5.1.2 弧度制（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦弧度制，涵盖定义、角度弧度互化、扇形弧长及面积公式。通过类比长度质量单位制，联系初中角度制弊端，探究弧长与半径比值规律，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以互动探究培养数学眼光，逻辑推导公式发展数学思维，结合二十四节气、扇形窗子等实例强化数学语言。小结“学海拾贝”系统梳理要点，助力学生提升运算推理能力，教师可高效开展教学。

【新教材】人教A版·高一必修第一册 第五章 三角函数 5.1.2 弧度制 5.1任意角和弧度制 学 习 目 标 1 2 （1）理解弧度制的定义，掌握1弧度角的概念，区分角度制与弧度制两种角的度量制度。 （2）熟练掌握角度与弧度的互化公式，能够快速、准确完成任意角度与弧度的相互转换。 （3）掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，能运用公式解决弧长、弦长、扇形面积相关计算问题。 （4）熟记常见特殊角的弧度数，能直接用于解题和三角函数运算。 通过类比角度制、探究圆心角与弧长、半径的数量关系，推导弧度制定义及相关公式，培养学生数形结合、逻辑推理和数学运算的核心素养，提升学生规范解题、公式推导的能力。 度量进制 知识讲解 互动探究 新课引入 度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制, 度量质量可以用千克、磅等不同的单位制 不同的单位制能给解决问题带来方便。角的度量是否也能用不同的单位制呢? 在初中阶段，我们一直使用角度制度量角，规定周角的为1°的角。但在数学学习中，角度制存在明显弊端：角度是六十进制，运算繁琐，且无法和实数直接对应，不利于后续三角函数、导数、微积分的学习。 我们观察圆的规律：对于任意一个圆，圆心角越大，所对的弧长越长。取不同大小的圆，测量同一圆心角对应的弧长与半径，会发现：同一个圆心角，对应的弧长与半径的比值是一个固定常数，和圆的半径无关。 这就说明：我们可以利用弧长与半径的比值定义角的大小，用十进制的实数度量角，这就是本节课要学习的全新度量制度——弧度制。 3 目标一：弧度制 弧度制导入 知识讲解 互动探究 新课引入 如图,射线OA绕端点O旋转到OB形成角α,在旋转过程中,射线OA上有一点P(不同于O点)的轨迹是一条圆弧,这条圆弧对应于圆心角α. 记α=n°,设OP=r 在初中，弧长、半径、圆心角之间有什么关系? 弧长公式: 𝒍= 则固定 若固定 看来我们可以用弧长与半径的比值来定义一个角度，这样就产生了新的角度制 5 弧度制定义 知识讲解 互动探究 新课引入 我们规定:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度 (radian)的角. 弧度制:这种以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制, 它的单位是弧度,单位符号是rad. 18世纪,瑞士数学家欧拉,在他的名著《无穷小分析 引论》首先倡导使用弧度制,统一了角与长度的单位,使得对三角函数的研究大为化简。 6 弧度制求角公式 知识讲解 互动探究 新课引入 根据上述规定,在半径为r的圆中,弧长为I的弧所对的圆心角为 rad,那么 其中, α 的正负由角的终边的旋转方向决定, 即逆时针旋转为正, 顺时 针旋转为负. 当角的终边旋转一周后继续旋转, 就可以得到弧度数大于 2π 或小 于 -2π 的角. 这样就可以得到弧度为任意大小的角. 一般地,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是 0. 7 求角的弧度数 圆的半径为r,弧长分别为r,2r,则它们所对圆心角的弧度数是多少? 典例分析 牛刀小试 根据弧度制的定义：弧长等于半径时，该弧所对的圆心角即为 1 弧度。 所以：弧长为 时，圆心角的弧度数为 弧长为 时，圆心角的弧度数为 答案： 分别是 1 弧度 和 2 弧度。 求角的弧度数 半径为 r 的圆中，半径 OA 绕圆心 顺时针 旋转到 OB，若弧 AB 的长为 3r，求 ∠AOB 的大小（用弧度表示）。 典例分析 牛刀小试 解答弧度制弧长公式： 其中为弧长，为圆心角弧度数，为半径。已知 ，代入：两边约去，得 。 因为是顺时针旋转，顺时针旋转对应的角为负角， 所以 弧度。 目标二：弧度制和角度制互化 互化 知识讲解 互动探究 新课引入 角度制、弧度制都是角的度量制,它们之间应该可以换算。如何换算呢？ 核心换算公式 角度 → 弧度 弧度 → 角度 11 互化 （1）把67°30′化成弧度 典例分析 牛刀小试 解:(1)因为，所以 （2）把化成角度制 （3）已知半径为120mm的圆上，有一条弧长为144mm，求该弧所对圆心的弧度数和角度数。 互化时书写 知识讲解 互动探究 新课引入 序号 书写注意要点 正确示例 错误示例 ① 用弧度数表示角，常保留形式 （若无特殊要求，优先保留） ② 弧度单位一般省略不写 （不推荐，书写可省去()） ③ 角度(1.047、3.927)弧度不能混合书写运算 13 特殊角互化对照表 知识讲解 互动探究 新课引入 填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表 角度 弧度 当角度为负数时，与正数计算过程一样 角度 弧度 14 弧度制的桥梁作用 知识讲解 互动探究 新课引入 角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(等于这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应。 15 目标三：弧度制条件下扇形弧长和面积公式 弧长与面积 知识讲解 互动探究 新课引入 利用弧度制证明下列关于扇形的公式： (1)l=αR； (； (3)S=。 其中R是圆的半径，α(0<α<2π)为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面积。 证明：由公式可得：。下面证明(2)(3)。 半径为，圆心角为的扇形的弧长公式和面积公式分别是： ，将转换为弧度制，得：，于是，。 将代入上式，即得。 17 应用扇形公式 分别用角度制，弧度制下的弧长公式计算半径为1cm的圆中，的圆心角所对弧的长度。 典例分析 牛刀小试 解： 角度制下： 弧度制下： 应用扇形公式 已知扇形的圆心角是 ，半径是 ，弧长为 。 若 ，，求扇形的面积； 若扇形的周长为 20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数。 典例分析 牛刀小试 扇形的面积公式（角度用弧度制）： 先将 转化为弧度： 代入 ： 所以第(1)问答案为： 应用扇形公式 已知扇形的圆心角是 ，半径是 ，弧长为 。 若 ，，求扇形的面积； 若扇形的周长为 20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数。 典例分析 牛刀小试 （2）由题意可知 ，即 ， 所以扇形的面积 ， 易知当 时，扇形的面积最大，最大值为 25。 目标四：典型例题 题型1 弧度制概念的理解 例1 现行的二十四节气是根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置变化而制定的，每个节气对应地球在黄道上运动15°所到达的一个位置。根据描述，从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对应圆心的弧度数为（ D ） A. B. C. D. 典例分析 牛刀小试 解析 根据题意，从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对应圆心角的度数为 ，即弧度数为 ，故选D。 题型1 弧度制概念的理解 例2 （多选）下列说法正确的是（ ） A. B. 1弧度的角比1°的角大 C. 用弧度制量角时，角的大小与圆的半径有关 D. 扇形的周长为6 cm，面积为2 cm²，则扇形的圆心角的弧度数为4 典例分析 牛刀小试 解析 对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，用弧度制量角时，角的大小与圆的半径无关，故C错误；对于D，设扇形的圆心角为，半径为，因为扇形的周长为6 cm，面积为2 cm²， 所以解得即扇形的圆心角的弧度数为4或1，故D错误。故选AB。 题型2 圆心角、弧长与面积 例1 若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 () A. B. C. 3 D. 典例分析 牛刀小试 解析 如图，等边三角形 是半径为 的圆 的内接三角形， 则线段 所对的圆心角 ， 作 ，垂足为 ， 在 Rt 中，， 所以 。 故圆弧长度 。所以长度等于圆内接正三角形的 边长的圆弧所对圆心角的弧度数为 ，故选 D。 题型2 圆心角、弧长与面积 例2 已知半径为3的圆弧所对的圆心角为 ，则该圆弧所在的扇形面积为（ ） A. B. C. D. 典例分析 牛刀小试 解析 由题意，扇形面积为 。故选 D。 规律方法 弧度制下有关扇形弧长、面积问题的解题策略 涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目中已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式求解。 题型2 圆心角、弧长与面积 例3 要在半径 的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧 的长为 ，那么圆心角 是多少度（可用计算工具，精确到 ）？ 典例分析 牛刀小试 解析： 设 。 方法1：由 ，得 ，解得 。 方法2：由 ，得 ，解得 。 题型2 圆心角、弧长与面积 例4 已知弧长 的弧所对圆心角为 ，求这条弧所在的圆的半径（可用计算工具，精确到 ）。 典例分析 牛刀小试 解析： 方法一：∵ ， 由 得 ，∴ 。 方法二：由 得 ，解得 。 题型2 圆心角、弧长与面积 例5 每人准备一把扇形的扇子，然后与本小组其他同学的对比，从中选出一把展开后看上去形状较为美观的扇子，并用计算工具算出它的面积 。 （1）假设这把扇子是从一个圆面中剪下的，而剩余部分的面积为 ，求 与 的比值； （2）要使 与 的比值为 0.618，则扇子的圆心角应为几度（精确到 1°）？ 典例分析 牛刀小试 解析： （1）设半径为 ，、 所对圆心角分别为 、，且 ， ， （2）设扇子的圆心角为 。由 得 ，则 题型2 圆心角、弧长与面积 例6 扇子最早称“翼”，其功能并不是纳凉，而是礼仪用具，后用于纳凉、娱乐、欣赏等。扇文化是中国传统文化的重要门类，扇子的美学也随之融入建筑等艺术审美之中。图①为一古代扇形窗子，此窗子所在扇形的半径（图②），圆心角为，且为的中点，则该扇形窗子的面积为（ ） 典例分析 牛刀小试 解析 由题意得化为弧度，又，为的中点，则该扇形窗子的面积为 故选C。 A. 108 000 B. 108 000 C. 600 D. 600 易错警示:注意角度需转化为弧度，否则此题答案易错选A。 题型3 角的互化 例1 体操中有“前空翻转体540度”这样的动作名称，则540°化成弧度是（ ） A. B. C. D. 典例分析 牛刀小试 解析 ，故选 B。 名师点拨 题型3 角的互化 例2 (多选) 将下列角度与弧度进行互化，正确的是（ ） A. B. C. D. 典例分析 牛刀小试 解析 对于 A，，故 A 错误； 对于 B，，故 B 正确； 对于 C，，故 C 正确； 对于 D，，故 D 正确。故选 BCD。 。 角度化弧度时，其结果写成含有 的形式，没特殊要求不必化成小数。 题型3 角的互化 例3 已知 , , , , ，则 的大小关系为 典例分析 牛刀小试 解析 (化为弧度) α = 15° = 15 × = , θ = 105° = 105 × = . 显然 < < 1 < , 故 α < β < γ < θ = φ .  解法二 (化为角度) .显然 ,故. 题型4 用弧度制研究任意角 例1 (多选) 下列各组角终边相同的一组是() Α.-30°, 330° Β.-120°, 960° C. , D. , 典例分析 牛刀小试 解析 对于A,因为-30°=-360°+330°,所以-30°与330°角的终边相同,故A正确; 对于B, -120°=-360° +240°,960° = 2 × 360° +240°, 所以-120°与960°角的终边相同,故B正确; 对于C, ,即 角的终边与 角的终边相同, , ,所以 角与 角的终边不相同, 即 与 角的终边不相同,故C错误; 对于D, ,所以 与 角的终边相同,故D正确.故选ABD. 。 题型4 用弧度制研究任意角 例2 下列说法正确的是() A.终边在轴上的角的集合是 B.若角 的终边在第二象限，则角 是钝角 C.若角 是钝角，则角 的终边在第二象限 D.终边在直线上的角的集合是 典例分析 牛刀小试 解析 对于A,终边在轴上的角的集合是,故A错误; 对于B,终边在第二象限的角未必都是钝角,例如,故B错误; 对于C,因为钝角是大于且小于 的角,所以钝角必在第二象限,故C正确; 对于D,终边在直线上的角的集合 是,故D错误.故选C. 题型4 用弧度制研究任意角 例3 (多选) 如果角 与角的终边相同, 角 与角的终边相同, 那么 的可能值为 () A. B. C. D. 典例分析 牛刀小试 解析 角 与角的终边相同,则, 角 与角的终边相同,则, , 即角 与角的终边相同,选项A,C符合题意.故选AC. 题型4 用弧度制研究任意角 例4 (多选) 下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是( CD ) A. B. C. D. 典例分析 牛刀小试 解析 对于A,B，在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，所以A，B错误. 对于C，，则角与的终边相同，且化角度制为，则角 与的终边相同，故是与的终边相同的角的表达式，故C正确; 对于D，由,得与的终边相同，则与终边相同的角可以写成的形式，故D正确.故选CD. 易错警示 角的表示必须保持单位一致,做题时易忽略此点导致角度与弧度共用,从而出错. 目标五：针对训练 举一反三 正确表示终边落在第一象限的角的范围的是() B. C. D. 与 角终边相同的角的集合是() B. C. D. 举一反三 3. （多选）下列转化结果正确的有( ) 化成弧度是 B. 化成角度是 C. 化成弧度是 D. 化成角度是  答案：ABD 解析：，A 正确；，B 正确； ，C 错误；，D 正确. 举一反三 4.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》[三三]：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”其意为：“有一块扇形的田，弧长三十步，其所在圆的直径是十六步，问这块田的面积是多少（平方步）？”该问题的答案应为（ ） A. 120 B. 240 C. 360 D. 480  解析：选A.由题可知，该扇形的半径，弧长，则由扇形的面积公式可 得 目标六：小结 学海拾贝 1. 核心定义：弧度制用弧长与半径的比值度量角，1 rad为弧长等于半径时的圆心角。 2. 核心换算：，是角度与弧度互化的唯一核心依据，需熟练正反转换。 3. 两大公式：弧度制弧长公式l=αr、扇形面积公式，解题必须使用弧度数代入。 4. 核心优势：弧度制下角与实数一一对应，运算简洁，是后续三角函数、三角恒等变换的基础。 5. 必备技能：熟记特殊角弧度数，熟练终边相同角的弧度表示，规范公式应用步骤。 【新教材】人教A版·高一必修第一册 感谢聆听! $