第1章 三角形章末复习（重难点讲义）数学新教材苏科版八年级上册

该初中数学三角形章末复习讲义通过知识框架图系统梳理核心内容，从三边关系、边角关系等基础概念，到全等三角形判定与性质、等腰三角形三线合一等重点，再到截长补短等模型与辅助线作法，形成完整知识脉络，并用对比表格呈现易混点。 讲义亮点在于“模型-应用-拓展”的递进练习设计，如题型07以等腰直角三角形旋转为典例，探究“一线三垂直”模型线段关系，变式题从不同角度强化辅助线作法，培养推理意识与几何直观。基础变式与拓展题结合，助力分层教学，提升复习效率。

第1章 三角形 章末复习 1.理解三角形的三边关系、边角关系，并能用该关系解决相关问题； 2.知道并会画出三角形中三条重要线段：三角形的中线、高线、角平分线； 3.掌握全等三角形的定义、性质和判定方法； 4.掌握线段垂直平分线、角平分线的性质和判定方法； 5.掌握等腰三角形、等边三角形的定义、性质和判定方法； 6.掌握含30度角的直角三角形的性质和斜边中线的性质。 7.全等三角形的重要模型（截长补短、倍长中线、一线三等角、手拉手、半角等）； 8.三角形的各类辅助线作法（构造全等、角平分线、垂直平分线、三线合一等）。 1．三角形的三边关系： 由两点之间线段最短可知，三角形的任意两边之和 大于 第三边；任意两边之差 小于 第三边。 2.大边对大角，大角对大边（新增内容）： 在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大，较大的角所对的边也比较大。 3. 三角形中线的定义：在三角形中，连接一个顶点与它的 对边中点 的线段叫做三角形的中线。如图，AM是△ABC的中线。 4. 三角形角平分线的定义：在三角形中，一个内角的平分线与这个角对边相交，这个角的顶点和交点之间的 线段 是三角形的角平分线。如图，AD是△ABC的角平分线。 5. 三角形高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线， 顶点 与 垂足 之间的线段是三角形的高线。如图，BD是△ABC的高线BD⊥AC。 6、全等图形：能够完全 重合 的两个图形（即形状、大小相同的图形）叫做全等图形。 7、全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫 全等三角形 。 注意：一个图形经过 平移 、 翻折 、 旋转 后，位置变化了，但 形状 、 大小 都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 8、对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫 对应顶点 ，重合的边叫 对应边 ，重合的角叫 对应角 。 9、全等三角形的性质 全等三角形的 对应边 相等；全等三角形的 对应角 相等； 拓展：全等三角形对应边上的高 相等 ，对应边上的中线 相等 ，对应边上的角平分线 相等 ；全等三角的周长 相等 ，面积 相等 。全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具。 10、全等三角形判定1——“边角边”公理:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）.如下图，若AB＝，∠A＝∠，AC＝，则△ABC≌△（SAS）. 11、有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等。 如上图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等。 12、全等三角形判定2——“角边角”公理:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）.如下图，若∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC ≌△（ASA）. 13、全等三角形判定3——“角角边”公理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）。如下图，若∠A＝∠，BC＝，∠B＝∠，则△ABC ≌△（AAS）。 由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等，这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论。 14、三个角分别相等的两个三角形不一定全等. 如上图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等。这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等。 15、全等三角形判定4——“边边边”公理：三边分别相等的两个三角形全等。（简写成“边边边”或“SSS”）. 如下图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△（SSS） 16、三角形的稳定性：三角形具有稳定性（三边长度确定，形状不会改变）。 17、直角三角形全等的判定——HL定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“HL”）。 如下图，如果＝AB，＝AC，∠C＝∠＝90°，则△ABC≌△（HL） 18、线段的垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端的 距离相等 ． 19、线段的垂直平分线的逆定理（判定定理）：到线段两端点距离相等的点在线段的 垂直平分线 上。 20、线段垂直平分线的尺规作图（步骤）：（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；（2）作直线CD，CD即为所求直线。 拓展：三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三个顶点距离相等，这点是三角形外接圆的圆心（外心）。 21、角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角两边的 距离相等 。 如图1，若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF。 图1 图2 图3 22、角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在 角的平分线 上。 如图2，若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB。 拓展：三角形三条角平分线交于一点，该点到三边的距离相等，这点是三角形内切圆的圆心（内心）。 23、角的平分线的尺规作图（步骤）：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E；（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；（3）画射线OC，即射线OC即为所求（如图3所示）。 24、等腰三角形：有两条边 相等 的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做 腰 ，相等的两个角叫做 底角 。 25、等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两个底角相等，简称“等边对 等角 ”。 26、腰三角形的性质定理2：等腰三角形的底边上 高线 和 中线 、顶角 平分线 互相重合。简称“ 三线合一 ”。 27、等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称“等角对 等边 ”。 28、等腰三角形的性质的作用：证明两条线段或两个角相等的一个重要依据。 29、等边三角形：三边都相等的三角形叫做 等边三角形 ，也称为正三角形。 30、等边三角形的性质定理：等边三角形的各个内角都等于 60° 。 31、等边三角形的判定定理： （1）三个角 相等 的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的 等腰三角形 是等边三角形。 32、直角三角形的重要性质： （1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边是斜边的 一半 ； （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半 。 题型01 三角形的三边关系 【典例】（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）用一根小木棒与两根长度分别为的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设这根小木棒的长度为，则：， ∴，只有选项C的符合该取值范围. 【变式1】（25-26八年级上·江苏·期中）已知的三边长分别是、、，化简： ． 【答案】 【详解】解：∵的三边长分别是a、b、c，∴，∴， ∴；故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，小华为了估计池塘两岸间的距离（即的长），在池塘的一侧选取一点，测得，，则池塘两岸间的距离可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设，∵，，∴由三角形三边关系定理得：， ∴，∴、间的距离可能是，故选：B． 【变式3】（25-26七年级下·江苏南京·开学考试）小宇想把一根吸管剪成3段来围成一个三角形，如图，点是这根吸管的中点，下面点（     ）不能作为第一刀的切点． A．A B．B C．C D．D 【答案】A 【详解】解：依题意，如图所示：∵点是这根吸管的中点，∴， 观察图，得，即， ∵把一根吸管剪成3段来围成一个三角形， ∴当点A作为第一刀的切点，剩下的任意两段线段的和值都不大于，不满足三角形的三边关系：两边之和大于第三边．故点A不能作为第一刀的切点． 【变式4】（24-25七年级上·河南驻马店·期末）如图，在四边形内找一点，使它与四边形四个顶点的距离的和最小，并说出你的理由． 【答案】见解析 【详解】解：连接，它们相交于点，则点到四个顶点的距离之和最小． 理由如下：∵，且， ∴，∴，即四边形对角线的交点到四边形四个顶点的距离之和最小，即我们所找的点． 题型02 三角形的边角关系(大角对大边) 【典例】（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）我知道，在一个三角形中，①相等的边对的角也相等，②相等的角所对的边也相等． 【问题提出】一个三角形中，①假如两条边不相等，那么这两条边所对的角大小关系如何？ ②假如两个角不相等，那么它们所对的边大小关系又如何？ 【实验探究】如图1，在中，边对，边对，，与有什么样的大小关系呢？ 类比等腰三角形折纸的经验，我们又能够怎样经过折叠比较出与的大小呢？同学们分小组议论沟通，并说明自己是如何经过折纸比较的． 方法一：如图2，将沿的垂直平分线折叠，使点落在点上． 方法二：如图3，将沿边的高翻折，使点落到边上处， 方法三：如图4，将沿的平分线翻折使点落到边上处． 方法四：如图5，在上截取，连接． 方法五：如图6，延长至点，使得，连接． 【问题解决】（1）选择上述一种方法说明：在中，若，则． （2）尝试说明：在中，若，则． 【知识迁移】（3）已知：在中，，点为边上一点，，若，试用上面的方法求出的长． 【答案】（1）见解析  （2）见解析  （3） 【详解】（1）方法一：∵垂直平分，∴，∴， ∵，∴； 方法二：将沿边的高翻折，∴， 又∵是的外角，∴，∴； 方法三：由折叠可得， ∵是的外角，∴，∴； 方法四：∵，∴， 又∵是的外角，∴，又∵，∴； 方法五：∵，∴， 又∵是的外角，∴，又∵，∴； （2）如图2，将沿的垂直平分线折叠，使点落在点上． 则∴，∴，∵，∴，∴点在线段上， 根据三角形的两边之和大于第三边可得，又∵，∴； （3）解：延长到，使得，连接， 又∵，∴，∴，， 又∵，∴，∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·北京昌平·期末）学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来等角所对的边也相等．类比以上内容，小明同学探究了不相等的边（或角）所对的角（或边）之间存在关系．如图1，2，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点C落在上的D点，折线交于点E． 证明：由折叠可得，． 因此可得结论，在一个三角形中，如果两条边不等，那么所对的角也不等，大边所对角较大． 【探究结论】（1）类似地，用下面的方法，证明此命题的逆命题： “在一个三角形中，如果两角不等，那么所对的边也不等，大角所对边较大” 已知：在中，．求证：． 如图3，小聪的思路是：在内部作…… 请你根据小聪的思路，完成证明；证明： 【应用结论】（2）在三角形中，，平分，点E为边上任意一点（不与点A，点C重合），连接，交于点F．求证：． 【答案】[探究结论]证明见解析；[应用结论]证明见解析 【分析】[探究结论]可得，由得到，即可证明； [应用结论] 在上截取，连接，证明，再运用结论证明． 【详解】[探究结论]证明：，．，，； [应用结论]证明：在上截取，连接． 平分，．，． ，，． ，．，． 【变式2】（24-25八年级上·广东汕头·期中）人教版初中数学教科书八年级上册第84页探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分原文如下： 如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点C落在上的D点，折线交于点E，则． ∵（想一想为什么写出理由），∴． （1）如图2，在中，如果，能否证明? 同学小雅提供了一种方法：将折叠，使点B落在点C上，折线交于点F，交于点G，再运用三角形三边关系即可证明，请你按照小雅的方法完成证明； （2）如图3，在中，，按照图1的方式进行折叠，得到折痕，过点E作的平行线交于点M，若，求的度数． 【答案】见解析；（1）见解析；（2） 【详解】解：∵，∴； （1）证明：由折叠知，，在中，，∴，∴； （2）解：由折叠知，，， ∵，∴，∵，∴，∵，∴， ∵，∴， ∴，∴． 【变式3】（24-25八年级上·河南洛阳·期中）我们知道，在一个三角形中，相等的边所对的角相等．那么，不相等的边所对的角之间的大小关系是怎样呢？ 【观察猜想】（1）如图1，在中，．猜想与的大小关系：________； 【操作证明】（2）如图2，将折叠，使边落在上，点落在上的点，折痕交于点，连接．发现：由于，……，根据发现，请证明（1）中所猜想的结论； 【应用结论】（3）在中，已知，那么、、有怎样的大小关系？________（用“”表示出来） 【类比探究】（4）如图3，在中，．小洛同学运用类似的操作进行探究：折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，连接．请证明：． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)． 【详解】（1）解：由图观察猜想得：,故答案为：； （2）证明：由折叠可得, ,,； （3）解：由（2）知，长边对大角， 又∵，∴，故答案为：； （4）证明：由折叠知，, 在中，,,． 题型03 三角形中的重要线段相关的概念 【典例】（24-25七年级下·山西太原·开学考试）下列结论正确的是（   ） A．钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的外部 B．锐角三角形的三条高的交点在三角形的外部 C．三角形的重心是三角形三条中线的交点 D．直角三角形的三条中线的交点在斜边的中点 【答案】C 【详解】解：、钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的内部，原选项结论错误，不符合题意； 、锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部，原选项结论错误，不符合题意； 、三角形的重心是三角形三条中线的交点，原选项结论正确，符合题意； 、直角三角形的三条中线的交点在三角形的内部，原选项结论错误，不符合题意；故选：． 【变式1】（24-25七年级下·河南新乡·期末）小涵求的面积时，作了边上的高，下列作图正确的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意，作图正确的是：故选D． 【变式2】（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．三角形的角平分线，中线，高均在三角形内部 B．三角形的重心是三角形三边垂直平分线的交点 C．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等 D．凸多边形的所有内角中，最多有3个锐角 【答案】D 【详解】解：A、锐角三角形的角平分线，中线，高均在三角形内部，但直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形的内部，钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形的内部，故原说法错误，不符合题意；B、三角形的重心是三角形的三条中线的交点，故原说法错误，不符合题意； C、有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形可能全等，故原说法错误，不符合题意； D、凸多边形的所有内角中，最多有3个锐角，故原说法正确，符合题意．故选：D 【变式3】（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 【答案】C 【详解】解：由图①的折叠方式可知，，所以是的角平分线． 由图②的折叠方式可知，， 因为，所以，所以，所以是的高线． 由图③的折叠方式可知，，所以是的中线．故选：． 题型04 三角形中的重要线段相关的运算 【典例】（25-26八年级上·江苏·校考期末）如图，，，分别是的中线、角平分线、高线，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，，分别是的中线、角平分线、高线， ∴，，，故选项A、B正确，不合题意； ，故选项C正确，不合题意； 由与不一定相等，故选项D错误，符合题意．故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，点D、E、F分别在边上，E是的中点，，交于一点G，若，则的面积为 ． 【答案】 【详解】解：∵，E是的中点，∴，， 设，∵，∴，， ∴∵ ∴解得，∴，， 则设，则， ∵，∴解得，即的面积为，故答案为： 【变式1】（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图，在中，分别是的中点，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：分别是的中点，，， ，，，，故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图所示，在中，D、E、F分别为的中点，且，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，且点是的中点，． 点是的中点，．点为的中点，．故选：B． 【变式3】（25-26七年级下·四川遂宁·期末）【提出问题】设的面积为1，如图1，将边分别2等分，求？ 【问题解决】连结，设，则，由题意得：，即：． 【方法运用】如图2，若分别是边和上距离点最近的6等分点，与相交于点，则四边形的面积为________． 【答案】 【详解】解：连接，设，， ∵分别是边和上距离点最近的6等分点， ∴，，，， ∵，， ∴，解得，∴，∴． 【变式4】（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）阅读与思考 下面是小聪同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日 星期一 过三角形或四边形顶点作一条平分图形的面积的直线今天，我在课堂中学到了三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分．如图1，在中，是边上的中线，则． 我思考如何过四边形一个顶点作一条直线，将四边形分成面积相等的两部分． 我把自己的想法跟老师交流，老师给我的指导是在面积不变的情况下把四边形化成三角形，再利用三角形的中线平分三角形的面积，进一步平分四边形的面积． 如图2，老师在网格中画出四边形，四个顶点都在格点上（网格线的交点），连接，要求过点画一条直线与平行，然后在该直线上找到合适的点，使，再根据三角形的中线平分三角形的面积，就可以画出的中线，将四边形的面积平分为面积相等的两部分． 任务：(1)材料中“将四边形的面积平分为面积相等的两部分转化为画出三角形的中线”体现的数学思想是_______． A．分类讨论思想    B．转化思想    C．方程思想    D．建模思想 (2)根据老师的指导，在图2的网格图中，帮小聪完成作图． (3)如图3，在图1的基础上，点分别是的中点，连接．若，求的面积． 【答案】(1)(2)见解析(3)1 【详解】（1）解：由题意知，思路从三角形向四边形拓展的过程中体现的是转化思想；故选：B； （2）解：如图所示：过点作交延长线于，则，， 即， 取中点，则平分，那么也将四边形的面积平分为面积相等的两部分； （3）解：点是的中点，. 是的中点，.是的中点，. 题型05 全等三角形的判定 【典例】（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后不能证明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：添加条件，结合条件，，可以利用证明，故A不符合题意； 添加条件，结合条件，，可以利用证明，故B不符合题意； 添加条件，结合条件，，可以利用证明，故C不符合题意； 添加条件，结合条件，，不可以利用证明，故D符合题意；故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·四川成都·期中）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、仅知直角和斜边长度，缺少另一条边或角的信息，由直角三角形全等的判定定理可知，无法判定所画三角形与选项中所给条件的三角形全等，则不能唯一确定三角形，不符合题意； B、已知三角形两边及，不是的夹角，由三角形全等的判定定理可知，无法判定所画三角形与选项中所给条件的三角形全等，则不能唯一确定，不符合题意； C、已知三角形两边及边，边是的夹边，由三角形全等的判定定理，能判定所画三角形与选项中所给条件的三角形全等，则能唯一确定，符合题意； D、由可知，三条线段无法构成三角形，无法唯一确定，不符合题意；故选：C． 【变式2】（25-26七年级下·陕西汉中·期末）根据以下素材，解决问题． 背景 某校八年级学生到野外活动，为测量一不规则池塘两端、的距离，小明设计出如图所示的方案． 测量示意图    测量步骤 ①过点作射线．②过点作于点． ③在射线上截取，使得．④测量的长． 测量数据 ． 根据以上信息，求池塘两端、的距离． 【答案】 【详解】解：，， 在和中，，，，． 【变式3】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在四边形中，，是上的一点，且，连接，，．求证：(1)．(2)． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）解：，和均为直角三角形． 在和中，，． （2），∴， ，， ，，∴． 【变式4】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）【问题探究】 (1)与的位置如图所示，，，． ①与相等吗？为什么？②连接，若，，求的度数． 【问题解决】(2)如图，某生态公园内有一块形状为四边形的池塘（周围空地可利用），点、分别在、边上，、、为池塘上方的廊桥，为方便游客，该公园计划建造游客观景区，延长至点，连接、，将规划为游客观景区，已知点在的垂直平分线上，，，，请你求出、，之间的数量关系，并说明理由．（廊桥的宽度忽略不计） 【答案】(1)①，理由如下：                                在和中，，，        ．     ②解：，，， ，，     ． (2)，理由如下：  点在的垂直平分线上，， ，，，                                               在和中，，，                                         ，，，，， ，，，                                           在和中，，， ，． 题型06 全等三角形的性质与判定综合 【典例】（25-26七年级下·江西九江·期末）等腰直角三角形既是特殊的直角三角形，又是特殊的等腰三角形；基于其边角特征判定全等三角形的过程中提炼了常见的两个全等结构（如图与图），一些复杂的问题可以转化成这样的全等结构进行解决． 【理解探究】(1)如图，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点不在边上，分别作于点，于点，则线段、、之间的数量关系为_____． (2)如图，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点在边上，分别作于点，于点．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【转化应用】(3)如图，与均为等腰直角三角形，，且、、在同一直线上，连接．已知，．求． (4)在中，，，，．直线经过的直角顶点交斜边于点，，，动点在直线上，动点在所在直线上．若以点、、为顶点的三角形与全等（如图），直接写出所有满足条件的的长度值． 【详解】（1）解：∵，，∴，∴， ∵，∴，∴． ∵在和中，，∴， ∴，，∴． (2)解：（1）中结论不成立，应为，理由如下： ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴． ∵在和中，，∴， ∴，，∴． （3）解：∵与均为等腰直角三角形，，∴，， ∵，，∴，∴． 过点A作，交的延长线于点E，则， ∵，∴，∴． ∵，∴， ∵，∴，∴． ∵在和中，，∴， ∴，∴． （4）解：∵，，∴，， ∵，，∴，即，∴． ∵，∴，∴， ∵，∴． 若以点、、为顶点的三角形与全等，分以下情况讨论： ①若点B，F均在点C上方，∵，∴存在或． 若，如图，则，∴． 若，如图，则，∴． ②若点B，F均在点C下方，∵，∴存在或． 若，如图，则，∴． 若，如图，则，∴． 综上所述，所有满足条件的的长为或或． 【变式1】（25-26七年级下·四川成都·期末）在中，，． (1)点是内部一点，且．①如图1，求证：； ②如图2，当，，三点共线时，连接，若，，求的面积； (2)如图3，点是外一点，且，若的面积为8，求的长． 【答案】(1)①证明：，，， ，，. ，，． ②解：，，，， 由①可得，， ，为直角三角形， ，，． ，． （2）解：将绕点逆时针旋转使和重合，得到，如图所示， ，，，， 为等腰直角三角形，， ，，在线段的延长线上， ，，． ，，，． 【变式3】（25-26七年级下·陕西西安·期末）综合探究与应用 (1)如图1，在中，，，若于E，于D，则与的数量关系是________． (2)如图2，在中，，，D点为边上一动点，连接，作且，连接交于F点，若，．求证：点D为中点． (3)为打造“智慧校园+美学空间”，某校计划在校园一处生态种植区中布设智能感应灯带系统．经测量，中，，米，．系统采用“双光源联动结构”，如图3，以定点A为控制中心，投射点D可在射线上调节；同时在A处与垂直方向安装用于对称补光的补偿灯E，使，（点E在点D的右边）．灯带线路与主控制线所在直线交于点F，该点将作为线路转接与分线的物理点位．施工员测得当前D点到B点的距离米，请直接写出此时的长度． 【详解】（1）解：∵，，∴，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴； (2)证明：如图，作于，则，∴， ∵，∴，∴，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴， 在和中，，∴， ∴，∴， ∴，∴点D为中点； （3）解：如图，当点在线段上时，作于点， 则，∴， ∵，∴，∴，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵米，米，∴米，∴米，∴米， 在和中，，∴， ∴米，∴米； 如图，当点在射线上时，作于点 则，∴， ∵，∴，∴，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵米，米，∴米，∴米，∴米， 在和中，，∴，∴米， ∴米；综上所述，的长度为或米． 【变式3】（24-25七年级下·山西运城·阶段练习）综合与实践 用一般观念研究筝形 研究对象：筝形 研究思路：类比线段、角、三角形，按“定义一性质一应用”的路径，由特殊到一般进行研究． 研究角度：整体——对称性 要素——边角及相关元素的关系 研究方法：观察（度量、实验）——猜想——验证 研究内容： 【一般概念】如图，在四边形中，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【性质探索】根据定义，探索筝形的性质，得出如下结论： 内角：筝形有一组对角相等 对角线：…… 问题解决：(1)尺规作图：如图2，已知，求作一点，使得四边形是等形．（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)已知：如图3，在筝形中，．证明：． (3)如图4，连接筝形的对角线，相交于点． ①猜想与的位置关系，与的数量关系，请分别说明理由． ②如图4，在筝形中，已知，则筝形的面积是 ． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)①，见解析；② 【详解】（1）如图，四边形即为所求 （2）如图，连接；在与中，，； （3）①；，理由如下 由（2）可得，，， 在和中，，，， ，，； ②四边形是筝形，，∵ ． 【变式4】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，与为等腰三角形，，，，为线段上一个动点，与相交于点． (1)如图1，求证：平分；(2)如图2，作，交延长线于F，求证：； (3)如图3，若，且，，求的面积． 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)的面积为． 【详解】（1）证明：∵，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴，∴，∴平分． （2）证明：作，交于点，则，， 又∵，∴，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴． （3）解：∵，，∴，， ∴，，∵，∴， 又∵，∴， 设，则，∵，∴， ∵，∴，∴，∴ ∴，，∴，∴， 延长，作交延长线于点，在延长线上截取，连接，交延长线于点， ∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，∴，， ∴，，， 在和中，，∴， ∵，，∴，∴，∴，答：的面积为． 题型07 全等三角形的重要模型与辅助线 【典例】（24-25七年级下·山西长治·期末）综合与探究 【教材呈现】以下是华师大版七年级下册数学教材第143页的部分内容：如图1，都是等腰直角三角形，，作出以点为旋转中心、逆时针旋转后的三角形． 【操作发现】（1）在图1中画出以点为旋转中心、逆时针旋转后的三角形，写出旋转前后CE与其对应线段的数量关系和位置关系：________，_______． 【探究理由】（2）如图2，将绕点逆时针旋转得到，设CE，AC分别与BD交于点F，G，试判断CE与BD的数量关系和位置关系，并说明理由． 【问题解决】（3）如图3，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在BC上，DE与CA交于点．若与关于直线AD对称，且，则 ①_________；②线段EF的长是________． 【答案】（1）画图见解析，，；（2），，理由见解析；（3）①，② 【详解】解：（1）如图， 即为所求，，， 证明：设、分别与交于点、， ∵绕点逆时针旋转得到，∴， ∴，，， 在和中，，∴，∴， 故答案为：，； （2），；理由：∵绕点逆时针旋转得到， ∴，∴，，， 在和中，，∴，∴， 故答案为：，； （3）①∵与关于对称，∴，∴， 由旋转的性质可知，，故答案为：； ②由旋转的性质可知，，∵与关于对称， ∵，∴，故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，，，为射线上一动点，连结，将绕点顺时针旋转至交直线于点，若，则 ． 【答案】3或7 【详解】解：当为线段上时，作于点， 由旋转的性质得，， ∵，∴， ∴，∴，，， ∵，，， ∴，∴，∴； 当为线段上时，作交延长线于点， 同理，∴，，， ∵，，，∴， ∴，∴；综上，的长为3或7．故答案为：3或7． 【变式2】（24-25七年级下·四川雅安·期末）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，，交于点F．则下列说法错误的是（　　） A． B． C．若，则 D． 【答案】B 【详解】解：A、在中，，∴， ∵平分，平分，∴， ∴，故正确，不符合题意； B、若，∴，∴，∴， 而由已知条件无法证明，故错误，符合题意； C、如图，延长至G，使，连接， ∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵为角平分线，∴，∴，∴， ∵，∴，故正确，不符合题意； D、如图，作的平分线交于点G，由选项A得， ∴，，∴， ∵，∴，， ∴，∴，故正确，不符合题意；故选B． 【变式3】（24-25七年级下·江西抚州·期末）【初步探索】（1）如图1：在四边形中，，，、分别是、上的点，且，探究图中、，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______． 【灵活运用】（2）如图2，若在四边形中，，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【拓展延伸】（3）已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，请求的度数． 【答案】（1）；（2）结论仍成立，理由见解析；（3） 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，延长到点，使，连接， 在和中，，∴，∴， ∵，∴， 在和中，，∴， ∴．故答案为：． （2）结论仍成立，理由如下：如图2，延长到点，使，连接， ∵，∴， 在和中，∴，∴， 在和中，，∴， ∴．故答案为：． （3）∵，，， ∴， 如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ∵，∴， 在和中，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴， ∴，即，∴． 【变式4】（24-25七年级下·陕西西安·期中）问题提出：（1）小明和小亮在一次学习中遇到了以下问题，如图①，是的中线，若，求和的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了的取值范围，请你也算一算的取值范围______． 【探究方法】（2）他们遇到的困难是怎么也算不出的取值范围，于是他们求助于学习小组的同学，讨论后发现：延长至点E，使，连接．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围______； 【迁移应用】（3）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：；（4）思考：如图3，是的中线，，请你判断线段与的关系，并加以证明． 【答案】（1）（2）（3）见解析（4），证明见解析 【详解】解：（1）∵，∴的取值范围为：，即； 故答案为：； （2）如图1，延长至点E，使，连接， ∵是的中线，∴， ∵，∴，∴， 中，，∴，∴， ∴，故答案为：； （3）证明：如图2，延长至点F，使，连接， 同理得：，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，∵，∴； （4），证明如下： 如图3，在的延长线上截取，连接，则， ∵是的中线，∴，同理得， ∴，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∵，∴， ∴，∴． 题型08 线段垂直平分线的性质与判定 【典例】（24-25七年级下·内蒙古包头·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点A作，垂足为点，且点为线段的中点，连接．若，，则的长为（  ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【详解】解：∵，且点为线段的中点，∴垂直平分，∴， ∵垂直平分，∴，∴， ∵，∴，∴．故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E，于点D，且．若， ，则的周长为 【答案】32 【详解】解：连结，设，则，， 垂直平分，，， ，，，， 的周长为．故答案为：32． 【变式2】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，若和分别垂直平分和，则的周长为 ． 【答案】 【详解】解：∵和分别垂直平分和，∴，， ∴的周长，故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，，分别以点、点为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于点，，作直线交于点，交于点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由作图可知垂直平分，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，故选：． 【变式4】（24-25八年级上·江西上饶·期中）如图所示，在中，，，点为的中点，交的平分线于点，于点， 交的延长线于点． (1)求证：；(2)求的长． 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【详解】（1）证明：如图所示，连接，， ∵是的中点，，∴，， 又∵，∴，∴， ∵平分，，，∴，， 又∵，∴，∴； （2）解：在和中，∴， ∴，由（）得，∴， ∴， ∵，，∴，∴． 题型09 角平分线的性质与判定 【典例】（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，点是的三个内角平分线的交点，若面积为，点到边的距离是，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：作，，， 点是的三个内角平分线的交点，， 点到边的距离是， 面积为，即， ，，即的周长为．故选：． 【变式1】（2025·广东珠海·三模）如图，在中， (1)尺规作图：作的角平分线，在角平分线上确定点D，使得；不写作法，保留痕迹 (2)在的条件下，若与相交于点E，，，求的比值． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解：如图， 则点D即为所求． （2）解:过点E作于点M，于点 平分，，． 【变式2】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）【定理】如图1．因为于于，所以___________． 【运用】如图2，在四边形中，，求证：平分． 【答案】【定理】平分；【运用】证明见解析 【详解】解：定理：于于，平分，故答案为：平分； 运用：如图所示，过点作于点，过点作交的延长线于点， ，，，，， ，，，，， ，，平分． 【变式3】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，和的平分线相交于点O，交于点E，交于点F，过点O作于D，下列三个结论：①；②若，则；③当时，．其中正确的是（  ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【详解】解：①∵和的平分线相交于点，，， ∴，故①符合； ②过作于点，于点，如图： 和的平分线相交于点，∴点在的平分线上，， ，故②符合题意； ③∵，∴， ∵分别是与的平分线，， ∴，∴，∴，如图，在上取一点，使，连接， ∵是的角平分线，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，故③符合题意；故选：D． 【变式4】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在等腰中，，，平分．在线段上有一动点，连接，为直线上异于的一点，连接、． (1)如图，当点在射线上时，若，直接写出：______； (2)如图，当点在射线的反向延长线上时， 若（1）中的结论仍成立，则、、应满足怎样的数量关系，请证明； 若，且，，求的值． 【答案】(1)(2)①，证明见解析 ② 【详解】（1）解：在上取一点，使得，连接，如图所示： ，．平分，，， ≌，，． ，，． ，≌，． ，， ，故答案为：； （2）解：①若中的结论仍成立，则、、应满足怎样的数量关系为：，理由如下：在的延长线上取一点，使得，连接，如图所示： ，． ，． ，．，， ，≌，，． ，，≌，，； 由可知：，，， ，．，， 设，则，，， ，，． 题型10 角平分线与垂直平分线的尺规作图与应用 【典例】（24-25八年级上·北京朝阳·期中）三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】C 【详解】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有 个． 【答案】4 【详解】解：①三角形两个内角平分线的交点，共一处； ②三个外角两两平分线的交点，共三处，∴中转站P可选择的点有共有4个．故答案为：4． 【变式2】（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（    ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【答案】C 【详解】解：凉亭到草坪三个顶点的距离相等， 凉亭应选的位置是三边的垂直平分线的交点，故选：C． 【变式3】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，某电信部门要在公路m、n之间修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个村庄A、B的距离相等，到公路m、n的距离也相等，问：发射塔应建在什么位置？请用尺规作图法，在图中用点P表示出发射塔应建的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【详解】解：分别作出公路夹角的角平分线和线段的中垂线，他们的交点为P，则P点就是修建发射塔的位置． 【变式4】（24-25八年级下·河南郑州·期中）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：    (1)如图①，要在河边l修建一个水泵站M，使．水泵站M要建在什么位置？ (2)如图②，三条公路两两相交，现计划修建一个油库P，要求油库P到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库P的位置？（请作出符合条件的一个） 【答案】(1)见解析(2)见解析（答案不唯一） 【详解】（1）如图1所示：M点即为所求．       （2）如图2所示（答案不唯一）． 题型11 等腰三角形的性质：三线合一与等角对等边 【典例】（2025·云南昆明·三模）如图，在中，，，平分，下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、∵，，∴，∴，选项正确，不符合题意； B、∵，平分，∴，选项正确，不符合题意； C、根据题意得：，选项错误，符合题意； D、平分，， ∵，，选项正确，不符合题意；故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，在中，为边上的高，点为的中点，连接．若的周长为24，则的周长为（　　） A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】C 【详解】解：为边上的高，， 的周长为24，，， 在中，点为的中点， 的周长．故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知的面积为12，平分，且于点，则的面积是（  ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【详解】解：延长交于， 平分，，，， 在和中，，，， ，，，故选：． 【变式3】（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，的周长为，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，若，，，那么的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵平分，∴， ∵，∴，∴，∴，同理：， ∵的周长，，∴， ∵的周长为， ∴的周长是，故选：． 【变式4】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，是边上的中线，延长至点，延长至点，使，连接、．求证：平分． 【答案】见详解 【详解】证明：∵在中，，是边上的中线， ∴，，平分，，∴， 在与中，，∴， ∴，∴， 即，即平分． 题型12 等边三角形的性质与判定的运用 【典例】（24-25七年级下·上海金山·期末）某数学学习小组成员康康、小海、欢欢和乐乐等同学继续对课本等边三角形开展了深入探究． 问题回顾：课本中有例题，证明：有一个内角等于的等腰三角形是等边三角形．如图．已知：在中，．需要对三个内角分别等于的各种情况进行讨论，其中和是类似的，故只要分两种情况讨论． ①当时，那么可以证明是等边三角形； ②当时，那么可以证明是等边三角形． （1）请写出情况①的证明过程； 问题探究：于是，康康提出了一个问题：我们将上题中的条件“有一个内角等于”替换为“底边上的高和腰上的高对应相等”，如图2．即：已知：在中，，，，垂足分别为点、，且，求证：是等边三角形． （2）请写出证明过程； 问题拓展：由此启发，该小组猜想：在等腰三角形中，如果以“一边(底边或腰)上的高”“一边(底边或腰)上的中线”或“一角(顶角或底角)的角平分线”中的两个条件，加以组合(也就是形成一组须同时满足的关系)，使它们对应相等，是否还能新构成一个能判定一个等腰三角形是等边三角形的条件？ 基于此，小组成员小海、欢欢、乐乐进行了探索，并分别提供了自己的已知、求证和图形． 小海 欢欢 乐乐 已知：在中，，中线中线．求证：是等边三角形． 已知：在中，，角平分线高．求证：是等边三角形． 已知：在中，，角平分线角平分线．求证：是等边三角形． （3）你认为________(填小海、欢欢、乐乐其中一个)的探究是正确的，并写出该证明过程． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）欢欢，证明见解析 【详解】（1）证明：在中，∴ ∵∴∴ ∴∴∴∴是等边三角形； （2）证明：∵，∴， 又∵，，∴∴ ∵∴∴是等边三角形； （3）欢欢的探究是正确的，证明如下，∵，是的角平分线，∴ ∵是边上的高，∴ 又∵，，∴∴ ∵∴∴是等边三角形； 小海：已知中线，，不能证明，则不能得出，故不正确； 乐乐：角平分线角平分线，不能证明，则不能得出，故不正确； 故答案为：欢欢． 【变式1】（24-25八年级下·内蒙古包头·期末）下列条件中，能判定为等边三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、不能判定为等边三角形，不符合题意； B、不能判定为等边三角形，不符合题意； C、不能判定为等边三角形，不符合题意； D、能判定为等边三角形，符合题意；故选D． 【变式2】（24-25八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，在等边三角形中，，于相交于点P，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是等边三角形，∴，， 在和中，，∴， ∴，故选：C． 【变式3】（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，中，，，，在外侧作等边，过点作于，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：在上截取，连接，， ∵，∴是等边三角形，∴，， ∵是等边三角形，∴，，∴， ∴，∴，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴． 【变式4】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，过等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，且，连交边于D． (1)求证：；(2)线段与有什么样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析(2)，见解析 【详解】（1）证明：∵是等边三角形，∴， 过P作的平行线至于F，∴， ∴，∴是等边三角形；∴， ∵，∴，∵，∴， 又，，∴，∴； （2）解：结论：，理由：∵，是等边三角形，∴， ∵，∴，∴． 题型13 等腰（等边）三角形性质与判定综合 【典例】（23-24八年级上·重庆永川·期中）如图，已知中，，，，点是中点，两边，分别交，于点E，F，当在内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合)，给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：如图，，，是等腰直角三角形， ，是中点，，、都是的余角，， 在与中，，，同理可证， ①由得到，故①正确； ②由得到，是直角，是等腰直角三角形，故②正确； ③由得到，则， 故③正确； ④，，，， ，④错误；正确结论为①②③．故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知和都是等边三角形（A，B，D共线）．下列结论，①；②；③；④是等边三角形；⑤；⑥平分；⑦平分；⑧．其中错误的有（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】解：∵与为等边三角形，∴，，， ∴，即，，， ∴，∴，，，， ∵，∴， ∴，∵， ∴，∴，∴， ∴是等边三角形，∴，∴，∴，故①②③④⑤正确； 过B作于M，于N，如图所示： ∵，，∴， ∴，∴平分，⑦正确；∴， ∵，∴，， ∴，，∴， ∵在和中，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，即，故⑧错误； 根据已知条件，不能证明平分，故⑥错误；综上分析可知：错误的有2个．故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·北京海淀·期末）如图，在和中，若，，，、交于点M，连接，则下列结论：①；②；③平分；④平分，其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：，，即， 又，，，，①结论正确； ，， ， ，，②结论正确； 如图，过点作，， ，，平分，③结论正确； 假设平分，，平分， ，，即， 又，，， 而题干中没有说明，即无法判断平分，④结论错误；故选：B． 【变式3】（24-25七年级下·福建三明·期末）如图，在中，于点E，于点F，交于点H，且平分于点D，交于点G．以下结论：①；②；③；④．其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）． 【答案】①③④ 【详解】解：，， ∴是等腰直角三角形，，结论①正确； ，， ，，，， 在和中，，， ，，∴，故④正确； 平分，， ，，， ，，故③正确； ∵，∴，∵，∴， 又∵，∴不全等， ∴，故②错误；故答案为：①③④． 【变式4】（24-25八年级上·湖南益阳·期中）感知： 如图（1），在中，分别以、为边在外部作等边三角形、，连接、．求证：； 应用：如图（2），在中，，分别以、为边在内部作等腰三角形、，点恰好在边上，使，，且，连接，，，的面积为，求的面积． 【答案】感知：证明见解析；应用： 【详解】感知：证明：∵和为等边三角形， ∴，∴，∴， ∵，，∴，∴； 应用：解：过A点作的高线，垂足为F． ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴，∵的面积是，∴，∴， ∴的面积是，∴的面积是． 题型14 30°角的直角三角形与斜边中线的性质 【典例】33．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】解：如图，连接，∵垂直平分，∴，，∴， ∵，∴，∴， ∴，，∴，∴，∴， ∵，∴．故选：A 【变式1】（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，则的长为（　　） A．3 B．6 C．7 D． 【答案】B 【详解】解：由图可知，在中，，点D为边的中点， ,故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：①以顶点C为圆心，的长为半径画弧，交于B，D两点；②分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E：③作射线交于点F．若，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：由尺规作图可知：是线段的垂直平分线，∴，， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴，故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·北京西城·期末）如图，在Rt与Rt中，，点和点位于边的同侧，为边的中点．连接，若，则 ． 【答案】77 【详解】解：，为边的中点，，，， ，．故答案为：77． 【变式4】（24-25八年级上·重庆永川·期中）如图，是等边三角形，，于Q，交于点P，下列说法：①；②；③；④；⑤．其正确的有 ． 【答案】①③④ 【详解】解：是等边三角形，， 在和中，，，， ，，故①正确； ，，，，，③正确； ，，，故④正确； 无法证明，以及，故②和⑤错误；故答案为：①③④． 【巩固训练】 1．（25-26七年级下·江苏南通·期末）为估计池塘两岸，间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么，间的距离可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，在中，∴，即， 解得，只有在范围内． 2.（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，中，，是上任意一点，于点，于点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：如图所示，连接， ∵，∴， ，∴，故选：A ． 3．（2025·湖北襄阳·二模）如图，的高相交于点O，添加一个条件： ，使． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：添加条件，证明如下： ∵的高相交于点O，∴， ∵，∴，故答案为：（答案不唯一）． 4．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，已知． (1)请按下列步骤利用无刻度直尺和圆规作图，并标明相应的字母（注意别标错了哟）； ①以O为圆心，适当的长为半径画弧交于C，交于D， ②以O为圆心，大于的长为半径画弧交于E，交于F， ③连接，，与交于点，④作射线． (2)请你完成下面的推理（在横线上填写依据）， 说明是的平分线： 在和中 （ ① ）；（ ② ） 由作图可知，， ，即（等式的性质） 在和中 （ ④ ） 【答案】(1)如图即为所作的图形； （2）①∵、，，符合边角边全等判定定理，填边角边（）； ②依据是全等三角形的对应角相等； ③和是对顶角，相等的依据是对顶角相等； ④已知两个角相等和一组对边相等，符合角角边全等判定定理，因此填角角边（）． 5．（24-25七年级下·贵州六盘水·期末）根据以下素材，探索完成摆球摆动问题的任务． 素材1：如图1是一个单摆实验原理图，包括一个铁架台和一根悬挂的摆线，线端固定摆球．实验者调节摆球的初始位置，观察周期性运动． 素材2：如图2，开始时摆球位于点处，已知摆线长，小亮将摆球拉至点处进行单摆实验，当摆球摆动至点时，，过点作于点，过点作于点，测得． 问题解决：(1)与全等吗？请说明理由；(2)求的长？ 【答案】(1) 解：，，，， ，，． ，，． （2）解：，，． 由（1）可知，． 6．（25-26七年级下·陕西西安·期末）【问题初探】 (1)如图1，是的中线，延长至点，使得，连接，． ①与相等吗？为什么？②若，求的长． 【问题解决】(2)如图2，某游乐园有一块形状为等腰的空地，其中，点、分别在边、上，连接、交于点，点在上，连接，将和规划为水上乐园，若，平方米，请你求出水上乐园的总面积（即与的面积之和）． 【答案】(1)①解：，理由如下： ∵是的中线，∴，∵，∴，∴， ∴，即． ②在和中，，∴，∴． （2）解：∵，∴，即， ∵，，，∴， 在和中，，∴，∴， ∵平方米，∴平方米， 即水上乐园的总面积为560平方米． 7．（25-26七年级下·陕西西安·期末）【问题探究】(1)如图①，在中，平分交边于点D，过点D作的垂线，交边于点E、交的延长线于点F，过点E作交边于点G．试说明：； 探究如下：某同学思考这道题时，想通过推理和全等，得到，进而可得和全等，最终得出结论．请你据此写出推理过程． 【问题解决】(2)如图②为一个工业区示意图，点A为入口，B、C为两个仓库，小路平分的外角，E、F分别在、的延长线上，点D为装配厂，点E、F分别是粗加工厂和精密加工厂，且于点D，、是两条运输公路，交的延长线于点G，G处修建一个配送中心，现要沿修建一条笔直的运输轨道（C、D在上），请你帮助管理人员探究、、之间的数量关系，并说明理由．（仓库、装配厂、配送中心、粗加工厂和精密加工厂的大小及小路、公路、运输轨道等的宽度均忽略不计） 【答案】(1)平分，，，， 又，，， ，，又，， ，； (2)， 理由：平分的外角，，，， 又，，，同理可证，， ，； 8．（25-26七年级下·陕西渭南·期末）【基础回顾】(1)如图，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．试说明：； 【拓展应用】(2)如图，某农户家有一块三角形灌溉农田，农户在田块外侧修建两处等腰直角三角形蓄水池（即与），满足，，，是经过点且垂直于的总输水主管道；点在上，从两个蓄水池顶端、分别铺设垂直主管道的分流支管、（即于点，于点），连通两蓄水池的总管道与输水主管道交于阀门．设阀门两侧蓄水池配套净水区、的面积分别为、，请猜想与的大小关系，并说明理由．（管道的宽度忽略不计） 【答案】(1)证明：∵直线l，直线l，∴，∴． ∵，∴．∴． 在和中，，． (2)解：，大小关系是：理由如下：如图， ∵，，∴．∴． ∵，∴．∴． 在和中，，∴，∴． ∵，，，同理可证明：， ∴．∴．∵，，∴． 9．（25-26七年级下·山西晋中·期末）阅读与思考 下面是小茗同学写的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日        星期六       晴 尺规作的平分线 数学问题：已知，作出的平分线． 解决问题：通过小组交流，得到了如下方案： 方案一：如图1，在和上分别截取，，使，再分别以点D和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点，最后作射线．射线即为的平分线． 方案二：如图2，在上取一点，在的右侧过点作，再在上截取，最后作射线．射线即为的平分线．    收获与反思：利用全等三角形、等腰三角形的有关知识可以用多种方法作的平分线． 任务：(1)方案一中判断三角形全等的依据是__________________________________． (2)请帮助小茗，在图2中根据方案二的做法用尺规完成作图，并说明理由． (3)请根据“等腰三角形三线合一”的性质在图3中用尺规作出的平分线．    【详解】（1）解：根据尺规作图可得， 又∵，∴根据可得，； (2) 由作图可得，， ，，，∴射线即为的平分线． (3) 射线即为的平分线 说明：在的两边上截取相等的线段，然后再作线段的垂直平分线即可． 10．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，君君利用假期测量了某商铺楼上悬挂的宣传条幅最低点到地面的距离，测量过程如下： ①君君在地面上的点处测出的度数，并用皮尺测得米； ②君君在楼体上选取一点，使得点到地面的距离米，随后在点处测出的度数，，并用皮尺测得米． 已知点、、、在一条直线上，，，图中所有点均在同一平面内．请你根据上述信息，求出该条幅最低点到地面的距离． 【答案】3米 【详解】解：根据题意可得，，， ，      ，，             ，，米，，                              米，该条幅最低点到地面的距离为3米． 11．（2025·江苏扬州·二模）请用没有刻度的直尺和圆规，按要求作图（写出必要的文字说明，保留作图痕迹）． (1)已知，是钝角，， ①在图1中求作点P，使得：点P在边上，且； ②在图2中求作，使得：点M、N在边上，且的周长等于的长； (2)如图3，已知线段，求作，使得：直角边在线段上，且的周长等于的长． 【答案】(1)①解：如图，点即为所求： ②如图，即为所求： (2)如图，即为所求： 12．（25-26七年级下·山西运城·期末）阅读与思考 再探判定三角形全等的条件 几何主要研究图形形状、大小、位置，若两个三角形形状相同，大小也相同．即这两个三角形全等．它们通过平移、旋转或轴对称变化可完全重合． 回顾探究判定方法过程：根据条件作三角形，若只可作出唯一的三角形，即可知这些条件可作为三角形全等的判定方法．小红在已知两边及其一边对角作三角形时，也可作出唯一三角形，小丽也同样作出唯一三角形． 小红：已知． 如图． 小丽：已知．…… 任务：(1)按照小丽的条件，作出（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)按照小丽，小红所给条件，作出唯一三角形，但“”未作为判定三角形全等方法，一定有“”不成立的情况，类比小红、小丽的思路画图举出反例并进行适当的标注说明（作图工具不限）． (3)木工师傅拿一些木条制作四边形模型．已有模型框架如图，木条钉在同一点处．此时平分，是上固定一点，选取两根长度相等的木条，将两根木条的一端都钉在处，另一端分别钉在木条上，师傅钉完后发现有两种不同形状模型．如图1，如图2． 通过测量发现模型2中四边形面积比模型1中四边形面积大，且．此时四边形的面积为______，请说明钉出两种不同模型的原因． 【详解】（1）解：作直线，过作直线的垂线，在垂线上截取，在直线上取点，且，则即为所求；作图 （2）解：作，在角的一边上截取，再以为圆心，为半径画弧交角的另一边于，则， 显然：，两个三角形不全等.作图 （3）解：如图，在图2的上截取，连接， 在图1中，∵平分，∴，，，此时不一定全等， 当时，∴或， 在图2中，，，∴，而不全等， ∵，∴当时，∴全等， ∴的面积相等， ∵模型2中四边形面积比模型1中四边形面积大，∴的面积为， ∵，∴的面积为，∴模型1中四边形面积为； ∴钉出两种不同模型的原因是：两边和其中一边的对角确定，且这个对角为锐角，作出的三角形不唯一. 【强化训练】 1．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，为等边三角形，为等腰三角形，其中，，且B，C，D在同一直线上．连接和．则以下结论中正确的个数为（   ） ①；②为的平分线；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵为等边三角形，， ∵，， ∵四边形中，， ．故结论①正确； 如图，过E点作的延长线于F点，作于G点．则， ，，， 又，，，∴为的平分线．故结论②正确； ， 平分，∴垂直平分，∴．故结论③正确； ，而， ，．故结论④不正确； 综上，正确的结论有3个．故选：C． 2．（25-26七年级下·广东深圳·期末）【感知图形】我们在课本“问题解决策略：特殊化”中做过一道这样的题目，如图1，是边长为的正方形的中心（即对角线的交点），将以点为顶点的直角绕点旋转，且两直角边分别与，相交，则这个直角与正方形重叠部分（即阴影部分）的面积为一个确定的值． (1)请你回答图1中重叠部分（即阴影部分）的面积为 ； (2)【深入理解】如图2，是边长为的正方形内一定点，请在图中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点），将正方形的面积分割成面积相等的四个部分． 受课本题目的启发，小茗的解决方法是这样的：如图3，连接，，设两条对角线交于点，连接，设分别交边，于点、．再过点作的垂线，分别交边、于点、，则直线与将正方形的面积分割成面积相等的四个部分．已知在正方形中，，，，是四个全等的等腰直角三角形，其中点为直角顶点．在此基础上，请你帮小茗完成证明； (3)【灵活运用】如图4，在四边形中，，，，，，点为的中点，在边上存在一点，使所在直线将四边形的面积分成相等的两部分．请你画出该直线，说明你的理由，并求出的长． 【详解】（1）解：如图，连接，， ，， 在和中，，，， ； (2)证明：由题意得，，，， 在和中，，，， 同理可得，， ， 和将正方形的面积分割成面积相等的四个部分； (3)解：，如图，连接并延长交的延长线于点F，在上取点N，使，连接，，则直线为所求， 理由：点是的中点，，，， 在和中，，， ，，， ，是等腰直角三角形，， ，，，， 在和中，，， ，，，，， 在和中，，， ，； 3．（25-26七年级下·吉林长春·期末）小明最近学习了等腰三角形的相关知识，他发现，在一些几何题中，经常需要通过作辅助线构造等腰三角形来解决问题． (1)【方法初探】如图①，在中，，，于点，，，求的长．   小明发现，在该三角形中，有两个内角存在倍关系，若延长至点，使，连接（如图②），即可构造等腰三角形，利用倍角关系，可证出也是等腰三角形，再利用“等腰三角形的三线合一”的性质可以解决问题．根据以上分析，可求出的长为____ (2)【拓展延伸】如图③，在中，，平分，交于点．求证：． 以下是小明的部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接． ，，， ，，，． 请你帮助小明补全上述证明过程． (3)【综合应用】如图④，在四边形中，，，．连接、，若，，则________． 【详解】（1）解：延长至点，使，连接．∴， ，，， ，，， ∵，∴，∴． (2)平分，， ，，，∴， ，，． （3）解：如图，延长，，交于点， 设，，∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，， ∴，，∴，， ∵，，∴， ∵，∴． 4．（25-26七年级下·陕西西安·期末）问题探究： (1)如图1，直线l同侧有两个点A，B，请在直线l上画出点C，使得最大． (2)如图2，和均为等边三角形，点B，D，E在同一条直线上，连接，求的度数； 问题解决：(3)如图3，某中学的劳动实验基地里有一块等腰直角三角形的实验田，其中，．实验田左侧（边外侧）有一个旧器材存放点D，经测量，点D到点B的距离米，且从点D观测A，B两点的视角．学校计划在的右侧（即实验田内部方向）修建一个等腰直角三角形的育苗池，满足，，育苗池的边长为b米．连接．现准备在的角平分线上铺设一条灌溉管道，并在管道上设置一个控制阀门F，使得值最大．请求此时的面积（结果用含a、b的代数式表示）． 【详解】(1) （2）解：和均为等边三角形，，，， ，即， 在和中，，，， 点、、在同一直线上，， 又是等边三角形，，，； （3）解：连接，如图， ，，，，即． 在和中，，． ，． 是等腰直角三角形，，， ，点、、在同一条直线上， ，平分，垂直平分，点与点关于射线对称， ，∴，对射线上任意一点，都有； ∴当落在直线上时，，此时取得最大值，如图，设此时点落在直线上为点G， 垂直平分，∴是中点，∵，，． ，∴在等腰直角中，，∴． 5．（25-26八年级下·山东·期末）【情景引入】劳动课上，同学们准备用一块等腰直角三角形实木垫板做手工收纳底座．垫板满足，，木工老师取斜边中点钉上铁钉，把一把直角三角尺的直角顶点套在铁钉上，逆时针转动三角尺进行切割探究． 【观察与发现】(1)如图1，三角尺旋转后，短直角边交垫板边于，长直角边交垫板边于，求证：； 【思考与探究】(2)在这一旋转过程中，三角尺与垫板的重叠部分为四边形，猜想四边形的面积是否随三角尺转动发生变化，若变化，请说明如何变化的？若不发生变化，求出其面积； 【拓展与延伸】(3)将三角尺继续旋转到如图2所示的位置，延长交于，延长交于，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：连接，如图， 在中，，，，， ，，，， 在和中，，，； （2）解：四边形的面积不发生变化，由（1）知：，， ，四边形的面积为； (3)仍然成立，证明：连接，如图， 在中，，，，， ，， ，，， 在和中，，，． 6．（25-26七年级下·广东深圳·期末）在数学活动课上，老师带领同学们对不同的等腰三角形进行探究学习． (1)如下图所示，在等腰中，，请完成下列任务 ①等腰___________（填“是”或者“不是”）轴对称图形 ②同学们发现，根据等腰三角形“三线合一”的特性、再结合角平分线性质和垂直平分线性质，可以用多种方法找到边的中点，请你利用无刻度的尺子和圆规，选择一种你喜欢的方法找出中边上的中点（保留作图痕迹，不用写作图方法） (2)在中，，点为边的中点，点分别在边上，且，证明： (3)如图，在中，，，点是边上的中点，点在延长线上，，．点分别在边上，且，四边形的面积为25，四边形的面积为15，请直接写出的面积． 【答案】(1)①由题意得，等腰是轴对称图形； ②或 (2)证明：∵在中，，∴， ∵点为边的中点，∴，即，， ∴，∴；∵， ∴，∴，∴，∴； （3）解：如图所示，在的延长线上取一点H，使得，连接， ∵在中，，，点是边上的中点，∴； ∵，，∴， ∴,∴； 在和中，，∴，∴， 在和中，∴， ∴，； ∵，∴， ∴，∴， 又∵，∴，∴； ∵四边形的面积为25，四边形的面积为15， ∴，∴, ∴，∴. 7．（25-26七年级下·山西运城·期末）综合与实践 数学活动课上，老师带领同学对特殊的轴对称图形“筝形”进行了进一步研究．如图1，“筝形”纸片中，，，． (1)活动一：A组同学将“筝形”沿直线折叠到如图2位置，点对应点为点，连接，小组同学发现平分，请帮助该小组同学说明理由． (2)活动二：B组同学在图2基础上沿将图形剪开后，，按图3位置摆放，的对应顶点为，的对应顶点为，落在直线上，落在直线上，直线交于点，直线交于点；连接，此时，当关于直线对称时，请说明． (3)活动三：在图3基础上，将水平向左摆放，直线交直线于点，连接，当时，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)解：由折叠可知：，∴，，∵，∴， 在与中，，∴，∴，∴平分． (2)解：∵，∴，由（1）可知，，∴， ∵关于直线对称，∴，∴，即， 在与中，，∴， ∴，∴． （3）解：如图3，连接， 由（2）得，，，∴，即， ∴，∴，由（2）得，，∴， ∵，∴，∴，∴； ①当点在线段上时，设交于点，交于点，连接，如图所示： ∵，∴，∴，由题意得，，，， ∴，，，∴， ∵，∴，∴， 由（2）得，，，∴， ∴，，∴，即，∴， ∵，∴，又∵，，∴， ∴，∴； ②当点在的延长线上时，设交于点，交于点，连接，如图所示： ∵，∴，∴， 由题意得，，，∴，∴， ∵，∴，∴， 同理①的方法可得，，，∴，即， ∴，∴； 综上可知，或． 8．（25-26七年级下·四川成都·期末）在中，，，点E为线段上一点，且，D为线段中点，作射线，过点E作交射线于点F． (1)如图1，求证：；(2)如图2，过A点作射线，使，过点D作交射线于点G，连接，，求证：；(3)如图3，过点F作于点M，连接． ①求证：；②若，的面积为6，当周长最小时，求线段的值． 【答案】(1)证明：∵，∴， ∵D为线段中点，∴，∵， 在与中，，∴，∴； (2)证明：连接，如图，由（1）可知，， ∵在中，，∴，∵，∴，即D为线段中点， ∵，∴为的垂直平分线，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴， 在与中，，∴，∴； (3)①证明：过点A作交于点H，如图， ∵，，∴， ∵，∴，∵， 在与中，，∴，∴， ∵在中，，，∴H为线段中点，∴，∴； ②解：∵，的面积为6，∴，即，可得， ∵，∴，∵周长为， 若使周长最小，则只需最小， 平移至，使点E与点M重合，点A与点重合，连接，， 作点A关于的对称点为点，连接交于点，连接，如图， 由平移的性质可得，，由对称的性质可得，， 则，若使最小，则需最小， 则点，点M，点三点共线时，最小，为， 由①可知，∴，∴， ∵，∴，在与中，， ∴，∴，，∴， ∵，，∴在与中， ，∴，∴， ∴点为的中点，∴， ∵，即，∴ 故当周长最小时，线段的值为． 9．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，．D是直线上任意一点，连接，过点C作，且，过点E作，垂足为F，连接，分别交，于点M，N．(1)如图1，当点D在线段上时，与相等吗？为什么？ (2)在（1）的条件下，若，．①的长度为_____；②设的面积为，四边形的面积为，则的值为____；(3)如图2，当点D在线段的延长线上时，点M是线段的中点吗？说明理由． 【答案】(1)解：，理由如下：∵，∴； ∵，∴，∴，∴； ∵，∴，又∵，∴，∴； （2）解：①由（1）得，，∴； ∵，∴，，∵，∴， 又∵，∴，∴； ②由（2）①得，又∵，∴， ∴，∴，∴， ∴； (3)解：点M是线段的中点，理由如下： ∵，∴，∴ ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，又∵，∴，∴， 又∵，∴，又∵， ∴，∴，∴点M是线段的中点． 10．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）在中，，点，分别是，上的点，连接．(1)【基础设问】若点为的中点，，，，则是 三角形．（填“等腰”“等边”或“直角”）(2)如图，连接，若平分，，，，则 ． (3)如图，若，，求证：点在的平分线上． (4)【能力设问】 如图，点在上运动，始终保持与相等，是的垂直平分线，交于点．①判断与的位置关系，并说明理由；②若，，，求线段的长． 【详解】（1）解：∵点为的中点，，∴， ∵，，且，∴，∴是直角三角形，故答案为：直角； （2）解：平分，，，，设，则， 在中，，，，即，故答案为：5； (3)证明：如图，连接，，， 在和中，， ，∴点在的平分线上； (4)①，理由如下：由题意知，，， 是的垂直平分线，，， ，， ，； ②如图，连接，设，则，，，，， 由勾股定理，得，， 即，，线段的长为． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 三角形 章末复习 1.理解三角形的三边关系、边角关系，并能用该关系解决相关问题； 2.知道并会画出三角形中三条重要线段：三角形的中线、高线、角平分线； 3.掌握全等三角形的定义、性质和判定方法； 4.掌握线段垂直平分线、角平分线的性质和判定方法； 5.掌握等腰三角形、等边三角形的定义、性质和判定方法； 6.掌握含30度角的直角三角形的性质和斜边中线的性质。 7.全等三角形的重要模型（截长补短、倍长中线、一线三等角、手拉手、半角等）； 8.三角形的各类辅助线作法（构造全等、角平分线、垂直平分线、三线合一等）。 1．三角形的三边关系： 由两点之间线段最短可知，三角形的任意两边之和 大于 第三边；任意两边之差 小于 第三边。 2.大边对大角，大角对大边（新增内容）： 在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大，较大的角所对的边也比较大。 3. 三角形中线的定义：在三角形中，连接一个顶点与它的 对边中点 的线段叫做三角形的中线。如图，AM是△ABC的中线。 4. 三角形角平分线的定义：在三角形中，一个内角的平分线与这个角对边相交，这个角的顶点和交点之间的 线段 是三角形的角平分线。如图，AD是△ABC的角平分线。 5. 三角形高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线， 顶点 与 垂足 之间的线段是三角形的高线。如图，BD是△ABC的高线BD⊥AC。 6、全等图形：能够完全 重合 的两个图形（即形状、大小相同的图形）叫做全等图形。 7、全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫 全等三角形 。 注意：一个图形经过 平移 、 翻折 、 旋转 后，位置变化了，但 形状 、 大小 都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 8、对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫 对应顶点 ，重合的边叫 对应边 ，重合的角叫 对应角 。 9、全等三角形的性质 全等三角形的 对应边 相等；全等三角形的 对应角 相等； 拓展：全等三角形对应边上的高 相等 ，对应边上的中线 相等 ，对应边上的角平分线 相等 ；全等三角的周长 相等 ，面积 相等 。全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具。 10、全等三角形判定1——“边角边”公理:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）.如下图，若AB＝，∠A＝∠，AC＝，则△ABC≌△（SAS）. 11、有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等。 如上图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等。 12、全等三角形判定2——“角边角”公理:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）.如下图，若∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC ≌△（ASA）. 13、全等三角形判定3——“角角边”公理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）。如下图，若∠A＝∠，BC＝，∠B＝∠，则△ABC ≌△（AAS）。 由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等，这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论。 14、三个角分别相等的两个三角形不一定全等. 如上图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等。这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等。 15、全等三角形判定4——“边边边”公理：三边分别相等的两个三角形全等。（简写成“边边边”或“SSS”）. 如下图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△（SSS） 16、三角形的稳定性：三角形具有稳定性（三边长度确定，形状不会改变）。 17、直角三角形全等的判定——HL定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“HL”）。 如下图，如果＝AB，＝AC，∠C＝∠＝90°，则△ABC≌△（HL） 18、线段的垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端的 距离相等 ． 19、线段的垂直平分线的逆定理（判定定理）：到线段两端点距离相等的点在线段的 垂直平分线 上。 20、线段垂直平分线的尺规作图（步骤）：（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；（2）作直线CD，CD即为所求直线。 拓展：三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三个顶点距离相等，这点是三角形外接圆的圆心（外心）。 21、角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角两边的 距离相等 。 如图1，若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF。 图1 图2 图3 22、角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在 角的平分线 上。 如图2，若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB。 拓展：三角形三条角平分线交于一点，该点到三边的距离相等，这点是三角形内切圆的圆心（内心）。 23、角的平分线的尺规作图（步骤）：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E；（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；（3）画射线OC，即射线OC即为所求（如图3所示）。 24、等腰三角形：有两条边 相等 的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做 腰 ，相等的两个角叫做 底角 。 25、等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两个底角相等，简称“等边对 等角 ”。 26、腰三角形的性质定理2：等腰三角形的底边上 高线 和 中线 、顶角 平分线 互相重合。简称“ 三线合一 ”。 27、等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称“等角对 等边 ”。 28、等腰三角形的性质的作用：证明两条线段或两个角相等的一个重要依据。 29、等边三角形：三边都相等的三角形叫做 等边三角形 ，也称为正三角形。 30、等边三角形的性质定理：等边三角形的各个内角都等于 60° 。 31、等边三角形的判定定理： （1）三个角 相等 的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的 等腰三角形 是等边三角形。 32、直角三角形的重要性质： （1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边是斜边的 一半 ； （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半 。 题型01 三角形的三边关系 【典例】（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）用一根小木棒与两根长度分别为的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·江苏·期中）已知的三边长分别是、、，化简： ． 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，小华为了估计池塘两岸间的距离（即的长），在池塘的一侧选取一点，测得，，则池塘两岸间的距离可能是（    ）． A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级下·江苏南京·开学考试）小宇想把一根吸管剪成3段来围成一个三角形，如图，点是这根吸管的中点，下面点（     ）不能作为第一刀的切点． A．A B．B C．C D．D 【变式4】（24-25七年级上·河南驻马店·期末）如图，在四边形内找一点，使它与四边形四个顶点的距离的和最小，并说出你的理由． 题型02 三角形的边角关系(大角对大边) 【典例】（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）我知道，在一个三角形中，①相等的边对的角也相等，②相等的角所对的边也相等． 【问题提出】一个三角形中，①假如两条边不相等，那么这两条边所对的角大小关系如何？ ②假如两个角不相等，那么它们所对的边大小关系又如何？ 【实验探究】如图1，在中，边对，边对，，与有什么样的大小关系呢？ 类比等腰三角形折纸的经验，我们又能够怎样经过折叠比较出与的大小呢？同学们分小组议论沟通，并说明自己是如何经过折纸比较的． 方法一：如图2，将沿的垂直平分线折叠，使点落在点上． 方法二：如图3，将沿边的高翻折，使点落到边上处， 方法三：如图4，将沿的平分线翻折使点落到边上处． 方法四：如图5，在上截取，连接． 方法五：如图6，延长至点，使得，连接． 【问题解决】（1）选择上述一种方法说明：在中，若，则． （2）尝试说明：在中，若，则． 【知识迁移】（3）已知：在中，，点为边上一点，，若，试用上面的方法求出的长． 【变式1】（24-25八年级上·北京昌平·期末）学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来等角所对的边也相等．类比以上内容，小明同学探究了不相等的边（或角）所对的角（或边）之间存在关系．如图1，2，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点C落在上的D点，折线交于点E． 证明：由折叠可得，． 因此可得结论，在一个三角形中，如果两条边不等，那么所对的角也不等，大边所对角较大． 【探究结论】（1）类似地，用下面的方法，证明此命题的逆命题： “在一个三角形中，如果两角不等，那么所对的边也不等，大角所对边较大” 已知：在中，．求证：． 如图3，小聪的思路是：在内部作…… 请你根据小聪的思路，完成证明；证明： 【应用结论】（2）在三角形中，，平分，点E为边上任意一点（不与点A，点C重合），连接，交于点F．求证：． 【变式2】（24-25八年级上·广东汕头·期中）人教版初中数学教科书八年级上册第84页探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分原文如下： 如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点C落在上的D点，折线交于点E，则． ∵（想一想为什么写出理由），∴． （1）如图2，在中，如果，能否证明? 同学小雅提供了一种方法：将折叠，使点B落在点C上，折线交于点F，交于点G，再运用三角形三边关系即可证明，请你按照小雅的方法完成证明； （2）如图3，在中，，按照图1的方式进行折叠，得到折痕，过点E作的平行线交于点M，若，求的度数． 【变式3】（24-25八年级上·河南洛阳·期中）我们知道，在一个三角形中，相等的边所对的角相等．那么，不相等的边所对的角之间的大小关系是怎样呢？ 【观察猜想】（1）如图1，在中，．猜想与的大小关系：________； 【操作证明】（2）如图2，将折叠，使边落在上，点落在上的点，折痕交于点，连接．发现：由于，……，根据发现，请证明（1）中所猜想的结论； 【应用结论】（3）在中，已知，那么、、有怎样的大小关系？________（用“”表示出来） 【类比探究】（4）如图3，在中，．小洛同学运用类似的操作进行探究：折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，连接．请证明：． 题型03 三角形中的重要线段相关的概念 【典例】（24-25七年级下·山西太原·开学考试）下列结论正确的是（   ） A．钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的外部 B．锐角三角形的三条高的交点在三角形的外部 C．三角形的重心是三角形三条中线的交点 D．直角三角形的三条中线的交点在斜边的中点 【变式1】（24-25七年级下·河南新乡·期末）小涵求的面积时，作了边上的高，下列作图正确的是（   ） A．B．C． D． 【变式2】（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．三角形的角平分线，中线，高均在三角形内部 B．三角形的重心是三角形三边垂直平分线的交点 C．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等 D．凸多边形的所有内角中，最多有3个锐角 【变式3】（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 题型04 三角形中的重要线段相关的运算 【典例】（25-26八年级上·江苏·校考期末）如图，，，分别是的中线、角平分线、高线，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，点D、E、F分别在边上，E是的中点，，交于一点G，若，则的面积为 ． 【变式1】（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图，在中，分别是的中点，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图所示，在中，D、E、F分别为的中点，且，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级下·四川遂宁·期末）【提出问题】设的面积为1，如图1，将边分别2等分，求？ 【问题解决】连结，设，则，由题意得：，即：． 【方法运用】如图2，若分别是边和上距离点最近的6等分点，与相交于点，则四边形的面积为________． 【变式4】（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）阅读与思考 下面是小聪同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日 星期一 过三角形或四边形顶点作一条平分图形的面积的直线今天，我在课堂中学到了三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分．如图1，在中，是边上的中线，则． 我思考如何过四边形一个顶点作一条直线，将四边形分成面积相等的两部分． 我把自己的想法跟老师交流，老师给我的指导是在面积不变的情况下把四边形化成三角形，再利用三角形的中线平分三角形的面积，进一步平分四边形的面积． 如图2，老师在网格中画出四边形，四个顶点都在格点上（网格线的交点），连接，要求过点画一条直线与平行，然后在该直线上找到合适的点，使，再根据三角形的中线平分三角形的面积，就可以画出的中线，将四边形的面积平分为面积相等的两部分． 任务：(1)材料中“将四边形的面积平分为面积相等的两部分转化为画出三角形的中线”体现的数学思想是_______． A．分类讨论思想    B．转化思想    C．方程思想    D．建模思想 (2)根据老师的指导，在图2的网格图中，帮小聪完成作图． (3)如图3，在图1的基础上，点分别是的中点，连接．若，求的面积． 题型05 全等三角形的判定 【典例】（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后不能证明的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·四川成都·期中）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·陕西汉中·期末）根据以下素材，解决问题． 背景 某校八年级学生到野外活动，为测量一不规则池塘两端、的距离，小明设计出如图所示的方案． 测量示意图    测量步骤 ①过点作射线．②过点作于点． ③在射线上截取，使得．④测量的长． 测量数据 ． 根据以上信息，求池塘两端、的距离． 【变式3】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在四边形中，，是上的一点，且，连接，，．求证：(1)．(2)． 【变式4】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）【问题探究】 (1)与的位置如图所示，，，． ①与相等吗？为什么？②连接，若，，求的度数． 【问题解决】(2)如图，某生态公园内有一块形状为四边形的池塘（周围空地可利用），点、分别在、边上，、、为池塘上方的廊桥，为方便游客，该公园计划建造游客观景区，延长至点，连接、，将规划为游客观景区，已知点在的垂直平分线上，，，，请你求出、，之间的数量关系，并说明理由．（廊桥的宽度忽略不计） 题型06 全等三角形的性质与判定综合 【典例】（25-26七年级下·江西九江·期末）等腰直角三角形既是特殊的直角三角形，又是特殊的等腰三角形；基于其边角特征判定全等三角形的过程中提炼了常见的两个全等结构（如图与图），一些复杂的问题可以转化成这样的全等结构进行解决． 【理解探究】(1)如图，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点不在边上，分别作于点，于点，则线段、、之间的数量关系为_____． (2)如图，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点在边上，分别作于点，于点．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【转化应用】(3)如图，与均为等腰直角三角形，，且、、在同一直线上，连接．已知，．求． (4)在中，，，，．直线经过的直角顶点交斜边于点，，，动点在直线上，动点在所在直线上．若以点、、为顶点的三角形与全等（如图），直接写出所有满足条件的的长度值． 【变式1】（25-26七年级下·四川成都·期末）在中，，． (1)点是内部一点，且．①如图1，求证：； ②如图2，当，，三点共线时，连接，若，，求的面积； (2)如图3，点是外一点，且，若的面积为8，求的长． 【变式3】（25-26七年级下·陕西西安·期末）综合探究与应用 (1)如图1，在中，，，若于E，于D，则与的数量关系是________． (2)如图2，在中，，，D点为边上一动点，连接，作且，连接交于F点，若，．求证：点D为中点． (3)为打造“智慧校园+美学空间”，某校计划在校园一处生态种植区中布设智能感应灯带系统．经测量，中，，米，．系统采用“双光源联动结构”，如图3，以定点A为控制中心，投射点D可在射线上调节；同时在A处与垂直方向安装用于对称补光的补偿灯E，使，（点E在点D的右边）．灯带线路与主控制线所在直线交于点F，该点将作为线路转接与分线的物理点位．施工员测得当前D点到B点的距离米，请直接写出此时的长度． 【变式3】（24-25七年级下·山西运城·阶段练习）综合与实践 用一般观念研究筝形 研究对象：筝形 研究思路：类比线段、角、三角形，按“定义一性质一应用”的路径，由特殊到一般进行研究． 研究角度：整体——对称性 要素——边角及相关元素的关系 研究方法：观察（度量、实验）——猜想——验证 研究内容： 【一般概念】如图，在四边形中，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【性质探索】根据定义，探索筝形的性质，得出如下结论： 内角：筝形有一组对角相等 对角线：…… 问题解决：(1)尺规作图：如图2，已知，求作一点，使得四边形是等形．（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)已知：如图3，在筝形中，．证明：． (3)如图4，连接筝形的对角线，相交于点． ①猜想与的位置关系，与的数量关系，请分别说明理由． ②如图4，在筝形中，已知，则筝形的面积是 ． 【变式4】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，与为等腰三角形，，，，为线段上一个动点，与相交于点． (1)如图1，求证：平分；(2)如图2，作，交延长线于F，求证：； (3)如图3，若，且，，求的面积． 题型07 全等三角形的重要模型与辅助线 【典例】（24-25七年级下·山西长治·期末）综合与探究 【教材呈现】以下是华师大版七年级下册数学教材第143页的部分内容：如图1，都是等腰直角三角形，，作出以点为旋转中心、逆时针旋转后的三角形． 【操作发现】（1）在图1中画出以点为旋转中心、逆时针旋转后的三角形，写出旋转前后CE与其对应线段的数量关系和位置关系：________，_______． 【探究理由】（2）如图2，将绕点逆时针旋转得到，设CE，AC分别与BD交于点F，G，试判断CE与BD的数量关系和位置关系，并说明理由． 【问题解决】（3）如图3，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在BC上，DE与CA交于点．若与关于直线AD对称，且，则 ①_________；②线段EF的长是________． 【变式1】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，，，为射线上一动点，连结，将绕点顺时针旋转至交直线于点，若，则 ． 【变式2】（24-25七年级下·四川雅安·期末）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，，交于点F．则下列说法错误的是（　　） A． B． C．若，则 D． 【变式3】（24-25七年级下·江西抚州·期末）【初步探索】（1）如图1：在四边形中，，，、分别是、上的点，且，探究图中、，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______． 【灵活运用】（2）如图2，若在四边形中，，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【拓展延伸】（3）已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，请求的度数． 【变式4】（24-25七年级下·陕西西安·期中）问题提出：（1）小明和小亮在一次学习中遇到了以下问题，如图①，是的中线，若，求和的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了的取值范围，请你也算一算的取值范围______． 【探究方法】（2）他们遇到的困难是怎么也算不出的取值范围，于是他们求助于学习小组的同学，讨论后发现：延长至点E，使，连接．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围______； 【迁移应用】（3）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：；（4）思考：如图3，是的中线，，请你判断线段与的关系，并加以证明． 题型08 线段垂直平分线的性质与判定 【典例】（24-25七年级下·内蒙古包头·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点A作，垂足为点，且点为线段的中点，连接．若，，则的长为（  ） A．8 B．10 C．12 D．14 【变式1】（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E，于点D，且．若， ，则的周长为 【变式2】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，若和分别垂直平分和，则的周长为 ． 【变式3】（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，，分别以点、点为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于点，，作直线交于点，交于点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25八年级上·江西上饶·期中）如图所示，在中，，，点为的中点，交的平分线于点，于点， 交的延长线于点． (1)求证：；(2)求的长． 题型09 角平分线的性质与判定 【典例】（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，点是的三个内角平分线的交点，若面积为，点到边的距离是，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2025·广东珠海·三模）如图，在中， (1)尺规作图：作的角平分线，在角平分线上确定点D，使得；不写作法，保留痕迹 (2)在的条件下，若与相交于点E，，，求的比值． 【变式2】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）【定理】如图1．因为于于，所以___________． 【运用】如图2，在四边形中，，求证：平分． 【变式3】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，和的平分线相交于点O，交于点E，交于点F，过点O作于D，下列三个结论：①；②若，则；③当时，．其中正确的是（  ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【变式4】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在等腰中，，，平分．在线段上有一动点，连接，为直线上异于的一点，连接、． (1)如图，当点在射线上时，若，直接写出：______； (2)如图，当点在射线的反向延长线上时， 若（1）中的结论仍成立，则、、应满足怎样的数量关系，请证明； 若，且，，求的值． 题型10 角平分线与垂直平分线的尺规作图与应用 【典例】（24-25八年级上·北京朝阳·期中）三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【变式1】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有 个． 【变式2】（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（    ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【变式3】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，某电信部门要在公路m、n之间修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个村庄A、B的距离相等，到公路m、n的距离也相等，问：发射塔应建在什么位置？请用尺规作图法，在图中用点P表示出发射塔应建的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式4】（24-25八年级下·河南郑州·期中）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：    (1)如图①，要在河边l修建一个水泵站M，使．水泵站M要建在什么位置？ (2)如图②，三条公路两两相交，现计划修建一个油库P，要求油库P到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库P的位置？（请作出符合条件的一个） 题型11 等腰三角形的性质：三线合一与等角对等边 【典例】（2025·云南昆明·三模）如图，在中，，，平分，下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，在中，为边上的高，点为的中点，连接．若的周长为24，则的周长为（　　） A．16 B．14 C．12 D．10 【变式2】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知的面积为12，平分，且于点，则的面积是（  ） A．10 B．8 C．6 D．4 【变式3】（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，的周长为，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，若，，，那么的周长是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，是边上的中线，延长至点，延长至点，使，连接、．求证：平分． 题型12 等边三角形的性质与判定的运用 【典例】（24-25七年级下·上海金山·期末）某数学学习小组成员康康、小海、欢欢和乐乐等同学继续对课本等边三角形开展了深入探究． 问题回顾：课本中有例题，证明：有一个内角等于的等腰三角形是等边三角形．如图．已知：在中，．需要对三个内角分别等于的各种情况进行讨论，其中和是类似的，故只要分两种情况讨论．①当时，那么可以证明是等边三角形；②当时，那么可以证明是等边三角形． （1）请写出情况①的证明过程；问题探究：于是，康康提出了一个问题：我们将上题中的条件“有一个内角等于”替换为“底边上的高和腰上的高对应相等”，如图2．即：已知：在中，，，，垂足分别为点、，且，求证：是等边三角形． （2）请写出证明过程；问题拓展：由此启发，该小组猜想：在等腰三角形中，如果以“一边(底边或腰)上的高”“一边(底边或腰)上的中线”或“一角(顶角或底角)的角平分线”中的两个条件，加以组合(也就是形成一组须同时满足的关系)，使它们对应相等，是否还能新构成一个能判定一个等腰三角形是等边三角形的条件？ 基于此，小组成员小海、欢欢、乐乐进行了探索，并分别提供了自己的已知、求证和图形． 小海 欢欢 乐乐 已知：在中，，中线中线．求证：是等边三角形． 已知：在中，，角平分线高．求证：是等边三角形． 已知：在中，，角平分线角平分线．求证：是等边三角形． （3）你认为________(填小海、欢欢、乐乐其中一个)的探究是正确的，并写出该证明过程． 【变式1】（24-25八年级下·内蒙古包头·期末）下列条件中，能判定为等边三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，在等边三角形中，，于相交于点P，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，中，，，，在外侧作等边，过点作于，则的长为 ． 【变式4】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，过等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，且，连交边于D． (1)求证：；(2)线段与有什么样的数量关系？请说明理由． 题型13 等腰（等边）三角形性质与判定综合 【典例】（23-24八年级上·重庆永川·期中）如图，已知中，，，，点是中点，两边，分别交，于点E，F，当在内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合)，给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知和都是等边三角形（A，B，D共线）．下列结论，①；②；③；④是等边三角形；⑤；⑥平分；⑦平分；⑧．其中错误的有（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2】（24-25七年级下·北京海淀·期末）如图，在和中，若，，，、交于点M，连接，则下列结论：①；②；③平分；④平分，其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式3】（24-25七年级下·福建三明·期末）如图，在中，于点E，于点F，交于点H，且平分于点D，交于点G．以下结论：①；②；③；④．其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）． 【变式4】（24-25八年级上·湖南益阳·期中）感知： 如图（1），在中，分别以、为边在外部作等边三角形、，连接、．求证：； 应用：如图（2），在中，，分别以、为边在内部作等腰三角形、，点恰好在边上，使，，且，连接，，，的面积为，求的面积． 题型14 30°角的直角三角形与斜边中线的性质 【典例】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1】（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，则的长为（　　） A．3 B．6 C．7 D． 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：①以顶点C为圆心，的长为半径画弧，交于B，D两点；②分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E：③作射线交于点F．若，，则的长为 ． 【变式3】（24-25八年级下·北京西城·期末）如图，在Rt与Rt中，，点和点位于边的同侧，为边的中点．连接，若，则 ． 【变式4】（24-25八年级上·重庆永川·期中）如图，是等边三角形，，于Q，交于点P，下列说法：①；②；③；④；⑤．其正确的有 ． 【巩固训练】 1．（25-26七年级下·江苏南通·期末）为估计池塘两岸，间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么，间的距离可能是（     ） A． B． C． D． 2.（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，中，，是上任意一点，于点，于点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025·湖北襄阳·二模）如图，的高相交于点O，添加一个条件： ，使． 4．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，已知． (1)请按下列步骤利用无刻度直尺和圆规作图，并标明相应的字母（注意别标错了哟）； ①以O为圆心，适当的长为半径画弧交于C，交于D， ②以O为圆心，大于的长为半径画弧交于E，交于F， ③连接，，与交于点，④作射线． (2)请你完成下面的推理（在横线上填写依据）， 说明是的平分线： 在和中 （ ① ）；（ ② ） 由作图可知，， ，即（等式的性质） 在和中 （ ④ ） 5．（24-25七年级下·贵州六盘水·期末）根据以下素材，探索完成摆球摆动问题的任务． 素材1：如图1是一个单摆实验原理图，包括一个铁架台和一根悬挂的摆线，线端固定摆球．实验者调节摆球的初始位置，观察周期性运动． 素材2：如图2，开始时摆球位于点处，已知摆线长，小亮将摆球拉至点处进行单摆实验，当摆球摆动至点时，，过点作于点，过点作于点，测得． 问题解决：(1)与全等吗？请说明理由；(2)求的长？ 6．（25-26七年级下·陕西西安·期末）【问题初探】 (1)如图1，是的中线，延长至点，使得，连接，． ①与相等吗？为什么？②若，求的长． 【问题解决】(2)如图2，某游乐园有一块形状为等腰的空地，其中，点、分别在边、上，连接、交于点，点在上，连接，将和规划为水上乐园，若，平方米，请你求出水上乐园的总面积（即与的面积之和）． 7．（25-26七年级下·陕西西安·期末）【问题探究】(1)如图①，在中，平分交边于点D，过点D作的垂线，交边于点E、交的延长线于点F，过点E作交边于点G．试说明：； 探究如下：某同学思考这道题时，想通过推理和全等，得到，进而可得和全等，最终得出结论．请你据此写出推理过程． 【问题解决】(2)如图②为一个工业区示意图，点A为入口，B、C为两个仓库，小路平分的外角，E、F分别在、的延长线上，点D为装配厂，点E、F分别是粗加工厂和精密加工厂，且于点D，、是两条运输公路，交的延长线于点G，G处修建一个配送中心，现要沿修建一条笔直的运输轨道（C、D在上），请你帮助管理人员探究、、之间的数量关系，并说明理由．（仓库、装配厂、配送中心、粗加工厂和精密加工厂的大小及小路、公路、运输轨道等的宽度均忽略不计） 8．（25-26七年级下·陕西渭南·期末）【基础回顾】(1)如图，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．试说明：； 【拓展应用】(2)如图，某农户家有一块三角形灌溉农田，农户在田块外侧修建两处等腰直角三角形蓄水池（即与），满足，，，是经过点且垂直于的总输水主管道；点在上，从两个蓄水池顶端、分别铺设垂直主管道的分流支管、（即于点，于点），连通两蓄水池的总管道与输水主管道交于阀门．设阀门两侧蓄水池配套净水区、的面积分别为、，请猜想与的大小关系，并说明理由．（管道的宽度忽略不计） 9．（25-26七年级下·山西晋中·期末）阅读与思考 下面是小茗同学写的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日        星期六       晴 尺规作的平分线 数学问题：已知，作出的平分线． 解决问题：通过小组交流，得到了如下方案： 方案一：如图1，在和上分别截取，，使，再分别以点D和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点，最后作射线．射线即为的平分线． 方案二：如图2，在上取一点，在的右侧过点作，再在上截取，最后作射线．射线即为的平分线．    收获与反思：利用全等三角形、等腰三角形的有关知识可以用多种方法作的平分线． 任务：(1)方案一中判断三角形全等的依据是__________________________________． (2)请帮助小茗，在图2中根据方案二的做法用尺规完成作图，并说明理由． (3)请根据“等腰三角形三线合一”的性质在图3中用尺规作出的平分线．    10．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，君君利用假期测量了某商铺楼上悬挂的宣传条幅最低点到地面的距离，测量过程如下： ①君君在地面上的点处测出的度数，并用皮尺测得米； ②君君在楼体上选取一点，使得点到地面的距离米，随后在点处测出的度数，，并用皮尺测得米． 已知点、、、在一条直线上，，，图中所有点均在同一平面内．请你根据上述信息，求出该条幅最低点到地面的距离． 11．（2025·江苏扬州·二模）请用没有刻度的直尺和圆规，按要求作图（写出必要的文字说明，保留作图痕迹）． (1)已知，是钝角，， ①在图1中求作点P，使得：点P在边上，且； ②在图2中求作，使得：点M、N在边上，且的周长等于的长； (2)如图3，已知线段，求作，使得：直角边在线段上，且的周长等于的长． 12．（25-26七年级下·山西运城·期末）阅读与思考 再探判定三角形全等的条件 几何主要研究图形形状、大小、位置，若两个三角形形状相同，大小也相同．即这两个三角形全等．它们通过平移、旋转或轴对称变化可完全重合． 回顾探究判定方法过程：根据条件作三角形，若只可作出唯一的三角形，即可知这些条件可作为三角形全等的判定方法．小红在已知两边及其一边对角作三角形时，也可作出唯一三角形，小丽也同样作出唯一三角形． 小红：已知． 如图． 小丽：已知．…… 任务：(1)按照小丽的条件，作出（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)按照小丽，小红所给条件，作出唯一三角形，但“”未作为判定三角形全等方法，一定有“”不成立的情况，类比小红、小丽的思路画图举出反例并进行适当的标注说明（作图工具不限）． (3)木工师傅拿一些木条制作四边形模型．已有模型框架如图，木条钉在同一点处．此时平分，是上固定一点，选取两根长度相等的木条，将两根木条的一端都钉在处，另一端分别钉在木条上，师傅钉完后发现有两种不同形状模型．如图1，如图2． 通过测量发现模型2中四边形面积比模型1中四边形面积大，且．此时四边形的面积为______，请说明钉出两种不同模型的原因． 【强化训练】 1．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，为等边三角形，为等腰三角形，其中，，且B，C，D在同一直线上．连接和．则以下结论中正确的个数为（   ） ①；②为的平分线；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26七年级下·广东深圳·期末）【感知图形】我们在课本“问题解决策略：特殊化”中做过一道这样的题目，如图1，是边长为的正方形的中心（即对角线的交点），将以点为顶点的直角绕点旋转，且两直角边分别与，相交，则这个直角与正方形重叠部分（即阴影部分）的面积为一个确定的值． (1)请你回答图1中重叠部分（即阴影部分）的面积为 ； (2)【深入理解】如图2，是边长为的正方形内一定点，请在图中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点），将正方形的面积分割成面积相等的四个部分． 受课本题目的启发，小茗的解决方法是这样的：如图3，连接，，设两条对角线交于点，连接，设分别交边，于点、．再过点作的垂线，分别交边、于点、，则直线与将正方形的面积分割成面积相等的四个部分．已知在正方形中，，，，是四个全等的等腰直角三角形，其中点为直角顶点．在此基础上，请你帮小茗完成证明； (3)【灵活运用】如图4，在四边形中，，，，，，点为的中点，在边上存在一点，使所在直线将四边形的面积分成相等的两部分．请你画出该直线，说明你的理由，并求出的长． 3．（25-26七年级下·吉林长春·期末）小明最近学习了等腰三角形的相关知识，他发现，在一些几何题中，经常需要通过作辅助线构造等腰三角形来解决问题． (1)【方法初探】如图①，在中，，，于点，，，求的长．   小明发现，在该三角形中，有两个内角存在倍关系，若延长至点，使，连接（如图②），即可构造等腰三角形，利用倍角关系，可证出也是等腰三角形，再利用“等腰三角形的三线合一”的性质可以解决问题．根据以上分析，可求出的长为____ (2)【拓展延伸】如图③，在中，，平分，交于点．求证：． 以下是小明的部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接． ，，， ，，，． 请你帮助小明补全上述证明过程． (3)【综合应用】如图④，在四边形中，，，．连接、，若，，则________． 4．（25-26七年级下·陕西西安·期末）问题探究： (1)如图1，直线l同侧有两个点A，B，请在直线l上画出点C，使得最大． (2)如图2，和均为等边三角形，点B，D，E在同一条直线上，连接，求的度数； 问题解决：(3)如图3，某中学的劳动实验基地里有一块等腰直角三角形的实验田，其中，．实验田左侧（边外侧）有一个旧器材存放点D，经测量，点D到点B的距离米，且从点D观测A，B两点的视角．学校计划在的右侧（即实验田内部方向）修建一个等腰直角三角形的育苗池，满足，，育苗池的边长为b米．连接．现准备在的角平分线上铺设一条灌溉管道，并在管道上设置一个控制阀门F，使得值最大．请求此时的面积（结果用含a、b的代数式表示）． 5．（25-26八年级下·山东·期末）【情景引入】劳动课上，同学们准备用一块等腰直角三角形实木垫板做手工收纳底座．垫板满足，，木工老师取斜边中点钉上铁钉，把一把直角三角尺的直角顶点套在铁钉上，逆时针转动三角尺进行切割探究． 【观察与发现】(1)如图1，三角尺旋转后，短直角边交垫板边于，长直角边交垫板边于，求证：； 【思考与探究】(2)在这一旋转过程中，三角尺与垫板的重叠部分为四边形，猜想四边形的面积是否随三角尺转动发生变化，若变化，请说明如何变化的？若不发生变化，求出其面积； 【拓展与延伸】(3)将三角尺继续旋转到如图2所示的位置，延长交于，延长交于，猜想与的数量关系，并说明理由． 6．（25-26七年级下·广东深圳·期末）在数学活动课上，老师带领同学们对不同的等腰三角形进行探究学习． (1)如下图所示，在等腰中，，请完成下列任务 ①等腰___________（填“是”或者“不是”）轴对称图形 ②同学们发现，根据等腰三角形“三线合一”的特性、再结合角平分线性质和垂直平分线性质，可以用多种方法找到边的中点，请你利用无刻度的尺子和圆规，选择一种你喜欢的方法找出中边上的中点（保留作图痕迹，不用写作图方法） (2)在中，，点为边的中点，点分别在边上，且，证明： (3)如图，在中，，，点是边上的中点，点在延长线上，，．点分别在边上，且，四边形的面积为25，四边形的面积为15，请直接写出的面积． 7．（25-26七年级下·山西运城·期末）综合与实践 数学活动课上，老师带领同学对特殊的轴对称图形“筝形”进行了进一步研究．如图1，“筝形”纸片中，，，． (1)活动一：A组同学将“筝形”沿直线折叠到如图2位置，点对应点为点，连接，小组同学发现平分，请帮助该小组同学说明理由． (2)活动二：B组同学在图2基础上沿将图形剪开后，，按图3位置摆放，的对应顶点为，的对应顶点为，落在直线上，落在直线上，直线交于点，直线交于点；连接，此时，当关于直线对称时，请说明． (3)活动三：在图3基础上，将水平向左摆放，直线交直线于点，连接，当时，直接写出与的数量关系． 8．（25-26七年级下·四川成都·期末）在中，，，点E为线段上一点，且，D为线段中点，作射线，过点E作交射线于点F． (1)如图1，求证：；(2)如图2，过A点作射线，使，过点D作交射线于点G，连接，，求证：；(3)如图3，过点F作于点M，连接． ①求证：；②若，的面积为6，当周长最小时，求线段的值． 9．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，．D是直线上任意一点，连接，过点C作，且，过点E作，垂足为F，连接，分别交，于点M，N．(1)如图1，当点D在线段上时，与相等吗？为什么？ (2)在（1）的条件下，若，．①的长度为_____；②设的面积为，四边形的面积为，则的值为____；(3)如图2，当点D在线段的延长线上时，点M是线段的中点吗？说明理由． 10．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）在中，，点，分别是，上的点，连接．(1)【基础设问】若点为的中点，，，，则是 三角形．（填“等腰”“等边”或“直角”）(2)如图，连接，若平分，，，，则 ． (3)如图，若，，求证：点在的平分线上． (4)【能力设问】 如图，点在上运动，始终保持与相等，是的垂直平分线，交于点．①判断与的位置关系，并说明理由；②若，，，求线段的长． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $