21.1 认识一元二次方程 课件 2026--2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学课件核心内容为一元二次方程的定义、一般形式及系数识别。课堂导入通过“想一想”“做一做”回顾一元一次方程，结合绿地面积、年平均增长率等实际问题引出新方程，对比旧知抽象新知，搭建学习支架。 其亮点在于以实际问题情境强化建模意识，通过对比旧知培养抽象能力，分层次练习提升运算能力。如用绿地面积问题建立方程模型，对比一元一次方程特点抽象定义，分层练习巩固知识。助力学生发展模型意识与运算能力，教师可借清晰结构提高教学效率。

第二十一章 一元二次方程 21.1 认识一元二次方程 01 教学目标 通过多个实际问题列方程，对比一元一次方程特征，抽象概括出一元二次方程的定义与本质特征，区分不同整式方程的差异。 01 经历从生活实际问题中提炼数量关系、建立一元二次方程模型的过程，体会方程是刻画现实世界数量关系的重要数学模型，强化建模意识。 02 掌握整式方程的移项、合并同类项化简方法，能将任意一元二次方程化为标准一般形式，精准识别各项系数，提升代数化简与运算规范性。 03 02 新知导入 【想一想】什么是一元一次方程？ 只含有一个未知数、未知数的最高次数为1，且两边都为整式的等式叫做一元一次方程。 (1)只含有一个未知数； (2)所含未知数的项的最高次数为1； (3)方程是由整式组成的，即方程中分母不含未知数。 一元一次方程的特点： 02 新知导入 【做一做】在下列方程：①3x-y=2，②x2-2x-3=0， 中，是一元一次方程的有哪些? 方程④和⑤是一元一次方程. 03 新知探究 探究 一元二次方程的概念 【问题1】绿苑小区准备在两幢楼房之间设置一块面积为900m2的矩形绿地，并且长比宽多10m. 求绿地的长和宽. 【分析】我们可以通过列方程解决这类实际问题. 设绿地的宽为xm，可列出方程 x(x + 10)=900, 整理得x2+10x-900=0. ① 03 新知探究 【问题2】学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率. 【分析】设这两年的年平均增长率为x. 已知去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5(1+x)万册. 同样，明年年底的图书数又是今年年底图书数的(1+x)倍，即 5(1+x)(1+x)=5(1+x)2(万册). 03 新知探究 可列得方程5(1 + x)2=7.2， 即5x2 + 10x -2.2=0. ② 【问题2】学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率. 观察下面两个方程，思考回答下面问题。 (1)上面两个方程是一元一次方程吗？ (2)上面方程整理后含有几个未知数？ (3)它的最高次数是几次？ 不是 含有一个未知数 最高次数是2次 这是什么方程？ x2+10x-900=0. ① 5x2 + 10x -2.2=0 ② 03 新知探究 总结归纳 一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，方程两边都是整式，这样的方程叫做一元二次方程． 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c是已知数，a≠0），其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项. 03 新知探究 请分别指出问题1和问题2中两个方程的二次项系数、一次项系数和常数项. x2+10x-900=0. ① 5x2 + 10x -2.2=0 ② 二次项系数：1； 一次项系数：10； 常数项：-900. 二次项系数：5； 一次项系数：10； 常数项：-2.2. 03 新知探究 将下列一元二次方程化为一般形式，并指出方程的二次项系数、一次项系数和常数项: (1) 3x2 - x= 2; (2) 7x - 3=2x2; (3) x(2x - 1) -3x(x - 2)=0; (4) 2x(x - 1)=3(x + 5)-4. 解：(1)原方程变形为3x2-x-2=0，二次项系数为3，一次项系数为-1，常数项为-2。 (2)原方程变形为2x2-7x+3=0，二次项系数为2，一次项系数为-7，常数项为3。 将下列一元二次方程化为一般形式，并指出方程的二次项系数、一次项系数和常数项: (1) 3x2 - x= 2; (2) 7x - 3=2x2; (3) x(2x - 1) -3x(x - 2)=0; (4) 2x(x - 1)=3(x + 5)-4. (3)原方程整理，得x2-5x=0，二次项系数为1，一次项系数为-5，常数项为0。 (4)原方程整理，得2x2-5x-11=0，二次项系数为2，一次项系数为-5，常数项为-11。 03 新知探究 拓展提高 要确定一元二次方程的系数和常数项，必须先将方程化为一般形式在写一元二次方程的一般形式时，通常按未知数的次数从高到低排列，即先写二次项，再写一次项，最后是常数项。 03 新知探究 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1.下列方程中，一定是一元二次方程的是(　　). A. x2＋1＝0 B. ＋2x＝5 C. y＝x2 D. ax2＋2x＋1＝0 A 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 2. 若关于x的方程(a－1)x2＋ax＋1＝0是一元二次方程，则a的取值范围是__________． 若关于x的方程(m＋1)x|m－1|＋2x－1＝0是一元二次方程，则m＝________. a≠1 3 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 3. 方程2x2＋4x－3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是(　　). A．2，－3，－4 B．2，－4，－3 C．2，－4，3 D．2，4，－3 D 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 4. 把方程x(x+1)=5(x-2)化成一般形式ax2+bx+c=0，则a+b+c的值为( ). A. -3 B. 7 C. -5 D. 1 B 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 5. 关于x的一元二次方程(4-a)x2+a2x=16x+1化为一般形式后不含一次项，则a的值为( ). A. 0 B. ±4 C. 4 D. -4 D 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 6. 若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个根为1，则下列结论一定正确的是(　　). A. a＋b＋c＝1 B. a－b＋c＝0 C. a＋b＋c＝0 D. a－b＋c＝1 C 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 7.已知关于x的方程(m＋2)x|m|＋2x－1＝0. (1)当m为何值时，该方程是一元一次方程？ 解：由题意，得当m＋2＝0，即m＝－2时，(m＋2)x|m|＋2x－1＝0是一元一次方程； 当m＋2≠0，|m|＝1，即m＝±1时，(m＋2)x|m|＋2x－1＝0是一元一次方程； 当m＝0时，(m＋2)x|m|＋2x－1＝0是一元一次方程． 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 7.已知关于x的方程(m＋2)x|m|＋2x－1＝0. (2)当m为何值时，该方程是一元二次方程？ 解：由题意，得|m|＝2，且m＋2≠0，解得m＝2. ∴当m＝2时，(m＋2)x|m|＋2x－1＝0是一元二次方程． 05 课堂小结 本节课你学到了什么？ 1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，方程两边都是整式，这样的方程叫做一元二次方程． 2.一般地，任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0的形式，我们把ax2+bx+c=0 (a，b，c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式. 06 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 1.若关于x的方程(m-1)x2-2x-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是( ） . A. m≥1 B. m<-1 C. m≠-1 D. m≠1 D 06 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 2. 关于x的一元二次方程mx2+5x+m2-2m=0的常数项为0，则m的值为( ). A. 1 B. 2 C. 0或2 D. 0 B 06 作业布置 【知识技能类作业】选做题： 3.在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是____________________． x2+65x−350＝0 06 作业布置 【知识技能类作业】选做题： 4. 下把一元二次方程4(x+1)=5x2化为一般形式正确的是满足( ) A. 5x2-4x-4=0 B. 5x2-4x+4=0 C. 5x2+4x+4=0 D. 5x2+4x-4=0 A 06 作业布置 【综合拓展类作业】 5. 已知关于x的方程（m﹣1）x|m+1|+4x2+2x+7＝0是一元二次方程，求m的值及其相应的二次项系数，一次项系数，常数项． 解：∵关于x的方程（m﹣1）x|m+1|+4x2+2x+7＝0是一元二次方程，∴|m+1|＝1或2或0，当|m+1|＝1时，解得m＝0或﹣2，故原方程可化简为：4x2+x+7＝0或4x2﹣x+7＝0，二次项系数为：4，一次项系数为：1，常数项为：7；或二次项系数为：4，一次项系数为：﹣1，常数项为：7； 06 作业布置 【综合拓展类作业】 5. 已知关于x的方程（m﹣1）x|m+1|+4x2+2x+7＝0是一元二次方程，求m的值及其相应的二次项系数，一次项系数，常数项． 当|m+1|＝2时，解得m＝1或-3（不合题意舍去）， 故原方程可化简为：4x2+2x+7＝0， 二次项系数为：4，一次项系数为：2，常数项为：7． 当|m+1|＝0时，解得m＝-1， 则二次项系数为：4，一次项系数为：2，常数项为：5． 二一教育 $