2026-2027学年高三上学期数学开学模拟卷一（山东潍坊适用）

**基本信息** 2026-2027学年度高中数学新高三开学收心模拟卷，100分钟100分，聚焦立体几何、解析几何与向量，通过隧道设计等真实情境融合基础与应用，适配开学学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|空间向量共线垂直、平行六面体、点面距、椭圆焦点弦|第6题以隧道抛物线为情境，考查数学眼光解决工程安全限高问题| |多选题|3/15|抛物线性质、直线与圆位置关系、正方体异面直线|第11题结合正方体建立坐标系，发展逻辑推理与空间观念| |填空题|3/15|空间点到线距、直线截距式、椭圆中点轨迹|第14题用点差法求轨迹，体现数学思维的严谨性| |解答题|3/30|椭圆定义与面积最值、向量运算、直线与圆综合|第15题椭圆定值探究，融合方程思想与运算能力，符合高考命题趋势|

2026-2027学年度高中数学新高三开学收心模拟卷 试卷 考试时间：100分钟；分值100分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 请点击修改第I卷的文字说明 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）设为实数，空间向量，，则以下说法正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 2．（本题5分）在平行六面体中，（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）已知直线与椭圆交于，B两点，且点在轴的上方，设为该椭圆的左焦点，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）两条渐近线为，且截直线所得弦长为的双曲线方程为（） A． B． C． D． 6．（本题5分）某隧道断面呈抛物线形，路面净宽，拱顶中心距路面垂直高度为，采用双向双车道设计，单侧单车道宽度为，车道外两侧路肩为人行道，车辆不得占用．现右侧车道临时封闭，拟利用原左侧车道及同侧人行道区域，临时布设双向行车道．根据现行国家强制性标准，货车最大车宽限值为（冷藏货车可放宽至），最大车高限值为；两车相邻行驶时，车身水平安全间隙不小于；车顶与隧道内壁的垂直安全距离不小于．若后视镜等外伸部件不计，计算限高值时，限高值结果保留两位小数且只舍不入，该临时通行方案是否需要限高？若需限高，则最大安全限高值约为（     ）    A．无需限高 B．需限高，限高约 C．需限高，限高约 D．需限高，限高约 7．（本题5分）若动圆M与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知点为抛物线上一动点，过点作圆的两条切线，，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共15分） 9．（本题5分）已知抛物线的焦点，A为抛物线上的一点，，则下列说法正确的是（    ） A． B．准线方程 C．点或 D．以为直径的圆与抛物线的准线相切 10．（本题5分）下列选项正确的是（    ） A．直线（）恒过定点 B．直线的倾斜角为 C．圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于 D．圆被直线截得的弦长为2，则或 11．（本题5分）如图所示，在正方体中，M，N分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（     ）． A．直线与是平行直线 B．直线与是异面直线 C．平面与平面所成角的余弦值为 D．M，N，B，四点共面 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）已知，，，则点A到直线BC的距离为__________． 13．（本题5分）过点且在两坐标轴上的截距之差为3的直线的截距式方程是______. 14．（本题5分）倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，则线段AB中点M的轨迹方程是_______． 四、解答题（共30分） 15．（本题10分）已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，直线（）与椭圆交于、两点（点在点的上方），与轴交于点． (1)当时，点为椭圆上除顶点外任一点，求的周长； (2)若椭圆的离心率为，当为何值时，恒为定值；并求此时面积的最大值． 16．（本题10分）已知向量，. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数的值. 17．（本题10分）已知经过点，且方向向量为的直线l与圆相交于M、N两点． (1)求实数k的取值范围； (2)求证：为定值； (3)若O为坐标原点，且，求k的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年度高中数学新高三开学收心模拟卷2》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D C A B D C AC BCD 题号 11 答案 BCD 1．C 【分析】根据空间向量共线与垂直的坐标表示，逐一检验即可. 【详解】对于A，当时，，显然不存在实数使得，故A错误； 对于B，当时，，显然不存在实数使得，故B错误； 对于C，当时，，，故C正确； 对于D，当时，，，故D错误. 2．A 【详解】由题意得， 所以. 3．D 【详解】因为，，则，又平面的法向量为， 则点到平面的距离为. 4．C 【分析】联立直线方程与椭圆方程，求出点坐标，根据两点间距离公式求解即可. 【详解】椭圆，化为标准形式为：，左焦点. 联立，整理得，解得或. 因为点在轴的上方，所以. 故. 5．A 【分析】由渐近线方程为可设双曲线方程为，联立直线方程可得，结合韦达定理和弦长公式，即可得解． 【详解】由双曲线渐近线为，即， 可设双曲线方程为（）， 直线即，代入双曲线方程得， 整理得二次方程， 设直线与双曲线交点为、，由韦达定理得，， 直线斜率，弦长公式为， 代入已知弦长，得，两边平方得， 化简得，即，解得满足， 代回设的方程得，两边同除以，即得双曲线方程为. 6．B 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，求出抛物线方程，然后计算两车相邻行驶时，最左侧车身对应的抛物线上点的纵坐标，由此可得结论. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则是抛物线上的点，设抛物线方程为， 则，， 抛物线方程为， 是车宽，是两车相邻行驶时，车身水平安全间隙，由题意设，， 则点横坐标为，把代入抛物线方程得，， 因此车身高度至多为( )， 所以需限高，限高约    7．D 【分析】根据题意得到到的距离与到直线 的距离相等，再利用抛物线的定义即可得解. 【详解】设动圆圆心为，半径为，由已知可得圆C的圆心为，半径. 因为两圆外切，所以. 又动圆M与已知直线相切， 所以圆心M到直线的距离. 所以. 即动点到定点的距离等于它到定直线的距离． 由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，为准线的抛物线， 且，， 故动圆圆心M的轨迹方程为. 8．C 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程确定圆心与半径，把四边形面积转化为关于的表达式，再结合抛物线设点求的最小值，进而得到面积最小值. 【详解】由圆,得，故圆心，半径， 因为是圆的切线，所以，，且， 因此四边形的面积： ， 在中，由勾股定理得， 即当取最小值时，取最小值，从而取得最小值. 设抛物线上点的坐标为， 则 ， 因为，则当时，取得最小值，即， 代入得，故四边形面积的最小值为. 9．AC 【详解】抛物线的焦点，，，故A正确. 准线方程为，故B错误. 因为A为抛物线上的一点，，所以，解得， 所以，解得，所以点或，故C正确. 不妨取，则AF的中点坐标为，因为点到准线的距离为， 所以以为直径的圆与抛物线的准线相离，事实上以为直径的圆与y轴相切，故D错误． 10．BCD 【分析】选项A，分离参数联立方程求定点判断对错； 选项B，化斜截式求斜率再算出倾斜角； 选项C求圆心到直线距离，结合半径分析平行线与圆交点个数； 选项D利用弦长公式求出圆心到直线距离，再由点到直线距离公式解方程得值． 【详解】对于A，由，， 联立，解得，， 所以定点为，不是，A错误； 对于B，由，得， 斜率，倾斜角，，得，B正确； 对于C，圆，圆心，半径， 圆心到直线距离， 到直线距离为的点，即与已知直线平行、距离1的两条平行线与圆交点： 一条在圆心外侧，距圆心，无交点； 一条朝向圆心，距圆心，过圆心，与圆交于个点； 因此圆上只有2个点满足条件，C正确； 对于D，圆，圆心，半径，弦长， 弦长公式：，即， 圆心到直线距离， 解得或， D正确． 11．BCD 【详解】设正方体棱长为，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，各点坐标为： . A：，若两直线平行，则，即，方程组无解，直线与不平行，A错. B：平面，交平面于点，点不在直线上，所以与是异面直线，B对. C：因为平面是底面，所以易得平面的法向量；设平面法向量，，， 取，得，设平面与平面所成角为，，C对. D：，，所以，一组平行线确定一个平面，故四点共面，D对. 12． 【分析】根据空间点到线距离公式进行求解即可. 【详解】已知，，， 所以，. 进而，. ，进而. 则点到的距离. 13．或 【详解】由题可知，直线过点，所以直线在x轴上的截距为， 又直线在两坐标轴上的截距之差为3，所以直线在y轴上的截距为1或， 则所求直线方程为或. 14． 【分析】由题意，设直线方程为，，中点，应用点差法得到，结合在椭圆内部求自变量范围即可得. 【详解】倾斜角为，故直线斜率，   设直线方程为，，中点，则， 由在椭圆上，故，则， 由，，，可得， 联立椭圆方程，得，而中点在椭圆内部，故， 所以点M的轨迹方程为. 15．(1)； (2)，恒为定值；面积的最大值为 【分析】（1）由椭圆定义可得周长； （2）由离心率得到椭圆方程，联立直线方程，得到两根之和，两根之积，表达出，从而得到时，恒为定值；并求出，由基本不等式求出最值，得到答案. 【详解】（1）当时，椭圆方程为，故且， 由椭圆定义可得，的周长为； （2）由题意得，解得， 椭圆方程，联立，消元得， ，可得， 设，，则，， 又因为、在椭圆上，则，， 则 ， 当为定值时，即与无关，故，得， 此时， 又点到直线的距离， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 因为，经检验，此时成立，所以面积的最大值为． 16．(1)3 (2) (3)1 【分析】（1）先求空间向量和的坐标，再求其模长； （2）代入夹角公式，求两个空间向量的夹角余弦值，最后求角； （3）由垂直关系推得数量积为零，注意两个向量均为非零向量. 【详解】（1）因为，， 所以， . （2）， ， ， 所以与的夹角为； （3）， ， 因为与垂直，所以， 即，解得， 此时，与均为非零向量， 所以. 17．(1) (2)证明：设过A点的圆C的一条切线为，T为切点， 则． ， 为定值． (3)1 【分析】（1）根据直线的方向向量和过点坐标，得到直线方程，因为直线与圆相交，故圆心到直线的距离小于半径，可列出不等式得到斜率的取值范围； （2）过圆外一点作圆的切线，则切线长为定值，根据切割线定理即可证明结论； （3）设点坐标，联立直线与圆的方程，利用韦达定理和向量积的坐标运算求斜率的值． 【详解】（1）∵直线l过点且方向向量， ∴直线l的方程为，则，整理得， 即，得． （2）略 （3）设，， 将代入方程 得， ， ． ，解得． 又当时，，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $