重难点专训03 空间中点线面的位置关系综合证明（平行+垂直综合）（专项训练）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以“转化链”为核心构建空间几何证明方法体系，系统整合平行与垂直关系的判定及性质定理，通过分层训练实现逻辑推理与空间观念的递进培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法及技巧提炼|1|构建“线线-线面-面面”平行/垂直转化链，总结辅助线作法与答题规范|从基本思路到交叉转化，形成完整推理框架| |题型通法及变式提升|8题型（每题型含2典例+2变式）|针对8类定理应用提炼“找线-证线-转化”三步法，配套核心口诀与易错警示|按判定定理到性质定理递进，覆盖所有空间位置关系证明类型| |重难专题分层过关练|12题（巩固6+创新6）|综合证明题采用“结论反推+已知顺推”双向推理策略|从基础证明到动态探究，适配一轮复习能力要求|

重难点专训03空间中点线面的位置关系综合证明 （平行+垂直综合） 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 3 题型1 线面平行的判定定理 3 题型2 线面平行的性质定理 4 题型3 面面平行的判定定理 6 题型4 面面平行的性质定理 8 题型5 线面垂直的判定定理 9 题型6 线面垂直的性质定理 11 题型7 面面垂直的判定定理 13 题型8 面面垂直的性质定理 15 重难专题分层过关练 17 巩固过关 17 创新提升 19 解题方法及技巧提炼 1、空间中点线面位置关系综合证明的基本思路是： （1）明确题目要求证明的结论——是线线平行/垂直、线面平行/垂直，还是面面平行/垂直； （2）从已知条件出发，寻找与结论相关的中间量（如某条直线或某个平面），利用判定定理和性质定理逐步转化； （3）将线面关系转化为线线关系（平行问题找平面外的线与平面内的线平行，垂直问题找线与平面内两条相交直线垂直），最终回归到平面几何中的平行或垂直判定； （4）必要时添加辅助线或辅助面，将复杂图形分解为若干个简单图形分别处理。 2、平行关系与垂直关系的核心转化路径： （1）平行关系的转化链：线线平行 ⇌ 线面平行 ⇌ 面面平行。常用定理： 线面平行判定：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则线面平行； 线面平行性质：线面平行则过该直线的任一平面与已知平面的交线与该直线平行； 面面平行判定：一个平面内的两条相交直线均平行于另一平面，则面面平行； 面面平行性质：两平面平行，则一个平面内的任意直线平行于另一平面，且两平面与第三个平面的交线互相平行。 （2）垂直关系的转化链：线线垂直 ⇌ 线面垂直 ⇌ 面面垂直。常用定理： 线面垂直判定：一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则线面垂直； 线面垂直性质：线面垂直则这条直线垂直于平面内任意直线； 面面垂直判定：一个平面过另一个平面的垂线，则两平面垂直； 面面垂直性质：两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一平面。 （3）平行与垂直的交叉转化：若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则也垂直于另一个；若两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行。 3、常见题型及解题策略： （1）证明线面平行：关键是在平面内找一条直线与已知直线平行。常通过取中点、作平行线、利用平行四边形或中位线定理来构造这条直线。若直接找困难，可先证明过已知直线的某个平面与目标平面平行，再推出线面平行。 （2）证明线面垂直：关键是在平面内找两条相交直线，证明已知直线与它们都垂直。常用的垂直关系包括：等腰三角形底边中线垂直于底边、菱形对角线互相垂直、矩形邻边垂直、直径所对圆周角为直角、勾股定理逆定理等。 （3）证明面面平行：只需在一个平面内找两条相交直线，证明它们都平行于另一个平面。通常借助中位线或平行四边形构造平行线。 （4）证明面面垂直：只需在一个平面内找一条直线垂直于另一个平面。通常需要先证明线面垂直，再推出面面垂直。 （5）综合证明题：往往需要多次使用上述定理，形成“线线→线面→面面”或“面面→线面→线线”的推理链条。建议从结论反推所需条件，再从已知顺推可得条件，两者在中间汇合。 4、实用技巧与答题规范： （1）添加辅助线时，必须在证明中明确说明作法（如“取 中点 ，连接 ”），且辅助线一旦作出，其性质（如中位线、平行线）需立即说明； （2）符号语言要规范：“”表示线在面内，“”表示线面平行，“”表示线面垂直，“”表示面面平行，“”表示面面垂直； （3）使用判定定理时，必须逐一检查定理的条件是否全部满足，缺一不可（例如线面垂直必须说明平面内两条直线相交，不能只说两条直线）； （4）使用性质定理时，要指明由哪个已知条件推出，并写出推理依据。 5、易错点与关键提醒： （1）忽略线在面外：证明线面平行时，必须说明已知直线不在平面内，否则判定定理不成立； （2）忽略相交条件：证明线面垂直时，平面内的两条直线必须相交，不能只是平行；证明面面垂直时，必须说明平面内有一条直线垂直于另一平面； （3）混用判定和性质：判定是由线线推线面，性质是由线面推线线，方向不能颠倒； （4）立体几何中的平面几何结论：三角形中位线、平行四边形对边平行、菱形对角线垂直等平面结论在立体图形中依然成立，可直接引用，但需在图形中指出对应关系； （5）书写条理：证明题应分步书写，每一步写清楚条件和结论，避免跳跃推理，确保阅卷老师能清晰看到推理链条。 题型通法及变式提升 题型1 线面平行的判定定理 【典例1-1】（2026·北京门头沟·一模）如图，四边形为正方形，平面平面，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 核心口诀：证线面平行，面内找一线，线线平行是关键。 高分技巧： 定理内容：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。即 ，，； 核心操作：在平面 内找一条直线 ，证明它与已知直线 平行。找 的常用方法： 利用中位线（连接中点得平行线）； 利用平行四边形对边平行； 利用线面平行或面面平行的性质传递； 利用比例线段（如三角形相似）； 向量法：证直线的方向向量 与平面的法向量 垂直（），且直线不在平面内； 书写规范：必须写明“因为 ，，，所以 ”，三条缺一不可； 易错警示：易漏证“直线不在平面内”这一条件；找面内直线时，该直线必须确实在面内，不能是面外线。 【典例1-2】如图，在四棱锥中，底面 是矩形，底面 ，，， 是的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若点 在棱上运动，当点 到平面的距离为时，求 的长度． 【变式1-1】（2026·北京顺义·一模）如图，在三棱柱中，为正三角形，，平面，，是延长线上一点，且. (1)设中点为，求证：平面； (2)求直线与平面夹角的正弦值. 【变式1-2】（2026·北京平谷·一模）如图，在三棱台中，四边形为直角梯形，，平面平面，为的中点，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值． 题型2 线面平行的性质定理 【典例2-1】（2026·北京朝阳·一模）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，M为中点，N为上一点，且满足． (1)设平面平面，求证：； (2)若已知点P到平面的距离为2，且平面平面．求直线与平面所成角的正弦值． 利用单调性求参数的三种情况： 核心口诀：线面平行若成立，过线作面交线成，交线与原线必平行。 高分技巧： 定理内容：若一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。即 ，，； 核心操作：已知线面平行，常需构造一个过已知直线的平面，使其与已知平面相交，则交线就是我们需要找的平行线。构造辅助平面的方法： 连接已知点与平面内一点； 过已知直线作某个平面（如与另一条已知线确定的平面）； 逆向应用：性质定理常用来证明线线平行，是线面平行到线线平行的转化桥梁； 向量法：线面平行 方向向量与法向量垂直；交线方向向量可由两个平面法向量叉积得到，进而验证与已知线平行； 易错警示：辅助平面必须过已知直线且与已知平面相交，交线必须明确写出；性质定理的条件是“线面平行”，不能反过来用。 【典例2-2】（25-26高三上·北京东城·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，平面，平面平面，是的中点，平面交于．    (1)求证：是的中点； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【变式2-1】（25-26高三上·北京顺义·期末）如图，在四棱锥中，，底面是菱形，其中.    (1)若是棱上一点，平面与棱交于点，求证：； (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值. 【变式2-2】（25-26高三上·北京东城·期中）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，分别是中点，与平面交于点，. (1)证明：是的中点； (2)求平面与平面夹角的大小； (3)求点到平面的距离. 题型3 面面平行的判定定理 【典例3-1】如图，正三角形和平行四边形在同一个平面内，其中，，AB，DE的中点分别为F，G．将沿直线AB翻折到，使二面角为120°，设CE的中点为H． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 核心口诀：面面平行看相交，两线分别平行就足够；一平面内两相交线，分别平行于另一面。 高分技巧： 定理内容：若一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行。即 ，； 核心操作：在一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行于另一个平面。找线的常用方法同线面平行； 等价转化：也可转化为“一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线”（线线平行传递）； 向量法：两平面法向量平行（共线）即可； 书写规范：需明确写出“， 与 相交，，所以 ”； 易错警示：必须是两条相交直线，不能是平行直线；每一条直线都要证明平行于另一个平面，不能只证一条。 【典例3-2】如图，四棱柱的底面为正方形，且平面平面，，，分别为棱的中点． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【变式3-1】如图，在四棱台中，平面，正方形的边长为，且，分别为线段的中点，点在线段上，且. (1)证明：平面平面. (2)求点到平面的距离. (3)求平面与平面夹角的余弦值. 【变式3-2】如图1，已知的各边长均为4，点D，E，F分别为，，的中点，现将，，分别沿，，折起，使点A到点P的位置，点B到点Q的位置，点C到点M的位置，且平面平面，平面平面，平面平面，如图2． (1)求证：平面∥平面； (2)求平面和平面所成二面角的正弦值． 题型4 面面平行的性质定理 【典例4-1】如图，在三棱柱 中， ， 分别为 ， 的中点. (1)若点 在线段 上，且 ，求证：平面 ； (2)若 ，，，求平面 与平面 的夹角. 核心口诀：面面平行若成立，交线必平行；一平面内任一直线，平行于另一平面。 高分技巧： 定理内容（推论1）：若两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面； 定理内容（推论2）：若两个平面平行，则与两个平面都相交的第三条平面，其两条交线平行。即 ，，； 核心操作：面面平行常用于证明线面平行或线线平行。若证线面平行，可直接由面面平行推得；若证线线平行，需构造一个与两面都相交的截面； 向量法：面面平行等价于法向量平行，性质自然成立； 易错警示：推论2中必须有两个平面与第三个平面相交，交线才平行；若第三个平面只与一个面相交，则不能使用。 【典例4-2】如图，是圆锥的顶点，是底面圆心，是底面直径，是母线的中点，点，在底面圆周上，且，点在线段上，且直线平面．    (1)证明：； (2)若是正三角形，求直线与平面所成角的正弦值． 【变式4-1】已知多面体ABCDEF如图所示，其中四边形ABCD为矩形，，平面ABCD． (1)求证：平面BCF； (2)若，点A到平面BDF的距离为，求的值． 【变式4-2】如图，等腰梯形中，，，，，，现将沿折起得四棱锥，在四棱锥中，点，分别在，上，且. (1)求证：平面； (2)若二面角为，求直线与平面所成角的余弦值. 题型5 线面垂直的判定定理 【典例5-1】（2026·北京延庆·一模）如图，在四棱锥中，底面是一个等腰梯形，，，，M为的中点． (1)求证：平面； (2)若平面． （ⅰ）求证：平面； （ⅱ）求二面角的余弦值． 核心口诀：证线面垂直，面内找两交线，线与两线都垂直，则线面垂直得。 高分技巧： 定理内容：若一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于这个平面。即 ，，； 核心操作：在平面内找两条相交直线，证明已知直线与它们都垂直。垂直的证明方法： 利用勾股定理逆定理； 等腰三角形三线合一； 矩形/正方形邻边； 线面垂直定义（若已知其它垂直线）； 异面直线垂直可用三垂线定理； 向量法：直线的方向向量与平面的法向量平行（共线）； 书写规范：必须写明“，， 与 相交，所以 ”； 易错警示：必须是两条相交直线，不能是平行直线；要证的是线面垂直，不是线线垂直；若平面内找不到现成交线，需通过辅助线构造。 【典例5-2】（2025·北京海淀·三模）在四棱锥中，四边形为边长为4的正方形，．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知． (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 条件①，平面平面； 条件②：； 条件③，． 【变式5-1】（2026·北京·三模）如图，在三棱柱中，平面，D，E分别为，的中点，． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【变式5-2】（25-26高三下·北京·阶段检测）把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 题型6 线面垂直的性质定理 【典例6-1】（2026·北京丰台·三模）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点，二面角为直二面角. (1)求证：； (2)求平面与平面所成角的余弦值； 核心口诀：线面垂直得线线垂直，垂直于同一平面的两直线平行。 高分技巧： 定理内容（推论1）：若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于该平面内的任意一条直线。即 ； 定理内容（推论2）：垂直于同一个平面的两条直线平行。即 ； 核心操作： 已知线面垂直，可直接得出该直线与面内任何直线垂直（常用于证线线垂直）； 若两条直线都垂直于同一平面，可直接得出它们平行（常用于证线线平行）； 向量法：线面垂直 方向向量与法向量平行，性质直接； 易错警示：线面垂直性质定理中的“任意一条直线”必须是平面内的直线；推论2要求两直线都垂直于“同一”平面，不可不同。 【典例6-2】（2026·北京·二模）如图，在直四棱柱中，，，，点分别为的中点，且与平面所成角为. (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【变式6-1】（2026·北京昌平·一模）如图，在直三棱柱中，．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式6-2】如图，四棱锥的底面是平行四边形，侧面是正三角形，且． (1)求证：； (2)若，，求与平面所成角的正弦值. 题型7 面面垂直的判定定理 【典例7-1】（2026·北京通州·一模）如图，在三棱锥中，为边长为的等边三角形，，，为棱的中点． (1)求证：平面平面； (2)棱上（端点除外）是否存在一点，使得平面与平面的夹角为．若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 核心口诀：面面垂直证线面，一平面内找一线，垂直于另一平面即可。 高分技巧： 定理内容：若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。即 ，； 核心操作：在一个平面内找一条直线，证明它垂直于另一个平面。找垂线的方法： 利用线面垂直判定定理先证某线垂直于一平面； 利用已知线面垂直关系； 利用等腰三角形底边中线等； 向量法：两平面的法向量点积为0（互相垂直）； 书写规范：需写明“因为 ，且 ，所以 ”； 易错警示：必须是一条直线垂直于另一个平面，不能是“一条直线平行于另一个平面的垂线”等；该直线必须在第一个平面内。 【典例7-2】如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段中点，为线段上的动点． (1)证明：平面平面； (2)设直线与平面所成角为，求的取值范围． 【变式7-1】如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，且，，为棱上的点. (1)证明：平面平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长. 【变式7-2】已知底面是平行四边形，平面，，，，且. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是.若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 题型8 面面垂直的性质定理 【典例8-1】（2026·北京·三模）如图，在五面体中，平面平面，底面是边长为2的菱形．，，．    (1)若点，分别为棱和棱的中点，求证：平面； (2)若，求直线与平面所成的角． 核心口诀：面面垂直得线面，交线是关键；一平面内垂直于交线，必垂直另一面。 高分技巧： 定理内容：若两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。即 ，，，； 核心操作：已知面面垂直，常利用交线构造垂线： 找到两个平面的交线； 在其中一个平面内作一条直线垂直于交线； 则该直线垂直于另一个平面（可用于证线面垂直、求点到面距离等）； 向量法：面面垂直 法向量垂直，性质自然成立； 变式应用：若两平面垂直，则一个平面内不垂直于交线的直线与另一个平面成角，可用三垂线定理等； 易错警示：性质定理中直线必须在其中一个平面内，且必须垂直于交线，缺一不可；若直线不垂直于交线，则不能推出线面垂直。 【典例8-2】如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，且，E为PD的中点，平面平面．    (1)求证：； (2)若 ，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得四棱锥存在，求平面PAE与平面AEC夹角的余弦值． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 【变式8-1】（2026·北京顺义·二模）如图，在四棱锥中，平面平面，是棱上一点，满足 (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【变式8-2】在四棱锥中，四边形为边长为4的正方形，平面平面，． (1)求证：； (2)从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得四棱锥存在且唯一确定，求平面与平面所成角的余弦值． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．如图，在四棱锥中，三角形是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，，E为PD的中点. (1)证明：平面PAB； (2)若，求直线CE与平面PBC的夹角的余弦值. 2．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为矩形，E，F分别为PA，CD的中点． (1)求证：平面PBF； (2)若，求直线PC与平面PBF所成角的正弦值． 3．图1所示的平行四边形中，，现将沿折起，得到如图2所示的三棱锥，记棱的中点为，且.. (1)求证：； (2)记棱的中点为，是否在直线上存在点，使得平面？请说明理由，并求出二面角的大小. 4．如图，在四棱柱 中， 侧面和底面均为菱形， 且   为的中点，与平面 交于点， (1) 求证: 为的中点； (2) 若平面平面，求二面角 的余弦值. 5．如图，正三棱柱中，是的中点． (1)求证：平面⊥平面； (2)求证：平面； (3)若，求二面角的大小． 6．如图，三棱锥中，点在上，，，． (1)证明：； (2)若，，，，求直线与平面所成角的正弦值． 创新提升 7．如图，四棱锥的底面为菱形，，，棱的中点分别为． (1)证明：平面； (2)若四棱锥的顶点满足，且当四棱锥的体积为时，求直线与平面所成角的余弦值． 8．如图，在矩形 中，，，为 的中点，把沿翻折至，为线段上的动点． (1)当为的中点时，证明：平面； (2)在翻折过程中，若在平面内的投影落在 边上，且三棱锥的各个顶点均在球 的球面上． （ⅰ）求球 的半径； （ⅱ）求平面与平面的夹角的最小值． 9．如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，，，，点为的中点，过点作平面∥平面，且交于点． (1)求的值； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 10．如图，在以顶点的五面体中，四边形是矩形，平面平面，． (1)证明：平面； (2)已知二面角是，，点到平面的距离为． ①求； ②在棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 11．在四棱锥中，平面平面，是线段的中点. (1)证明：. (2)若二面角的平面角的正弦值为. ①求线段的长； ②若为线段的中点，点在线段上，是否存在实数，使得当时，平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 12．如图，在正三棱柱中，点满足，其中，. (1)是否存在使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (2)当时，求平面与平面的夹角的余弦值． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训03空间中点线面的位置关系综合证明 （平行+垂直综合） 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 3 题型1 线面平行的判定定理 3 题型2 线面平行的性质定理 10 题型3 面面平行的判定定理 18 题型4 面面平行的性质定理 26 题型5 线面垂直的判定定理 33 题型6 线面垂直的性质定理 40 题型7 面面垂直的判定定理 47 题型8 面面垂直的性质定理 54 重难专题分层过关练 63 巩固过关 63 创新提升 72 解题方法及技巧提炼 1、空间中点线面位置关系综合证明的基本思路是： （1）明确题目要求证明的结论——是线线平行/垂直、线面平行/垂直，还是面面平行/垂直； （2）从已知条件出发，寻找与结论相关的中间量（如某条直线或某个平面），利用判定定理和性质定理逐步转化； （3）将线面关系转化为线线关系（平行问题找平面外的线与平面内的线平行，垂直问题找线与平面内两条相交直线垂直），最终回归到平面几何中的平行或垂直判定； （4）必要时添加辅助线或辅助面，将复杂图形分解为若干个简单图形分别处理。 2、平行关系与垂直关系的核心转化路径： （1）平行关系的转化链：线线平行 ⇌ 线面平行 ⇌ 面面平行。常用定理： 线面平行判定：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则线面平行； 线面平行性质：线面平行则过该直线的任一平面与已知平面的交线与该直线平行； 面面平行判定：一个平面内的两条相交直线均平行于另一平面，则面面平行； 面面平行性质：两平面平行，则一个平面内的任意直线平行于另一平面，且两平面与第三个平面的交线互相平行。 （2）垂直关系的转化链：线线垂直 ⇌ 线面垂直 ⇌ 面面垂直。常用定理： 线面垂直判定：一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则线面垂直； 线面垂直性质：线面垂直则这条直线垂直于平面内任意直线； 面面垂直判定：一个平面过另一个平面的垂线，则两平面垂直； 面面垂直性质：两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一平面。 （3）平行与垂直的交叉转化：若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则也垂直于另一个；若两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行。 3、常见题型及解题策略： （1）证明线面平行：关键是在平面内找一条直线与已知直线平行。常通过取中点、作平行线、利用平行四边形或中位线定理来构造这条直线。若直接找困难，可先证明过已知直线的某个平面与目标平面平行，再推出线面平行。 （2）证明线面垂直：关键是在平面内找两条相交直线，证明已知直线与它们都垂直。常用的垂直关系包括：等腰三角形底边中线垂直于底边、菱形对角线互相垂直、矩形邻边垂直、直径所对圆周角为直角、勾股定理逆定理等。 （3）证明面面平行：只需在一个平面内找两条相交直线，证明它们都平行于另一个平面。通常借助中位线或平行四边形构造平行线。 （4）证明面面垂直：只需在一个平面内找一条直线垂直于另一个平面。通常需要先证明线面垂直，再推出面面垂直。 （5）综合证明题：往往需要多次使用上述定理，形成“线线→线面→面面”或“面面→线面→线线”的推理链条。建议从结论反推所需条件，再从已知顺推可得条件，两者在中间汇合。 4、实用技巧与答题规范： （1）添加辅助线时，必须在证明中明确说明作法（如“取 中点 ，连接 ”），且辅助线一旦作出，其性质（如中位线、平行线）需立即说明； （2）符号语言要规范：“”表示线在面内，“”表示线面平行，“”表示线面垂直，“”表示面面平行，“”表示面面垂直； （3）使用判定定理时，必须逐一检查定理的条件是否全部满足，缺一不可（例如线面垂直必须说明平面内两条直线相交，不能只说两条直线）； （4）使用性质定理时，要指明由哪个已知条件推出，并写出推理依据。 5、易错点与关键提醒： （1）忽略线在面外：证明线面平行时，必须说明已知直线不在平面内，否则判定定理不成立； （2）忽略相交条件：证明线面垂直时，平面内的两条直线必须相交，不能只是平行；证明面面垂直时，必须说明平面内有一条直线垂直于另一平面； （3）混用判定和性质：判定是由线线推线面，性质是由线面推线线，方向不能颠倒； （4）立体几何中的平面几何结论：三角形中位线、平行四边形对边平行、菱形对角线垂直等平面结论在立体图形中依然成立，可直接引用，但需在图形中指出对应关系； （5）书写条理：证明题应分步书写，每一步写清楚条件和结论，避免跳跃推理，确保阅卷老师能清晰看到推理链条。 题型通法及变式提升 题型1 线面平行的判定定理 【典例1-1】（2026·北京门头沟·一模）如图，四边形为正方形，平面平面，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)设 的中点为 ，连接， 在中，为的中点， 所以且， 因为且， 所以且 ， 所以四边形 是平行四边形， 所以， 因为 平面，平面， 所以 平面； (2) 【分析】（1）设 的中点为 ，证得，根据线面平行判定定理证明即可； （2）由面面垂直的性质可得平面，建立空间直角坐标系，根据线面角向量法计算即可求解. 【详解】（1）略 （2）因为平面平面，平面平面 ， ，， 所以 ，平面， 因为四边形为正方形，所以 两两互相垂直， 以 为坐标原点， 分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， ， ，， ，，， 设平面的一个法向量为 ， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值. 核心口诀：证线面平行，面内找一线，线线平行是关键。 高分技巧： 定理内容：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。即 ，，； 核心操作：在平面 内找一条直线 ，证明它与已知直线 平行。找 的常用方法： 利用中位线（连接中点得平行线）； 利用平行四边形对边平行； 利用线面平行或面面平行的性质传递； 利用比例线段（如三角形相似）； 向量法：证直线的方向向量 与平面的法向量 垂直（），且直线不在平面内； 书写规范：必须写明“因为 ，，，所以 ”，三条缺一不可； 易错警示：易漏证“直线不在平面内”这一条件；找面内直线时，该直线必须确实在面内，不能是面外线。 【典例1-2】如图，在四棱锥中，底面 是矩形，底面 ，，， 是的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若点 在棱上运动，当点 到平面的距离为时，求 的长度． 【答案】(1)证明：连接交 于点，连接 ，如图1所示， 因为底面 是矩形，所以是的中点， 因为 是的中点，所以在中， 是中位线，所以， 因为平面平面， 所以平面； (2) (3) 【分析】（1）根据线面平行判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，运用线面角向量法求解即可； （3）设，得，运用点到平面距离向量法求解即可. 【详解】（1）略 （2）如图2，因为底面 ，所以， ， 又在矩形 中，，所以两两垂直．以点 为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为 是的中点，所以 所以， 设平面的法向量为，则 ，即， 令，则，所以， ， 设直线与平面所成的角为 ， 则， ， ， 所以 即直线与平面所成角的正弦值为； （3）由（2）知平面的一个法向量为， 设，， 则，又， 则，所以， ， 设点 到平面的距离为， 则，得， 解得或（舍去）， 又，故， 所以 的长度为． 【变式1-1】（2026·北京顺义·一模）如图，在三棱柱中，为正三角形，，平面，，是延长线上一点，且. (1)设中点为，求证：平面； (2)求直线与平面夹角的正弦值. 【答案】(1)证明：如图，取的中点，连接， 因为中点，则，又，则， 因，则，可得，故， 又平面，而平面，故平面. (2) 【分析】（1）取的中点，通过证明得到，再利用线面平行的判定定理即可得证； （2）作平面的垂线，垂足为，易得即与平面所成的角，通过等体积求出，即可求得答案. 【详解】（1）略 （2）过点作平面的垂线，垂足为，连接， 因，则直线与平面所成的角即直线与平面所成的角，即， 因平面，，则平面，， 在中，，由余弦定理，， 则，因， 由可得，解得， 在中，，即直线与平面夹角的正弦值为. 【变式1-2】（2026·北京平谷·一模）如图，在三棱台中，四边形为直角梯形，，平面平面，为的中点，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】(1)证明如下： 法一：取的中点，连接， 因为分别是的中点，可得，且， 在三棱台中，可得，所以， 又因为，所以， 所以四边形是平行四边形，则， 因为平面，平面，所以平面． 法二：在三棱台中，为的中点，且， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，于是平面． (2) 【分析】（1）法一：取的中点，连接，证得四边形是平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； 法二：根据题意，证得四边形为平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：因为平面平面，平面平面， 且，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 可得， 则． 设平面的法向量为，则， 令，可得．所以． 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成的角正弦值为． 题型2 线面平行的性质定理 【典例2-1】（2026·北京朝阳·一模）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，M为中点，N为上一点，且满足． (1)设平面平面，求证：； (2)若已知点P到平面的距离为2，且平面平面．求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)因为底面是菱形，所以∥. 因为 平面 ， 平面 ，所以∥平面 . 因为平面，平面 平面 ，所以∥. (2) 【分析】（1）由线面平行的判定定理及性质定理证明即可； （2）连接，记，由菱形的性质及面面垂直的性质定理可证平面，以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据线面角的向量求法可求得直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）略 （2）因为底面是边长为2的菱形，，所以. 连接，记，则为的中点，且. 因为，所以 . 因为平面平面，平面 平面 ，平面 ， 所以平面. 所以两两垂直. 如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 因为点P到平面的距离为2，所以. 易得， 因为M为中点，N为上一点，且满足，所以. 所以. 设平面的法向量为， 则， 令，则. 所以平面的法向量为. 设直线与平面所成的角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为． 利用单调性求参数的三种情况： 核心口诀：线面平行若成立，过线作面交线成，交线与原线必平行。 高分技巧： 定理内容：若一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。即 ，，； 核心操作：已知线面平行，常需构造一个过已知直线的平面，使其与已知平面相交，则交线就是我们需要找的平行线。构造辅助平面的方法： 连接已知点与平面内一点； 过已知直线作某个平面（如与另一条已知线确定的平面）； 逆向应用：性质定理常用来证明线线平行，是线面平行到线线平行的转化桥梁； 向量法：线面平行 方向向量与法向量垂直；交线方向向量可由两个平面法向量叉积得到，进而验证与已知线平行； 易错警示：辅助平面必须过已知直线且与已知平面相交，交线必须明确写出；性质定理的条件是“线面平行”，不能反过来用。 【典例2-2】（25-26高三上·北京东城·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，平面，平面平面，是的中点，平面交于．    (1)求证：是的中点； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）先证明平面，然后利用线面平行的性质定理证明，结合中位线性质可证； （2）先证明两两垂直，然后建立空间直角坐标系，求出平面法向量，利用线面角的向量公式计算可得. 【详解】（1）为菱形，所以． 又因为平面，平面，所以平面． 又因为平面，平面平面，所以． 又因为是的中点，所以是的中点． （2）因为底面是边长为2的菱形，，所以， 又因为是的中点，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 又因为平面，所以． 因为，所以， 因为平面，平面，所以，， 因为，，，平面，所以平面． 又因为平面，所以， 所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，    则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，，可取， 设直线与平面所成角为， 则． 故直线与平面所成角的正弦值为． 【变式2-1】（25-26高三上·北京顺义·期末）如图，在四棱锥中，，底面是菱形，其中.    (1)若是棱上一点，平面与棱交于点，求证：； (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1) 连接，    因为四边形是菱形，所以.又因为平面，平面 所以平面，又因为平面，平面平面 所以. (2). 【分析】（1）先由可得平面，再由线面平行的性质可得线线平行； （2）解法一：取的中点为，再分别以坐标轴，建立空间直角坐标系，用向量计算面面角的余弦值； 解法二：取的中点为，再分别以为坐标轴，建立空间直角坐标系，用向量方法计算面面的夹角； 解法三：设，再分别以为坐标轴，建立空间直角坐标系，用向量方法计算面面的夹角. 【详解】（1）略 （2）（法一）取的中点为，连接，因为是菱形，， 所以. 所以，又，所以 因为平面，所以，即两两相互垂直． 如图建立空间直角坐标系，    则，，，，， 所以，. 设平面的法向量为，则，即， 所以可得，所以，令，则， 所以，. 又因为，. 设平面的法向量为，则， 即，所以. 令，则，． 所以， 设平面与平面的夹角为， 则 （法二）取的中点为，连接，则，又，所以 因为平面，所以．所以两两相互垂直． 如图建立空间直角坐标系，    则，，，，． 所以， 设平面的法向量为，则，即　所以， 所以，，令，所以，. 又， 设平面的法向量为，则，即， 所以，所以，令，． 所以，. 设平面与平面的夹角为， 则. （法三）连接，则，设. 因为平面，过作的平行线，则平面. 所以．即两两相互垂直． 如图建立空间直角坐标系，    则，，，，，． 所以，. 设平面的法向量为，则，即，所以 所以，令，则，所以， 又，. 设平面的法向量为，则，即. 所以，令，则，， 所以，. 设平面与平面的夹角为， 则. 【变式2-2】（25-26高三上·北京东城·期中）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，分别是中点，与平面交于点，. (1)证明：是的中点； (2)求平面与平面夹角的大小； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1) 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，故， 则，而平面，平面，故平面， 又平面平面，平面，故， 是中点，故是的中点； (2) (3) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明平面，再根据线面平行的性质定理推出，即可证明结论； （2）说明两两垂直，即可建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案； （3）根据空间距离的向量求法，即可求得答案. 【详解】（1）略 （2）取的中点为O，连接， 因为，故，且, 而，则，即得, 则两两垂直， 以O为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的一个法向量为 ， 则 ， ，令，则，则， 平面的一个法向量可取为， 平面与平面的夹角为， 故， 平面与平面夹角的大小为； （3）由（2）可知，则, 故点到平面的距离为. 题型3 面面平行的判定定理 【典例3-1】如图，正三角形和平行四边形在同一个平面内，其中，，AB，DE的中点分别为F，G．将沿直线AB翻折到，使二面角为120°，设CE的中点为H． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)因为四边形为平行四边形，F、G分别为 的中点， 所以四边形为平行四边形，所以． 因为平面， 平面，所以平面， 又H、G分别为 的中点，所以． 平面， 平面，所以平面， 因为FD、 平面 ，， 所以平面平面． (2) 【分析】（1）根据线线平行证明线面平行，进而根据面面平行的判定求证， （2）证明线面垂直，进而建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可利用向量的夹角公式求解. 【详解】（1）略 （2）因为三角形为正三角形，，F为的中点， 所以，， 所以为二面角 的平面角， 又，平面 ， 所以 平面 ，因为 平面，所以平面平面． 作 平面于O，则O在直线上． 又二面角 的平面角为， 所以O在线段的延长线上．由已知得，则，． 以F为原点，所在直线分别为x轴、y轴，过点F平行于 的直线为z轴，建立空间直角坐标系， 如图， 因为， ，所以， 则，，，，， 则，， 设平面 的一个法向量为， 则由，，得， 令，得． 易得平面的一个法向量， 所以平面 与平面的夹角的余弦值为． 核心口诀：面面平行看相交，两线分别平行就足够；一平面内两相交线，分别平行于另一面。 高分技巧： 定理内容：若一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行。即 ，； 核心操作：在一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行于另一个平面。找线的常用方法同线面平行； 等价转化：也可转化为“一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线”（线线平行传递）； 向量法：两平面法向量平行（共线）即可； 书写规范：需明确写出“， 与 相交，，所以 ”； 易错警示：必须是两条相交直线，不能是平行直线；每一条直线都要证明平行于另一个平面，不能只证一条。 【典例3-2】如图，四棱柱的底面为正方形，且平面平面，，，分别为棱的中点． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1) 因为四棱柱的底面为正方形， 所以，且. 因为分别为棱的中点，所以且. 所以四边形为平行四边形，所以. 又平面，平面，则平面，平面， 由，平面，，所以平面平面. (2). 【分析】（1）根据面面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用空间向量的数量积求解即可. 【详解】（1）略 （2） 取中点，中点，连接，. 因为，，所以为等边三角形. 因为点为中点，所以，，. 因为为正方形，点，点为中点，所以. 因为平面平面，平面平面，， 所以平面，又平面，所以. 所以，，两两垂直. 以为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，设平面的法向量为， 则，即，取，则，，所以. 又平面，所以即为平面的一个法向量. 设平面与平面的夹角为， 则. 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 【变式3-1】如图，在四棱台中，平面，正方形的边长为，且，分别为线段的中点，点在线段上，且. (1)证明：平面平面. (2)求点到平面的距离. (3)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1) 取的中点，连接，易证且，则四边形为平行四边形，所以， 又因为，即为的中点，为的中点，所以， 所以，且平面，平面，所以平面. 因为，且，所以四边形为平行四边形， 所以，同理可证， 所以，平面，平面，所以平面. 因为，平面，平面，平面，平面， 所以平面平面. (2) (3) 【分析】（1）先证平面，再证平面，再由面面平行的判定定理可得； （2）直接根据等体积法计算点到面的距离可得； （3）直接用空间向量计算平面与平面的夹角可得. 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面，所以， 又，，平面，平面， 所以平面，而平面，所以. 因为，， 又在直角梯形中，，设为的中点，如图： 显然四边形为正方形，为等腰直角三角形，且， 所以，， 在三角形中，满足，所以， 所以，. 设点D到平面的距离为， 由，所以，得，解得. 所以点到平面的距离为. （3）易知，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图： 则，，，，. 设平面的法向量为， 则，令，则，得. 因为平面与坐标平面重合，所以为平面的一个法向量， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. 【变式3-2】如图1，已知的各边长均为4，点D，E，F分别为，，的中点，现将，，分别沿，，折起，使点A到点P的位置，点B到点Q的位置，点C到点M的位置，且平面平面，平面平面，平面平面，如图2． (1)求证：平面∥平面； (2)求平面和平面所成二面角的正弦值． 【答案】(1) 证明：因为△ABC的各边长均为4，点D，E，F分别为AB，BC，AC的中点， 所以，，均是边长为2的正三角形， 翻折后，，均是边长为2的正三角形， 如图，分别取，的中点G，N，连接，，， 则，且，， 因为平面平面，平面平面，且平面平面， 平面平面，平面QDE，平面， 所以平面，平面， 所以； 又，所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 同理可证平面， 因为平面，平面，， 所以平面平面； (2)． 【分析】（1）先利用面面垂直的性质定理证明平面，平面，得到，再证明平面、平面，最后证明平面∥平面即可； （2）先建立空间直角坐标系，确定各点坐标，分别求出平面和平面的法向量， 利用空间向量的夹角公式，先求出两个法向量夹角的余弦值，再根据同角三角函数的基本关系求出正弦值. 【详解】（1）略 （2）连接，则，以为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 则， ， ，，，，，， 所以，，，， 设平面MDE的法向量为， 则，即，得， 令，则， 所以， 设平面PQF的法向量为， 则，即，得， 令，则，， 所以， 设平面MDE与平面PQF所成二面角的大小为θ， 则， 所以． 题型4 面面平行的性质定理 【典例4-1】如图，在三棱柱 中， ， 分别为 ， 的中点. (1)若点 在线段 上，且 ，求证：平面 ； (2)若 ，，，求平面 与平面 的夹角. 【答案】(1) 在三棱柱 中，取的中点，连接，由为的中点， 得，而，则，又为的中点，则， 而平面，平面，于是平面，平面， 又平面，因此平面平面，而平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）取的中点，连接，利用线面平行的判定、面面平行的判定性质推理得证. （2）由给定条件证得两两垂直，进而建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【详解】（1）略 （2）由，得，而，则， 由，得，即， 故可以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由，得， 则， 设平面的一个法向量，则， 令，得， 而平面的一个法向量，因此， 所以平面与平面的夹角为. 核心口诀：面面平行若成立，交线必平行；一平面内任一直线，平行于另一平面。 高分技巧： 定理内容（推论1）：若两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面； 定理内容（推论2）：若两个平面平行，则与两个平面都相交的第三条平面，其两条交线平行。即 ，，； 核心操作：面面平行常用于证明线面平行或线线平行。若证线面平行，可直接由面面平行推得；若证线线平行，需构造一个与两面都相交的截面； 向量法：面面平行等价于法向量平行，性质自然成立； 易错警示：推论2中必须有两个平面与第三个平面相交，交线才平行；若第三个平面只与一个面相交，则不能使用。 【典例4-2】如图，是圆锥的顶点，是底面圆心，是底面直径，是母线的中点，点，在底面圆周上，且，点在线段上，且直线平面．    (1)证明：； (2)若是正三角形，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) 连接，，，如图：    因为是中点，是中点，则，而平面， 所以平面，又因为平面，， 所以平面平面，即平面平面. 又平面平面，平面平面，所以， 所以，而，所以是等边三角形， 所以，又，所以四边形是平行四边形， 所以． (2)． 【分析】（1）先证明平面平面，再证明四边形是平行四边形即可. （2）以O为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法即可得出直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接， 由（1）知 ， 又，所以是等边三角形，则，即. 以为坐标原点，分别以，，为，，轴， 建立空间直角坐标系，如图所示.    不妨设，又是正三角形， 则，，，. 则，， 设为平面的一个法向量， 由，得， 令，则得平面的一个法向量， 所以， 所以，直线与平面所成角的正弦值为． 【变式4-1】已知多面体ABCDEF如图所示，其中四边形ABCD为矩形，，平面ABCD． (1)求证：平面BCF； (2)若，点A到平面BDF的距离为，求的值． 【答案】(1)因为，所以，， 又，平面，则平面， 而平面，所以， 又 不在平面 内，平面 ，所以 平面 ， 因为 ，且不在平面 内，平面 ，所以平面 ， 又，平面 ，故平面平面 ， 因为平面 ，故平面 ． (2) 【分析】（1）通过面面平行证明线面平行即可； （2）方法一：采用等体积法计算三棱锥的体积，即分别计算，，根据、相等即可求解；方法二：以为轴建立空间直角坐标系，用点到平面的距离公式列等式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解法一：连结AF，如图所示， 设，，则， ，，在 中， 以BF为底，则高， ， ， 因为，， 由等体积法可得，，即， 解得． 解法二：由，面，以为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设 则 则， 设面BDF的法向量，则， 取，则， 又， 解得，即． 【变式4-2】如图，等腰梯形中，，，，，，现将沿折起得四棱锥，在四棱锥中，点，分别在，上，且. (1)求证：平面； (2)若二面角为，求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】(1) 在上取一点，使得， 因为分别在和上，且， 在中，可得，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 在中，可得，所以， 因为，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，且平面，所以平面平面， 又因为平面，所以 平面. (2) 【分析】（1）在上取一点，使得，根据题意，分别证得平面，平面，结合面面平行的判定定理，证得平面平面，即可证得平面. （2）以为原点，建立空间直角坐标系，设，分别求得平面的法向量和向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：因为，且，平面， 所以平面，则即为二面角的平面角，所以， 以为原点，以所在直线为轴，以过点垂直于平面的直线为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 设，可得， 则， 设平面的法向量为，则 ， 取，可得，所以， 又由，可得， 设， 可得且， 解得，，所以， 设与平面所成的角为，其中， 则， 所以， 所以与平面所成的角的余弦值为. 题型5 线面垂直的判定定理 【典例5-1】（2026·北京延庆·一模）如图，在四棱锥中，底面是一个等腰梯形，，，，M为的中点． (1)求证：平面； (2)若平面． （ⅰ）求证：平面； （ⅱ）求二面角的余弦值． 【答案】(1) 取的中点，连接， M为的中点，， 又，，，四边形为平行四边形， 且平面，平面, 平面； (2) （ⅰ）平面，平面，， 又底面是一个等腰梯形，，，， ，则，，即， 又平面，，平面. （ⅱ） 【分析】（1）通过作辅助线证明为平行四边形，再利用线面平行的判定定理判断即可； （2）利用已知条件证明，再根据线面垂直的判定定理即可证明； （3）通过建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，再代入公式即可. 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）略 （ⅱ）由（ⅰ）知平面，平面，， 故建立以为坐标原点的空间直角坐标系，如图 则，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，， 为平面的一个法向量，， 故二面角的余弦值为. 核心口诀：证线面垂直，面内找两交线，线与两线都垂直，则线面垂直得。 高分技巧： 定理内容：若一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于这个平面。即 ，，； 核心操作：在平面内找两条相交直线，证明已知直线与它们都垂直。垂直的证明方法： 利用勾股定理逆定理； 等腰三角形三线合一； 矩形/正方形邻边； 线面垂直定义（若已知其它垂直线）； 异面直线垂直可用三垂线定理； 向量法：直线的方向向量与平面的法向量平行（共线）； 书写规范：必须写明“，， 与 相交，所以 ”； 易错警示：必须是两条相交直线，不能是平行直线；要证的是线面垂直，不是线线垂直；若平面内找不到现成交线，需通过辅助线构造。 【典例5-2】（2025·北京海淀·三模）在四棱锥中，四边形为边长为4的正方形，．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知． (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 条件①，平面平面； 条件②：； 条件③，． 【答案】(1) 选择①②， 因为为正方形，所以， 由①知，平面平面，平面， 平面平面=，， 所以平面，又平面 ，所以， 由②知，，，，所以， 又在平面内相交于点A，所以平面， 选择①③， 因为为正方形，所以， 由①知，平面平面，平面， 平面平面=，， 所以平面，又平面 ，所以， 由③知，，又为正方形，所以， 所以，所以， 所以，， 又在平面内相较于点A，所以平面， 选择②③， 由②知，，，，所以， 由③知，，又为正方形，所以， 所以，所以， 所以，， 又在平面内相较于点A，所以平面 (2) 【分析】（1）选择①②，根据面面垂直的性质可得，勾股定理可得，然后根据线面垂直的判定即可证明；选择①③，根据面面垂直的性质可得，根据三角形全等得，然后根据线面垂直的判定即可证明；选择②③，勾股定理可得，根据三角形全等得，然后根据线面垂直的判定即可证明； （2）以A为原点建立空间直角坐标系，，利用向量法求解即可 【详解】（1）略 （2）由（1）知，平面， 又为正方形，所以， 如图，以A为原点建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，所以， 设平面的法向量为， 则， 令，则。 所以， 设平面与平面所成角为， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为． 【变式5-1】（2026·北京·三模）如图，在三棱柱中，平面，D，E分别为，的中点，． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)已知，为中点，可得， 又平面，平面，故， 分别为中点，三棱柱中，故， 又，平面，平面. (2) (3) 【分析】（1）由及为中点，利用等腰三角形“三线合一”得；结合平面及，得到，从而由线面垂直判定定理证得平面； （2）以平面为基础，构造出二面角的平面角；利用已知边长、、，通过勾股定理与面积公式求出与，进而得到余弦值； （3）将点到平面的距离转化为三棱锥的高，利用等体积法建立方程；结合、及，计算得到所求距离. 【详解】（1）略 （2）由(1)可得平面，平面，故， 过作于，连接，因为，平面， 所以平面，又平面，故， 故即为二面角的平面角， 是中点，，则，； 且，， 故， ，得， 因为平面，又平面，故， 在中：， 故，即二面角的余弦值为. （3）三棱锥的体积等价于三棱锥的体积，即：， 由平面，得：， 计算的面积：，，， 为等腰三角形，底边上的高， 因此：， 设点到平面的距离为，由得：， 解得，即点到平面的距离为. 【变式5-2】（25-26高三下·北京·阶段检测）把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)因为二面角 为直二面角，即平面 平面 ， 又平面平面，，即 ，且 平面，所以 平面 . 因为平面，所以 . 由题意知，是由 翻折得到，且 ,所以，即， 又因为 ，平面，所以 平面. (2) 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证明 平面，从而得到，结合 即可证明结论； （2）取 中点，建立空间直角坐标系，求出平面 与平面 的法向量，利用向量夹角公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）在中，，所以， 分别取 的中点，连接. 因为 ，所以. 又因为平面平面 ，平面 平面，平面 ， 所以平面 .又因为，所以. 以 为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系. 在中，，所以 . 则, 所以， 设平面的法向量为，则，即， 取，得， 又因为平面的一个法向量为， 设平面与平面所成角为， 则， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 题型6 线面垂直的性质定理 【典例6-1】（2026·北京丰台·三模）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点，二面角为直二面角. (1)求证：； (2)求平面与平面所成角的余弦值； 【答案】(1)因为二面角为直二面角，所以平面平面. 正方形中，. 又平面平面，平面，所以平面. 因为平面，所以. 又，，平面，所以平面. 因为平面，所以. (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质、线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，结合面面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）略 （2）在中，，为的中点，， 所以，. 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 取中点，连接，因为平面，所以. 正方形中，为中点，所以. 所以两两垂直. 以为原点，以为轴建立空间直角坐标系， 则，，，. 所以，，，. 设平面的法向量为， 则，即，令，则，所以. 设平面的法向量为， 则，即，则，令，则， 所以. 设平面与平面所成角为， 则， 故平面与平面所成角的余弦值为. 核心口诀：线面垂直得线线垂直，垂直于同一平面的两直线平行。 高分技巧： 定理内容（推论1）：若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于该平面内的任意一条直线。即 ； 定理内容（推论2）：垂直于同一个平面的两条直线平行。即 ； 核心操作： 已知线面垂直，可直接得出该直线与面内任何直线垂直（常用于证线线垂直）； 若两条直线都垂直于同一平面，可直接得出它们平行（常用于证线线平行）； 向量法：线面垂直 方向向量与法向量平行，性质直接； 易错警示：线面垂直性质定理中的“任意一条直线”必须是平面内的直线；推论2要求两直线都垂直于“同一”平面，不可不同。 【典例6-2】（2026·北京·二模）如图，在直四棱柱中，，，，点分别为的中点，且与平面所成角为. (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明：连接，在中，由余弦定理得： ， 所以，所以， 直四棱柱中，平面， 因为平面，所以， 因为，，、平面， 所以平面，因为，所以平面， 又因为平面，所以； (2) 【分析】（1）借助余弦定理与勾股定理的逆定理可得，再利用线面垂直的性质定理可得，即可利用线面垂直的判定定理得到平面，即可得平面，最后利用线面垂直的性质定理即可得证； （2）连接，利用线面角定义可得，再建立适当空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量后，利用空间向量夹角公式计算即可得解. 【详解】（1）略 （2）连接，因为为的中点，所以有且， 所以四边形为平行四边形，所以， 直四棱柱中，平面， 所以为直线与平面所成的角，即， 因为，在直角中，可得， 因为为的中点，所以 ，即直四棱柱的高为2， 由（1）知，DA，DB，DD1两两垂直， 以D为原点，以DA，DB，DD1分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系， 所以， 则， 设平面的法向量为， 则， 取，可得，所以， 取平面的一个法向量为， 设平面与平面所成角为， 可得， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 【变式6-1】（2026·北京昌平·一模）如图，在直三棱柱中，．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明如下：    连接交于， ∵三棱柱为直棱柱，平面， ∵平面，∴， ∵. ∴四边形为正方形，∴， ，，，平面. 平面， ∵平面，∴. 又，，平面. 平面. 平面， . (2) (3) 【详解】（1）略 （2）    以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系. 由题意得：. 则. 设平面的法向量为. 则，令，则. . 直线与平面所成角的正弦值为. （3）存在，理由如下： 设()，则. . 若平面，则，解得， 存在点，使平面，此时. 【变式6-2】如图，四棱锥的底面是平行四边形，侧面是正三角形，且． (1)求证：； (2)若，，求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明：取的中点O，连接，， 因为是正三角形，所以， 因为底面是平行四边形，所以，已知，所以， 又，且，平面，所以平面， 因为平面，所以， 在中，是中点，且，所以是的垂直平分线， 所以. (2). 【分析】（1）取的中点O，连接和，通过线面垂直判定、性质定理即可证明. （2）通过三线合一、勾股定理证明，，两两垂直，建立空间直角坐标系，计算直线的方向向量和平面的法向量，用线面夹角的公式计算求解. 【详解】（1）略 （2）由，，为中点， 得，， 设，则，， 在正中，， 又，在中，，故， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，令，得，，即， 设与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为. 题型7 面面垂直的判定定理 【典例7-1】（2026·北京通州·一模）如图，在三棱锥中，为边长为的等边三角形，，，为棱的中点． (1)求证：平面平面； (2)棱上（端点除外）是否存在一点，使得平面与平面的夹角为．若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) ∵ 为边长为2的等边三角形，为中点， ∴ ，且. ∵ ，为中点， ∴ ，且，故， ∴ . ∵ ， ∴ ，故. ∵ ，平面， ∴ 平面. ∵ 平面， ∴ 平面平面. (2) 由第一小问，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ，，，，. 设，则，所以点坐标为. ∵，且平面 ∴平面 ∴平面的法向量为. 设平面的法向量为，其中，， ∴ 令，代入解得，， ∴. 已知平面与平面的夹角为， ∴ 代入数据得 两边约去后平方整理得，解得或. ∵， ∴. 因此存在满足条件的点，且. 【分析】（1）利用面面垂直的判定定理，结合等边三角形、等腰三角形的三线合一性质及勾股定理逆定理，证明平面即可完成推导； （2）通过建立空间直角坐标系，引入参数表示点的坐标，求解两个平面的法向量，利用二面角的余弦值列方程求解参数，结合参数范围验证即可    . 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】方法归纳：面面垂直证明核心是找到一个平面内垂直于另一个平面的直线，常结合等腰三角形三线合一、勾股定理逆定理证明线线垂直，再推导线面垂直；空间中的存在性问题可通过建立坐标系，引入参数表示动点坐标，将几何关系转化为代数方程求解，最后验证参数范围即可. 易错归纳：求解平面法向量时需注意坐标运算的准确性，二面角的余弦值等于两法向量夹角余弦的绝对值，避免符号错误；得到参数解后需结合动点的限制条件舍去不满足要求的解. 核心口诀：面面垂直证线面，一平面内找一线，垂直于另一平面即可。 高分技巧： 定理内容：若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。即 ，； 核心操作：在一个平面内找一条直线，证明它垂直于另一个平面。找垂线的方法： 利用线面垂直判定定理先证某线垂直于一平面； 利用已知线面垂直关系； 利用等腰三角形底边中线等； 向量法：两平面的法向量点积为0（互相垂直）； 书写规范：需写明“因为 ，且 ，所以 ”； 易错警示：必须是一条直线垂直于另一个平面，不能是“一条直线平行于另一个平面的垂线”等；该直线必须在第一个平面内。 【典例7-2】如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段中点，为线段上的动点． (1)证明：平面平面； (2)设直线与平面所成角为，求的取值范围． 【答案】(1)因为 ，且为线段中点，所以． 又因为底面，平面，所以． 而 ，且，因此平面 而平面，因此． 又因为，所以平面． 而平面，所以平面平面. (2) 【分析】（1）先利用线面垂直的判定定理证明平面，再根据面面垂直的判定定理证明平面平面. （2）方法1：先确定为直线与平面所成的角，再利用直角三角形的边角关系求 的取值范围. 方法2：建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角正弦的取值范围. 【详解】（1）略 （2）法一：由（1）可知直线与平面所成角为， 因此 不妨设，则， 所以 法二：以为原点， ，， 所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系． 不妨设，设，，则，，，， ，，， 设平面的一个法向量， ，即，令 ，则， 则， 因此. 【变式7-1】如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，且，，为棱上的点. (1)证明：平面平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长. 【答案】(1) 证明：因为平面，平面，所以， 又四边形为正方形，所以， 因为，平面， 所以平面， 又平面，所以， 在四边形中，易知，因为，所以， 又，故， 所以，故， 因为，平面， 所以平面， 又平面, 所以平面平面. (2) 【分析】（1）利用面面垂直的判定定理可得答案； （2）建系，利用面面角的向量计算公式计算可得答案. 【详解】（1）略 （2）由（1）知三条直线两两垂直. 以为坐标原点、所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设（）， 则：，，，，， 设平面的一个法向量为， ，即，令，得，， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得，， 所以， ， 解得或（舍）. 所以. 【变式7-2】已知底面是平行四边形，平面，，，，且. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是.若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明如下： 在中，，，， 则，可得， 所以，所以. 因为平面，平面，所以， 又因为，平面，平面，所以平面， 因为，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. (2)存在，或. 【分析】（1）由，得到，再由平面，证得，进而证得平面，结合，得到平面，利用面面垂直的判定定理，即可证得平面平面. （2）以为原点，建立空间直角坐标系，设，求得向量和平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，列出方程，即可求解. 【详解】（1）略 （2） 是平行四边形，平面，，，，且. 假设线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是， 以为原点，所在直线分别为x轴、y轴、轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 可得，， 设， 则，所以， 设平面的一个法向量为，则， 令，可得，所以， 设直线与平面所成角的大小为， 故， 整理得，解得或，所以或. 题型8 面面垂直的性质定理 【典例8-1】（2026·北京·三模）如图，在五面体中，平面平面，底面是边长为2的菱形．，，．    (1)若点，分别为棱和棱的中点，求证：平面； (2)若，求直线与平面所成的角． 【答案】(1)因为，且，所以四边形是等腰梯形. 取的中点，连接、.是中点，故，； 又是中点，菱形中，，故，. 因此且，四边形是平行四边形，所以. 又平面，平面，故平面.    (2) 【分析】（1）取的中点，连接、.根据中位线以及菱形的性质得到四边形是平行四边形，再根据线面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，应用线面角正弦公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）由，菱形边长为，故为正方形，进而. 又平面平面，交线为，平面，故平面. 故可以为原点，分别以为轴，以过点的平面的垂线为轴,建立空间直角坐标系. 由（1）易得，，，，，. 故，，. 设平面的法向量， 则，故可取. 设直线与平面所成角为， 则. 因为，故.    核心口诀：面面垂直得线面，交线是关键；一平面内垂直于交线，必垂直另一面。 高分技巧： 定理内容：若两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。即 ，，，； 核心操作：已知面面垂直，常利用交线构造垂线： 找到两个平面的交线； 在其中一个平面内作一条直线垂直于交线； 则该直线垂直于另一个平面（可用于证线面垂直、求点到面距离等）； 向量法：面面垂直 法向量垂直，性质自然成立； 变式应用：若两平面垂直，则一个平面内不垂直于交线的直线与另一个平面成角，可用三垂线定理等； 易错警示：性质定理中直线必须在其中一个平面内，且必须垂直于交线，缺一不可；若直线不垂直于交线，则不能推出线面垂直。 【典例8-2】如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，且，E为PD的中点，平面平面．    (1)求证：； (2)若 ，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得四棱锥存在，求平面PAE与平面AEC夹角的余弦值． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 【答案】(1)证明见解析 (2)条件①不符合要求，条件②和条件③平面PAE与平面AEC夹角的余弦值为 【分析】（1）应用面面、线面垂直的性质定理证明结论即可； （2）根据所选的条件，注意判断四棱锥存在性，再构建合适的空间直角坐标系，标注相关点坐标，应用向量法求面面角余弦值. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面，平面，， 由面面垂直的性质定理，得平面，平面，所以． （2）由题意，，，，故． 底面为平行四边形，故，，． 若选条件①： 由（1）知平面，故平面，平面，因此． 若，同一平面内，这显然不可能， 故条件①无法使四棱锥存在，不符合要求． 若选条件②：． 已知为中点，且，则， 所以为直角三角形，且，即． 由（1）知，，平面，所以平面． 因为平面，所以，即两两垂直． 以为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系．    则，，，，． 其中为中点，故． 设平面的一法向量，，， 则，取，得，所以， 设平面的法向量，，， 则，取，得，所以． 设两平面夹角为，则两平面夹角的余弦值为：． 若选条件③：． 由，，，得． 由，得，， 故，即． 平面平面，平面平面，平面， 由面面垂直的性质定理，得平面． 以为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系．    则，，，，． 其中为中点，故． 设平面的一法向量，，， 则，取，得，所以， 设平面的法向量，，， 则，取，得，所以． 设两平面夹角为，则两平面夹角的余弦值为：． 【变式8-1】（2026·北京顺义·二模）如图，在四棱锥中，平面平面，是棱上一点，满足 (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1) ∵ 平面平面，且平面平面， 平面，， 由面面垂直的性质定理， ∴ 平面. (2) 【分析】利用面面垂直的性质，结合即可证明线面垂直； 以为原点建立空间直角坐标系，通过求两个平面的法向量夹角即可得到平面夹角的余弦值。 【详解】（1）略 （2）以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系， 由题意得，，，. ∵ ， ∴ ， ∴ . 由得 平面， ∴平面的一个法向量为 . 设平面的法向量为 ， ，， 则， 令，解得，，即 . 设平面与平面的夹角为， 则. 【变式8-2】在四棱锥中，四边形为边长为4的正方形，平面平面，． (1)求证：； (2)从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得四棱锥存在且唯一确定，求平面与平面所成角的余弦值． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)证明：因为平面平面，平面平面，平面， 因为四边形为正方形，所以， 所以平面，又平面，所以. (2) 【分析】（1）先根据面面垂直的性质得到平面，再根据线面垂直的概念得到. （2）结合选择的条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦. 【详解】（1）略 （2）选条件①：因为，，，， 所以为直角三角形，且. 又平面，所以可以为原点，建立如图空间直角坐标系： 则，，，. 所以，，，. 设平面的一个法向量为， 则，令，则，. 设平面的一个法向量为， 则，令，则，. ， 所以. 即平面与平面所成角的余弦值为. 选条件②： 由已知和（1）可知平面，平面， 所以，所以. 若，则，这与为三角形的三个顶点矛盾. 故条件②不可选. 选条件③： 由已知和（1）可知为直角三角形，且，，所以. 由得，又，，， 所以为直角三角形，且. 又平面，所以可以为原点，建立如图空间直角坐标系： 则，，，. 所以，，，. 设平面的一个法向量为， 则，令，则，. 设平面的一个法向量为， 则，令，则，. ， 所以. 即平面与平面所成角的余弦值为. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．如图，在四棱锥中，三角形是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，，E为PD的中点. (1)证明：平面PAB； (2)若，求直线CE与平面PBC的夹角的余弦值. 【答案】(1)取PA中点为F，连接EF，FB，则， 且，从而四边形为平行四边形. 则，又平面PAB，平面PAB，则平面PAB； (2). 【分析】（1）取PA中点为F，连接EF，FB，通过证明可完成证明； （2）通过证明，可建立如图所示空间直角坐标系，求出平面平面PBC法向量，然后由空间向量知识可得答案. 【详解】（1）略 （2）如图取AD中点为O，连接OP，OB. 因三角形是以AD为斜边的等腰直角三角形，， 则.因，， 则四边形为平行四边形，则，，结合， 则，，结合，则为等边三角形， 得.又，，则，故. 又，平面ADCB，则. 故如图建立以O为坐标原点的空间直角坐标系. 则， 因E为PD的中点，则. 从而，，. 设平面PBC法向量为，则， 取，设直线CE与平面PBC的夹角为， 则，从而. 2．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为矩形，E，F分别为PA，CD的中点． (1)求证：平面PBF； (2)若，求直线PC与平面PBF所成角的正弦值． 【答案】(1) 取PB的中点G，连接EG，GF，如图． 因为E，G是PA，PB的中点，所以，且. 因为，且， 所以，所以四边形EGFD为平行四边形， 所以， 又平面PBF，平面PBF， 所以平面PBF. (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则． 所以，，． 设平面PBF的法向量为， 则， 则| ， 所以直线PC与平面PBF所成角的正弦值为. 3．图1所示的平行四边形中，，现将沿折起，得到如图2所示的三棱锥，记棱的中点为，且.. (1)求证：； (2)记棱的中点为，是否在直线上存在点，使得平面？请说明理由，并求出二面角的大小. 【答案】(1)证明如下： 因为，， ， 所以，所以，即， 图2中，， 则,所以，又， 又为平面内两条相交直线， 所以面，又在面， 所以又， 为平面内两条相交直线， 所以面，又在面内， 所以. (2)存在点，使得平面，理由如下： 以为临边，构造矩形,连接，易知过点， 因为分别为的中点， 所以，又在平面内，在平面外，所以平面, 即点就是点， 由（1）知面，在面内， 所以，又， 是平面内两条相交直线， 所以面，在面内， 所以，又， 所以为二面角的平面角， 因为, 所以， 所以二面角的大小为. 【分析】（1）通过条件证明面，进而证明面，即可求解； （2）以为临边，构造矩形,通过中位线可说明点即为点，再通过二面角平面角的概念求得为二面角的平面角，即可求解. 【详解】（1）略 （2）略 4．如图，在四棱柱 中， 侧面和底面均为菱形， 且   为的中点，与平面 交于点， (1) 求证: 为的中点； (2) 若平面平面，求二面角 的余弦值. 【答案】(1)在四棱柱 中， 平面平面， 又因为平面CDE 平面ABCD=CD， 所以， 又因为，所以， 又因为E为的中点，所以F为的中点 (2) 【分析】（1）根据面面平行可得，根据中位线的性质可得； （2）建立空间直角坐标系，利用法向量法求解二面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）取AD的中点O，连接， 在四棱柱 中， 四边形，四边形均为菱形， 又 所以均为等边三角形， 所以， 又因为平面平面ABCD，平面平面ABCD=AD， 平面，所以平面ABCD， 平面ABCD，所以， 如图建立空间直角坐标系， 所以， 所以即为平面的一个法向量， ， 设平面的一个法向量为， 所以，令得， 所以， 所以， 因为二面角 为锐角， 所以二面角 的余弦值为， 【点睛】 5．如图，正三棱柱中，是的中点． (1)求证：平面⊥平面； (2)求证：平面； (3)若，求二面角的大小． 【答案】(1)是正三棱柱， 平面，平面,则． 是正三角形，是的中点， ． 平面， 平面． 又平面， ∴平面平面． (2)连结，设． 是正三棱柱，∴四边形是矩形，是的中点． 是的中点，． 又平面，平面，平面． (3)． 【分析】（1）根据正三棱柱的性质、线面垂直的性质定理、判定定理和面面垂直的判定定理进行证明． （2）根据正三棱柱的性质和线面平行的判定定理进行证明． （3）根据三垂线定理，确定二面角的平面角，利用勾股定理求出相关线段的长度，进而求出二面角的大小． 【详解】（1）略； （2）略； （3）作于点，于点，连结． ∵平面平面，且两平面的交线为，平面， 平面． 故是在平面上的射影． 根据三垂线定理得，．于是是二面角的平面角． 设，由，则． 在中，． 在中，． 在中，，所以． 于是二面角的大小是． 6．如图，三棱锥中，点在上，，，． (1)证明：； (2)若，，，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明： 因为且，，且， 所以平面. 因为平面，所以. 又，，平面， 平面，平面， 所以平面， 故. (2) 【分析】（1）根据题意可得，，再结合线面垂直的性质定理证明即可； （2）法一：建立空间直角坐标系，求解向量和平面的法向量，再结合向量法求解线面夹角；法二：利用体积法解出设点到平面的距离为，进而计算线面夹角. 【详解】（1）略 （2）如图所示，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 可得， ， ， . 因为 且 ，所以. 所以，，. 设平面 的法向量 ，则， 可得，令，则：，，即. 设与平面所成的角为： 所以 ， 所以与平面所成的角的正弦值为. 法二：在 中，， 在 中，， 由（1）知，则. 在 中，. 在 中，. ， 为直角三角形，则. 设点到平面的距离为，与平面所成角为， 由得： ，即， 解得：. 所以. 创新提升 7．如图，四棱锥的底面为菱形，，，棱的中点分别为． (1)证明：平面； (2)若四棱锥的顶点满足，且当四棱锥的体积为时，求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用三角形中位线定理，先证，，推出平面，平面，再由面面平行判定定理得平面平面，最后由平面，得 平面； （2）先由菱形面积和四棱锥体积求高，以菱形对角线交点为原点建立空间直角坐标系，利用及确定点坐标；再求中点及向量，求平面的法向量；最后利用线面角公式，由方向向量与法向量夹角的余弦值，推导线面角的正弦值，再求其余弦值． 【详解】（1）因为分别为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为分别为的中点，所以， 因为为菱形，所以， 所以， 又平面，平面，所以平面， 因为平面，，所以平面平面， 因为平面，所以平面． （2） 菱形的面积， 设到平面的距离为， 所以，解得， 由是菱形，得，设， 以为坐标原点，分别为轴，过作底面垂线为轴，建立空间直角坐标系， 由是菱形，，得为等边三角形，， ，， 所以，，，，， 设（竖坐标为高）， ，， 因为，所以，解得， ，解得，， 结合几何体实际位置，即， 因为为中点，为中点，所以，， ， ，， 设平面的法向量， 所以，令，得， 所以， 所以， 所以直线与平面所成角的余弦值为． 8．如图，在矩形 中，，，为 的中点，把沿翻折至，为线段上的动点． (1)当为的中点时，证明：平面； (2)在翻折过程中，若在平面内的投影落在 边上，且三棱锥的各个顶点均在球 的球面上． （ⅰ）求球 的半径； （ⅱ）求平面与平面的夹角的最小值． 【答案】(1)证明：如图， 取 的中点，连接，， 由题意知，四边形是平行四边形，所以． ∵平面，∴平面． ∵，分别为 ，的中点，∴． 又∵平面，平面， ∴平面，又，所以平面平面， ∵平面，∴平面． (2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）构造线线平行，利用线面平行的判定定理证明线面平行. （2）建立空间直角坐标系，利用外接球的概念，结合空间两点间的距离公式可求三棱锥外接球的半径；利用空间向量可求平面与平面的夹角的余弦，再结合余弦函数的性质，可得夹角的最小值. 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）过作于，连接， ∵在平面内的投影在 边上，∴平面， 又平面，即， 又，故平面，即． ∵，，， ∴，． 又，所以，则， 以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，， 设三棱锥外接球的球心为点，外接球半径为， 因为点，，，均在球 的球面上，所以， 解得， 则三棱锥外接球的半径为． （ⅱ）解：由（ⅰ），可得，， 设平面的一个法向量为， 则即， 可取． 因为，C为线段上的动点， 可设，则， 即，， 设平面的一个法向量为， 则即， 可取， 设平面与平面的夹角为，则， 当时，，为最大值； 当时，， 故时，取到最大值，即平面与平面的夹角的最小值为． 9．如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，，，，点为的中点，过点作平面∥平面，且交于点． (1)求的值； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知的面面平行，得到相应的线面平行和线线平行，通过平行线分线段成比例的性质求解的值. （2）以与的交点为原点，建立空间直角坐标系，向量法求两个平面夹角的余弦值. 【详解】（1）设平面，连接，，，则平面即为平面，平面平面. 所以平面，平面. 因为平面，平面平面，所以. 因为点为的中点，所以为的中点. 因为平面，平面，平面平面， 所以. 又因为点为的中点，所以点为的中点，即. （2）取与的交点为点，连接. 因为，为的中点，所以； 因为，点是的中点，所以. 因为四边形是菱形，所以. 设，因为，所以， 则，即， 解得，所以，，. 以点为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，. 设平面的法向量为， 则取，，，得. 设平面的法向量为， 则取，，，得. 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 10．如图，在以顶点的五面体中，四边形是矩形，平面平面，． (1)证明：平面； (2)已知二面角是，，点到平面的距离为． ①求； ②在棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②存在， 【分析】（1）作，由面面垂直的性质定理得到面，进而得出，结合，证得平面；（2）①建立空间直角坐标系，根据点到面的距离公式，求出，②求面和面的法向量，根据二面角的向量公式求出的值. 【详解】（1）过点作的垂线，设垂足为，即有， 因为，面， 面面，面面， 所以面， 又因为面，所以， 因为四边形是矩形，所以， 所以， 因为，， ，面，面， 所以面. （2）因为面，面， 所以，又因为， 所以是二面角的平面角，即， 所以可以以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 由已知得，，设，，则，， 且由得， ①设面的法向量为，则有 即有 令，则，， 所以， 又，所以点到平面的距离. 即，又因为， 所以可解得，因此； ②设，则， 即有，且， 设面的法向量为，则有 即有 令，则，， 即， 由已知是面的一个法向量， 所以， 解得． 11．在四棱锥中，平面平面，是线段的中点. (1)证明：. (2)若二面角的平面角的正弦值为. ①求线段的长； ②若为线段的中点，点在线段上，是否存在实数，使得当时，平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②存在实数 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理得出线面垂直，再应用线面垂直的定义得出线线垂直； （2）①根据题意，建立恰当的空间直角坐标系，先求出平面与平面的法向量，再根据求平面与平面夹角余弦公式计算求解参数；②计算得出，进而得出，再应用线面平行的向量关系列式求解. 【详解】（1）证明：在中，是线段的中点，. ∵平面平面，平面平面平面平面. 又平面. （2）解：①取的中点，连接，则，由（1）可知，平面. 平面，即两两互相垂直. 以点为坐标原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设， 则. 设平面的法向量为， 则即令，则. 设平面的法向量为， 则即令，则. . 设二面角的平面角为， 则. ，解得，即. ②假设实数存在，设点，则. 由，得则 由，得，则， 由（1）知平面的一个法向量. 由平面，得，解得. ∴存在实数，使得当时，平面. 12．如图，在正三棱柱中，点满足，其中，. (1)是否存在使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (2)当时，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)存在， (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据线面垂直证明线线垂直，再结合向量的数量积进行求解； （2）将二面角转化为两个平面的法向量的夹角进而求解. 【详解】（1）在正三棱柱中，分别取的中点，连接，， 则，，， 以为坐标原点，向量的方向分别为，，轴的正方向, 建立如图所示的空间直角坐标系， ， 则，，，， 所以，， 因为底面，底面， 所以，所以， 若，则， 解得，故存在，使得. （2）当时，则，，，， 所以，，，， 设平面的一个法向量为， 则，得， 令，则， 设平面的一个法向量为， 则，代入可得， 令，则， 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面的夹角的余弦值为. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $