专题20 尺规作图（3年汇编）（全国通用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦尺规作图七大核心考点，汇编2024-2026年多地区中考真题，注重作图原理理解与痕迹识别，融合几何综合情境与文化素材。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|2-4分|作线段、作角、角平分线、垂线|结合全等三角形、勾股定理，侧重痕迹识别（如2026四川成都卷角平分线性质计算）| |解答题|4-6分|格点作图、综合作图|融入连弧纹镜文化情境（2025江苏徐州卷），结合菱形、圆等几何构造（2026广东深圳卷作对称点），强调推理与动手能力|

专题20尺规作图 考点分类 三年考情（20242026） 命题规律 考点01尺规作图作线段 2026江苏苏州卷、2025山东青岛卷、2024广东广州卷 多以选择题、填空题形式考查，分值24分，部分地区融入解答小问。命题常结合几何综合情境，依托尺规作图痕迹识别作图意图；重点考查线段截取、线段相等的作图原理；整体难度偏低，侧重对作图步骤的理解，痕迹识别类设问占比逐年提升。 考点02尺规做一个角等于已知角 2026陕西西安卷、2025福建厦门卷、2024河南郑州卷 以选择、填空为主，分值23分。命题依托全等三角形原理设置考题，常给出作图痕迹让学生判断相等角；常和三角形、四边形简单综合；整体难度偏低，侧重识别作图逻辑，较少直接要求动手画图。 考点03角平分线中尺规作图问题 2026四川成都卷、2025江西南昌卷、2024河北石家庄卷 选择题、填空题高频考查，分值34分。以角平分线尺规作图痕迹为载体，结合角平分线性质求线段长、求角度；常与勾股定理综合计算；命题侧重看图识工具，不需要默写完整作图步骤，重视原理理解。 考点04尺规作图作角平分线 2026湖南长沙卷、2025云南昆明卷、2024江苏南京卷 选择、填空、解答题均会出现，分值25分。既可直接考查作图操作，也可给出作图痕迹进行角度、线段计算；核心考查角平分线尺规作图原理与角平分线性质；情境化命题居多，侧重原理辨析。 考点05角平分线中尺规作图问题 2026浙江宁波卷、2025广西南宁卷、2024山西太原卷 多为选择、填空，分值34分。结合作图痕迹，融合角平分线性质、全等、距离转化进行求值；常设置几何小综合，题干会给出完整作图流程；侧重从作图痕迹提取已知条件，有一定计算量。 考点06尺规作图作垂线 2026湖北武汉卷、2025贵州贵阳卷、2024黑龙江哈尔滨卷 选择填空为主，部分试卷放在解答，分值35分。分为过直线上、直线外一点作垂线两类；常结合垂直、直角、勾股定理；经常与三角形、圆综合命题；重点识别作图痕迹，判断垂直关系。 考点07尺规作图格点作图问题 2026广东东莞卷、2025江苏南通卷、2024安徽合肥卷 多出现在解答题，少量选择填空，分值46分。在方格背景下完成线段、垂线、角平分线等作图；结合网格边长、勾股、全等进行几何构造；属于实操类题型，综合性中等，侧重几何推理与动手构图能力。 考点01 尺规作图-作线段 1．（2026·广东深圳·中考真题）如图，是的直径，点是圆上一点，连接并延长至点，使得． (1)求证是的切线； (2)若，，求的长； (3)利用圆规和无刻度直尺在图中作出点关于直线的对称点（保留作图痕迹，不要求写出作法）． 2．（2025·江苏镇江·中考真题）如图（1），过外一点引的两条切线、，切点是、，为锐角，连接并延长与交于点，点在的延长线上，过点作的垂线，与的延长线相交于点、垂足为． (1)求证：是等腰三角形； (2)在图（2）中作，满足（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (3)已知，在你所作的中，若，求的长． 3．（2026·陕西·中考真题）如图，已知，．请用尺规作图法，求作一点，使得四边形为菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 4．（2025·江苏徐州·中考真题）“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案．图1为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续的弧连成一圈．图2为另一件连弧纹镜（残件）的示意图． (1)若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“_______连弧纹镜”； (2)请用无刻度的直尺与圆规，补全图2中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”．（保留作图痕迹，不写作法） 5．（2025·广东广州·中考真题）如图1，，为中点，点在上方，连接，． (1)尺规作图：作点关于点的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明：四边形为平行四边形； (2)如图2，延长至点，使得，当点在直线的上方运动，直线的上方有异于点的动点，连接，，，，若，且． ①求证：； ②的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 6．（2025·河北·中考真题）综合与实践 ［情境］要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图），需找到合适的切割线． ［模型］已知矩形（数据如图所示）．作一条直线，使与所夹的锐角为，且将矩形分成周长相等的两部分． ［操作］嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． ［探究］根据以上描述，解决下列问题． ［拓展］操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题． 如图3，嘉嘉的思路如下： ①连接，交于点； ②过点作，分别交，于点， …… 如图4，淇淇的方法如下： ①在边上截取，连接； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③在边上截取，作直线． (1)图中，矩形的周长为______； (2)在图的基础上，用尺规作图作出直线（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）； (3)根据淇淇的作图过程，请说明图中的直线符合要求． (4)如图，若直线将矩形分成周长相等的两部分，分别交边，于点，，过点作于点，连接． 当时，求的值； 当最大时，直接写出的长． 7．（2025·山西·中考真题）阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 双关联线段 【概念理解】 如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段． 例如，下列各图中的线段与所在直线形成的夹角中有一个角是，若，则下列各图中的线段都是相应线段的双关联线段．   【问题解决】 问题1：如图，在矩形中，，若对角线与互为双关联线段，则________．   问题2：如图，在等边中，点D，E分别在边的延长线上，且，连接．   求证：线段是线段的双关联线段． 证明：延长交于点F． 是等边三角形， ． ， （依据）． ， ， ； …    任务： (1)问题1中的________，问题2中的依据是________________； (2)补全问题2的证明过程； (3)如图，点C在线段上，请在图3中作线段的双关联线段． （要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）． 8．（2024·江苏常州·中考真题）对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”． (1)如图，是线段的四等分点．若，则在图中，线段的“平移关联图形”是________，________（写出符合条件的一种情况即可）； (2)如图，等边三角形的边长是．用直尺和圆规作出的一个“平移关联图形”，且满足（保留作图痕迹，不要求写作法）； (3)如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是、、，以点为圆心，为半径画圆．若对上的任意点，连接所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，直接写出的取值范围． 9．（2024·浙江·中考真题）尺规作图问题： 如图1，点E是边上一点（不包含A，D），连接．用尺规作，F是边上一点． 小明：如图2．以C为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小丽：以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小明：小丽，你的作法有问题，小丽：哦……我明白了！ (1)证明； (2)指出小丽作法中存在的问题． 考点02 尺规做一个角等于已知角 1．（2026·黑龙江绥化·中考真题）尺规作图：如图，在的内部有一点． (1)【初步探索】如图1，利用无刻度的直尺和圆规作一个等腰三角形，并使等腰三角形的底边经过点，点，点分别在射线，射线上．（温馨提示：本小题作图不写作法，但需保留作图痕迹） (2)【拓展探究】如图2，若，连接，．以为圆心，为半径画圆，交射线，射线于，两点，则劣弧的长度为_________．（本小题无需在答题卡上作图，只需写出用含的代数式表示的结果） 2．（2026·河南·中考真题）如图，在中，点为边上一点，连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交边于点（保留作图痕迹，不写作法）． (2)判断线段与（1）中得到的线段的数量关系，并给出证明． 3．（2026·山西·中考真题）阅读与思考 阅读下列材料，完成相应任务． 工匠智慧引发的数学思考【工匠智慧】如图1，木工师傅用一根没有弹性的绳子和一把直尺在矩形木板上画特定度数的角． 【数学抽象】 将图1的操作过程抽象成尺规作图，步骤如下：如图2，在矩形木板 中，以点 为圆心，长为半径作弧，交于点；以点 为圆心，长为半径作弧，与交于点；连接，，，即可得到特定度数的角，如和等． 【推广迁移】 受上述作法的启发，可以用尺规作出与已知角有关的特定度数的角．如图3，已知，作图步骤如下：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交， 于点，；②分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧在内部交于点；③连接，可得． 结论“”成立的理由如下： 连接． 由步骤①可知，．… 任务： (1)图2中_____，_____； (2)补全“推广迁移”中的说理过程； (3)如图4，四边形表示一块木板，，．现要将此木板裁割成两部分，裁割线为线段（点在上），使．请用尺规在木板上作出裁割线（要求：在木板上保留作图痕迹，不写作法）． 4．（2026·福建·中考真题）如图，四边形是矩形，，点在的延长线上． (1)求作点 ，使点 在边上，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，，求的长． 5．（2026·山东烟台·中考真题）如图，矩形 中， 是对角线，请解决下列问题： (1)将 绕点旋转后，点的对应点为点 ，点的对应点为点 ，且点在线段上，请用尺规作出旋转后的图形（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若 ， ，与交于点 ，求 的长． 6．（2025·四川雅安·中考真题）如图，中，，现进行如下操作： ①以点C为圆心，任意长为半径画弧交于点E，交于点F； ②以点A为圆心，长为半径画弧交于点H； ③以点H为圆心，长为半径画弧，交前面的弧于点G； ④过点G作射线； ⑤以点A为圆心，长为半径画弧交于点D，连接得四边形． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)连接，，求证：． 7．（2025·山东滨州·中考真题）如图，中，，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点H，以点H为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点G；连接并延长交于点D． (1)求证：； (2)当时，求的长． 8．（2024·河南·中考真题）如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点E．    (1)请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）． (2)证明（1）中得到的四边形是菱形 考点03 角平分线中尺规作图问题 1．（2026·四川巴中·中考真题）如图，在中，，，，以点为圆心任意长为半径画弧分别交、于、两点，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则的面积为（） A． B． C． D． 2．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，在中，，以点为圆心，小于长为半径画弧分别交、于点、，又分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，连接交于点D．已知，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·山东·中考真题）如图，直线，直线分别交，于点，．以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点；作射线交于点．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，中，，点为的中点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，则的长是（   ） A．5 B． C．8 D． 5．（2025·山东济南·中考真题）如图，在中，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点D， ②分别以点C和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点E，交于点F． 根据以上作图，若，，，则线段的长为（　　） A． B． C．5 D． 6．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在射线上，分别截取，使；再分别以点M和点N为圆心、大于线段一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点D，作射线；过点D作交于点E．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·内蒙古·中考真题）如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线交于点G，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 9．（2025·四川遂宁·中考真题）在中，，结合尺规作图痕迹提供的信息，求出线段的长为（    ） A． B． C．6 D． 10．（2024·湖北·中考真题）如图，是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点D，画射线，连接．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 11．（2026·天津·中考真题）如图，在中，，，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点 为圆心，适当长为半径作弧，与射线相交于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点；③作直线，与边 相交于点．则的大小为（     ） A． B． C． D． 考点04 尺规作图-作角平分线线 1．（2026·广东·中考真题）如图，，，连接． (1)尺规作图：在上作点，连接，使得平分．（保留作图痕迹，不写作法．） (2)连接，求证：四边形是菱形． 2．（2026·四川广元·中考真题）如图，在四边形中，，． (1)尺规作图：在边上作一点，使；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：四边形为平行四边形． 3．（2026·重庆·中考真题）综合与实践 在学习了平行四边形后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究． 【动手操作】 如图，在中，．用尺规完成基本作图：作出的平分线，交于点． 【问题提出】 他们猜想，，之间存在以下数量关系：． 【问题解决】 任务： (1)请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； (2)请帮助该学习小组完成以上猜想的证明． 4．（2025·江苏淮安·中考真题）已知：如图，矩形． (1)尺规作图：在边上找一点E，将矩形沿折叠，使点C落在边上；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，若，，求的长． 5．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，为正方形的对角线． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，在上确定点，使得点到的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，求的度数．（请直接写出的度数） 6．（2025·江苏宿迁·中考真题）实验活动：仅用一把圆规作图． 【任务阅读】如图，仅用一把圆规在内部画一点，使点在的平分线上． 小明的作法如下： 如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线于点，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，则点为所求点．理由：如图3，连接，由作图可知，， 又因为， 所以 ． 所以， 所以平分， 即点为所求点； 【实践操作】如图，已知直线及其外一点，只用一把圆规画一点，使点所在直线与直线平行，并给出证明．（保留作图痕迹，不写作法） 7．（2025·宁夏·中考真题）如图，点在直线外． ①在直线上任取一点，连接； ②以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点； ③分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线； ④以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点； ⑤连接． (1)由②得与的数量关系是__________；由③得到的结论是__________． (2)求证：四边形是菱形． 8．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，点D，E在上，． (1)求证：； (2)用直尺和圆规作的平分线（保留作图痕迹，不要求写作法）． 考点05 角平分线中尺规作图问题 1．（2026·四川眉山·中考真题）如图，在 中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，点E，作直线 交于点F，连接，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（2025·青海西宁·中考真题）如图，直线l和直线l外一点A，以点A为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线于点M，N；分别以点M，N为圆心，线段的长为半径画弧，两弧交于点P（点P与点A在直线l的两侧）；作直线交直线l于点O，连接，，，．根据以上作图过程，有以下结论：①是等边三角形；②垂直平分线段；③平分；④四边形是菱形；⑤．其中正确结论的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（2024·甘肃甘南·中考真题）如图，在中，．以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 5．（2025·湖北·中考真题）如图，内接于．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．（2024·海南·中考真题）如图，在中，，以点D为圆心作弧，交于点M、N，分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点F，作直线交于点E，若，则四边形的周长是（    ）    A．22 B．21 C．20 D．18 7．（2026·四川广安·中考真题）如图所示，在中，按以下步骤作图：（1）以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，；（2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部相交于点；（3）作射线交于点；（4）连接，交于点，连接．若，则_____． 8．（2026·四川南充·中考真题）如图，在中，，，．分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点，直线分别交，于点，，则的长为_______． 9．（2024·山东·中考真题）如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，相交于点，．若，，则到的距离为________． 考点06 尺规作图-作垂线 1．（2025·山东青岛·中考真题）已知：如图，是内部一点．求作：等腰，使点，分别在射线，上，且底边经过点． 2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）尺规作图（温馨提示：以下作图均不写作法，但需保留作图痕迹） [初步尝试] 如图（1）用无刻度的直尺和圆规作一条经过圆心的直线，使扇形的面积被直线平分． [拓展探究] 如图（2），若扇形的圆心角为，请你用无刻度的直尺和圆规作一条以点为圆心的弧，交于点，交于点，使扇形的面积与扇形的面积比为． 3．（2025·陕西·中考真题）如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 4．（2025·四川达州·中考真题）开启作角平分线的智慧之窗 问题：作的平分线 作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线，工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上．即得为的平分线； 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑．认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是_______； 对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②_______________； 对丙同学的作法陷入了沉思． 任务： (1)请你将上述讨论得出的依据补充完整； (2)完成对丙同学作法的验证． 已知，求证：平分． 5．（2025·河南·中考真题）如图，四边形是平行四边形，以为直径的圆交于点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若点是的中点，连接．求证：四边形是平行四边形． 6．（2025·山东威海·中考真题）（1）如图①，将平行四边形纸片的四个角向内折叠，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形．判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图②，已知能按照图①的方式对折成一个无缝隙、无重叠的四边形，其中，点M在上，点N在上，点P在上，点Q在上．请用直尺和圆规确定点M的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 7．（2025·新疆·中考真题）如图，在四边形中，，是对角线． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点O，与边分别交于点E，F（要求：不写作法，保留作图痕迹，并将作图痕迹用黑色签字笔描黑）； (2)在（1）的条件下，连接，求证：四边形为菱形． 8．（2025·福建·中考真题）如图，矩形中，． (1)求作正方形，使得点E，G分别落在边上，点F，H落在上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求（1）中所作的正方形的边长． 9．（2025·甘肃·中考真题）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高．现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图．如图3，已知月洞门的横跨为，拱高的长度为a．作法如下： ①作线段的垂直平分线，垂足为D； ②在射线上截取； ③连接，作线段的垂直平分线交于点O； ④以点O为圆心，的长为半径作． 则就是所要作的圆弧． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）． 10．（2025·重庆·中考真题）学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：构造角平分线． 小红在的边上任取一点E，并过点E作了的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，过点F作的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：，， ． 在和中， ， ． ③ ． 平分． 考点07 尺规作图-格点作图问题 1．（2026·湖北武汉·中考真题）下图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个画图任务，每个任务的画线不得超过五条．         (1)如图1，先在上画点，使，再画点关于点的对称点； (2)如图2，是边与网格线的交点，先将平移到（是点的对应点），再在上画点，使． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)在方格纸中，画出（点在格点上），满足，且的面积是5； (2)在的边上画出点，使线段的长是3个单位长度（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的值． 3．（2025·宁夏·中考真题）如图，在的方格中，每个小正方形边长均为1个单位长度．的顶点、点和点都在格点上．仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)过点作的垂线段； (2)过点作的平行线． 4．（2024·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形，使其是轴对称图形且点、均在格点上． (1)在图①中，四边形面积为2； (2)在图②中，四边形面积为3； (3)在图③中，四边形面积为4． 5．（2026·江西·中考真题）如图，在 的正方形网格中， 的顶点 ， 均在格点上， ， ， 为 的中位线． (1)请仅用无刻度直尺作 的平分线，交 于点；（保留作图痕迹） (2)若网格中小正方形的边长为1，则（1）中 的长为______________． 1 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题20尺规作图 答案版 考点01尺规作图-作线段 1.(1)证明：，OA=OC .∠ACO=∠OAC ,∠CBD=∠ACO ∴.∠CBD=∠OAC .AB是⊙O的直径， .∠ACB=90° ∴.∠OAC+∠ABC=90 .∠CBD+∠ABC=90° ∴.∠ABD=90°， OB为半径， BD是⊙O的切线： (2)解：过点B作BT⊥OC于点T,则∠OTB=90° D 设OB=OC=r,则OD=r+4 :∠ABD=90°， ..0B+BD2=OD2 六r2+62=r+42 解r克 1/37 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 08=0C=号0D= 2 ,∠OTB=∠OBD=90°，∠BOT=∠DOB ∴.△BOT一△DOB BO OD BD OT OB R 513 226 BT 07=25 6 B7=30 3 25_20 CT=0C-0T=号-2613 BC=BT2+CT2- 30127 2 + 20 109V13 1 13 13 (3)解：连接AP,PC, B D 由作图可得AP=AC, 则 AP=AC' 再由垂径定理的推论可得AB垂直平分CP, 即可得到点P,C关于AB对称. 2.(1) 证明：MA,MB是⊙O的两条切线，切点是A,B, ∴.∠OMA=∠OMB,OB⊥MB, ∴.∠OMB+∠BOM=90°， .PF⊥MF, 2/37 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠OMA+∠P=90°， ∴.∠BOM=∠P, 由对顶角相等得：∠BOM=∠POE, .∠P=∠POE, ∴.OE=PE ∴△EOP是等腰三角形. (2) 如图，△EOP即为所作. EEC⊥MP C F FD⊥MP D B (3)解：如图，过点作 于点，过点作 于点， A ,MA,MB是⊙O的两条切线，切点是A,B, ·∠OMA=∠OMB= 2<AMB, PF⊥MF,OP=OM, ..OF=OP=OM, ∴.∠OMA=∠OFM, ∴.∠POF=∠OMA+∠OFM=2∠OMA=∠AMB, ·sin∠AMB= 3 .sin POF=sin∠AMB=S 3 3/37 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在RtAODF中，sin∠POF=DF-5 OF-31 设OF=OP=OM=3xx>0,则DF=V5x, OD=0F2-DE2=2x' ∴.DP=OP-OD=x, PF=2, 六在Rt△PDF中，Dp2+DF2=PF2,即X2+R5x=2 解得6 或x一60（不行合思恋，舍去 3 DP-Y6 ,OP=V6. ,在等腰△EOP中，OE=PE,EC⊥MP, s.cp-o 又，EC⊥MP,FD⊥MP, .EC‖FD, ∴.△PDF一△PCE, V6 骠品 即 PE_2 2 V6 解得PE=3, .OE=3 3解：分别以点A,C为圆心，AB长为半径作弧，两弧在AC右侧相交，交点即为点D. 如图，点D即为所求， 4.(1)七 (2) 4/37 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 如图所示，即为所求， 图2 5.(1) 解：如图， 夕 DY 图1 .O为AC中点， ..AO=OC. 根据作图可得BO=OD, ∴.四边形ABCD为平行四边形， (2)①证明：，△ABC一△FCE, ∴.∠F=∠BAC,∠ACB=∠FEC, .∠ACE=∠F+∠CEF=∠ECB+∠ACB, ∴.∠BCE=∠F=∠BAC, ,△ABC一△FCE :AS-BC且CF=AC, FC CE .AB=BC AC CE ∴△ABC-△CBE, ②.∠AEC=45°，AC=4, ,E在△AEC的外接圆上运动，设△AEC的外接圆为⊙O' 如图，设EF与⊙O'交于点G,连接AG, 5/37 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 图2 ∴.∠AO'C=2∠AEC=90° :0'A=0'C-2AC=22 2 CG-C0 ∴.∠GAF=∠CEF, .∠CEF=∠ACB ∴.∠GAF=∠BCA 又.∠F=∠BAC ∴.△BAC△GFA 又CF=AC,则AF=2AC, 脂 .BC-AG ∴.当AG为⊙0'的直径时，AG取得最大值为42 ∴BC的最大值为2V2 6.(1)解：.四边形ABCD是矩形， ∴.AB=CD,AD=BC .AB=1,AD=4, .∴.AB=CD=1,AD=BC=4, '.矩形ABCD的周长为2AB+CD=2×1+4=10, 故答案为：10： (2)解：以点E为圆心EO为半径画弧，交BC于点M,延长MO交AD于点N,线段MN即为所求， EF⊥BC, ∴.∠BEF=90°， 6/37 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 EM=EO, ∴.△EOM是等腰直角三角形， ∴.∠OME=45°， .矩形ABCD的对角线交于点O, .∴.AO=C0, .四边形ABCD是矩形， ∴.AD‖BC,AD=BC, ∴.∠AON=∠COM, ∠OAN=∠OCM 在△AON和△COM中， AO=CO ∠AON=∠COM ..△AON≌△COM, ∴.AN=CM, ∴.DN=BM, .'AN+AB+BM=CM+CD+DN. ,∴.直线MN把矩形ABCD分成周长相等的两部分： F N ME (3)证明：，四边形ABCD是矩形， ∴.∠B=90°，ADBC, BG=AB. ∴.∠AGB=45°， .∵AN=MG ∴.四边形AGMN是平行四边形， ∴.MN‖AG, ∴.∠NMG=∠AGB=45°， .直线l是GC的垂直平分线， .∴.GM=CM, .∴.GM=CM=AN, 7/37 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .'BM=BC-CM,DN=AD-AN, ∴.BM=DN, .AN+AB+BM=CM+CD+DN, '.MN把矩形ABCD分成了周长相等的两部分， .直线MN符合要求； (4)①解：如下图所示，过点H作HG⊥BC,连接AC交PQ于点O,过点P作PK⊥BC于点K,过点 O作OT⊥BC, ,'四边形ABCD是矩形，且直线PQ将矩形ABCD分成周长相等的两部分， 则点O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点， ∴.点O是AC的中点， BT-CT-RG-2, .AP=CQ,PD=BQ,AB=DC=PK=1, .∠PQC=45°， ∴.△PQK是等腰直角三角形， ∴.PK=QK=1, PQ=VPK2+QK2=12+12=2 .四边形ABCD是矩形， ∴.AD‖BC, ∴.∠APQ=∠CQP=45°， ∠AOP=∠COQ 在△AOP和△COQ中， ∠APO=∠CQP AP=CQ ∴.△AOP≌△COQ, 2 0-Q0-2.0T-Qr号 .CQ=CT+QT=2+1-5 221 :BQ=BC-CQ=4-2 5_3 .∠BQH=∠PQC=45°， 8/37 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .BH⊥PQ于点H, ∴.∠BHQ=90°， .△BHQ是等腰直角三角形， uc-c0-0-*号-是c=t0c0--是 ∴.tan∠BCH= HG_43 CG1313 4 ②解：如下图所示，连接BD交PQ于点O, .PQ把矩形ABCD分成了周长相等的两部分， .点O为BD和PQ的中点， .BH⊥PQ, ∴.点H在以BO为直径的⊙L上， 当CH与⊙L相切时，∠BCH最大， .AB=1,AD=4, .BD=V12+42=17 B0号D=亚 2 ·LH=BL=OL= 4 过点L作就⊥BC, ∴.∠BTL=90°， .四边形ABCD是矩形， ∴.∠BCD=90, ∴.TL‖CD 则△BLT一△BDC, 9/37 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .BL=LT_BT BD CD BC' 17 4_LT_BT, ·1714 ..sl ,BT=1, ∴.CT=BC-BT=4-1=3, .CL2=TL2+CT2=145 16 .CH是⊙L的切线， ∴.∠CHL=90°， 8=22 7.(1)解：设AC,BD的交点为O,如图： 四边形ABCD是矩形， ∴.OA=OB,∠ABC=90°： ,对角线AC与BD互为双关联线段， .∠AOB=60°， ∴.△AOB是等边三角形， ∴.∠OAB=60°， .∠ACB=90°-∠OAB=30°： D O 故答案为：30°： (3)如图，线段CD即为所求， 10/37 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 作法一： D 作法二： D C B 8.(1)解：B、C、D是线段AE的四等分点.AE=4, ∴.AB=BC=CD=DE=1, ∴，AC=BD=CE=2, ∴线段AC的平移图形是CE,d=2； 故答案为：CE,2: (2)解：如图所示，△EBD即为所求： C B 由作图可知：BE=CE=AB=AC,BC=BD=BE=CE, ∴，四边形ABEC为菱形， ..CE AB BC=BD=CE, ∴.四边形CBDE为菱形， .'BD=DE=BE=AB=2. .△EBD即为所求： (3)解：，点D、E、G的坐标分别是-1,0、1,0、0,4， 11/37 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .OD=0E=1,0G=4, DE=2'DG=EG=12+4=V17 ,对⊙G上的任意点F,连接DE、EF、FD所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足d≥3，且 DE=2<3, .DF≥3或EF≥3， 如图，当DE在⊙G外时，分别以点D,E为圆心，3为半径画弧，两弧交于点E则取点F在y轴上半轴时， 4+G DF=EF=3 FO=DF2-OD2=22 4-3- 345x ∴.GF=0G-OF=4-22, 0<r≤4-22： 同理当DE在⊙G内时，分别以点D,E为圆心，3为半径画弧，两弧交于点E,则取点F在y轴下半轴时， 5 4 G DF=EF=3 FO=DF2-OD2=22 3 3 .GF=0G-OF=4+2V2 ∴.r≥4+2V2, 12/37 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 综上：0<r≤4-22或r≥4+22. 9.(1) 证明：，口ABCD, .AD‖BC, 又根据作图可知：AE=CF, ∴.四边形AECF是平行四边形， .AF‖EC (2)原因：以点A为圆心，CE长为半径作弧，与BC可能有两个交点， 故无法确定F的位置， 故小丽的作法存在问题。 考点02尺规做一个角等于已知角 (1)解：(1)解：画图略， 理由：由作图知：OC=OD,∠ECF=∠GFH, ∴.∠OCD=∠ODC,CD‖MN, ∴.∠OCD=∠OMN,∠ODC=∠ONM, ∴.∠OMN=∠ONM, ∴.OM=ON, .△OMN即为所求； B (2)解：由作图知：OC=OD=OP=3, ·劣弧CD的长度为58nx3_29 . 18030 13/37 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.(1如图所示即为所求： (②BE=DF' 证明如下： 口ABCD ∴.AB=CD,∠B=∠D 由(1)得∠BAE=∠DCF, :.△ABE≌△CDF(ASA), ∴.BE=DF 3.(1)解：以点A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点E, ∴.AB=AE=AF .∠BAD=90°， ∴△ABE为等腰直角三角形， .∠ABE=45°： :以点B为圆心，AB长为半径作弧，与BE交于点F .BA=BF, ∴.AB=AF=BF ∴.△ABF为等边三角形， .∠ABF=60°， ∴.∠EBF=∠ABF-∠ABE=60°-45°=15°； (2)解：连接BC,BD,如图， M D 图3 14/37 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由步骤①可知，AB=AC. ∴.∠ACB=∠ABC」 在△ABC中，∠A=∠MAN=a, ∴.∠ACB+∠ABC=180°-∠A=180°-a. :∠ACB=180°-c=900- 2 2 由步骤②可知，BC=BD=CD. ,△BCD为等边三角形. .∠BCD=60°. :∠ACD=∠ACB+∠BCD=900-g+60=150-C (③)解：如图，线段DE即为所求作的裁割线， M B D 图4 4.(1)解：作∠FBE=∠EBC,∠FBE的边BF与AD的交点即为所求作的点F; :四边形ABCD是矩形， AD‖BC, .∠AFB=∠FBC, ,∠FBC=∠FBE+∠EBC=2∠EBC, ∴.∠AFB=2∠EBC,即点F即为所求. D E B (2)解：，四边形ABCD是矩形，BC=6, .AD‖BC,AD=BC=6. 15/37 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠E=∠EBC, .∠FBE=∠EBC, ∴.∠FBE=∠E, .'BF=EF. .DE=2, ∴.AE=AD+DE=8, 设AF=X,则BF=EF=AE-AF=8-X, 在Rt△ABF中，∠A=90°，AB=4, 由勾股定理得AF2+AB=BF2, .x2+42=8-x2,解得x=3 即AF=3. 5.(1) D (2)解：在矩形ABCD中， ∴.∠ABC=∠D=90°， 由(1)知△AEF≌△ABC, ∴.AE=AB=2,EF=CB=4,∠AEF=∠B=90°， ,∠CAD=∠EAG,∠AEG=∠D ∴.△AEG~△ADC, ..AE-EG AD CD 2EG “42 .EG=1, 16/37 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .FG=4-1=3」 6.(1) 解：四边形ABCD是菱形，理由如下： 由作图得，∠DAC=∠ACB,AD=CB .AD‖CB ∴.四边形ABCD是平行四边形 .AB=BC ∴四边形ABCD是菱形： (2) 证明：，四边形ABCD是菱形 .CD=AB,CD‖AB .∠DCA=∠BAC 由作图得，CF=AH ∴.△DCF≌△BAH SAS .DF=BH」 7.(1) 解：四边形ABCD是菱形，理由如下： 由作图得，∠DAC=∠ACB,AD=CB .AD‖CB ∴四边形ABCD是平行四边形 .AB=BC ∴.四边形ABCD是菱形： (2) 证明：，四边形ABCD是菱形 .CD=AB,CD‖AB ∴.∠DCA=∠BAC 由作图得，CF=AH .△DCF≌△BAH SAS .DF=BH (2)解：，∠BAC=108°，AB=AC, 17/37 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠B=∠C=36° 由(1)得∠DAC=∠B=36°. ∴.∠BAD=∠BAC-∠DAC=72° ∴.∠ADB=180°-∠B-∠BAD=72°， .∠ADB=∠BAD, ∴.BD=AB=AC 由(1)知△ACD一△BCA, 架 ,BD=AC且CD=BC-BD, BC-BD_BD BD BC 六BCBC-BD=BD2· “BD=AB=4设BC=x则x(x-4)=42,即X2-4X-16=0 解得x=2+2V5或x=2-25(舍去). ∴BC的长为2+2V5 8.(1) 如图： E C F M B (2) 证明：：∠ECM=∠A, ..CM AB, .BE‖DC, ∴.四边形CDBF是平行四边形， ,在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线， 18/37 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .CD-BD-AB. ∴.平行四边形CDBF是菱形 品 考点3角平分线中尺规作图问题 1.D 2.D 3.C 4.A5.D6.C7.D8.A9.A10.C11.B 考点04尺规作图作角平分线线 1.(1)如图，点D即为所求： E (2) 证明：：AE‖BC, .∠ADB=∠CBD ,BD平分∠ABC .∠ABD=∠CBD ∴.∠ADB=∠ABD ..AB=AD .AB=BC ..AD=BC :AE‖BC,即AD‖BC .四边形ABCD是平行四边形， 又，AB=BC, ∴.四边形ABCD是菱形. B 2.(1)4 E (2)证明：：∠BAD=1 ∠BCD,∠BCE=∠DCE, 19/37 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠A=∠BCE, .BC‖AD, .∠BCE=∠CED, ∴.∠A=∠CED, AB‖CE, .四边形ABCE为平行四边形. 3.(1)解：作图如下： B (2)证明：由作图知，BE是∠ABC的平分线， .∠ABE=∠CBE, ,四边形ABCD是平行四边形， .AD‖BC,AD=BC, ∴.∠AEB=∠CBE, ∴.∠AEB=∠ABE, .'.AB=AE, .DE=AD-AE .'DE=BC-AB. 4.(1) 如图，BE即为所求： F D (2),四边形ABCD是矩形， ∴.∠A=∠D=90°，AD=BC=5,CD=AB=3, ,由折叠可得BF=BC=5,CE=EF, 20/37 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在Rt△ABF中，由勾股定理，得：AF=/BF2-AB=4 ∴.DF=AD-AF=1, 设CE=EF=X,则：DE=CD-CE=3-X, 在R△EDF中，由勾股定理，得：X=12+3-X, 解得：X=了 ..CE=5 3 5.(1) 如图，直线，点F即为所求。 (2)解：，四边形ABCD是正方形，AC是对角线， ∴.∠BAC=∠CAD=45°，∠BAD=∠BAF+∠EAF=90°， ,AF平分∠BAC, :∠BAF=∠BAC=号×45°=22.50， :直线l⊥AD,即∠AEF=90°， ∴.∠EFA+∠EAF=90°， ∴.∠EFA=∠BAF=22.5 6.[任务阅读]解：理由：如图3，连接EP、FP、OP,由作图可知OE=OF,PE=PF, 又因为OP=OP, 所以△OEP≌△OFP SSS, 21/37 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以∠EOP=∠FOP, 所以OP平分∠AOB, 即点P为所求点， 故答案为：△OEP≌△OFPSSS; [实践操作] 解：如图4，PQ为所求： D 图4 证明：连接AP,BQ,PQ, 由作图可知，PQ=AB,BQ=AP, ∴，四边形ABQP为平行四边形， PQ‖AB, .点Q为所求. 7.(1)解：，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交直线1于点B, ..AP=AB. ,步骤③是作角平分线的尺规作图方法， .射线AQ平分∠BAP 故答案为：AP=AB;射线AQ平分∠BAP. (2) 证明：，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交直线1于点B, ..AP=AB, 射线 AQ平分∠BAP, ∴.∠BAC=∠PAC: 在△ABC和△APC中， AB=AP ∠BAC=∠PAC AC=AC △ABC≌△APC(SAS), 22/37 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..BC=PC, 又，以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AQ于点C, .PA=PC, .AP=AB=BC=PC, ∴.四边形ABCP是菱形 8.(1) 证明：，AB=AC, ∴∠B=∠C, 在△ABD与△ACE中， AB=AC ∠B=∠C BD=CE .△ABD≌△ACESAS: (2) 解：如图，AF即为所求作. 考点05角平分线中尺规作图问题 1.B 2.B 3.B 4B5.C6.A7.228.39.V2 考点06尺规作图-作垂线 1.如图，等腰△COE即为所作： D B 2解：[初步尝试] 作法一： 23/37 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ⑩连接MN,分别以点M和点N为圆心，大于MN的长为半径作现 两弧交于点P,标注出点P ②画直线OP ③直线OP即为所求 如图所示 作法二： ①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OM于点E,交ON于点F, ②分别以E、F为圆心，大于号F的长为半径作弧，两弧交于点卫，标注出点卫 ③画直线OP,直线OP即为所求 如图所示 [拓展探究] ,'扇形OCD的面积与扇形OMN的面积比为1：4，设扇形OCD的半径为r,扇形OMN的半径为R ∴.扇形OCD的面积：扇形OMN的面积=r2:R=1:4 ∴.R=2r ∴.只要画出OM或ON的中点即可 作法一： ①作ON的垂直平分线交ON于点D,标注出点D ②以O为圆心OD长为半径画弧，交OM于点C,标注出点C 24/37 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ③弧CD即为所求.（同理作OM的垂直平分线也可得分） D 作法二： 过M点作出ON的垂线或者过N点作OM的垂线，取垂线段的长度为半径，以O为圆心画弧即可.（依据： 含30°的直角三角形是斜边的一半) 3解：理由如下： 由作图可知：OE是∠AOB的平分线， ∠A0p=3∠A0B=3×50=25, .∠ACF=∠AOB, .CP‖OB, ∴点P即为所求 如图，点P即为所求： 25/37 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 4.(1)解：对甲同学和工人师傅的作法依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是SSS 对于乙同学作法，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，AAS,ASA或HL,②全等三角形的对 应角相等 证明如下：根据作图可得AO=BO, ∠BPO=90°， ∴.∠AP0=180°-90°=90°， .∠BPO=∠APO 在Rt△AOP与Rt△BOP中， OP=OP AO=BO .Rt△AOP≌Rt△BOP|HL, ∴.∠AOP=∠BOP, ∴.OP平分∠AOB: 故答案为：SSS;全等三角形的对应角相等. (2) 证明：，∠AED=∠AOB, .ED‖OB, ∴.∠EPO=∠BOP, .EP=EO. .∠EPO=∠EOP, ∴.∠BOP=∠EOP, ∴.OP平分∠AOB 5.（1)解：，BC是直径 ∴，运用尺规作直径BC的垂直平分线交BC于点O, ∴.点O即为所求点的位置： 26137 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)证明：如图所示， ,四边形ABCD是平行四边形， .AD‖BC,AD=BC, ,点O,E分别是BC,AD的中点， ÷AE llOC,AE=号AD,OC=号BC,即AE=OC. 2 .∴四边形AOCE是平行四边形. 6.(1)四边形EFGH是矩形， 理由如下：由折叠的性质可知，∠AFE=∠EFK,∠BFG=∠KFG, .∠AFB=180°， ∴.2∠EFK+2∠KFG=180, .∠EFK+∠KFG=90°，即∠EFG=90°， 同理可得：∠FGH=∠EHG=90°， ∴.四边形EFGH是矩形； (2)由(1)可知：AF=FK=BF,DH=HJ=CH,∠FEH=90°， 故F,H分别为AB,CD的中点，点E在以FH为直径的圆上， 同理：点N,Q分别为AB,CD的中点，点M在以NQ为直径的圆上， 如图，M1,M2即为所求. 27/37 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AM米M 7.(1) 如图所示，即为所求： M AE D 1 O B (2) 证明：如图所示， M E A O EF BD B F C ”垂直平分 ∴.BE=DE,∠BOE=∠BOF=90°，OB=OD, .∠EBD=∠EDB, :AD‖BC, .∠EDB=∠CBD. ∴.∠EBO=∠FBO, 又OB=OB ∴.△EBO≌△FBO ASA, ∴OE=OF, ∴.四边形BEDF是平行四边形， 又，BE=DE, ∴.四边形BEDF是菱形. 8.(1)解：由作图可知，OB=OD,EG⊥HF, 28/37 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,矩形ABCD, AD‖BC, ∴.∠ADB=∠CBD,∠DEO=∠BGO, ∴.△DOE≌△BOG, ∴.OE=OG 由作图可知，OE=OG=OF=OH, ∴四边形EHGF为矩形， ,EG⊥HF, ∴.四边形EHGF为正方形； (2)由(1)知：OB=OD,OE=OG, E ABCD 四边形 是矩形， .∠A=90°， 在Rt△ABD中，AB=2,AD=4, ∴BD=VAB2+AD=25 0D-号D=5, .EG⊥FH, .∠DOE=∠DAB=90° 又'∠ODE=∠ADB, .∴.△EOD-△BAD, .OE OD AB AD OE_V5 即 24 29/37 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ·0E=S 在Rt△EOH中，OE=OH, ∴.EH=V2OE= 10 2 正方形ERGH的边长为T0 2 9由题意，作图如下，ACB即为所求： M D 10.第一步： 作图如下： P B AI: 第二步：①PO=PO;②OE=OF;③∠EOP=∠FOP 考点07尺规作图格点作图问题 1.(1)解：理由，.BF=BC,∠FBC=90°， ∴，△BCF是等腰直角三角形， .∠BCD=45°，即点D即为所求： 如图：由作图过程以及网格可得：AF=FG,GH‖CF, ∴.△AFD一△AGE, 30/37 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 品能号 .AD=DE, ∴.点A、点E关于点D对称，即点E即为所求： (1)解：理由，.'BF=BC,∠FBC=90°， ∴△BCF是等腰直角三角形， .∠BCD=45°，即点D即为所求： 如图：由作图过程以及网格可得：AF=FG,GH‖CF, ∴，△AFD一△AGE, 小0服分 .'AD=DE, 点A、点E关于点D对称，即点E即为所求： (2)解：理由，设每个小正方形边长为1，如图2：由平行线分线段成比例定理和中位线定理可知：点B 向右平移2.5，再向上平移1得到点P, ∴.同理由平行线分线段成比例定理和中位线定理可知将点A向右平移2.5，再向上平移1得到点F,连接 PF即为所求； .AB PF, 如图2：过D作DI垂直于格线，则四边形DIOL是矩形， .DI=LO=1=BQ,DI AQ,OI=DL, G iQ. B CR M 图2 由格点图知，L为AQ中点， 则由平行线分线段成比例定理可知D为AB中点， DL-号0克01-0L=2 同理J为NK中点，E为NM中点， 31/37 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E=号M2 :E=01+0J+BE=号+3+号=4=AQ, 又，DI=BQ,∠AQB=∠DIE=90°， ∴.△ABQ≌△EDI SAS, ∴.∠DEI=∠BAQ, .DI‖AQ .∠BDI=∠BAQ, .∠BDI=∠DEI, .∠DEI+∠EDI=90, ∴.∠BDI+∠EDI=90°，即∠BDE=90°， ..DE⊥AB, AD=BD, ∴.DE是AB的垂直平分线，且交AC于H, .'AH=BH ∴.∠BAH=∠ABH, :AB‖PF, ∴.∠BAH=∠APF,∠ABH=∠BGP, ∴.∠APF=∠BGP,即点G即为所求. 如图：点D、点E即为所求. B H 图1 (2)解：理由，设每个小正方形边长为1，如图2：由平行线分线段成比例定理和中位线定理可知：点B 向右平移2.5，再向上平移1得到点P, .同理由平行线分线段成比例定理和中位线定理可知将点A向右平移2.5，再向上平移1得到点F,连接 32/37 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 PF即为所求： AB‖PF, 如图2：过D作DI垂直于格线，则四边形DIOL是矩形， ∴.DI=LO=1=BQ,DI‖AQ,OI=DL, 图2 由格点图知，L为AQ中点， 则由平行线分线段成比例定理可知D为AB中点， ∴DL=BQ=20I=DL=2 同理J为NK中点，E为NM中点， E=KM=克 :1E=01+0J+E=号+3+号=4=AQ, 又.DI=BQ,∠AQB=∠DIE=90°， ∴.△ABQ≌△EDI SAS, .∠DEI=∠BAQ, :DI‖AQ .∠BDI=∠BAQ, .∠BDI=∠DEI, .:∠DEI+∠EDI=90°， .∠BDI+∠EDI=90°，即∠BDE=90°， .DE⊥AB, .AD=BD, ∴.DE是AB的垂直平分线，且交AC于H, ∴.AH=BH, 33/37 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠BAH=∠ABH, AB‖PF, ∴.∠BAH=∠APF,∠ABH=∠BGP, ∴.∠APF=∠BGP,即点G即为所求. 2.(1) 解：△ACD如图所示： E B (2) 解：点E如图所示： B D 作EF⊥AD,则EF‖BN, :.△AEF~△ABN, 思然怨 EFAF_5-3 即 345 A=8 ..EF=6 FN=4-AF=12 ·FD=FN+ND= 5, 34/37 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 EF 5 6 .tan∠EDA= FD1717 5 3.(1)如图，连接CD,CD即为所求作的垂线段， B M 如图△CDN≌△CBM SAS,则∠BCM=∠CDN,因∠CDN+∠DCN=90°， ∴.∠BCM+∠DCN=90, .∠BCD=180°-∠BCM+∠DCN=90°，即CD⊥BC. (2)如图，EF即为所求作的平行线， 如图，△BCP≌△FEQ SAS,则∠FEQ=∠BCP,又∠QEC=∠ECP ∴.∠CEF=∠BCE, .EF‖BC. 4.(1)如图①：四边形ABCD即为所求： B D 图① (不唯一). 35137 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)如图②：四边形ABCD即为所求： D B 图② (不唯一). (3)如图③：四边形ABCD即为所求； D B C 图③ (不唯一). 5.(1)解：取MN与网格交点P,连接BP并延长交AC于点Q,BQ即为所求： 由网格可知，BC=8, .∠A=90°，∠C=30°， AAB=c=4· ,MN为△ABC的中位线， .BM=2,MN=BC=4,MN BG .BM=MP, ∴.∠MBP=∠MPB, .MN‖BC, .∠PBC=∠MPB, .∠PBC=∠MBP, 则BQ即为所求； 如图，BQ即为所求： 36/37 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0 M (2)解：取格点H,由网格可知， PH⊥BC,BH=3, ∠A=90°，∠C=30°， .∠ABC=60° ·∠PBH= 2∠ABC=300 BP= BH 3 =2V3 C0s30°-1 3 2 P H 37/37 专题20尺规作图 考点分类 三年考情（20242026） 命题规律 考点01尺规作图作线段 2026江苏苏州卷、2025山东青岛卷、2024广东广州卷 多以选择题、填空题形式考查，分值24分，部分地区融入解答小问。命题常结合几何综合情境，依托尺规作图痕迹识别作图意图；重点考查线段截取、线段相等的作图原理；整体难度偏低，侧重对作图步骤的理解，痕迹识别类设问占比逐年提升。 考点02尺规做一个角等于已知角 2026陕西西安卷、2025福建厦门卷、2024河南郑州卷 以选择、填空为主，分值23分。命题依托全等三角形原理设置考题，常给出作图痕迹让学生判断相等角；常和三角形、四边形简单综合；整体难度偏低，侧重识别作图逻辑，较少直接要求动手画图。 考点03角平分线中尺规作图问题 2026四川成都卷、2025江西南昌卷、2024河北石家庄卷 选择题、填空题高频考查，分值34分。以角平分线尺规作图痕迹为载体，结合角平分线性质求线段长、求角度；常与勾股定理综合计算；命题侧重看图识工具，不需要默写完整作图步骤，重视原理理解。 考点04尺规作图作角平分线 2026湖南长沙卷、2025云南昆明卷、2024江苏南京卷 选择、填空、解答题均会出现，分值25分。既可直接考查作图操作，也可给出作图痕迹进行角度、线段计算；核心考查角平分线尺规作图原理与角平分线性质；情境化命题居多，侧重原理辨析。 考点05角平分线中尺规作图问题 2026浙江宁波卷、2025广西南宁卷、2024山西太原卷 多为选择、填空，分值34分。结合作图痕迹，融合角平分线性质、全等、距离转化进行求值；常设置几何小综合，题干会给出完整作图流程；侧重从作图痕迹提取已知条件，有一定计算量。 考点06尺规作图作垂线 2026湖北武汉卷、2025贵州贵阳卷、2024黑龙江哈尔滨卷 选择填空为主，部分试卷放在解答，分值35分。分为过直线上、直线外一点作垂线两类；常结合垂直、直角、勾股定理；经常与三角形、圆综合命题；重点识别作图痕迹，判断垂直关系。 考点07尺规作图格点作图问题 2026广东东莞卷、2025江苏南通卷、2024安徽合肥卷 多出现在解答题，少量选择填空，分值46分。在方格背景下完成线段、垂线、角平分线等作图；结合网格边长、勾股、全等进行几何构造；属于实操类题型，综合性中等，侧重几何推理与动手构图能力。 考点01 尺规作图-作线段 1．（2026·广东深圳·中考真题）如图，是的直径，点是圆上一点，连接并延长至点，使得． (1)求证是的切线； (2)若，，求的长； (3)利用圆规和无刻度直尺在图中作出点关于直线的对称点（保留作图痕迹，不要求写出作法）． 【答案】(1) 证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∵是的直径， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵为半径， ∴是的切线； (2) (3)如图，点即为所求 【分析】（1）由结合已知条件得到，然后根据圆周角定理得到，再由直角三角形锐角互余以及等量代换证明即可； （2）设，则，先对运用勾股定理求解半径，然后利用，以及对运用勾股定理求解即可． （3）以点为圆心，为半径画弧与交点即为点． 【详解】（1）略 （2）解：过点作于点，则 设，则 ∵， ∴ ∴ 解得， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴． （3）解：连接， 由作图可得， 则， 再由垂径定理的推论可得垂直平分， 即可得到点关于对称． 2．（2025·江苏镇江·中考真题）如图（1），过外一点引的两条切线、，切点是、，为锐角，连接并延长与交于点，点在的延长线上，过点作的垂线，与的延长线相交于点、垂足为． (1)求证：是等腰三角形； (2)在图（2）中作，满足（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (3)已知，在你所作的中，若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵是的两条切线，切点是， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． (2) 如图，即为所作． (3) 【分析】（1）先根据切线长定理、切线的性质定理可得，，再证出，根据等腰三角形的判定可得，由此即可得证； （2）先在的延长线上作，再过点作的垂线，与的延长线相交于点、垂足为，由直角三角形的斜边中线的性质即可得； （3）过点作于点，过点作于点，先解直角三角形可得，再设，则，，，在中，利用勾股定理可得，则可得，，然后证出，根据相似三角形的性质可得的长，最后根据即可得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵是的两条切线，切点是， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴，， ∵在等腰中，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了切线长定理、切线的性质定理、作垂线、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握切线长定理和解直角三角形的方法是解题关键． 3．（2026·陕西·中考真题）如图，已知，．请用尺规作图法，求作一点，使得四边形为菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，点即为所求． 【分析】由作图可得，，则四边形是菱形 【详解】解：分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧在右侧相交，交点即为点． 4．（2025·江苏徐州·中考真题）“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案．图1为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续的弧连成一圈．图2为另一件连弧纹镜（残件）的示意图． (1)若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“_______连弧纹镜”； (2)请用无刻度的直尺与圆规，补全图2中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)七 (2) 如图所示，即为所求， 【分析】此题考查确定圆的条件、垂径定理等知识． （1）连接一段等弧两端点构造弦，在圆上依次截取相同长度的弦，即可得到答案； （2）先确定两个同心圆的圆心，补全两个同心圆，再依次找到等弧的圆心，即可补全等弧． 【详解】（1）七 （2）略 5．（2025·广东广州·中考真题）如图1，，为中点，点在上方，连接，． (1)尺规作图：作点关于点的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明：四边形为平行四边形； (2)如图2，延长至点，使得，当点在直线的上方运动，直线的上方有异于点的动点，连接，，，，若，且． ①求证：； ②的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 解：如图， ∵为中点， ∴， 根据作图可得， ∴四边形为平行四边形， (2)①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴且， ∴， ∴， ② 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）连接并延长，在的延长线上截取，连接，进而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证； （2）①根据得出，，根据已知可得； ②根据，，得出在的外接圆上运动，设的外接圆为，设与交于点，连接，证明得出，当为的直径时，取得最大值为，进而即可求解． 【详解】（1）略 （2）①略 ②∵，， ∴在的外接圆上运动，设的外接圆为 如图，设与交于点，连接， ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ 又∵ ∴ 又，则， ∴ ∴ ∴当为的直径时，取得最大值为 ∴的最大值为 6．（2025·河北·中考真题）综合与实践 ［情境］要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图），需找到合适的切割线． ［模型］已知矩形（数据如图所示）．作一条直线，使与所夹的锐角为，且将矩形分成周长相等的两部分． ［操作］嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． ［探究］根据以上描述，解决下列问题． ［拓展］操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题． 如图3，嘉嘉的思路如下： ①连接，交于点； ②过点作，分别交，于点， …… 如图4，淇淇的方法如下： ①在边上截取，连接； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③在边上截取，作直线． (1)图中，矩形的周长为______； (2)在图的基础上，用尺规作图作出直线（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）； (3)根据淇淇的作图过程，请说明图中的直线符合要求． (4)如图，若直线将矩形分成周长相等的两部分，分别交边，于点，，过点作于点，连接． 当时，求的值； 当最大时，直接写出的长． 【答案】(1)； (2) (3)证明：四边形是矩形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 直线是的垂直平分线， ， ， ，， ， ， 把矩形分成了周长相等的两部分， 直线符合要求； (4)；． 【分析】根据矩形的周长公式计算即可； 以点为圆心为半径画弧，交于点，延长交于点，连接，由作图可知是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可证，根据矩形的性质可证，根据全等三角形的性质可证，，从而可证直线把矩形分成了周长相等的两部分，所以线段即为所求； 根据矩形的性质可证四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可证，根据平行四边形的性质和矩形的性质可以证明书，，所以可以证明，所以直线把矩形分成了周长相等的两部分，从而可证直线符合要求； 过点作，连接交于点，过点作于点，过点作，根据矩形的性质可得：，，，根据勾股定理可以求出，利用可证，根据全等三角形的性质可得：，，从而可得：，，根据等腰直角三角形的性质可得：，，根据正切的定义可以求出的正切； 连接交于点，把矩形分成了周长相等的两部分，点为和的中点，利用勾股定理可以求出，，过点作，则，根据相似三角形的性质可以求出，，，在中，利用勾股定理可得：，在中，利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， ，， ，， 矩形的周长为， 故答案为：； （2）解：以点为圆心为半径画弧，交于点，延长交于点，线段即为所求， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 矩形的对角线交于点， ， 四边形是矩形， ，， ， 在和中，， ， ， ， ， 直线把矩形分成周长相等的两部分； （3）略 （4）解：如下图所示，过点作，连接交于点，过点作于点，过点作， 四边形是矩形，且直线将矩形分成周长相等的两部分， 则点是矩形的对角线与的交点， 点是的中点， ， ，，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 四边形是矩形， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， 于点， ， 是等腰直角三角形， ，， ； 解：如下图所示，连接交于点， 把矩形分成了周长相等的两部分， 点为和的中点， ， 点在以为直径的上， 当与相切时，最大， ，， ， ， ， 过点作， ， 四边形是矩形， ， 则， ， ， ，， ， ， 是的切线， ， ． 7．（2025·山西·中考真题）阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 双关联线段 【概念理解】 如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段． 例如，下列各图中的线段与所在直线形成的夹角中有一个角是，若，则下列各图中的线段都是相应线段的双关联线段．   【问题解决】 问题1：如图，在矩形中，，若对角线与互为双关联线段，则________．   问题2：如图，在等边中，点D，E分别在边的延长线上，且，连接．   求证：线段是线段的双关联线段． 证明：延长交于点F． 是等边三角形， ． ， （依据）． ， ， ； …    任务： (1)问题1中的________，问题2中的依据是________________； (2)补全问题2的证明过程； (3)如图，点C在线段上，请在图3中作线段的双关联线段． （要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）． 【答案】(1)，等角的补角相等； (2) 是的外角，   ． 是的外角，            ．          ， ．                即线段与线段所在直线形成的夹角中有一个角是． ， 线段与线段是双关联线段． (3) 如图，线段即为所求． 作法一：    作法二：    【分析】（1）设的交点为O，利用矩形的性质及已知可证明是等边三角形，由等边三角形的性质及矩形性质即可求解．利用等角的补角相等即可完成问题2的依据． （2）利用三角形外角的性质及等边三角形的性质即可，从而问题完成； （3）作一个等边三角形即可完成． 【详解】（1）解：设的交点为O，如图； ∵四边形是矩形， ∴； ∵对角线与互为双关联线段， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴；    故答案为：； 问题2中的依据是：等角的补角相等；                       故答案为：等角的补角相等； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，尺规作图等知识，掌握这些知识是解题的关键． 8．（2024·江苏常州·中考真题）对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”． (1)如图，是线段的四等分点．若，则在图中，线段的“平移关联图形”是________，________（写出符合条件的一种情况即可）； (2)如图，等边三角形的边长是．用直尺和圆规作出的一个“平移关联图形”，且满足（保留作图痕迹，不要求写作法）； (3)如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是、、，以点为圆心，为半径画圆．若对上的任意点，连接所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) 如图所示，即为所求； (3)或． 【分析】（）根据平移的性质，进行求解即可； （）延长，在射线上截取线段，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，即为所求； （）分在圆内和圆外两种情况，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵是线段的四等分点．， ∴， ∴， ∴线段的平移图形是，； 故答案为：，； （2）解：如图所示，即为所求； 由作图可知：， ∴四边形为菱形， ∴， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， ∴即为所求； （3）解：∵点的坐标分别是、、， ∴， ∴，， ∵对上的任意点，连接所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，且， ∴或， 如图，当 DE在外时,分别以点D,E为圆心,3为半径画弧,两弧交于点F,则取点F在y轴上半轴时，   ,, , ∴； 同理当在内时，分别以点D,E为圆心,3为半径画弧,两弧交于点F,则取点F在y轴下半轴时，   ,, ∴， 综上：或． 【点睛】本题考查图形的平移，点到圆上一点的最值，坐标与图形，勾股定理，菱形的判定，尺规作图等知识点，熟练掌握相关知识点，理解新定义，是解题的关键． 9．（2024·浙江·中考真题）尺规作图问题： 如图1，点E是边上一点（不包含A，D），连接．用尺规作，F是边上一点． 小明：如图2．以C为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小丽：以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小明：小丽，你的作法有问题，小丽：哦……我明白了！ (1)证明； (2)指出小丽作法中存在的问题． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 又根据作图可知：， ∴四边形是平行四边形， ∴； (2)以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点，故存在问题 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质， （1）根据小明的作图方法证明即可； （2）以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点，据此作答即可． 【详解】（1）略 （2）原因：以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点， 故无法确定F的位置， 故小丽的作法存在问题． 考点02 尺规做一个角等于已知角 1．（2026·黑龙江绥化·中考真题）尺规作图：如图，在的内部有一点． (1)【初步探索】如图1，利用无刻度的直尺和圆规作一个等腰三角形，并使等腰三角形的底边经过点，点，点分别在射线，射线上．（温馨提示：本小题作图不写作法，但需保留作图痕迹） (2)【拓展探究】如图2，若，连接，．以为圆心，为半径画圆，交射线，射线于，两点，则劣弧的长度为_________．（本小题无需在答题卡上作图，只需写出用含的代数式表示的结果） 【答案】(1)解∶如图，即为所求， (2) 【分析】（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，弧与射线、射线分别交于点C、点D，连接，作射线，以C为圆心，适当长为半径画弧，弧与射线、线段分别交于点E、点F，以P为圆心，为半径画弧，弧与射线相交于G，以G为圆心，为半径画弧，两弧相交于H，作直线，与射线，射线分别相交于点M、点N，则即为所求； （2）直接根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：画图略， 理由：由作图知：，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴即为所求； （2）解：由作图知：， ∴劣弧的长度为． 2．（2026·河南·中考真题）如图，在中，点为边上一点，连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交边于点（保留作图痕迹，不写作法）． (2)判断线段与（1）中得到的线段的数量关系，并给出证明． 【答案】(1)如图所示即为所求： (2)，证明如下： ∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∴． 【分析】（1）根据作一个角等于已知角作图即可； （2）根据平行四边形的性质得出，再由全等三角形的判定和性质即可证明． 【详解】（1）略． （2）略． 3．（2026·山西·中考真题）阅读与思考 阅读下列材料，完成相应任务． 工匠智慧引发的数学思考【工匠智慧】如图1，木工师傅用一根没有弹性的绳子和一把直尺在矩形木板上画特定度数的角． 【数学抽象】 将图1的操作过程抽象成尺规作图，步骤如下：如图2，在矩形木板 中，以点 为圆心，长为半径作弧，交于点；以点 为圆心，长为半径作弧，与交于点；连接，，，即可得到特定度数的角，如和等． 【推广迁移】 受上述作法的启发，可以用尺规作出与已知角有关的特定度数的角．如图3，已知，作图步骤如下：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交， 于点，；②分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧在内部交于点；③连接，可得． 结论“”成立的理由如下： 连接． 由步骤①可知，．… 任务： (1)图2中_____，_____； (2)补全“推广迁移”中的说理过程； (3)如图4，四边形表示一块木板，，．现要将此木板裁割成两部分，裁割线为线段（点在上），使．请用尺规在木板上作出裁割线（要求：在木板上保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)45，15 (2)解：连接，，如图， 由步骤①可知，． ∴． 在中，， ∴． ∴． 由步骤②可知，． ∴为等边三角形． ∴． ∴； (3)解：如图，线段即为所求作的裁割线． 【分析】（1）判断出为等腰直角三角形，由此可得的度数，判断出为等边三角形，由此可得的度数； （2）添加辅助线，连接，，先由等边对等角得到．再得到为等边三角形，由此可得到结论； （3）作图步骤如下：①以点为圆心，长为半径作弧，交于点；②分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧在内部交于点；③连接交于点，由“推广迁移”中的结论可得． 【详解】（1）解：∵以点为圆心，长为半径作弧，交于点， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴； ∵以点为圆心，长为半径作弧，与交于点， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； （2）略 （3）略 4．（2026·福建·中考真题）如图，四边形是矩形，，点在的延长线上． (1)求作点 ，使点 在边上，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，，求的长． 【答案】(1)如图，点即为所求． (2) 【分析】（1）利用尺规作图作，的边与的交点即为所求作的点； （2）由矩形的性质、平行线的性质、等边对等角可得，即可求得的长；设，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：作，的边与的交点即为所求作的点； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，即点即为所求． （2）解：∵四边形是矩形，， ，． ， ， ， ． ， ， 设，则， 在中，，， 由勾股定理得， ，解得， 即． 5．（2026·山东烟台·中考真题）如图，矩形 中， 是对角线，请解决下列问题： (1)将 绕点旋转后，点的对应点为点 ，点的对应点为点 ，且点在线段上，请用尺规作出旋转后的图形（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若 ， ，与交于点 ，求 的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为圆心，为半径画弧，交于，以为圆心为半径画弧，两弧相交于，作射线，以为圆心，长为半径画弧交于，则即为所求；有作图可知，所以，且旋转角为； （2）可证，利用对应边成比例可求，则可求． 【详解】（1）解：略； （2）解：∵在矩形 中， ∴， 由（1）知， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．（2025·四川雅安·中考真题）如图，中，，现进行如下操作： ①以点C为圆心，任意长为半径画弧交于点E，交于点F； ②以点A为圆心，长为半径画弧交于点H； ③以点H为圆心，长为半径画弧，交前面的弧于点G； ④过点G作射线； ⑤以点A为圆心，长为半径画弧交于点D，连接得四边形． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)连接，，求证：． 【答案】(1) 解：四边形是菱形，理由如下： 由作图得，， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形； (2) 证明：∵四边形是菱形 ∴， ∴ 由作图得， ∴ ∴． 【分析】（1）由作图得，，，得到，然后结合即可证明； （2）由菱形的性质得到，，推出，然后证明出，即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 7．（2025·山东滨州·中考真题）如图，中，，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点H，以点H为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点G；连接并延长交于点D． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1) 证明：由作图可知，． 又∵， ∴． (2) 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作一个角等于已知角，是解题的关键： （1）根据作图可知，结合，即可得证； （2）等边对等角求出的度数，根据，推出，根据，得到，进而得到，设，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴． 由（1）得． ∴． ∴， ∴， ∴． 由（1）知， ∴． ∵且， ∴． ∴． ∵，设，则，即． 解得或（舍去）． ∴的长为． 8．（2024·河南·中考真题）如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点E．    (1)请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）． (2)证明（1）中得到的四边形是菱形 【答案】(1) 如图： (2) 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵在中，是斜边上的中线， ∴， ∴平行四边形是菱形． 【分析】本题考查了尺规作图，菱形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是： （1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）先证明四边形是平行四边形，然后利用直角三角形斜边中线的性质得出，最后根据菱形的判定即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 考点03 角平分线中尺规作图问题 1．（2026·四川巴中·中考真题）如图，在中，，，，以点为圆心任意长为半径画弧分别交、于、两点，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则的面积为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、角平分线的性质以及三角形面积公式．首先根据勾股定理求出的长，再根据尺规作图可知是的角平分线，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，结合面积法求出点到的距离（即的长），最后计算的面积． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 由尺规作图可知，是的角平分线，过点作于点， ，即， ， ， ， 即， ， ，解得， ， ． 2．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，在中，，以点为圆心，小于长为半径画弧分别交、于点、，又分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，连接交于点D．已知，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作图痕迹可知是的角平分线，利用角平分线的性质可得点到的距离等于的长，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由作图痕迹可知，是的角平分线， 过点作于点， ，即， ， ． 3．（2026·山东·中考真题）如图，直线，直线分别交，于点，．以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点；作射线交于点．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作图痕迹可知平分，利用平行线的性质求出的度数，进而求出，最后利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：由作图可知，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 在中， 4．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，中，，点为的中点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，则的长是（   ） A．5 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了尺规作图-角平分线，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键．由作图可得平分，由得，再由点为的中点得，进而即可得解． 【详解】解：由作图知，平分， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 故选：A． 5．（2025·山东济南·中考真题）如图，在中，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点D， ②分别以点C和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点E，交于点F． 根据以上作图，若，，，则线段的长为（　　） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图−复杂作图、角平分线的性质和垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质，证明是解答本题的关键．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 根据作法得平分，垂直平分，所以，，从而证明，可得，然后利用相似三角形性质可得，解比例方程即可求解． 【详解】解：连接， 由作法得平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 6．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在射线上，分别截取，使；再分别以点M和点N为圆心、大于线段一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点D，作射线；过点D作交于点E．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，尺柜作图，由平行线的性质可求，由角平分线的定义得，然后再根据平行线的性质可得的度数． 【详解】∵，， ∴， 由作图可知，平分， ∴． ∵， ∴． 故选C． 7．（2025·内蒙古·中考真题）如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的作图，平行线的性质，熟练掌握角平分线的作法和平行线的性质是解题的关键．由作图可知，结合，求出，再利用平行线的性质即可求解， 【详解】解：由作图可知， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 8．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线交于点G，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图和平行线的性质以及等腰三角形的判定等知识； 根据题意可得：平分，即，根据平行线的性质结合等腰三角形的判定可得，进一步即可求解. 【详解】解：根据题意可得：平分，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：A. 9．（2025·四川遂宁·中考真题）在中，，结合尺规作图痕迹提供的信息，求出线段的长为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线和垂线的尺规作图、角平分线的性质、勾股定理以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关图形的性质与判定是关键； 先根据勾股定理求出，设交于点M，作于点N，如图，利用角平分线的性质可得，利用等积法求出，进而可得，证明，再根据相似三角形的性质求解即可. 【详解】解：∵在中，， ∴, 由题意可得：平分，即， 设交于点M，作于点N，如图， 则， 设， ∵， ∴， 即， 解得：，即， 则， 由作图痕迹可知：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：； 故选：A. 10．（2024·湖北·中考真题）如图，是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点D，画射线，连接．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查尺规作图，圆周角定理，熟练掌握角平分线的作图步骤以及圆周角定理是解答本题的关键．由圆周角定理得到，由直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义即可求得答案． 【详解】解：是半圆的直径， ， ， ， 由题意得，为的平分线， ． 故选：． 11．（2026·天津·中考真题）如图，在中，，，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点 为圆心，适当长为半径作弧，与射线相交于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点；③作直线，与边 相交于点．则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等边对等角求得，利用角平分线的定义求得，利用三角形的外角性质求得，由作图知，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 由作图知， ∴， ∴． 考点04 尺规作图-作角平分线线 1．（2026·广东·中考真题）如图，，，连接． (1)尺规作图：在上作点，连接，使得平分．（保留作图痕迹，不写作法．） (2)连接，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)如图，点即为所求； (2) 证明：∵， ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵，即 ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 【分析】（1）根据作角平分线的尺规作图方法作出的平分线与的交点即为点； （2）先根据平行线+角平分线证明，然后进行等量代换结合平行证明四边形是平行四边形，再由有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 2．（2026·四川广元·中考真题）如图，在四边形中，，． (1)尺规作图：在边上作一点，使；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1) (2)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 【分析】（1）作的角平分线即可； （2）根据平行线的判定和性质证明可得结论． 【详解】（1）略； （2）略． 3．（2026·重庆·中考真题）综合与实践 在学习了平行四边形后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究． 【动手操作】 如图，在中，．用尺规完成基本作图：作出的平分线，交于点． 【问题提出】 他们猜想，，之间存在以下数量关系：． 【问题解决】 任务： (1)请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； (2)请帮助该学习小组完成以上猜想的证明． 【答案】(1)解：作图如下： (2)证明：由作图知，是的平分线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）按照尺规作图作角平分线的步骤进行即可； （2）由角平分线的性质及平行四边形的性质、等角对等边得，从而可证明猜想． 【详解】（1）解：略； （2）证明：略． 4．（2025·江苏淮安·中考真题）已知：如图，矩形． (1)尺规作图：在边上找一点E，将矩形沿折叠，使点C落在边上；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，若，，求的长． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 【分析】本题考查矩形与折叠，尺规作图—作角平分线和线段，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）以为圆心，为半径画弧，交于点，作的角平分线，交于点，即为所求； （2）折叠的性质，得到，在中，勾股定理求出的长，进而求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）∵四边形是矩形， ∴， ∵由折叠可得， 在中，由勾股定理，得：， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴． 5．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，为正方形的对角线． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，在上确定点，使得点到的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，求的度数．（请直接写出的度数） 【答案】(1) 如图，直线，点即为所求. (2) 【分析】本题主要考查了尺规作图及角的计算，角平分线的性质定理，正方形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键. （1）由题意先作的垂直平分线，再根据点到的两边距离相等可知点在的角平分线上，据此作图即可. （2）根据正方形的性质和角平分线的定义求得，然后由和，得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， ∵平分， ∴， ∵直线，即， ∴， ∴． 6．（2025·江苏宿迁·中考真题）实验活动：仅用一把圆规作图． 【任务阅读】如图，仅用一把圆规在内部画一点，使点在的平分线上． 小明的作法如下： 如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线于点，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，则点为所求点．理由：如图3，连接，由作图可知，， 又因为， 所以 ． 所以， 所以平分， 即点为所求点； 【实践操作】如图，已知直线及其外一点，只用一把圆规画一点，使点所在直线与直线平行，并给出证明．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】[任务阅读]； [实践操作] 解：如图，为所求： 证明：连接, 由作图可知，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴点为所求． 【分析】本题考查了圆规作图——作角平分线，作一个角等于已知角，掌握知识点的应用是解题的关键． [任务阅读]根据作图可知，作图可知，，又，所以，然后通过全等三角形性质即可求证； [实践操作] 以点P为圆心，的长为半径画弧，再以点B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点Q，即可；然后根据平行四边形的判定和性质即可求证． 【详解】[任务阅读]解：理由：如图，连接，由作图可知，， 又因为， 所以， 所以， 所以平分， 即点为所求点， 故答案为：； [实践操作]略 7．（2025·宁夏·中考真题）如图，点在直线外． ①在直线上任取一点，连接； ②以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点； ③分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线； ④以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点； ⑤连接． (1)由②得与的数量关系是__________；由③得到的结论是__________． (2)求证：四边形是菱形． 【答案】(1)；射线平分 (2) 证明：∵以点A为圆心，长为半径画弧，交直线l于点B， ∴， ∵射线 平分， ∴； 在和中， ， ∴， ∴， 又∵以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【分析】本题考查了尺规作图——基本作图，全等三角形的判定与性质，菱形的判定定理，解题的关键是理解尺规作图中所蕴含的线段等量关系，利用“四边相等的四边形是菱形”进行判定． （1）根据步骤②中“以点A为圆心，长为半径画弧交直线l于点B”，直接得出与的数量关系；步骤③是作角平分线的尺规作图方法，据此得出射线的性质． （2）利用尺规作图得到相等线段和角度，可证，结合菱形的判定定理“四边相等的四边形是菱形”进行证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵以点A为圆心，长为半径画弧，交直线l于点B， ∴， ∵步骤③是作角平分线的尺规作图方法， ∴射线平分． 故答案为：；射线平分． （2）略 8．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，点D，E在上，． (1)求证：； (2)用直尺和圆规作的平分线（保留作图痕迹，不要求写作法）． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴； (2) 解：如图，即为所求作． 【分析】本题考查等边对等角，全等三角形的判定，尺规作图作一个角的平分线，熟练掌握全等三角形的证明方法和尺规作图的方法是解题的关键． （1）先利用得出，再利用证明即可； （2）利用根据角平分线的作图方法作图即可． 【详解】（1）略 （2）略 考点05 角平分线中尺规作图问题 1．（2026·四川眉山·中考真题）如图，在 中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，点E，作直线 交于点F，连接，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据作图过程可知直线 是线段 的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质可得 ，进而得到 ，再根据三角形内角和定理求出的度数，最后利用 求解即可． 【详解】由作图可知，直线 是线段 的垂直平分线， ， ， ， ， 在中，，， ， ． 2．（2025·青海西宁·中考真题）如图，直线l和直线l外一点A，以点A为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线于点M，N；分别以点M，N为圆心，线段的长为半径画弧，两弧交于点P（点P与点A在直线l的两侧）；作直线交直线l于点O，连接，，，．根据以上作图过程，有以下结论：①是等边三角形；②垂直平分线段；③平分；④四边形是菱形；⑤．其中正确结论的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图，垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，等边三角形的判定及性质，特殊角的三角函数值，掌握尺规作图是解题的关键． 由作图可得，，根据垂直平分线的判定即可判断结论②；根据等腰三角形的三线合一即可判断结论③；由作图可得，得到，根据特殊角的三角函数值即可判断结论⑤，由已知条件无法得到是等边三角形，四边形是菱形，即可判断①④错误． 【详解】解：由作图可得，， ∴垂直平分，故②正确． ∵，， ∴平分，故③正确． 由作图可得， ∴， ∴，故⑤正确． ∵，但无法判断， ∴无法得到是等边三角形，故①错误． ∵，，但无法得到， ∴无法证明四边形是菱形，故④错误． 综上所述，正确的结论是②③⑤，共3个． 故选：B 3．（2024·甘肃甘南·中考真题）如图，在中，．以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质、垂线的尺规作图，直角三角形锐角互余，熟练掌握含30度直角三角形的性质是解题的关键．由作图可知，然后根据含30度直角三角形的性质可得，进而问题可求解． 【详解】解：由作图可知：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图作垂线，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，根据作图可知，证明，得到，，进而求出的长，得到垂直平分，得到，进而推出的周长等于的长即可． 【详解】解：由作图可知，，设交于点，则：， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴垂直平分，， ∴， ∴的周长为； 故选B 5．（2025·湖北·中考真题）如图，内接于．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，等边对等角，圆周角定理的应用，由是的垂直平分线，可得，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：由作图可得：是的垂直平分线， ∴，而， ∴， ∴， 故选：C 6．（2024·海南·中考真题）如图，在中，，以点D为圆心作弧，交于点M、N，分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点F，作直线交于点E，若，则四边形的周长是（    ）    A．22 B．21 C．20 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，尺规作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．利用勾股定理求得的长，再证明，作于点，求得，利用，求得，再利用勾股定理求得，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图知， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 作于点，    则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴四边形的周长是， 故选：A． 7．（2026·四川广安·中考真题）如图所示，在中，按以下步骤作图：（1）以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，；（2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部相交于点；（3）作射线交于点；（4）连接，交于点，连接．若，则_____． 【答案】 【分析】由作图可知：垂直平分，，结合勾股定理和线段的和差可得，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由作图可知：垂直平分，， ∵ ∴，， ∴． 8．（2026·四川南充·中考真题）如图，在中，，，．分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点，直线分别交，于点，，则的长为_______． 【答案】 【分析】由勾股定理可得，由尺规作图可得是的垂直平分线，容易证明，则，因此． 【详解】解：在中，， 由题意可知，是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．（2024·山东·中考真题）如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，相交于点，．若，，则到的距离为________． 【答案】 【分析】如图，过作于，证明，，，再证明，再结合勾股定理可得答案. 【详解】解：如图，过作于， 由作图可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴到的距离为； 故答案为： 【点睛】本题考查了作图−复杂作图：基本作图，三角形的内角和定理的应用，勾股定理的应用，等腰三角形的判定，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质，逐步操作． 考点06 尺规作图-作垂线 1．（2025·山东青岛·中考真题）已知：如图，是内部一点．求作：等腰，使点，分别在射线，上，且底边经过点． 【答案】 如图，等腰即为所作： 【分析】本题考查了尺规作——角平分线，过一点作已知直线的垂线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 先作的平分线，再过点作角平分线的垂线，与射线的交点即为点，根据角平分线以及垂线的定义可得，则，故等腰即为所作． 【详解】略 2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）尺规作图（温馨提示：以下作图均不写作法，但需保留作图痕迹） [初步尝试] 如图（1）用无刻度的直尺和圆规作一条经过圆心的直线，使扇形的面积被直线平分． [拓展探究] 如图（2），若扇形的圆心角为，请你用无刻度的直尺和圆规作一条以点为圆心的弧，交于点，交于点，使扇形的面积与扇形的面积比为． 【答案】[初步尝试] 作法一：如图所示 作法二：如图所示 [拓展探究] 作法一： 作法二： 【分析】本题主要考查了扇形的面积，基本作图，熟练掌握扇形的面积公式和尺规作图是解题的关键． [初步尝试] 经过圆心的直线平分扇形的面积，作圆心角的角平分线或作扇形弧对应弦的垂直平分线； [拓展探究]根据扇形面积公式，扇形面积之比等于扇形半径的平方之比，从而得到 扇形的面积与扇形半径之比为，只要画出或的中点即可．方法一：作扇形半径的垂直平分线找到中点，然后以为半径作弧交半径于点．方法二：扇形的圆心角为，根据含的直角三角形是斜边的一半，过点作出的垂线，构造直角三角形，取垂线段的长度为半径，以为圆心画弧即可． 【详解】解：[初步尝试] 作法一： ①连接，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧， 两弧交于点，标注出点 ②画直线 ③直线即为所求 作法二： ①以为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点， ②分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，标注出点. ③画直线，直线即为所求 [拓展探究] 扇形的面积与扇形的面积比为，设扇形的半径为，扇形的半径为 扇形的面积∶扇形的面积 只要画出或的中点即可 作法一： ①作的垂直平分线交于点，标注出点 ②以为圆心长为半径画弧，交于点，标注出点 ③弧即为所求．（同理作的垂直平分线也可得分） 作法二： 过点作出的垂线或者过点作的垂线，取垂线段的长度为半径，以为圆心画弧即可．（依据：含的直角三角形是斜边的一半） 3．（2025·陕西·中考真题）如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，点即为所求； 【分析】本题考查尺规基本作图—作角的平分线，作一角等于已知角，平行线的性质，熟练掌握尺规基本作图是解题的关键．先作的平分线，再在同侧作，使 ，交于P即可． 【详解】解：理由如下： 由作图可知：是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴点即为所求． 4．（2025·四川达州·中考真题）开启作角平分线的智慧之窗 问题：作的平分线 作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线，工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上．即得为的平分线； 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑．认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是_______； 对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②_______________； 对丙同学的作法陷入了沉思． 任务： (1)请你将上述讨论得出的依据补充完整； (2)完成对丙同学作法的验证． 已知，求证：平分． 【答案】(1)；全等三角形的对应角相等 (2) 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，作角平分线，等边对等角，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键； （1）根据作角平分线的方法可得对甲同学和工人师傅的作法其判定全等的方法是，对于乙同学作法，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②全等三角形的对应角相等，选取全等三角形的判定方法证明，即可求解； （2）根据已知得出，进而可得，根据等边对等角可得，等量代换可得，即可得证． 【详解】（1）解：对甲同学和工人师傅的作法依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是 对于乙同学作法，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②全等三角形的对应角相等 证明如下：根据作图可得， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴平分； 故答案为：；全等三角形的对应角相等． （2）略 5．（2025·河南·中考真题）如图，四边形是平行四边形，以为直径的圆交于点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若点是的中点，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)如图所示， (2)证明：如图所示， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点分别是的中点， ∴，，即， ∴四边形是平行四边形． 【分析】本题主要考查圆的基本性质，尺规作垂线，平行四边形的判定和性质，掌握以上知识是关键． （1）运用尺规作直径的垂直平分线即可； （2）根据平行四边形的性质结合题意得到，，即，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求证． 【详解】（1）解：∵是直径， ∴运用尺规作直径的垂直平分线交于点， ∴点即为所求点的位置； （2）略 6．（2025·山东威海·中考真题）（1）如图①，将平行四边形纸片的四个角向内折叠，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形．判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图②，已知能按照图①的方式对折成一个无缝隙、无重叠的四边形，其中，点M在上，点N在上，点P在上，点Q在上．请用直尺和圆规确定点M的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）四边形是矩形， 理由如下：由折叠的性质可知，，， ， ， ，即， 同理可得：， ∴四边形是矩形； （2）如图，即为所求． 【分析】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，翻折变换，圆周角定理，解题的关键是掌握平行四边形的性质． （1）四边形是矩形，根据四个角是直角的四边形是矩形证明即可； （2）分别作的中垂线，得到点，连接，作的中垂线，得到的中点，以为圆心，的长为半径画圆，与的交点即为点； 【详解】解：（1）略 （2）由（1）可知：， 故分别为的中点，点在以为直径的圆上， 同理：点分别为的中点，点在以为直径的圆上， 7．（2025·新疆·中考真题）如图，在四边形中，，是对角线． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点O，与边分别交于点E，F（要求：不写作法，保留作图痕迹，并将作图痕迹用黑色签字笔描黑）； (2)在（1）的条件下，连接，求证：四边形为菱形． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2) 证明：如图所示， ∵垂直平分， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 【分析】本题主要考查了菱形的判定，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）分别以B、D为圆心，以大于长的一半画弧，二者交于M、N，连接分别与与边分别交于点E，F，则点E和点F即为所求； （2）由线段垂直平分线的定义打得到，，，再由等边对等角和平行线的性质可推出，则可证明，得到，据此可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 8．（2025·福建·中考真题）如图，矩形中，． (1)求作正方形，使得点E，G分别落在边上，点F，H落在上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求（1）中所作的正方形的边长． 【答案】(1) 如图，四边形就是所求作的正方形． (2) 【分析】（1）作的中垂线交于点，交于点，以为直径画圆，交于点，即可得到正方形； （2）勾股定理求出的长，进而求出的长，证明，求出的长，再根据正方形的性质，结合勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：由作图可知，，， ∵矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由作图可知，， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形； （2）由（1）知：，， 四边形是矩形， ， 在中，， ， ． ， ． 又， ， ，即， ． 在中，， ， ∴正方形EFGH的边长为． 【点睛】本题考查尺规作图、矩形的性质、线段垂直平分线的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，考查推理能力、运算能力、几何直观与空间观念，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 9．（2025·甘肃·中考真题）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高．现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图．如图3，已知月洞门的横跨为，拱高的长度为a．作法如下： ①作线段的垂直平分线，垂足为D； ②在射线上截取； ③连接，作线段的垂直平分线交于点O； ④以点O为圆心，的长为半径作． 则就是所要作的圆弧． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】 由题意，作图如下，即为所求； 【分析】本题考查尺规作图—复杂作图，熟练掌握尺规作线段，作垂线的方法是解题的关键，根据题干给定的作图步骤，结合尺规作垂线和作线段的方法作图即可． 【详解】略 10．（2025·重庆·中考真题）学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：构造角平分线． 小红在的边上任取一点E，并过点E作了的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，过点F作的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：，， ． 在和中， ， ． ③ ． 平分． 【答案】第一步： 作图如下： AI； 第二步：①；②；③ 【分析】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 第一步：根据题意作出图形即可； 第二步：利用证明，得出即可解答． 【详解】略 考点07 尺规作图-格点作图问题 1．（2026·湖北武汉·中考真题）下图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个画图任务，每个任务的画线不得超过五条．         (1)如图1，先在上画点，使，再画点关于点的对称点； (2)如图2，是边与网格线的交点，先将平移到（是点的对应点），再在上画点，使． 【答案】(1)如图：点D、点E即为所求． (2)如图：、点G即为所求． 【分析】（1）如图1，取格点F使得，，连接与相交于点D；利用等腰直角三角形可知，即点D即为所求；取格点H，使得且，利用相似三角形可知，则点A、点E关于点D对称，即点E即为所求； （2）设每个小正方形边长为1，如图2，先将点A向右平移，再向上平移1得到点F，连接即为所求；先作的垂直平分线交于H，则，即，又，则，，从而，即点G即为所求． 【详解】（1）解：理由， ，， ∴是等腰直角三角形， ∴，即点D即为所求； 如图：由作图过程以及网格可得：，， ∴， ∴， ∴， ∴点A、点E关于点D对称，即点E即为所求； （2）解：理由，设每个小正方形边长为1，如图2：由平行线分线段成比例定理和中位线定理可知：点B向右平移，再向上平移1得到点P， ∴同理由平行线分线段成比例定理和中位线定理可知将点A向右平移，再向上平移1得到点F，连接即为所求； ∴， 如图2：过D作垂直于格线，则四边形是矩形， ，，， 由格点图知，为中点， 则由平行线分线段成比例定理可知为中点， ∴，， 同理为中点，为中点， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ，即， ， ∵， ∴是的垂直平分线，且交于H， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，即点G即为所求． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)在方格纸中，画出（点在格点上），满足，且的面积是5； (2)在的边上画出点，使线段的长是3个单位长度（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的值． 【答案】(1) 解：如图所示： ； (2) 解：点如图所示： 【分析】（1）作，边上的高为，，，则； （2）取格点和，使，，连接交边于点，利用相似三角形的判定和性质求得；作，证明，求得，，，再利用正切函数的定义求解即可． 【详解】【小问1】 略 【小问2】 解：如图所示： 作，则， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了格点作图，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 3．（2025·宁夏·中考真题）如图，在的方格中，每个小正方形边长均为1个单位长度．的顶点、点和点都在格点上．仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)过点作的垂线段； (2)过点作的平行线． 【答案】(1) 连接，即为所求作的垂线段． (2) 如图，即为所求作的平行线． 【分析】本题考查了网格中利用无刻度直尺作平行线和垂线的作图方法，解题的关键是借助格点间的位置关系构造垂直或平行的线段． （1）可证，则，因，，，即． （2）可证，则，又，，即可求解． 【详解】（1）如图，连接，即为所求作的垂线段． 如图，则，因， ∴， ∴，即． （2）如图，即为所求作的平行线． 如图，，则，又， ∴， ∴． 4．（2024·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形，使其是轴对称图形且点、均在格点上． (1)在图①中，四边形面积为2； (2)在图②中，四边形面积为3； (3)在图③中，四边形面积为4． 【答案】(1)如图①：四边形即为所求； （不唯一）． (2)如图②：四边形即为所求； （不唯一）． (3)如图③：四边形即为所求； （不唯一）． 【分析】本题考查网格作图、设计图案、轴对称的性质、平移的性质等知识点，根据轴对称的性质、平移的性质作图是解题的关键． （1）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为2四边形即可． （2）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为3四边形即可． （3）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为4四边形即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 5．（2026·江西·中考真题）如图，在 的正方形网格中， 的顶点 ， 均在格点上， ， ， 为 的中位线． (1)请仅用无刻度直尺作 的平分线，交 于点；（保留作图痕迹） (2)若网格中小正方形的边长为1，则（1）中 的长为______________． 【答案】(1)如图， 即为所求； (2) 【分析】（1）由题意分别求出 的长度，取格点P，由题意可知， ，则有 ，再利用 得到 则可证 ，则可知 即为所求角平分线； （2）取格点H，则有 ， ，由（1）可知 ，利用锐角三角形函数求 的长即可． 【详解】（1）解：取 与网格交点P，连接 并延长交 于点Q， 即为所求； 由网格可知， ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ 为 的中位线， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 则 即为所求； （2）解：取格点H，由网格可知， ， ， ∵ ， ， ∴ ∴ ∴． 1 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $