1.2.2 数轴 讲义 2025-2026学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“数轴”核心知识点，从东西向马路位置表示的情景引入，抽象出数轴定义，明确原点、单位长度、正方向三要素，通过步骤化画法教学结合常见错误分析强化理解，进而学习数轴表示有理数、比较大小及点的距离与平移规律，构建从具体到抽象再到应用的学习支架。 该资料以真实情景培养学生用数学眼光观察现实世界的抽象能力，结构化知识笔记与错误分析发展数学思维中的推理意识，多样化例题（如地铁线路、家庭位置）和分层练习助力用数学语言表达数量关系，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生自主复习查漏补缺。

03数轴 情景引入 在一条东西向的马路上，有一个汽车站牌。汽车站牌往东3m和7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站牌往西3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆。为了表示出它们的位置，我们以汽车站牌为基准（如下图）。请问，其余位置该如何表示？ 【知识笔记】 1 . 数轴的定义 规定了原点、单位长度和正方向的直线叫数轴。任何一个有理数都可以用数轴上的点表示。 2.数轴三要素：原点，单位长度，正方向。正方向 原点 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 单位长度 3 . 数轴的画法 ① 画一条水平的直线； ② 选择合适的位置作为原点； ③ 选择向右的方向为正方向，用箭头表示； ④ 选择合适的长度作为单位长度，向右标正、向左标负。 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 数轴常见四大错误： -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5 0 1 2 3 4 4. 数轴的基本作用 ①表示点：所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；但数轴上的点不都表示有理数。如π也可以在数轴上找到，这是我们后期要学习的无理数。 ②比较大小：强调正方向向右时，右边的数大于左边的数（即负数<0<正数） 5.数轴上点的距离及平移 ①数轴上点的距离： 若已知数轴上的两点对应的数分别为a与b(a＜b ) ，那么这两点之间的距离为b-a。 如：数轴上表示和3的两点距离 注意：由于距离为非负数，所以需要用：较大数-较小数。 若只知道距离，不知道大小，则要分情况讨论 ②数轴上点的距离及平移： 数轴上的数从左到右依次增大， 如果一个动点在数轴上向右移动，那么它表示的数越来越大；反之，如果它往负方向移动，那么它表示的数越来越小。 设数轴上一个点表示的数为 向右平移 m 个单位 → 新数： 向左平移 m 个单位 → 新数： 如：点表示-2，向右平移 3 个单位 终点：-2+3=1 【例题讲解】 考点1．数轴的画法 经典例题1. 以下所画数轴不正确的是________。 考点 2 . 数轴与有理数的关系 经典例题 2.下列说法正确的是（ ）． A． 有原点、正方向的直线是数轴 B． 数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数 C． 有些有理数不能在数轴上表示出来 D． 任何一个有理数都可以用数轴上的点表示 考点 3 . 数轴的实际应用 经典例题 3.如图为重庆地铁6号线的部分线路图，假设各站之间的距离相等并表示为一个单位长度，现以礼嘉站为原点，向右的方向为正，那么，表示光电园站的数为 ，表示蔡家站的数为 ； 如果改以状元碑站为原点，那么表示蔡家站的数变为 考点 4 . 画数轴 经典例题4.小明的家（记为A）与他上学的学校（记为 B ），书店（记为 C ）依次坐落在一条东西走向的大街上，小明家位于学校西边30 米处，书店位于学校东边60米处，小明从学校沿这条街向东走40米，接着又向西走了80米到达D 处，试用数轴表示上述 A、B、C、D 的位置。 考点 5.数轴上比较大小 经典例题5. 画一条数轴，并把 各数在数轴上表示出来，再用“”把它们连接起来。 考点 6.数轴上点的距离及点的平移 经典例题 6. 如图，如果数轴上A，B两点之间的距离是8，点A表示5，点B在原点左侧，那么点B表示的数是______。 经典例题7 .如果数轴上点A到原点的距离为3，点B到原点的距离为5，那么A、B两点间的距离为________。 经典例题8 .有理数-2在数轴上向右移动 5 个单位长度，将到达（ ） A. 7　 B. 3　 C. -3　 D.-7 经典例题9 .数轴上有一点A，它表示的有理数是4，将点A向左移动6个单位得到点B，再向右移动1个单位得到点C，则点C表示的数为______。 【课堂练习】 巩固练习1-1.下面所画直线是数轴的是( ) 巩固练习 1-2.下面所画的数轴中，正确的是（） 巩固练习 1-3.下面所画的数轴中，正确的是（） 巩固练习 2.下列语句： 1 数轴上的点仅能表示整数 ② 数轴是一条直线； ③ 数轴上的一个点只能表示一个数； ④ 数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点； ⑤ 数轴上的点所表示的数都是有理数． 正确的说法有( ) A． 1 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个 巩固练习 3-1.如图为重庆地铁3号线的部分线路图。假设各站之间的距离相等并表示为一个单位长，现以花溪站为原点，向右的方向为正，那么，表示重庆交通大学站的数为 ，表示金竹站的数为 ； 如果改以南坪站为原点，那么表示金竹站的数变为 巩固练习 4-1. 某中学位于东西方向的中山路上，这天学校的王老师出校门去家访，她先向东走100米到聪聪家，再向西走150米到青青家，再向西走200米到刚刚家，如果把这条人民路看作一条数轴，以向东为正方向，以校门口为原点，请你在这条数轴上标出他们三家与学校的大概位置。 巩固练习 4-2. (1）点 A、B、C、D、E 在数轴上的位置如图所示。 点 A 表示的数是 ； 点 B 表示的数是 ； 点 C 表示的数是 ； 点 D 表示的数是 ； 点 E 表示的数是 ； （2）已知下列各组有理数，-3和3，-4和4 . ①请用数轴上的点表示各组有理数; ②观察数轴上表示各组数的点,它们有什么共同特点? 巩固练习 5-1. 在数轴上画出表示下列各数对应的点，并把它们按从小到大的顺序排列： 巩固练习 6-1. 数轴上到-4的距离为2的数是 。 巩固练习 6-2. 数轴上与表示-3 的点的距离等于4的点表示的有理数是 。 巩固练习 6-3. 已知点 A、B、C是数轴上的三个点，点A表示的数是-5，点B表示的数是1，且A、B两点间的距离是B、C两点间距离的2倍，则点C表示的数是（ ） A．4 B．-1 C．-1 或 3 D．-2或4 巩固练习6-4. A为数轴上表示3的点，将点A沿数轴向左平移7个单位到点B，再由B向右平移6个单位到点C，则点C表示的数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【课后作业】 一、单选题 1．下列说法中正确的是（    ） A．规定了原点、正方向的直线是数轴 B．数轴上原点及原点左边的点表示的数是非负数 C．数轴上单位长度可以不一致 D．任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的点 2．下列数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，数轴上的点A表示的数可能是（    ） A．-3.2 B．-3 C．-2.8 D．-2 4．下列说法正确的是（    ） A．数轴上的一个点可以表示不同的有理数 B．数轴上有两个不同的点可以表示同一个有理数 C．任何有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一的点 D．有的有理数不能在数轴上表示出来 5．A为数轴上表示3的点，将点A沿数轴平移5个单位到点B，则点B表示的数是（   ） A．2或-2 B．8 C．-2 D．-2或8 6．如图，点A，B，C，O在数轴上，点O为原点，点A到点O的距离等于点O到点B的距离，点A到点B的距离等于点B到点C的距离．若点A表示的数是，则点C表示的数是（     ） A．9 B．6 C．﹣9 D．﹣6 二、填空题 7．一个点从数轴上A开始出发，先向右运动3个单位长度，再向左运动6个单位长度，此时表示的数为-5，则A表示的数为________． 8．数轴上，点所对应的实数分别是2和-3，则两点的距离______． 9．有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则的大小关系是_______．（用“＜”号连接） 10．利用数轴比较大小： 发现：下表是某一天5个城市的最低气温： 城市 北京 上海 哈尔滨 长沙 广州 气温 把上述5个城市这一天的最低气温表示在数轴上，如图所示：    观察这5个数在数轴上的位置，发现：_______的温度最低，_____的温度最高，温度越高，它对应数轴上的点越向_______（填“左”或“右”）． 三、解答题 11．画出数轴，在数轴上表示出下列各数，然后用“<”把这些数连接起来． ． 12．如图，一辆货车从超市出发，向东走了2km到达小彬家，继续走了2.5km到达小颖家，最后回到超市． (1)以超市为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示1km，则小彬家和小颖家在数轴上的位置表示的有理数分别为多少？ (2)货车从超市出发到最后回到超市一共行驶了多少千米？ 13．有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)用“＞”或“＜”填空a_____0，b_____0，c-b______0，ab_____0． (2)化简：|a|+|b+c|-|c-a|． 14．某饭店的外卖员骑电动车从饭店出发送外卖，向东走了2km到达小红家，继续向东走了4km到达小明家，然后又向西走了8km到达小刚家，最后回到饭店． (1)请以饭店为原点，以向东的方向为正方向，一个单位长度表示1km，画出数轴，并在数轴上用点O、A、B、C分别表示出饭店、小红家、小明家、小刚家的位置． (2)小刚家距小红家有多远？ (3)若小红和小刚两个人同时分别从自己家出发，小红以4km/h的速度步行到小明家，小刚以10km/h的速度骑自行车到小明家，则两个人能否同时到达小明家？若不能同时到达，则谁先到达？ 参考答案 经典例题1：①②③④ 解析： ①缺少原点0； ②没有正方向箭头； ③负数标注顺序错误； ④单位长度不统一； ⑤原点、正方向、单位长度齐全，画法正确。 经典例题 2 答案：D 解析： A：数轴三要素：原点、正方向、单位长度，缺少单位长度，错误； B：数轴上不同的点对应不同的数，错误； C：所有有理数都能在数轴上找到对应点，错误； D：任何一个有理数都可以用数轴上的点表示，正确。 经典例题 3 站点顺序（左→右）：北碚、西南大学、状元碑、龙凤溪、向家岗、蔡家、曹家湾、金山寺、礼嘉、九曲河、康庄、大竹林、光电园 以礼嘉为原点，向右为正：光电园在礼嘉右侧第4个间隔→ 蔡家在礼嘉左侧第3个间隔→ 以状元碑为原点：蔡家在状元碑右侧第3个间隔 → 填空答案依次： 经典例题 4 答案：学校为原点；向东为正方向；单位长度选择10米为一个单位长度，所建数轴如下： 原点的确定：小明家位于学校西边30米处，书店位于学校东边60米处，重复出现了“学校”,则选学校为原点最简单；正方向，习惯上选择向右为正方向，即向东为正方向；单位长度：选择10米为一个单位长度最容易表示. 经典例题5.在数轴上表⽰为： 经典例题6.答案：-3 由A点所代表的数值是5,然后由B在A的左侧，向左数8个单位长度得-3. 经典例题7.答案：2或8 点A到原点的距离为3,则A表示的数是3或-3;同理B表示5或-5. 则A、B两点间的距离为2或8. 经典例题8.答案：B 解：向右移动5个单位长度，即有理数+5. 故选：B 经典例题9.答案-1 数轴上的数字从左到右依次增大，则往左边平移，数字就会减小，往右边平移，数字就会变大，对照着数轴，B点表示的数为：-2; C点表示的数为：-1. 【课堂练习答案】 巩固练习1-1：答案D 解析： A：负数数字顺序错误； B：缺少正方向； C：缺少原点； D：满足数轴三要素：原点、正方向、统一单位长度。 巩固练习 1-2答案：C A. 只有原点 0，没有单位长度 B. 负数标注顺序错误（-1、-2 顺序颠倒） C. 具备原点、正方向、统一单位长度 D. 箭头向左，正方向错误 巩固练习 1-3答案：D A. 缺少原点 0 B. 单位长度不统一 C. 数字标注顺序错误（-1、-2 颠倒） D. 具备原点、正方向、统一单位长度 巩固练习 2 逐一判断： ① 数轴上的点不仅能表示整数，还可以表示分数、小数，错误； ② 数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线，正确； ③ 数轴上一个点只能表示一个数，正确； ④ 原点0既不是正数也不是负数，数轴上存在这个点，错误； ⑤ 数轴上的点可以表示无理数，不都是有理数，错误。 正确的是②③，共个。 答案： 巩固练习 3-1 站点顺序（自左向右）： 鱼洞、金竹、鱼胡路、学堂湾、大山村、花溪、岔路口、九公里、麒龙、八公里、重庆交通大学、六公里、重庆工商大学、四公里、南坪 以花溪站为原点，向右为正： 重庆交通大学在花溪右侧第 5 个间隔 → 金竹站在花溪左侧第 5 个间隔 → 以南坪站为原点： 金竹站在南坪左侧第 10 个间隔 → 填空依次： 巩固练习4-1校门口为原点，规定向东为正方向，50米为一个单位长度，所建数轴如下： 巩固练习4-2答案 点A 表示的数是-5；点B表示的数是1.5；点C表示的数是0； 点D表示的数是-2.5； 点E表示的数是4. (2) 解:①将各组数分别在数轴上表示出来，如图所示 ②它们的共同特点是数轴上表示各组数的点到原点的距离都相等。 巩固练习5-1答案 ： 巩固练习 6-1 答案： 在-4右边两个单位或者在-4左边两个单位，所以为-4+2=-2或者-4-2=-6 巩固练习 6-2 答案：1或-7 数轴上与-3距离等于4个单位的点有两个. 从表示-3的点向左数4个单位是-7. 从表示-3的点向右数4个单位是1. 故数轴上与表示-3的点的距离等于4的点表示的有理数是1或-7. 巩固练习 6-3答案：D 第一步：先算AB距离，右边数字更大 第二步：根据条件 1 C在B的右侧：向右加3 ② C在B的左侧：向左减3 巩固练习 6-4答案：B 向右移动5个单位长度，即有理数+5. 巩固练习 6-5答案：(1)：；(2)： （1） 原点表示0： （2） 往回推导：从原点往回，应是向右移动5个单位，向左移动3个单位：0+5-3=2 《课后作业》答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D B C C D A 1．D 【分析】此题主要考查了数轴，关键是掌握数轴的概念． 解：A、规定了原点、正方向和单位长度的直线是数轴，故不符合题意； B、数轴上原点及原点左边的点表示的数是非正数，故不符合题意； C、数轴上单位长度必须一致，故不符合题意； D、任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的点，故符合题意． 故选：D． 2．B 【分析】本题考查的是数轴．根据数轴定义：规定了正方向、原点、单位长度的直线叫作数轴，我们一般规定，数轴向右为正方向，单位长度必须一致，依据以上标准判断即可。 【详解】解：A、不正确，错误原因：数轴单位长度不一致； B、正确； C、不正确，错误原因：缺少正方向； D、不正确，错误原因：缺少了原点． 故选：B． 3．C 【分析】本题考查了利用数轴上的点表示有理数．设点A表示的数为，则由数轴可得，再逐项分析即可得出答案． 【详解】解：设点表示的数为，则由数轴可得， 观察四个选项，只有选项C符合题意， 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了数轴的应用，根据数轴上的点与有理数的对应关系进行解答． 【详解】解：A．数轴上一个点只能表示一个数，不能表示两个不同的数，故选项错误； B．数轴上两个不同的点表示两个不同的数，故选项错误； C．任何一个有理数都可以在数轴上找到和它对应的唯一的一个点，正确； D．所有的有理数都可以用数轴上的点表示，故选项错误． 故本题选：C． 5．D 【分析】本题考查了数轴上点的平移、有理数的加减运算，一般地：点在数轴上平移，向左平移几个单位，则用该点表示的数减几，即得平移后点表示的数；向右平移几个单位，则用该点表示的数加几，即得平移后点表示的数．分向左平移或向右平移两种情况讨论计算即可求解． 【详解】解：若点A向左平移5个单位，点表示的数是， 若点向右平移5个单位，点表示的数是， 点表示的数为-2或8． 故选：D． 6．A 【分析】本题主要考查数轴上两点间的距离，数轴上点表示的数，由点A表示的数是，点A到点O的距离等于点O到点B的距离，可得出点B表示的数是3，再由点A到点B的距离等于点B到点C的距离可得出则点C表示的数是9． 【详解】解：∵点A表示的数是， ∴， ∵点A到点O的距离等于点O到点B的距离， ∴， ∴点B表示的数是3． ∴， ∵点A到点B的距离等于点B到点C的距离， ∴， ∴则点C表示的数是9． 故选：A． 7． 【分析】设点A表示的数为x，根据数轴上点的平移规律“右加左减”，结合平移后点表示的数为-5，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设点A表示的数为， 根据题意，得， 解得， 则A表示的数为． 8．5 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点间距离公式是解题关键．根据数轴上两点间距离的定义进行解答即可． 【详解】解：∵在数轴上，点所对应的实数分别是2和-3， ∴两点的距离． 故答案为：5． 9． 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，在数轴上表示出，再根据数轴上右边的数大于左边的数，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∴ 故答案为：． 10． 哈尔滨 广州 右 【分析】根据有理数比较大小的方法求解即可． 【详解】根据题意可得， 哈尔滨的温度最低，广州的温度最高，温度越高，它对应数轴上的点越向右． 故答案为：哈尔滨，广州，右． 【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，即正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数相比较，负号后面的数越大此数就越小． 11． 解：将各数在数轴上表示如下：. 【分析】本题考查数轴与有理数大小的比较，先画出数轴，表示出各个数，然后根据数轴上的数，右边的总比左边的大． 【详解】略 12．(1)2，4.5； (2)9千米 【分析】本题考查了数轴、有理数的加法，掌握数轴的定义是解题关键． （1）分别求出小彬家、小颖家在数轴上的点所表示的数即可； （2）根据所走的行程，列出式子，计算有理数的加法即可得． 【详解】（1）解：∵从超市出发，向东走了2km到达小彬家，继续走了2.5km到达小颖家，1个单位长度表示1km， ∴小彬家和小颖家在数轴上的位置表示的有理数分别为2，4.5； （2）解：由题意得：（千米）． 13．(1)＜，＞，＞，＜ (2)b 【分析】（1）根据有理数a、b、c在数轴上的位置，进而判断即可； （2）判断b+c，c﹣a的符号，再化简绝对值即可． 【详解】（1）解：由有理数a、b、c在数轴上的位置可知，a＜0＜b＜c， ∴c﹣b＞0，ab＜0 故答案为：＜，＞，＞，＜； （2）由有理数a、b、c在数轴上的位置可得， b+c＞0，c﹣a＞0， ∴|a|+|b+c|﹣|c﹣a|＝﹣a+b+c﹣c+a＝b． 【点睛】本题考查数轴表示数的意义和方法，绝对值、有理数的减法，正确判断各个代数式的符号是正确化简的关键． 14．(1) 数轴如图所示： (2) (3)两个人不能同时到达小明家，小刚先到达小明家 【分析】（1）根据题意可以画出相应的数轴； （2）根据题意和（1）中的数轴，可以得到小刚家距小红家多远； （3）根据题意，可以分别计算出小红和小刚到达小明家的时间，从而可以解答本题． （1）略 （2）解：由（1）可知，点A表示的数为2，点C表示的数为-2， 2-（-2）=2+2=4， 即小刚家距小红家4千米； （3）解：由题意可得， 小红步行到小明家的时间为：（小时）， 小刚到小明家的时间为：（小时）， ， 两个人不能同时到达小明家，小刚先到达小明家． 7 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $