14.1 全等三角形及其性质（讲义）数学新教材人教版八年级上册

本初中数学讲义聚焦“全等三角形及其性质”核心知识点，以全等形定义为起点，衔接全等三角形对应元素识别、符号规范书写，进而延伸至对应边、角、中线等性质，构建从概念到应用的递进式学习支架。 资料通过易错提醒（如对应顶点书写错位）、分层题型（基础判定到动态全等问题）设计，培养学生几何直观与推理意识，典例与变式结合助力数学语言规范表达，课中辅助教师突破重难点，课后帮助学生查漏补缺强化应用能力。

第十四章 全等三角形 14.1 全等三角形及其性质 课标要点 1.理解全等形、全等三角形定义，能依据形状、大小判断两个图形是否为全等形。 2.分清对应点、对应边、对应角，规范书写全等符号，做到顶点字母一一对应。 3.熟记全等三角形基础与延伸性质，会利用边角相等求解线段、角度数值。 4.区分全等相关易混概念，规避书写、性质应用中常见错误，规范几何答题。 学习重难点 重点： 1.全等形与全等三角形定义，掌握完全重合、形状大小相同两大判定条件。 2.全等三角形对应元素识别方法，严格遵循对应顶点对齐的书写格式要求。 3.全等三角形对应边、角、中线、高、周长、面积全部相等的核心性质。 难点： 1.根据全等式精准找准对应边角，容易因字母书写错位找错对应线段与角。 2.区分 “对应线段相等” 和 “所有线段相等”，做题容易遗漏 “对应” 限定词。 3.区分周长、面积相等与全等的逻辑关系，不能反向推导三角形全等。 知识点一 全等形的概念 1.定义 能够完全重合的两个图形叫作全等形，全等形的形状、大小完全相同。 2.补充说明 只形状相同、大小不等，或大小相同、形状不一样的图形，都不是全等形。 即学即练 1．如图所示各选项中的两个图形属于全等图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A项：两图形形状不同，不能重合，不符合题意； B项：两图形形状、大小相同，能够完全重合，符合题意； C项：两图形大小不同，不能重合，不符合题意； D项：两图形形状不同，不能重合，不符合题意． 2．如图，四边形四边形，则的度数是 ______ 【答案】 【详解】解：∵四边形四边形， ， 故答案为：． 知识点二 全等三角形及其相关概念 1.全等三角形定义 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形，二者形状、大小完全一致。 2.对应元素相关概念 两个全等三角形重合时，互相重合的点是对应点，互相重合的边是对应边，互相重合的角是对应角。 3.全等符号书写规范 全等符号写作“≌”，读作“全等于”；书写时，对应点字母必须一一对应写在相同位置，不能随意调换顺序。 易错提醒 （1）书写全等三角形时对应点错位 写时乱排字母，对应顶点不匹配，会导致找对应边、对应角全部出错。 （2）混淆“对应边角”与“任意边角” 直接说全等三角形所有边相等、所有角相等，正确表述只有对应的边、角才相等，非对应边角不一定相等。 即学即练 3．下列说法中，正确的是（   ） A．两个等边三角形一定全等 B．两个全等三角形的周长相等 C．面积相等的两个三角形一定全等 D．三个角对应相等的两个三角形全等 【答案】B 【详解】解：∵全等三角形的对应边相等， ∴它们的周长相等，故B正确； A项两个等边三角形可能大小不同，不一定全等； C项面积相等的三角形形状可能不同，不一定全等； D项三个角对应相等的三角形相似，但不一定全等， 故选：B． 4．如图，已知，指出它们的对应顶点、对应边和对应角． 【答案】解：对应顶点：点A与点C，点B与点D，点C与点A； 对应边：与，与，与； 对应角：与，与，与． 【详解】略． 知识点三 全等三角形的性质 1.基础性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等。 2.延伸性质： ①全等三角形对应边上的中线、对应边上的高、对应角的角平分线长度分别相等。 ②两个全等三角形的周长相等，面积相等。 即学即练 5．如图，两个三角形全等，根据图中所给条件，可得的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在左图中，边a与边c的夹角为， ∵两个三角形全等，且是边a与边c的夹角， ∴． 6．如图，，顶点、分别与顶点、对应，点在边上，边与边相交于点．若，，线段的长__________． 【答案】6 【详解】解：， ，， ，， ，， ． 题型01 图形全等的判定 典｜例｜精｜析 【例1】下列说法正确的是（    ） A．形状相同的两个图形一定全等 B．周长相等的两个图形是全等图形 C．两个正方形一定是全等图形 D．两个全等图形的面积一定相等 【答案】D 【详解】能够完全重合的两个图形叫做全等图形，全等图形的形状和大小都相同． ∵形状相同的两个图形大小不一定相同，不一定能完全重合，∴A错误； ∵周长相等的两个图形形状和大小不一定都相同，不一定能完全重合，∴B错误； ∵两个正方形的边长不一定相等，大小不一定相同，不一定能完全重合，∴C错误； ∵全等图形能完全重合，∴两个全等图形的面积一定相等，D正确． 【例2】在下列各组图形中，是全等图形的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项：两个图形形状相同，但大小不同，所以它们不是全等图形； 选项：两个图形形状和大小都不相同，所以它们不是全等图形； 选项：两个图形形状和大小都不相同，所以它们不是全等图形； 选项：两个图形形状和大小都完全相同，所以它们是全等图形． 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：、两个图形大小不一样，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； 、两个图形形状不一样，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； 、两个图形大小、形状一样，可以完全重合，是全等图形，符合题意； 、两个图形大小不一样，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； 故选：． 【变式1-2】在如图所示的方格图中作出两个全等的四边形． 【答案】解：如图四边形，四边形即为所求（答案不唯一）． 【详解】略． 【变式1-3】观察房梁支架和窗户的示意图．请分别指出图中的三组全等图形． 【答案】和，和，和，四边形和四边形，四边形和四边形，四边形和四边形，以上六组全等图形或图中由以上六组全等图形组成的图形中（如四边形和四边形），任选三组作答即可． 【分析】 【详解】解：由生活常识和所给图形，可知， 在第一个图形中： 是轴对称图形，是对称轴，和关于对称， 故在沿折叠后，和重合，和重合，和重合， 故和，和，和，是三组全等图形， 同理，在第二个图形中： 四边形和四边形，四边形和四边形，四边形和四边形，经由折叠后可以重合，是三组全等图形， 除以上六组经由折叠，通过图形重合可以判断全等的图形外，根据全等图形的定义，经由全等图形用相同方式组合而成的图形也为全等图形， 如第一个图形中：四边形和四边形，由和，和，这两组全等图形由同样的组合方式组合而成，也为一组全等图形； 如第二个图形中：不规则图形和不规则图形，由四边形和四边形，四边形和四边形，这两组全等图形由同样的组合方式组合而成，也为一组全等图形， 任选以上说明的三组全等图形即可，满足上述说明的其他全等图形也可． 题型02 利用图形全等的性质求解 解题贴士 先根据题意确认两个图形全等，锁定全等的对应点、对应边、对应角，对应顶点位置要一一匹配。 全等图形所有对应元素全部相等，对应线段长度、对应角度大小、周长、面积均可直接等量代换。 典｜例｜精｜析 【例3】如图，四边形中，．若四边形四边形，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：四边形四边形， ， ， ， 故选：B． 【例4】如图，四边形与四边形全等，则________，________，________，________． 【答案】 ； ； ； ． 【详解】解：四边形与四边形全等， ，，，． 故答案为：；；； ． 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】如图，四边形四边形，若，，，则_________°．    【答案】 【详解】解：∵四边形四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：105． 【点睛】本题考查了全等图形，四边形的内角和等，熟练掌握全等图形的性质是解题的关键. 【变式2-2】如图所示的是两个全等的五边形，，，，，，，，点B与点H、点D与点J分别是对应顶点，则图中标的____________，____________°． 【答案】 11 115 【详解】∵五边形和五边形全等 ∴， 故答案为：11，115． 【变式2-3】如图是由与四边形全等的6个四边形拼成的图形，若，则的长为______cm．    【答案】 【详解】∵图形与四边形全等的6个四边形拼成的图形 ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等图形的性质，注意全等图形的对应边相等是解题的关键． 题型03 全等三角形性质的熟悉 典｜例｜精｜析 【例5】下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等 【答案】C 【分析】 【详解】解：A．形状相同的两个三角形不一定全等，例如两个不一样大小的两个等边三角形不全等，故本选项错误； B．面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误； C．完全重合的两个三角形全等，正确； D．两个边长不相等的等边三角形不全等，故本选项错误； 故选：C． 【例6】若，则的对应边是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴点和点是对应点，点和点是对应点， ∴的对应边是， 故选：． 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】已知的三边长互不相等，若以为两个顶点画不同位置的三角形（与原三角形不重合），使所画的三角形与全等，这样的三角形最多可以画___________个． 【答案】3 【详解】解：如图，可以画、、与全等，因此这样的三角形最多可以画3个． 故答案为：3． 【变式3-2】如图，已知，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 【详解】解：∵， ∴，则的对应角为． 故选：A． 【变式3-3】如图，已知．写出对应边、对应角． 【答案】对应边：与，与，与；对应角：与，与，与． 【详解】解：略． 题型04 利用全等三角形的性质求线段/角 典｜例｜精｜析 【例7】如图，已知，点E在上，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【例8】如图，点B、E在上，且．若，，则的长为（     ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴． 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】如图，，， ，如果点P在线段上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，与全等，则t的值是（     ） A．2 B．4 C．2或3 D．2或4 【答案】C 【详解】解：∵， ∴当与全等时，只存在和这两种情况， 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴； 综上所述，t的值为2或3． 【变式4-2】如图，点A、D、B、E在同一直线上，，，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式4-3】与的位置如图所示，点、、在同一条直线上，点在边上，且平分，若，，，则的度数是________． 【答案】 【详解】解：，，， ，， ， 平分， ． 题型05 利用全等三角形的形状解决周长或面积问题 典｜例｜精｜析 【例9】如图，，的周长为10，且，则的周长为（    ）    A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【详解】解：∵，的周长为10， ∴的周长为10，， ∴的周长 的周长 ． 故选：C． 【点睛】此题考查全等三角形的性质，关键是由全等三角形的性质得出的周长为10． 【例10】中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是_____． 【答案】 【分析】 【详解】解：由题意知，，， ∴，，， ∴， ∵长方形， ∴， 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】如图，在中，点，分别在边，上，连接，，若，，且的周长比的周长大，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 设，，， ， ， 的周长为：， 的周长为：， 的周长比的周长大， ， ， 的周长为， 故选：C． 【变式5-2】如图，将周长为的三角形沿边方向向右平移得到三角形，则四边形的周长为_____． 【答案】31 【详解】解：∵三角形沿边方向向右平移得到三角形， ∴，， ∴，， ∴的周长是， ∴， ∴四边形的周长． 故答案为：31． 【变式5-3】如图，在中，，已知，点落在边上，是线段上一点，若的面积比的面积大25，点到线段和线段的距离之和为__________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵的面积比的面积大25， ∴， 设点P到线段和线段的距离分别为，连接， ∵， ∴， ∴， ∴点到线段和线段的距离之和为， 故答案为：． 题型06 利用全等证明线段/角的关系 典｜例｜精｜析 【例11】如图，，且点E，B，D，F在一条直线上． (1)试判断与的位置关系，并证明你的结论； (2)试判断与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) ， 证明：∵， ∴ ∵，， ∴， ∴； (2) ， 证明：∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 【例12】两个三角板按图15所示摆放，已知，且，，三点在同一条直线上． (1)若，，求的度数； (2)试判断，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：．理由如下： ， ， ． 【分析】 【详解】（1）解：∵， ，， ， ； （2）略 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】如图，已知． (1)写出与之间的数量关系及位置关系，并说明理由； (2)若，求的长． 【答案】(1) ． 理由：， ． (2)4 【分析】 【详解】（1）略 （2） ， ，即 又， ， ． 【变式6-2】如图，，点B和点C是对应顶点，，记，，当时，与之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴. 故选：B. 【变式6-3】把四边形纸片沿折叠，使点C落在四边形内部的点处，如图所示，试探究与之间的数量关系． 【答案】 【详解】解：∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ． 基础通关 一、单选题 1．如图，两个三角形全等，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意，得对的角是，对的角是，对的角是， 根据两个三角形全等，得对的角是， 故的度数是； 2．如图，已知，若，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴． 3．如图，，点、、、共线，与交于点．若，，则线段的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，点、、、共线， ， ， ． 4．下列各组中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意知，选项A、B、D中的两个图形不能重合，故不是全等图形，而选项C中的两个图形能够完全重合，是全等图形； 故选：C． 5．如图，七巧板中有个等腰直角三角形（），其中与三角形全等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：与三角形全等的是． 6．如图，在中，于点D、E是上一点，若，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】解：， ， ， 则的周长为． 故选：D． 二、填空题 7．如图，已知，顶点分别与顶点对应，则______． 【答案】 【详解】解：， ． 8．如图，已知，若，，则的值为_____． 【答案】 4 【详解】解：， ， ． 9．如图，已知，，，则的度数为______． 【答案】/100度 【详解】解：∵， ∴， ∴． 三、解答题 10．如图，，，，延长交于点，交于点．试说明． 【答案】 解：， ， ， ， ， ， ． 【详解】略 11．如图，已知线段与相交于点E，且，点F在线段的延长线上，，求证：． 【答案】 解：， ． ， ． ． 【详解】略 12．如图，，点在边上，与相交于点． (1)若，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】 【详解】（1）解：， ，， ； （2）解：是的外角， ， 又，， ， ， ，， ， ． 素养提升 1．如图，，的延长线经过点且交于点．，，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为，当与全等时，则点Q的运动速度为（     ）． A． B．1 C．或 D．1或 【答案】D 【详解】解：根据题意得，点P到达点B的时间为，， 当时，，， ∴， ∴， ∴点Q的运动速度为； 当时，，， ∵， ∴， ∴， ∴点Q的运动速度为； 综上所述，点Q的运动速度为1或． 3．如图，厘米，厘米，，如果点在线段上以2厘米秒的速度由点向点运动，同时，点从点出发沿射线运动，若经过秒后，与全等，则的值是（     ） A．1 B． C．1或 D．1或2 【答案】C 【详解】解：设运动时间为秒，则，， 当时，， 解得； 当时，， 解得， 综上所述，的值是或． 4．如图，在中，，现将沿方向平移得到，与交于点，以下说法正确的是（     ） ①当时，点到的距离为线段的长； ②当，时，则； ③四边形与四边形的周长差为； ④四边形与四边形的面积相等． A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【详解】解：由平移可知， ， ， ， 点到的距离为线段的长， 故①错误； 由平移可知，， ， ， ， ， ， ， 故②正确； 由平移可知，，， ，，， 四边形的周长是，四边形的周长是， 四边形的周长是， 四边形的周长是， 四边形与四边形的周长差为， 故③正确； 由平移可知， ， ，， ， 故④正确； 综上所述，说法正确的是②③④． 迁移创新 1．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到的方向平移到的位置，，，平移距离为，则阴影部分面积为_______． 【答案】 【详解】解：∵两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到的方向平移到的位置，平移距离为，， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴． 2．如图，在中，点在上，点、在上．若，，，，，，则四边形与的面积比为________． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴ 设，则 ∴四边形与的面积比为 3．已知的三边长度为4、和，的三边长度为，则的周长是____ ． 【答案】18 【详解】解：根据全等三角形对应边相等的性质，分情况列出方程组求解，舍去不符合三角形边长要求的解，得到三角形三边长后计算周长如下： 情况1：列方程组，解得， 此时△ABC的三边长为4，，，满足三角形三边关系，符合题意； 情况2：列方程组，由得，与矛盾，舍去； 情况3：列方程组， 由得，边长不能为0，不符合题意，舍去； 情况4：列方程组， 由得，则，此时，这与矛盾，舍去， 故的周长为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十四章 全等三角形 14.1 全等三角形及其性质 课标要点 1.理解全等形、全等三角形定义，能依据形状、大小判断两个图形是否为全等形。 2.分清对应点、对应边、对应角，规范书写全等符号，做到顶点字母一一对应。 3.熟记全等三角形基础与延伸性质，会利用边角相等求解线段、角度数值。 4.区分全等相关易混概念，规避书写、性质应用中常见错误，规范几何答题。 学习重难点 重点： 1.全等形与全等三角形定义，掌握完全重合、形状大小相同两大判定条件。 2.全等三角形对应元素识别方法，严格遵循对应顶点对齐的书写格式要求。 3.全等三角形对应边、角、中线、高、周长、面积全部相等的核心性质。 难点： 1.根据全等式精准找准对应边角，容易因字母书写错位找错对应线段与角。 2.区分 “对应线段相等” 和 “所有线段相等”，做题容易遗漏 “对应” 限定词。 3.区分周长、面积相等与全等的逻辑关系，不能反向推导三角形全等。 知识点一 全等形的概念 1.定义 能够完全重合的两个图形叫作全等形，全等形的形状、大小完全相同。 2.补充说明 只形状相同、大小不等，或大小相同、形状不一样的图形，都不是全等形。 即学即练 1．如图所示各选项中的两个图形属于全等图形的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，四边形四边形，则的度数是 ______ 知识点二 全等三角形及其相关概念 1.全等三角形定义 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形，二者形状、大小完全一致。 2.对应元素相关概念 两个全等三角形重合时，互相重合的点是对应点，互相重合的边是对应边，互相重合的角是对应角。 3.全等符号书写规范 全等符号写作“≌”，读作“全等于”；书写时，对应点字母必须一一对应写在相同位置，不能随意调换顺序。 易错提醒 （1）书写全等三角形时对应点错位 写时乱排字母，对应顶点不匹配，会导致找对应边、对应角全部出错。 （2）混淆“对应边角”与“任意边角” 直接说全等三角形所有边相等、所有角相等，正确表述只有对应的边、角才相等，非对应边角不一定相等。 即学即练 3．下列说法中，正确的是（   ） A．两个等边三角形一定全等 B．两个全等三角形的周长相等 C．面积相等的两个三角形一定全等 D．三个角对应相等的两个三角形全等 4．如图，已知，指出它们的对应顶点、对应边和对应角． 知识点三 全等三角形的性质 1.基础性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等。 2.延伸性质： ①全等三角形对应边上的中线、对应边上的高、对应角的角平分线长度分别相等。 ②两个全等三角形的周长相等，面积相等。 即学即练 5．如图，两个三角形全等，根据图中所给条件，可得的度数是（     ） A． B． C． D． 6．如图，，顶点、分别与顶点、对应，点在边上，边与边相交于点．若，，线段的长__________． 题型01 图形全等的判定 典｜例｜精｜析 【例1】下列说法正确的是（    ） A．形状相同的两个图形一定全等 B．周长相等的两个图形是全等图形 C．两个正方形一定是全等图形 D．两个全等图形的面积一定相等 【例2】在下列各组图形中，是全等图形的是（     ）． A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】在如图所示的方格图中作出两个全等的四边形． 【变式1-3】观察房梁支架和窗户的示意图．请分别指出图中的三组全等图形． 题型02 利用图形全等的性质求解 解题贴士 先根据题意确认两个图形全等，锁定全等的对应点、对应边、对应角，对应顶点位置要一一匹配。 全等图形所有对应元素全部相等，对应线段长度、对应角度大小、周长、面积均可直接等量代换。 典｜例｜精｜析 【例3】如图，四边形中，．若四边形四边形，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例4】如图，四边形与四边形全等，则________，________，________，________． 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】如图，四边形四边形，若，，，则_________°．    【变式2-2】如图所示的是两个全等的五边形，，，，，，，，点B与点H、点D与点J分别是对应顶点，则图中标的____________，____________°． 【变式2-3】如图是由与四边形全等的6个四边形拼成的图形，若，则的长为______cm．    题型03 全等三角形性质的熟悉 典｜例｜精｜析 【例5】下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等 【例6】若，则的对应边是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】已知的三边长互不相等，若以为两个顶点画不同位置的三角形（与原三角形不重合），使所画的三角形与全等，这样的三角形最多可以画___________个． 【变式3-2】如图，已知，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，已知．写出对应边、对应角． 题型04 利用全等三角形的性质求线段/角 典｜例｜精｜析 【例7】如图，已知，点E在上，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【例8】如图，点B、E在上，且．若，，则的长为（     ） A．4 B．3 C．2 D． 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】如图，，， ，如果点P在线段上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，与全等，则t的值是（     ） A．2 B．4 C．2或3 D．2或4 【变式4-2】如图，点A、D、B、E在同一直线上，，，，则等于（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】与的位置如图所示，点、、在同一条直线上，点在边上，且平分，若，，，则的度数是________． 题型05 利用全等三角形的形状解决周长或面积问题 典｜例｜精｜析 【例9】如图，，的周长为10，且，则的周长为（    ）    A．10 B．12 C．14 D．16 【例10】中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是_____． 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】如图，在中，点，分别在边，上，连接，，若，，且的周长比的周长大，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，将周长为的三角形沿边方向向右平移得到三角形，则四边形的周长为_____． 【变式5-3】如图，在中，，已知，点落在边上，是线段上一点，若的面积比的面积大25，点到线段和线段的距离之和为__________． 题型06 利用全等证明线段/角的关系 典｜例｜精｜析 【例11】如图，，且点E，B，D，F在一条直线上． (1)试判断与的位置关系，并证明你的结论； (2)试判断与的数量关系，并证明你的结论． 【例12】两个三角板按图15所示摆放，已知，且，，三点在同一条直线上． (1)若，，求的度数； (2)试判断，，之间的数量关系，并说明理由． 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】如图，已知． (1)写出与之间的数量关系及位置关系，并说明理由； (2)若，求的长． 【变式6-2】如图，，点B和点C是对应顶点，，记，，当时，与之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】把四边形纸片沿折叠，使点C落在四边形内部的点处，如图所示，试探究与之间的数量关系． 基础通关 一、单选题 1．如图，两个三角形全等，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，已知，若，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，，点、、、共线，与交于点．若，，则线段的长度为（     ） A． B． C． D． 4．下列各组中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，七巧板中有个等腰直角三角形（），其中与三角形全等的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在中，于点D、E是上一点，若，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，已知，顶点分别与顶点对应，则______． 8．如图，已知，若，，则的值为_____． 9．如图，已知，，，则的度数为______． 三、解答题 10．如图，，，，延长交于点，交于点．试说明． 11．如图，已知线段与相交于点E，且，点F在线段的延长线上，，求证：． 12．如图，，点在边上，与相交于点． (1)若，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 素养提升 1．如图，，的延长线经过点且交于点．，，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 2．如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为，当与全等时，则点Q的运动速度为（     ）． A． B．1 C．或 D．1或 3．如图，厘米，厘米，，如果点在线段上以2厘米秒的速度由点向点运动，同时，点从点出发沿射线运动，若经过秒后，与全等，则的值是（     ） A．1 B． C．1或 D．1或2 4．如图，在中，，现将沿方向平移得到，与交于点，以下说法正确的是（     ） ①当时，点到的距离为线段的长； ②当，时，则； ③四边形与四边形的周长差为； ④四边形与四边形的面积相等． A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 迁移创新 1．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到的方向平移到的位置，，，平移距离为，则阴影部分面积为_______． 2．如图，在中，点在上，点、在上．若，，，，，，则四边形与的面积比为________． 3．已知的三边长度为4、和，的三边长度为，则的周长是____ ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $