暑期预习讲义（第11讲）——二次函数的解析式三种形式（知识梳理+题型精析+同步自测）- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

暑期预习讲义（第11讲）——二次函数的解析式三种形式（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.预习目标与填空 1 预习目标 1 预习重难点 2 课本原文预习填空 2 二.教材知识梳理解读 3 【知识点一】二次函数一般式 3 【知识点二】二次函数顶点式 3 【知识点三】二次函数交点式（零点式） 3 【知识点四】三种解析式适用场景与互换技巧 4 三.经典题型精析（基础夯实） 4 【题型 1】识别二次函数解析式、判断参数取值 4 【题型 2】利用一般式求二次函数解析式 5 【题型 3】利用顶点式求二次函数解析式 5 【题型 4】利用交点式求二次函数解析式 6 【题型 5】三种解析式基础互换 7 四.经典题型精析（综合提升） 8 【题型 6】根据几何条件综合求解析式 8 五.同步自测 10 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 10 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 12 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 13 一.预习目标与填空 预习目标 1. 熟练掌握二次函数一般式、顶点式、交点式三种解析式的定义、形式及参数含义，明确各形式的适用条件。 2. 掌握三种解析式之间的相互转化方法，能根据题目已知条件灵活选择最优解析式求解。 3. 学会利用待定系数法，结合点坐标、顶点坐标、与x轴交点坐标等条件求二次函数解析式。 4. 能结合二次函数解析式分析函数的顶点、对称轴、最值、与坐标轴交点等核心性质，解决基础计算与简单综合问题。 预习重难点 重点：三种二次函数解析式的标准形式、参数意义；待定系数法求解析式的基本步骤；根据已知条件选择合适的解析式形式。 难点：三种解析式的灵活互换；复杂条件下最优解析式的选择；含参数二次函数的解析式求解与取值分析。 课本原文预习填空 结合课本自主填空，夯实概念，扫清预习盲区 请结合课本自主完成填空，夯实概念，扫清预习基础障碍。 1. 二次函数的一般式：____________________（其中a、b、c为常数，且______≠0）。 2. 一般式中，参数___决定抛物线的开口方向和开口大小，___、___影响抛物线的位置。 3. 二次函数的顶点式：_________________（其中a≠0），抛物线的顶点坐标为__________，对称轴为直线__________。 4. 二次函数的交点式（零点式）：____________________（其中a≠0），仅适用于抛物线与x轴有______个交点的情况，两个交点坐标分别为__________、__________。 5. 已知二次函数顶点坐标和任意一点坐标，优先选择__________求解析式；已知函数图像与x轴两个交点，优先选择__________求解析式；已知任意三个点坐标，优先选择__________求解析式。 6. 顶点式化为一般式的核心方法是__________，交点式化为一般式需要先展开化简。 7. 若抛物线顶点在x轴上，则二次函数可简写为__________（顶点式特殊形式）。 预习填空参考答案 1. ；a 2. a；b；c 3. ；（h，k）； 4. ；两；； 5. 顶点式；交点式；一般式 6. 完全平方公式展开 7. 二.教材知识梳理解读 【知识点一】二次函数一般式 1. 标准形式：（a、b、c为常数，） 2. 参数核心含义 a：二次项系数，决定抛物线开口方向与开口大小。开口向上，函数有最小值；开口向下，函数有最大值；|a|越大，抛物线开口越窄。 b：一次项系数，与a共同决定抛物线对称轴位置，对称轴公式：。 c：常数项，决定抛物线与y轴交点，抛物线恒过点。 3. 适用场景：已知二次函数图像上任意三个不共线的点的坐标，通过代入列三元一次方程组求解解析式。 4. 易错警示：求解时必须保证，若a=0，函数退化为一次函数，不再是二次函数。 【知识点二】二次函数顶点式 1. 标准形式：（a、h、k为常数，） 2. 核心几何性质 顶点坐标：，直接决定抛物线的最值，为抛物线对称轴。 最值规律：时，，；时，，。 3. 特殊形式 顶点在原点：；顶点在y轴上：；顶点在x轴上：。 4. 适用场景：已知顶点坐标、对称轴、函数最值、极值点等条件，搭配任意一个函数图像上的点，即可快速求解解析式，计算量远小于一般式。 【知识点三】二次函数交点式（零点式） 1. 标准形式：（a为常数，） 2. 参数含义：是抛物线与x轴两个交点的横坐标，即抛物线与x轴交于、两点。 3. 适用前提：二次函数图像与x轴有两个不相等的实数交点，即一元二次方程判别式。若，无法使用交点式。 4. 核心推论：两个交点的横坐标满足韦达定理：，，可用于快速求值、化简比例。 【知识点四】三种解析式适用场景与互换技巧 1. 最优选择口诀：三点通用一般式，顶点最值用顶点式，两交x轴用交点式。 2. 互换方法 顶点式、交点式→一般式：通过整式乘法展开、合并同类项化简即可。 一般式→顶点式：通过配方完成，步骤：提二次项系数→配一次项系数一半的平方→整理化简。 一般式→交点式：先令y=0，解一元二次方程求出，再代入交点式即可。 3. 核心解题原则：做题优先观察已知条件，优先选用最简解析式，减少计算量，降低出错概率。 三.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】识别二次函数解析式、判断参数取值 核心考点：二次函数定义辨析、三种解析式的形式识别、参数取值范围判断 【例题1】（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）已知函数． （1）若这个函数是一次函数，且点，在一次函数上，求，的值； （2）若这个函数是二次函数，则满足的条件为______． 【变式1】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·安徽安庆·期末）若函数是关于x的二次函数，则a的值为_____． 【变式3】（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）已知函数是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）写出二次项系数、一次项系数及常数项． 思路总结：判断二次函数紧抓三个条件：整式形式、自变量最高次数为2、二次项系数不为0；快速区分三种解析式，可根据式子结构直接判定。 【题型 2】利用一般式求二次函数解析式 核心考点：三点代入法、待定系数法解三元一次方程组 【例题2】（26-27九年级·上海·暑假作业）二次函数的图象经过三点，求该二次函数的解析式． 【变式1】（2026·广东广州·一模）抛物线经过点，，，则当时，y的值为（    ）． A．6 B．1 C．-1 D．-6 【变式2】（24-25九年级上·北京·期末）已知二次函数的图像经过点和．则这个二次函数的解析式为_____． 【变式3】（25-26九年级上·安徽六安·期中）已知抛物线经过点和． （1）求b，c的值； （2）判断点是否在这个抛物线上，并说明理由． 思路总结：任意三点求解析式首选一般式，步骤：设式→代点→列方程组→求解系数→回代写解析式，注意检验计算结果。 【题型 3】利用顶点式求二次函数解析式 核心考点：顶点坐标、对称轴、最值条件下的解析式求解 【例题3】（25-26九年级上·广东江门·期中）已知抛物线过点，顶点是，求此抛物线的解析式． 【变式1】（专题07待定系数法求二次函数的解析式-2021-2022学年九年级数学下册链接教材精准变式练（北师大版））已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0）的图象过点A（0，1）、B（8，2），则h的值可以是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，二次函数的图像与x轴相交于A、B两点，点A在点B左侧，顶点在的边上移动，轴，轴，M点坐标为，，．若在抛物线移动过程中，点B横坐标的最大值为3，则的最大值是_____________． 【变式3】（25-26九年级上·甘肃庆阳·期中）已知抛物线的顶点坐标为，且经过点，求该抛物线的解析式． 思路总结：已知顶点、对称轴、最值，优先用顶点式，只需求解一个参数a，计算简便，是此类题型最优解法。 【题型 4】利用交点式求二次函数解析式 核心考点：利用抛物线与x轴交点坐标求解析式 【例题4】（26-27九年级·上海·暑假作业）已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，求抛物线的解析式． 【变式1】（2024·辽宁·模拟预测）如图，根据坐标系中所绘制的图象及相关数据可知该抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025九年级·全国·专题练习）若抛物线与轴的两个交点的坐标分别为，，其形状与抛物线相同，则该抛物线的表达式为_________________． 【变式3】（25-26九年级下·甘肃武威·开学考试）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点，其对称轴与x轴相交于点M．求抛物线的解析式和对称轴、顶点坐标． 思路总结：已知两个x轴交点，直接选用交点式，仅需计算参数a，大幅简化计算，注意交点式仅适用于与x轴有两个交点的二次函数。 【题型 5】三种解析式基础互换 核心考点：解析式展开、配方化简，掌握互化核心方法 【例题5】（25-26九年级下·全国·课后作业）求下列抛物线的二次函数的表达式： （1）抛物线的顶点在原点，且抛物线经过点； （2）抛物线的顶点坐标为，且抛物线经过点； （3）抛物线经过三点：． 【变式1】（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，抛物线y11与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知，则以下结论： ①两抛物线的顶点关于原点对称； ②； ③； ④． 其中正确结论是（     ） A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 【变式2】（25-26九年级上·安徽滁州·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线恰好经过和两点． （1）求a的值___________； （2）平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值___________． 【变式3】（25-26九年级上·山东淄博·期末）已知二次函数的图象经过三点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）求出该二次函数图象的顶点坐标． 思路总结：顶点式、交点式转一般式直接展开合并；一般式转顶点式用配方法；一般式转交点式先解方程求零点，再代入交点式。 四.经典题型精析（综合提升） 【题型 6】根据几何条件综合求解析式 核心考点：结合对称轴、最值、交点、线段长度等综合条件选解析式 【例题6】（2026·安徽·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知横坐标分别为，的两个动点，均在线段上，且，当时，求的值； （3）若点是抛物线的段上一个动点，过点分别作轴和轴的垂线与直线相交于，两点，记，点的横坐标为，求关于的函数表达式，并求的最大值． 【变式1】（25-26九年级上·河北沧州·期中）用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）如图，在中，，．设直线截这个三角形所得的涂色部分的面积为，则与之间的函数解析式为______． 【变式3】（2025·山东泰安·三模）如图，抛物线经过、、三点，点为抛物线上第一象限内的一个动点，交于点E． （1）求抛物线所对应的函数表达式；直接写出直线的表达式； （2）当时，求点D的坐标； （3）以为对角线，作菱形，使点N在的右边，且，求点N与y轴的最大距离． 五.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·河北唐山·期末）若抛物线经过点，则b的值是（   ） A． B． C．3 D．2 2．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）若二次函数满足，则其图象必经过点（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期中）已知抛物线与抛物线的形状、开口方向相同，且该抛物线最高点的函数值为1，则抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·贵州铜仁·模拟预测）将抛物线的图象向左平移个单位后，所得抛物线经过点，则等于（     ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·上海·单元测试）已知二次函数的与的部分对应值如下表，则下列判断中正确的是（   ） x … 0 1 2 … y … 1 3 1 … A．抛物线开口向上 B．抛物线与轴交于负半轴 C．当时， D． 6．（2024·陕西宝鸡·二模）已知二次函数（a、b、c为常数，且a≠0）中，y与x的部分对应值如下表所示，则下列结论正确的是（    ） x … 0 1 2 … y … m … A． B．该二次函数图象开口向上 C． D．m的值为 7．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点为抛物线的顶点．若直线．交直线于点，且为线段的中点，则的值为（    ）    A．1 B． C．2 D． 8．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，已知抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，下列结论不正确的是（    ） A．抛物线的对称轴为直线 B．若，则 C．y的最大值为1 D．若轴交抛物线于点D，则 9．（24-25九年级上·湖北咸宁·期中）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．若互异二次函数的对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），则这个互异二次函数的二次项系数是（    ） A． B． C．1 D．﹣1 10．（2026·山东聊城·模拟预测）某科技公司在研究一种烤箱时发现，在特定条件下，食品成熟后，被烤的某种食品的上色率与加工时间（单位：分钟）满足函数关系式（，，，是常数），已知上色率越高，该食品的颜色越漂亮，根据上述函数关系式和如图所示的实验数据，可以得到食品成熟以后的最佳加工时间为（　　） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级上·安徽六安·期中）某抛物线开口向下，对称轴是轴，且经过点，请写出一个符合上述条件的函数表达式：________． 12．（25-26九年级上·福建福州·期中）若抛物线经过点，则___________ 13．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）抛物线与轴交于点，过点的直线轴，且与抛物线的另一交点为，则此抛物线的解析式为______． 14．（25-26九年级下·全国·课后作业）小刚在用描点法画抛物线时，列出了下面的表格：请根据表格中的信息，写出抛物线的解析式：__． 0 1 2 3 4 3 6 7 6 3 15．（25-26九年级上·北京·期中）已知抛物线经过点，那么该抛物线的对称轴是直线__________． 16．（25-26九年级上·福建南平·期中）若二次函数（）的x与y的部分对应值如下表：则当时，y的值为______________． x 0 1 2 3 y 14 7 2 17．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图，四边形是边长为的正方形，点在轴上，点，在抛物线上，则的值为____________． 18．（24-25九年级上·吉林·阶段检测）如图，已知二次函数的图象经过，两点，设二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接，，则的面积为__________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知抛物线的顶点坐标为，求此抛物线的函数表达式． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）已知二次函数（t为常数）． （1）若二次函数图象经过原点，求t的值． （2）已知点，在该二次函数图象上，若，，试比较m，n的大小关系． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·四川南充·期末）已知二次函数图像的对称轴为，并经过，两点．求这个函数的最小值． 22．（本小题满分10分）（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）如图，一个二次函数的图象经过三点，点的坐标为，点的坐标为，点在轴的正半轴上，且． （1）求点的坐标； （2）这个二次函数的解析式． 23．（本小题满分10分）（25-26九年级上·广东江门·阶段检测）如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点．求抛物线解析式及顶点坐标． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点． （1）求抛物线的关系式及顶点； （2）当时；直接写出的取值范围________； （3）将该函数图像沿轴翻折，所得图像的函数表达式为________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第11讲）——二次函数的解析式三种形式（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.预习目标与填空 1 预习目标 1 预习重难点 2 课本原文预习填空 2 二.教材知识梳理解读 3 【知识点一】二次函数一般式 3 【知识点二】二次函数顶点式 3 【知识点三】二次函数交点式（零点式） 3 【知识点四】三种解析式适用场景与互换技巧 4 三.经典题型精析（基础夯实） 4 【题型 1】识别二次函数解析式、判断参数取值 4 【题型 2】利用一般式求二次函数解析式 6 【题型 3】利用顶点式求二次函数解析式 9 【题型 4】利用交点式求二次函数解析式 11 【题型 5】三种解析式基础互换 14 四.经典题型精析（综合提升） 18 【题型 6】根据几何条件综合求解析式 18 五.同步自测 24 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 24 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 32 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 36 一.预习目标与填空 预习目标 1. 熟练掌握二次函数一般式、顶点式、交点式三种解析式的定义、形式及参数含义，明确各形式的适用条件。 2. 掌握三种解析式之间的相互转化方法，能根据题目已知条件灵活选择最优解析式求解。 3. 学会利用待定系数法，结合点坐标、顶点坐标、与x轴交点坐标等条件求二次函数解析式。 4. 能结合二次函数解析式分析函数的顶点、对称轴、最值、与坐标轴交点等核心性质，解决基础计算与简单综合问题。 预习重难点 重点：三种二次函数解析式的标准形式、参数意义；待定系数法求解析式的基本步骤；根据已知条件选择合适的解析式形式。 难点：三种解析式的灵活互换；复杂条件下最优解析式的选择；含参数二次函数的解析式求解与取值分析。 课本原文预习填空 结合课本自主填空，夯实概念，扫清预习盲区 请结合课本自主完成填空，夯实概念，扫清预习基础障碍。 1. 二次函数的一般式：____________________（其中a、b、c为常数，且______≠0）。 2. 一般式中，参数___决定抛物线的开口方向和开口大小，___、___影响抛物线的位置。 3. 二次函数的顶点式：_________________（其中a≠0），抛物线的顶点坐标为__________，对称轴为直线__________。 4. 二次函数的交点式（零点式）：____________________（其中a≠0），仅适用于抛物线与x轴有______个交点的情况，两个交点坐标分别为__________、__________。 5. 已知二次函数顶点坐标和任意一点坐标，优先选择__________求解析式；已知函数图像与x轴两个交点，优先选择__________求解析式；已知任意三个点坐标，优先选择__________求解析式。 6. 顶点式化为一般式的核心方法是__________，交点式化为一般式需要先展开化简。 7. 若抛物线顶点在x轴上，则二次函数可简写为__________（顶点式特殊形式）。 预习填空参考答案 1. ；a 2. a；b；c 3. ；（h，k）； 4. ；两；； 5. 顶点式；交点式；一般式 6. 完全平方公式展开 7. 二.教材知识梳理解读 【知识点一】二次函数一般式 1. 标准形式：（a、b、c为常数，） 2. 参数核心含义 a：二次项系数，决定抛物线开口方向与开口大小。开口向上，函数有最小值；开口向下，函数有最大值；|a|越大，抛物线开口越窄。 b：一次项系数，与a共同决定抛物线对称轴位置，对称轴公式：。 c：常数项，决定抛物线与y轴交点，抛物线恒过点。 3. 适用场景：已知二次函数图像上任意三个不共线的点的坐标，通过代入列三元一次方程组求解解析式。 4. 易错警示：求解时必须保证，若a=0，函数退化为一次函数，不再是二次函数。 【知识点二】二次函数顶点式 1. 标准形式：（a、h、k为常数，） 2. 核心几何性质 顶点坐标：，直接决定抛物线的最值，为抛物线对称轴。 最值规律：时，，；时，，。 3. 特殊形式 顶点在原点：；顶点在y轴上：；顶点在x轴上：。 4. 适用场景：已知顶点坐标、对称轴、函数最值、极值点等条件，搭配任意一个函数图像上的点，即可快速求解解析式，计算量远小于一般式。 【知识点三】二次函数交点式（零点式） 1. 标准形式：（a为常数，） 2. 参数含义：是抛物线与x轴两个交点的横坐标，即抛物线与x轴交于、两点。 3. 适用前提：二次函数图像与x轴有两个不相等的实数交点，即一元二次方程判别式。若，无法使用交点式。 4. 核心推论：两个交点的横坐标满足韦达定理：，，可用于快速求值、化简比例。 【知识点四】三种解析式适用场景与互换技巧 1. 最优选择口诀：三点通用一般式，顶点最值用顶点式，两交x轴用交点式。 2. 互换方法 顶点式、交点式→一般式：通过整式乘法展开、合并同类项化简即可。 一般式→顶点式：通过配方完成，步骤：提二次项系数→配一次项系数一半的平方→整理化简。 一般式→交点式：先令y=0，解一元二次方程求出，再代入交点式即可。 3. 核心解题原则：做题优先观察已知条件，优先选用最简解析式，减少计算量，降低出错概率。 三.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】识别二次函数解析式、判断参数取值 核心考点：二次函数定义辨析、三种解析式的形式识别、参数取值范围判断 【例题1】（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）已知函数． （1）若这个函数是一次函数，且点，在一次函数上，求，的值； （2）若这个函数是二次函数，则满足的条件为______． 【答案】（1）；（2）且 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，二次函数的定义，求一次函数值， 对于（1），根据一次函数的定义可得且，再求出m的值，然后将点B的坐标代入关系式可得n； 对于（2），根据二次函数的定义可得求出解即可． 解：（1）解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得， ∴一次函数. ∵点在一次函数的图象上， ∴， 解得； （2）解：∵函数是二次函数， ∴ ∴且． 故答案为：且． 【变式1】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义（形如）判断各选项，即可 解：∵二次函数需满足整式且最高次数为2，， A、为一次函数，不符合题意； B、是反比例函数，不符合题意； C、二次函数，符合题意； D、为一次函数，不符合题意； 故选：C 【变式2】（25-26九年级上·安徽安庆·期末）若函数是关于x的二次函数，则a的值为_____． 【答案】0或 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义可知且，从而解得a的值即可． 解：∵函数是关于x的二次函数， ∴且， ∴且， 即且， ∴或． 故答案为：0或． 【变式3】（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）已知函数是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】（1）；（2）二次项系数是12，一次项系数是0，常数项是 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，二次函数一般式是解决本题的关键． （1）根据二次函数的定义，即列式求解即可； （2）根据二次函数一般式判定即可． （1）解：根据二次函数的定义得， 由得， 由得且， ∴． （2）解：由（1）得：二次函数解析式为， 故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为． 思路总结：判断二次函数紧抓三个条件：整式形式、自变量最高次数为2、二次项系数不为0；快速区分三种解析式，可根据式子结构直接判定。 【题型 2】利用一般式求二次函数解析式 核心考点：三点代入法、待定系数法解三元一次方程组 【例题2】（26-27九年级·上海·暑假作业）二次函数的图象经过三点，求该二次函数的解析式． 【答案】 【分析】设二次函数一般式，将三点坐标代入构建三元一次方程组，解出后代回解析式． 解：设该二次函数的解析式为. 将三点坐标分别代入，得 ， 解得， 故该二次函数的解析式为. 【变式1】（2026·广东广州·一模）抛物线经过点，，，则当时，y的值为（    ）． A．6 B．1 C．-1 D．-6 【答案】D 【分析】把点，，代入二次函数解析式进行求解，然后问题可求解． 解：由题意可得：， 解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，则； 故选D． 【点拨】本题主要考查待定系数法求解二次函数解析式，熟练掌握利用待定系数法求解函数解析式是解题的关键． 【变式2】（24-25九年级上·北京·期末）已知二次函数的图像经过点和．则这个二次函数的解析式为_____． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求解二次函数解析式，将点和代入得到三元一次方程组，再解方程组求解即可． 解：∵二次函数的图像经过点和． ∴将点和代入， 则，解得 ∴二次函数解析式为 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·安徽六安·期中）已知抛物线经过点和． （1）求b，c的值； （2）判断点是否在这个抛物线上，并说明理由． 【答案】（1），；（2）点不在这个抛物线上，理由见分析 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式；熟练掌握待定系数法是解题的关键； （1）将点和代入函数中得出二元一次方程组，即可解答； （2）当时，代入解析式得，即可判断． （1）解：点和在函数图象上，． 解得：． （2）解：由（1）得抛物线为， 当时，． 点不在此函数图象上． 思路总结：任意三点求解析式首选一般式，步骤：设式→代点→列方程组→求解系数→回代写解析式，注意检验计算结果。 【题型 3】利用顶点式求二次函数解析式 核心考点：顶点坐标、对称轴、最值条件下的解析式求解 【例题3】（25-26九年级上·广东江门·期中）已知抛物线过点，顶点是，求此抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求抛物线解析式，设抛物线解析式为，把点代入，求出a值即可． 解：设抛物线解析式为：， 把点代入， 得：， 解得：， 故抛物线解析式为． 【变式1】（专题07待定系数法求二次函数的解析式-2021-2022学年九年级数学下册链接教材精准变式练（北师大版））已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0）的图象过点A（0，1）、B（8，2），则h的值可以是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】先利用待定系数法解题，再结合加减消元法解二元一次方程组，最后根据a＞0解不等式即可． 解：把A（0，1）、B（8，2）分别代入y=a（x﹣h）2+k（a＞0）得 ， ②﹣①得64a﹣16ah=1， 解得＞0， 所以h＜4． 故选：A． 【点拨】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，涉及加减消元法解二元一次方程组、不等式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 【变式2】（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，二次函数的图像与x轴相交于A、B两点，点A在点B左侧，顶点在的边上移动，轴，轴，M点坐标为，，．若在抛物线移动过程中，点B横坐标的最大值为3，则的最大值是_____________． 【答案】23 【分析】先求出N，R的坐标，观察图形可知，当顶点在R处时，点B的横坐标为3，由此求出a值，当时，当顶点在M处时取最大值，据此可解． 解：，，， ，， 由题意可知，当顶点在R处时，点B的横坐标为3， 则抛物线的解析式为， 将点B坐标代入上式得，， 解得，， 当时，， 观察图形可知，顶点在M处时，取最大值， 此时抛物线的解析式为：， 将代入得，． 【变式3】（25-26九年级上·甘肃庆阳·期中）已知抛物线的顶点坐标为，且经过点，求该抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意，不妨设，然后代入，解出答案即可． 解： ∵抛物线的顶点坐标为，且经过点， ∴不妨设， 代入，得， 解得， ∴该抛物线的解析式为； 思路总结：已知顶点、对称轴、最值，优先用顶点式，只需求解一个参数a，计算简便，是此类题型最优解法。 【题型 4】利用交点式求二次函数解析式 核心考点：利用抛物线与x轴交点坐标求解析式 【例题4】（26-27九年级·上海·暑假作业）已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】先利用抛物线对称轴求出点的对称点，得到抛物线与轴两个交点，设交点式解析式；将点坐标代入求出的值，再展开整理为一般式． 解：解:点关于直线的对称点是， 设抛物线的解析式为. 把点的坐标代入解析式，得 ， 解得. 抛物线的解析式为. 【变式1】（2024·辽宁·模拟预测）如图，根据坐标系中所绘制的图象及相关数据可知该抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，交点式：是常数，，解题的关键是数形结合． 求出，设其解析式为交点式得到，代入求解即可判断． 解：由图象可知抛物线开口向上，且与轴的交点为， 根据图象夹角为， ∴， ∵对称轴为， ∴， ∴设抛物线的解析式为， 将代入可得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 故选：C． 【变式2】（2025九年级·全国·专题练习）若抛物线与轴的两个交点的坐标分别为，，其形状与抛物线相同，则该抛物线的表达式为_________________． 【答案】或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，灵活运用待定系数法求二次函数解析式是解题关键． 根据抛物线形状相同则的值相同，再将交点坐标代入交点式求出表达式即可． 解：∵抛物线与轴的两个交点为，， ∴设抛物线解析式为 ． ∵其形状与抛物线相同， ∴， 即或． 当时，； 当时，． ∴该抛物线的表达式为或． 故答案为：或． 【变式3】（25-26九年级下·甘肃武威·开学考试）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点，其对称轴与x轴相交于点M．求抛物线的解析式和对称轴、顶点坐标． 【答案】，对称轴为，顶点坐标为 【分析】抛物线经过点、，可利用两点式法设抛物线的解析式为，代入即可求得函数的解析式，进而即可求得抛物线的对称轴和顶点． 解：∵抛物线与轴交于、， ∴设解析式为 将点代入解析式得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线与轴的两个交点为、， ∴对称轴为， 当时， ， ∴顶点坐标为． 思路总结：已知两个x轴交点，直接选用交点式，仅需计算参数a，大幅简化计算，注意交点式仅适用于与x轴有两个交点的二次函数。 【题型 5】三种解析式基础互换 核心考点：解析式展开、配方化简，掌握互化核心方法 【例题5】（25-26九年级下·全国·课后作业）求下列抛物线的二次函数的表达式： （1）抛物线的顶点在原点，且抛物线经过点； （2）抛物线的顶点坐标为，且抛物线经过点； （3）抛物线经过三点：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题根据不同已知条件选择合适的设法求二次函数表达式．顶点在原点时设最简形式，代入已知点求系数即可；已知顶点坐标时，用顶点式设解析式，代入点求系数后整理为一般式；已知三个普通点时，设一般式，代入点坐标列方程组求解系数． 解：（1）解：因为抛物线顶点在原点，设二次函数表达式为． 将点代入表达式得． 解得． 因此二次函数表达式为． （2）解：因为抛物线顶点坐标为， 设二次函数表达式为． 将点代入表达式得． 解得． 展开整理得． 因此二次函数表达式为． （3）解：设二次函数表达式为． 将分别代入表达式 得 把代入后两个方程，得到 解得 因此二次函数表达式为． 【变式1】（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，抛物线y11与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知，则以下结论： ①两抛物线的顶点关于原点对称； ②； ③； ④． 其中正确结论是（     ） A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 【答案】B 【分析】根据抛物线顶点式确定顶点坐标，利用抛物线的轴对称性求出点的坐标，代入解析式求及、坐标，逐一判断即可． 解：由得顶点为，由得顶点为（−3,−1），两点关于原点对称，故①正确； ∵，抛物线对称轴为直线，点、关于直线对称， ∴点A的横坐标为，即，故②错误； 把代入得，解得， ∵抛物线对称轴为直线，点A、C关于直线对称， ∴点C的横坐标为，即，故③正确； 令，则，， ∴，故④错误； 综上所述，正确的结论是①③． 【变式2】（25-26九年级上·安徽滁州·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线恰好经过和两点． （1）求a的值___________； （2）平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值___________． 【答案】 -1 【分析】（1）将A，C两点的坐标代入，即可求解； （2）由（1）知，抛物线的解析式为：y=-x2+2x+1，设平移后所得抛物线对应的表达式为，因为顶点在直线上，得到．令，得平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标为z=．化成顶点式，利用二次函数的性质，可知此抛物线与y轴交点的纵坐标取得最大值，最大值为． 解：（1）将A，C两点的坐标代入， 得 解得：，； 故a的值为-1 故答案为：-1． （2）由（1）知，抛物线的解析式为：y=-x2+2x+1， 设平移后所得抛物线对应的表达式为， ∵顶点在直线上， ∴． 令，得平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标为． 设平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为z ∵z=， ∴当时，此抛物线与y轴交点的纵坐标取得最大值，最大值为． 故答案为： 【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，题目比较难． 【变式3】（25-26九年级上·山东淄博·期末）已知二次函数的图象经过三点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）求出该二次函数图象的顶点坐标． 【答案】（1）；（2）顶点坐标为 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． （1）把点A、B、C的坐标分别代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组即可； （2）把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标． （1）解：设该二次函数的表达式为，将分别代入中， 得，， 解得，， 所以，二次函数的表达式为； （2）解：二次函数的表达式化为顶点式， 所以，二次函数的图象的顶点坐标为． 思路总结：顶点式、交点式转一般式直接展开合并；一般式转顶点式用配方法；一般式转交点式先解方程求零点，再代入交点式。 四.经典题型精析（综合提升） 【题型 6】根据几何条件综合求解析式 核心考点：结合对称轴、最值、交点、线段长度等综合条件选解析式 【例题6】（2026·安徽·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知横坐标分别为，的两个动点，均在线段上，且，当时，求的值； （3）若点是抛物线的段上一个动点，过点分别作轴和轴的垂线与直线相交于，两点，记，点的横坐标为，求关于的函数表达式，并求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得直线的函数表达式为，结合，得出，，根据建立方程，解方程，即可求解； （3）设点，则点，，其中，证明得出，进而根据二次函数的性质求得最值，即可求解． （1）解：抛物线经过，两点， 可得， ∴，． ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵当时， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为，代入， 得， 解得：， ∴直线的函数表达式为，则，， ，． 当时，即， 解得； （3）解：如图， 设点，则点，，其中， 垂直于轴，交直线于点， ∵， ∴是等腰直角三角形，则， ∵过点分别作轴和轴的垂线与直线相交于，两点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ，即， ， 的最大值为． 【变式1】（25-26九年级上·河北沧州·期中）用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意得米，进而根据矩形的面积公式解答即可求解，正确识图是解题的关键． 解：由题意得，米， ∴， 故选：． 【变式2】（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）如图，在中，，．设直线截这个三角形所得的涂色部分的面积为，则与之间的函数解析式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查的是二次函数的应用，解题的关键是能够找到题目中的有关面积的等量关系，难度不大． 先证明，然后根据三角形的面积公式可求的面积，解答出与之间的函数关系式． 解：如图所示， ∵中，，且， ， ， ， ， ， ， ， 即． 故答案为：． 【变式3】（2025·山东泰安·三模）如图，抛物线经过、、三点，点为抛物线上第一象限内的一个动点，交于点E． （1）求抛物线所对应的函数表达式；直接写出直线的表达式； （2）当时，求点D的坐标； （3）以为对角线，作菱形，使点N在的右边，且，求点N与y轴的最大距离． 【答案】（1）；（2）；（3）9 【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式和直线的解析式； （2）由题意得，再由两点间距离公式可得，根据，建立方程求解即可得出答案； （3）设与交于点，由题意得，，根据菱形性质可得，，进而可得，，根据解直角三角形可得，得出点的横坐标为，再运用二次函数的性质可得答案． 解：（1）抛物线经过、、三点， ， 解得：， 该抛物线的解析式为； 设直线的解析式为，把、代入得： ， 解得：， 直线的解析式为； （2）点为抛物线上第一象限内的一个动点， ， 交于点， ， ， 由两点间距离公式得：， ， ， 解得：（舍去）或， ； （3）如图，设与交于点， 四边形是菱形， ，， ，， ， ， 在中，， ， 点的横坐标为， ， 当时，点的横坐标的最大值为9， 即点与轴的最大距离为9． 【点拨】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数和二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，锐角三角函数的定义，两点间距离公式的应用等，第（3）问得出点的横坐标为是解题关键． 五.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·河北唐山·期末）若抛物线经过点，则b的值是（   ） A． B． C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质． 将点代入抛物线方程，解关于b的方程即可． 解：∵抛物线经过点， ∴， 即， 解得． 故选：D． 2．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）若二次函数满足，则其图象必经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，函数图象上的点满足函数函数解析式． 解：A、把代入，得到，则，不满足，该选项不符合题意； B、把代入，得到，满足，所以该点在函数图象上，该选项符合题意； C、把代入，得到，则，不满足，该选项不符合题意； D、把代入，得到，则，不满足，该选项不符合题意； 故选：B． 3．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期中）已知抛物线与抛物线的形状、开口方向相同，且该抛物线最高点的函数值为1，则抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，解题关键在于用待定系数法列方程来求解．根据两抛物线的形状、开口方向相同可知，a相同，求出a，再根据顶点坐标即可求出m． 解：抛物线与抛物线的形状、开口方向相同， ， ， 该抛物线最高点的函数值为1， ， 解得：， 抛物线的解析式为， 故选：． 4．（2024·贵州铜仁·模拟预测）将抛物线的图象向左平移个单位后，所得抛物线经过点，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线平移规律得到平移后的解析式，代入已知点坐标列方程求解的值即可． 解：将抛物线向左平移个单位后，所得解析式为， 将代入解析式，得，解得． 5．（24-25九年级上·上海·单元测试）已知二次函数的与的部分对应值如下表，则下列判断中正确的是（   ） x … 0 1 2 … y … 1 3 1 … A．抛物线开口向上 B．抛物线与轴交于负半轴 C．当时， D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的开口方向，与坐标轴的交点，以及二次函数的增减性对各选项分析判断后利用排除法求解． 解：由表格可知该二次函数的对称轴为直线，则设抛物线解析式为，把点代入得：， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴，开口向下，当时，，与y轴交于正半轴， 当时，y随x的增大而减小，且，所以； 综上所述C选项正确； 故选C． 【点拨】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 6．（2024·陕西宝鸡·二模）已知二次函数（a、b、c为常数，且a≠0）中，y与x的部分对应值如下表所示，则下列结论正确的是（    ） x … 0 1 2 … y … m … A． B．该二次函数图象开口向上 C． D．m的值为 【答案】C 【分析】先在表格中选取三个点代入中，求出抛物线的表达式，可得，然后再根据二次函数的性质依次判断各选项即可得到正确答案． 本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的表达式，及二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 解：由表格可知抛物线经过，，， ， 解得，，， ∴抛物线的解析式为． ， ， 故A选项错误，不符合题意； ， ∴该二次函数图像开口向下， 故B选项错误，不符合题意； ，，， ， 故C选项正确，符合题意； 时，， ， 故D选项错误，不符合题意． 故选C． 7．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点为抛物线的顶点．若直线．交直线于点，且为线段的中点，则的值为（    ）    A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】求出抛物线对称轴为直线，易得，则，进而求出，用待定系数法求出直线的表达式为， 则，把代入，即可求出a的值． 解：∵抛物线表达式为， ∴对称轴为直线， 把代入得：， ∴， ∵轴， ∴点A和点M关于直线对称， ∴， ∵为线段的中点， ∴， 设直线的表达式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 把代入的：， ∴， 把代入得：， 解得：， 故选：C． 【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的对称性，以及用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤． 8．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，已知抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，下列结论不正确的是（    ） A．抛物线的对称轴为直线 B．若，则 C．y的最大值为1 D．若轴交抛物线于点D，则 【答案】B 【分析】从图象得到、、 ，结合抛物线对称性求对称轴、利用待定系数法求表达式、根据抛物线图象和性质逐项判定即可． 解：A、根据抛物线与x轴交于点、，可得出对称轴，该选项不符合题意； B、根据抛物线的对称轴为，开口向下可知： 当时，随增大而增大；当时，随增大而减小， 所以当，无法判断与的大小，该选项符合题意； C、根据抛物线与x轴交于点、， 可设交点式，再根据抛物线与y轴交于点， 代值求解得， 即抛物线表达式为， 当时，的最大值为1，该选项不符合题意； D、若轴交抛物线于点D，则、关于对称轴对称，从而得到，则，该选项不符合题意； 故选：B． 【点拨】本题考查二次函数的图象与性质，涉及到图象上点的对称性、待定系数法求表达式、二次函数增减性比较大小、二次函数最值等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决问题的关键． 9．（24-25九年级上·湖北咸宁·期中）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．若互异二次函数的对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），则这个互异二次函数的二次项系数是（    ） A． B． C．1 D．﹣1 【答案】B 【分析】根据函数的对称轴和互异二次函数的特点计算即可； 解：由题可知：此函数的横坐标与纵坐标互为相反数，且对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），设此函数为， ∴，解得：， ∴此函数的二次项系数为； 故选B． 【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，准确计算是解题的关键． 10．（2026·山东聊城·模拟预测）某科技公司在研究一种烤箱时发现，在特定条件下，食品成熟后，被烤的某种食品的上色率与加工时间（单位：分钟）满足函数关系式（，，，是常数），已知上色率越高，该食品的颜色越漂亮，根据上述函数关系式和如图所示的实验数据，可以得到食品成熟以后的最佳加工时间为（　　） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 【答案】C 【分析】先结合函数图象，利用待定系数法求出函数解析式，将解析式配方成顶点式后，利用二次函数的性质可得答案． 解：由题意知，函数经过点，，， ∴， 解得：， ， 当时，即，取得最大值， 最佳加工时间为分钟． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级上·安徽六安·期中）某抛物线开口向下，对称轴是轴，且经过点，请写出一个符合上述条件的函数表达式：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了抛物线的图象与性质，由对称轴为轴，可设二次函数为，由开口向下，得；代入点可得与的关系，从而写出表达式． 解：设抛物线解析式为， 抛物线开口向下， ， 又抛物线经过点， 代入得，即； 取，则， 解得， 函数表达式为， 故答案为：（答案不唯一）． 12．（25-26九年级上·福建福州·期中）若抛物线经过点，则___________ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．将点代入抛物线表达式，得到关于的方程，解一元一次方程即可． 解：因为抛物线经过， 则， 解得， 故答案为：． 13．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）抛物线与轴交于点，过点的直线轴，且与抛物线的另一交点为，则此抛物线的解析式为______． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式；由抛物线与y轴交于点可求出c的值；直线过点C且平行于x轴，故可求得直线与抛物线的另一交点D的坐标，代入抛物线方程可求出b的值，从而求得抛物线的解析式． 解：∵抛物线与y轴交于点， ∴当时，，即， 即， ∵过点的直线轴，且与抛物线的另一交点为， ∴, 即， ∵点D在抛物线上， ∴， ∴， 故抛物线解析式为． 故答案为：． 14．（25-26九年级下·全国·课后作业）小刚在用描点法画抛物线时，列出了下面的表格：请根据表格中的信息，写出抛物线的解析式：__． 0 1 2 3 4 3 6 7 6 3 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，准确熟练地进行计算是解题的关键．从表格中找三组，的对应值代入二次函数的表达式进行计算即可． 解：把，，代入中得， ， 解得：， 抛物线的解析式为：． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·北京·期中）已知抛物线经过点，那么该抛物线的对称轴是直线__________． 【答案】 【分析】本题考查了求抛物线的对称轴．抛物线的对称轴为，再根据已知条件，将代入抛物线解析式，即可，据此求解即可． 解：将代入抛物线解析式可得， ， 移项整理得， 该抛物线的对称轴是直线． 故答案为：． 16．（25-26九年级上·福建南平·期中）若二次函数（）的x与y的部分对应值如下表：则当时，y的值为______________． x 0 1 2 3 y 14 7 2 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数解析式． 求出二次函数解析式，将代入计算即可． 解：由表格可知，二次函数经过、、， 则， 解得：， 即， 当时，． 故答案为：． 17．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图，四边形是边长为的正方形，点在轴上，点，在抛物线上，则的值为____________． 【答案】 解：本题考查了正方形的性质，勾股定理，待定系数法求抛物线的解析式．先根据正方形的四条边都相等、四个角都是直角、对角线相等、对角线互相垂直且平分得出，，，，，根据勾股定理求出，求得，即可得出点的坐标，再将点的坐标代入，求出的值即可． 【点拨】解：连接，交轴于点， ∵四边形是边长为的正方形， ∴，，，，， ∴， 故， ∴点坐标为， 把代入，得：， 解得：， 故答案为：． 18．（24-25九年级上·吉林·阶段检测）如图，已知二次函数的图象经过，两点，设二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接，，则的面积为__________． 【答案】6 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与三角形的面积问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．先将点，代入，求得二次函数的解析式，再求出点C的坐标，进而求得，的长，最后用三角形面积公式计算，即得答案． 解：分别把点，代入得，， 解得， 二次函数的解析式为， 二次函数的对称轴为直线， 点C的坐标为， ，， 的面积为． 故答案为：6． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知抛物线的顶点坐标为，求此抛物线的函数表达式． 【答案】 【分析】本题考查了求解二次函数解析式，掌握二次函数的顶点式是解决本题的关键． 利用顶点坐标代入顶点形式，再展开为标准形式即可求解． 解：∵抛物线中，顶点坐标为， ∴由顶点式可得 ． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）已知二次函数（t为常数）． （1）若二次函数图象经过原点，求t的值． （2）已知点，在该二次函数图象上，若，，试比较m，n的大小关系． 【答案】（1）t的值为0或；（2） 【分析】本题考查了二次函数图象性质，准确理解“点在函数图象上，点的坐标满足函数关系式”是解题的关键． （1）根据点在函数图象上，点的坐标满足函数关系式，将点代入中，可求得t的值； （2）根据点在函数图象上，点的坐标满足函数关系式，将点代入 中，结合，可得；同理可得，；求出 ，从而可得． （1）解：∵二次函数的图象经过原点， ∴将点代入中， 可得：， ∴， 即， ∴，， ∴t的值为0或； （2）解：∵点在二次函数的图象上， ∴将点代入中， 可得：， ∵， ∴， 即； 同理，∵点在二次函数的图象上， ∴将点代入中， 可得：， ∵， ∴， 即； ∵， ∴． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·四川南充·期末）已知二次函数图像的对称轴为，并经过，两点．求这个函数的最小值． 【答案】． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，先求出二次函数的解析式为，然后化为二次函数的顶点式，最后由二次函数的性质即可求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 解：设这个函数解析式为， ∵二次函数图像的对称轴为，并经过，两点， ∴， 解得：， ∴这个函数解析式为， 由， ∵， ∴当时，函数有最小值，最小值为． 22．（本小题满分10分）（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）如图，一个二次函数的图象经过三点，点的坐标为，点的坐标为，点在轴的正半轴上，且． （1）求点的坐标； （2）这个二次函数的解析式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了两点间的距离，求二次函数的解析式．熟练掌握两点间的距离公式，待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键． （1）由的坐标可以求出的距离，从而求出点的坐标； （2）已知二次函数过三个点，即可设二次函数的一般式，用待定系数法求解即可． （1）解：点，， ． ， ． 点在轴的正半轴上，设的坐标为， ， ， 所以点的坐标是． （2）解：设二次函数的解析式为， 二次函数经过三个点，，， ，解得：， 这个二次函数的解析式为． 23．（本小题满分10分）（25-26九年级上·广东江门·阶段检测）如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点．求抛物线解析式及顶点坐标． 【答案】，． 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质．根据抛物线与轴相交于，两点，设抛物线的交点坐标式解析式是，把点的坐标代入解析式，求出值可得抛物线的解析式为，把抛物线的解析式整理成顶点坐标式，可得：，由解析式可得抛物线的顶点坐标是． 解：抛物线与轴相交于，两点， 设抛物线的解析式是， 把点的坐标代入解析式， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 整理得：， 抛物线的顶点坐标是， 抛物线的解析是，抛物线的顶点坐标是． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点． （1）求抛物线的关系式及顶点； （2）当时；直接写出的取值范围________； （3）将该函数图像沿轴翻折，所得图像的函数表达式为________． 【答案】（1）；顶点坐标是；（2）；（3）． 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要知识点有：求最值、待定系数法求表达式、点的轴对称等，熟记二次函数的相关性质是解题关键． （1）将，两点坐标代入解析式，待定系数法就可求出，的值，再由解析式求出顶点坐标即可； （2）当时，结合图像可直接得出的取值范围； （3）图像沿直线翻折，开口大小不变，顶点坐标变为，代入顶点式即可． （1）解：∵抛物线经过，两点． ∴ 解得 ∴， ∴抛物线的顶点坐标是， （2）解：由图像可得当时， 时，函数有最小值， 时，函数有最大值， 所以的取值范围为：； （3）解：图像沿翻折，开口大小不变，顶点坐标变为， 所以表达式为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $