是______． 【答案】或 【分析】根据增根定义，增根是使分式方程分母为的根，找出使原方程分母为的的值即可得到可能的增根． 解：∵关于的分式方程有增根，且， ∴， 解得或， ∵两个根都能使原方程的最简公分母为， ∴增根可能是或． 【变式3】（2026·广西南宁·模拟预测）先化简，其中a满足方程． 【答案】， 【分析】先计算括号内的异分母分式加减，再计算分式的除法，得到最简分式，再求方程的解，并结合分式的意义得到，最后将代入计算即可． 解： ， ， ， 解得或， 当时，原分式没有意义， 当时，原式． 思路总结：能因式分解不套公式，优先简化运算，提升解题速度与正确率。 【题型 3】根的判别式判断根的情况 核心考向：选择填空高频考点，无需解方程直接判断根的个数 【例题3】（24-25九年级上·湖北武汉·开学考试）若关于x的一元二次方程x2＋2x＋m＝0有两个相等的实数根，求m的值及此时方程的根． 【答案】， 【分析】利用判别式的意义得到，再解关于的方程得到的值，然后解原方程． 解：根据题意得，解得． 此时方程为，解得． 【点拨】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 【变式1】（2026·上海·中考真题）下列方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程没有实数根，计算各选项的判别式即可判断． 解：对于一元二次方程，判别式为． 选项A：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项B：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项C：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项D：方程为，， ，方程没有实数根． 【变式2】（2025·山东青岛·一模）已知二次函数的图象与直线有且只有1个交点，则a的值为______． 【答案】2或-2 【分析】当时，将二次函数与直线联立为，化简，根据题意只有一个交点，利用一元二次方程根的判别式解得a的值；当时，同理可得方程无解；综合即可得出答案． 解：当时，令， ∴， ∵二次函数的图象与直线有且只有1个交点， ∴， 解得：， 当时，二次函数解析式为：，直线为， ∴， 方程无解，不符合题意； 综上可得：， 故答案为：2或-2． 【点拨】题目主要考查二次函数与直线的交点问题，理解函数与方程的联系，利用根的判别式确定交点问题是解题关键． 【变式3】（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）如果方程的两个实数根为，，且k与都为整数，求k所有可能的值． 【答案】（1）证明： ∵ = ∴无论k取何值， 方程都有两个不相等的实数根． （2）整数k的所有可能的值为，，，，，. 【分析】（1）计算判别式的值，然后根据判别式的意义得到结论； （2）先利用因式分解法得出方程的两个根，再结合k与都为整数，得出k的值. 解：（1）略 （2）∵， ∴， ∴或， ∴，或，， 当，时， ∵k与都为整数， ∴为整数，则或或或， 当，时， ， ∵k与都为整数， ∴为整数，则或． ∴整数k的所有可能的值为，，，，，. 思路总结：算判别式、比大小、定根情，三步秒杀基础题型。 【题型 4】判别式含参求取值范围 核心考向：中档必考，结合参数范围、分类讨论考查 【例题4】（24-25九年级下·北京朝阳·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若方程的两个根都是有理数，请选择一个合适的非零实数m，并求出此方程的根． 【答案】（1）且；（2）当时，，（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，解一元二次方程，熟练掌握运用根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式进行求解即可； （2）因为方程的两个根都是有理数．所以根的判别式为有理数，且不为零，可当时，然后代入解方程即可． 解：（1）由题意可得， ， 解得， 又， ∴， ∴的取值范围：且； （2）∵方程的两个根都是有理数， ∴为有理数且不为0， 即为有理数且不为0， ∴当时，原方程化为， ∴ ∴或 解得，． 【变式1】（2026·四川广元·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，代入方程系数计算即可得到的值． 解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 根的判别式满足，其中二次项系数，常数项， 代入得，， 整理得，， 解得，． 【变式2】（2026·四川甘孜·中考真题）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】当方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于0，据此列不等式求解即可． 解：∵关于的方程是一元二次方程，且有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）关于x的一元二次方程（a﹣6）x2﹣8x+9＝0有实数根． （1）求a的最大整数值； （2）当a取最大整数值时，求出该方程两根． 【答案】（1）7；（2） 【分析】（1）由关于x的一元二次方程（a﹣6）x2﹣8x+9＝0有实数根，则a﹣6≠0，且△≥0，即△＝（﹣8）2﹣4（a﹣6）×9＝280﹣36a≥0，解不等式得到a的取值范围，最后确定a的最大整数值； （2）将a的最大整数值代入（a﹣6）x2﹣8x+9＝0，即可求出该方程两根． 解：（1）∵关于x的一元二次方程（a﹣6）x2﹣8x+9＝0有实数根， ∴a﹣6≠0，且△≥0，即△＝（﹣8）2﹣4（a﹣6）×9＝280﹣36a≥0， 解得：； ∴a的取值范围为且a≠6， 所以a的最大整数值为7； （2）将a＝7代入（a﹣6）x2﹣8x+9＝0， 得x2﹣8x+9＝0， ∵△＝64﹣36＝28， ∴x＝＝4±． ∴． 【点拨】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b24ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义和解法． 思路总结：有两个根（相等与不等）均用，无实数根用。 【题型 5】韦达定理基础求值 核心考向：中考填空中档题，不解方程求代数式的值 【例题5】（25-26九年级上·宁夏吴忠·阶段检测）已知方程的两根分别为、，求的值． 【答案】的值为 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程中根与系数的关系，已知式子的值求代数式的值，解题关键是熟练掌握根与系数的关系． 根据根与系数的关系得出，后，代入即可得解． 解：方程的两根分别为、， ，， ． 故的值为． 【变式1】（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于一元二次方程，若两根为，则，，据此求出两根和与两根积，再代入所求代数式计算即可． 解：∵，是一元二次方程的两个根，且，， ∴， ∴． 【变式2】（2026·湖南湘西·中考真题）已知一元二次方程的一个根为．则另一个根__________． 【答案】3 【分析】根据根与系数的关系得：，求出即可． 解： 则根据根与系数的关系得：， 解得：， 即方程的另一个根为3， 故答案为：3． 【点拨】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意：当和是一元二次方程、、为常数，的两个根时，那么，． 【变式3】（25-26九年级上·全国·单元复习）课本再现： （1）若一元二次方程的两个根是，，则_____，_____．（用含，，的代数式表示） 类比探究： （2）写出以2和3为根且二次项系数为1的一元二次方程是_____． 【答案】（1），；（2）； 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握， （1）根据根与系数的关系直接求解即可得到答案； （2）根据根与系数的关系求得及的值，即可得到答案； 解：（1）∵一元二次方程的两个根是， 故答案为：，； （2）∵一元二次方程的两根为2和3，则有， ∵二次项系数为1， ∴所求方程为：． 思路总结：已知根求代数式，优先韦达定理，规避复杂解方程运算。 【题型 6】韦达定理代数式变形压轴 核心考向：填空高频压轴，考查公式变形能力 【例题6】（25-26八年级下·河北张家口·期末）已知关于x的方程． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若，是方程的两根． ①当时，求m的值； ②直接写出代数式的最小值． 【答案】（1）将，整理得 ， ∴， 无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根 （2）①；②0 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）①把代入方程，即可求解；②利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入，即可求解． 解：（1）略 （2）解：①把代入方程，得， ． ②将，整理得 ∵，是方程的两根， ，， ∴， 所以代数式的最小值为0． 【变式1】（24-25九年级上·山东青岛·阶段检测）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边上的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设、为方程的两个根，利用根与系数的关系得，，再利用勾股定理得到斜边长为，利用完全平方公式变形得到斜边，然后利用整体代入的方法计算求得斜边，最后根据三角形面积公式即可解答．本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，勾股定理，完全平方公式，熟练运用一元二次方程的根与系数关系是解题的关键． 解：设直角三角形的两直角边分别为、，斜边上的高为， ∵一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根， ∴，， ∴直角三角形斜边长为， ∴，， ∴， 解得：， 这个直角三角形的斜边上的高是， 故选：． 【变式2】（25-26八年级下·安徽滁州·期末）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为__________． 【答案】1 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数关系得到，，再把变形后整体代入即可． 解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴ ． 【变式3】（25-26八年级下·北京石景山·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）记此方程的两个根为，．当取满足条件的最小整数时，求的值． 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）利用一元二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式，解不等式即可得到的取值范围； （2）根据的范围确定的最小整数值，再将所求代数式变形为，由一元二次方程根与系数的关系可得与的值，代入即可求解． （1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：由（1）可知且取满足条件的最小整数， ∴， ，即， ，， ． 思路总结：平方和必用完全平方变形，是韦达定理最核心考法。 【题型 7】一元二次方程增长率实际应用 核心考向：中考解答必考应用题，基础拿分题型 【例题7】（24-25九年级上·山东聊城·期末）在可持续发展的道路上，绿色转型已成为一个重要的话题，绿色转型不仅是一种环保理念，更是一种经济发展方式，新能源汽车在践行绿色低碳循环理念推动高质量发展中发挥重要作用．近年来，随国家政策扶持，新能源车的销量逐年增加，据统计，2022年新能源汽车全国销量为578万辆，2024年新能源汽车全国销量达到832.32万辆． （1）求2022—2024年这两年新能源汽车销量的平均增长率； （2）若增长率保持不变，请估计到2025年全国新能源汽车的销量是多少？ 【答案】（1）2022—2024年这两年新能源汽车销量的平均增长率为；（2）估计到2025年全国新能源汽车的销量万辆 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用， （1）设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x， 2024年新能源汽车年销售量为万辆，据此列出方程并解方程即可解决． （2）根据（1）中所求增长率计算求出即可． （1）解：设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，由题意得， ， 解得：（不合题意舍去） 答：2022—2024年这两年新能源汽车销量的平均增长率为． （2）解：若增长率保持不变为，估计到2025年全国新能源汽车的销量万辆， 答：估计到2025年全国新能源汽车的销量万辆． 【变式1】（25-26八年级·全国·暑假作业）某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的营业总额共1000万元，如果平均每月增长率为x，由题意列方程应为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题为平均增长率实际问题，解题思路是先求出每月的营业额，再根据第一季度总营业额等于三个月营业额之和列方程． 解：平均每月增长率为，则二月份营业额为万元，三月份营业额为万元， 根据题意，得， 即． 【变式2】（24-25九年级下·湖南怀化·阶段检测）某铅笔厂准备生产一种环保型铅笔，随着技术的成熟，从刚开始每月生产625万支新型铅笔，经过两次技术革新后，上升至每月生产900万支新型铅笔．设每次技术革新的平均增长率为x，则可列方程：____ 【答案】 【分析】本题考查了根据题意列一元二次方程． 设每次技术革新的月平均增长率为x，则第一次革新后产量为万支，第二次革新后产量为万支，根据题意列方程即可． 解：设每次技术革新的月平均增长率为x， 则第一次革新后产量为万支， 第二次革新后产量为万支， 根据题意，第二次革新后产量为900万支， 因此可列方程． 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·宁夏中卫·期中）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨1元，就少卖10个． （1）若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ （2）商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升．两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 【答案】（1）售价应定为40元；（2）这两周的平均增长率为 【分析】（1）设售价应定为元，由商场计划一周的利润达到8000元，列出方程可求解； （2）设这两周的平均增长率为，由在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，列出方程，即可求解． 本题考查了一元二次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键． （1）解：设售价应定为元， 由题意可得：， ， 解得：，， 更大优惠让利消费者， ， 答：售价应定为40元； （2）解：设这两周的平均增长率为， 由题意：， 解得：，（不合题意舍去）， 答：这两周的平均增长率为． 思路总结：增长率模型：，结果需符合实际意义。 【题型 8】含参方程根的分类讨论压轴 核心考向：单元中档压轴，易错重灾区，区分一次、二次方程 【例题8】（25-26九年级下·山东济南·自主招生）若实数a，b，c满足：，． （1）若，求m的最小值； （2）若，且a为整数，求； （3）若a，b，c均为整数，判断m能否为奇数并说明理由． 【答案】（1）；（2）或；（3）不能，理由如下： 把代入，得， 与奇偶性不同，b与奇偶性不同， 与必定同为偶数， 必定为偶数，即m必定为偶数． 【分析】（1）先求得，则，利用配方法和平方数的非负性求解即可； （2）先求得，且b，c是方程的两根，利用一元二次方程的判别式与根的关系得到，进而求得或1即可求解； （3）由已知得到，根据奇数与偶数的积是偶数，偶数与偶数的和为偶数可得结论． （1）解：，， ∴， ． ∴当时，m的最小值为； （2）解：，， ． ∴b，c是方程的两根， ，则， ，则， ， ∵a为整数， 或1， ∴无论哪种情况都有， 或； （3）略 【变式1】（2025九年级上·上海奉贤·竞赛）设二次方程有实数根，其中、都是素数，那么它的根一定是（     ） A．奇数 B．偶数 C．分数 D．无理数 【答案】D 【分析】先利用一元二次方程根的判别式得到p和q的关系，结合p、q均为素数的性质，推导得到根的属性． 解：∵一元二次方程有实数根， ∴，即， ， ∵均为素数，素数中唯一的偶数是2，其余均为奇数， 当均为奇素数时， 为奇数，且不可能是完全平方数， 一定是无理数， 当，为奇素数时，即， ， 不存在这相的奇素数， 当，为奇素数时，即， ， 设（k为非负整数），即， 均为非负整数， 或， 解得或，均不符， 不可能是完全平方数， 一定是无理数， 当且仅当时，， 综上所述，原方程的根一定是无理数． 【变式2】（25-26九年级下·山东·自主招生）关于的方程只有整数根，则满足条件的所有正实数的和为__________． 【答案】59 【分析】根据根的判别式并结合，可求出，设方程的两个整数根为，根据根与系数的关系得，则，不妨设，利用、为正整数，可得出或，或，，从而得到对应的的值，即可求解． 解：设方程的两个整数根为， 根据题意得， ∵， ∴， ， 根据根与系数的关系得， ∴、同号且为正整数， ∴， 不妨设， ∴或，或，， 解得或或， ∴或16或18， ∴满足条件的所有正实数的和． 【变式3】（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的方程． （1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． （2）若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 【答案】（1）证明：当时，原方程为，解得，原方程有实数根； 当时， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根； （2）整数的值为或或 【分析】（1）分为和两种情况，结合一元一次方程的根和一元二次方程根与判别式的关系可得结论； （2）分为和两种情况，解方程得到方程的解，根据题中条件即可求得m的值． 解：（1）略 （2）解：当时，由（1）知为正整数，符合题意； 当时，解方程，得，， ∵原方程的根均为正整数，m为整数， ∴或2，对应的或均符合题意， 综上，整数的值为或或． 思路总结：含参二次方程必先讨论二次项系数是否为0，区分一次与二次方程，杜绝漏解。 【题型 9】面积裁剪几何压轴应用题 核心考向：中考解答压轴小问，几何与方程综合核心题型 【例题9】（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，点A在反比例函数的图象上，点B，C都在反比例函数的图象上，且轴，点C在下方．设点B的横坐标为． （1）点A的坐标为 （用含a的代数式表示）． （2）当时，求a的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先求得点B的坐标，进而利用即可求得点A的坐标； （2）利用等腰直角三角形的性质得到，代入即可求得答案． （1）解：∵点B的横坐标为． ∴， ∵轴， ∴A点的纵坐标为， 代入得， ∴， ∴点A的坐标为， （2）解：∵， ∴， 过点作于点，交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵， ∴，， ∵，， ∴根据中点坐标公式得到， ∴点的横坐标为，纵坐标为 ∴， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， 解得或（舍去）， a的值为． 【变式1】（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用，正确寻找题目的等量关系是解题的关键．设矩形场地垂直于墙一边长为，可以得出平行于墙的一边的长为．根据矩形的面积公式建立方程即可． 解：设矩形场地垂直于墙一边长为， 则平行于墙的一边的长为， 由题意得， 解得：，， 当时，平行于墙的一边的长为； 当时，平行于墙的一边的长为，不符合题意； ∴该矩形场地长为米， 故选C． 【变式2】（2025·山东威海·中考真题）把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形的面积等于四边形面积的2倍，则___________． 【答案】 【分析】首先表示出四边形的面积和四边形面积，然后根据题意得到，整理得到，，设，得到，然后解方程求解即可． 解：根据题意得，四边形的面积 四边形面积 ∵四边形的面积等于四边形面积的2倍 ∴ 整理得， ∴ 设， ∴ 解得或（舍去） ∴ 故答案为：． 【点拨】此题考查了完全平方公式，勾股定理，解一元二次方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式3】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）某农场要建一个大饲养场（矩形），两面靠墙，位置的墙最大可用长度为17米，位置的墙最大可用长度为12米，围成如图所示的矩形场地，每个场地各留一个1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长34米．设木栏的长为米． （1）①__________米（用含的代数式表示） ②若饲养场面积为160平方米时，求的长； （2）饲养场面积能达到170平方米吗？若能，请求出的长，若不能，请说明理由． 【答案】（1）①；②米；；（2）解：不能，理由如下： 当饲养场面积为170平方米时，， 整理得， 判别式， 方程无实数根， 因此饲养场面积不能达到170平方米. 【分析】（1）①用总长加上两个门宽再减去2个的长，列出代数式即可；②根据矩形的面积公式列出方程进行求解即可； （2）根据矩形的面积公式列出方程，利用判别式判断方程的根的情况，即可. （1）解：①由题意，（米）； ②由题意，得， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 故米； （2）略 思路总结：几何面积应用题核心：用未知数表示边长，结合面积公式列方程，解后必须检验取值合理性。 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·安徽芜湖·三模）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算方程的判别式，解答即可； 解：A．，在这里，，得，方程无实数根，不符合要求； B．，在这里，，得，方程有两个相等的实数根，不符合要求； C．，在这里，，得，方程无实数根，不符合要求； D．，在这里，，得，方程有两个不相等的实数根，符合要求； 2．（24-25九年级上·山东枣庄·开学考试）已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（     ） A．2 B．1或 C．1 D． 【答案】D 解：由题意得：，且， 解得：． 3．（2026·江苏常州·一模）一元二次方程的两根为、，则的值是（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 解：一元二次方程的两根为、，则． 4．（25-26八年级下·安徽淮南·阶段检测）若关于的一元二次方程的一个根为，则方程的根是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】先将已知根代入原方程得到与的关系，再代入所求方程求解即可． 解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴，即， ∴，且， 将代入方程，得， ∵，两边同除以得， 即， 开方得或， 解得或， 即方程的根为或． 5．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）冬春季是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，流感病毒是我国急性呼吸道传染病主要病原体．某班级最初有人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有人患流感，若设每轮传染中平均一人传染了人，则根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据每轮传染中所有病人均参与传染，两轮后总人数为初始人数乘以，即可作答． 解：∵最初有人患流感， ∴第一轮传染后，患病人数为， ∴第二轮传染后，患病人数为 ∵两轮传染后该班级共有32人患流感， ∴可列方程为． 6．（25-26八年级下·浙江湖州·期末）已知一个矩形相邻两边长（单位：）是关于的方程（是常数）的两个根，则这个矩形的面积（单位：）可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】矩形相邻两边是方程的两个实根，矩形面积等于两根乘积，利用一元二次方程判别式得到面积的取值范围，即可得到符合条件的选项． 解：设矩形相邻两边长为方程的两个根， ∵矩形面积， 由一元二次方程根与系数的关系得， ∴， ∵方程有两个正实根， ∴判别式， ∵， ∴，解得， 即， 观察选项，只有A选项，符合要求． 7．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知一元二次方程的两根为，，一元二次方程的两根为，，则值是（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系，从第一个方程得到两根和与两根积，再对第二个方程利用根与系数的关系得到的表达式，代入计算即可得到结果． 解：∵一元二次方程的两根为，， ∴根据根与系数的关系可得，， ∵一元二次方程的两根为，， ∴两根之积满足， ∴． 8．（24-25八年级下·浙江宁波·阶段检测）关于x的一元二次方程（其中，且为常数）的根的情况，描述正确的是（     ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不等的实数根 D．可能只有一个实数根 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，计算判别式的值，判断其符号即可得出结论，用到性质：对于一元二次方程，时方程有两个不等的实数根． 解：方程是关于的一元二次方程，，，，， ∴ ， ， ， 该方程有两个不相等的实数根． 9．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）定义运算：，例如，时，．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据新定义的运算规则，将整理为一元二次方程的一般形式，再利用一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等实数根时判别式大于，求解得到的取值范围． 解：∵定义运算， ∴， ∵， ∴， 即， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 化简得， 解得． 10．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）关于的一元二次方程，有下列四个结论：①若是该方程的一个根，则一定有成立；②若，则方程有一根为；③若该方程的解为和，则方程的解是或；④当，，时，方程一定有实数根．其中，正确的有（     ） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】根据根的判别式、一元二次方程的解，逐个验证结论，结合条件推导判别式的符号，最终确定正确选项． 解：① 将代入方程，得， 提取公因式得， 当时等式恒成立，不一定满足，故①错误； ② 将代入方程，得，由条件，可得， 因此是方程的根，故②正确； ③原方程的解为和，则原方程可写为， 展开得，即，， 代入新方程得：，， 整理得， 解得或，故③错误； ④ 由条件，，， 可得， 若，则， 可推出，与矛盾， 因此， 方程判别式， 因为，，所以， ，方程一定有实数根，故④正确. 综上，正确结论为②④． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·河北张家口·期末）若是关于的方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【分析】先得出，再作为一个整体代入计算即可． 解：∵是关于的方程的一个根， ∴，即， ∴ ． 12．（25-26八年级下·陕西西安·期末）用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据配方法，在方程两边加上一次项系数一半的平方，对左边配方后即可求出的值． 解：原方程为，一次项系数为，其一半的平方为， 方程两边同时加，可得， 由完全平方公式整理左边，得， 要求方程化为的形式， ． 13．（25-26八年级下·福建福州·期末）设、是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，直接代入计算两根之和即可得到结果； 解：，是方程的两个实数根， 故； 14．（25-26八年级下·北京·期末）若是关于的方程的一个根，代数式的值为__________． 【答案】 【分析】先由方程根的定义，得到，再化简所求代数式，将整体代入计算即可得到答案． 解：是关于的方程的一个根， ，则， ． 15．（25-26八年级下·陕西西安·期末）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为___________． 【答案】 【分析】分为腰长和为底边长两种情况讨论，结合三角形三边关系判断是否成立，再利用根与系数的关系计算的值． 解：分两种情况讨论： ①当为腰长时， ∵另两边是方程的两个根， ∴其中一个根为， 设另一根为， 由根与系数的关系得，解得，此时三角形三边长为， ∵，不满足三角形三边关系， ∴这种情况，舍去； ②当为底边长时， ∵另两边是等腰三角形的两腰，为方程的两个根， 设腰长为， 由根与系数的关系得，解得，此时三角形三边长为， ∵，满足三角形三边关系， ∴． 16．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．关于的方程（是常数）是“邻根方程”，则的值是________． 【答案】或 【分析】先对关于的一元二次方程因式分解求解得到两个根，再根据“邻根方程”的定义，得到两根的差为，分情况列方程计算的值即可． 解：对因式分解得：， 或， 解得：，， 方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在一块长12m、宽8m的长方形空地上修建同样宽的两条道路，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为．设道路的宽为，根据题意，可列方程：______． 【答案】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键． 把所修的两条道路分别移到矩形的最上边和最左边，根据平行四边形与矩形面积公式可知：路的面积没变，则剩下的部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可． 解：∵道路的宽应为， ∴由题意得，， 故答案为：． 18．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在菱形中，，，点E是边上一点，连接，将沿翻折得到；线段所在直线与所在直线交于点G，当时，求线段的长______． 【答案】 【分析】利用菱形的性质和翻折的性质，结合解30度直角三角形和勾股定理设未知数列出方程，即可求得的长度． 解：在菱形中，，， ∵，， ∴，， ∴， ∵沿翻折得到， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 如图，设与交点为H， ∴，即， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：，， ∵， ∴舍去， ∴． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·广西崇左·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， （1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）求出方程的根； （3）若方程的两个根都是正整数，求整数的值． 【答案】（1）证明：，，， ∴ ， ∴ 方程总有两个实数根 （2）， （3）或． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根的判别式以及根据一元二次次方程根的情况求出参数等知识． （1）先求出，再根据根的判别式得出答案即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． （3）利用一元二次次方程根的情况求出参数即可． 解：（1）略． （2） ， ∴或， ∴， （3）由（2）知，， ∵m为整数，方程的两个根都是正整数， ∴必为正整数， ∴或2， ∴或． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·湖南湘西·期末）已知关于的方程． （1）若方程总有两个实数根，求的取值范围； （2）若与是该方程的两个实数根，且满足，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据方程有实数根得到，进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，得到关于m的方程，进行求解即可． （1）解：∵方程有两个实数根， ∴， 即， 解得； （2）解：∵与是该方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴ 解方程 得． 22．（本小题满分10分）（2026·安徽芜湖·三模）一次函数与反比例函数交于、两点，两点横坐标分别为和． （1）求、的值； （2）求直线与坐标轴围成的的面积． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）联立一次函数与反比例函数，由题意可知，和是方程的两根，代入求解即可 （2）求出点和点的坐标，进而计算出的面积． （1）解：联立一次函数与反比例函数，得， ， 整理，得， 由题意可知，和是方程的两根， ∴， 解得； （2）解：由（1）可知，一次函数的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∴． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·陕西西安·期末）西安非遗关中剪纸享誉四方，某文创店铺售卖两款剪纸礼盒：礼盒甲、礼盒乙．已知礼盒甲每件售价比礼盒乙贵元．上一周，礼盒甲销售总额为元，礼盒乙销售总额为元，且两款礼盒销售量相等． （1）上一周，礼盒甲、乙的销售单价分别是多少元？（列分式方程求解） （2）本周店铺开展促销，礼盒甲每降价元，销量增加件；礼盒乙每件提价元，销量和上周一样．调整价格后，两款礼盒总销售额比上周多元，求礼盒甲每件降价多少元？ 【答案】（1）礼盒甲的销售单价为元，礼盒乙的销售单价为元；（2）礼盒甲每件降价元 【分析】（1）利用两款礼盒销售量相等的等量关系列分式方程求解； （2）结合价格调整后总销售额的变化关系列方程求解． （1）解：设上一周礼盒乙的销售单价为元，则礼盒甲的销售单价为元， ∵两款礼盒销售量相等， ∴，解得， 检验：当时，， 故是原分式方程的解且符合实际意义， ∴ 礼盒甲的销售单价为（元）． 答：上一周礼盒甲的销售单价为元，礼盒乙的销售单价为元． （2）解：∵上周礼盒乙的销售额为元，单价为元， ∴上周两款礼盒的销售量均为（件）， 设礼盒甲每件降价元， ∵调整价格后两款礼盒总销售额比上周多元， ∴， 整理得 ， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：礼盒甲每件降价元． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·吉林长春·期末）在复习一元二次方程时，旺仔同学总结了三个知识点： 知识点一：根的判别式； 知识点二：求根公式； 知识点三：若一元二次方程的两个实数根为，，则． 根据以上知识点完成下列问题： （1）若一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）若一元二次方程的两个实数根为， ①计算 ， ； ②求的值； （3）若一元二次方程的两个实数根为，，且，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）① ，；② ；（3） 【分析】（1）利用方程有两个不相等的实数根得判别式大于0，解不等式得到k的取值范围； （2）直接根据根与系数的关系得到两根和与两根积，再展开所求代数式，整体代入计算结果； （3）先由方程有两个实数根得判别式非负，再利用根与系数关系变形已知等式得到关于的方程，求解后舍去不符合条件的解得到的值． （1）解：一元二次方程有两个不相等的实数根， 判别式， 解得：， 的取值范围为； （2）解：①根据题意得：方程， 由根与系数的关系得：，， ② ； （3）解：方程有两个实数根， 判别式， 解得：， 由根与系数的关系得：、， ， ， ， 整理得：， 解得：或， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $