6.3 角（知识清单）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学知识清单系统梳理了“角”的完整知识体系。从角的静态与动态概念出发，依次讲解表示方法、度分秒60进制度量单位、比较方法，进而掌握角的和差运算、平分线及余角补角性质，形成递进式学习支架。 知识链路逻辑清晰，通过易错点警示（如60进制换算、标注规范）和19类题型（含钟面角、方向角等实际应用）构建认知框架。每种题型配方法技巧，结合几何直观培养空间观念，通过推理训练发展运算能力与应用意识，助力学生系统掌握角的知识与应用。

第六章 几何图形初步 6.3 角 🔷知识点一　角的概念 1. 角的静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形，叫作角。 2. 角的动态定义：如图（1）角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形。 3. 如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫作平角。 4. 如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫作周角。 🔷 知识点二　角的表示方法 表示方法 图示说明 记法 适用范围 用三个大写字母表示 ∠AOB或∠BOA 任何情况都适用，表示顶点的字母写在中间 用一个大写字母表示 ∠O 以某一点为顶点的角只有一个时，可以用顶点表示角 用阿拉伯数字表示 ∠1 任何情况都适用 用希腊字母表示 ∠α 任何情况都适用 ⚠️特别提醒 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母。 🔷 知识点三　角的度量单位 1. 角的度量单位：度、分、秒是常用的角的度量单位。 2. 把一个周角平均分成360等份，每一份就是1度的角，记作1°。 3. 把一度的角60等分，每一份叫作1分的角，记作1′。 4. 把一分的角60等分，每一份叫作1秒的角，记作1″。 5. 角度制：这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制。 6. 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″。 🔷 知识点四　角的比较 1. 度量法：测量度数大的那个角就大，反之，度数小的那个角就小。 2. 叠合法：利用尺规作图把其中的一条边重合，通过观察另一条边的位置作比较。 ⚠️特别提醒 角度数大小比较的注意事项：①单位要统一； ②高位大的角度更大，先比较度，再比较分，后比较秒。 🔷 知识点五　角的运算 1. 角的和：∠AOC 是∠AOB 与∠BOC的和 ，记作∠AOC = ∠AOB +∠BOC。 2. 角的差：∠AOB 是∠AOC与∠BOC的差，记作∠AOB = ∠AOC－∠BOC。 3. 进行角度的加、减运算时，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加、减；分、秒相加时，逢60要进位；相减时，如不够减要借1作60。 🔷 知识点六　角的平分线 1. 角的平分线：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线。类似地，还有角的三等分线等。 🔷 知识点七　余角和补角 1. 余角：如果两个角的和等于90°（直角）,就说这两个角互为余角,简称互余。其中一个角是另一角的余角。 2. 余角的性质：同角（等角）的余角相等。 3. 补角：如果两个角的和等于180°（平角）,就说这两个角互为补角,简称互补。其中一个角是另一角的补角。 4. 补角的性质：同角（等角）的补角相等。 易错点 1 数字、希腊字母表示角不规范 · 错例：用数字或希腊字母表示角时，不画弧线、直接标注字母数字 · 错因：违背角的标注规范，无弧线标注无法精准定位角的范围，易混淆相邻角 · 规避方法：用数字、小写希腊字母表示角时，必须在顶点附近画弧线，对应标注数值或字母 易错点 2 混淆角度60进制，误用100进制换算 · 错例：、 · 错因：惯性使用十进制换算，忘记度、分、秒为60进制，1°=60′，1′=60″ · 规避方法：角度换算牢记60进制：大换小乘60，小换大除60，杜绝十进制换算 易错点 3 角度减法运算借位换算错误 · 错例： · 错因：分位不够减，借位后未按60进制换算，误用10进制借位 · 规避方法：借位规则：借1°=60′，借1′=60″，借位后再进行减法运算 易错点 4 认为余角、补角必须相邻 · 错例：认为不相邻的两个角，不能互余、互补 · 错因：误解概念，互余、互补只看角度和，与两角位置、是否相邻无关 · 规避方法：只要角度和满足90°即互余、180°即互补，无位置要求 题型一：角的概念 📝方法技巧 1. 角的三要素：公共端点、两条射线，缺一不可； 2. 角的大小只与两边张开程度有关，与射线长短无关。 1．如图所示，共有（    ）个角 A．8 B．10 C．11 D．12 2．（25-26七年级上·河北衡水·期末）如图，的边经过的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．下列关于角的说法正确的是（   ） A．角是由有公共点的两条射线组成的图形 B．两条有公共端点的线段组成的图形叫作角 C．角是由一条射线绕它的端点旋转而成的图形 D．两条直线相交，组成的图形叫作角 4．图中有______个角． 题型二：角的表示方法 📝方法技巧 1. 三个大写字母：中间字母必须是顶点，通用无限制； 2. 一个大写字母：仅适用于顶点处只有一个角的情况； 3. 数字/希腊字母：在角内部画弧线标注，简洁直观； 4. 多角共顶点时，严禁单用一个大写字母表示。 1．下列四个图形中，能用，、三种方法表示同一角的图形是（     ） A． B． C． D． 2．下列图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（ 　   ） A． B． C． D． 3．如图，以为边的角有（   ）个． A． B． C． D． 4．如图，写出符合下列条件的角： （1）能用一个大写字母表示的角有______； （2）以B为顶点的角有______（用较简洁的方法表示）； （3）以CD为边的角有______． 题型三：角的分类 📝方法技巧 1. 锐角：；直角：； 2. 钝角：；平角：；周角：； 3. 大小关系：锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角； 4. 解题先定范围，再判断角的类型。 1．下列四个图中，对于图形的描述正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列各角中，是钝角的是（   ） A．周角 B．平角 C．周角 D．平角 3．一个锐角加上一个钝角的和一定（    ） A．大于 B．大于平角 C．小于 D．小于平角 题型四：钟面角 📝方法技巧 1. 钟面基础：一圈360°，12个大格，每大格30°；60个小格，每小格6°； 2. 转速规律：时针转速0.5°/min，分针转速6°/min； 3. 通用算法：先算时针、分针各自角度，再求角度差； 4. 最终钟面角取小于等于180°的角。 1．实验中学每天中午12点30分“校园之声”节目如约而至，此时时针与分针所成的角是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·广西玉林·期末）下午2点整（如图所示），时钟的分针与时针所成角的度数是（    ） A． B． C． D． 3．早上8点30分，时针与分针的夹角为_____． 题型五：方向角 📝方法技巧 1. 基准方向：上北下南、左西右东，以正南正北为基准； 2. 规范表述：北偏东、北偏西、南偏东、南偏西，角度为与正北/正南夹角； 3. 特殊方向：东北、西北、东南、西南均为45°； 4. 对向方向：南北互换、东西互换，角度不变。 1．如图，点相对于点的方向为（     ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏西 D．北偏西 2．（25-26七年级下·广东深圳·期中）已知深圳博物馆位于小深家的正东方，小深从家中出发步行前往深圳博物馆，先是朝着南偏东的方向走到书店买了一本笔记本，接着往北偏东方向走到了深圳博物馆．那么从书店出发，往家的路线与往深圳博物馆的路线夹角为（    ）． A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，是北偏东方向上的一条射线，是南偏西方向上的一条射线，则_______． 4．如图，是北偏东方向的一条射线，若，的方向是______． 题型六：角的单位与角度制 📝方法技巧 1. 角度进制：60进制，，； 2. 大换小乘60，小换大除60； 3. 度分秒拆分：小数度单独换算成分、秒； 4. 书写规范：度、分、秒依次书写，不混用小数。 1．若，则用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 2．_______________． 3．计算________分． 题型七：角的度数大小比较 📝方法技巧 1. 统一单位：全部化为度、或统一化为秒再比较； 2. 分级比较：先比度数、再比分、最后比秒。 1．（2026·河北石家庄·模拟预测）如图，射线，，，，分别对应量角器上外圈的，，，，刻度线，点与量角器的中心重合，下列最大的角是（     ） A． B． C． D． 2．已知，，则与的关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 3．已知，，则 _______ （填“<”或“>”或“=”）． 4．（25-26七年级上·河北唐山·期末）比较大小：_____(用“>”、“<”或“=”填空)． 题型八：角的比较 📝方法技巧 1. 度量法：量出角度数值，直接比大小； 2. 叠合法：顶点重合、一边重合，看另一边位置判断大小； 3. 图形判断：张开程度越大，角度越大； 4. 复杂图形结合和差关系间接比较。 1．如图，直线m外有一定点O，点A是直线m上的一个动点，当点A从左向右运动时，观察和的大小变化规律是（    ） A．变小，变大 B．，都不变 C．变大，∠β变小 D．，都变小 2．如图，在由相同小正方形组成的网格中有和，估测与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法估测 3．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，用同一把三角尺比较和的大小，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 4．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）如图，射线在的内部，射线在的外部．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 题型九：三角板中角度计算问题 📝方法技巧 1. 两套三角板固定角度：90°、60°、30°和90°、45°、45°； 2. 可拼角度：两角相加、相减得到特殊角（15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°等）； 3. 重叠摆放：利用平角、直角做和差计算； 4. 所有三角板角度均为15°的整数倍。 1．（25-26七年级上·西藏日喀则·期末）把一副三角板按如图所示那样拼在一起，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广西南宁·一模）将一副三角尺的直角顶点重合，按图中位置摆放，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图所示，将一副三角板叠放在一起，使它们的直角顶点重合于点，已知，则的度数是________． 4．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果，那么_______． 5．把一副直角三角尺按如图方式拼在一起，其中，，． (1)求图1中的度数； (2)如图2，延长到点M，作的平分线，求的度数． 题型十：几何图形中角度计算问题 📝方法技巧 1. 解题思路：已知角→互余互补、和差推导→未知角； 2. 复杂图形设未知数，列方程求解； 3. 优先找公共角、等角替换简化计算。 1．如图，三条直线相交于点O．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知，， ，则与的数量关系是（    ） A． B． C． D． 3．如图，是直线上一点，为任一条射线，平分，平分，，则________度． 4．（25-26七年级下·安徽六安·期中）如图，直线与相交于点O，．若，求的度数． 5．如图，平分，平分． (1)如图1，为直角，，求的度数； (2)如图2，，求的度数． 题型十一：角度的四则运算 📝方法技巧 1. 加减运算：度分秒分别运算，满60进1，不够减借1当60； 2. 乘法运算：度分秒分别相乘，从秒开始进位； 3. 除法运算：从度开始除，余数化成分、秒继续除； 4. 最终结果保留最简度分秒格式。 1．计算：_____________． 2．（25-26六年级下·四川成都·期中）计算：__________，__________． 3．（25-26七年级上·湖北孝感·期末）计算： (1)； (2)． 4．计算： (1)． (2)． 5．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 题型十二：实际问题中角度计算问题 📝方法技巧 1. 实物模型抽象为几何角，利用平角、直角、和差求解； 2. 结合生活场景，舍去不符合实际的角度。 1．如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，在长方形的台球桌面上，． (1)如果，那么等于多少度？ (2)请你以台球桌面为背景，自编一道题并解答． 题型十三：角平分线的有关计算 📝方法技巧 公式：若OC平分，则。 1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，点在直线上，平分．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26六年级下·山东烟台·期末）如图，是直线上一点，为射线，若平分，平分，则的度数为____________． 3．（25-26七年级上·江西赣州·期末）如图，点在一条直线上，平分，求的度数．请将以下解答过程补充完整． 解：因为． 所以_____°， 所以__________． 因为点在一条直线上， 所以_____°_____． 因为平分， 所以_____． 所以__________°． 4．（25-26七年级上·重庆大足·期末）如图，射线、在的内部，、分别平分与． (1)若，，求的度数． (2)若，，请直接用含，的式子表示． 5．（25-26七年级上·广东广州·期末）如图，已知，，，是内部的射线，平分，平分，，求和的度数． 题型十四：角n等分线的有关计算 📝方法技巧 每份角度公式：单份角=。 1．射线是的四等分线，，则的度数为(   ) A． B． C． D． 2．，射线是它的三等分线，则________． 3．定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫作这个角的三分线，显然，一个角的三分线有两条．例如：如图①，若，则是的一条三分线． (1)已知：如图①，是的一条三分线，且，若，求的度数； (2)已知：，如图②，若是的两条三分线，求的度数． 题型十五：求一个角的余角 📝方法技巧 公式：若角为，则余角=。 1．（25-26七年级下·山西晋中·期末）一个角的度数是，则它的余角的度数是（     ） A． B． C． D． 2．若，则的余角为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·山西晋中·期末）若一个角的度数为，则它的余角的大小是______． 4．（25-26七年级上·河南郑州·期末）一个角的补角是，则这个角的余角为 ___________． 题型十六：求一个角的补角 📝方法技巧 公式：若角为，则补角=。 1．（25-26七年级上·四川达州·期末）已知，则的补角度数是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·辽宁盘锦·期末）一个角的补角的度数为，则这个角的余角的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏徐州·三模）角的补角为______． 4．已知一个角的补角为，则这个角的度数是_________． 题型十七：与余角、补角有关的计算 📝方法技巧 1. 通用方法：设未知数表示角度，列余角、补角方程； 2. 核心关系：同一个角的补角−余角=90°； 3. 倍数、和差问题直接套公式列等式； 4. 求解后验证角度范围是否合规。 1．若一个角等于它余角的2倍，则这个角是（     ）度 A．75 B．60 C．15 D．30 2．若，则的余角的补角度数为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·广东深圳·期中）一个角的补角是它本身的两倍，则这个角等于_____度． 4．已知一个角的补角比这个角的余角的倍少，求这个角． 5．（25-26七年级上·上海·期末）一个角的余角与这个角的补角之和为，求这个角的度数． 题型十八：余角与补角的性质 📝方法技巧 1. 利用性质做等量代换，无需逐个计算角度； 2. 图形中公共角问题优先用性质秒解。 1．已知和互为补角，和互为补角．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．若，，则与的关系是（   ） A．互余 B．互补 C．相等 D．没有关系 3．如果与互补，与互补，且，，那么____． 4．若，，则_________． 5．如图，点在直线上，，和互补． (1)平分吗？请说明理由． (2)求的度数． 题型十九：动角问题 📝方法技巧 1. 核心方法：用时间t表示旋转角度，旋转角度=角速度×时间； 2. 分类讨论：射线在角内部、射线在角外部； 3. 结合平分线、和差、互余互补列方程； 4. 限定t取值范围，舍去不合理解。 1．（25-26六年级下·山东烟台·期中）已知，，平分，平分． (1)如图1，当射线与射线重合时，求的值； (2)如图2，当从图1开始，绕点以每秒的速度顺时针旋转秒时（），在旋转过程中，的值是否会因的变化而变化？若无变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由； (3)在（2）的条件下，当时，求的值． 2．（25-26八年级下·江西景德镇·期中）如图1，直角三角尺的一个顶点在直线上，且，平分． (1)若，则的度数为___________． (2)将图1中的直角三角尺绕点顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，若，求的度数； (3)将直角三角尺从图2的位置继续绕点顺时针旋转，其他条件不变，点落在射线上时停止旋转，当旋转到下方时，请写出在此旋转过程中和的度数之间的数量关系，并说明理由． 3．已知直角三角板和直角三角板，，将两块直角三角板直角顶点重合，直角三角板不动，然后将直角三角板绕点O按顺时针方向转动任意一个角度．解答下列问题：（说明：为小于的角） (1)如图1，若，则______°，______°； 如图2，若，则______°，______°； (2)如图1，设，求的度数； (3)当直角三角板绕点O旋转至图2位置时，设，试说明无论α取何值，的值不变． 4．如图1，O为直线上一点，过点O在直线的上方作射线，，将一个含（）的直角三角板的直角顶点放在点O处，边在射线上，另一边在直线的上方． (1)将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿顺时针方向转动一周的过程中，如图2，经过t秒后，恰好平分．求t的值； (2)在（1）问的条件下，若三角板在转动的同时，射线也绕O点以每秒的速度沿逆时针方向转动一周的过程中，如图3，那么经过多长时间直线平分？请直接写出结果． 5．（25-26七年级上·山西长治·期末）综合与探究 问题情境：探究三角尺中的学问．一把含角的直角三角板的直角顶点在直线上，过点作射线，使得，直角三角板的直角边从射线开始，绕点以/秒的速度顺时针旋转一圈，设旋转的时间为秒． 问题解决： (1)如图，当直角边在射线上，另一边在直线的上方，则的度数为 ，的度数为 ； 初步感知： (2)当直角三角板旋转到如图所示的位置时，射线恰好平分，试猜想此时与之间的数量关系，并说明理由； 操作探究： (3)在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线，，中的某一条射线是另外两条射线所夹角的平分线？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 几何图形初步 6.3 角 🔷知识点一　角的概念 1. 角的静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形，叫作角。 2. 角的动态定义：如图（1）角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形。 3. 如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫作平角。 4. 如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫作周角。 🔷 知识点二　角的表示方法 表示方法 图示说明 记法 适用范围 用三个大写字母表示 ∠AOB或∠BOA 任何情况都适用，表示顶点的字母写在中间 用一个大写字母表示 ∠O 以某一点为顶点的角只有一个时，可以用顶点表示角 用阿拉伯数字表示 ∠1 任何情况都适用 用希腊字母表示 ∠α 任何情况都适用 ⚠️特别提醒 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母。 🔷 知识点三　角的度量单位 1. 角的度量单位：度、分、秒是常用的角的度量单位。 2. 把一个周角平均分成360等份，每一份就是1度的角，记作1°。 3. 把一度的角60等分，每一份叫作1分的角，记作1′。 4. 把一分的角60等分，每一份叫作1秒的角，记作1″。 5. 角度制：这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制。 6. 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″。 🔷 知识点四　角的比较 1. 度量法：测量度数大的那个角就大，反之，度数小的那个角就小。 2. 叠合法：利用尺规作图把其中的一条边重合，通过观察另一条边的位置作比较。 ⚠️特别提醒 角度数大小比较的注意事项：①单位要统一； ②高位大的角度更大，先比较度，再比较分，后比较秒。 🔷 知识点五　角的运算 1. 角的和：∠AOC 是∠AOB 与∠BOC的和 ，记作∠AOC = ∠AOB +∠BOC。 2. 角的差：∠AOB 是∠AOC与∠BOC的差，记作∠AOB = ∠AOC－∠BOC。 3. 进行角度的加、减运算时，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加、减；分、秒相加时，逢60要进位；相减时，如不够减要借1作60。 🔷 知识点六　角的平分线 1. 角的平分线：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线。类似地，还有角的三等分线等。 🔷 知识点七　余角和补角 1. 余角：如果两个角的和等于90°（直角）,就说这两个角互为余角,简称互余。其中一个角是另一角的余角。 2. 余角的性质：同角（等角）的余角相等。 3. 补角：如果两个角的和等于180°（平角）,就说这两个角互为补角,简称互补。其中一个角是另一角的补角。 4. 补角的性质：同角（等角）的补角相等。 易错点 1 数字、希腊字母表示角不规范 · 错例：用数字或希腊字母表示角时，不画弧线、直接标注字母数字 · 错因：违背角的标注规范，无弧线标注无法精准定位角的范围，易混淆相邻角 · 规避方法：用数字、小写希腊字母表示角时，必须在顶点附近画弧线，对应标注数值或字母 易错点 2 混淆角度60进制，误用100进制换算 · 错例：、 · 错因：惯性使用十进制换算，忘记度、分、秒为60进制，1°=60′，1′=60″ · 规避方法：角度换算牢记60进制：大换小乘60，小换大除60，杜绝十进制换算 易错点 3 角度减法运算借位换算错误 · 错例： · 错因：分位不够减，借位后未按60进制换算，误用10进制借位 · 规避方法：借位规则：借1°=60′，借1′=60″，借位后再进行减法运算 易错点 4 认为余角、补角必须相邻 · 错例：认为不相邻的两个角，不能互余、互补 · 错因：误解概念，互余、互补只看角度和，与两角位置、是否相邻无关 · 规避方法：只要角度和满足90°即互余、180°即互补，无位置要求 题型一：角的概念 📝方法技巧 1. 角的三要素：公共端点、两条射线，缺一不可； 2. 角的大小只与两边张开程度有关，与射线长短无关。 1．如图所示，共有（    ）个角 A．8 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【详解】解：图中的角有，，，，，，，，，，，共11个角． 2．（25-26七年级上·河北衡水·期末）如图，的边经过的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题主要考查了角的有关概念．一个角是由有公共顶点的两条射线组成的，因此边经过的点一定在射线上，据此作图求解即可． 【详解】解：如图所示，的边经过的点是，    故选：C． 3．下列关于角的说法正确的是（   ） A．角是由有公共点的两条射线组成的图形 B．两条有公共端点的线段组成的图形叫作角 C．角是由一条射线绕它的端点旋转而成的图形 D．两条直线相交，组成的图形叫作角 【答案】C 【分析】本题考查角的定义，需根据角的静态与动态定义逐一判断各选项的正误，即可解题． 【详解】解：∵角的静态定义为有公共端点的两条射线组成的图形，动态定义为一条射线绕它的端点旋转而成的图形 ∴A选项中“有公共点”表述错误，应为“有公共端点”，故A错误，不符合题意． ∵角是由射线组成的，而非线段， ∴B选项错误，不符合题意． ∵C选项符合角的动态定义 ∴C选项正确，符合题意． ∵两条直线相交组成的图形包含四个角，不符合角的定义， ∴D选项错误，不符合题意． 故选：C． 4．图中有______个角． 【答案】 【分析】数角时，按一定顺序（如从一边开始，依次与其他边组成角）避免重复和遗漏． 【详解】解：按一定顺序（如从一边开始，依次与其他边组成角），则： 以为开始边的有，4个角； 以为开始边的有，3个角； 以为开始边的有，2个角； 以为开始边的有，1个角； 共有个角． 故选：． 题型二：角的表示方法 📝方法技巧 1. 三个大写字母：中间字母必须是顶点，通用无限制； 2. 一个大写字母：仅适用于顶点处只有一个角的情况； 3. 数字/希腊字母：在角内部画弧线标注，简洁直观； 4. 多角共顶点时，严禁单用一个大写字母表示。 1．下列四个图形中，能用，、三种方法表示同一角的图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A、图中的不能用表示，故本选项不符合题意； 选项B、图中、、表示同一个角，故本选项符合题意； 选项C、图中的不能用表示，故本选项不符合题意； 选项D、图中的不能用表示，故本选项不符合题意． 2．下列图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（ 　   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、能用，表示，不能用表示，故选项不符合题意； B、能用，表示，不能用表示，故选项不符合题意； C、能用，，表示同一个角，故选项符合题意； D、和表示不同的角，故选项不符合题意． 3．如图，以为边的角有（   ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：以为边的角分别是：，，，共个． 4．如图，写出符合下列条件的角： （1）能用一个大写字母表示的角有______； （2）以B为顶点的角有______（用较简洁的方法表示）； （3）以CD为边的角有______． 【答案】 ， ，， ，， 【分析】本题主要考查角的表示方法，需要根据角的顶点处角的数量情况，选择合适的表示方法； 本题考查了角的表示方法，掌握当角的顶点处只有一个角时，可用一个大写字母表示；当顶点处有多个角时，需用三个大写字母或数字、希腊字母表示角，根据这些规则确定符合条件的角是解题的关键． 【详解】解：（1）能用一个大写字母表示的角：当角的顶点处只有一个角时，可用一个大写字母表示。图中顶点处各只有一个角，所以能用一个大写字母表示的角有，故①处填； （2）以为顶点的角：以为顶点的角有，所以②处填； （3）以为边的角：以为边的角有，所以③处填． 故答案为：，；，，；，，． 题型三：角的分类 📝方法技巧 1. 锐角：；直角：； 2. 钝角：；平角：；周角：； 3. 大小关系：锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角； 4. 解题先定范围，再判断角的类型。 1．下列四个图中，对于图形的描述正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了角的表示方法、周角和平角的定义以及射线，熟练掌握相关概念是解题关键．根据角的表示方法、周角和平角的定义以及射线的概念逐个判断即可得． 【详解】解：第1个图形：表示应该是，则原描述错误； 第2个图形：射线绕点旋转一周形成，符合周角的定义，则原描述正确； 第3个图形：的两边在同一直线上且方向相反，符合平角的定义，则原描述正确； 第4个图形：射线是从点出发向点方向延伸的线，周角是角的一种概念，射线不是周角，则原描述错误； 综上，对于图形的描述正确的有2个， 故选：B． 2．下列各角中，是钝角的是（   ） A．周角 B．平角 C．周角 D．平角 【答案】B 【分析】本题考查钝角的概念，关键是掌握钝角是大于度小于度的角． 由钝角的概念，即可选择． 【详解】解：A、周角，不是钝角，不符合题意； B、平角，是钝角，符合题意； C、周角，不是钝角，不符合题意； D、平角，不是钝角，不符合题意； 故选：B． 3．一个锐角加上一个钝角的和一定（    ） A．大于 B．大于平角 C．小于 D．小于平角 【答案】C 【分析】本题考查锐角，钝角，根据锐角小于，钝角小于即可解答． 【详解】解：∵锐角小于，钝角小于， ∴一个锐角加上一个钝角的和一定小于． 故选：C． 题型四：钟面角 📝方法技巧 1. 钟面基础：一圈360°，12个大格，每大格30°；60个小格，每小格6°； 2. 转速规律：时针转速0.5°/min，分针转速6°/min； 3. 通用算法：先算时针、分针各自角度，再求角度差； 4. 最终钟面角取小于等于180°的角。 1．实验中学每天中午12点30分“校园之声”节目如约而至，此时时针与分针所成的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用时针和分针的转动规律，分别计算二者转过的角度，再求夹角即可． 【详解】解：∵钟表一圈为，分针60分钟转一圈，时针12小时转一圈， ∴分针每分钟转，时针每小时转，即每分钟转， 12点30分时，分针从12点位置转过的角度为 ， 时针从12点位置转过的角度为 ， ∴时针与分针所成的角为． 2．（25-26七年级上·广西玉林·期末）下午2点整（如图所示），时钟的分针与时针所成角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查时钟与角度，解题的关键是熟知时针与分针的转动特点． 根据时针与分针的转动特点即可求解． 【详解】∵时针每小时转动度，下午2点整，时针转动60°，分针在12时的位置， ∴两点整是度． 故选：D． 3．早上8点30分，时针与分针的夹角为_____． 【答案】/75度 【分析】本题根据钟表刻度的角度特征，确定8点30分时针与分针的位置，再计算两者的夹角即可． 【详解】钟表一周为，被平均分为个大格，因此每个大格的度数为， 8点30分时，分针指向数字，时针指向数字与的正中间，此时时针与分针间隔个大格， 因此夹角为． 题型五：方向角 📝方法技巧 1. 基准方向：上北下南、左西右东，以正南正北为基准； 2. 规范表述：北偏东、北偏西、南偏东、南偏西，角度为与正北/正南夹角； 3. 特殊方向：东北、西北、东南、西南均为45°； 4. 对向方向：南北互换、东西互换，角度不变。 1．如图，点相对于点的方向为（     ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏西 D．北偏西 【答案】B 【详解】解：由题意得：点相对于点的方向为北偏东 2．（25-26七年级下·广东深圳·期中）已知深圳博物馆位于小深家的正东方，小深从家中出发步行前往深圳博物馆，先是朝着南偏东的方向走到书店买了一本笔记本，接着往北偏东方向走到了深圳博物馆．那么从书店出发，往家的路线与往深圳博物馆的路线夹角为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设小深家为点，深圳博物馆为点，书店为点， ∵从看的方向为南偏东，根据方向的相对性，从看的方向为北偏西， 又∵从看的方向为北偏东，两个方向分别位于点正北方向的西侧和东侧，与正北方向的夹角分别为和， ∴所求夹角为 ． 3．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，是北偏东方向上的一条射线，是南偏西方向上的一条射线，则_______． 【答案】/度 【详解】解：∵是北偏东方向上的一条射线，是南偏西方向上的一条射线， ∴． 4．如图，是北偏东方向的一条射线，若，的方向是______． 【答案】/ 【详解】解：由题意可知：的方向是北偏西． 【点睛】注意角度制（）． 题型六：角的单位与角度制 📝方法技巧 1. 角度进制：60进制，，； 2. 大换小乘60，小换大除60； 3. 度分秒拆分：小数度单独换算成分、秒； 4. 书写规范：度、分、秒依次书写，不混用小数。 1．若，则用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了度、分、秒的换算，熟练掌握角度单位之间的换算关系是解题的关键．本题考查度、分、秒的换算，利用的换算关系，将换算为分即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故选：C． 2．_______________． 【答案】 【分析】根据度分秒的换算，度分秒之间的进率为．将度的小数部分依次乘以进率换算为分和秒即可求解． 【详解】解：的整数部分为度，即． 剩余小数部分换算为分：． 的整数部分为分，即． 剩余小数部分换算为秒：． 因此． 3．计算________分． 【答案】15 【详解】解：根据度分秒的换算规则，可得 ， 因此． 题型七：角的度数大小比较 📝方法技巧 1. 统一单位：全部化为度、或统一化为秒再比较； 2. 分级比较：先比度数、再比分、最后比秒。 1．（2026·河北石家庄·模拟预测）如图，射线，，，，分别对应量角器上外圈的，，，，刻度线，点与量角器的中心重合，下列最大的角是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据量角器上各射线对应的刻度，利用角的和差关系分别计算出 、、、 的度数，比较大小即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，射线、、、、对应量角器外圈的刻度分别为、、、、， ，，，， ， 最大． 2．已知，，则与的关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据度分秒的进率，统一单位后即可比较大小． 【详解】解：将换算为度分秒形式， ， ， 可得， 又，且， ． 3．已知，，则 _______ （填“<”或“>”或“=”）． 【答案】 【分析】统一两个角的角度单位，将 化为度分表示后比较大小即可． 【详解】解： ， ， ，且 ， ． 4．（25-26七年级上·河北唐山·期末）比较大小：_____(用“>”、“<”或“=”填空)． 【答案】 【分析】本题考查角度的单位换算及大小比较，关键是掌握角度单位间的进率：，解题思路是将转化为以度为单位的数，再与比较大小． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：． 题型八：角的比较 📝方法技巧 1. 度量法：量出角度数值，直接比大小； 2. 叠合法：顶点重合、一边重合，看另一边位置判断大小； 3. 图形判断：张开程度越大，角度越大； 4. 复杂图形结合和差关系间接比较。 1．如图，直线m外有一定点O，点A是直线m上的一个动点，当点A从左向右运动时，观察和的大小变化规律是（    ） A．变小，变大 B．，都不变 C．变大，∠β变小 D．，都变小 【答案】A 【详解】解：当点A从左向右运动时，变小，变大． 故选：A． 2．如图，在由相同小正方形组成的网格中有和，估测与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法估测 【答案】A 【分析】本题考查角的大小比较，掌握知识点是解题的关键． 将平移，使和的顶点重合，即可解答． 【详解】解：将平移，使和的顶点重合，如图， 可知比大，于是有． 故选A． 3．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，用同一把三角尺比较和的大小，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了角的大小比较，掌握利用中间角比较角的大小是关键；如图所示，明确与三角尺的的大小关系，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C ． 4．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）如图，射线在的内部，射线在的外部．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是角的比较与运算，解题关键是结合图形得出角之间的关系． 根据题意得出各角之间的关系后，对选项进行判断即可． 【详解】解：射线在的内部， ， ，， 选项、选项结论正确，不符合题意， 射线在的内部，射线在的外部， ， ， 选项结论正确，不符合题意， 结合题意无法判断出与之间的关系，选项结论错误． 故选：． 题型九：三角板中角度计算问题 📝方法技巧 1. 两套三角板固定角度：90°、60°、30°和90°、45°、45°； 2. 可拼角度：两角相加、相减得到特殊角（15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°等）； 3. 重叠摆放：利用平角、直角做和差计算； 4. 所有三角板角度均为15°的整数倍。 1．（25-26七年级上·西藏日喀则·期末）把一副三角板按如图所示那样拼在一起，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题，关键是掌握角的和差的运算．由，即可得到答案． 【详解】解：如图， 由题意，得，， ∴， 故选：A． 2．（2026·广西南宁·一模）将一副三角尺的直角顶点重合，按图中位置摆放，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知 ，利用角的和差关系 即可求解． 【详解】解： 该图中一副三角尺的直角顶点重合， ． 3．如图所示，将一副三角板叠放在一起，使它们的直角顶点重合于点，已知，则的度数是________． 【答案】/度 【分析】先理解题意得，再运算出，最后把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， 则． 4．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果，那么_______． 【答案】 【详解】解：由直角三角板可得， ． 5．把一副直角三角尺按如图方式拼在一起，其中，，． (1)求图1中的度数； (2)如图2，延长到点M，作的平分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是角的和差运算． （1）利用角的和差关系可得答案． （2）先求解，再利用角平分线进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 题型十：几何图形中角度计算问题 📝方法技巧 1. 解题思路：已知角→互余互补、和差推导→未知角； 2. 复杂图形设未知数，列方程求解； 3. 优先找公共角、等角替换简化计算。 1．如图，三条直线相交于点O．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴． 2．如图，已知，， ，则与的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，即． 3．如图，是直线上一点，为任一条射线，平分，平分，，则________度． 【答案】56 【分析】先求出的度数，再根据角平分线的定义解答． 【详解】解：，，三点共线， ， 平分， ． 4．（25-26七年级下·安徽六安·期中）如图，直线与相交于点O，．若，求的度数． 【答案】 【分析】根据角的倍数关系与和差关系，求出的度数，再根据平角的定义，进行求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， 解得， ∴． 5．如图，平分，平分． (1)如图1，为直角，，求的度数； (2)如图2，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知求得，根据角平分线的定义可得，，根据，即可求解． （2）根据已知求得，根据角平分线的定义可得，，根据，即可求解． 【详解】（1）解：因为， 所以．              因为平分， 所以．               因为，平分， 所以．                  所以． （2）因为， 所以．   因为平分， 所以．             因为，平分， 所以．           所以． 题型十一：角度的四则运算 📝方法技巧 1. 加减运算：度分秒分别运算，满60进1，不够减借1当60； 2. 乘法运算：度分秒分别相乘，从秒开始进位； 3. 除法运算：从度开始除，余数化成分、秒继续除； 4. 最终结果保留最简度分秒格式。 1．计算：_____________． 【答案】 【分析】根据角的计算：把度和度相加，分和分相加，满进一度． 【详解】解： ． 2．（25-26六年级下·四川成都·期中）计算：__________，__________． 【答案】 【分析】根据度分的四则运算法则计算即可得出结果． 【详解】解：， ． 3．（25-26七年级上·湖北孝感·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角度的四则运算，熟知角的四则运算法则是解题的关键． （1）度与度相加，分与分相加，再根据1度等于60分计算即可； （2）先计算乘法，再根据度、分、秒之间的进率为60化简，再计算减法即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 4．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据角度的计算法则，及角度的换算：，计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 5．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了度分秒的四则运算，掌握度、分、秒之间的进制关系，按照运算顺序进行计算是解题的关键； 根据角的四则运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ， ， ， ； （3）解： ， ； （4）解： ， ， ， ， ． 题型十二：实际问题中角度计算问题 📝方法技巧 1. 实物模型抽象为几何角，利用平角、直角、和差求解； 2. 结合生活场景，舍去不符合实际的角度。 1．如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得，根据平角的定义，代入即可求解， 本题考查了，反射角等于入射角，平角的定义，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【详解】解：依题意，，， ∵， ∴，解得：， 故选：． 2．如图，在长方形的台球桌面上，． (1)如果，那么等于多少度？ (2)请你以台球桌面为背景，自编一道题并解答． 【答案】(1)度 (2)如图，在长方形的台球桌面上，，如果，那么等于多少度？ 解：∵， ∴， ∴， 答等于度． 【分析】根据题目所给的求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 答等于度． （2）略 题型十三：角平分线的有关计算 📝方法技巧 公式：若OC平分，则。 1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，点在直线上，平分．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平角的定义结合角平分线的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵点在直线上，， ∴， ∵平分， ∴． 2．（25-26六年级下·山东烟台·期末）如图，是直线上一点，为射线，若平分，平分，则的度数为____________． 【答案】 【分析】根据角的平分线，平角的定义求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26七年级上·江西赣州·期末）如图，点在一条直线上，平分，求的度数．请将以下解答过程补充完整． 解：因为． 所以_____°， 所以__________． 因为点在一条直线上， 所以_____°_____． 因为平分， 所以_____． 所以__________°． 【答案】15，2，60，180，120，60，3，75 【分析】本题考查了角的和差，有关角平分线的计算；由角的和差得 ，由角平分线得，再由即可求解；能熟练利用角的和差，角平分线的定义求解是解题的关键． 【详解】解：因为． 所以， 所以． 因为点在一条直线上， 所以． 因为平分， 所以． 所以． 故答案为：15，2，60，180，120，60，3，75． 4．（25-26七年级上·重庆大足·期末）如图，射线、在的内部，、分别平分与． (1)若，，求的度数． (2)若，，请直接用含，的式子表示． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线定义，角度的和差计算，正确理清角度之间的数量关系是解题的关键． （1）由角平分线得到，，而，则代入并化简得到，即，据此即可求解； （2）同（1）分析即可求解． 【详解】（1）解：∵，分别平分和， ∴，， ∴ ∴， ∴ ∵，， ∴ （2）解：∵，分别平分和， ∴，， ∴ ∴， ∴ ∵，， ∴ 5．（25-26七年级上·广东广州·期末）如图，已知，，，是内部的射线，平分，平分，，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算． 由角平分线得到，则，再由角平分线得到，最后根据即可求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴． 题型十四：角n等分线的有关计算 📝方法技巧 每份角度公式：单份角=。 1．射线是的四等分线，，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角等分线的有关计算．根据射线是的四等分线，将角均分为四份，是其中的2份，即可求解． 【详解】解：∵射线是的四等分线，， ∴， ∴， 故选：B． 2．，射线是它的三等分线，则________． 【答案】 【分析】本题考查角等分线的有关计算．根据射线是它的三等分线，将角均分为三份，根据图形可得是其中的一份，即可求解． 【详解】解：∵，射线是它的三等分线， ∴ 故答案为：． 3．定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫作这个角的三分线，显然，一个角的三分线有两条．例如：如图①，若，则是的一条三分线． (1)已知：如图①，是的一条三分线，且，若，求的度数； (2)已知：，如图②，若是的两条三分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）是的一条三分线，且，即可得，从而求得的度数； （2）已知是的两条三分线，根据三等分线的定义即可得的度数． 本题考查了与角n等分线的有关计算，以及几何图形的角度的计算，通过几何图形得到角度的和差，从而解决问题，同时也考查了根据题目获取信息，用所获取的信息解题的能力． 【详解】（1）解：∵是的一条三分线，且 ∴ （2）解：∵，，是的两条三分线， ∴ ∴． 题型十五：求一个角的余角 📝方法技巧 公式：若角为，则余角=。 1．（25-26七年级下·山西晋中·期末）一个角的度数是，则它的余角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】互为余角的两个角的和为，这个角的度数为， 它的余角度数为． 2．若，则的余角为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：若，则的余角为． 3．（25-26七年级下·山西晋中·期末）若一个角的度数为，则它的余角的大小是______． 【答案】/40度 【分析】互为余角的两个角的和为，据此求解． 【详解】解：已知该角的度数为，它的余角为． 4．（25-26七年级上·河南郑州·期末）一个角的补角是，则这个角的余角为 ___________． 【答案】/35度 【分析】先根据补角定义求出原角的度数，再根据余角定义计算余角的度数. 【详解】解：∵ 互为补角的两个角的和为，这个角的补角是， ∴ 这个角的度数为 ， ∵ 互为余角的两个角的和为， ∴ 这个角的余角为 . 题型十六：求一个角的补角 📝方法技巧 公式：若角为，则补角=。 1．（25-26七年级上·四川达州·期末）已知，则的补角度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个角的补角的度数，度数之和为180度的两个角互补，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴的补角度数是， 故选：B． 2．（25-26七年级上·辽宁盘锦·期末）一个角的补角的度数为，则这个角的余角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了余角和补角，根据补角定义求出这个角的度数，再根据余角定义求解. 【详解】解：设这个角为， 的补角为， ， 的余角为： . 故选：A． 3．（2026·江苏徐州·三模）角的补角为______． 【答案】 【分析】根据补角的定义求解即可． 【详解】解：． 4．已知一个角的补角为，则这个角的度数是_________． 【答案】 【分析】根据补角的定义，互为补角的两个角的和为，因此用减去已知的补角度数即可求出这个角的度数． 【详解】解：这个角的度数是 ． 题型十七：与余角、补角有关的计算 📝方法技巧 1. 通用方法：设未知数表示角度，列余角、补角方程； 2. 核心关系：同一个角的补角−余角=90°； 3. 倍数、和差问题直接套公式列等式； 4. 求解后验证角度范围是否合规。 1．若一个角等于它余角的2倍，则这个角是（     ）度 A．75 B．60 C．15 D．30 【答案】B 【分析】假设出这个角，根据余角的定义表示出余角，根据数量关系列出一元一次方程即可求解． 【详解】解：设这个角的度数为， ∵ 互余的两个角的和为， ∴ 这个角的余角为， 根据题意列方程得， 展开得， 移项合并得， 解得， ∴ 这个角是． 2．若，则的余角的补角度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴的余角的补角为． 3．（25-26七年级下·广东深圳·期中）一个角的补角是它本身的两倍，则这个角等于_____度． 【答案】 【分析】设这个角为，则这个角的补角为，根据两倍关系列出方程运算即可． 【详解】解：设这个角为，则这个角的补角为， 根据题意得：， 解得：， ∴这个角等于． 4．已知一个角的补角比这个角的余角的倍少，求这个角． 【答案】 【分析】设这个角为，利用余角和补角的关系列方程求解即可. 【详解】解：设这个角为， ， 解得：， 答：这个角为. 5．（25-26七年级上·上海·期末）一个角的余角与这个角的补角之和为，求这个角的度数． 【答案】这个角的度数为 【分析】此题考查了余角与补角的相关计算，一元一次方程的应用，掌握余角与补角的定义是解题的关键． 设这个角的度数为，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为 根据题意得： 解得 答：这个角的度数为． 题型十八：余角与补角的性质 📝方法技巧 1. 利用性质做等量代换，无需逐个计算角度； 2. 图形中公共角问题优先用性质秒解。 1．已知和互为补角，和互为补角．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用“同角的补角相等”即可推出与的关系，即可求解． 【详解】解∶∵和互为补角，和互为补角， ∴． 2．若，，则与的关系是（   ） A．互余 B．互补 C．相等 D．没有关系 【答案】C 【分析】本题主要考查了同角的补角相等，根据同角的补角相等可得． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 3．如果与互补，与互补，且，，那么____． 【答案】55 【详解】解： 与互补，与互补， ，， ， ， 又 ， ． 4．若，，则_________． 【答案】 【详解】因为， 所以是的余角． 又因为， 所以是的余角． 根据“同角的余角相等”的性质，则． 5．如图，点在直线上，，和互补． (1)平分吗？请说明理由． (2)求的度数． 【答案】(1)平分．理由见解析 (2) 【分析】（1）利用同角的补角相等证明即可； （2）先求出，再由（1）得，即可得出结论．. 【详解】（1）解：平分．理由如下： 和互补， ． ， ， 平分． （2）解： ， ． 由（1）知，， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，补角的定义，熟悉定义是解本题的关键． 题型十九：动角问题 📝方法技巧 1. 核心方法：用时间t表示旋转角度，旋转角度=角速度×时间； 2. 分类讨论：射线在角内部、射线在角外部； 3. 结合平分线、和差、互余互补列方程； 4. 限定t取值范围，舍去不合理解。 1．（25-26六年级下·山东烟台·期中）已知，，平分，平分． (1)如图1，当射线与射线重合时，求的值； (2)如图2，当从图1开始，绕点以每秒的速度顺时针旋转秒时（），在旋转过程中，的值是否会因的变化而变化？若无变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由； (3)在（2）的条件下，当时，求的值． 【答案】(1) (2)的值不变， (3)5 【分析】（1）首先根据角平分线的定义求得，，然后求解即可； （2）首先由题意可得，，，由角平分线的定义可得 ， ，即可解答； （3）根据题意可得 ，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：∵平分，平分，射线与射线重合，，， ∴ ， ， ∴； （2）解：的值不变，， 由题意，得， ∴，， ∴ ， ， ∴ ； （3）解：由（2）知， ， ， 解得，即的值为5． 2．（25-26八年级下·江西景德镇·期中）如图1，直角三角尺的一个顶点在直线上，且，平分． (1)若，则的度数为___________． (2)将图1中的直角三角尺绕点顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，若，求的度数； (3)将直角三角尺从图2的位置继续绕点顺时针旋转，其他条件不变，点落在射线上时停止旋转，当旋转到下方时，请写出在此旋转过程中和的度数之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) ，理由如下： 如图， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）先计算出，利用角平分线的性质求出，最后利用平角的性质求出即可； （2）先计算出，仿照（1）的解法，求出即可； （3）先用表示出，利用角平分线的性质表示出，再根据平角的性质表示出，从而得到和的之间的关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：由图可知，， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：略． 3．已知直角三角板和直角三角板，，将两块直角三角板直角顶点重合，直角三角板不动，然后将直角三角板绕点O按顺时针方向转动任意一个角度．解答下列问题：（说明：为小于的角） (1)如图1，若，则______°，______°； 如图2，若，则______°，______°； (2)如图1，设，求的度数； (3)当直角三角板绕点O旋转至图2位置时，设，试说明无论α取何值，的值不变． 【答案】(1)55，125；35，145 (2) (3)见解析 【分析】（1）结合图形，利用角的和差关系求解即可； （2）同（1）结合图形，利用角的和差关系求解即可； （3）用含α的代数式表示出和，然后相加即可求解． 【详解】（1）解：如图，， ∴，； 如图，， ∴，； （2）解：， ∴， ， ； （3）证明：， ， ， ， 不论取何值，的值不变． 4．如图1，O为直线上一点，过点O在直线的上方作射线，，将一个含（）的直角三角板的直角顶点放在点O处，边在射线上，另一边在直线的上方． (1)将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿顺时针方向转动一周的过程中，如图2，经过t秒后，恰好平分．求t的值； (2)在（1）问的条件下，若三角板在转动的同时，射线也绕O点以每秒的速度沿逆时针方向转动一周的过程中，如图3，那么经过多长时间直线平分？请直接写出结果． 【答案】(1)7.5秒 (2)秒或秒 【分析】（1）根据，恰好平分，可知，进而可知旋转的度数，结合旋转速度可得时间t； （2）由题意分别根据转动速度关系和平分进行求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵经过t秒后，平分， ∴． ∴． 解得． 答：t的值是7.5秒； （2）解：①当射线的反向延长线平分时，如下图， 由题意得：， 则， 解得：； ②当射线平分时，如下图， 由题意得：， 解得：， 即：经过秒或秒直线平分． 5．（25-26七年级上·山西长治·期末）综合与探究 问题情境：探究三角尺中的学问．一把含角的直角三角板的直角顶点在直线上，过点作射线，使得，直角三角板的直角边从射线开始，绕点以/秒的速度顺时针旋转一圈，设旋转的时间为秒． 问题解决： (1)如图，当直角边在射线上，另一边在直线的上方，则的度数为 ，的度数为 ； 初步感知： (2)当直角三角板旋转到如图所示的位置时，射线恰好平分，试猜想此时与之间的数量关系，并说明理由； 操作探究： (3)在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线，，中的某一条射线是另外两条射线所夹角的平分线？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)存在，t的值为2或8或20 【分析】（1）由角的和差得，，即可求解； （2）由角的和差及角平分线的定义得，，由余角的性质，即可求解； （3）分类讨论：①当是、构成夹角的平分线，②当是、构成夹角的平分线，③当是、构成夹角的平分线，结合角平分线的定义求出旋转的度数，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：，理由如下： ， ，， 恰好平分， ， ， ． （3）解：存在； ①如图，当是、构成夹角的平分线， ， ； ②如图，当是、构成夹角的平分线， ， ； ③如图，当是、构成夹角的平分线， ， 绕旋转了， ． 综上所述，的值为或或． 【点睛】本题主要考查了角平分线，角的和差，余角的性质，旋转的性质，掌握余角的性质，熟练利用角平分线的定义并结合角的和差进行求解，能根据旋转的位置不同进行分类讨论是解题的关键． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $