第四单元第05课时 圆环的面积(教学设计）数学人教版六年级上册（新教材）

该小学数学教学设计聚焦圆环面积计算及组合图形转化，通过复习圆面积公式，结合圆形桌面与故宫青玉璧等实物对比，搭建“单一圆面积→圆环面积”认知支架，延续转化思想，明确学习目标。 以传统文化情境与动手操作为特色，通过自制圆环学具感知“外圆减内圆”本质，对比分步与简便算法培养运算能力，旋转平移半圆学具转化组合图形发展几何直观，落实量感、推理意识等核心素养，助力学生建立模型意识，为教师提供分层教学资源与清晰流程。

第四单元 第5课时 圆环的面积 教学设计 课程基本信息: 学科·版本 数学·人教版 授课班级 授课教师 年 级 六年级 学 期 上册 单 元 四 圆 课 题 第5课时 圆环的面积 一、教材内容分析 1.知识内涵 （1）地位作用 本课时是上一课时《圆的面积（1）》的延伸与综合应用，在学生已经掌握圆面积推导方法、熟记公式S=πr²，理解化曲为直、极限、转化思想基础上展开教学；承接单一圆形面积计算，首次学习同心圆构成的圆环面积，再拓展平移、旋转转化不规则圆类组合图形，是曲线图形面积体系的关键拓展内容。 本节课承前：巩固圆面积公式、直径 / 周长转化半径的解题逻辑；启后：为本单元扇形、方圆组合图形，以及初中环形几何体、阴影面积计算搭建模型；同时衔接生活中环形器物、环形步道、文物玉器、轮胎截面等真实测算场景，完整完善小学 “直线图形 — 单一圆形 — 环形 / 组合曲线图形” 的平面度量知识链条。 上节课核心是 “把圆转化长方形推导单一圆面积”，本课核心是图形叠加、相减、变换转化，将转化思想从 “曲线化直线” 升级为 “复杂图形化简单规则图形”，实现几何推理能力二次提升。 （2） 内容呈现教材 以传统文化实物 “故宫青玉璧” 创设真实情境引出圆环，教学内容分层递进： ① 具象感知层面：观察玉璧，认识圆环由同心圆（外圆、内圆）组成，明确圆环面积是外圆减内圆的区域； ② 公式建模层面：例题 2 给出两种计算思路，第一种分步求外、内圆面积再相减，第二种利用乘法分配律提取 π 简化计算，对比形成圆环通用面积模型； ③ 图形转化层面：例题 3 依托半圆拼接、半圆平移两类不规则涂色图形，借助旋转、平移运动变换，抵消多余圆弧，将复杂图形转化为大半圆、长方形等基础图形； ④ 综合应用层面：“做一做” 分层设置标准圆环、长方形与四分之一圆组合、同心圆十字分割环形三类题型，覆盖直接求、图形变换、部分环形三类计算，实现公式灵活迁移。 （3）编排特点 教材延续上一课 “旧知迁移 — 直观感知 — 动手操作 — 推理建模 — 分层应用” 的六年级认知逻辑，四大编排特色与前课时统一、层层递进： 实操探究为主：增加自制圆环、旋转平移半圆学具操作，延续具象动手探究模式，贴合小学生直观思维； 数学思想递进深化：延续上节课转化思想，新增整体运算思想（提取 π 简便计算）、图形运动变换思想（平移、旋转）；极限思想隐性渗透（圆环可看作无数层细同心圆叠加）； 多情境融合：融合文物传统文化、自行车轮胎、圆形步道等生活实例，兼顾人文与生活应用； 分层思辨对比：两种圆环算法对比、单一圆与圆环计算逻辑对比、不规则图形变换前后面积对比、已知直径 / 环宽求外半径题型对比，引导学生自主归纳解题规律。 2.素养内涵 承接第 4 课时五大核心素养，新增运算能力侧重点，同步落地量感、几何直观、推理意识、模型意识、应用意识、运算能力六大数学核心素养： 量感：根据玉璧、轮胎直径换算内外圆半径，结合环宽推导外圆半径，感知环形区域大小，区分圆面积、圆环面积量级差异； 几何直观：玉璧实物、等分半圆学具、动态平移旋转课件，直观展示圆环结构、图形变换过程，看懂变换前后图形面积不变； 推理意识：由 “整体减空白” 推理圆环面积计算逻辑；通过图形旋转平移推理不规则图形等价规则图形，发展演绎推理； 模型意识：构建圆环面积通用模型S环=πR²−πr²=π(R²−r²)，建立 “不规则圆类图形通过变换转化为基础图形” 的通用解题模型； 运算能力：对比两种圆环算法，运用乘法分配律简化平方混合运算，区分R²−r²与(R−r)²易错点，提升简便运算、准确计算能力； 应用意识：运用圆环、图形转化模型解决文物、交通工具、园林步道等实际测算问题，感受几何知识的实用价值。 二、教学目标： 知识能力 1.经历 “复习圆面积公式 — 观察实物认识圆环 — 自制圆环感知面积差 — 对比算法推导圆环公式 — 平移旋转转化组合图形 — 分层综合应用” 完整学习流程，能准确说出圆环定义（两个同心圆之间的区域），掌握圆环面积两种计算方法，深化转化、图形变换数学思想； 2.通过动手剪制圆环、平移旋转半圆学具，自主总结规律：圆环面积 = 外圆面积−内圆面积；结合乘法分配律推导并熟记圆环面积公式S环=π(R²−r²)，能根据直径、环宽、周长条件灵活换算外圆半径 R、内圆半径 r； 3.能规范计算标准圆环面积；能通过旋转、平移抵消多余圆弧，将半圆拼接、方圆组合等不规则图形转化为长方形、整半圆等基础图形计算面积；解题统一长度单位，步骤完整、区分平方运算易错点； 4.能结合玉璧、轮胎、环形小路等生活、文物实例，解释圆环与组合图形面积的实际应用场景。 素养能力 在复习、动手制环、图形变换、分层练习全过程巩固量感、几何直观与逻辑推理能力；拓展 “相减转化、平移旋转转化” 两类几何解题经验，区分单一圆形、圆环、不规则组合图形的推导与计算差异；结合传统文物例题感受数学与传统文化融合，提升几何探究兴趣；建立 “建模 + 图形变换” 解决复杂平面区域测算问题的应用意识。 三、教学重点、难点： 重点：1.理解圆环概念，掌握圆环面积两种计算思路，熟记公式S环=πR²−πr²=π(R²−r²)，能根据直径、环宽条件求出内外半径再代入计算； 2.掌握平移、旋转的图形转化策略，能将半圆拼接、方圆组合等不规则涂色图形转化为长方形、大半圆等简单规则图形计算面积； 3.区分单一圆、圆环、变换类组合图形的解题逻辑，灵活处理已知直径、环宽、周长三类条件，规范解决生活、文物类实际问题。 难点：1.深度理解图形变换中等面积原理：旋转、平移只改变图形位置，不改变面积，理解 “挖去与添加小半圆面积抵消” 的推理过程； 2.区分R²−r²与(R−r)²运算误区，熟练运用乘法分配律简化圆环计算，实现具象图形操作到抽象面积模型的思维跨越； 3.综合拓展题型：结合环宽、同心圆分割、长方形与圆弧拼接等复合型图形，自主选择转化方法分步求解。 教学流程 一、复习导入 【设计意图】承接旧知，激活圆面积推导、公式、半径转化方法，搭建 “单一圆面积→圆环面积” 认知支架，通过实物对比制造认知冲突，延续转化思想，明确本节课学习目标。 1.旧知回顾，唤醒圆面积探究经验 教师活动：课件出示上节课圆等分剪拼转化长方形图片，提问：“上节课我们怎样推导圆的面积？圆面积公式是什么？已知直径、周长怎么求圆面积？” 给学生 30 秒同桌互说，再举手汇报。 学生活动：同桌交流，举手汇报预设：把圆等分拼成近似长方形，推导S=πr²；已知直径r=d÷2，已知周长r=C÷π÷2。 教师小结：我们掌握了单一圆形面积的推导与计算，核心方法是转化，把曲线图形变成长方形。 2.实物对比设疑，引出新课 教师活动：课件出示圆形桌面（单一圆）、故宫青玉璧、自行车轮胎、光盘图片，追问：“青玉璧、轮胎横截面不是完整的圆，中间有空白小圆，这类图形所占平面大小怎么求？能不能继续用转化思想解决？” 学生活动：观察对比，讨论发现图形是大圆挖去同心小圆形成。 教师过渡：今天我们延续转化思路，先研究同心圆组成的圆环面积，再学习用平移、旋转转化复杂圆形组合图形，板书课题：圆的面积（2）—— 圆环与组合图形面积。 二、探究新知 学习任务一：认识圆环，推导圆环面积计算公式 【设计意图】依托传统文物青玉璧具象载体感知圆环结构，通过自制圆环实操理解 “外圆减内圆” 的面积本质，对比两种算法渗透乘法分配律、整体运算思想，落地量感、推理意识、运算能力，突破圆环公式推导重难点。 活动 1：实物感知，定义圆环，区分内外圆、环宽 教师活动：出示 “青玉御题蚕纹璧” 文物图片，分发圆形纸片、圆规、剪刀，布置操作任务：以同圆心画大小两个圆，剪下中间小圆，观察剩余图形。提问：“这个图形由什么组成？哪部分是圆环？外圆、内圆、环宽分别指什么？” 板书圆环概念：两个半径不等的同心圆之间的区域叫作圆环。 给出玉璧数据：外圆直径 26.3cm，内圆直径 5.4cm，追问：计算圆环面积，第一步要先求什么？ 学生活动：动手画同心圆、剪制圆环，指着自制学具区分外圆、内圆、环宽；独立换算半径： 外圆半径R=26.3÷2=13.15cm，内圆半径r=5.4÷2=2.7cm。 活动 2：对比两种算法，归纳圆环通用公式 教师活动：呈现小丽分步计算、小明简便计算两种解题思路，板书两组算式，提问：“两种算法结果相同吗？小明的算式用到了什么运算定律？哪种计算更简便？” 引导学生对比平方运算，辨析易错点：不能写成π(R−r)²。 学生活动：分组计算两组算式，对比结果；小组讨论得出小明利用乘法分配律提取 π，简化计算步骤。 师生归纳板书： 圆环面积 = 外圆面积 − 内圆面积 S环=πR²−πr²=π(R²−r²)， （R = 外圆半径，r = 内圆半径；环宽 = R−r，已知环宽时R=r+环宽 活动 3：文物例题完整实操计算 教师活动：结合青玉璧数据示范完整解题步骤，强调平方计算、小数保留要求，提示单位统一。 学生活动：跟随教师分步列式，小组互查半径换算、平方运算是否出错，规范书写格式。 学习任务二：平移、旋转转化，求解圆类组合图形面积 【设计意图：】延续上节课 “化繁为简” 转化思想，通过学具旋转、平移动态演示，让学生直观感知图形变换面积不变，自主抵消多余圆弧，将不规则图形转化为长方形、大半圆等基础图形，落地几何直观、空间观念，突破本课难点。 活动 1：旋转抵消，化简半圆拼接图形 教师活动：出示例题 3 左侧图形：大半圆（直径 10cm）内部挖去小半圆（直径 5cm），下方拼接相同小半圆。提问：“挖去和拼接的小半圆直径相等，面积有什么关系？通过旋转小半圆，图形可以简化成什么？” 学生活动：拿出半圆学具旋转操作，发现一挖一加面积相互抵消，图形等价于完整大半圆；列式计算面积3.14×5²÷2。 活动 2：平移拼接，转化半圆为长方形 教师活动：出示例题 3 右侧涂色图形：长方形上方附带一个半圆，提问：“将上方半圆向下平移，涂色部分会拼成什么规则图形？长、宽分别是多少？” 学生活动：动手平移半圆学具，观察发现涂色部分转化为长方形，长\(3×2=6cm)，宽 3cm，面积直接用长方形公式计算。 活动 3：迁移应用，长方形与四分之一圆组合图形 教师活动：出示 “做一做” 组合图形：长方形左右各有一个半径 2cm 的四分之一圆，一空白一涂色。提问：“两个四分之一圆半径相等，如何平移简化涂色区域？” 学生活动：平移右侧蓝色四分之一圆填补左侧空白区域，涂色部分转化为标准长方形，直接计算长方形面积。 活动 4：拓展延伸 —— 同心圆十字分割环形 教师活动：出示被十字线均分的圆环，提问：涂色部分占圆环整体的几分之几？ 学生小结：四块均等涂色区域拼接后等于个完整圆环，面积S=π(R²−r²)。 三、课堂练习 【设计意图】习题分层递进，遵循 “圆环基础计算→已知环宽 / 直径变式→旋转平移转化图形→综合生活应用题” 梯度，对标上节课练习分层逻辑，当堂检测圆环公式掌握、图形转化策略、条件灵活转化能力，即时纠错查漏补缺。 1.求下面各图形中涂色部分的面积。(单位：cm) 2.一个圆形环岛的直径是50m，中间是一个直径为10m的圆形花坛，其他地方是草坪。草坪的占地面积是多少？ 3.下面两个图中，大圆的半径均等于小圆的直径，你能分别求出涂色部分的面积吗？你发现了什么？ 4.土楼是福建、广东等地的一种民居建筑，外围形状有圆形、方形、椭圆形等。有两座底面是圆环形的土楼，其中一座的地面圆环外直径34 m，内直径14 m；另一座外直径26 m，内直径也是14 m。两座土楼的房屋占地面积相差多少？ 四、课堂总结 【设计意图】对标上节课总结框架，引导学生从探究方法、数学思想、核心公式、图形解题策略、新旧知识关联五大板块自主梳理，完善 “单一圆 — 圆环 — 组合曲线图形” 几何知识框架。 教师引导谈话：本节课我们在圆面积基础上学习圆环与组合图形面积，谁能从 “圆环探究方法、图形转化策略、核心公式、易错点、数学思想” 五个方面梳理收获？ 学生自由发言梳理，教师同步升华总结： 概念区分：单一圆是完整曲线区域；圆环是同心圆相减的环形区域；组合图形是圆弧、长方形拼接而成的不规则区域； 核心探究方法：圆环用 “整体减空白”；不规则图形用平移、旋转抵消多余部分，转化为基础规则图形； 数学思想：延续上节课转化思想，新增图形变换、整体简便运算思想； 公式梳理：单一圆S=πr²；圆环S环=π(R²−r²)； 解题关键：已知直径 ÷2 得半径；已知环宽R=r+环宽；图形变换只移位、面积不变； 易错提醒：区分(R²−r²)与((R−r)²)，平方是半径 × 半径，不是半径 ×2。 五、板书设计 圆的面积（2）—— 圆环与组合图形面积 一、圆环定义 两个半径不等的同心圆之间的区域 外圆半径 R 内圆半径 r 环宽 = R−r 二、圆环面积公式 思路 1：外圆面积−内圆面积 S环=πR²−πr² 思路 2：乘法分配律简便计算 S环=π(R²−r²) 已知环宽：R=r+环宽，S=π[(r+环宽)²−r²] 易错提醒：R²−r²≠(R−r)² 三、图形转化策略（化繁为简，面积不变） 旋转抵消：挖去、添加相等半圆→化简为大半圆 平移拼接：圆弧平移填补空白→转化长方形 等分拼接：十字分割圆环→圆环 四、典型例题（青玉璧） R=26.3÷2=13.15cm r=5.4÷2=2.7cm S=3.14×(13.15²−2.7²) 五、新旧知识关联 上节课：单一圆→等分剪拼转化长方形（化曲为直、极限） 本节课：圆环 / 组合图形→相减、平移旋转转化（整体、变换思想） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $