精品解析：山东省烟台市栖霞第一中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学检测题

高三数学暑假开学考试 一、单选题 1. 将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于原点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到平移后的解析式，再令，求得值，确定其中的最小值即可. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度， 得到函数， 因为该函数图象关于原点对称，所以, 所以，又， 所以当时，取得最小值. 故选：B. 2. 已知函数的最小正周期为，最小值为，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 先将上的点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，再将图象向左平移个单位可得到的图象 D. 先将向左平移个单位，再将图象上的点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变可得的图象 【答案】C 【解析】 【分析】先利用辅助角公式化简函数解析式，根据周期与最值求出的值，即得函数解析式，根据正弦函数的图象对称性和平移伸缩变换的规律即可对各选项逐一判断. 【详解】，其中， 因为函数的最小正周期为，，则，解得， 又函数的最小值为，所以，因，则可得， 所以． 对于A，因为，即函数图象不关于直线对称，故A错误； 对于B，因为，即函数图象不关于点对称，故B错误； 对于C，将上的点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，可得的图象， 再将图象向左平移个单位可得到即函数的图象，故C正确； 对于D，将向左平移个单位，可得的图象，再将图象上点的横坐标变为原来的一半， 纵坐标不变，可得的图象，而不是函数的图象，故D错误. 故选：C． 3. 已知，，则的终边一定不在（ ） A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第一、三象限 D. 第二、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】先由题设条件得到为第三象限角，并用代数式表示角，进而用代数式表示出即可判断. 【详解】因为，，则为第三象限角，即，， 故，，即的终边仅可能在第二、四象限，一定不在第一、三象限. 故选：C. 4. 已知角的始边与轴非负半轴重合，终边经过点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意绘出示意图如下，由推出，结合得出，根据二倍角余弦公式求解. 【详解】 如图，因为， 则①， 又②， 联立①②，得： 则. 所以. 故选：C． 5. 已知向量，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用共线向量的坐标运算来求出正切，再利用弦化切即可求值. 【详解】因为向量，所以， 即， 则， 故选：A． 6. 普利寺塔，又名万佛塔，被国务院批准列入第五批全国重点文物保护单位名单.如图，某测量小组为测量该塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量点C与D，现测得，，米，在C点测得塔顶A的仰角为，则该塔的总高度AB约（ ）米（取，） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在中由正弦定理求出，再解直角，就可以得到. 【详解】在中，，，可得， 由正弦定理得：，则， 可得：， 再在直角中，， 故选：C 7. 已知函数在上单调， ，若将曲线向右平移个单位后恰好关于轴对称，则正数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数单调区间长度可以估计周期的长度，再结合，可确定的取值，然后进行讨论检验即可得解. 【详解】因为函数， 又函数在上单调， 所以函数的最小正周期， 则，又，所以． 若，则由， 又因，，所以此时无解． 若，则， 因为，所以．又，符合题意． 若，则， 又，，则此时无解． 综上，，所以函数图像向右平移个单位，， 由的图象关于轴对称， 所以有， 则正数的最小值为， 故选：D． 8. 如图，在扇形OAB中，半径，弧长为，点是弧AB上的动点，点M，N分别是半径OA，OB上的动点，则周长的最小值是（ ） A. 12 B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先把三角形的周长的最小值转化为两点之间的距离，法1：可用解三角形的方法求两点之间的距离，法2：可用坐标法求两点之间的距离. 【详解】如图，连接OP，作点关于直线OA的对称点，关于直线OB的对称点，连接，分别交OA，OB于点M，N，连接，如图所示， 则， 此时的周长取得最小值，其最小值为的长度． 因为扇形OAB的弧长为，半径为2，所以，解得， 根据对称性可知，在中， 由余弦定理可得， 所以，即周长的最小值是． 故选：C 多解 以为原点，的方向为轴正方向，与OB垂直且向上的方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，如图： 因为扇形OAB的弧长为，半径为2，所以，解得， 可得所在直线的方程为． 因为动点在圆弧上运动，可设（）， 则点关于轴的对称点为， 关于直线的对称点为，即， 连接，分别交OA，OB于点， 则周长的最小值即， ， 即周长的最小值是． 故选：C 二、多选题 9. 下列说法正确的是（   ） A. 若，则 B. 若为第三象限角，则 C. 已知扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为4. D. “”是“”的充分不必要条件 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用两角和（差）的正弦公式，二倍角的余弦公式求解即可；对于B，假设，即可判断；对于C，根据扇形的面积求出半径，再根据弧长公式求解即可；对于D，根据诱导公式，三角函数的定义即可判断. 【详解】对于A，由，得，又， 所以，所以， 所以，故A正确； 对于B，设，满足题意，此时，故B错误； 对于C，设扇形的弧长为，半径为，又圆心角，扇形的面积为4， 所以，解得，所以扇形的弧长为，故C正确； 对于D，若，则， 此时，故充分； 若，则或， 即或，故不必要， 所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数，下列命题正确的有（ ） A. 由可得是的整数倍 B. 的表达式可改写成 C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称 【答案】BD 【解析】 【分析】首先将函数化简，再根据三角函数的图象和性质，分别进行求解判断即可． 【详解】因为， 所以. A项，由，即， 函数的最小正周期，则是的整数倍， 不一定是的整数倍，故A错误； B项， ，故B正确； C项，当时，， 即函数的图象关于点不对称，故C错误； D项，当时，， 即当时，取到最小值， 则的图象关于直线对称，故D正确. 故选：BD． 11. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 函数的最小正周期是，， B. 函数的对称中心为 C. 函数的图像可由函数的图像向右平移个单位长度得到 D. 函数的图像可由函数的图像向右平移个单位长度得到 【答案】BC 【解析】 【分析】根据图象的最值、特殊点坐标、周期待定系数可求出解析式为，故A正确；B项利用整体角求解对称中心可得；CD项，根据平移分别求解函数解析式与比较可得. 【详解】根据图象可得，周期， 又，则，所以， ， ，则， 解得，因为，则， 所以函数的解析式为， A项，函数的最小正周期是，，都正确，故A正确； B项，由，解得，. 得函数的对称中心为，，故B错误； C项，由函数的图像向右平移个单位长度得到， 即，并非函数，故C错误； D项，由函数的图像向右平移个单位长度得到， 即，故D正确. 故选：BC. 三、填空题 12. 函数的值域为______． 【答案】 【解析】 【分析】由二倍角公式化简，运用换元法利用二次函数的单调性可得. 【详解】， 设，则，， 则在上单调递减，， 故函数的值域为， 故答案： 13. 已知，函数在区间上单调递减，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦函数的单调减区间，确定函数的单调减区间，根据函数在区间上单调递减，建立不等式，即可求的取值范围． 详解】令，则， 函数在区间上单调递减， 所以，解得，， 又因为,所以，可得的取值范围是． 故答案为：． 14. 设函数，已知，，且的最小值为．将函数的图象向右平移个单位长度，纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到的图象，则在区间上的最大值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据已知条件得出，从而得出，平移变化得到，分析在上的单调性，得到最大值点在区间左端，从而求解. 【详解】已知函数，最小值，最大值， 且的最小值为. 函数取最大值和最小值时，相位差为的奇数倍， 故最小相位差为，对应最小距离： . 验证：时，取最大值时，如； 取最小值时，如. 距离为，符合条件. 所以 的图象向右平移,得. 纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到的图象， 得. 当时，计算角的范围：， 在上，在上递减，在上单调递增， ，故. 故答案为：1. 四、解答题 15. 已知． （1）若，求的值： （2）若，求的值； （3）若，求，的值； （4）求函数的最小值，并求出取得最小值时的值． 【答案】（1） （2） （3） （4）最小值为， 【解析】 【分析】（1）由同角三角函数平方关系联立解得，由商数关系得到； （2）由两角差的余弦公式计算得到答案； （3）由二倍角公式计算得到答案； （4）转化为二次函数求最值问题，求得最值. 【小问1详解】 由同角三角函数的基本关系式得， 所以，解得或， 因，所以，可得， 此时． 【小问2详解】 因为，且，所以， 因此． 【小问3详解】 因为，，所以， 因此， ． 【小问4详解】 ， 令，则， 当时，，此时，因为，所以． 16. 已知函数的图象关于直线对称，点在的图象上，，，且的最小值是． （1）求的解析式； （2）求不等式的解集； （3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，，且的最小值是，可得， 由的图象关于直线对称，可得，由点在的图象上，可得，据此可得答案； （2）即解不等式，然后由余弦函数单调性可得答案； （3）即时，，利用余弦函数性质求得，解不等式可得答案. 【小问1详解】 因为的最小值是，所以，所以． 因为的图象关于直线对称，所以， 所以，所以，即． 因为，所以． 因为点在的图象上，所以，所以． 故； 【小问2详解】 不等式等价于不等式， 即，所以， 解得， 即不等式的解集为． 【小问3详解】 因为，所以， 所以，则． 因为对任意的，不等式恒成立， 所以，即， 解得或， 即的取值范围为． 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）当时，求函数的最大值和最小值； （3）若函数为奇函数，求的最小值. 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简，利用周期公式求解； （2）由，求出，利用余弦函数的单调性求解； （3）由为奇函数，得，进而求得答案. 【小问1详解】 因为， 所以的最小正周期. 【小问2详解】 当时，则， 所以当，即时，， 当，即时，. 【小问3详解】 ， 若为奇函数，则，， 解得， 当时，，当时，， 所以的最小值为. 18. 在中，角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角； （2）若，且边的中线的长为，求的面积； （3）若是锐角三角形，求的范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换可得得解； （2）根据余弦定理可得，利用向量的中线公式及数量积的运算，可得，再利用面积公式，即可求解； （3）根据正弦定理边角化以及三角恒等变换可得，再根据角的范围，结合三角函数的性质即可求解． 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 所以， 得到，即， 又，，所以， 又因为，可得. 【小问2详解】 因为，且， 所以由，可得，解得， 由题意， 两边平方，可得， 因为，所以，解得或（舍）， 则的面积为. 【小问3详解】 因为 ， 由题知，，解得， 因为， 所以，可得， 可得， 所以． 19. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间和图象的对称轴方程； （2）设，，，若函数是奇函数． ①求函数取得最大值时x的取值集合； ②设，若任取，总存在，使成立，求a的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为，对称轴方程为 （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）根据整体代换求邯郸的单调区间即对称轴方程即可； （2）①根据函数奇偶性可得，再利用正弦型函数取最值的条件代入即可求解； ②根据双变量问题转化为函数值域间的关系，由换元法，利用二次函数讨论对称轴与区间的关系得到值域，再根据值域的包含关系求解即可. 【小问1详解】 令，解得， 则函数的单调递增区间为． 令，解得， 故函数图象的对称轴方程为． 【小问2详解】 ① ，若函数是奇函数， 则，即， 因为，所以令，得． 则． 令，解得， 即函数取得最大值时x的取值集合为． ②当时，，此时的值域为． 设函数的值域为B，由题意． 设，则，设函数， 所以． 当时，即，所以在上单调递减， 所以，又， 所以， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以，又 由， 当时，，函数的最大值为， 由或，不合题意． 综上，a的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学暑假开学考试 一、单选题 1. 将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于原点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的最小正周期为，最小值为，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 先将上点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，再将图象向左平移个单位可得到的图象 D. 先将向左平移个单位，再将图象上的点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变可得的图象 3. 已知，，则的终边一定不在（ ） A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第一、三象限 D. 第二、四象限 4. 已知角的始边与轴非负半轴重合，终边经过点，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 普利寺塔，又名万佛塔，被国务院批准列入第五批全国重点文物保护单位名单.如图，某测量小组为测量该塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量点C与D，现测得，，米，在C点测得塔顶A的仰角为，则该塔的总高度AB约（ ）米（取，） A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调， ，若将曲线向右平移个单位后恰好关于轴对称，则正数的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在扇形OAB中，半径，弧长为，点是弧AB上动点，点M，N分别是半径OA，OB上的动点，则周长的最小值是（ ） A. 12 B. 8 C. D. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（   ） A. 若，则 B. 若为第三象限角，则 C. 已知扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为4. D. “”是“”的充分不必要条件 10. 已知函数，下列命题正确的有（ ） A. 由可得是的整数倍 B. 的表达式可改写成 C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称 11. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 函数最小正周期是，， B. 函数的对称中心为 C. 函数的图像可由函数的图像向右平移个单位长度得到 D. 函数的图像可由函数的图像向右平移个单位长度得到 三、填空题 12. 函数的值域为______． 13. 已知，函数在区间上单调递减，则的取值范围是_________． 14. 设函数，已知，，且的最小值为．将函数的图象向右平移个单位长度，纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到的图象，则在区间上的最大值为______． 四、解答题 15. 已知． （1）若，求值： （2）若，求的值； （3）若，求，的值； （4）求函数的最小值，并求出取得最小值时的值． 16. 已知函数的图象关于直线对称，点在的图象上，，，且的最小值是． （1）求解析式； （2）求不等式的解集； （3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）当时，求函数的最大值和最小值； （3）若函数为奇函数，求的最小值. 18. 在中，角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角； （2）若，且边的中线的长为，求的面积； （3）若是锐角三角形，求的范围． 19. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间和图象的对称轴方程； （2）设，，，若函数是奇函数． ①求函数取得最大值时x的取值集合； ②设，若任取，总存在，使成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $