专题19 圆（3年汇编）（全国通用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 圆专题中考真题汇编，覆盖11个核心考点，精选2024-2026各地中考真题，注重基础计算与综合应用，适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|每题2-4分|垂径定理应用（考点01-02）、圆周角计算（考点03-05）、圆与圆位置关系（考点09）|结合拱桥、月洞门等生活情境，考查建模能力（考点02）；基础概念辨析，难度偏低（考点03、09）| |解答题|4-10分|切线判定（考点06）、阴影面积（考点07）、压轴综合（考点11）|综合切线与相似、三角函数证明（考点06）；割补法求阴影面积，侧重图形变换（考点07）；多问递进式设问，区分度高（考点11）|

专题19圆 考点分类 三年考情（20242026） 命题规律 考点01利用垂径定理进行求解 2026江苏苏州卷、2025广东佛山卷、2024河南郑州卷 多以选择题、填空题形式考查，分值34分，偶尔融入解答题。常结合弦、弦心距、半径构造直角三角形，利用勾股定理计算线段长度；常搭配简单图形情境，侧重计算，难度中等，对几何转化能力有一定要求。 考点02垂径定理的实际应用 2026陕西西安卷、2025江西南昌卷、2024河北石家庄卷 以选择、填空为主，分值34分。多结合拱桥、隧道、圆形零件等现实生活情境，把实际问题转化为圆的弦、半径模型；考查建模能力，题目文字信息较多，读懂题意转化几何图形是解题关键。 考点03利用圆心角的性质求角度 2026天津卷、2025福建厦门卷、2024安徽合肥卷 主要为选择、填空题，分值23分。依托同圆或等圆中圆心角、弧、弦的对应相等关系求角度；经常和圆周角综合出题，难度偏低，侧重基础概念理解。 考点04利用圆周角定理求角度 2026重庆卷、2025湖北武汉卷、2024浙江杭州卷 选择、填空高频考点，也常在解答题小问出现，分值35分。核心考查圆周角与所对弧、圆心角的角度换算；经常结合多角、多弧进行角度推导，是圆板块基础必考，难度中等。 考点05直径所对的圆周角等于90° 2026四川成都卷、2025辽宁沈阳卷、2024山东济南卷 选择、填空、解答题均会出现，分值36分。看到直径优先构造90°圆周角，常和勾股定理、相似三角形综合；是圆题里非常重要的辅助线思路，综合性较强。 考点06切线的判定定理相关证明 2026湖南长沙卷、2025云南昆明卷、2024江苏南京卷 多在解答题第一小问，少量出现在选择填空，分值46分。分“连半径证垂直”、“作垂直证半径”两类证明思路；常和全等、勾股、三角函数综合，属于高频证明题型。 考点07圆中求阴影部分的面积 2026吉林长春卷、2025广西南宁卷、2024山西太原卷 以选择、填空为主，分值34分。核心方法：割补法、和差法，把不规则阴影转化成扇形、三角形面积的加减；常结合旋转、平移，计算量偏大，侧重图形变换思想。 考点08利用圆的内接四边形求解 2026甘肃兰州卷、2025贵州贵阳卷、2024黑龙江哈尔滨卷 选择、填空题居多，分值23分。重点考查圆内接四边形对角互补、外角等于内对角；常和圆周角结合考角度计算，题型简单，容易和其他考点综合。 考点09圆与圆的位置关系 2026宁夏银川卷、2025内蒙古呼和浩特卷、2024海南海口卷 以选择、填空为主，分值23分。依托两圆半径、圆心距大小判断位置关系；部分地区考查较少，难度偏低，侧重概念辨析。 考点10圆中最值问题 2026江苏无锡卷、2025江苏南通卷、2024广东东莞卷 选择填空压轴高频，部分试卷放在解答，分值35分。常见点圆最值、弦长最值；常结合动点，需要转化点到圆心距离求解；综合性强，难度偏高。 考点11圆中解答题压轴 2026浙江宁波卷、2025四川绵阳卷、2024湖北襄阳卷 试卷解答压轴，分值710分。综合切线、圆周角、勾股、相似、三角函数；多问递进式设问，兼顾证明、计算；综合性强，区分度高，对几何推理能力要求高。 考点01利用垂径定理进行求解 1．（2026·四川南充·中考真题）（选择题）如图，为直径，弦于E，，则长为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理及勾股定理，根据垂径定理求出的长，再在中利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：为直径，，， ， 在中，． 2．（2025·四川广元·中考真题）（选择题）如图，是的弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查勾股定理，圆周角定理，垂径定理的应用以及求角的正弦值，关键是根据垂径定理和勾股定理解答． 只要证明，求出即可． 【详解】解：连接，如图， 是的弦，， ， ， ， 和所对的弧都为， ， ， 设， ，， ，， ， ． 故选：B． 3．（2025·湖北武汉·中考真题）（选择题）如图，四边形内接于，．若，则的半径是（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理，掌握垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理是正确解答的关键．根据垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理进行计算即可． 【详解】解：如图，过点O作，垂足为F，交于点E，连接， 则，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 设半径为R， 在中，， 由勾股定理得，，即， 解得． 故选：A． 4．（2025·新疆·中考真题）（选择题）如图，是的直径，是弦，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理． 先根据垂径定理得到，再根据圆周角定理即可得到． 【详解】解：连接． ∵是的直径，是弦，， ∴， ∴， 故选：C． 5．（2025·四川宜宾·中考真题）（选择题）如图，是的弦，半径于点．若，．则的长是（　　） A．3 B．2 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟悉掌握垂径定理是解题的关键． 由垂径定理得到的长，再由勾股定理解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴在中，， 故选：A． 6．（2025·山东滨州·中考真题）（填空题）如图，点A，B，C，D在上，，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，特殊角的三角函数值，根据垂径定理，圆周角定理推出，再根据特殊角的三角函数值即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵， ∴为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 7．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）（填空题）如图，在中，直径于点E，，则弦的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 由垂径定理得，设的半径为，则，在中，由勾股定理得出方程，求出，即可得出，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 考点02垂径定理的实际应用 1．（2024·内蒙古通辽·中考真题）（选择题）如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是垂径定理的实际应用。勾股定理的应用，如图，连接，先证明，，再进一步的利用勾股定理计算即可； 【详解】解：如图，连接， ∵为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，， ∴，， 设拱门所在圆的半径为， ∴，而， ∴， ∴， 解得：， ∴拱门所在圆的半径为； 故选B 2．（2026·江苏苏州·中考真题）（填空题）苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人文意境交融，核心寓意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”．某月洞门示意图如图②所示，其内廓由，线段，，四部分构成，，分别垂直于地面．经测量，该月洞门的最高点到地面的距离为分米，分米，分米，则所在圆的半径为_________分米． 【答案】10 【分析】连接，过点B作于点H，交于点F，设所在圆的圆心为点O，连接，则，，，，设的半径为r，则，，根据垂径定理求出，进而在中根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：连接，过点B作于点H，交于点F，设所在圆的圆心为点O，连接， 由题意可得，四边形，四边形都是矩形， ∴，，， 设的半径为r，则， ∴， ∵过圆心O，且， ∴， ∵在中，， ∴，解得， ∴所在的半径为10分米． 3．（2026·四川广安·中考真题）（填空题）水平放置的圆柱形排水管道的截面是半径为的圆，其中水面宽为，则水面高为_____m． 【答案】0.2或0.8/或0.8或0.2 【分析】分水面在圆心下方和水面在圆心上方两种情况讨论，利用垂径定理结合勾股定理计算圆心到水面的距离，进而得到水面高度． 【详解】解：设截面圆的圆心为，弦为水面，已知，． 过点作于点，直线交下面圆弧于点D， 根据垂径定理可得： 在中，由勾股定理得： 分两种情况讨论： 当水面在圆心下方时， 水面高度为 ； 当水面在圆心上方时， 水面高度为 ． 故答案为或． 4．（2025·江苏南京·中考真题）（填空题）一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图，这枚古钱币的半径为____________ ． 【答案】13 【分析】本题考查了垂径定理，正方形的性质，勾股定理，先根据题意，则是的直径，过作，连接，再结合正方形的性质以及垂径定理得，，由勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：如图所示：是的直径，过作，连接， 依题意，， ∵， ∴，， ∵一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔， ∴， 在中，， 即这枚古钱币的半径为， 故答案为：13 5．（2025·河南·中考真题）（填空题）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为______________． 【答案】 【分析】根据圆的切线的性质和矩形的性质，得到，由垂径定理可得，由圆周角定理可得，进而证明是等边三角形，得到，再根据阴影部分的面积求解即可． 【详解】解：所在圆的圆心为点O，边与相切于点， ，， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， 阴影部分的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求不规则图形面积，矩形的性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积，掌握圆的相关性质是解题关键． 6．（2026·河北·中考真题）（解答题）在学习了圆的相关知识后，同学们设计并开展了一项综合实践活动，下面是一个小组尚未完成的活动报告． 主题 求生活中的圆弧长 研究内容 本次活动选取学校的铅球场地，将场地的一部分抽象为扇形（如图1所示），已知扇形所在圆的半径于点，，用不同的方案分别求的长． 工具 软尺（长度足够）、测角仪（可测量角度的大小）等 研究方案与实践成果 方案一 方案二 方案三 用软尺直接测量的长． 测量数据： 第一次 第二次 用测角仪测角，利用弧长公式计算的长． 测量数据： 查阅文献，发现北宋沈括的《梦溪笔谈》中收录了近似计算圆弧长度的“会圆术”．图1中，弧长． 测量数据： 反思应用 取两次测量结果的平均数，则． 利用弧长公式，…… 根据“会圆术”，…… ①方案一可通过____________的方法减少误差； ②我们可以利用上面的活动经验解决一些生活中的问题． 如图2所示，公园里一座桥的主桥拱是圆弧形，已知其跨度为，拱高为，虽然弧长和圆心角不方便测量，但可以通过计算近似得出． 计算过程如下：…… 请你帮助该小组完成活动报告，具体如下： (1)写出“反思应用”①中减少误差的方法；（写出一种方法即可） (2)分别利用方案二（结果保留）和方案三计算的长； (3)求图2中弧长和圆心角．（取3.1） 【答案】(1)多次测量取平均值 (2)方案二弧长为；方案三弧长为 (3)， 【分析】（1）方案一可通过多次测量取平均值的方法减少误差； （2）方案二利用弧长公式求解即可，方案三代入已知数据求解即可； （3）先由垂径定理以及勾股定理求解，再由“会圆术”求解弧长，最后根据弧长公式求解圆心角的度数即可． 【详解】（1）解：方案一可通过多次测量取平均值的方法减少误差； （2）解：方案二：的长； 方案三：∵，，， ∴； （3）解：∵， ∴ 在中，由勾股定理得，， ∴ 解得 由“会圆术”可得，， 设的度数为，则由得，， 解得 考点03利用圆心角的性质求角度 1．（2024·海南·中考真题）（选择题）如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质．连接，，证明和都是等边三角形，求得，利用三角形内角和定理求得，据此求解即可． 【详解】解：连接，， ∵是半圆O的直径，， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2024·云南·中考真题）（选择题）如图，是的直径，点、在上．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，圆周角定理，连接，由可得，进而由圆周角定理即可求解，掌握圆的有关性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 故选：． 3．（2026·湖北·中考真题）（选择题）如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据切线的性质可得，根据圆周角定理求出的度数，最后在中利用直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：连接， 是的切线， ， ， ， ， ． 4．（2026·吉林·中考真题）（选择题）如图，是的内接三角形，是的直径，点为边上不与点，重合的任意一点，连接．若，则的度数可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直径所对的圆周角为直角，求出，根据，求出，得出，再进行判断即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵点为边上不与点，重合的任意一点， ∴， ∵ ∴四个选项中只有A选项符合题意． 考点04利用圆周角定理求角度 1．（2026·河北·中考真题）（选择题）如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接并延长交于点E，连接，首先利用等边对等角得到，然后利用三角形内角和定理求出，然后结合圆周角定理和圆内接四边形对角互补求解即可． 【详解】解：如图，连接并延长交于点E，连接 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 2．（2026·四川宜宾·中考真题）（选择题）如图，是的外接圆，连接、．若为等边三角形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质得到的度数，再由圆周角定理即可得到的度数． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴． 3．（2026·四川内江·中考真题）（选择题）如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得中心角，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 4．（2026·甘肃天水·中考真题）（选择题）如图，内接于，是的直径，与交于点．若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据是直径得到，因此根据角的和差求出，根据三角形的内角和定理求出，即可得到，再根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 5．（2026·云南·中考真题）（选择题）如图，是的弦，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆周角定理，同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的两倍求解． 【详解】解：． 6．（2026·四川泸州·中考真题）（选择题）如图，的直径与弦相交于点，连接，，，，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意易得，，然后可得，进而根据三角形外角的性质进行求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．（2026·重庆·中考真题）（选择题）如图，点A，B，C在上．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍求解即可． 【详解】 解：∵与是同弧所对的圆周角与圆心角， ∵， ∴． 8．（2025·四川·中考真题）（选择题）如图，点A，B，C在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆周角定理，掌握一条弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半是解题的关键． 直接运用圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 考点05直径所对的圆周角等于90° 1．（2024·青海西宁·中考真题）如图，四边形内接于，为直径延长线上一点，，，则______． 【答案】/度 【分析】本题考查了已知圆内接四边形求角度，半圆（直径）所对的圆周角是直角，利用弧、弦、圆心角的关系求解，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 连接，根据圆内接四边形性质求得，结合弧、弦、圆心角的关系推出，进而得到，再利用半圆（直径）所对的圆周角是直角，得到，最后根据求解，即可解题． 【详解】解：连接， 四边形内接于，， ， ， ， ， 为直径， ， ； 故答案为：． 2．（2026·陕西·中考真题）如图，为的直径，点在上，的平分线交于点．若，则的长为_________． 【答案】 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，由角平分线的定义和圆周角定理得到，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵为的直径， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 3．（2026·河南·中考真题）如图，为的直径，，为上两点，，则的度数为_________． 【答案】 【分析】由圆周角定理得到，再根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 4．（2026·江苏扬州·中考真题）如图，C是以为直径的上一点，点D在上，，则_______． 【答案】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角，得出，利用三角形内角和定理求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补，即可求解． 【详解】解：是的直径， ， ， ， 四边形内接于， ， ． 5．（2026·山东烟台·中考真题）如图，正五边形的边长为10，连接，以为直径作，与交于点，与的延长线交于点，则阴影部分扇形的面积为__________． 【答案】 【分析】根据正五边形的定义得出，，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，根据直径所对的圆周角是直角得出，最后根据直角三角形的性质求解即可，进而得，然后，再求扇形的面积即可． 【详解】解：如图，连接， ∵在正五边形中， ∴，， ∴， ∵为的直径， ∴，， ∴， ∴． ∴． 6．（2025·江苏常州·中考真题）如图，是的直径，是的弦．若，，则_________． 【答案】 【分析】根据直径所对的圆周角为，可知，求出，得到，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ， ∵与对应同一段弧， ， ， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角为，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，等角对等边等性质，掌握圆周角定理的推论是解题的关键． 7．（2024·陕西·中考真题）如图，为的直径，，，则的度数是_______． 【答案】/37度 【分析】本题考查了圆周角定理及其推论，直角三角形的性质等知识，连接，根据直径所对的圆周角是直角得，进而可求出，然后再根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等可得出的度数． 【详解】解：连接，如图所示： ∵为的直径， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 8．（2024·江苏常州·中考真题）如图，是的直径，是的弦，连接．若，则________． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵是的直径，，， ∴， ∴； 故答案为：． 考点06切线的判定定理相关证明 1．（2026·广东·中考真题）如图，直线经过上的点，且，，．求证：直线是的切线． 【答案】证明：连接 ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵点在上， ∴为半径， ∴直线是的切线． 【分析】连接，先由三角形内角和定理求出的度数，再证明为等腰三角形，则由三线合一得到，即可证明． 【详解】略 2．（2026·四川巴中·中考真题）如图，是的直径，点C、D在圆上，D是的中点，于点E，交于点，、交于点，在延长线上且． (1)求证：为的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接，如图所示： ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线． (2)证明：∵D是的中点， ∴， ∴， ∵，是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）连接，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意易得，然后可得，则有，进而问题可求证； （3）由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，是的直径，弦，垂足为，连接，过点作的垂线，垂足为，交直径于点，交过点的直线于点，连接并延长，交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)连接， ∵是的直径， ∴， 在中，， ∵，垂足为E， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵，垂足为P， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； (2)． 【分析】（1）连接，证明是等腰三角形，推出，即可证明是的切线； （2）证明，得到，设的半径为，证明，利用相似三角形的性质列式计算求得，再证明，据此计算即可求解． 【详解】（1）证明：略 （2）解：∵是的直径，，垂足为P， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的半径为， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得． 4．（2026·四川广元·中考真题）如图，在中，，以为直径作半圆交于点，为半圆上一点，连接交于点，连接，且． (1)求证：为半圆的切线； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明：如图，连接， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为半径， ∴为半圆的切线； (2) 【分析】（1）连接，证明，可得，即可求证； （2）连接，交于点K，过点G作于点H，根据切线长定理可得，从而得到垂直平分， 进而得到，设，则，再证明为等腰直角三角形，可得为等腰直角三角形，从而得到，，进而得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，交于点K，过点G作于点H， ∵，为半圆O的直径， ∴为半圆O的切线，，， ∵为半圆的切线， ∴， ∵， ∴垂直平分，即，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 5．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，四边形内接于，为的直径，点在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：连接 ， ． ， ． ， ，即． 为的半径， 是的切线； (2) 【分析】（1）先利用等腰三角形的性质和圆周角定理得到，结合已知条件得到，即，根据切线的判定可证得结论； （2）连接，设的半径为，则，．在中，利用勾股定理求得，则．利用特殊角的三角函数值求得．根据圆周角定理求得，，则，根据含30度角的直角三角形的性质求得，然后利用扇形面积公式及求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接， 设的半径为，则，． 在中，， ，解得， ． ， ． ． ， 是的直径， ， ． ． ． ， ． ∴． 6．（2026·广东深圳·中考真题）如图，是的直径，点是圆上一点，连接并延长至点，使得． (1)求证是的切线； (2)若，，求的长； (3)利用圆规和无刻度直尺在图中作出点关于直线的对称点（保留作图痕迹，不要求写出作法）． 【答案】(1) 证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∵是的直径， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵为半径， ∴是的切线； (2) (3)如图，点即为所求 【分析】（1）由结合已知条件得到，然后根据圆周角定理得到，再由直角三角形锐角互余以及等量代换证明即可； （2）设，则，先对运用勾股定理求解半径，然后利用，以及对运用勾股定理求解即可． （3）以点为圆心，为半径画弧与交点即为点． 【详解】（1）略 （2）解：过点作于点，则 设，则 ∵， ∴ ∴ 解得， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴． （3）解：连接， 由作图可得， 则， 再由垂径定理的推论可得垂直平分， 即可得到点关于对称． 7．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，是等腰三角形，，，点是中点，平分交于点． (1)求的度数； (2)求证：与的外接圆相切； (3)为外接圆上任意一点，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)证明：由（1）知， ∴是的外接圆的直径，设圆心为点，连接， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵为半径， ∴与的外接圆相切； (3)解：，理由如下： 连接，设， ∵ ∴， ∵ ∴ ∵，点是中点， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴． 【分析】（1）根据等腰三角形的“三线合一”性质以及角平分线的定义求解即可； （2）可得是的外接圆的直径，设圆心为点，连接，先由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得到，再由，得到，则，即可证明； （3）连接，设，导角证明即可求解． 【详解】（1）解：∵，，点是中点， ∴ ∵平分 ∴ ∴ （2）略 （3）略 8．（2026·新疆·中考真题）如图，内接于，平分交于点D，连接，，经过点D的直线与的延长线相交于点E，且． (1)求证：是的切线； (2)如果点I是的内心，，，求的值． 【答案】(1)证明：连接并延长交于点，连接， ∵ ∴ ∵是直径， ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵是半径， ∴是的切线； (2) 【分析】（1）连接并延长交于点，连接，由圆周角定理得到，，则，由角平分线得到，结合已知条件可得，继而等量代换证明即可； （2）连接，交于点，先由圆周角定理得到证明，根据垂径定理的推论可得，，再证明，解求出，，即可求解，，再由内心的性质导角证明． 【详解】（1）略 （2）解：连接，交于点， ∵平分 ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴，， ∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∵点I是的内心， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴． 9．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，是的直径，弦，垂足为．为上一点，连接交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接． (1)若的半径为，，求的长； (2)求证：是的切线． 【答案】(1)； (2)证明：连接， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线。 【分析】（1）连接，先求出长度，利用垂径定理得，再在中由勾股定理算出，进而求出； （2）连接，由垂直平分线性质得，等边对等角得，结合推出，再利用得，等量代换证明，依据切线判定定理证为切线。 【详解】（1）解：连接， ∵半径为， ∴， ∵， ∴， ∵，为直径， ∴，， 在中，， ∴； （2）略 10．（2026·湖南·中考真题）如图，在等腰中，．在上取一点，以为圆心，的长为半径画弧，交于点；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，在内两弧交于点；作射线交于点；以为圆心，的长为半径作． (1)求证：与⊙相切； (2)已知，，求⊙的半径． 【答案】(1)证明：由尺规作图的作法可知，射线是的角平分线， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， 又∵是的半径，且点在上， ∴与相切； (2)的半径为 【分析】（1）由尺规作图作法可知，射线平分；又，为等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”性质，可得．因是的半径，且点在直线上，即可证与相切； （2）由、，根据三线合一可知是底边的中线，则可得．在中，运用勾股定理即可求出的半径． 【详解】（1）略 （2）解：∵是等腰三角形，且， ∴是底边的中线， ∴， 在中，， ∴的半径为． 考点07圆中求阴影部分的面积 1．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，是的弦，过点的切线交的延长线于点，． (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用切线的性质得到，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得，利用直径得，勾股定理计算． （2）通过转化思想，计算． 【详解】（1）解：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，． （2）解：连接， ，， ∴，， ， ， ． 2．（2026·湖北武汉·中考真题）如图，为的直径，为上一点，过点的直线和过点的切线互相垂直，垂足为，交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，．求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； (2) 【分析】（1）连接，利用切线的性质，推出，得到，利用等边对等角得到，进而得到，即可； （2）连接，交于点，连接，交于点，分割法求阴影部分面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，交于点，连接，交于点， ∵为直径， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 3．（2026·山西·中考真题）如图，是的直径，点，是上的两点，且，过点作的切线与的延长线交于点，连接，．若，，求扇形（即阴影部分）的面积（结果保留）． 【答案】扇形（即阴影部分）的面积为 【分析】连接，先根据切线性质得到，进而得到，然后根据等弧所对的圆心角相等得到，继而得到，最后根据扇形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：连接． 与相切于点． ． ． ， ． ， ． ． ， ． ， ． 4．（2026·山东德州·中考真题）如图，在中，点为上一点，点是的中点，是的直径．过点作的切线交的延长线于点，连接并延长交于点，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：连接， 是直径，点在上， 是的中点， ， 在和中，， ， ， ， 是的半径， 与相切． (2) 【分析】（1）连接，通过 证 ，再结合点在上，即可得证； （2）阴影部分的面积为，通过线段转化即可求解． 【详解】（1）略 （2）解： 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得，， ， ， ， 阴影部分的面积为 ． 5．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点在上，点在外，线段与交于点，过点作的切线交直线于点，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)直线与相切， 理由， 如图，连接，， ∵直线与相切， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴直线与相切； (2)． 【分析】（）连接，，由直线与相切，可得，证明，则，然后通过切线的判定方法即可求证； （）由（）得，，则，，所以，通过直角三角形性质得，由勾股定理得，最后通过即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（）得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，扇形面积，直角三角形性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 6．（2025·江苏南通·中考真题）如图，与相切于点，为的直径，点在上，连接，且． (1)连接，求证：； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ∵与相切， ∴， ∴， 在和中 ∴ ∴， ∴； (2)． 【分析】（1）利用切线性质得，再通过证明，从而推出； （2）先结合已知角度推出相关角的度数，确定为等边三角形，求出圆的半径，再根据平行线间面积关系，将阴影部分面积转化为扇形的面积进行计算． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴为等边三角形， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的切线性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及扇形面积计算，熟练掌握圆的切线垂直于过切点的半径、全等三角形判定定理、等边三角形判定与性质及扇形面积公式是解题的关键． 7．（2024·宁夏·中考真题）如图，是的外接圆，为直径，点是的内心，连接并延长交于点，过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若的半径为2，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 【答案】(1) 证明：连接，交于点， ， ， 又为的内心， ， ， ∴， 又为的直径， ， 又为的切线且为的半径， ， ， ∴； (2) 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角函数的定义，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算． （1）连接，交于点G，根据等腰三角形的性质得到，由D为的内心，得到，求得，根据圆周角定理得到∠，求得，根据切线的性质得到，根据平行线的判定定理得到结论； （2）根据三角函数的定义得到，求得，求得，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ． 8．（2024·江苏南通·中考真题）如图，中，，，，与相切于点D．    (1)求图中阴影部分的面积； (2)设上有一动点P，连接，．当的长最大时，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，扇形的面积公式等知识，解题的关键是： （1）连接，利用勾股定理的逆定理判定得出，利用切线的性质得出，利用等面积法求出，然后利用求解即可； （2）延长交于P，连接，则最大，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解∶连接，    ∵，，， ∴， ∴， ∵与相切于D， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解∶延长交于P，连接，此时最大，    由（1）知：，， ∴． 考点08利用圆的内接四边形求解 1．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，四边形ABCD内接于，，连接BD，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形，圆的性质，解题的关键是熟练掌握圆的性质． 根据圆的内接四边形对角互补可得的度数，由弦相等可得弧相等，从而可得圆周角相等，计算即可． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．（2025·甘肃·中考真题）如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据圆内接四边形的性质得到，根据得到，即可得到的度数．关键是根据圆内接四边形的性质得到解答． 【详解】解：由圆内接四边形的性质可知：， ， ， ∵， ． 故选：C． 3．（2025·四川自贡·中考真题）分别与相切于两点．点在上，不与点重合．若，则的度数为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，先画图，连接，，求解，再根据C的位置结合圆周角定理与圆的内接四边形的性质可得答案. 【详解】解：如图，连接，， ∵分别与相切于两点， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故选：D 4．（2024·山东济宁·中考真题）如图，分别延长圆内接四边形的两组对边，延长线相交于点E，F．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“圆的内接四边形对角互补”可得，．根据三角形外角定理可得，，由此可得，又由，可得，即可得解． 本题主要考查了“圆的内接四边形对角互补”和三角形外角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】∵四边形是的内接四边形 ∴， ，， ， ，，， ， 解得， ， ． 故选：C 5．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，连接，由是的直径得到，根据圆周角定理得到，得到，再由圆内接四边形对角互补得到答案. 【详解】解：如图，连接，    ∵是的直径， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故选：B 6．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可求得的度数，再根据圆内接四边形对角互补，可推出，即可得到答案． 【详解】解：是圆周角，与圆心角对相同的弧，且， ， 又四边形是的内接四边形， ， 又， ， 故选：A． 7．（2024·吉林·中考真题）如图，四边形内接于，过点B作，交于点E．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，圆的内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据得到，再由四边形内接于得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴, 故选：C． 考点09圆与圆的位置关系 1．（2026·上海·中考真题）已知的半径为，的半径为，且，则与位置关系是（     ） A．内含 B．相交 C．相切 D．相离 【答案】A 【分析】本题根据两圆位置关系的判定方法，比较圆心距与两圆半径差的大小，即可得出结论，若两圆半径分别为，（），圆心距为，当时，两圆内含． 【详解】解：设的半径，的半径，两圆圆心距， ， ， 与的位置关系是内含． 2．（2025·上海·中考真题）在锐角三角形中，，，的外接圆为，且半径为5，边中点为，如果以为圆心的圆与相交，那么的半径可以为（   ） A．2 B．5 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，两圆相交的条件等知识，掌握两圆相交的条件是关键；根据题意，等腰的外接圆半径为5，由等腰三角形的性质、勾股定理求得；当与相交时，圆心距需满足条件，代入数值求解r的范围，进而确定选项． 【详解】解：如图，连接并延长交于点E， ∵，D为中点， ∴，； ∵锐角三角形中，， ∴外接圆心O在上， 连接，由勾股定理得：；      设以D为圆心的圆的半径为，相交应满足：， 即，解得：； 在此范围的半径只有选项B； 故选：B． 3．（2024·上海·中考真题）在中，，，，点在内，分别以为圆心画，圆半径为1，圆半径为2，圆半径为3，圆与圆内切，圆与圆的关系是（    ） A．内含 B．相交 C．外切 D．相离 【答案】B 【分析】本题考查圆的位置关系，涉及勾股定理，根据题意，作出图形，数形结合，即可得到答案，熟记圆的位置关系是解决问题的关键． 【详解】解：圆半径为1，圆半径为3，圆与圆内切， 圆含在圆内，即， 在以为圆心、为半径的圆与边相交形成的弧上运动，如图所示： 当到位置时，圆与圆圆心距离最大，为， ， 圆与圆相交， 故选：B． 考点10圆中最值问题 1．（2026·江西·中考真题）如图，在矩形 中， ， ， 是边 上的动点，连接，过点作于点．当面积最大时，的长为_______________． 【答案】1 【分析】根据题意得出在以为直径的上运动，进而可得当时，到的距离最大，此时面积最大，得出，结合题意得出是等腰直角三角形，求得，根据线段的和差关系，即可求解． 【详解】解：如图，设的中点为， ∵ ∴ ∴在以为直径的上运动 ∴当时，到的距离最大，此时面积最大， ∴ ∴ ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ 2．（2026·四川眉山·中考真题）如图，在矩形中，， ，点在边上，且，点 是边上的一个动点，将沿翻折，点 的对应点为点，连接．点 在线段上，若，连接，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】根据翻折的性质可知，即点在以为圆心，为半径的圆上运动，由，联想到位似变换，在 上取点 使得，构造，从而确定点 的轨迹是以 为圆心，为半径的圆，连接 ，当 三点共线时， 取得最小值，利用勾股定理求出 的长即可求解． 【详解】解： 四边形是矩形， ，，， 点在 边上，， ， 由翻折的性质可知，， 在上取一点 ，使得，连接， ， 在 和中， ，， ， ， ， 点 是定点，长为定值， 点 在以点 为圆心，为半径的圆上运动， 连接 ，当点 在线段 上时， 的值最小，最小值为， 在 中，， ， 根据勾股定理得： ， 的最小值为． 3．（2026·四川自贡·中考真题）如图，正方形中，点为的中点，作，交于点．点，分别在等腰的直角边和斜边上，且，与交于点．连接，若，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】根据题意，四边形是正方形，设边长为，如图所示，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，点 在 的延长线上，则，有勾股定理列式求解得到，再证明，结合角度的计算得到点 在以 为弦，含 圆周角的圆弧上运动，设该圆圆心为 ，半径为，得到，如图，建立平面直角坐标系，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，结合图形，两点之间距离的计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，设边长为， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵，且是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 如图所示，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，点 在 的延长线上， ∴， ∴，则，且， ∴， ∴， 在中，， ∴， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴点 在以 为弦，含 圆周角的圆弧上运动，设该圆圆心为 ，半径为， ∵圆心角，， ∴ 是等腰直角三角形 ， ∴， 如图，建立平面直角坐标系，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， ∴， ∵在直线上，且在正方形内部（）， ∴ 圆心在的上方，且到的距离为， ∵ 的中点坐标为 ， ∴ 圆心的坐标为，连接，交圆弧于点，此时取得最小值 ， ∴ ． 4．（2025·海南·中考真题）如图，点是内一动点，且，，． （1）面积的最大值为_______； （2）连接，分别取、的中点、，连接．若，则线段长度的最小值为_______． 【答案】 4 【分析】（1）利用直径所对圆周角为90度确定点E的运动轨迹为以为直径的半圆，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和圆的性质解答即可； （2）连接，利用三角形的中位线定理得到，则取得最小值时，长度最小，设的中点为O，连接，当、、三点共线时，此时最小；过点O作，交的延长线于点F，然后利用平行四边形的性质和勾股定理求得，进而得到，即可求得，进而得到． 【详解】（1）解：∵点E是内一动点，且， ∴点E的运动轨迹为以为直径的半圆， 取的中点O，连接，当时，此时与的距离最大， 即此时面积取得最大值，如图， ∵ ∴， ∴面积的最大值． 故答案为：4； （2）连接，如图， ∵、的中点为M、N， ∴， ∴取得最小值时，长度最小． 由（1）可知，点E的运动轨迹为以为直径的半圆，设的中点为O，连接， ∴当、、三点共线时，此时最小，如图， 由（1）可知，， 过点O作，交的延长线于点F，如图， ∵四边形为平行四边形，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查了直径所对圆周角等于90度，勾股定理，平行四边形的性质，三角形中位线判定与性质，含30度角的直角三角形等知识点，解题关键是灵活运用上述知识点并得到点的轨迹． 5．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在中， ，．将射线绕点C顺时针旋转到，在射线1上取一点D，连结，使得面积为24，连结，则的最大值是________． 【答案】 【分析】先整理得，过点C向上作线段，使得，则，结合整理得，证明，即，运用即定角定弦，故点D在以为直径的圆上，连接，并延长与交于一点，即为，运用勾股定理得，即可作答． 【详解】解：∵射线绕点C顺时针旋转到，在射线1上取一点D，连结， ∴ ∵面积为24， ∴ ∴， 过点C向上作线段，使得， ∵ ∴ 即 ∴， 连接， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故点D在以为直径的圆上， ∵， 记圆心为直径的中点， 即的半径 连接，并延长与交于一点，即为， 此时为的最大值， 故 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，旋转的性质，正确分析出点D在以为直径的圆上是解题的关键． 6．（2024·四川广元·中考真题）如图，在中，，，则的最大值为______．    【答案】 【分析】过点作，垂足为，如图所示，利用三角函数定义得到，延长到，使，连接，如图所示，从而确定，，再由辅助圆-定弦定角模型得到点在上运动，是的弦，求的最大值就是求弦的最大值，即是直径时，取到最大值，由圆周角定理及勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：过点作，垂足为，如图所示：    ， 在中，设，则，由勾股定理可得， ，即， ， 延长到，使，连接，如图所示：    ， ，， 是等腰直角三角形，则， 在中，，，由辅助圆-定弦定角模型，作的外接圆，如图所示：   由圆周角定理可知，点在上运动，是的弦，求的最大值就是求弦的最大值，根据圆的性质可知，当弦过圆心，即是直径时，弦最大，如图所示：   是的直径， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，则由勾股定理可得，即的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题，涉及解三角形、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、圆的性质、圆周角定理、动点最值问题-定弦定角模型等知识，熟练掌握动点最值问题-定弦定角模型的解法是解决问题的关键． 7．（2024·河南·中考真题）如图，在中，，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则的最大值为_________，最小值为_________. 【答案】 / / 【分析】根据题意得出点D在以点C为圆心，1为半径的圆上，点E在以为直径的圆上，根据，得出当最大时，最大，最小时，最小，根据当与相切于点D，且点D在内部时，最小，最大，当与相切于点D，且点D在外部时，最大，最小，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵线段绕点C在平面内旋转，， ∴点D在以点C为圆心，1为半径的圆上， ∵， ∴， ∴点E在以为直径的圆上， 在中，， ∵为定值， ∴当最大时，最大，最小时，最小， ∴当与相切于点D，且点D在内部时，最小，最大，连接，，如图所示： 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即的最大值为； 当与相切于点D，且点D在外部时，最大，最小，连接，，如图所示： 则， ∴， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即的最小值为； 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形的相关计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质，找出取最大值和最小值时，点D的位置． 8．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在中，，，．E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为________． 【答案】/ 【分析】根据平行四边形的性质得到，，，由折叠性质得到，进而得到点在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作交延长线于M，交圆E于，此时到边的距离最短，最小值为的长，即此时面积的最小，过C作于N，根据平行线间的距离处处相等得到，故只需利用锐角三角函数求得即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴，，则， ∵E为边的中点， ∴， ∵沿翻折得， ∴， ∴点在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作交延长线于M，交圆E于，此时到边的距离最短，最小值为的长，即面积的最小， 过C作于N， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴面积的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、折叠性质、圆的有关性质以及直线与圆的位置关系、锐角三角函数等知识，综合性强的填空压轴题，得到点的运动路线是解答的关键． 9．（2024·四川内江·中考真题）如图，在中，，，是边上一点，且，点是的内心，的延长线交于点，是上一动点，连接、，则的最小值为________．    