暑假专题作业：二元一次方程组-2025-2026学年苏科版 数学七年级下册

**基本信息** 聚焦二元一次方程组解法与应用，以“概念理解-解法迁移-模型建构”为主线，融合整体思想、错解分析等方法，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|单选1-3、填空11-12|解的非负性分析、参数求解|从方程解的定义到参数影响，构建概念网络| |解法应用|单选4、填空14、解答16|代入/加减消元优化、错解参数还原|消元法选择与变形技巧，强化推理能力| |模型建构|单选6-7、解答18-19|实际问题抽象建模、整体消元|从生活情境到方程模型，培养应用意识| |思想拓展|单选9-10、解答20|新定义运算、整体思想|跨情境问题转化，发展创新意识|

暑假专题作业：二元一次方程组-2025-2026学年数学七年级下册苏科版（2024） 一、单选题 1．方程的非负整数解的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．若是关于x，y的方程的一个解，那么a的值是（     ） A． B．0 C．3 D．7 3．已知关于，的二元一次方程组的解中，均为整数，且为正整数，则的值为（     ） A．或 B． C．或 D． 4．用代入消元法解方程组较为简便的方法是（     ） A．先把变形 B．先把变形 C．可先把变形，也可先把变形 D．把同时变形 5．在方格上做填数游戏，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，又填在图中的数字如下，则，的值是（     ） A．， B．， C．， D．， 6．春节期间，相关部门为增添节日气氛，对政府广场进行装饰．其中用到甲、乙、丙三种造型的花束，甲种花束由5朵红花、4朵黄花和3朵紫花搭配而成，乙种花束由3朵红花、3朵黄花和2朵紫花搭配而成，丙种花束由2朵红花、1朵黄花和1朵紫花搭配而成．这些花束一共用了1060朵红花，680朵黄花，则紫花一共用了（     ）朵． A．480 B．560 C．580 D．610 7．中国古代的数学著作《孙子算经》中，有这样一道题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每辆车坐3个人，那么就有2辆车空出来；如果每辆车坐2个人，那么就有9个人没车可坐，需步行．假设有x个人，有y辆车，可以获得的方程组为（     ） A． B． C． D． 8．如图，将长方形纸片，（，，）沿折痕折叠，点，的对应点分别为，，线段交线段于点，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 9．对于任意有理数，，，，我们规定，已知，同时满足，，则（    ）． A． B． C． D． 10．在数学游艺会上，李小美负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面分别写有，，，，，，游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡片分别记为A，B．C．D．E，李小美依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出每张卡片上的数字，下表是李小美抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和，则这五张卡片上数字从小到大的顺序是（     ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 60 64 51 45 5 A． B． C． D． 二、填空题 11．已知方程，用含的代数式表示，则________． 12．若是二元一次方程组的解，则______________________． 13．将两块完全相同的长方体木块先按图①的方式放置，再按图②的方式放置，测得的数据如图所示（单位：），则桌子的高度_______． 14．已知关于x，y的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为，则的值为_______ 15．若方程组的解是，则方程组的解是______；则方程组的解是_________． 三、解答题 16．解方程组： (1)． (2) 17．已知方程组的解和方程组的解相同，求的值． 18．有甲、乙两种货车，1辆甲种货车和2辆乙种货车共载重13t；3辆甲种货车和1辆乙种货车共载重19t． (1)每辆甲种货车和乙种货车的载重量分别是多少？ (2)现安排这两种货车，把75t救灾物资一次性运往灾区，每辆货车恰好全部装满，有哪几种安排方案？ (3)在第（2）问的情况下，租用一辆甲种货车的费用为400元/天，租用一辆乙种货车的费用为300元/天，运送救灾物资往返需要3天，如何安排最为省钱？此时总运费是多少？ 19．某铁件加工厂用如图所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） (1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片_____张，正方形铁片_____张． (2)现有长方形铁片2017张，正方形铁片1178张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒．现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片．若充分利用这些铁板加工成铁盒，则最多可以加工成多少个铁盒？ 20．【阅读感悟】已知关于，的方程组，求代数式和的值． 本题常规思路是解方程组求得，的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过变形整体求得代数式的值，例如，由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知关于，的方程组，则_______；________； 【拓展延伸】 (2)某班组织活动购买小奖品，买10支中性笔、4支记号笔、2本日记本共需42元；买19支中性笔、7支记号笔、3本日记本共需74元．求购买1支中性笔、1支记号笔、1本日记本共需多少元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【详解】解：∵， ∴， ∵，是非负整数， ∴，即，且是2的倍数， ∴，且为偶数， ∴的可能取值为0，2，4，6， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴非负整数解共有4个． 2．D 【分析】将方程的解代入原方程，求解关于的一元一次方程． 【详解】解：将代入中，得 ， 解得． 3．B 【分析】先解关于，的二元一次方程组，把，用含的代数式表示为和，得是和的公约数，再结合为正整数求解． 【详解】解： 得：， ， 把代入得：， ，均为整数， 是和的公约数， 或， 为正整数， 符合条件的只有， 解得， ． 4．C 【分析】观察方程组未知数的系数，优先选择系数为的未知数所在方程变形． 【详解】解：方程中的系数为，可变形为，代入计算简便； 方程中的系数为，可变形为，代入计算简便， ∴先把变形或先把变形均较为简便． 5．A 【分析】根据每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等得出，和为，进而得出每行第一个数分别为、、，即可得出，可得二元一次方程组，解方程组求出，的值即可得出答案． 【详解】解：∵每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等， ∴，每行每列及对角线上三个方格中的数字和为， ∴第一行第一个数为， 第二行第一个数为， 第三行第一个数为， ∴， 整理得，， ∴， 解得：． 6．C 【分析】设甲、乙、丙三种花束分别有x束、y束、z束，再通过列方程消元整体推导紫花总数即可． 【详解】解：设甲、乙、丙三种花束分别有x束、y束、z束． ∵红花共用了1060朵，黄花共用了680朵， ∴， 得，， 将③代入②得， ∴， 由题意得，紫花总数为， ∴ 将③和④代入得，， ∴紫花总数为580朵． 7．D 【分析】抓住总人数、车辆数不变的特点，结合两种乘车方案列方程组即可． 【详解】解：设有个人，辆车． ∵每辆车坐3人，有2辆车空， ∴； ∵每辆车坐2人，有9人步行， ∴； ∴可得方程组． 8．D 【分析】如图，过作，证明，结合折叠可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∵长方形纸片沿折痕折叠，点的对应点分别为，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 9．B 【分析】根据规定列得关于，的二元一次方程组为，解得，的值后代入中计算即可． 【详解】解：由题意得， 解得：， 则． 10．A 【分析】设A，B，C，D，E卡片上对应的数分别为a，b，c，d，e，由题意得到关于①②③④⑤的方程，然后把b，c，d，e都用a表示出来，求出a的值，即可得到b，c，d，e的值，比较后即可得到正确答案． 【详解】解：设A，B．C．D．E卡片上对应的数分别为a，b，c，d，e， 由表格可知：则，，，，， ∴， ， ， ， 将代入得： ， 解得：， ∴、、、， ， ， 即． 11．/ 【分析】根据等式的基本性质，对原方程移项变形即可． 【详解】解：原方程为 ， 移项得：． 12．1 【详解】解：把代入，得， ，得， ∴. 13．105 【分析】设长方体的长为，宽为，根据图中的信息列方程计算． 【详解】解：如图，设长方体的长为，宽为， 由图①可得，③， 由图②可得，④， ，得， 即， 解得． 14．0 【分析】分别把x，y的值代入正确的方程求出a，b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：把代入 得：， 解得； 把代入， 得， 解得， ∴． 15． 【分析】将方程组整理为，根据已知方程组的解得到，进而解方程组即可； 将方程组整理为，根据已知方程组的解得到，进而解方程组即可． 【详解】解：将方程组整理为， ∵方程组的解是， ∴，解得； 将方程组整理为， ∵方程组的解是， ∴，解得． 16．(1) (2) 【详解】（1）解： 由②，得 把③代入①，得 解得 把代入③，得 故原方程组的解为 （2）解： ，得 ，得 ，得 把代入①，得 解得 故原方程组的解为 17． 【分析】联立两方程组中不含a与b的方程组成新的方程组，求出新方程组的解得到x与y的值，代入剩下的方程构成方程组求出的值，即可求出原式的值． 【详解】解：联立得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴， 把代入，得， 把代入，得， 联立， 得：， ∴． 18．(1) 每辆甲种货车载重量为，每辆乙种货车载重量为 (2) 共有4种安排方案：① 3辆甲种货车，15辆乙种货车；② 7辆甲种货车，10辆乙种货车；③ 11辆甲种货车，5辆乙种货车；④ 15辆甲种货车，0辆乙种货车，若要求两种货车都必须安排，则共有3种方案，即前三种 (3) 安排3辆甲种货车和15辆乙种货车最省钱，此时总运费为17100元 【分析】（1）根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）根据（1）中的结果列二元一次方程，用其中一个未知数表示另外一个未知数，找到整数解，并列出安排方案即可； （3）分别代入（2）中的安排方案，求出不同方案所需的费用，比较得出最省钱的方案即可． 【详解】（1）解：设每辆甲种货车的载重量为，每辆乙种货车的载重量为， 则由题意，得， 解得， ∴每辆甲种货车的载重量为，每辆乙种货车的载重量为； （2）解：设安排m辆甲种货车，n辆乙种货车， 由题意，得，即， ∵m，n为非负整数， ∴可能的情况有，，，， ∴共有4种安排方案：① 3辆甲种货车，15辆乙种货车；② 7辆甲种货车，10辆乙种货车；③ 11辆甲种货车，5辆乙种货车；④ 15辆甲种货车，0辆乙种货车，若要求两种货车都必须安排，则共有3种方案，即前三种； （3）解：由题意，得方案①每天的费用为（元）； 方案②每天的费用为（元）； 方案③每天的费用为（元）； 方案④每天的费用为（元）， ∵， ∴安排3辆甲种货车和15辆乙种货车最省钱，此时总运费为（元）． 19．(1) (2)加工的竖式铁容器有个，横式铁容器有个 (3)最多可以加工成个铁盒 【分析】（1）根据题意可知竖式铁容器由4个长方形铁片和1个正方形铁片组成，横式铁容器由3个长方形铁片和2个正方形铁片组成，即可得到答案； （2）根据竖式铁容器需要的长方形铁片数量加上横式铁容器需要的长方形铁片数量等于，竖式铁容器需要的正方形铁片数量加上横式铁容器需要的正方形铁片数量等于列二元一次方程组求解即可； （3）先假设35张铁板只有每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片这两种情况，再根据非整数的部分确定有几张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片，从而解决问题． 【详解】（1）解：竖式铁容器由4张长方形铁片和1张正方形铁片组成， 横式铁容器由3张长方形铁片和2张正方形铁片组成， ∴加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片7张，正方形铁片3张． （2）解：设加工的竖式铁容器有个，横式铁容器有个， 根据题意列式，得， 解得， ∴加工的竖式铁容器有个，横式铁容器有个． （3）解：设张铁板做张长方形铁片，张铁板做张正方形铁片， 则可列式为， 解得， 则张铁板可做长方形铁片（张）， 张铁板可做正方形铁片（张）， 剩下的1张铁板可做长方形铁片1张和正方形铁片2张， 此时，长方形铁片为（张），正方形铁片为（张）， 长方形的铁片数量刚好是正方形铁片数量的2倍， ∴最多可以做长方体铁容器（个）． 20．(1)14，12 (2)10元 【分析】（1）根据等式性质，两个方程相减即可求得的值；两个方程相加再两边除以3即可求得的值； （2）设中性笔单价a元，记号笔单价b元，日记本单价c元，列出方程组，再根据等式性质即题干中的方法求解即可． 【详解】（1）解：将方程组的两个方程相减，得； 两个方程相加，得，方程两边同时除以3，得； （2）解：设中性笔单价a元，记号笔单价b元，日记本单价c元，则 ， ，得③， ，得． 答：购买1支中性笔、1支记号笔、1本日记本共需10元． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $