嵌套函数的零点问题（培优训练）-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦嵌套函数零点问题，按f[f(x)]、f[g(x)]、af²(x)+bf(x)+c型分层设计，通过题型递进构建从简单到复杂的复合函数零点转化逻辑，培养数学思维与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |y=f[f(x)]型|5题|单一函数嵌套，含解个数、参数范围等|从内函数值域到外函数零点，构建“换元-图像-计数”推理链| |y=f[g(x)]型|6题|不同函数嵌套，结合图像辨析根个数|强化内外函数图像交点分析，提升数学眼光的几何直观| |y=af²(x)+bf(x)+c型|5题|二次型复合，含8个零点等复杂情形|深化方程转化与分类讨论，发展数学思维的运算推理能力|

嵌套函数的零点问题（培优原卷版） 题型一y=fy)]型函数的零点问题 x+<0, f(x)=x' 1.已知函数 nxx>0,则方程+3=0的解的个数为() A.3 B.4 C.5 D.6 2已知函数fw= Inx,x>0 x2+2x+2,x≤0，则方程f(f(x)-2)=2实数根的个数为(） A.6 B.7 C.10 D.11 3已知)-2x.若关于的方程()=“有4个不同的实数根，则实数“的取值范围为 Inx+1,x>0 4.已知函 f()=x+2ax,xs0,若函数y=f((刃有8个零点，则实数a的取值范国为 1 x,x≤2 5商数/④){og.(《-2)x>2,则函数y=fU》的所有零点之和为 +1,x≤0 6(多选)已知函数/（冈 log2x,x>0,下列是关于函数y=f∫(x)]+1的零点的判断，其中正确的是( A在-1,0)内一定有零点 B.在0少内一定有零点 C.当k>0时，有4个零点 D.当k<0时，有1个零点 >题型二y=孔g)]型函数的零点问题 1已知函数/(x)= -x2-2x,x≤0 g() e,x≤0 x2-4x+3,x>0, nx,x>0,则函数h(x)=g(f(x)-1的零点个数为 2己知函数y=f(x)和y=8()在-2,2]的图象如下所示： 2x -10 2 2- 给出下列四个命题： (x) (①方程f[g(x]=0有且仅有6个根(2)方程8[f]=0有且仪有个依 g(x) 3)方程[/(x]=0有且仅有5个根④方程8[g(x]=0有且仅有4个根其中正确的命题是 (将所有正确的命题序号填在横线上) x+1 (x)= 3.已知函数 x+2,x≤0’g(x)=-x2-2x+1,若方程f(g(x)》-a=0有四个不同的实数根，则实数a 的取值范围是() c.(2,+oo) D.[2,+o) 3 4E知函数/02-1，与函数8四=o8,.0<x<2 3-x,x≥2，且满足方程f(x)=m有两个不同的实数解，则实数 的取值范围为」 方程Lf(]=m解的个数为 1 x+二 ,x>0 x (x)= 5.已知函数 ,x<0 ,若方程 有且仅有个不相等的解，则的 g(x)=x2+ax+b g[f(x)]=0 5 a-b 取值范围是 e+l,x≤0 6已知函数)2-4r+x>08国=-+，若西数y=g了)有6个零点，则实数。的取值范围 4 题型3y=af:)+bf)+c型函数的零点问题 1.己知函数f引x= hx(&X>0),求函数=3fx]P-4fxt1的零点个数为 e'(x≤0) x2-4x-5,x20 ,，则方程 的解的个数为() [f(x)订-6f(x)+5=0 A.5 B.6 C.7 D.8 -x2-2x+3,x≤0 3已知函数/() Inx,x>0 ,若关于x的方程[f(x)订+(a-2)f(x)-2a=0有4个不相等的实数根， 则实数a的取值范围是() A.（∞，0) B.(0,+o) c.(0,3) D.[34) [2--1,0<x≤2 4已知定又在R上的商而数当0， 2f(x-2)x>2,则关于的方程 1 5 6[fx]-f-1=0 的所有实数根的和是() A.-2 B.0 C.7 D.6 -x2-2x+2,x≤0 5已知函数/() Inx,x>0 ，若函数g(x)=[f(x)]-a时(x)+5有8个不同的零点，则实数a的取值 范围是() A.5. 26 914 「914 c.23 D.2’3 ◆巩固提升训练 1已知函数)=2-xs1, 2-x,x>1则方程/(f()=的解的个数为() A.3 B.4 C.5 D.6 2+2 2已知)= x≤1 2 cg,（(:-以x>1:则实数a满足/@]-0则满足条件的实数a的值的个数为（） A.4 B.3 C.2 D.1 6 Inx,x>0 f(x)= 3.已知函数 -x2+2ax,x≤0，若函数y=f(f(x)》有6个零点，则实数a的取值范围为() A.a>1 B.a<0 C.a<-1 D.-1<a<0 4已知函数)- 3-3,x≥0 x2+2x+2,x<0,则函数g(x)=f(f(x)-1)-2的零点个数为() A.5 B.6 C.7 D.8 -x2-2x+2,x≤0 5.已知函数 f(= ln,x>0，若函数g(x)=f(x)-a(x)+6有8个不同的零点，则实数a的取值 范围是( ) A.(26,5] B.(26,5) c.(4,5] D.(4,5) 2-1,x≤2 s已装高2苏州o可-e-和三不阴该装思.列。E 围为() A.(0,) 8.(0,2) c.(0,3) D.,3) Inx,x>0 7.已知函数f()= e2-,x≤0，若方程[∫()]'-m(x)+m-1=0有且仅有5个不同实数根，则实数m的取 值范围是() A.(0,e2-2) g.[1e2-2] C.(e,ta) D.[e2-2,+o) 8已知函数)=血（以<0 2-4,x之0，若函数g(x)=f[f(x]-a有7个零点，则。可以为(） A.2 B.3 C.4 D.5 Inx,x> 9(多选)已知函数() 固s0·g=-+24+3°=(s》-m测下列结论E确的有 () A.当m=0时h有1个零点 B.当0<m<1时（四有4个零点 C.当()有6个不同零点时，实数m的取值范围为 1,In3)In4. 0.当)。 的零点个数最多时，实数的取值范围为[ln3,ln4] 嵌套函数的零点问题（培优解析版） 题型一 y=f[f(x)]型函数的零点问题 1.已知函数则方程f(f(x))+3=0的解的个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】作出函数的图象，时，（时取等号），上递增，上递减，上递增，由图象可知有三个解， 不妨设，由于，因此， 于是有3个解，有1个解，有一个解，共5个解． 故选：C． 2.已知函数，则方程实数根的个数为（ ） A．6 B．7 C．10 D．11 【答案】D 【详解】令，则.当时，则，得或. 当时，则，得或. 再由，即，所以原方程等价于下面四个方程的根： ——①，——②，——③，——④. 再由，可知函数在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增，图象如下： 对方程①，因为， 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或（舍去）. 所以方程共有3个根. 对方程——②，因为. 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或（舍去）. 所以方程共有3个根. 对于方程——③，所以时，，得或，解得或； 当时，，得或.所以方程共有4个根. 对于——④，由函数的图象可知方程有唯一的根.综上，方程的根共个根.故选：D. 3.已知．若关于的方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围为 ． 【答案】【详解】已知，其值域为， 令，则原方程可化为，即：， 设该方程的两根为（），要使有4个不同实根，需满足： 有两个不同的实根，这两个根均大于. 即有两个不同实根，则 设，要使的两根均大于，需满足： 其中.同时，当时，， 若，则是方程的一个根，此时仅有1个根， 有2个根，总根个数为3，不符合题意.当时，（二重根），此时有2个不同实根，总根个数为2，不符合题意.综上，的取值范围为. 4.已知函数，若函数有8个零点，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【详解】当时，，对称轴为. 当时，函数在单调递增，函数图象如下： 令，则由， 结合图象可得或，即或. 结合图象可知，有2个解，有1个解， 此时函数有3个零点，不符合题意. 当时，函数在单调递增，在单调递减，函数图象如下： 令，则由，结合图象可得或或， 即或或. 由图可知，有2个解，有3个解， 又函数有8个零点，则需有3个解. 需使，解得.综上，实数的取值范围为. 5.函数，则函数的所有零点之和为___________． 【答案】13【分析】令，根据，求得或，再根据和，结合分段函数的解析式，即可求解.【详解】令，由得或，所以或， 当时，或，当时，则或，解得，所以函数的所有零点之和为． 6.（多选）已知函数，下列是关于函数的零点的判断，其中正确的是（ ） A．在内一定有零点B．在内一定有零点C．当时，有个零点D．当时，有个零点 【答案】CD 【详解】当时，，图象如图（1）， 此时即， 若，则， 若，则，又有2个零点，也有2个零点， 故有4个零点，故C正确； 当时，，如图（2），此时即，只有一种情况， 此时仅有1个零点，所以当时，有1个零点，故D正确；由图象可得A、B错误. 题型二 y=f[g(x)]型函数的零点问题 1.已知函数，，则函数的零点个数为 ． 【答案】【详解】令，得，令，得或， 解得或或，所以或或， 作出函数图象，如图所示：由图象可知有个解， 有个解，有个解，所以共有个零点. 2.已知函数和在的图象如下所示: 给出下列四个命题： (1)方程有且仅有6个根(2)方程有且仅有3个根 (3)方程有且仅有5个根(4)方程有且仅有4个根其中正确的命题是 . 将所有正确的命题序号填在横线上) 【答案】(1)(3)(4). 【解析】(1)或0或1,共有6个解.(1)正确. (2)或,其中为的两根,有一个根,有三个根,共有四个根.(2)不正确 (3)有三个根,或0或有三个根,有一个根,有一个根,共有五个根,(3)正确(4)有二个根,或有二个根,有二个根, 共有四个根,(4)正确. 3.已知函数，，若方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，如图， 由图像可知，和均最多有2个不同的根， 所以要使得有四个不同的解，则必须有两个小于2的不同根，由的图像可得实数的取值范围是.故选：B 4.已知函数，与函数，且满足方程有两个不同的实数解，则实数m的取值范围为__________，方程解的个数为__________. 【答案】 4 【详解】如图，作出函数的图象， 由题意，直线与函数的图象有两个不同的交点. 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个不同的交点， 故实数m的取值范围为； 对于方程，设，则有， 依题意，即是求解函数与直线的交点个数问题. 作出函数的图象如下图所示： 因为，函数与有个交点， 即有三个根、、，其中、、， 再结合的图象可知，方程有个不同的根，方程有个根，方程有个根， 综上所述，方程有个不同的解. 故答案为：；. 5.已知函数，，若方程有且仅有个不相等的解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】法一：结合函数图象，换元法结合有个不相等的解列式计算求参；法二：方程的5个不相等的解等价于有两根，其中一根，另一根，进而列式计算求解. 【详解】法一：当时，（时等号成立）， 当时，在单调递减且，的图象如图所示， 令，，即， 由有个不等解等价于有两根， 其中一根，另一根，根据韦达定理，，，则，， ，由，所以． 法二：可知由有个不等解等价于有两根，其中一根，另一根， 所以， 由①得，则，将④代入②得：⑤ 又由③得⑥，由⑤⑥可知，所以. 故答案为：． 6.已知函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题可得函数图象， 当或时，有两个解； 当时，有4个解； 当时，有3个解； 当时，有1个解； 因为最多有两个解.因此，要使有6个零点，则有两个解， 设为，则存在下列几种情况： 有2个解，有4个解，即或，显然， 则此时应满足，即，解得， 有3个解，有3个解，设即， 则应满足，无解，舍去， 综上所述，的取值范围为. 题型3 y=af2(x)+bf(x)+c 型函数的零点问题 1.已知函数 ，求函数y=3-4+1的零点个数为 . 解析：令=t，则（t为x的函数，简记为函数（✤））， 画出函数（✤）的图象：由y=0 ，得3-4+1=0 = 或=1； 因此题目中所求的零点个数，转化为函数（✤）的图象 与两条直线= =1公共点的个数；由图象知直线= =1 分别与函数（✤）的图象有3个，3个公共点， ∴函数y=3-4+1的零点个数为6. 2.已知函数，则方程的解的个数为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】有，得，解得或5， 当时，单调递减， 因为为开口向上，对称轴为的抛物线， 令，解得或5， 所以当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 作出，和的图象，如下图所示： 由图象可得直线与的图象有4个交点， 直线与的图象有2个交点，共有6个交点， 所以方程解的个数为6. 故选：B 3.已知函数，若关于x的方程有4个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 所以或.，作出的图象，如图， 因为函数的图象与直线有三个交点，所以有三个不同的实数根， 所以必须有一个实数根，即函数的图象与直线有一个交点， 由图可知，即，所以实数的取值范围为．故选：B． 4.已知定义在上的奇函数，当时， ，则关于的方程的所有实数根的和是（ ） A． B．0 C．7 D．6 【答案】A 【【详解】解：设，则关于的方程， 等价，解得或， 当时，，此时不满足方程． 若，则，即， 若，则，即， 作出当时，的图象如图： 当时，对应3个交点．即， ∵函数是奇函数， ∴当时，由，可得当时，，此时函数图象对应4个交点， 即方程的7个实根和为．故选：A． 5.已知函数，若函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，开口向下，对称轴为， ； 当时，，，函数在单调递减，在单调递增； 作出的大致图象如下， 设，则关于的方程有2个不同的根和， 且关于的方程分别有4个不同的根． 不妨设，则关于的方程需满足：， ①若，则，故， 且，即， 解得； ②若，则，此时，符合题意，故． 巩固提升训练 1.已知函数则方程的解的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】函数的图象如图所示： 设，则方程即， 由图象可知，与有三个交点， 横坐标分别为，其中，，， 方程解的个数转化为方程，，解的个数之和， 由图象可知，与有一个交点，与有三个交点， 与没有交点，所以方程解的个数为. 故选：B. 2.已知，则实数a满足，则满足条件的实数a的值的个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】令，解得， 因为，所以， 作出函数，直线的图象，如图， 由图象可知，直线与函数图象有3个交点，所以的根有3个，即满足条件的实数a的值的个数为3个. 3.已知函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当，时，，对称轴为， 所以在单调递增，函数图象如下： 令，，解得或， 即或，根据图象有2个解，有1个解， 所以此时有3个零点，不符合题意； 当，时，，对称轴为， 所以在单调递增，在单调递减，函数图像如下： 令，，解得或或， 根据图象有2个解，有3个解， 又有6个零点，所以要有1个解，即，解得，故选：D. 4.已知函数，则函数的零点个数为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【详解】求函数的零点个数，即求方程的不同实数根的个数， 如图，作出函数的大致图象， 令，则，解得，，． 当时，，则，此时方程无解； 当时，，则，此时方程有3个不同实数根； 当时，，则，此时方程有2个不同实数根． 综上可知，函数的零点个数为5．故选：A． 5.已知函数 ，若函数有8个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据对数函数与二次函数的图象与性质可作出的大致图象如下： 设，则有8个不同的零点， 需有两个不同零点，不妨设 同时分别对应4个零点， 若，即，则，且， 即，解之得. 若，则仍需，此时，不符合题意，舍去；综上：. 故选：B 6.已知函数若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得或， 当时，； 当时，； 当时，. 作出函数、、的图象如下图所示： 由图可知，直线与曲线有个交点，即方程无解， 所以由题方程有个不同的解，即直线与曲线有个交点，则. 7.已知函数，若方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】原方程因式分解得， 因此方程等价于或. 分析的实根个数，是分段函数，所以 当时，，解得或，共个正根； 当时，，得（无解），解得，共个负根， 因此总共个不同实根，题目要求总共有个实根，故需要有个不同实根. 分析（）的实根个数， 分区间讨论的性质，时，，最大值为， 时，时无实根；时，时有个实根； 时，时有个实根；时，时有个实根； 时，时有个实根；时，时无实根. 时，， 时个实根；时个实根；时个实根。 要使得总共有个实根，只有两种情况： ，此时总根个数为，符合要求，对应； 时，此时总根个数为，符合要求，对应. 8.已知函数，若函数有7个零点，则可以为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】当时，单调递减， 当时，单调递减，当时，单调递增， 作出图象，如图所示    因为函数有7个零点，所以有7个根， 即与的图象有7个交点， 令，则， 当时，与的图象只有一个交点，此时，    因为，所以与图象只有一个交点，不符合题意；    当时，与的图象有2个交点，且为-1和2， 则和与图象共有4个交点，不符合题意；    当时，与的图象有3个交点，设为，    则， 此时与共有7个交点，符合题意；    当时，与的图象有3个交点，设为， 则， 此时与共有6个交点，不符合题意；    当时，与的图象有2个交点，设为， 则， 若时，此时与共有4个交点，不符合题意， 若时，此时与共有3个交点，不符合题意，参考上图， 综上，a的取值范围是，则可以为2. 上，的取值范围是. 9.（多选）已知函数，，，则下列结论中正确的有（     ） A．当时有1个零点 B．当时有4个零点 C．当有6个不同零点时，实数m的取值范围为 D．当的零点个数最多时，实数m的取值范围为[ln3，ln4] 【答案】BC 【详解】A选项，的零点个数等价于关于的方程的解的个数， 令，画出，的图象如下： 当时，的解为，令，结合图象可知，有2个解， 故时，有2个零点，A错误； B选项，当时，有2个解，设为， 令，解得或，不妨设， 其中对应两个解，对应两个解， ，共四个解，当时有4个零点，B正确； CD选项，当时，有3个解，分别为， 易得， ，均有2个解， 当或时，有2个解，此时有6个解， 故或， 当有6个不同零点时，实数m的取值范围是，C正确； 最多有4个解，所以最多有8个解， 当有4个解时，则，即， 即当的零点个数最多时，m的取值范围为，D错误. 故选：BC 1 学科网（北京）股份有限公司 $