2.1 机械振动 简谐运动（高效培优·讲义）物理沪科版选择性必修第一册

本讲义聚焦机械振动与简谐运动核心知识点，从机械振动的定义、特征及弹簧振子模型切入，通过位移-时间图像分析简谐运动规律，进而学习振幅、周期、频率等描述量，构建从基础概念到规律应用的完整知识支架。 资料特色在于针对对称性与周期性等易错点设“避坑指南”，提供解题通法培养科学思维中的模型建构与推理能力。真题闯关与分层练习设计，课中辅助教师提升教学效果，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

2.1 机械振动 简谐运动 目录 01 本节导航·目标清单 02 教材精研·内容全解 考点01 机械振动 考点02 振动图像 考点03 简谐运动 考点04 简谐运动的描述 03 避坑指南·解题通法 角度01 简谐运动的对称性与周期性 04 真题闯关·溯源演练 05 课后三阶·精准练习 目标导航 方法指导 1.了解机械振动的概念，知道弹簧振子是一种理想化模型。 2.知道简谐运动的位移及其图像特点。 1.由弹簧振子的运动规律推广到简谐运动的规律。 2.由位移—时间图像判断位移、速度、加速度随时间的变化规律。 考点01 机械振动 1．机械振动 (1)定义：物体或物体的一部分在某一位置附近的 往复运动　，叫机械振动，简称振动。 (2)特征：第一，有一个“中心位置”，也是振动物体静止时的位置；第二，运动具有 往复性　。 2．平衡位置 (1)定义：弹簧未形变时，物体所受 合力　为0，处于平衡位置。 (2)意义：a.振子静止不动的位置；b.振子振动过程中沿振动方向合力为零时的位置。 3．弹簧振子 (1)定义：小球与弹簧组成的系统称为 弹簧振子　，其中的小球称为振子。 (2)弹簧振子的理想化条件 4．振子的位移：振子相对平衡位置的位移。即从平衡位置指向振子所在位置的有向线段。 【深化点拨】 1．弹簧振子的位移与机械运动的位移的区别 机械运动的位移是从初位置指向末位置的有向线段，而弹簧振子的位移总是相对于平衡位置而言的，都是从平衡位置指向振子所在位置。 1．（多选）如图所示，质量的小球套在光滑水平杆上，与一端固定的轻弹簧连接组成弹簧振子，小球做简谐运动的位移随时间变化关系为，O点为其平衡位置。已知该弹簧振子的周期为，其中m为小球质量，k为弹簧劲度系数，下列说法正确的是（   ） A．弹簧振子做简谐运动的周期为0.2s B．在任意时间内小球通过的路程均为75cm C．小球的最大加速度大小为 D．在与时刻小球的动量大小相等 【答案】CD 【详解】A．圆频率，简谐运动周期，故A错误； B．，只有为整数个周期时，任意起点的路程才是；个周期的路程与初始位置有关，不是任意路程都为，故B错误； C．简谐运动最大加速度出现在最大位移处，由 且 联立得，故C正确； D．时， 时， 则小球位置关于平衡位置对称，速度大小一定相等，由，得动量大小相等，故D正确。 故选CD。 2．如图所示，下列四种场景中的运动一定不是简谐运动的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】物体在与位移大小成正比，方向总是指向平衡位置的力的作用下振动，叫简谐运动；AD中弹簧振子在水平面上的振动或者在斜面上的振动都是简谐振动；B当小球的摆角不超过5°时也可认为是简谐振动；选项C的图中，物体在两侧斜面上受到的力均为恒力，不与位移的大小成正比，所以一定不是简谐运动。 故选C。 3．关于做简谐运动的弹簧振子，下列说法正确的是（　　） A．简谐运动的振幅越小，则其运动的周期一定越短 B．振子相邻两次通过同一位置时，加速度相同，速度也相同 C．若振子的位移为负值，则其加速度一定为正值，速度一定为正值 D．若振子相对平衡位置的位移的大小越来越大，则振子加速度一定变大 【答案】D 【详解】A．弹簧振子的周期公式为，周期仅与振子质量和弹簧劲度系数有关，与振幅无关，故A错误； B．振子相邻两次通过同一位置时位移相同，由可知加速度相同，但两次经过同一位置时速度大小相等、方向相反，速度不相同，故B错误； C．由可知位移为负值时加速度一定为正值，但速度方向由运动方向决定：向平衡位置运动时速度为正，远离平衡位置运动时速度为负，速度不一定为正值，故C错误； D．加速度大小为，位移大小越来越大时，加速度大小一定变大，故D正确。 故选D。 考点02 振动图像 1．建立坐标系：水平的弹簧振子，以小球的 平衡位置　为坐标原点O，沿着 水平　方向建立坐标轴，规定水平向右为正方向。小球在平衡位置右边时它的位置坐标x为正，在左边时位置坐标x为负。 2．弹簧振子的位移—时间图像 横轴 表示 时间　 纵轴 表示某一时刻振动质点的 位移x　 物理意义 振动质点相对平衡位置的 位移　随时间变化的规律 特征 正弦或余弦曲线 图像 3．由振动图像(x－t图像)获取的信息 (1)位移及变化 ①确定某一时刻的位移 如图所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2。 ②质点位移的变化情况：靠近平衡位置的过程中，位移减小，平衡位置处最小(为零)；远离平衡位置的过程中，位移增大，最远点位移最大。 (2)速度及变化 ①运动方向的确定 根据下一时刻质点的位移确定运动方向，如图中的a点，下一时刻质点离平衡位置更远，故a点对应时刻质点向正方向远离平衡位置运动。 ②质点速度大小的变化情况 1)根据下一时刻质点的位移，判断是远离还是靠近平衡位置。若远离平衡位置，则速度越来越小，位移越来越大；若靠近平衡位置，则速度越来越大，位移越来越小。 2)根据x－t图像的斜率判断速度的大小和方向。斜率越大，则速度越大，斜率越小，则速度越小；斜率为正，则速度沿所选的正方向，斜率为负，则速度沿负方向。 【深化点拨】 简谐运动图像问题的分析方法 (1)理解x－t图像的意义。 (2)充分利用图像的直观性，把图像与振动过程联系起来，图像上的一个点表示振动中的一个状态(位置、振动方向等)，图像上的一段图线对应振动的一个过程。 (3)判断好平衡位置、最大位移及振动方向。 4．（多选）如图所示为某一质点做简谐运动的振动图像，，由图可知，在t1和t2两个时刻，质点振动的速度v1、v2与加速度a1、a2的关系为（     ） A．，方向相同 B．，方向相反 C．，方向相同 D．，方向相反 【答案】AD 【详解】AB．由题图知，t1、t2两时刻，质点都在沿x轴负方向运动，越靠近平衡位置，速度越大，故，方向相同，故A正确，B错误； CD．由可知，方向相反。故C错误，D正确； 故选AD。 5．（多选）甲、乙两弹簧振子水平放置时的振动图像如图所示，则可知（     ） A．振子甲速度为零时，振子乙速度最大 B．两弹簧振子所受回复力最大值之比F甲：F乙=2：1 C．振子乙速度为最大时，振子甲速度不一定为零 D．两振子的振动频率之比f甲：f乙=2：1 【答案】AC 【详解】A．分析振动图像可知，振子甲速度为零时，振子乙处于平衡位置，速度最大，故A正确； B．弹簧振子的回复力，本题中k可能不同，则无法判断两振子的回复力最大值的关系，故B错误； C．分析振动图像可知，振子乙速度最大时，振子甲可能处于最大位移处，也可能处于平衡位置，故振子甲速度不一定为零，故C正确； D．由图可知甲、乙两个振子的周期分别为T甲＝2.0s，T乙＝1.0s，甲、乙两个振子的周期之比为2：1，频率 所以甲、乙振子的振动频率之比f甲：f乙＝1：2，故D错误。 故选AC。 6．如图甲所示，下端附着重物的粗细均匀木棒，竖直浮在河面，在重力和浮力作用下，沿竖直方向做简谐运动。以木棒所受浮力F为纵轴，振动时间t为横轴建立直角坐标系，浮力F随振动时间t的变化如图乙所示。关于木棒的说法正确的是（     ） A．0时刻沉入水中部分长度最长 B．在水中完成一次全振动的时间为0.50s C．0.25s时加速度为0，速度最小 D．从0s到0.50s时间内，回复力一直变小 【答案】A 【详解】A．0时刻时浮力最大，根据得此时木棒浸入水的体积最大，则沉入水中部分长度最长，故A正确； B．浮力最大到最小是半个周期，即木棒从最低点到最高点，经历时间为0.5s，因此周期，故B错误； C．0.25s时位于平衡位置，此时加速度为0，速度最大，故C错误； D．从0s到0.50s时间内，即木棒从最低点到平衡位置再到最高点，因此回复力先减小后增大，故D错误。 故选 A。 考点03 简谐运动 1．定义 如果物体的位移与时间的关系遵从 正弦　函数的规律，即它的振动图像(x－t图像)是一条 正弦　曲线，这样的振动是一种简谐运动。 2．简谐运动的运动性质 简谐运动是变加速往复直线运动，不是匀变速直线运动。 3．简谐运动的速度、加速度的理解 速度 (1)方向：振子运动的方向 (2)大小：①振子在平衡位置的速度最大，在最大位移处的速度为零。 ②远离平衡位置的过程中，振子的速度减小；靠近平衡位置的过程中，振子的速度增大。 加速度 (1)方向：总是指向平衡位置，总是与位移方向相反。 (2)大小：①远离平衡位置运动过程中，振子的加速度增大；靠近平衡位置运动过程中，振子的加速度减小。 ②位于平衡位置时振子的加速度为零；位于最大位移处时振子的加速度最大 【深化点拨】 简谐运动中随着位移增大，速度减小；位移减小，速度增大，速度与位移的方向不一定相同；而加速度跟位移同步变化，但方向总是相反的。如质点通过同一位置时，其位移和加速度的方向是一定的，但速度方向有两种可能：指向平衡位置或背离平衡位置。 7．如图所示，弹簧左端固定，右端与小球相连，小球套在光滑细杆上且在A、B点间往复运动，O点是A、B的中点。已知弹簧的劲度系数为k，A、O点间的距离为，小球的质量为m，通过单位可以判断小球从A点运动到B点的时间为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A．已知质量的单位为，劲度系数的单位为（即），则表达式的单位为 时间单位为，故A正确； B．距离的单位为，则表达式的单位为，故B错误； C．表达式的单位为，故C错误； D．表达式的单位为，故D错误。 故选A。 8．如图甲所示，沿竖直方向放置的轻质弹簧将小球a、b连接起来，一根轻质硬杆将小球a固定在天花板上O点处，小球a、b均保持静止，现将小球c通过轻质硬杆固定在小球b的正下方（该过程小球b的位置不变），如图乙所示，之后将小球b、c由静止释放，经过t时间小球b第一次运动到最低点，该过程小球b的位移为x，则（     ） A．释放后小球b做的不是简谐运动 B．释放后小球b做振幅为x的简谐运动 C．释放后小球b做周期大于4t的简谐运动 D．释放后小球b做周期小于4t的简谐运动 【答案】D 【详解】A．设弹簧劲度系数为，总质量。甲图中，静止时弹簧伸长量 乙图中挂上后，系统新平衡位置对应弹簧伸长量 以整体为研究对象，取平衡位置为原点，向下为正方向。弹簧弹力，其中为平衡位置弹簧伸长量，平衡时。合力 合力满足（回复力与位移反向、成正比），因此、整体做简谐运动，故A错误； B．释放位置在平衡位置上方，振幅。题中从释放到最低点的位移为，该位移大小为，故，故B错误； CD．释放点为简谐运动的最大位移处（最高点），从最高点第一次运动到最低点的时间为半个周期，即，可得，故C错误，D正确。 故选D。 9．（多选）装有一定量液体的玻璃管竖直漂浮在水中，水面足够大，如图甲所示。把玻璃管向下缓慢按压后放手，忽略运动阻力，玻璃管的运动可视为竖直方向上的简谐运动。下列说法正确的是（　　） A．回复力等于浮力 B．回复力等于重力和浮力的合力 C．振动周期与按压的深度有关 D．振动周期与按压的深度无关 【答案】BD 【详解】AB．装有一定量液体的玻璃管受到重力和液体的浮力，所以玻璃管做简谐运动的回复力来源于重力和浮力的合力，故A错误，B正确； CD．结合简谐运动的特点可知，振动的周期与振幅无关，即该振动的周期与按压的深度无关，C错误，D正确。 故选BD。 考点04 简谐运动的描述 1．振幅 (1)概念：振动物体离开平衡位置的 最大　距离。 (2)意义：振幅是表示 振动幅度　大小的物理量，常用字母 A　表示。振动物体运动的范围是振幅的 两倍　。 2．周期和频率 (1)全振动 如果从振子向右经过O点时开始计时，则从O→ N　→ O　→ M　→ O　即完成了一次全振动。 (2)周期：做简谐运动的物体完成一次 全振动　所需要的时间，叫作振动的周期，用T表示。在国际单位制中，周期的单位是 秒　(s)。 (3)频率：物体完成全振动的 次数　与 所用时间　之比叫作振动的频率，数值等于单位时间内完成 全振动　的次数，用f表示。在国际单位制中，频率的单位是 赫兹　，简称 赫　，符号是 Hz　。 (4)周期和频率的关系：f＝ 　。周期和频率都是表示物体 振动快慢　的物理量，周期越小，频率越大，表示振动越 快　。 (5)圆频率ω：表示简谐运动的快慢，其与周期成 反比　、与频率成 正比　，它们间的关系式为ω＝ 　，ω＝ 2πf　。 》特别提醒 (1)T、f、ω均是表示物体振动快慢的物理量。 (2)同一套弹簧振子的振动周期与其振幅无关。所有简谐运动的周期由振动系统本身的性质决定，均与其振幅无关。 3．振动物体在一段时间内通过的路程 (1)振动物体在一个周期内通过的路程一定为振幅的4倍，则在n个周期内通过的路程必为n·4A。 (2)振动物体在半个周期内通过的路程一定为振幅的2倍。 (3)振动物体在周期内通过的路程可能等于振幅，还可能大于或小于振幅，只有当初始时刻在平衡位置或最大位移处时，周期内通过的路程才等于振幅。 【深化点拨】 1．相位 (1)定义：从x＝Asin(ωt＋φ)可以发现，当(ωt＋φ)确定时，sin(ωt＋φ)的值也就确定了，所以(ωt＋φ)代表了做简谐运动的物体此时正处于一个运动周期中的哪个状态。物理学中把 (ωt＋φ)　叫作相位。 (2)意义：描述做简谐运动的物体某时刻在一个运动周期中的 状态　。 (3)相位差：两个具有相同 频率　的简谐运动的相位的差值，Δφ＝ φ1－φ2　(φ1>φ2)，常说1的相位比2 超前　Δφ，或者说2的相位比1 落后　Δφ。 (4)同相和反相 ①同相：表明两个振动物体 步调　相同，相位差Δφ＝ 0　； ②反相：表明两个振动物体 步调　完全相反，相位差|Δφ|＝ π　。 2．简谐运动的表达式 (1)表达式：简谐运动的表达式可以写成x＝Asin(ωt＋φ)或x＝Asin (2)表达式中各量的意义 ①x表示振动物体相对于 平衡位置　的位移。 ②A表示简谐运动的 振幅　。 (3)“ω”是简谐运动的 圆频率　。 (4)“(ωt＋φ)或t＋φ”表示简谐运动的 相位　。 (5)“φ”表示简谐运动的 初相位　，简称 初相　。 》特别提醒 (1)相位ωt＋φ是随时间变化的一个变量。 (2)相位每增加2π就意味着完成了一次全振动。 10．如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点之间做简谐运动。取向右为正方向，振子的位移x随时间t变化的图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．该振子的振幅为16cm B．t=0.9s时，振子的位移为-8cm C．t=0.3s到t=0.6s的时间内，振子的加速度逐渐增大 D．t=0到t=1.2s的时间内，振子通过的路程为3.2m 【答案】B 【详解】A．由图乙可知该振子的振幅A为8cm，故A错误； B．由图乙可知t=0.9s时，振子的位移为-8cm，故B正确； C．由图乙可知t=0.3s到t=0.6s的时间内，振子的位移逐渐减小，根据 可知回复力逐渐减小，根据牛顿第二定律，可知振子加速度减小，故C错误； D．1.2s恰好为一个周期，故t=0到t=1.2s的时间内，振子通过的路程为，故D错误。 故选B。 11．（多选）如图甲，水平弹簧振子的平衡位置为O点，振子在B、C两点之间做简谐运动，规定水平向右为正方向。图乙是振子做简谐运动的x-t图像。下列说法正确的是（　　） A．振子从C点经过O点运动到B点为一次全振动 B．图乙中的P点时刻，振子的速度沿负方向 C．振子的振动方程为 D．振子初相 【答案】BD 【详解】A．振子从C点经过O点运动到B点，再从B点经过O点回到C点才是一次全振动，故A错误； B．图乙中的P点时刻，振子正向负方向运动，故振子的速度沿负方向，故B正确； C．图乙可知振子的振幅A为0.1m，周期T为1s，故振子的振动方程为，故C错误； D．由C选项可知，振子初相为，故D正确。 故选BD。 12．弹簧振子做简谐运动的速度随位移变化图线应为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于简谐运动的机械能守恒，根据机械能守恒定律，有 则有 即满足： 所以它的速度随位移变化图线应为椭圆，故ABC错误，D正确。 故选D。 制作说明：解决“一听就懂，一做就错”的痛点。聚焦本节最容易混淆、最难理解的3-5个点，给出可套用的解题通用方法。 简谐运动的对称性和周期性 1．简谐运动的对称性的理解 状态量的 对称性 当振动物体通过关于平衡位置对称的两个位置时，则： (1)物体的位移、加速度的大小一定相等，方向一定相反； (2)物体的速度大小一定相等，方向可能相同、也可能相反 时间的 对称性 (1)振动物体来回通过相同的两点间的时间一定相等，如图所示，tBC＝tCB； (2)振动物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间一定相等，如图所示，tBC＝tB′C′ 2．简谐运动的周期性 简谐运动具有重复性和周期性，要比较两个时刻t1、t2做简谐运动的质点的振动情况，有以下规律(n＝1,2，…)： (1)若t2－t1＝nT，则t1、t2两时刻振动物体的运动情况完全相同。 (2)若t2－t1＝nT＋T，则t1、t2两时刻物体的各矢量(x、F、a、v、…)均大小相等、方向相反。 (3)当t2－t1＝nT＋T或t2－t1＝nT＋T时，若t1时刻物体在平衡位置，则t2时刻物体到达最大位移处；若t1时刻物体在最大位移处，则t2时刻物体到达平衡位置。 角度01 简谐运动的对称性与周期性 1．如图所示是一水平弹簧振子做简谐运动的振动图像（x⁃t图像），由图可推断，振子（     ） A．在t1和t2时刻具有相同的动量 B．在t3和t4时刻具有相同的动量 C．在t4和t6时刻具有相同的速度 D．在t1和t6时刻具有相同的位移 【答案】B 【详解】A．由图可知，在 t1时刻振子正在向正方向运动，速度 ，动量 ；在t2时刻振子处于正向最大位移处，速度 ，动量 。两时刻动量不同，故A错误； B．在t3时刻，位移 ，图像切线斜率为负，速度方向沿 轴负方向；在t4时刻，位移 ，图像切线斜率为负，速度方向沿 轴负方向。根据简谐运动的对称性，位移大小相等时速度大小相等，即。由于两时刻速度大小相等、方向相同，可知两时刻动量相同，故B正确； C．在t4时刻，图像切线斜率为负，速度方向沿 轴负方向；在t6时刻，图像切线斜率为正，速度方向沿 轴正方向。两时刻速度方向相反，速度不同，故C错误； D．由图可知，在 t1时刻，位移，在t6 时刻位移 。位移是矢量，方向不同，故位移不同，故D错误。 故选B。 2．如图甲所示，弹簧一端固定，另一端连接一个小球，小球置于水平光滑地面上，点为小球自然静止的位置。在点给小球一个水平向右的瞬时速度，小球在、两点间做往复运动。若规定向右为正，图乙为小球运动的振动图像，则下列说法正确的是（     ） A．在时，小球的加速度为正向最大 B．在与两个时刻，小球的位移和速度均相同 C．从到时间内，小球做加速度增大的减速运动 D．在时，小球的速度为零 【答案】C 【详解】A．由图乙可知，时，小球位于正向最大位移处，根据牛顿第二定律可得 可知，小球的加速度为负向最大，故A错误； B．由图乙可知，在与两个时刻，小球的位移相同，但在速度方向沿正方向，而速度方向沿负方向，故B错误； C．从到时间内，小球从平衡位置向最大位移处移动，位移逐渐增大，加速度逐渐增大，由于小球速度方向与加速度方向相反，小球的速度逐渐减小，因此从到时间内，小球做加速度增加的减速运动，故C正确； D．由图乙可知，在时，小球在平衡位置，此时小球的速度最大，故D错误。 故选C。 3．如图所示，一根固定在墙上的水平光滑杆，两端分别固定着相同的轻弹簧，两弹簧自由端相距x。套在杆上的小球从中点以初速度v向右运动，小球将做周期为T的往复运动，则（     ） A．小球做简谐运动 B．小球动能的变化周期为T C．两根弹簧的总弹性势能的变化周期为 D．小球的初速度为时，其运动周期为2T 【答案】C 【详解】A．物体做简谐运动的条件是它在运动中所受回复力与位移成正比，且方向总是指向平衡位置，可知小球在杆中点到接触弹簧过程，所受合力为零，此过程做匀速直线运动，故小球不是做简谐运动，故A错误； BC．假设杆中点为，小球向右压缩弹簧至最大压缩量时的位置为，小球向左压缩弹簧至最大压缩量时的位置为，可知小球做周期为的往复运动过程为；根据对称性可知小球从与，这两个过程的动能变化完全一致，两根弹簧的总弹性势能的变化完全一致，故小球动能的变化周期为，两根弹簧的总弹性势能的变化周期为，故B错误，C正确； D．小球的初速度为时，可知小球在匀速阶段的时间变为原来的倍，接触弹簧过程，根据弹簧振子周期公式，可知接触弹簧过程所用时间与速度无关，即接触弹簧过程时间保持不变，故小球的初速度为时，其运动周期应小于，故D错误。 故选C。 【例1】（2025·甘肃）（多选）如图，轻质弹簧上端固定，下端悬挂质量为的小球A，质量为m的小球B与A用细线相连，整个系统处于静止状态。弹簧劲度系数为k，重力加速度为g。现剪断细线，下列说法正确的是（   ） A．小球A运动到弹簧原长处的速度最大 B．剪断细线的瞬间，小球A的加速度大小为 C．小球A运动到最高点时，弹簧的伸长量为 D．小球A运动到最低点时，弹簧的伸长量为 【答案】BC 【详解】A．剪断细线后，弹力大于A的重力，则A先向上做加速运动，随弹力的减小，则向上的加速度减小，当加速度为零时速度最大，此时弹力等于重力，弹簧处于拉伸状态，选项A错误； B．剪断细线之前则 剪断细线瞬间弹簧弹力不变，则对A由牛顿第二定律 解得A的加速度 选项B正确； C．剪断细线之前弹簧伸长量 剪断细线后A做简谐振动，在平衡位置时弹簧伸长量 即振幅为 由对称性可知小球A运动到最高点时，弹簧伸长量为，选项C正确； D．由上述分析可知，小球A运动到最低点时，弹簧伸长量为，选项D错误。 故选BC。 【变式1-1】（多选）如图，截面为等腰三角形的光滑斜面体固定在水平地面上，两个相同的小物块通过不可伸长的细绳跨过顶端的轻质定滑轮，静止在斜面体两侧，细绳与斜面平行。此外，两物块分别用相同的轻质弹簧与斜面体底端相连，且弹簧均处于原长。将左侧小物块沿斜面缓慢拉下一小段距离，然后松开。弹簧始终在弹性限度内，斜面倾角为，不计摩擦和空气阻力。在两物块运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．左侧小物块沿斜面做简谐运动 B．细绳的拉力随左侧小物块加速度的增大而增大 C．右侧小物块在最高位置的加速度与其在最低位置的加速度大小相等 D．若增大，则右侧小物块从最低位置运动到最高位置所用的时间变长 【答案】AC 【详解】A．对左侧小物块，设沿斜面向下的位移为x，则有 此时，对右侧小物块，有 联立可得 则左侧小物块受到的合外力 ，方向与位移方向相反，故其做简谐运动，故A正确； B．根据以上分析，可得，绳拉力保持不变，故B错误； C．同理可知，右侧小物块也做简谐运动，根据对称性，其在最高和最低位置的加速度大小相等，故C正确； D．弹簧振子振动周期，与斜面夹角无关，故D错误。 故选AC。 【变式1-2】图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．时，弹簧弹力为0 B．时，手机位于平衡位置上方 C．从至，手机的动能增大 D．a随t变化的关系式为 【答案】D 【详解】A．由题图乙知，时，手机加速度为0，由牛顿第二定律得弹簧弹力大小为 A错误； B．由题图乙知，时，手机的加速度为正，则手机位于平衡位置下方，B错误； C．由题图乙知，从至，手机的加速度增大，手机从平衡位置向最大位移处运动，速度减小，动能减小，C错误； D．由题图乙知 则角频率 则a随t变化的关系式为 D正确。 故选D。 【变式1-3】如图（a），装有砂粒的试管竖直静浮于水中，将其提起一小段距离后释放，一段时间内试管在竖直方向的振动可视为简谐运动。取竖直向上为正方向，以某时刻作为计时起点，试管振动图像如图（b）所示，则试管（　　） A．振幅为 B．振动频率为 C．在时速度为零 D．在时加速度方向竖直向下 【答案】B 【详解】AB．根据图像(b)可知，振幅为；周期为 则频率为 故A错误，B正确； C．根据图像可知，时质点处于平衡位置，此时速度最大，故C错误； D．根据图像可知，时质点处于负向最大位置处，则此时加速度方向竖直向上，故D错误。 故选B。 ⚡基础速刷 1．如图所示，弹簧振子在、两点间做简谐运动，在振子从向运动的过程中（　　） A．位移方向向右，速度不断增大 B．位移方向向左，速度不断增大 C．位移方向向右，加速度不断减小 D．位移方向向左，加速度不断增大 【答案】B 【详解】AB．由题知，振子从A向O运动，振子的运动方向向右，即速度方向向右；振动的位移为由平衡位置指向所在位置的有向线段，则此过程，振子的位移在减小，方向向左。振子靠近平衡位置，则在此过程中，振子的速度不断增大。A错误，B正确； CD．振子从A向O运动过程中，位移方向向左，逐渐减小，由可知，加速度也逐渐减小，CD错误； 故选B。 2．如图甲所示，水面上有两个浮球A、B，水面上的振源O垂直于水面持续沿竖直方向振动，形成沿水面传播、波长λ=20m的水波。当浮球B起振时开始计时，以竖直向上为z轴正方向，浮球B的振动图像如图乙所示。已知OB=15m，OA=20m，下列说法正确的是（　　） A．浮球的振动频率为1.5Hz B．t=1s时，浮球A开始振动 C．t=1.5s时，浮球A位于最高点 D．t=1.5s时，浮球A的速度最大 【答案】C 【详解】A．由图乙可知，波的周期为T=1s 频率，故A错误； B．因为 浮球A的振动比浮球B的振动滞后，所以时，浮球A开始振动，故B错误； CD．浮球A在t=1.5s时相对平衡位置的位移等于浮球B在t=1.25s时相对平衡位置的位移，此时浮球位于波峰位置，速度为零，故C正确，D错误。 故选C。 3．如图所示，在竖直平面内，一原长为遵从胡克定律的轻质橡皮绳，穿过长度也为水平固定的光滑细圆筒，一端固定在处，另一端与套在光滑竖直杆上可视为质点的小球相连，小球的质量为，杆与圆筒右端的水平距离为。现将小球沿杆缓慢推到点后静止释放，小球始终在杆ac范围内运动，则（　　） A．小球在ac间做关于点对称的简谐运动 B．小球在ac间运动的过程中机械能守恒 C．小球在运动的过程中受到杆的支持力不变 D．小球在运动的过程中加速度大小等于的位置有一个 【答案】C 【详解】A．令橡皮绳的形变量大小为l，橡皮绳与沿竖直杆向上方向之间的夹角为，对小球进行分析，根据牛顿第二定律有 当小球在b点下方运动至弹力向上的分力与重力平衡时令形变量为，橡皮绳与沿竖直杆向上方向之间的夹角为，则有 解得 其中为小球相对于平衡位置的位移，该相对位移方向向上，与合力方向相反，可知，小球所受外力的合力大小与相对于平衡位置的位移大小成正比，方向相反，可知，小球做简谐运动，小球在ac间运动关于在b点下方的平衡位置对称，不是关于b点对称，故A错误； B．小球在ac间运动的过程中，橡皮绳的形变量先减小后增大，可知，小球的机械能先增大后减小，故B错误； C．令橡皮绳的形变量大小为l，橡皮绳与杆之间的夹角为，则橡皮绳的弹力垂直杆方向的分力大小为 对小球进行分析，水平方向合力为0，则小球在a→c运动的过程中受到杆的支持力 解得 即小球在a→c运动的过程中受到杆的支持力不变，故C正确。 D．结合上述可知，小球在ac间的运动是关于在b点下方的平衡位置对称的简谐运动，小球在b点，橡皮绳弹力方向垂直于杆，合力等于重力，加速度等于重力加速度，轨迹简谐运动的对称性可知，与b点关于平衡位置对称的点的加速度大小也为重力加速度，即小球在a→c运动的过程中加速度大小等于g的位置有两个，故D错误。 故选C。 4．如图甲所示，质量为1kg的物块A与竖直放置的轻弹簧上端连接，弹簧下端固定在地面上。t=0时，物块A处于静止状态，物块B从A正上方一定高度处自由落下，与A发生碰撞后粘连一起向下运动（碰撞时间极短），到达最低点后又向上运动，已知B运动的v—t图像如图乙所示，其中0~0.1s的图线为直线，不计空气阻力，已知弹簧弹性势能的表达式，其中劲度系数k=100N/m，x为弹簧的形变量，则（　　） A．物块B的质量为2kg B．t=1.0s时，弹簧处于原长 C．t=0.6s时，物块B速度为零 D．弹簧在振动过程中不会恢复原长 【答案】D 【详解】A根据图乙可知，B与A碰撞前后速度大小分别为， 根据动量守恒定律有 解得，故A错误； B．根据图乙，1.0s时，速度大小为1.0m/s，该速度为A、B碰撞后的最大速度，可知，此时，A、B恰好处于平衡位置，弹簧弹力与重力平衡，则t=1.0s时，弹簧处于压缩状态，故B错误； C．A、B碰撞后做简谐运动，令正弦波形的周期为T，根据数学函数规律有 解得 根据图乙可知，图乙中物块B速度为零时的时刻为 可知，t=0.6s时，物块B速度不为零，故C错误； D．t=0时，物块A处于静止状态，此时弹簧处于压缩状态，则有 解得 结合上述，1.0s时，A、B恰好处于平衡位置，弹簧处于压缩状态，此时有 解得 1.0s后A、B向上运动到最高点速度为0时有 表明1.0s时弹簧仍然处于压缩状态，即弹簧在振动过程中不会恢复原长，故D正确。 故选D。 5．如图所示，物体A、B质量分别为m、2m，叠放在轻质弹簧上（弹簧下端固定于地面上，上端和物体A拴接）。对B施加一竖直向下、大小为F的外力，使弹簧再压缩一段距离（弹簧始终处于弹性限度内）后物体A、B处于平衡状态。已知轻质弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g。现突然撤去外力F，A、B一起向上运动，且A、B恰好不分离，AB从撤去外力运动到最高点的时间为t，设两物体向上运动过程中A、B间的相互作用力大小为FN，则（     ） A．刚撤去外力F时，AB间的作用力 B．B与A分离时，B物块的加速度大于重力加速度 C．AB从最低点向上运动时，需要的时间是 D．AB从最低点向上运动时，AB的速度 【答案】C 【详解】B．AB恰好不分离，在最高点时，根据牛顿第二定律有 解得，方向竖直向下，故B错误； A．在最高点时， A、B恰好不分离，可得 根据运动的对称性，在最低点时，有 解得刚撤去外力时，弹簧的弹力为 对AB整体，有 对A分析有 解得，故A错误； C．A、B从最低点运动到最高点的运动为简谐运动，时间为t ，即，其平衡位置时，有 解得 最低点时弹簧压缩量为 振幅为 当从最低点向上运动时，偏离平衡位置的位移大小为，即运动到平衡位置上方处。根据振动方程 则有 解得 结合对称性可知，从最低点向上运动时，运动的时间为，故C正确 D．根据能量守恒，有 其中A=，x= 解得，故D错误。 故选C。 6．如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在光滑水平面上的A、B两点之间做简谐运动。取水平向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示。下列说法正确的是（     ） A．该弹簧振子的周期为1.6 s，振幅为30 cm B．该弹簧振子在时和时的速度相同 C．在时，该弹簧振子的加速度大小不为零 D．在到的时间内，该弹簧振子的加速度和速度都逐渐减小 【答案】B 【详解】A．由题图乙可知，该振动的振幅为15cm、周期为1.6s，故A错误； B．由振动图像可知，斜率代表速度，弹簧振子在时和时的速度相同，故B正确； C．因为周期为1.6s，根据简谐运动的周期性可知在时，该弹簧振子处于平衡位置，合力为零，加速度大小为零，故C错误； D．在到的时间内，该弹簧振子从平衡位置右侧运动到平衡位置左侧，所以加速度先减小后增大，速度先增大后减小，故D错误。 故选B。 7．一列简谐横波在介质中沿x轴传播，先后经过A和B两点且均已振动，A和B是介质中平衡位置相差半个波长的两个质点。已知A质点的位移随时间变化的关系为：，则下列判断正确的是（     ） A．这列波的传播周期为2 s B．质点B的振动方程为 C．时质点A偏离平衡位置的位移是 D．时质点B偏离平衡位置的位移是 【答案】D 【详解】A．由A的振动方程得角频率 周期，故A错误； B．A、B平衡位置相差半个波长，振动相位差为，因此B的振动方程为 相位项应为或，故B错误； C．将代入A的振动方程：，故C错误； D．A、B反相，任意时刻 时 因此，故D正确。 故选D。 8．如图所示，一弹簧振子做简谐运动，下列说法正确的是（　　） A．振子每次经过同一位置时，其加速度和速度都相同 B．当振子的振动位移减小时，则其速度和加速度均增加 C．从任意时刻开始经过二分之一周期时间，振子速度大小不变，合力做功为零 D．从任意时刻开始经过二分之一周期时间，振子速度大小不变，合力冲量为零 【答案】C 【详解】A．振子每次经过同一位置时，其加速度相同，速度大小相同，方向可能相反，故A错误； B．当振子的振动位移减小时，回复力减小，加速度减小，但速度增大，故B错误； C．从任意时刻开始经过二分之一周期时间，振子速度大小不变，方向改变，由动能定理可知合力做功为零，故C正确； D．除从速度为0开始经过二分之一周期时间振子动量没有发生变化，其它时刻开始经过二分之一周期时间，振子速度大小不变，方向改变，由动量定理可知合力冲量不为零，故D错误。 故选C。 9．（多选）图甲为名叫“弹簧公仔”的玩具，由头部、轻弹簧及底座组成，可简化为如图乙所示模型。已知物块A的质量为m，物块A静止时，弹簧的压缩量为x。现用力向下按物块A，使弹簧的压缩量为时撤去压力，物块A在竖直方向上做简谐运动。当物块A运动到最高点时，物块B对水平面的压力恰好为零，重力加速度为g，弹簧始终在弹性限度内。物块A的位移随时间的变化规律如图丙所示，下列说法正确的是（　　） A． B．撤去压力的一瞬间，物块A的加速度大小为 C．物块B的质量等于m D．物块A的振动方程为 【答案】BC 【详解】A．物块A静止时，弹簧的压缩量为x，此时物块A处于平衡位置，由题意可知 ，可得，A错误； B．撤去压力的一瞬间，弹簧弹力不变，对物块A受力分析，由牛顿第二定律 其中 联立可得物块A的加速度大小为，B正确； C．当物块A运动到最高点，由对称性可知，弹簧此时伸长量为x，对B有 解得物块B的质量大小为，C正确； D．由图丙可知，振幅为，周期为，物块A的振动方程为 代入数据可得，D错误。 故选BC。 10．（多选）如图所示，水平传送带的最左端点和最右端点间距为，为的中点。劲度系数为的轻质弹簧右端固定，左端连接一质量为的小物块。物块位于点时，弹簧水平且为原长状态。现传送带逆时针传输，速度为，将物块移至点由静止释放。物块与传送带间的动摩擦因数为0.6，物块运动的过程中，弹簧始终在弹性限度内，则下列说法正确的是（     ） A．物块做简谐运动 B．摩擦力对物块一直做负功 C．物块的最大速度为 D．物块距点最近为 【答案】AC 【详解】A．物块在A点时，弹簧伸长量，弹力 滑动摩擦力 物块向右运动过程中，相对传送带向右，摩擦力方向向左。当物块向左运动时，由于最大速度小于传送带速度，相对传送带仍向右，摩擦力方向始终向左。物块受到的合力 令 则，物块做简谐运动，故A正确； B．物块向右运动时，摩擦力向左，做负功；物块向左运动时，摩擦力向左，做正功，故B错误； C．简谐运动的平衡位置在C点左侧处，振幅 根据简谐运动规律，最大速度，故C正确； D．物块向右运动的最远位置在C点右侧处，B点在C点右侧处，物块距B点最近距离为，故D错误。 故选AC。 🚀能力跃升 11．（多选）质量为的物块和劲度系数为的弹簧构成的弹簧振子如图甲所示，物块做简谐运动的过程中，物块的动能和弹簧的弹性势能随时间变化的图像如图乙所示，已知弹簧的弹性势能满足关系式（为弹簧的形变量），重力加速度大小为。下列说法正确的是（　　） A．0时刻，物块处于平衡位置 B．时刻，物块的加速度大小为 C．时刻物块的动能与弹簧的弹性势能不相等 D．弹簧上的最大弹性势能为 【答案】BD 【详解】A．0时刻，物块的动能为0，速度为0，弹性势能为零，则弹簧处于原长位置，则物块处于上方最大位移处，A错误； B．0时刻，弹簧的弹性势能为0，对物块受力分析可知，物块在最大位移处的加速度大小，因此由对称性可知，时刻，物块的加速度大小为，B正确； C．时刻物块经过平衡位置，此时弹簧上的弹力大小，弹簧的弹性势能 对物块有 解得 可知时刻物块的动能与弹簧的弹性势能相等，选项C错误； D．物块从最高点运动到最低点的过程中，有 解得，选项D正确。 故选BD。 12．（多选）如图所示，倾角为的光滑斜面上的A端固定一根劲度系数为k的轻质弹簧，另一端与绝缘的物块Q拴接。带电量为的物块P在物块Q上，处于静止状态。现在系统所处空间施加沿斜面向上的匀强电场，此后P、Q一起运动到最高点时恰好未分离。已知P、Q的质量均为m，重力加速度为g，弹簧的弹性势能，k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量，则有（　　） A．匀强电场的场强大小为 B．匀强电场刚施加的瞬间，物块P、Q间弹力大小为 C．物块P、Q的最大速度为 D．施加电场后，弹簧、物块Q和物块P组成的系统机械能的最大增量为 【答案】BD 【详解】A．由于P、Q一起运动到最高点时恰好未分离，所以P、Q全程在做简谐运动，在最高点和最低点的加速度大小相等，方向相反，大小设为a，未施加电场时P、Q所在的位置即为简谐运动的最低点，施加电场后，在最低点对P、Q组成的整体有 在最高点对物块P有 两式联立得， 故A错误； B．匀强电场刚施加的瞬间，设物块P、Q间弹力大小为，对物块P根据牛顿第二定律有 解得 故B正确； C．物块P、Q一起做简谐运动至平衡位置时速度最大，设此时弹簧的压缩量为，则对P、Q组成的整体根据牛顿第二定律有 设未施加电场时弹簧的压缩量为，则由P、Q组成的整体受力平衡得 物块P、Q一起做简谐运动由最低点运动到最高点的过程，根据功能关系有 联立解得 故C错误； D．施加电场后，物块P、Q由最低点一起运动至最高点过程中，电场力做功最多，弹簧、物块Q和物块P组成的系统机械能增量最大，机械能的增量等于该过程中电场力做的功， 即 故D正确。 故选BD。 13．有一个弹簧的劲度系数为、小球的质量为的弹簧振子，让其在水平方向上的B、C之间做简谐运动。已知B、C间的距离为，振动物体在内完成了次全振动。求： (1)振动小球的振幅和周期； (2)小球振动过程中最大的加速度大小。 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）小球的振幅 周期 （2）小球振动过程中处于最大位移处（弹簧伸缩量最大）的加速度最大，为 14．如图所示，竖直放置的轻弹簧劲度系数为k，下端固定在水平面上，上端与质量为m可视为质点的小球相连，开始时弹簧处于原长。现将小球从弹簧上端由静止开始释放，在竖直方向上作简谐运动，其周期为。已知重力加速度为g，不计弹簧质量和一切阻力，取竖直向下为正，开始运动时刻为0时刻，求： (1)证明小球在竖直方向上做简谐运动。 (2)小球处于平衡位置时弹簧的形变量及简谐运动的振幅A； (3)小球简谐运动位移随时间变化的表达式； 【答案】(1)在竖直方向上，设小球相对平衡位置的位移为，根据胡克定律，小球所受回复力F的大小与位移x成正比，且方向总是指向平衡位置，与位移方向相反，故小球所受回复力可表示为，所以小球在竖直方向上做简谐运动。 (2)， (3) 【详解】（1）在竖直方向上，设小球相对平衡位置的位移为，根据胡克定律，小球所受回复力F的大小与位移x成正比，且方向总是指向平衡位置，与位移方向相反，故小球所受回复力可表示为，所以小球在竖直方向上做简谐运动。 （2）小球处于平衡位置时，根据胡克定律，弹簧形变量 物体做简谐运动的振幅 （3）由题可知，取竖直向下为正方向，开始时刻物体的位移为负向最大，则 又 解得 15．如图所示为一弹簧振子的振动图像，试完成以下问题： (1)写出该振子简谐运动的表达式； (2)该振子在前的总位移是多少？路程是多少？ 【答案】(1) (2)0，2m 【详解】（1）由图可以知道弹簧振子的周期为， 角速度 故该振子简谐运动的表达式为 （2）因 而振子在一个周期内通过的路程是，所以振子在前40s的总路程是 总位移为0。 16．如图所示是某质点做简谐运动的振动图像。根据图像中的信息，回答下列问题： (1)质点的振幅和频率为多少？ (2)质点在5s末的位移是多少，25s末质点向什么方向运动？ (3)质点在前30s内的运动路程是多少？ 【答案】(1)， (2)，25s末质点向负方向运动 (3) 【详解】（1）根据图像可知，质点振幅为； 周期s，则频率 （2）通过图像可知，质点在5s末的位移为 在25s时，根据图像的斜率可知，质点正在向负方向运动； （3）质点在前30s内的运动路程为 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 机械振动 简谐运动 目录 01 本节导航·目标清单 02 教材精研·内容全解 考点01 机械振动 考点02 振动图像 考点03 简谐运动 考点04 简谐运动的描述 03 避坑指南·解题通法 角度01 简谐运动的对称性与周期性 04 真题闯关·溯源演练 05 课后三阶·精准练习 目标导航 方法指导 1.了解机械振动的概念，知道弹簧振子是一种理想化模型。 2.知道简谐运动的位移及其图像特点。 1.由弹簧振子的运动规律推广到简谐运动的规律。 2.由位移—时间图像判断位移、速度、加速度随时间的变化规律。 考点01 机械振动 1．机械振动 (1)定义：物体或物体的一部分在某一位置附近的 往复运动　，叫机械振动，简称振动。 (2)特征：第一，有一个“中心位置”，也是振动物体静止时的位置；第二，运动具有 往复性　。 2．平衡位置 (1)定义：弹簧未形变时，物体所受 合力　为0，处于平衡位置。 (2)意义：a.振子静止不动的位置；b.振子振动过程中沿振动方向合力为零时的位置。 3．弹簧振子 (1)定义：小球与弹簧组成的系统称为 弹簧振子　，其中的小球称为振子。 (2)弹簧振子的理想化条件 4．振子的位移：振子相对平衡位置的位移。即从平衡位置指向振子所在位置的有向线段。 【深化点拨】 1．弹簧振子的位移与机械运动的位移的区别 机械运动的位移是从初位置指向末位置的有向线段，而弹簧振子的位移总是相对于平衡位置而言的，都是从平衡位置指向振子所在位置。 1．（多选）如图所示，质量的小球套在光滑水平杆上，与一端固定的轻弹簧连接组成弹簧振子，小球做简谐运动的位移随时间变化关系为，O点为其平衡位置。已知该弹簧振子的周期为，其中m为小球质量，k为弹簧劲度系数，下列说法正确的是（   ） A．弹簧振子做简谐运动的周期为0.2s B．在任意时间内小球通过的路程均为75cm C．小球的最大加速度大小为 D．在与时刻小球的动量大小相等 2．如图所示，下列四种场景中的运动一定不是简谐运动的是（　　） A． B． C． D． 3．关于做简谐运动的弹簧振子，下列说法正确的是（　　） A．简谐运动的振幅越小，则其运动的周期一定越短 B．振子相邻两次通过同一位置时，加速度相同，速度也相同 C．若振子的位移为负值，则其加速度一定为正值，速度一定为正值 D．若振子相对平衡位置的位移的大小越来越大，则振子加速度一定变大 考点02 振动图像 1．建立坐标系：水平的弹簧振子，以小球的 平衡位置　为坐标原点O，沿着 水平　方向建立坐标轴，规定水平向右为正方向。小球在平衡位置右边时它的位置坐标x为正，在左边时位置坐标x为负。 2．弹簧振子的位移—时间图像 横轴 表示 时间　 纵轴 表示某一时刻振动质点的 位移x　 物理意义 振动质点相对平衡位置的 位移　随时间变化的规律 特征 正弦或余弦曲线 图像 3．由振动图像(x－t图像)获取的信息 (1)位移及变化 ①确定某一时刻的位移 如图所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2。 ②质点位移的变化情况：靠近平衡位置的过程中，位移减小，平衡位置处最小(为零)；远离平衡位置的过程中，位移增大，最远点位移最大。 (2)速度及变化 ①运动方向的确定 根据下一时刻质点的位移确定运动方向，如图中的a点，下一时刻质点离平衡位置更远，故a点对应时刻质点向正方向远离平衡位置运动。 ②质点速度大小的变化情况 1)根据下一时刻质点的位移，判断是远离还是靠近平衡位置。若远离平衡位置，则速度越来越小，位移越来越大；若靠近平衡位置，则速度越来越大，位移越来越小。 2)根据x－t图像的斜率判断速度的大小和方向。斜率越大，则速度越大，斜率越小，则速度越小；斜率为正，则速度沿所选的正方向，斜率为负，则速度沿负方向。 【深化点拨】 简谐运动图像问题的分析方法 (1)理解x－t图像的意义。 (2)充分利用图像的直观性，把图像与振动过程联系起来，图像上的一个点表示振动中的一个状态(位置、振动方向等)，图像上的一段图线对应振动的一个过程。 (3)判断好平衡位置、最大位移及振动方向。 4．（多选）如图所示为某一质点做简谐运动的振动图像，，由图可知，在t1和t2两个时刻，质点振动的速度v1、v2与加速度a1、a2的关系为（     ） A．，方向相同 B．，方向相反 C．，方向相同 D．，方向相反 5．（多选）甲、乙两弹簧振子水平放置时的振动图像如图所示，则可知（     ） A．振子甲速度为零时，振子乙速度最大 B．两弹簧振子所受回复力最大值之比F甲：F乙=2：1 C．振子乙速度为最大时，振子甲速度不一定为零 D．两振子的振动频率之比f甲：f乙=2：1 6．如图甲所示，下端附着重物的粗细均匀木棒，竖直浮在河面，在重力和浮力作用下，沿竖直方向做简谐运动。以木棒所受浮力F为纵轴，振动时间t为横轴建立直角坐标系，浮力F随振动时间t的变化如图乙所示。关于木棒的说法正确的是（     ） A．0时刻沉入水中部分长度最长 B．在水中完成一次全振动的时间为0.50s C．0.25s时加速度为0，速度最小 D．从0s到0.50s时间内，回复力一直变小 考点03 简谐运动 1．定义 如果物体的位移与时间的关系遵从 正弦　函数的规律，即它的振动图像(x－t图像)是一条 正弦　曲线，这样的振动是一种简谐运动。 2．简谐运动的运动性质 简谐运动是变加速往复直线运动，不是匀变速直线运动。 3．简谐运动的速度、加速度的理解 速度 (1)方向：振子运动的方向 (2)大小：①振子在平衡位置的速度最大，在最大位移处的速度为零。 ②远离平衡位置的过程中，振子的速度减小；靠近平衡位置的过程中，振子的速度增大。 加速度 (1)方向：总是指向平衡位置，总是与位移方向相反。 (2)大小：①远离平衡位置运动过程中，振子的加速度增大；靠近平衡位置运动过程中，振子的加速度减小。 ②位于平衡位置时振子的加速度为零；位于最大位移处时振子的加速度最大 【深化点拨】 简谐运动中随着位移增大，速度减小；位移减小，速度增大，速度与位移的方向不一定相同；而加速度跟位移同步变化，但方向总是相反的。如质点通过同一位置时，其位移和加速度的方向是一定的，但速度方向有两种可能：指向平衡位置或背离平衡位置。 7．如图所示，弹簧左端固定，右端与小球相连，小球套在光滑细杆上且在A、B点间往复运动，O点是A、B的中点。已知弹簧的劲度系数为k，A、O点间的距离为，小球的质量为m，通过单位可以判断小球从A点运动到B点的时间为（     ） A． B． C． D． 8．如图甲所示，沿竖直方向放置的轻质弹簧将小球a、b连接起来，一根轻质硬杆将小球a固定在天花板上O点处，小球a、b均保持静止，现将小球c通过轻质硬杆固定在小球b的正下方（该过程小球b的位置不变），如图乙所示，之后将小球b、c由静止释放，经过t时间小球b第一次运动到最低点，该过程小球b的位移为x，则（     ） A．释放后小球b做的不是简谐运动 B．释放后小球b做振幅为x的简谐运动 C．释放后小球b做周期大于4t的简谐运动 D．释放后小球b做周期小于4t的简谐运动 9．（多选）装有一定量液体的玻璃管竖直漂浮在水中，水面足够大，如图甲所示。把玻璃管向下缓慢按压后放手，忽略运动阻力，玻璃管的运动可视为竖直方向上的简谐运动。下列说法正确的是（　　） A．回复力等于浮力 B．回复力等于重力和浮力的合力 C．振动周期与按压的深度有关 D．振动周期与按压的深度无关 考点04 简谐运动的描述 1．振幅 (1)概念：振动物体离开平衡位置的 最大　距离。 (2)意义：振幅是表示 振动幅度　大小的物理量，常用字母 A　表示。振动物体运动的范围是振幅的 两倍　。 2．周期和频率 (1)全振动 如果从振子向右经过O点时开始计时，则从O→ N　→ O　→ M　→ O　即完成了一次全振动。 (2)周期：做简谐运动的物体完成一次 全振动　所需要的时间，叫作振动的周期，用T表示。在国际单位制中，周期的单位是 秒　(s)。 (3)频率：物体完成全振动的 次数　与 所用时间　之比叫作振动的频率，数值等于单位时间内完成 全振动　的次数，用f表示。在国际单位制中，频率的单位是 赫兹　，简称 赫　，符号是 Hz　。 (4)周期和频率的关系：f＝ 　。周期和频率都是表示物体 振动快慢　的物理量，周期越小，频率越大，表示振动越 快　。 (5)圆频率ω：表示简谐运动的快慢，其与周期成 反比　、与频率成 正比　，它们间的关系式为ω＝ 　，ω＝ 2πf　。 》特别提醒 (1)T、f、ω均是表示物体振动快慢的物理量。 (2)同一套弹簧振子的振动周期与其振幅无关。所有简谐运动的周期由振动系统本身的性质决定，均与其振幅无关。 3．振动物体在一段时间内通过的路程 (1)振动物体在一个周期内通过的路程一定为振幅的4倍，则在n个周期内通过的路程必为n·4A。 (2)振动物体在半个周期内通过的路程一定为振幅的2倍。 (3)振动物体在周期内通过的路程可能等于振幅，还可能大于或小于振幅，只有当初始时刻在平衡位置或最大位移处时，周期内通过的路程才等于振幅。 【深化点拨】 1．相位 (1)定义：从x＝Asin(ωt＋φ)可以发现，当(ωt＋φ)确定时，sin(ωt＋φ)的值也就确定了，所以(ωt＋φ)代表了做简谐运动的物体此时正处于一个运动周期中的哪个状态。物理学中把 (ωt＋φ)　叫作相位。 (2)意义：描述做简谐运动的物体某时刻在一个运动周期中的 状态　。 (3)相位差：两个具有相同 频率　的简谐运动的相位的差值，Δφ＝ φ1－φ2　(φ1>φ2)，常说1的相位比2 超前　Δφ，或者说2的相位比1 落后　Δφ。 (4)同相和反相 ①同相：表明两个振动物体 步调　相同，相位差Δφ＝ 0　； ②反相：表明两个振动物体 步调　完全相反，相位差|Δφ|＝ π　。 2．简谐运动的表达式 (1)表达式：简谐运动的表达式可以写成x＝Asin(ωt＋φ)或x＝Asin (2)表达式中各量的意义 ①x表示振动物体相对于 平衡位置　的位移。 ②A表示简谐运动的 振幅　。 (3)“ω”是简谐运动的 圆频率　。 (4)“(ωt＋φ)或t＋φ”表示简谐运动的 相位　。 (5)“φ”表示简谐运动的 初相位　，简称 初相　。 》特别提醒 (1)相位ωt＋φ是随时间变化的一个变量。 (2)相位每增加2π就意味着完成了一次全振动。 10．如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点之间做简谐运动。取向右为正方向，振子的位移x随时间t变化的图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．该振子的振幅为16cm B．t=0.9s时，振子的位移为-8cm C．t=0.3s到t=0.6s的时间内，振子的加速度逐渐增大 D．t=0到t=1.2s的时间内，振子通过的路程为3.2m 11．（多选）如图甲，水平弹簧振子的平衡位置为O点，振子在B、C两点之间做简谐运动，规定水平向右为正方向。图乙是振子做简谐运动的x-t图像。下列说法正确的是（　　） A．振子从C点经过O点运动到B点为一次全振动 B．图乙中的P点时刻，振子的速度沿负方向 C．振子的振动方程为 D．振子初相 12．弹簧振子做简谐运动的速度随位移变化图线应为（　　） A． B． C． D． 制作说明：解决“一听就懂，一做就错”的痛点。聚焦本节最容易混淆、最难理解的3-5个点，给出可套用的解题通用方法。 简谐运动的对称性和周期性 1．简谐运动的对称性的理解 状态量的 对称性 当振动物体通过关于平衡位置对称的两个位置时，则： (1)物体的位移、加速度的大小一定相等，方向一定相反； (2)物体的速度大小一定相等，方向可能相同、也可能相反 时间的 对称性 (1)振动物体来回通过相同的两点间的时间一定相等，如图所示，tBC＝tCB； (2)振动物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间一定相等，如图所示，tBC＝tB′C′ 2．简谐运动的周期性 简谐运动具有重复性和周期性，要比较两个时刻t1、t2做简谐运动的质点的振动情况，有以下规律(n＝1,2，…)： (1)若t2－t1＝nT，则t1、t2两时刻振动物体的运动情况完全相同。 (2)若t2－t1＝nT＋T，则t1、t2两时刻物体的各矢量(x、F、a、v、…)均大小相等、方向相反。 (3)当t2－t1＝nT＋T或t2－t1＝nT＋T时，若t1时刻物体在平衡位置，则t2时刻物体到达最大位移处；若t1时刻物体在最大位移处，则t2时刻物体到达平衡位置。 角度01 简谐运动的对称性与周期性 1．如图所示是一水平弹簧振子做简谐运动的振动图像（x⁃t图像），由图可推断，振子（     ） A．在t1和t2时刻具有相同的动量 B．在t3和t4时刻具有相同的动量 C．在t4和t6时刻具有相同的速度 D．在t1和t6时刻具有相同的位移 2．如图甲所示，弹簧一端固定，另一端连接一个小球，小球置于水平光滑地面上，点为小球自然静止的位置。在点给小球一个水平向右的瞬时速度，小球在、两点间做往复运动。若规定向右为正，图乙为小球运动的振动图像，则下列说法正确的是（     ） A．在时，小球的加速度为正向最大 B．在与两个时刻，小球的位移和速度均相同 C．从到时间内，小球做加速度增大的减速运动 D．在时，小球的速度为零 3．如图所示，一根固定在墙上的水平光滑杆，两端分别固定着相同的轻弹簧，两弹簧自由端相距x。套在杆上的小球从中点以初速度v向右运动，小球将做周期为T的往复运动，则（     ） A．小球做简谐运动 B．小球动能的变化周期为T C．两根弹簧的总弹性势能的变化周期为 D．小球的初速度为时，其运动周期为2T 【例1】（2025·甘肃）（多选）如图，轻质弹簧上端固定，下端悬挂质量为的小球A，质量为m的小球B与A用细线相连，整个系统处于静止状态。弹簧劲度系数为k，重力加速度为g。现剪断细线，下列说法正确的是（   ） A．小球A运动到弹簧原长处的速度最大 B．剪断细线的瞬间，小球A的加速度大小为 C．小球A运动到最高点时，弹簧的伸长量为 D．小球A运动到最低点时，弹簧的伸长量为 【变式1-1】（多选）如图，截面为等腰三角形的光滑斜面体固定在水平地面上，两个相同的小物块通过不可伸长的细绳跨过顶端的轻质定滑轮，静止在斜面体两侧，细绳与斜面平行。此外，两物块分别用相同的轻质弹簧与斜面体底端相连，且弹簧均处于原长。将左侧小物块沿斜面缓慢拉下一小段距离，然后松开。弹簧始终在弹性限度内，斜面倾角为，不计摩擦和空气阻力。在两物块运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．左侧小物块沿斜面做简谐运动 B．细绳的拉力随左侧小物块加速度的增大而增大 C．右侧小物块在最高位置的加速度与其在最低位置的加速度大小相等 D．若增大，则右侧小物块从最低位置运动到最高位置所用的时间变长 【变式1-2】图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．时，弹簧弹力为0 B．时，手机位于平衡位置上方 C．从至，手机的动能增大 D．a随t变化的关系式为 【变式1-3】如图（a），装有砂粒的试管竖直静浮于水中，将其提起一小段距离后释放，一段时间内试管在竖直方向的振动可视为简谐运动。取竖直向上为正方向，以某时刻作为计时起点，试管振动图像如图（b）所示，则试管（　　） A．振幅为 B．振动频率为 C．在时速度为零 D．在时加速度方向竖直向下 ⚡基础速刷 1．如图所示，弹簧振子在、两点间做简谐运动，在振子从向运动的过程中（　　） A．位移方向向右，速度不断增大 B．位移方向向左，速度不断增大 C．位移方向向右，加速度不断减小 D．位移方向向左，加速度不断增大 2．如图甲所示，水面上有两个浮球A、B，水面上的振源O垂直于水面持续沿竖直方向振动，形成沿水面传播、波长λ=20m的水波。当浮球B起振时开始计时，以竖直向上为z轴正方向，浮球B的振动图像如图乙所示。已知OB=15m，OA=20m，下列说法正确的是（　　） A．浮球的振动频率为1.5Hz B．t=1s时，浮球A开始振动 C．t=1.5s时，浮球A位于最高点 D．t=1.5s时，浮球A的速度最大 3．如图所示，在竖直平面内，一原长为遵从胡克定律的轻质橡皮绳，穿过长度也为水平固定的光滑细圆筒，一端固定在处，另一端与套在光滑竖直杆上可视为质点的小球相连，小球的质量为，杆与圆筒右端的水平距离为。现将小球沿杆缓慢推到点后静止释放，小球始终在杆ac范围内运动，则（　　） A．小球在ac间做关于点对称的简谐运动 B．小球在ac间运动的过程中机械能守恒 C．小球在运动的过程中受到杆的支持力不变 D．小球在运动的过程中加速度大小等于的位置有一个 4．如图甲所示，质量为1kg的物块A与竖直放置的轻弹簧上端连接，弹簧下端固定在地面上。t=0时，物块A处于静止状态，物块B从A正上方一定高度处自由落下，与A发生碰撞后粘连一起向下运动（碰撞时间极短），到达最低点后又向上运动，已知B运动的v—t图像如图乙所示，其中0~0.1s的图线为直线，不计空气阻力，已知弹簧弹性势能的表达式，其中劲度系数k=100N/m，x为弹簧的形变量，则（　　） A．物块B的质量为2kg B．t=1.0s时，弹簧处于原长 C．t=0.6s时，物块B速度为零 D．弹簧在振动过程中不会恢复原长 5．如图所示，物体A、B质量分别为m、2m，叠放在轻质弹簧上（弹簧下端固定于地面上，上端和物体A拴接）。对B施加一竖直向下、大小为F的外力，使弹簧再压缩一段距离（弹簧始终处于弹性限度内）后物体A、B处于平衡状态。已知轻质弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g。现突然撤去外力F，A、B一起向上运动，且A、B恰好不分离，AB从撤去外力运动到最高点的时间为t，设两物体向上运动过程中A、B间的相互作用力大小为FN，则（     ） A．刚撤去外力F时，AB间的作用力 B．B与A分离时，B物块的加速度大于重力加速度 C．AB从最低点向上运动时，需要的时间是 D．AB从最低点向上运动时，AB的速度 6．如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在光滑水平面上的A、B两点之间做简谐运动。取水平向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示。下列说法正确的是（     ） A．该弹簧振子的周期为1.6 s，振幅为30 cm B．该弹簧振子在时和时的速度相同 C．在时，该弹簧振子的加速度大小不为零 D．在到的时间内，该弹簧振子的加速度和速度都逐渐减小 7．一列简谐横波在介质中沿x轴传播，先后经过A和B两点且均已振动，A和B是介质中平衡位置相差半个波长的两个质点。已知A质点的位移随时间变化的关系为：，则下列判断正确的是（     ） A．这列波的传播周期为2 s B．质点B的振动方程为 C．时质点A偏离平衡位置的位移是 D．时质点B偏离平衡位置的位移是 8．如图所示，一弹簧振子做简谐运动，下列说法正确的是（　　） A．振子每次经过同一位置时，其加速度和速度都相同 B．当振子的振动位移减小时，则其速度和加速度均增加 C．从任意时刻开始经过二分之一周期时间，振子速度大小不变，合力做功为零 D．从任意时刻开始经过二分之一周期时间，振子速度大小不变，合力冲量为零 9．（多选）图甲为名叫“弹簧公仔”的玩具，由头部、轻弹簧及底座组成，可简化为如图乙所示模型。已知物块A的质量为m，物块A静止时，弹簧的压缩量为x。现用力向下按物块A，使弹簧的压缩量为时撤去压力，物块A在竖直方向上做简谐运动。当物块A运动到最高点时，物块B对水平面的压力恰好为零，重力加速度为g，弹簧始终在弹性限度内。物块A的位移随时间的变化规律如图丙所示，下列说法正确的是（　　） A． B．撤去压力的一瞬间，物块A的加速度大小为 C．物块B的质量等于m D．物块A的振动方程为 10．（多选）如图所示，水平传送带的最左端点和最右端点间距为，为的中点。劲度系数为的轻质弹簧右端固定，左端连接一质量为的小物块。物块位于点时，弹簧水平且为原长状态。现传送带逆时针传输，速度为，将物块移至点由静止释放。物块与传送带间的动摩擦因数为0.6，物块运动的过程中，弹簧始终在弹性限度内，则下列说法正确的是（     ） A．物块做简谐运动 B．摩擦力对物块一直做负功 C．物块的最大速度为 D．物块距点最近为 🚀能力跃升 11．（多选）质量为的物块和劲度系数为的弹簧构成的弹簧振子如图甲所示，物块做简谐运动的过程中，物块的动能和弹簧的弹性势能随时间变化的图像如图乙所示，已知弹簧的弹性势能满足关系式（为弹簧的形变量），重力加速度大小为。下列说法正确的是（　　） A．0时刻，物块处于平衡位置 B．时刻，物块的加速度大小为 C．时刻物块的动能与弹簧的弹性势能不相等 D．弹簧上的最大弹性势能为 12．（多选）如图所示，倾角为的光滑斜面上的A端固定一根劲度系数为k的轻质弹簧，另一端与绝缘的物块Q拴接。带电量为的物块P在物块Q上，处于静止状态。现在系统所处空间施加沿斜面向上的匀强电场，此后P、Q一起运动到最高点时恰好未分离。已知P、Q的质量均为m，重力加速度为g，弹簧的弹性势能，k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量，则有（　　） A．匀强电场的场强大小为 B．匀强电场刚施加的瞬间，物块P、Q间弹力大小为 C．物块P、Q的最大速度为 D．施加电场后，弹簧、物块Q和物块P组成的系统机械能的最大增量为 13．有一个弹簧的劲度系数为、小球的质量为的弹簧振子，让其在水平方向上的B、C之间做简谐运动。已知B、C间的距离为，振动物体在内完成了次全振动。求： (1)振动小球的振幅和周期； (2)小球振动过程中最大的加速度大小。 14．如图所示，竖直放置的轻弹簧劲度系数为k，下端固定在水平面上，上端与质量为m可视为质点的小球相连，开始时弹簧处于原长。现将小球从弹簧上端由静止开始释放，在竖直方向上作简谐运动，其周期为。已知重力加速度为g，不计弹簧质量和一切阻力，取竖直向下为正，开始运动时刻为0时刻，求： (1)证明小球在竖直方向上做简谐运动。 (2)小球处于平衡位置时弹簧的形变量及简谐运动的振幅A； (3)小球简谐运动位移随时间变化的表达式； 15．如图所示为一弹簧振子的振动图像，试完成以下问题： (1)写出该振子简谐运动的表达式； (2)该振子在前的总位移是多少？路程是多少？ 16．如图所示是某质点做简谐运动的振动图像。根据图像中的信息，回答下列问题： (1)质点的振幅和频率为多少？ (2)质点在5s末的位移是多少，25s末质点向什么方向运动？ (3)质点在前30s内的运动路程是多少？ 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $