第二章 有理数及其运算 单元检测卷（能力提升卷） 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

**基本信息** 七年级数学上册第二章有理数及其运算提升卷，立足单元复习，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，融合抽象能力、运算能力、推理意识等核心素养，适配北师大版新教材单元学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|绝对值、相反数、数轴比较、新定义运算|第8题差倒数循环考查推理意识，第10题绝对值几何意义体现数学眼光| |填空题|6/24|倒数相反数、大小比较、新运算应用|第16题新运算定义结合方程思想，培养符号意识| |解答题|5/36|分类集合、混合运算、实际应用（出租车行程）、新定义探究（⊕运算）、绝对值最值|第21题绝对值最值探究，融合几何直观与逻辑推理，第19题实际应用发展应用意识|

七年级数学上册第二章有理数及其运算 提升卷 考试时间：90分钟　满分：100分　教材版本：北师大版新教材 一、选择题（共10题，每题4分，共40分） 1. 下列各数中，绝对值最小的数是（ ） A．0　　B．1　　C．-1　　D． 2. 如果一个数的相反数是负数，那么这个数一定是（ ） A．正数　　B．负数　　C．零　　D．非负数 3. 计算的结果是（ ） A．1　　B．17　　C．-1　　D．-17 4. 已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示（a在原点左侧，距离原点更远，b在原点右侧，距离原点更近），则下列结论正确的是（ ） A．　　B．　　C．　　D． 5. 下列说法正确的是（ ） A．绝对值等于它本身的数只有正数 B．互为相反数的两个数的绝对值相等 C．有理数分为正有理数和负有理数两类 D．两个数比较大小，绝对值大的数一定大 6. 若，则的值为（ ） A．1　　B．-1　　C．　　D． 7. 已知，，且，则的值为（ ） A．-2或-8　　B．2或8　　C．-2　　D．-8 8. 若a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，已知，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，……依此类推，则a2024的值是（ ） A．　　B．　　C．4　　D． 9. 数轴上有A、B、C三个点，点A表示的数为-4，点B表示的数为6，点C是AB的三等分点且靠近点A，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，两点同时出发，当点P到达点B时，两点都停止运动。设运动时间为t秒，若P、Q两点到点C的距离相等，则t的值为（ ） A．1　　B．-1　　C．1或-1　　D．不存在 10. 我们知道，|x|的几何意义是数轴上表示数x的点与原点的距离，即|x|=|x - 0|；也就是说，|x - a|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a的点之间的距离．试判断满足的所有整数x的个数为（ ） A．3　　B．4　　C．5　　D．6 二、填空题（共6题，每题4分，共24分） 11. 比较大小：__________（填“<”“>”或“=”） 12. 已知a的倒数是-2，则a的相反数是__________ 13. 计算：__________ 14. 已知x是整数，且，则x的所有取值之和为__________ 15. 已知，b和c互为相反数，则__________ 16. 我们定义一种新运算：，若a*b = 2，则的值为__________ 三、解答题（共5题，共36分） 17. （6分）把下列各数填入相应的集合内： （1）整数集合：{ …}； （2）分数集合：{ …}； （3）负有理数集合：{ …}． 18. （6分）计算： （1）； （2）． 19. （6分）一名出租车司机在东西走向的长安街上接送乘客，规定向东为正，向西为负，某天他从出发点O出发，行驶路程（单位：km）依次记录如下： +8，-2，+5，-6，+7，-4，-3，+12 （1）将最后一名乘客送到目的地时，出租车在出发点O的什么位置？距离出发点多远？（3分） （2）若汽车耗油量为0.1 L/km，求这天汽车共耗油多少升？（3分） 20. （8分）已知a，b是有理数，定义新运算：a⊕b=|a + b| - |a - b|，回答下列问题： （1）计算(-3)⊕2的值；（2分） （2）若a < 0 < b，且|a| > |b|，化简a⊕b；（3分） （3）若a⊕b = a⊕(-b)对任意有理数a，b都成立，猜想a与b满足什么关系，并说明理由．（3分） 21. （10分）我们知道，对于任意有理数x，|x|是非负数，即|x| ≥ 0，所以|x - a| + b有最小值b．解决下列问题： （1）求式子|x - 2024| + |x + 1|的最小值，并写出此时x的取值范围；（4分） （2）若式子|x - 1| + |x - 2| + |x - 3| + … + |x - 2n| + |x - (2n+1)|（n为正整数）存在最小值，求出这个最小值（用含n的代数式表示）并写出此时x的值；（3分） （3）若式子|x + 1| + |mx - 2|的最小值是1，求m的值．（3分） 七年级数学上册第二章有理数及其运算 提升卷 参考答案 一、选择题 1. A　　2. A　　3. B　　4. C　　5. B 6. A　　7. A　　8. B　　9. C　　10. C 二、填空题 11.< 12. 13. 0 14. 0 15. 0或27 16. 2或 三、解答题 17. （6分）解答： （1）整数集合：{0, 8, 6}…（2分） （2）分数集合：{}…（2分） （3）负有理数集合：{}…（2分） 18. （6分）解答： （1）原式（1分） （3分） （2）原式（1分） （3分） 19. （6分）解答： （1）总路程： （2分） 因为结果为正，所以出租车在出发点O的东侧，距离出发点17km（3分） （2）总路程绝对值之和： （2分） 总耗油量：47 × 0.1 = 4.7L （3分） 20. （8分）解答： （1）(-3)⊕2 = |-3+2| - |-3-2| = 1 - 5 = -4 （2分） （2）因为a < 0 < b，且|a| > |b|，所以a + b < 0，a - b < 0 （1分） 所以a⊕b = |a+b| - |a-b| = -(a+b) - [-(a-b)] = -a - b + a - b = -2b （3分） （3）a⊕b = a⊕(-b)对任意a,b成立，则a = 0，理由如下：（1分） 由定义可得：|a+b| - |a-b| = |a - b| - |a+b|，整理得2|a+b| = 2|a-b|，即|a+b| = |a-b|（2分） 两边平方得a² + 2ab + b² = a² - 2ab + b²，化简得4ab = 0，对任意b恒成立，故a = 0，即a=0满足条件（3分） 21. （10分）解答： （1）|x - 2024| + |x + 1|的几何意义是数轴上点x到点2024和点-1的距离之和，当点x在两点之间时，距离和取得最小值，最小值为两点之间的距离，即2024 - (-1) = 2025（2分） 此时x的取值范围是-1 ≤ x ≤ 2024（4分） （2）共有2n+1个点，中间点的坐标为n+1，当x = n+1时，原式取得最小值（1分） 最小值为： 最小值为：(1+2+…+n)+(1+2+…+n)=n(n+1)（3分） （3）分两种情况讨论：当时，原式，最小值为2，不符合题意；（1分）当时，原式可整理为，最小值为1，零点分别在和，最小值在零点处取得： 代入得：，即，解得或； 代入得：，即，解得；验证得时最小值也为1，最终符合条件的值为1或-1（3分） 学科网（北京）股份有限公司 $