【答案】 【分析】在取点F，使，连接，，过点F作于H，利用三角形内心的定义可得出，利用证明，得出，则，当C、P、F三点共线时，最小，最小值为，利用含的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，即可． 【详解】解：在取点F，使，连接，，过点F作于H，    ∵I是的内心， ∴平分， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 当C、P、F三点共线时，最小，最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内心，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形和含的直角三角形是解题的关键． 考点11圆中解答题压轴 1．（2026·浙江·中考真题）如图1，内接于，是直径上的一点，满足，连接并延长交于点，连接，点在弦上，且．过点作，交于点，交于点．设． (1)用含的代数式表示和的大小； (2)如图1，若，求证：； (3)如图3，若的半径为1，点在上，且，求的长． 【答案】(1)；； (2)证明：如图，连接， ∵为所对的圆周角， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理：， ∴， 解得：， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴三点共线， ∴， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，结合圆周角定理与直角三角形的两锐角互余可得答案． （2）如图，连接，表示，证明，可得，求解，证明，再进一步证明即可． （3）如图，连接，证明，，可得，证明，可得，设，再进一步建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为所对的圆周角， ∴， ∵， ∴． （2）略 （3）解：如图，连接， ∵，， ∴， 同理：， ∴， 结合（1）可得：， ∵， ∴， ∴，即， 同理可得：， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， 解得：（大于直径，舍去）， ∴的长为． 2．（2026·湖北武汉·中考真题）将正方形的边绕点逆时针旋转得到，连接交边于点，平分交于点，连接、． (1)如图1，求证：是等腰直角三角形（温馨提示：若思考有困难，可尝试证明）． (2)如图2，连接交于点，求证：． (3)如图3，点在线段上，，连接．若，直接写出的最小值． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， ∵正方形的边绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． (2)证明：由（1）证得， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即① ， 如图：过 作 于 ， 则， ∵， ∴， ∴，即② ， ∵，， ∴， ∴ 由①②两式得， ，即． (3) 【分析】（1）先利用正方形的性质证明可得，，再证明，即可证明结论； （2）由（1）证得， ，证明可得，即① ；如图：过 作 于 ， 则，证明可得，即② ；利用等腰三角形的性质可得，即，最后结合①②即可证明结论； （3）如图：取 中点 ， 连接 ． 即，可证得；再说明 点在以 为 圆心， 为半径的圆上运动， 当 点运动到 上时， 即 、、 三点共线时， 取得最小值． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图：取 中点 ， 连接 ． 即，由（1）可得， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作与的垂直平分线交于点，作，连接，， ∴ 点在以 圆心， 为半径的圆上运动， 当 点运动到 上时， 即 、、 三点共线时， 取得最小值． 如图：过 作 于 ， 交 于 ，在圆O优弧上取一点N，连接，则四边形是圆O的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴为等腰直角三角形，其中， ∵四边形为正方形， ∴， 又， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的最小值为． 3．（2026·北京·中考真题）对于不共线的三点A，B，C，连接，，并作劣弧，使得所在圆的圆心在过点A且与平行的直线上，称由，和组成的图形为单弧三角形，记作，其中所在圆的圆心称为的弧心． 在平面直角坐标系中， (1)如图1，点，，，直接写出的弧心的坐标及的长； (2)如图2，点，，当的弧心为O时，求点F的坐标； (3)已知点，对于平面内的点N，存在点P，Q满足和的弧心均为O，和都不是钝角三角形，且，记N的横坐标为t，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)， (2)点F的坐标为 (3) 【分析】（1）先根据、两点坐标求出的垂直平分线，再结合“过点且与平行”的条件进而得到弧心坐标，最后计算半径与圆心角，代入弧长公式即可； （2）先根据平行线的性质得出直线与的一次项系数相等，利用待定系数法代入点坐标求出直线的一次函数解析式；再根据同圆半径相等得到，结合勾股定理列出坐标方程，联立直线解析式求解并舍去已知点对应的解，即可得到点的坐标； （3）先利用同圆半径相等和勾股定理求出的长度，再通过作垂线构造矩形得到、为非钝角的有效线段长度；再分和两种情况，结合勾股定理逆定理判断是否为钝角，根据的条件列不等式求解；最后合并两种情况的取值范围即可． 【详解】（1）解：由题意可知：弧心在过点且与平行的直线上，且弧心是所在圆的圆心， ∴弧心到、距离相等，即在的垂直平分线上， ∵，，为水平线段（平行于x轴）， ∴过且平行于的直线为水平线：， ∴中点为，其垂直平分线为竖直线：， ∴两直线交点即为弧心，坐标为， ∵弧心到、距离相等， ∴半径为弧心到点的距离：， ∵，， ∴， ∴、与弧心构成直角三角形， ∴圆心角为， ∴的长． （2）解：设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴直线的解析式为， ∵， ∴直线的解析式为， ∵的弧心为O， ∴， 设点坐标为，过点作轴于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（与点重合，舍去），， 将代入，解得， 故的坐标为． （3）解：弧心为，故，即在单位圆上， 设点的坐标为， 根据勾股定理可得， 过点、分别作坐标轴平行线，得：， 代入，得， 由题意可得已知直线过原点，且， 分别过点、作的垂线，交直线于、两点， 当点在线段上时，、均为直角或锐角（非钝角）； 若在左侧或右侧，对应角为钝角； 由、、，可判定四边形是矩形， 根据矩形对边相等得：， 情况1：当时， 当与原点重合时，， 代入得：， 此时为非钝角，因此整条线段都满足三角形非钝角的要求，有效区域长度为， 要存在，需有效长度， 解得， 结合得； 情况2：当时， 当与原点重合时，， 因此直线上，原点附近一段区域会使为钝角， 设中点为，∴， ，， ∵， ∴圆心到直线的距离的平方， ∴， 要存在，需钝角区域宽度， 解得， 结合得； 合并两种情况，得的取值范围为． 4．（2026·贵州·中考真题）如图，已知是的直径，点，在上，． (1)线段与线段的数量关系是________，若连接，则直线与的位置关系是________； (2)求证：； (3)过点作的切线，过点作于点．根据题意补全图形，若，，求的半径． 【答案】(1)相等；互相垂直 (2)证明：延长交于点， 由（1）可得，垂直平分，即， ∵， ∴是的中位线， ∴，即； (3)补全图形如图： 的半径为3 【分析】（1）先根据弧与弦之间的关系求解；再根据线段垂直平分线的判定证明垂直平分即可； （2）延长交于点，证明是的中位线，再由中位线的性质求解即可； （3）先根据题意补全图形，然后连接，延长交于点，然后证明四边形是矩形，再由圆周角定理得到，最后对运用勾股定理求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∴线段与线段的数量关系是相等； 连接， ∵， ∴垂直平分 ∴直线与的位置关系是互相垂直； （2）略 （3）解：如图，连接，延长交于点， 由（2）可知， ∵直线是的切线，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴半径为． 5．（2026·陕西·中考真题）问题探究 (1)如图①，是的角平分线，若，则的值为_________； (2)如图②，在中，，，点，在边上．若，求的度数； 问题解决 (3)为优化种植结构及水资源配置，某村计划在一块平整的农田内修建两条笔直的田间小路，使得两条小路将该农田分割为四个区域，以种植不同种类的农作物；为方便灌溉，还需在两条小路的交汇处修建一个蓄水池，在蓄水池和水源接入口之间铺设一段地下输水管道． 如图③所示，四边形区域为农田，，为小路，小路的出口，分别在农田边界，上，与相交于点，点为蓄水池，点为水源接入口，为地下输水管道．根据种植需求，区域与区域的面积之比为，为了节约成本，还需使地下输水管道最短． 已知，，，，，请你帮助该村计算在满足种植需求的情况下，当地下输水管道最短时，四边形区域的面积．（结果精确到．小路的宽，蓄水池的大小均忽略不计） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作，垂足为点，根据角平分线性质定理得到，再由三角形面积公式求解即可； （2）证明，结合等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可； （3）先证明，得到，取的中点，连接，则，则点的轨迹为以为圆心，为直径的一段圆弧，，故当点三点共线时，取得最小值，过点作交于点，然后由，求出，，再证明四边形是平行四边形，最后由求解． 【详解】（1）解：过点作，垂足为点， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 取的中点，连接，则， ∴点的轨迹为以为圆心，为直径的一段圆弧，， ∵， ∴， ∴当点三点共线时（在线段上），取得最小值，如图： 过点作交于点， ∵， ∴， ∴此时， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ， 答：当地下输水管道最短时，四边形区域的面积为． 6．（2026·内蒙古·中考真题）已知是的内接三角形，半径与边相交于点． (1)如图1，连接，若，，求的度数； (2)如图2，点是线段延长线上一点，连接． ①若，求证：； ②在①的条件下，若，试判断线段与线段的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)①证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； ②，理由如下： ∵， ∴， 设， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）利用圆周角定理和三角形的外角性质求解即可； （2）①连接，利用圆周角定理结合等边对等角，得到，再证明，可推出，即可得到； ②设，求得，即可得到． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）①略 ②略 7．（2026·黑龙江绥化·中考真题）综合与实践 【问题情境】在数学活动课上，老师让学生以“矩形”为主题，开展动点问题的研究．在矩形中，点，分别是边，上的动点． (1)【观察感知】如图1，当点，运动到时，连接，．求证：． (2)【探索发现】如图2，连接，点是上的一点，，连接，，与相交于点，连接．当平分，平分时，且，试求出与的数量关系，并说明你的理由． (3)【问题拓展】如图3，当，时，作直线，若直线将矩形分成周长相等的两部分，过点作于点，连接．当矩形的边与直线的夹角成时，请你直接写出的正切值．（自行完成作图并作答） 【答案】(1)证明：∵四边形 是矩形， ∴， 在 和中 ； (2)，理由如下： 如图，连接 ，过点 作 于点 ， 平分、平分，且与 相交于点， 点是 的内心， 点到三边的距离相等 设， ， 即， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴； (3)或 【分析】（1）根据矩形的性质可得，结合已知条件根据，即可证明； （2）连接 ，过点 作 于点 ，根据已知可得点是 的内心，设，根据三角形的面积关系结合已知条件得出，即，证明，，根据相似三角形的性质，即可得出结论； （3）矩形的边与直线的夹角成，分以下两种情况讨论，当点在的上方，点在的下方时，分别画出图形，根据直线将矩形分成周长相等的两部分，过点作，垂足为，过点作，交于点，设，根据，建立方程，解方程求得的值，进而根据正切的定义，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：理由如下：矩形的边与直线的夹角成， 分以下两种情况讨论 情况一：当，且点在的上方时，如图， 过点作，垂足为，连接 设 ， ，垂足为 ， 直线将矩形分成周长相等的两部分 过点作，交于点 四边形 是矩形 在中， ， 解得： 情况二：当，且点在的下方时，如图2， 同情况一可得 解得 综上所述，或 8．（2026·四川广元·中考真题）在学习图形旋转时，“智慧小组”将两个三角形纸片固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的规律． 在与中，，，，，将绕点顺时针旋转，旋转角为，直线与直线相交于点． 【初步探究】 (1)如图2，的度数为__________； 【尝试应用】 (2)如图2，若，求的长； 【创新提升】 (3)若，，三点构成以为腰的等腰三角形，请直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先证明，再证明，则，然后根据三角形的外角性质求解即可； （2）连接，证明，则可得，然后对运用勾股定理求解即可； （3）连接，由（1）知，记直线与交于点，证明，则，，，四点共圆，可得，然后分和两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，记，交于点， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， 如图，连接， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3）解：连接， 由（1）知，记直线与交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，，四点共圆， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 在中，，， ∴， 当时，同理可得， ∴， ∴， ∴； 综上：若，，三点构成以为腰的等腰三角形，的长为或． 9．（2026·山西·中考真题）综合与探究 问题情境：如图1，在中，，是的中线．将绕点顺时针旋转得到，其中点，的对应点分别为点，，线段分别与线段，交于点，，线段与交于点． (1)推理证明：求证：； (2)拓展延伸：在旋转过程中，当时，探究下列问题． ①如图2，判断与的数量关系，并说明理由； ②已知，．在射线上取一点，在射线上取一点，使．当以点，，为顶点的三角形是直角三角形，且为直角边时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)证明：，是的中线， ，，，     绕点顺时针旋转得到， ，，     ，，     ， 在和中， ， ； (2)①解：， 理由如下： ，是的中线， ，     绕点顺时针旋转得到， ，， ， ∵， ， ， ， 四边形是平行四边形，     ， 是菱形， ； ②线段的长为或 【分析】（1）根据等腰三角形的判定和性质，旋转的性质得出，结合图形得到，运用“角边角”即可求证； （2）①根据旋转得到，由平行线的判定得到，可证四边形是菱形，由此即可求解； ②证明在以为圆心，为半径的圆上，即图中的，可得四边形为矩形，可得当以点，，为顶点的三角形是直角三角形，且为直角边时，当，则一定过点，不符合题意；只有或，此时三点共线，再进一步求解即可. 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：∵， ∴在以为圆心，为半径的圆上，即图中的， ∴， ∴四边形为矩形， ∴当以点，，为顶点的三角形是直角三角形，且为直角边时， 当，则一定过点，不符合题意； ∴只有或， 此时三点共线， 如图所示，当点在线段上时，，且点G在线段上，过点作于点， ， ∵， ， ，， ∴，， 设，， 则， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， 此时， . 综上所述，或． 1 / 106 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题19圆 3年考情·探规律 考点分类 三年考情(2024-2026) 命题规律 多以选择题、填空题形式考查，分值3-4分，偶尔 融入解答题。常结合弦、弦心距、半径构造直角三 考点01利用垂径 2026江苏苏州卷、2025广东 角形，利用勾股定理计算线段长度：常搭配简单图 定理进行求解 佛山卷、2024河南郑州卷 形情境，侧重计算，难度中等，对几何转化能力有 一定要求。 以选择、填空为主，分值3-4分。多结合拱桥、隧 考点02垂径定理 2026陕西西安卷、2025江西 道、圆形零件等现实生活情境，把实际问题转化为 的实际应用 南昌卷、2024河北石家庄卷 圆的弦、半径模型；考查建模能力，题目文字信息 较多，读懂题意转化几何图形是解题关键。 主要为选择、填空题，分值2-3分。依托同圆或等 考点03利用圆心 2026天津卷、2025福建厦门 圆中圆心角、弧、弦的对应相等关系求角度：经常 角的性质求角度 卷、2024安徽合肥卷 和圆周角综合出题，难度偏低，侧重基础概念理 解。 选择、填空高频考点，也常在解答题小问出现，分 考点04利用圆周 2026重庆卷、2025湖北武汉 值3-5分。核心考查圆周角与所对弧、圆心角的角 角定理求角度 卷、2024浙江杭州卷 度换算；经常结合多角、多弧进行角度推导，是圆 板块基础必考，难度中等。 选择、填空、解答题均会出现，分值3-6分。看到 考点05直径所对 2026四川成都卷、2025辽宁 直径优先构造90°圆周角，常和勾股定理、相似三 的圆周角等于 沈阳卷、2024山东济南卷 角形综合；是圆题里非常重要的辅助线思路，综合 90° 性较强。 多在解答题第一小问，少量出现在选择填空，分值 考点06切线的判 2026湖南长沙卷、2025云南 46分。分“连半径证垂直”、“作垂直证半径” 定定理相关证明 昆明卷、2024江苏南京卷 两类证明思路；常和全等、勾股、三角函数综合， 1/28 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点分类 三年考情(2024-2026) 命题规律 属于高频证明题型。 以选择、填空为主，分值3-4分。核心方法：割补 考点07圆中求阴 2026吉林长春卷、2025广西 法、和差法，把不规则阴影转化成扇形、三角形面 影部分的面积 南宁卷、2024山西太原卷 积的加减；常结合旋转、平移，计算量偏大，侧重 图形变换思想。 2026甘肃兰州卷、2025贵州选择、填空题居多，分值2-3分。重点考查圆内接 考点08利用圆的 贵阳卷、2024黑龙江哈尔滨 四边形对角互补、外角等于内对角；常和圆周角结 内接四边形求解 卷 合考角度计算，题型简单，容易和其他考点综合。 2026宁夏银川卷、2025内蒙 以选择、填空为主，分值2-3分。依托两圆半径、 考点09圆与圆的 古呼和浩特卷、2024海南海 圆心距大小判断位置关系；部分地区考查较少，难 位置关系 口卷 度偏低，侧重概念辨析。 选择填空压轴高频，部分试卷放在解答，分值3-5 考点10圆中最值 2026江苏无锡卷、2025江苏 分。常见点圆最值、弦长最值：常结合动点，需要 问题 南通卷、2024广东东莞卷 转化点到圆心距离求解：综合性强，难度偏高。 试卷解答压轴，分值7-10分。综合切线、圆周角、 考点11圆中解答 2026浙江宁波卷、2025四川 勾股、相似、三角函数：多问递进式设问，兼顾证 题压轴 绵阳卷、2024湖北襄阳卷 明、计算：综合性强，区分度高，对几何推理能力 要求高。 3年真题·精准练 国角考点01利用垂径定理进行求解 1.(2026四川南充中考真题)（选择题）如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB于E,OB=CD=2,则 OE长为() 2/28 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.1 B.3 C.2 d.V5 2.(2025四川广元中考真题)（选择题）如图，CD是⊙O的弦，过圆心O作OA⊥CD于点H,交 ⊙O于点A,OH:HA=3:2,点M是CBD上异于C,D的一点，连接CM,DM,则sin∠CMD的值是 () B A 35 2 B. 4-5 c.3 D. 3 3.(2025湖北武汉中考真题)（选择题）如图，四边形ABCD内接于⊙O,AB=2CD.若 AB=6,CD=13,则⊙O的半径是() D 0 A是 a3 c D.5 4.(2025新疆·中考真题)（选择题）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD,∠ADC=30°， 则∠BOC=() D A.30° B.45° C.60° D.75° 3/28 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.(2025四川宜宾中考真题)（选择题）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D.若AB=8, OC=5.则OD的长是() 5 A.3 B.2 C.6 p 6.(2025山东滨州中考真题)（填空题）如图，点A,B,C,D在⊙O上，OC⊥AB,∠AOC=60°， 则sin∠BDC的值为 7.(2024黑龙江牡丹江·中考真题)（填空题）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E,CD=6,BE=1 ,则弦AC的长为 0 E D ⊙ 国考点02垂径定理的实际应用 1.(2024内蒙古通辽中考真题)（选择题）如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为 拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB=1m,CD=2.5m,则拱门所在圆的半径为() 4/28 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B A.1.25m B.1.3m c.1.4m D.1.45m 2.(2026江苏苏州中考真题)（填空题）苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手 法将自然月华与人文意境交融，核心寓意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”，某月洞门示意图如图② 所示，其内廓由ABC,线段CD,DE,EA四部分构成，AE,CD分别垂直于地面l.经测量，该月洞门 的最高点B到地面的距离为21分米，AE=CD=3分米，DE=12分米，则ABC所在圆的半径为 分米. B A 图① 图② 3.(2026四川广安中考真题)（填空题）水平放置的圆柱形排水管道的截面是半径为0.5m的圆，其中 水面宽为0.8m,则水面高为m. 4.(2025江苏南京.中考真题)（填空题）一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单 位：mm)如图，这枚古钱币的半径为 mm 10 5.(2025河南中考真题)（填空题）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆 术”，如图是研究“割圆术”时的一个图形，AB所在圆的圆心为点O,四边形ABCD为矩形，边CD与 ⊙O相切于点E,连接BE,∠ABE=15°，连接OE交AB于点F.若AB=4,则图中阴影部分的面积为 5/28 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.(2026河北中考真题)（解答题）在学习了圆的相关知识后，同学们设计并开展了一项综合实践活动， 下面是一个小组尚未完成的活动报告. 主题 求生活中的圆弧长 本次活动选取学校的铅球场 地，将场地的一部分抽象为扇 形OPQ(如图1所示)，己知 研究内 扇形OPQ所在圆的半径 容 OM⊥PQ于点N, OP≈10.00m,用不同的方案 图1 分别求pQ的长1： 工具 软尺（长度足够）、测角仪（可测量角度的大小）等 方案一 方案二 方案三 用测角仪测 查阅文献，发现北宋沈括的《梦溪笔谈》中 用软尺直接测 角，利用弧长 研究方 收录了近似计算圆弧长度的“会圆术”.图 案与实 年P0的长. 公式计算PQ 1中， 弧长I=PQ+MN2 OP 践成果 测量数据： 的长 测量数据： 第一次6.36m 测量数据： PQ≈6.20m 第二次6.32m ∠POQ≈36 MN≈0.50m 取两次测量结 反思应 利用弧长公 果的平均数， 根据“会圆术”，… 用 式，… 则1=6.34m 6/28 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①方案一可通过 的方法减少误差： ②我们可以利用上面的活动经 验解决一些生活中的问题。 如图2所示，公园里一座桥的 主桥拱是圆弧形，己知其跨度 AB为6m,拱高CD为1m,虽 E 图2 然弧长1.和圆心角∠AEB不 AB 方便测量，但可以通过计算近 似得出. 计算过程如下：… 请你帮助该小组完成活动报告，具体如下： (1)写出“反思应用”①中减少误差的方法：（写出一种方法即可） 2)分别利用方案二（结果保留π）和方案三计算。的长： PO 3)求图2中弧长1，和圆心角∠AEB（π取3.1) 品考点03利用圆心角的性质求角度 1.(2024海南·中考真题)（选择题）如图，AD是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且AB=BC=CD, 点P在CD上，若∠PCB=130°，则∠PBA等于() B A.105° B.100 C.90° D.70 2.(2024云南·中考真题)（选择题）如图，CD是⊙O的直径，点A、B在⊙O上.若AC=BC, 7/28 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠A0C=36则2D=（) D A.9 B.18° C.36 D.45 3.(2026湖北中考真题)（选择题）如图，PA与⊙O相切于点A,连接PO并延长交⊙O于点B,连接 AB.若∠B=24°，则∠P的度数是() A.42° B.48 C.56 D.66 4.(2026吉林.中考真题)（选择题）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，点P为边 AC上不与点A,C重合的任意一点，连接BP.若∠BAC=60°，则∠ABP的度数可能为() B A.20° B.35° C.45° D.60° 已考点04利用圆周角定理求角度 1.(2026河北中考真题)（选择题）如图，在⊙O中，ACB所对的圆心角为150°，点D在AC上.若 ∠CBO=n°，则∠ADC=() 8/28 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.90°+n°B.180°-n° C.195°-n° D.2n 2.(2026四川宜宾中考真题)（选择题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OC.若△AOC 为等边三角形，则∠ABC的度数是() A.20° B.30° C.50° D.60° 3.(2026四川内江中考真题)（选择题）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O,P为BC上的一点（点P 不与点C重合)，则∠CPD的度数为() A.36° B.45° C.60° D.72° 4.(2026甘肃天水.中考真题)（选择题）如图，△ABC内接于⊙O,CD是⊙O的直径，AB与CD交 于点P.若∠ABC=60°，∠ACB=50°，则∠BPC=() A.95° B.100° C.105° D.110 5.(2026云南中考真题)（选择题）如图，AB是⊙O的弦，点C在⊙O上.若∠ACB=26°，则 9/28 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠AOB=() 4 A.10° B.26° C.40° D.52° 6.(2026四川泸州中考真题)（选择题）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,AD, BD,BC,若∠ACD=40°，∠AEC=65°，则∠CBD=() D A.45 B.55 C.60 D.65° 7.(2026重庆中考真题)（选择题）如图，点A,B,C在⊙O上.若∠ACB=40°，则∠AOB的度 数是() A.140° B.100 c.90° D.80° 8.(2025四川中考真题)（选择题）如图，点A,B,C在⊙O上，若∠O=64°，则∠A=() B A.16° B.32 C.48° D.64° 10/28 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 国6考点05直径所对的圆周角等于90° 1.(2024青海西宁.中考真题)如图，四边形ABCD内接于⊙O,E为直径CD延长线上一点，AB=BC, ∠ADE=110°，则∠DAB=-· E 2.(2026陕西中考真题)如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线交⊙O于点D, 若AB=4,则BD的长为 3.(2026河南·中考真题)如图，AB为⊙O的直径，C,D为⊙O上两点，∠ADC=40°，则∠CAB 的度数为 B D 4.(2026江苏扬州中考真题)如图，C是以AB为直径的⊙0上一点，点D在BC上，∠ABC=20, BC 则∠CDB= 5.(2026山东烟台中考真题)如图，正五边形ABCDE的边长为10，连接AC,以AB为直径作⊙O, 与AC交于点F,与CB的延长线交于点G,则阴影部分扇形GOF的面积为 11/28 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G B 6.(2025江苏常州.中考真题)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦.若∠DCB=45°，AD=1, 则AB= B 7.(2024陕西中考真题)如图，AB为⊙O的直径，AC=AD,∠A=53°，则∠B的度数是 C 4 8.(2024江苏常州中考真题)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AD、BC、BD.若 ∠BCD=20°，则∠ABD= B 0考点06切线的判定定理相关证明 1.(2026广东·中考真题)如图，直线AB经过⊙O上的点C,且AC=BC,∠OAB=40°， ∠AOB=100°.求证：直线AB是⊙O的切线 12/28 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.(2026四川巴中.中考真题)如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，D是AC的中点，DE⊥AB 于点E,交AC于点F,AC、DB交于点G,H在AB延长线上且∠BCH=∠CAB. D (1)求证：CH为⊙O的切线： (2)求证：AF=DF: 3)若DG=2,GB=3,求AD的长 3.(2026黑龙江绥化中考真题)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB,垂足为P,连接BD,过点C 作BD的垂线，垂足为E,交直径AB于点F,交过点B的直线于点M,连接AC并延长，交MB于点N,且 CN=CM, D M (I)求证：BM是⊙O的切线： (2)若PD=27,OF=4,求线段CE的长 4.(2026四川广元中考真题)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆O交AC于点E, F为半圆O上一点，连接BF交AC于点G,连接CF,且CF=CB. 13/28 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求证：CF为半圆O的切线； ②连接ER,若an∠AEF=AB=10,求AG的长。 5.(2026黑龙江齐齐哈尔中考真题)如图，四边形ABCD内接于⊙O,AC为⊙O的直径，点E在AC 的延长线上，且∠CDE+∠ABD=90° D A E (1)求证：DE是⊙O的切线； 包若CE=8,DE=12,sn∠BAC=2求阴影部分的面积. 6.(2026广东深圳中考真题)如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接OC并延长至点D,使得 ∠CBD=∠ACO D (1)求证：BD是⊙O的切线： (②)若CD=4,BD=6,求BC的长： 3)利用圆规和无刻度直尺在图中作出点C关于直线AB的对称点P(保留作图痕迹，不要求写出作法)· 7.(2026四川宜宾·中考真题)如图，△ABC是等腰三角形，AC=BC,∠ACB=120°，点D是AB中 14/28 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点，CE平分∠ACD交AB于点E. (1)求∠BCE的度数； (2)求证：AC与△BCE的外接圆相切： )p为△BCE外接圆上任意一点，试探究PD与P4的数量关系，并说明理由. 8.(2026新疆.中考真题)如图，△ABC内接于⊙O,AD平分∠BAC交⊙O于点D,连接BD,CD, 经过点D的直线与AB的延长线相交于点B、且∠BDE=号∠BAC, D (I)求证：DE是⊙O的切线： ②如果点I是△MBC的内心，an∠BAC=号BC-24,求DI的值。 9.(2026四川攀枝花中考真题)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB,垂足为H.E为BD上一点， 连接AE交CD于点F,EF的垂直平分线交CD的延长线于点G,连接GE. B E D (1)若⊙O的半径为3，AH=2,求CD的长： (2)求证：EG是⊙O的切线. 15/28 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10.(2026湖南中考真题)如图，在等腰△OAB中，OA=OB.在OA上取一点E,以O为圆心，OE的 长为半径画弧，交OB于点F,分别以E,F为圆心，大丁号EF的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点 P;作射线OP交AB于点C;以O为圆心，OC的长为半径作⊙O. (1)求证：AB与⊙O相切： (2)已知OA=10,AB=12,求⊙O的半径. 国考点07圆中求阴影部分的面积 1.(2026江苏无锡中考真题)如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，过点B的切线交AD的延长线 于点C,AD=DC=1. D (1)求BC的长； (2)求图中阴影部分的面积. 2.(2026湖北武汉.中考真题)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点A的直线和过点C的切 线互相垂直，垂足为D,AD交⊙O于点E,连接AC. 16/28 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E B (1)求证：AC平分∠DAB: (②)若AE=6,ED=3.求图中阴影部分的面积. 3.(2026山西中考真题)如图，AB是⊙O的直径，点C,D是⊙O上的两点，且BD=BC,过点C作 ⊙O的切线与AB的延长线交于点E,连接AC,OD.若∠ACE=115°，OB=6,求扇形BOD(即阴影 部分)的面积（结果保留π）· 4.(2026山东德州中考真题)如图，在⊙O中，点A为⊙O上一点，点D是AC的中点，BC是⊙O的 直径.过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点E,连接OD并延长交AE于点F,连接CF. (1)求证：CF与⊙O相切： (2)若AF,EF=1,2,CF=2,求阴影部分的面积. 5.(2025江苏宿迁中考真题)如图，点A在⊙O上，点B在⊙O外，线段OB与⊙O交于点C,过点C 作⊙O的切线交直线AB于点D,且AD=CD (1)判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由： 17/28 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若∠B=30°，CD=4,求图中阴影部分的面积。 6.(2025江苏南通中考真题)如图，PA与⊙O相切于点A,AC为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接 PB,PC,且PA=PB (1)连接OB,求证：OB⊥PB: (2)若∠APB=60°，PA=23,求图中阴影部分的面积. 7.(2024宁夏中考真题)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点D是△ABC的内心，连接 AD并延长交⊙O于点E,过点E作⊙O的切线交AB的延长线于点F B I)求证：BC‖EF: ②)连接CE,若⊙0的半径为2，sin∠A亚C=),求阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）， 8.(2024江苏南通·中考真题)如图，△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,⊙A与BC相切于点D. (1)求图中阴影部分的面积： (②)设⊙A上有一动点P,连接CP,BP.当CP的长最大时，求BP的长. 18/28 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 色考点08利用圆的内接四边形求解 1.(2025·甘肃平凉·中考真题)如图，四边形ABCD内接于⊙O,AB=BC,连接BD,若∠ABC=70°， 则∠BDC的度数为() 0 D A.20° B.35° C.55 D.70° 2.(2025甘肃：中考真题)如图，四边形ABCD内接于⊙0：AB=BC连接BD:若∠ABC=70,则 ∠BDC的度数为() 0. B A.20° B.35° C.55 D.70° 3.(2025四川自贡中考真题)PA,PB分别与⊙O相切于A,B两点.点C在⊙O上，不与点A,B 重合.若∠P=80°，则∠ACB的度数为() A.50 B.100° C.130° D.50或130 4.(2024山东济宁中考真题)如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边，延长线相交于点E, F.若∠E=54°41，∠F=43°19，则∠A的度数为() .O A.42° B.41°20 C.41° D.40°20 5.(2024黑龙江牡丹江，中考真题)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若 ∠BEC=20°，则∠ADC的度数为() 19/28 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E A O A.100° B.110° C.120° D.130° 6.(2024四川广元中考真题)如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AD延长线上一点， ∠AOC=128°，则∠CDE等于() B D A.64° B.60° C.54° D.52° 7.(2024吉林.中考真题)如图，四边形ABCD内接于⊙O,过点B作BE‖AD,交CD于点E.若 ∠BEC=50°，则∠ABC的度数是() D O。 509 A.50° B.100° C.130° D.150° 国晶考点00圆与圆的位蛋关系 1.(2026上海中考真题)已知⊙A的半径为3，⊙B的半径为7，且AB=2,则⊙A与⊙B位置关系是 () A.内含 B.相交 C.相切 D.相离 2.(2025上海·中考真题)在锐角三角形ABC中，AB=AC,BC=8,△ABC的外接圆为⊙O,且半径 20/28 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 为5，边BC中点为D,如果以D为圆心的圆与⊙O相交，那么⊙D的半径可以为() A.2 B.5 C.8 D.9 3.(2024上海·中考真题)在△ABC中，AC=3,BC=4,AB=5,点P在△ABC内，分别以 A、B、P为圆心画，圆A半径为1，圆B半径为2，圆P半径为3，圆A与圆P内切，圆P与圆B的关系是 () A.内含 B.相交 C.外切 D.相离 生考点10圆中最值问题 1. (2026江西中考真题)如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,E是边AD上的动点，连接 BE,过点C作CF⊥BE于点F.当△BFC面积最大时，DE的长为 E A D B 2.(2026四川眉山中考真题)如图，在矩形ABCD中，AB=9,AD=12,点E在AB边上，且BE=3, 点F是BC边上的一个动点，将△BEF沿EF翻折，点B的对应点为点B,连接AB.点G在线段AB 上，若AG=AB,连接DG,则DG的最小值为 3.(2026四川自贡.中考真题)如图，正方形ABCD中，点E为CD的中点，作∠EBF=45°，交AD于 点F.点G,H分别在等腰Rt△DFQ的直角边DQ和斜边FQ上，且GQ=V2FH,FG与DH交于点P. 连接BP,若AF=2,则BP的最小值为· 21/28 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(2025海南中考真题)如图，点E是口ABCD内一动点，且∠AEB=90°，AB=4,BC=7. (1)△AEB面积的最大值为 (2)连接CE,分别取CD、CE的中点M、N,连接MN.若∠BAD=120°，则线段MN长度的最小值 为 D E 5.(2025四川宜宾.中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=6.将射线CA绕点C顺时 针旋转90°到CA1,在射线CA1上取一点D,连结AD,使得△ACD面积为24，连结BD,则BD的最大 值是· D B 6.(2024四川广元中考真题)如图，在△ABC中，AB=5,tan∠C=2,则AC+ 5BC的最大值为- 5 7.(2024河南·中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=3,线段CD绕点C在平面 内旋转，过点B作AD的垂线，交射线AD于点E.若CD=1,则AE的最大值为」 最小值为 22/28 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 8.(2024山东烟台，中考真题)如图，在口ABCD中，∠C=120°，AB=8,BC=10.E为边CD的中 点，F为边AD上的一动点，将△乙沿EF翻折得△DEF,连接AD,BD,则△ABD面积的最小值 为 D E 9.(2024四川内江中考真题)如图，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=8,E是BC边上一点，且 BE=2,点I是△ABC的内心，BI的延长线交AC于点D,P是BD上一动点，连接PE、PC,则PE+PC 的最小值为 D 品考点1圆中解答题压轴 1.(2026浙江·中考真题)如图1，△ABC内接于⊙O,D是直径AB上的一点，满足AC=AD,连接 CD并延长交⊙O于点E,连接BE,点F在弦BC上，且BF=DE.过点F作FG⊥CE,交AB于点G,交 CD于点H.设∠CAB=a. 23/28 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 GD八δ B GD B 图1 图2 图3 (1)用含Q的代数式表示∠ABE和∠FGB的大小： (2)如图1，若CF=CD,求证：GF=GO: 3)如图3，若⊙O的半径为1，点D在OB上，且OD=2AG,求AC的长 2.(2026湖北武汉中考真题)将正方形ABCD的边CD绕点D逆时针旋转得到DE,连接AE交边CD于 点F,DG平分∠CDE交AE于点G,连接CG、CE A 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：△CGE是等腰直角三角形（温馨提示：若思考有困难，可尝试证明 ∠DAE=∠DEG=∠DCG). (②)如图2，连接BD交AE于点H,求证：AF·AE=2AH·AG. 6如图3，点K在线段AE上，AK=CG,连按CK.若AB=4,直接写出CK的最小值。 3.(2026北京·中考真题)对于不共线的三点A,B,C,连接AB,AC,并作劣弧BC,使得BC所在圆 的圆心在过点A且与BC平行的直线上，称由AB,AC和BC组成的图形为单弧三角形，记作△A-BC, 其中BC所在圆的圆心称为△A-BC的弧心. 在平面直角坐标系xOy中， 24/28 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 0 图1 图2 (1)如图1，点A-2,-1,B-3,1,C1,1,直接写出△A-BC的弧心的坐标及BC的长： 2)如图2，点D-23,2”E2,0当△D-EF的弧心为0时，求点F的坐标： (3)已知点M1,0,对于平面内的点N,存在点P,Q满足△P-MN和△Q-MN的弧心均为O,△PMN 和△QMN都不是钝角三角形，且PQ=1,记N的横坐标为t,直接写出t的取值范围. 4.(2026贵州：中考真题)如图，已知AB是⊙0的直径，点P,C在⊙0上，PA=PC (I)线段PA与线段PC的数量关系是 ,若连接AC,则直线PO与AC的位置关系是 2)求证：PO‖BC: 3)过点P作⊙O的切线l,过点A作AD⊥l于点D.根据题意补全图形，若PD=2V2,BC=2,求⊙O 的半径 5.(2026陕西·中考真题)问题探究 C B D 图① 图② 图③ (1)如图①，AD是△ABC的角平分线，若SAABD:S△ACD=3:2,则AB:AC的值为 (2)如图②，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=80°，点D,E在边BC上.若BE·CD=AB,求 25/28 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠DAE的度数； 问题解决 (3)为优化种植结构及水资源配置，某村计划在一块平整的农田内修建两条笔直的田间小路，使得两条小路 将该农田分割为四个区域，以种植不同种类的农作物；为方便灌溉，还需在两条小路的交汇处修建一个蓄 水池，在蓄水池和水源接入口之间铺设一段地下输水管道. 如图③所示，四边形ABCD区域为农田，AQ,DP为小路，小路的出口P,Q分别在农田边界AB,BC上， AQ与DP相交于点M,点M为蓄水池，点B为水源接入口，BM为地下输水管道.根据种植需求， △ADP区域与△ABQ区域的面积之比为25：36，为了节约成本，还需使地下输水管道BM最短. 己知AD‖BC,AB⊥BC,AD=400m,AB=480m,BC=720m,请你帮助该村计算在满足种植需 求的情况下，当地下输水管道BM最短时，四边形MQCD区域的面积.（结果精确到1m2.小路的宽， 蓄水池的大小均忽略不计) 6.(2026内蒙古中考真题)已知△ABC是⊙O的内接三角形，半径OB与AC边相交于点D 图1 图2 (1)如图1，连接OA,若∠OAC=15°，∠ACB=40°，求∠ADB的度数； (2)如图2，点E是线段AC延长线上一点，连接BE ①若∠CDB=∠OBC,求证：∠ACB=2∠CAB; ②在①的条件下，若BE=BA,试判断线段OB与线段BE的位置关系，并说明理由. 7.（2026黑龙江绥化中考真题)综合与实践 【问题情境】在数学活动课上，老师让学生以“矩形”为主题，开展动点问题的研究.在矩形ABCD中， 点E,F分别是边AD,BC上的动点. D 图1 图2 图3 (I)【观察感知】如图1，当点E,F运动到AE=BF时，连接AF,BE.求证：△ABE≌△BAF. 26/28 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (②)【探索发现】如图2，连接AC,点M是AC上的一点，CM:AM=1:2,连接AF,BE,AF与BE 相交于点G,连接GM.当BE平分∠ABC,AF平分∠BAC时，且AB+AC=2BC,试求出GM与FC 的数量关系，并说明你的理由. B)【问题拓展】如图3，当AB=23,BC=8时，作直线EF,若直线EF将矩形ABCD分成周长相等的 两部分，过点D作DH⊥EF于点H,连接AH.当矩形的边AD与直线EF的夹角成60°时，请你直接写 出∠DAH的正切值.（自行完成作图并作答） 8.(2026四川广元中考真题)在学习图形旋转时，“智慧小组”将两个三角形纸片固定一个顶点，然后 将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的规律】 在△AOB与△COD中，∠ABO=∠CDO=90°，∠AOB=∠COD=30°，OA=6,OC=4,将 △COD绕点O顺时针旋转，旋转角为0°<a<180°，直线BD与直线AC相交于点E. D B E 图1 图2 备用图 【初步探究】 (1)如图2，∠AEB的度数为 【尝试应用】 (2)如图2，若BEOA,求CE的长： 【创新提升】 B)若C,D,E三点构成以CD为腰的等腰三角形，请直接写出AC的长. 9.（2026山西中考真题)综合与探究 问题情境：如图1，在△ABC中，AB=BC,BO是△ABC的中线.将△BOC绕点O顺时针旋转得到 △DOE,其中点B,C的对应点分别为点D,E,线段DE分别与线段OA,AB交于点M,F,线段OE与 AB交于点N. 27/28 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D D A F NB A F N B N B 图1 图2 备用图 (1)推理证明：求证：△AON≌△EOM: 2)拓展延伸：在旋转过程中，当OD‖AB时，探究下列问题. ①如图2，判断DO与DF的数量关系，并说明理由； ②已知OB=2,OA=3.在射线DO上取一点G,在射线BO上取一点H,使OH=OG.当以点A,G, H为顶点的三角形是直角三角形，且GH为直角边时，请直接写出线段BH的长. 28/28函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题19圆 答案版 自6考点01利用垂径定理进行求解 1.B2.B 3.A4.C5.A6. 1 7.3/10 考点02垂径定理的实际应用 1B2.103.0.2或0.8/或0.8或0.24.135-23 6.【详解】(1)解：方案一可通过多次测量取平均值的方法减少误差： (2)解：方案=：P0的长1=36Xx10=2nm: 180 方案：：1=P0+2,PQ≈620m.M0.50m.OP3100m 1=6.20+0.50 10.00 =6.225m; (3)解：，CD⊥AB,AB=6m AD-BD-号AB=31m 在Rt△ADE中，由勾股定理得，AE=AD+DE2,CD=1m 六AE2=32+AE-1P 解得AE=5m 白“会圆术可得.1。A8+g-6号-62m AB 设∠AEB的度数为n则由=匹80兰得，6.2=7￥31X5 180 解得n=72o 国0考点03利用圆心角的性质求角度 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.B 2.B 3.A 4.A 品考点04利用圆周角定理求角度 1.C 2.B 3.A4.B5.D6.B7.D8.B E考点05直径所对的圆周角等于90 1.125/125度2.π3.50°4.110 55 627.3737度8.70 马考点06切线的判定定理相关证明 1.证明：连接0C .∠AOB=100°，∠OAB=40 ∴∠OBA=180°-∠AOB-∠OAB=40° .∠OAB=∠OBA ..OA=OB ..AC=BC ∴.OC⊥AB :点C在⊙O上， .OC为半径， ∴.直线AB是⊙O的切线. 2.(1)证明：连接OC,如图所示： 0 B :AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°， 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠CAB+∠ABC=90°， ,∠BCH=∠CAB. .∠BCH+∠ABC=90°， .OC=OB. ∴.∠OCB=∠OBC, ∴.∠BCH+∠OCB=90°，即∠OCH=90°， .OC⊥CH, OC是⊙O的半径， .CH为⊙O的切线， (2)证明：，D是AC的中点， .'.AD=CD. .∠ABD=∠DAC, ,DE⊥AB,AB是⊙O的直径， .∠ADB=∠AED=90, ∴.∠ADE+∠DAE=∠DAE+∠ABD=90°， .∠ADE=∠ABD=∠DAC, ,AF=DF」 (3)解：DG=2,GB=3, .'DB=DG+BG=5 ,∠ABD=∠GAD,∠ADB=∠GDA, ,△ABD一△GAD, 品 .AD=DG·DB=10, ..AD=10 3.(1)连接BC, 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 N D .AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=∠BCN=90°， 在△BNC中，∠CNB+∠NBC=90°， CM⊥BD,垂足为E, .∠CED=∠BEM=90°， 在△BME中，∠EMB+∠MBE=90°， CN=CM, ∴.∠CNB=∠EMB. ∴.∠NBC=∠MBE, CD⊥AB,垂足为P, :CP=DP, ∴BC=BD .△BCD是等腰三角形， .∠CBP=∠DBP, .∠NBC+∠CBP+∠DBP+∠MBE=180°， .2∠NBC+2∠CBP=180°， ∴.∠NBC+∠CBP=90°， .∠ABN=90°， :OB为⊙O的半径， .BM是⊙O的切线： (2)解：，AB是⊙O的直径，CD⊥AB,垂足为P, ∴.PC=PD,∠APC=∠FPC=90°， 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 PD=27, ..PC=27,DC=47, ∵BC=BC, ∴.∠A=∠D, ∴.∠APC=∠CED=90°， ∠ACP=90°-∠A=90°-∠D=∠DCE, .PC=PC, ∴.△ACP≌△FCPASA, ..PA=PF, 设⊙O的半径为r, OF=4, ..FA=OA+OF=r+4, A-PF-im-24 21 PB=AB-PA=2r-r+4=3r-4 22 ,∠A=∠CDB,∠ACP=∠DBP, ∴.△ACP~△DBP, 带品 r+4 2% 2 3r-427' 2 解得r=6r,-8(舍去) r=16 3 “P4=F+4-14 23 在Rt△ACP中，AC=VAP2+CP 4 +2V7=87, 2 ,∠ACP=∠DCE,∠A=∠CDB ∴，△ACP~△DCE, 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AC CP CDCE' 8V7 ·3-27, 47 CE 解得CE=3V7. 4.(1)证明：如图，连接OC,OF, 在△BOC和△FOC中， .OC=OC,OB=OF,BC=FC, ∴.△BOC≌△FOC SSS, .∠OFC=∠OBC, .∠ABC=90°， .∠OFC=90°， OF为半径， .CF为半圆O的切线： (2)解：如图，连接OC,交BF于点K,过点G作GH⊥AB于点H, B ,∠ABC=90°，AB为半圆0的直径， 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .BC为半圆0的切线，∠AFB=90°，∠BOC+∠BCO=90°， ,CF为半圆O的切线， ∴.BC=CF, .OB=OF, ∴OC垂直平分BF,即∠OKB=90°，BK=BF, 2 .∠OBF+∠BOC=90°， .∠OBF=∠BCO, '∠OBF=∠AEF,tan∠AEF= 2 tan∠BCO=tan∠OBF=tan∠AEF= tan∠OBF=GH=1 BH 2' 设GH=X,则BH=2x, .AB=10 :0B=2AB=5, OB .BC= an∠BCo=10, :.△ABC为等腰直角三角形， .∠BAC=45°， ∴.△AGH为等腰直角三角形， .AH=GH=x,AG=2x, ∴.AB=AH+BH=3x=10, x=10 , AG=2x=102 3 5.(1)证明：连接OD 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E .OC=OD, ∴∠ODC=ㄥOCD :∠ABD=∠OCD, .∴.∠ODC=∠ABD .:∠CDE+∠ABD=90°， .∴.∠CDE+∠ODC=90°，即∠ODE=90° .OD⊥DE .OD为⊙O的半径， ∴.DE是⊙O的切线： (2)解：连接OB, D E ⊙ 设⊙O的半径为X,则OD=OC=X,OE=OC+CE=x+8 在Rt△ODE中，OD+DE=OE2, X2+12=x+82,解得x=5 ∴.AC=2x=10. sin∠BAC= ∴∠BAC=30 ∴.∠BOC=2∠BAC=60 ∴.∠A0B=180°-∠B0C=120°， .AC是⊙O的直径， 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠ABC=90, .nG-AC-5. ∴.AB=AC2-BC2=V102-52=53 :5a号ABC=×583x5=罗8 OA-TAG, .SAOAB= Sg=50840n120x5-253=251-255 360 4 3 4 6.(1) 证明：，OA=OC .∠ACO=∠OAC .∠CBD=∠ACO .∠CBD=∠OAC ,AB是⊙O的直径， .∠ACB=90° ∴.∠OAC+∠ABC=90° .∠CBD+∠ABC=90° .∠ABD=90°， OB为半径， BD是⊙O的切线： (2)解：过点B作BT⊥OC于点T,则∠OTB=90° D 设OB=OC=r,则OD=r+4 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,∠ABD=90°， ∴.OB2+BD2=0D2 r2+62=r+42 期8r号 0B=0C-3oD=号， 21 .∠OTB=∠OBD=90°，∠BOT=∠DOB .△BOT一△DOB BO OD BD OT OB BT 513 2=2=6 2 07=25 61 B7=30 3 :.CT=0C-0T=22613 .5_25_20 302 2 BC=BT2+CT2= 10V13 13 (3)解：连接AP,PC, D 由作图可得AP=AC, 则AP=AC 再由垂径定理的推论可得AB垂直平分CP, 即可得到点P,C关于AB对称. 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.(1)解：，AC=BC,∠ACB=120°，点D是AB中点， ·∠BCD=∠ACD= ∠ACB=60° 2 CE平分∠ACD :∠DCE=1∠ACD=30° 2 ∴.∠BCE=∠BCD+∠DCE=90° (2)证明：由(1)知∠BCE=90°， ,EB是△BCE的外接圆的直径，设圆心为点O,连接OC, .AC=BC,∠ACB=120°， :∠B=∠CAB=180°-∠ACB=30 .OC=OB. ∴.∠OCB=∠B=30° ∴.∠ACO=∠ACB-∠OCB=90°， OC为半径， .AC与△BCE的外接圆相切： (3)解：PA=2PD,理由如下： 连接OP,设OP=OE=OC=R, ,∠CAB=30°，∠ACO=90° .AO=2C0=2R, “CE=CE 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠COE=2∠B=60 CA=CB,点D是AB中点， .CD⊥AB .∠DC0=90°-∠COE=30°， :.0D=20c=2R, 1 OD×OA=R×2R=R2=0P2 OD OP ∴OPOA .∠DOP=∠POA ∴.△DOP△POA 阳8器是 .'PA=2PD 8(1)证明：连接DO并延长交⊙O于点F,连接BF, B BD=BD .∠1=∠3 DF是直径， .∠FBD=90 ∠1+∠2=90° ,AD平分∠BAC ∠3=克∠BMC :∠BDE=∠BAC, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠3=∠BDE .∠1=∠BDE ∴，∠BDE+∠2=∠EDF=90° OD是半径， .DE是⊙O的切线： (2)解：连接BI,CI,OB,OC,OD,OD交BC于点M, B D ,AD平分∠BAC .∠BAD=∠CAD. ·BD=CD .∠4=∠5， ,DO是半径， ∴OD⊥BC, BM=CM=1BC=1×24=12, 2 .OB=OC ∴.∠BOC=2∠BOM .∠BOC=2∠BAC, ∴.∠BOM=∠BAC :tan∠BAC=12 5 ∴tan∠BOM= BM=12=12 OMOM 5 .OM=5 OB-0M+BM2=13 .0D=13 .DM=OD-OM=8 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BD=VBM2+DM=12+82=4V13 点I是△ABC的内心， .∠ABI=∠CBI BD=BD .∠5=∠BAD .∠4=∠BAD .∠DBI=∠4+∠CBI,∠6=∠BAD+∠ABI .∠DBI=∠6， ..DI=DB=413 9.(1)解：连接0C, D G .⊙0半径为3， ..OC=OA=3, .AH=2, .OH=OA-AH=3-2=1, CD⊥AB,AB为直径， ∴.∠OHC=90°，CD=2CH, 在Rt△0CH中，CH=0C2-0H=V32-1=2P/2' :.CD=2×2/2=4V2: (2)证明：连接OE, 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B G ,点G在EF的垂直平分线上， ∴U=GF ∴.∠GEF=∠GFE, ∠GFE=∠AFH, .∠GEF=∠AFH, CD⊥AB, .∠AHF=90°， ∴.∠A+∠AFH=90°， .OA=OE .∠A=∠OEA, ∴.∠OEA+∠GEF=90°， .∠OEG=90°， .OE⊥EG .OE是⊙O半径， ∴.EG是⊙O的切线。 10.(1)证明：由尺规作图的作法可知，射线OP是∠AOB的角平分线， ..OA=OB, ∴.△OAB是等腰三角形， .OC⊥AB 又，OC是⊙O的半径，且点C在AB上， .AB与⊙O相切： (2)解：，△OAB是等腰三角形，且OC⊥AB, .OC是底边AB的中线， 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AC=1AB=1×12=6, 在Rt△0AC中，OC=OA'-AC=102-6=8 .⊙O的半径为8 角考点07圆中求阴影部分的面积 1.(1)解：连接BD, ,AB是⊙O的直径， .∠ADB=90°， .∠BDC=90°， ,BC与⊙O相切于点B, AB⊥BC, ∴.∠ABC=90°， AD=CD=1, :BD=1AC=1, :.在Rt△BCD中，BC=√CD+BD=1P+1P=2 (2)解：连接OD, A D to .AD=CD OA=OB OD|BC,OD=号BC=2 2 .∠ABC=90°， 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠B0D=90°， 12 90π× 1 2 3π ∴.S阴影=S横 ODEB 2 形0 +2 360 8 2.(1)证明：连接OC, D OA=OC, .∠OAC=∠OCA, ,CD是⊙O的切线， .OC⊥CD .AD⊥CD, ∴.OC‖AD, .∠DAC=∠OCA, .∠DAC=∠OAC, ∴.AC平分∠DAB: (2)解：连接BE,交OC于点F,连接OE,交AC于点G, D G AB为直径， ∴.∠AEB=90°， .∠DEB=90°， .OC⊥CD,AD⊥CD ∴四边形CDEF为矩形， 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.OC⊥BE,CF=ED=3, .BF=EF, .OA=OB, ∴.OF是△ABE的中位线， :.OF=1AE=3. ∴.OA=OC=OF+CF=6, ∴.OA=OE=AE=6, ∴，△AOE为等边三角形， ∴.∠E0A=60°， .OC‖AD, ∴.∠EOC=60°， .AE=AO,∠EAG=∠OAG, .AG⊥OE,即OE⊥AC, 0c-04=3 六AG=V0A2-0G=33 :.S隔=S扇O3△A0E=360 =60πx62-1×6×33=6π-93. 3.(2)解：连接BE,交OC于点F,连接OE,交AC于点G, D E G AB为直径， ∴.∠AEB=90, ∴.∠DEB=90°， .OC⊥CD,AD⊥CD, ∴，四边形CDEF为矩形， 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.OC⊥BE,CF=ED=3, .BF=EF, .OA=OB, ∴.OF是△ABE的中位线， :.OF=AE=3, ∴.OA=OC=OF+CF=6, ∴.OA=OE=AE=6, ∴，△AOE为等边三角形， ∴.∠E0A=60°， .OC‖AD, ∴.∠EOC=60°， .AE=AO,∠EAG=∠OAG, ∴.AG⊥OE,即OE⊥AC, 0c-04=3 六AG=/OA2-0G=33 :.S例=S扇AO3△4oE=360X =60元x62-1×6x33=6π-93. 2 4.(1)证明：连接OA, BC⊙O .C⊙0 是 直径，点在上， :D是AC的中点， ∴.∠AOF=∠COF, OA=OC 在△AOF和△COF中， ∠AOF=∠COF, OF=OF .∴.△AOF≌△COF SAS, .∴.∠OCF=∠OAF=90°， 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.OC⊥FC, .OC是⊙O的半径， ∴.CF与⊙O相切. (2)解：AF,CF是⊙O的切线， ∴.AF=CF, .AF:EF=1:2,CF=2, .∴.AF=2,EF=4, .∠FCE=90°， ÷sin∠E=FC=2=1 EF 4 2' ∴.∠E=30°， .∴.∠CFE=90°-∠E=60°， ∠0FC=∠05A=180°-∠CFE=60°， 2 .∴.∠FOC=90°-∠OF℃=30°， .∴.OF=2FC=4, 由勾股定理得，OC=2, 56m=号×293x2=285, S四边0误SAOFC=43 60°π232 S扇0AC 360° =2π :阴影部分的面积为Sg边4R3-2π 5.(2)解：.AF,CF是⊙O的切线， .∴.AF=CF, .AF:EF=1:2,CF=2, ∴.AF=2,EF=4, .∠FCE=90°， mB签号号 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠E=30°， ∴.∠CFE=90°-∠E=60°， :∠0FC=∠0A=180°-∠CFE=60°， .∴.∠FOC=90°-∠OFC=30°， ∴.OF=2FC=4, 由勾股定理得，OC=2V3, “5au-×23×2=25. S四边0a4SA0rc=43: 60°π2V3}2 S扇0 360° =2 :阴影部分的面积为Sg造5忘43-2π· (2)解：由(1)得△OAD≌△OCD,∠OAD=∠OCD=90°， .∠AOD=∠COD,SAOAD=SA0CD, :∠B=30° ∴.∠A0C=60°， .∠AOD=∠COD=30, .OD=2CD=8, 六0C=0D2-CD2=V82-4=43 :SA0AD=S△0cD-2 =1×43×4=83, ∴.S阴影=S△OAD+S△OcD-S扇居 =83+83-60n×4V3} 360 =163-8π. 6.(1) 证明：如图，连接OP, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 PA⊙O B ,与 相切， .OA⊥PA, .∠OAP=90°， 在△AOP和△BOP中 OA=OB PA=PB OP=OP ∴.△AOP≌△BOP SSS ∴.∠OBP=∠OAP=90°， .OB⊥PB (2)解：如图，连接BC, B ,∠OBP=∠OAP=90°，∠APB=60°， .∠A0B=120°， ∴.∠COB=60° .OB=OC, ∴.△BOC为等边三角形， ∴.∠OCB=60°， 由(1)可知：∠AOP=∠BOP=60°， ·∠AOP=∠OCB,OA=, PA 23=2, tan∠AOP3 .OP‖BC, .SAPCB=SAOCB 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 60π×2_2红 :.S阴影席分=S扇083603 7.(1) 证明：连接OE,交BC于点G, A D。 .OA=OE B ∴.∠OAE=∠OEA, 又.D为△ABC的内心， ∴.∠OAE=∠CAE, ∴.∠OEA=∠CAE, ∴.OEAC, 又.AB为⊙O的直径， ∴.∠ACB=90° ∴.∠BGO=90 又.EF为⊙O的切线且OE为⊙O的半径， ∴.∠FE0=90°， ∴.∠BGO=∠FEO, .BC‖EF: (1) 证明：连接OE,交BC于点G, A D B G .OA=OE ∴.∠OAE=∠OEA, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又.D为△ABC的内心， ∴.∠OAE=∠CAE, ∴.∠OEA=∠CAE, ..OE AC, 又.AB为⊙O的直径， ∴.∠ACB=90 ∴.∠BGO=90 又'EF为⊙O的切线且OE为⊙O的半径， ∴.∠FE0=90°， .∴.∠BGO=∠FEO, .BC‖EF: (2)解：：sin∠AcC=号 ∴.∠AEC=30° ∴.∠ABC=∠AEC=30°， ∴.∠BOE=60°，∠EFO=30°， ∴.EF=OE.tan60°=23， .S阴能船分=S△BF0-S扇形 =号×2×23-60×π×2 360 =23-2 1 8.(1)解：连接AD, D .AB=3,AC=4,BC=5, .AB2+AC2=32+42=25=52=BC2, .∠BAC=90°， 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .BC与⊙A相切于D, .AD⊥BC, 5。x号AD-BC-ACAB :AD=ACAB-3×4_12 BC 55 90π× 2 六S影=SAc-S阳=号×3x4 =6- 36i 2 360 25 (2)解：延长CA交⊙A于P,连接BP,此时CP最大， 由(1)知：∠BAC=∠PAB=90,AP=AD=12 PB=AP+AE-五 自0考点08利用圆的内接四边形求解 1.C 2.c3.D4.C5.B6.A7.c 6考点09圆与圆的位置关系 1.A 2.B 3.B 国品考点10圆中最值问题 1.1 2.4/10-23.45-2244 67-25.2/13+4652 2 7.2V2+1 /1+2V2 22-1/-1+2V28.203-16/-16+20392V13 官6考点1圆中解答题压轴 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.(1)解：∠CAB=a,AC=AD, A飞ACD=∠ADC180°-Q=901 ”∠ABE,∠ACE为AE所对的圆周角， ·∠ABE=∠ACD=90-1& . GF⊥CE, ∴∠FGB=90°-∠ADC=90°- (2)证明：如图，连接OF,OE, GD B :∠CEB,∠CAB为CB 所对的圆周角， ∴.∠CEB=∠CAB=a, AB为直径， .∠ACB=90°， ∴.∠ABC=90°-a, ·∠EBD=∠ACD=900-1& ·∠CBE=∠ABC+∠EBD=90°-&+90°-1 0=1800-3。 , 2 .CD=CF,BF=DE, ∴.CE=CB, ·∠CEB=∠CBE=180°-3。 同理：∠CAB=∠CEB, 0=1800-3 a, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得：α=72， .∠CAB=∠CEB=∠CBE=T2°， ∠BCD=180°-72-72=36°，∠FGB=1 a=36°， ∴.∠BOE=2∠BCD=72°， .OB=OE, .∠OBE=∠OEB=54°， .∠OED=∠OBF=72°-54°=18°， ∴.△OED≌△OBF|SAS, ∠0FB=∠ODE=∠ADC=∠ACD=90-a=54,∠D0E=∠B0F, ,∠D0E+∠BOE=180°， .∠BOF+∠BOE=180°， E,O,F三点共线， ∴.∠GOF=∠BOE=72°， ∴.∠GF0=180°-∠FG0-∠GOF=72°=∠G0F, ∴.GF=GO (3)解：如图，连接AE,OE, ·∠ACB=90,∠ACD=∠ADC=900-1 9, BCE--GB, 同理：∠DAE=∠BCE=。 ∴.∠FGB=∠DAE, 结合(1)可得：∠ACD=∠ADC=∠EDB=∠OBE=∠OEB, ,∠EBD=∠OBE, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.△BDE一△BEO, .BD-BE BE BO 即BE2=BD·BO, 同理可得：∠AED=∠FBG, ..BF=DE, ∴.△FGB≌△DAE AAS, ∴.AE=BG, 设AC=AD=X, ,AO=1, ..AB=2,BD=2-x,OD=x-1, .OD=2AG, ..AG=x-1 2 ·AE=BG=2-X-1=5-X 22 ∴.BE2=BD·BO=2-X, .AB为直径， .∠AEB=90°， …22=2-x+ 5-x2, 2 ∴.x2-14x+17=0, 解得：x=7-42(x=7+42大于直径，舍去)， .AC的长为7-42. 2.(1)证明：，DG平分∠CDE, ∴.∠CDG=∠EDG, ,正方形ABCD的边CD绕点D逆时针旋转得到DE, .'AD=CD=DE, .DG=DG △DCG≌△DEG SAS, ∴.CG=EG,∠DEG=∠DCG, .AD=CD=DE. 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠DAE=∠DEG, .∠DAE=∠DCG, .∠AFD=∠CFG, .∠CGF=∠ADF=90°， ∴.∠CGE=90°， ∴.△CGE是等腰直角三角形 (2)证明：由(1)证得△DCG≌△DEG,∠CGE=90°， ∠CGD=∠BGD=360°-90=135， .∠AGD=180°-∠EGD=180°-135°=45， .∠AGD=∠ADB=45°， 又，∠DAG=∠FAD, ∴，△ADH一△AGD, AD=AH AG AD 即AD2=AH·AG①， 如图：过D作DM⊥AE于M,则∠AMD=∠ADF=90°， D HMF G ,∠DAM=∠FAD, ∴.△ADM一△AFD, 梁0 即AD=AM·AF②， ,AD=DE,DM⊥AE, .AM-EM-ZAE, .A D-AM-AF-TAE.AF 由O②两式得，AH·AG=号AE·AF,即AF·AE=2AH·AG. 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)证明：DG平分∠CDE, ∴.∠CDG=∠EDG ,正方形ABCD的边CD绕点D逆时针旋转得到DE, .'AD=CD=DE. .DG=DG, ∴△DCG≌△DEG SAS, ∴.CG=EG,∠DEG=∠DCG, .AD=CD=DE, ∴，∠DAE=∠DEG, .∠DAE=∠DCG, ,∠AFD=∠CFG, .∠CGF=∠ADF=90°， ∠CGE=90°， :.△CGE是等腰直角三角形， (2)证明：由(1)证得△DCG≌△DEG,∠CGE=90°， 六cGD=<cD-360-90=135 ∴.∠AGD=180°-∠EGD=180°-135°=45°， .∠AGD=∠ADB=45°， 又，∠DAG=∠FAD, .△ADH△AGD, 船品 即AD2=AH·AG①， 如图：过D作DM⊥AE于M,则∠AMD=∠ADF=90°， HMF G B .∠DAM=∠FAD, ∴.△ADM一△AFD, 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 00 即AD=AM·AF②， ,AD=DE,DM⊥AE, <.AM-EM-TAE, .A D'-AM.AF-T AE-AF 由O@两式相，AAG号AE~A5,即AFA=2AH:AG. 3.(1)解：由题意可知：弧心在过点A且与BC平行的直线上，且弧心是BC所在圆的圆心， ∴弧心到B、C距离相等，即在BC的垂直平分线上， :B(-3,1),C(1,1),BC为水平线段（平行于x轴）， ∴过A(-2,-1)且平行于BC的直线为水平线：y=-1, BC中点为(-1,1)，其垂直平分线为竖直线：x=-1, 两直线交点即为弧心，坐标为-1，-1)， ,弧心到B、C距离相等， “￥径为弧心到点B的距离：r=-1+3+-1-1=R4+4=22 .B(-3,1),C(1,1), ∴.BC=4, ∴.B、C与弧心构成直角三角形， ∴圆心角为90°， :BC的长-90°X22×1=2元. 180° (2)解：设直线OD的解析式为y=kx+b, 将D-25,2r010,0代入得：2=-233k+b 0=b 3 解得： k=- 3 b=0 ∴直线OD的解析式为y=- 3 3 X: 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :EF‖OD, 3 ∴.直线EF的解析式为y=- 3 X+b1, .E2,0, ∴直线EF的解析式为y=- 323 x+ 3 3 △D-EF的弧心为O, ..OF=OE=2, 设点F坐标为x,y,过点F作FH⊥轴于点H, D(23,2) F 0FOE3026o00E2m】 ∴.0H+FH2=0F2, ∴x2+y2=22=4, y=- 3,23 x+- 3 3 X+ 3.23 \2 x+ =4 3 3 解得：X1=2(与点E重合，舍去)，X2=-1, 将x=-1代入y=- V3.2 -X+- 3 3,解得y=3, 故F的坐标为(-1,3)： (3)解：弧心为O,故OM=ON=1,即N在单位圆上， 设点N的坐标为(t,n), 根据勾股定理可得t+n2=r2=1, 过点MN分别作坐标轴平行线，得：MN2=1-t?+n2 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 代入t2+n2=1,得MN=V2-2t, 由题意可得已知直线PQ过原点O,且PQ‖MN, 分别过点M、N作MN的垂线，交直线PQ于P1、P2两点， 当点P在线段P1P2上时，∠PMN、∠PNM均为直角或锐角（非钝角）； 若P在P1左侧或P2右侧，对应角为钝角： 由PQ‖MN、MP1⊥MN、NP2⊥MN,可判定四边形MPP2N是矩形， 根据矩形对边相等得：P,P,=MN=/2-2 情况1：当t≥0时， PO=1 当P与原点O重合时，OM=ON=1, 代入得：MN2=2-2t≤2=OM2+ON2, 此时∠MON为非钝角，因此整条线段P1P2都满足三角形非钝角的要求，有效区域长度为V2-2t, 要存在PQ=1,需有效长度V2-2t≥1， 解得1s号 结合t之0得0≤t≤专 情况2：当t<0时， 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 限定PQ 限定V 当P与原点O重合时，MN2=2-2t>2=0M2+ON2, 因此直线PQ上，原点附近一段区域会使∠MPN为钝角， Mw点为00些引 71号 “n2=1-t2=1-t1+t)' a两心到直线PQ的距高d俄平方生 六L=2rP-d=2-t 要存在PQ=1,需钝角区域宽度2V-t≤1， 1 解得t之- 结合t<0得- t<0: 4 1 合并两种情况，得t的取值范围为一4≤ 4.(1)解：在⊙0中，PA=PC .'PA=PC, ∴，线段PA与线段PC的数量关系是相等； 连接AC, 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .PA=PC,OA=OC. ∴.PO垂直平分AC ∴，直线PO与AC的位置关系是互相垂直： 2)证明：延长PO交AC于点H, 由(1)可得，PO垂直平分AC,即HA=HC, .OA=OB, .OH是△ABC的中位线， .OH‖BC,即PO‖BC: (3)解：如图，连接AC,延长PO交AC于点H, 由(2)可知∠PHA=90°，HA=HC D B ,直线l是⊙O的切线，AD⊥1， ∴.∠PDA=∠DPH=90, ∴.∠PDA=∠DPH=∠PHA=90°， ∴，四边形PDAH是矩形， .AH =PD=22, ..AC=2AH=42. AB是⊙O的直径， 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠ACB=90°， ∴.AC2+BC2=AB2, ·AB=42+2=6 ·半径为5AB=3. 5.(1)解：过点D作DE⊥AB,DG⊥AC,垂足为点E,G, 图① ,AD是△ABC的角平分线， ∴.DE=DG, S△ABD=」 ×AB×DE 2 S△ACD ×AC×DG 3N 21 :B3 AC 2 (2)解：，∠BAC=80°，AB=AC, :∠B=∠C=180°-∠BAC=509, BE·CD=AB2, .BE·CD=AB·AC, 器器 ∴.△ABE~△DCA, ∴.∠BEA=∠CAD, ∴.∠BEA-∠EAC=∠CAD-∠EAC, .∠C=∠DAE=50: (3)解：AB⊥BC, ∴.∠ABC=90°， 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AD‖BC, .∠BAD=180°-∠ABC=90°， SAADP LADX AP 2 400AP25 SB 1 AB×BQ 480BQ36 AP5 BQ 6 AD-400_5 AB48061 APAD BO AB .∠DAP=∠ABQ=90°， ∴.△DAP-△ABQ, ∴.∠ADP=∠BAQ, ,∠ADP+∠MAD=∠BAQ+∠MAD=∠BAD=90°， ∴.∠AMD=90°， 取AD的中点E,连接ME,BE,则AE=之AD=200m, ∴.点M的轨迹为以E为圆心，AD为直径的一段圆弧，EM=AE=200m, .BM+ME≥BE, ∴.BM≥BE-ME, ∴.当点B,M,E三点共线时(M在线段BE上)，BM取得最小值，如图： 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 过点M作MF⊥AD交AD,BC于点F,G, .∠BAD=90°， BE=AE2+AB=V2002+4802=520m/ 此时BM=BE-EM=520-200=320m, :AD‖BC,MF⊥AD, .MG⊥BQ, ∴.四边形ABGF是矩形， ∴.FG=AB=480m, .AD‖BC .△AEM△QBM, .AE-EM-MF QB MB MG' 200_200_MF ·QB320480-MF' QB=320,MF=2400 13, ∴.CQ=BC-QB=720-320=400m=AD, .AD‖BC, ∴.四边形AQCD是平行四边形， .S四边形OSBA0cD-S△AMD, =400×480-1×400×2400_2016000≈155077m2, 13 13 答：当地下输水管道BM最短时，四边形MQCD区域的面积为155077m2. 6.(1)解：，∠ACB=40°， .∠AOB=2∠ACB=80°， .∠OAC=15°， 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠ADB=∠OAC+∠AOB=95°： (2)①证明：连接0C, E B BC=BC, .∠BOC=2∠CAB, .OB=OC. ∴.∠OBC=∠OCB, .∠CDB=∠OBC. .∠CDB=∠OCB, ,∠CBD=∠OBC, .△CBD一△OBC, .∠BCD=∠BOC, ∴.∠BCD=2∠CAB, 即∠ACB=2∠CAB: ②OB⊥BE,理由如下： ..BE=BA, ∠E=∠A, 设∠E=∠A=x, ∴.∠ACB=2X, .∠BOC=2∠A=2X,∠CBE=∠ACB-∠E=X, .OB=OC, 4∠0BC三∠0CB=号180°-∠B0C=90°-3 .∠OBE=∠OBC+∠CBE=90°-X+X=90°， .OB⊥BE 7.(1)证明：，四边形ABCD是矩形， .∠BAE=∠ABF=90°， 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在△ABE和△BAF中 AE=BF BAE=∠ABF=90° AB=BA △ABE≌△BAF(SAS): (2MC=2,理由如下： CF 3 如图，连接CG,过点G作GH⊥BC于点H, E D BE ∠ABC AF∠BAC AF BE G B HF 平分 平分 ，且与 相交于点， 点G是△ABC的内心， ∴.点G到△ABC三边的距离相等 设GH=r, :rAB+AC+rBC=号BcAB, 即rAB+AC+BC=BC·AB, .AB+AC=2BC ∴.r·3BC=BC·AB .'.AB=3r .GH:AB=1:3 .'∠FHG=∠FBA=90°，∠AFB=∠GFH .∴.△FGH一△FAB ∴.GF:AF=1:3 ∴.AG:AF=2:3 .∴.CM:AM=1:2 ∴.AM:AC=2:3 .∠GAM=∠FAC ∴.△GAM-△FAC 等 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)解：理由如下：，矩形的边AD与直线EF的夹角成60°， ,分以下两种情况讨论 情况一：当∠HED=60°，且点H在AD的上方时，如图1， H B 图1 过点H作HN⊥AD,垂足为N,连接HA,HD ∴.∠HNE=90° .∠EHN=30o 设EN=X .∴.EH=2x,HN=3x ,DH⊥EF,垂足为H .∴.∠DHE=90 .∠HDE=30° .∴.ED=4X, .'直线EF将矩形ABCD分成周长相等的两部分 .BF=ED=4x 过点F作FM⊥AD,交AD于点M ∴.∠AMF=90° ∴四边形ABFM是矩形 .∴.BF=AM=4X .AB=23 .MF=23 在Rt△EFM中，∠EMF=90° .∴.∠MEF=60°，∠MFE=30° ∴.ME=2 .AD=AM+ME+ED=4x+2+4x=8x+2 .BC=8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.AD=8 ∴.8x+2=8 解得：X=3 4 HN=3x=33 4 AN=AM+ME+EN=4x+2+x= 23 .tan∠DAH=HN=35 AN 23 情况二：当∠HED=60°，且点H在AD的下方时，如图2， E NM D B 图2 同情况一可得 AD=AM-ME+ED=4x-2+4x=8x-2 .BC=8 .∴.AD=8 ∴.8x-2=8 家闲x月 HN=3x=53 4 AN=AM-ME+EN=4x-2+x=17 4 tam∠DAH=HN-53 AN 17 综上所述，tan∠DAH= 成号5 23 8.(3)解：理由如下：.矩形的边AD与直线EF的夹角成60°， ∴.分以下两种情况讨论 情况一：当∠HED=60°，且点H在AD的上方时，如图1， 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 过点H作HN⊥AD,垂足为N,连接HA,HD ∴.∠HNE=90° ∴.∠EHN=30° 设EN=X ∴.EH=2x,HN=V3x .DH⊥EF,垂足为H ∴.∠DHE=90° ∴.∠HDE=30 .∴ED=4X, .直线EF将矩形ABCD分成周长相等的两部分 .∴.BF=ED=4X 过点F作FM⊥AD,交AD于点M .∴∠AMF=90 ∴.四边形ABFM是矩形 ∴.BF=AM=4X .AB=2V3 ∴.MF=23 在Rt△EFM中，∠EMF=90° ∴.∠MEF=60°，∠MFE=30° ∴.ME=2 .AD=AM+ME+ED=4x+2+4x=8x+2 .BC=8 ∴.AD=8 .∴.8x+2=8 解得：X=3 4 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 HN=3x=33 4 AN=AM+ME+EN=4x+2+x 23 4 tan∠DAH=H=33 AN 23 情况二：当∠HED=60°，且点H在AD的下方时，如图2， E NM D 图2 同情况一可得 AD=AM-ME+ED=4x-2+4x=8x-2 ,BC=8 ∴.AD=8 .∴.8x-2=8 新X- :-8x-啊 AN=AM-ME+EN=4x-2+x=17 ∴.tan∠DAH= HN=53 AN 17 综上所述，am∠DAH=是3支号35 9.(1)证明：.AB=BC,BO是△ABC的中线， ∴.∠A=∠C,AO=CO,BO⊥AC, .△BOC绕点O顺时针旋转得到△DOE, .∴.∠E=∠C,EO=CO, .∴.∠A=∠E,AO=EO, .∠AON=∠EOM, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在△AON和△EOM中， ∠A=∠E AO=EO ∠AON=∠EOM ∴.△AON≌△EOM ASA: (2)①解：DO=DF, 理由如下： .AB=BC,BO是△ABC的中线， ∴.∠ABO=∠CBO, ,△BOC绕点O顺时针旋转得到△DOE, ∴.∠D=∠CBO,OD=OB, ∴.∠ABO=∠D, :OD‖AB, ∴∠D=∠AFD, ∴.∠AFD=∠ABO, ∴.DF‖OB, ∴.四边形DFBO是平行四边形， OD=OB, ∴.口DFBO是菱形， ∴.DO=DF: ②解：，OG=OH, ∴.G,H在以O为圆心，OH为半径的圆上，即图中的G,H,G,H, ∴.∠GHG=∠HGH=∠GHG=ㄥHGH=90°， .四边形GHGH为矩形， ∴当以点A,G,H为顶点的三角形是直角三角形，且GH为直角边时， 当∠AGH=90°，则AH一定过点O,不符合题意： ∴.只有∠AGH=90°或∠AHG=90°， 此时A,G,H三点共线， 如图所示，当点H在线段BO上时，∠AGH=90°，且点G在线段DO上，过点H作HP⊥OP于点P, 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G ∴.∠HPO=∠AOB=90 OD‖AB, .∴.∠HOP=∠ABO, OB=2,OA=3, AB=OA+OB=/13.tan∠HoP=tan∠AB0=A0-3=PH BO 2 OP' 设OP=2x,HP=3x, 则oH=Op2+HP=13x ∴.OG=OH=0G=0H=13x, :OD‖AB ∴.△HGO~△HAB, ..OG_HO AB HB 13x-V/13x 13 9V13x+21 解得：13x=/13-2或x=0(舍去)， 此时BH=B0-H0=2-13x=2-V13-2=4-131 BH'=0B+0H=2+V13x=2+9V13-2=V13 综上所述，BH=13或4-V13