25.2.1 课时1 直接开平方法 课时同步训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练以分层递进设计覆盖直接开平方法全知识点，从概念理解到综合应用，适配新授课巩固，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|降次思想、适用形式、解题步骤|选择/填空题考查概念辨析，如判断方程是否适用直接开平方法，夯实运算基础| |技能层|完全平方识别、无实根判断|通过方程变形（如x²-4x+4=9）训练形式转化能力，强化推理意识| |拓展层|含系数a的方程、综合应用|解答题涉及参数问题（如a(x+m)²=n）及实际情境，提升问题解决能力|

2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第二十五章一元二次方程 25.2.1配方法 课时1直接开平方法 课时目标 1. 理解解一元二次方程的“降次”核心思想，掌握直接开平方法的适用条件，能准确识 别可直接开方的方程形式。 2.能规范运用直接开平方法解形如=n、(c十mP=n、c+mP=n(a≠0)的一元二次方程， 正确书写解题步骤。 3. 能根据平方根的性质判断方程无实数解的情况，会处理简单的含参数直接开平方程问 题，体会转化思想。 课时目录 知识点01：降次思想 知识点02：直接开平方法适用形式 知识点03：直接开平方法解题步骤 知识点04：右边为常数但左边是完全平方的识别 117 知识点05：n<0时方程无实数解的判断 知识点06：形如a(c+m)2=n(a≠0)的方程解法 知识点01：隆次思想 解一元二次方程的核心思路是将“二次”方程转化为“一次”方程求解，这个过程叫做 “降次”。 直接开平方法是利用平方根的性质实现降次的典型方法，是后续学习配方法、公式法的基 础。 1.(25-26八年级下·浙江温州期中)一元二次方程x2-4=0的根是() A.=2,5=0 B.为=-2，为=4 C.=0,5=4 D.=2,为=-2 2.(25-26八年级下浙江绍兴期中)解方程：(-5=9， 3。(25-26九年级下江苏常州阶段检测)解方程：(-1-16=0 4.(25-26八年级下·浙江金华阶段检测)解方程：x2-4=0: 知识点02：直接开平方法适用形式 直接开平方法是利用平方根的定义，对形如(x十m=的方程两边同时开平方，将一元二 次方程转化为两个一元一次方程的方法。 适用条件：方程左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数（≥0）。 当>0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根（即一个 根)； 当<0时，方程没有实数根（因为在实数范围内负数没有平方根）。 例如：(x一3)2=16适用直接开平方法，而x2十2x一3=0需要先变形才能使用。 5.(2026九年级吉林·专题练习)方程4x2-1=0的根为() 217 A.x=-2,x2=2 1 1 C.=2,2 D.x=-2,x=2 6.(25-26九年级上·江苏徐州期末)x2-9=0的解是 7.(25-26九年级上内蒙古赤峰期末)解方程：x2-2x+1=25 8.(25-26九年级上河南周口期末)解方程：x2-1=8. 知识点03：直接开平方法解题步骤 解题步骤： 将方程化为（十mP=n的形式； 当n≥0时，两边开平方得x十m=±h; 分离未知数得x=-m±万，即本=-m+历，，=-m-Vn； 当n<0时，直接判定方程无实数根。 例如：解方程(x一2)2=9→x一2=±3→x=2士3→x1=5,x2=一1。 又如：解方程(x+1)2=0→x十1=0→x1=x2=一1。 再如：解方程(x一3)=一4→右边为负数，.方程无实数根。 9.(25-26九年级上江苏南京期末)方程x2-4=0的解是() Ax=为3=2 B.=5=V2 C.=V2,为=-V2 D.=2,七=-2 10.(25-26八年级上上海期末)方程x-少-49=0 的解是 1.(25-26九年级上海南期中)解下列方程：(2x--25=0, 12.(25-26九年级上山东聊城期末)解方程：4(x--1=8 317 知识点04：右边为常数但左边是完全平方的识别 判断方程是否符合直接开平方法的左边形式，需满足两个条件： 左边是某个只含未知数的一次整式的平方（如x、x十3、2x一1等的平方）： 展开后方程仅含二次项、一次项和常数项，无更高次项或分式项。 若左边是展开后的完全平方形式（如x2-4x十4），可先整理为平方形式((x一2))再使用 直接开平方法。 13.(25-26九年级上湖北孝感期未)方程x-=0 根为() A.x=0 B=5=1 C.=为=1 D.x=1 14.(25-26九年级上·北京期末)方程3x2-27=0的解是」 15.(25:26八年级上上海普陀期未)方程3x-2)=64 的根是 (x+1)2-18=0 16.(25-26九年级上江苏南京期末)解方程 知识点05：飞<0时方程无实数解的判断 据平方根的性质，负数没有实数平方根。 因此，当方程整理为(x十P=n的形式后，若n<0,则该方程在实数范围内无实数解，直 接作答即可，无需引入虚数概念。 17.〔2526八年级下河北张家口期末)已知甲方程为x-4=9,乙方程为〔x+吖=4，则关于甲、乙 两方程的解的情况，下列叙述正确的是() A.甲有两个不相等的解，乙无解 B.甲、乙都有两个不相等的解 C.甲有两个相等的解，乙无解 D.甲有两个相等的解，乙有两个不相等的解 18.(24-25九年级上：河南安阳·阶段检测)用直接开平方解下列一元二次方程，其中无解的方程为() A.x2+3=0 B.-2x2=0 C.x2-4=0 D.x-2)2=0 19.(25-26九年级上广东茂名·阶段检测)下列方程一定有实数解的是() 417 A.x+5)2=d2+1 B.(x-3)2+1=0 C.(x+a)2=b D.(a+3)2+a2=0 20.(2025-山东模拟预测)关于的方程a-)r-x+a-1-0 的一个根为0，则实数“的值是() A.1 B.-1 C.0 D.±1 知识点06：形如ac+m=1(0)的方程解法 解题步骤： 将系数化为1：两边同时除以a,得到 x+m)}= a n 判断符号：若a≥0，对两边开平方 xtm-a: x=-m士 x=-m+ x3=-m n 移项求解： Va,即 Va；若a<0,则方程无实数解。 n 注意： Va表示a的算术平方根（非负），“±”需单独标注。 21. (25-26九年级上湖南岳阳期中)解方程：2x2-18=0: 2.(25-26八年级上四川巴中期中)求下列各式中的x:2(x-5-72=0 23。(25:26九年级上内蒙古巴彦淖尔期中)解方程：2(x-3=18 24. (25-26九年级上广东广州阶段检测)解下列方程：4(x+=1, 课时训练 一、选择题 1.(2026江苏南通一模)解-元二次方程（✉+2=4时，道常将其转化为两个一元一次方程，已知其中 一个方程为x+2=2,则另一个方程为() 517 A.x-2=-2B.x+2=-2 C.x-2=2 D.x+2=2 2（25-26八年级下全国课后作业)一元二次方程任+2y=4。 的解是() A.x=0 B.x=-2 C,t=-4 D.=0为=4 3.(25-26九年级上山西忻州期末)方程25x2-1=0的根为() 1 A.x= 5 B.x=5 1 1 5,5= C.x= 5 D.x=5,x2=-5 2+ax=b2(a>0,b>0) 4.(25-26九年级上广东深圳阶段检测)在欧几里得的《几何原本》中，形如 的 方程的图解法是如图(1)，分别以2和b为直角边作Rt△ABC,∠ACB=90°，再在斜边上截取 BD= 2,则AD的长就是所求方程的正根.若关于x的一元二次方程x2+2mx=36,按照图(1)构造 SABCD=5 图(2)，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，连接CD,若S△D8,则m的值为() C C D D 图1 图2 5 A.8 B.5 C.2.5 D.4 二、填空题 5.(25-26八年级下·广西崇左期末)在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a2-b,根据这 x+1)*5=0 个规则，方程 的解为。 617 6.(2425八年级下山东烟台期中)关于x的一元二次方程mx+mx=3x+12中不含x的一次项，则此方 程的解为—。 7.(2425八年级下上海闵行阶段检测)方程-2-16=0的解是 8.(2425九年级上湖南衡阳期末)方程(x-=2024 的根是 三、解答题 9.(2026八年级下·全国专题练习)用直接开平方法解方程： 2x-2=6 23(x-1-6=0 6)x+3(0x-3)=9 ④(x+j°=+2 10.(25-26九年级上河南南阳开学考试)阅读下列材料.完成相应问题： 我们知道，解一元一次方程的核心是通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤， 将方程化为“x=a”(a为常数)的形式，从而求出解.而解一元二次方程时，常运用“转化思想”， 把未知的一元二次方程转化为已知的一元一次方程来求解.例如“直接开平方法”就是典型例子： 对于方程(x-2=9,根据平方根的定义，若=B(B≥0)，则A=B或4=B.因此可将原方 程转化为两个一元一次方程：X-2=3或-2=3，分别求解得 =5,x2=-1 问题： ①)清用“直接开平方法”解一元二次方程(2x+少=16， 写出转化过程及最终解。 (2)已知方程x2-6x+9=4,小明发现左边可以写成完全平方形式，他先将方程变形，再用直接开平方 法求解.请你按照这个思路，完成该方程的求解过程， 717 2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第二十五章 一元二次方程 25.2.1 配方法 课时1 直接开平方法 ▌课时目标 1. 理解解一元二次方程的“降次”核心思想，掌握直接开平方法的适用条件，能准确识别可直接开方的方程形式。 2. 能规范运用直接开平方法解形如x²＝n、(x＋m)²＝n、a(x＋m)²＝n（a≠0）的一元二次方程，正确书写解题步骤。 3. 能根据平方根的性质判断方程无实数解的情况，会处理简单的含参数直接开平方程问题，体会转化思想。 ▌课时目录 知识点01：降次思想 知识点02：直接开平方法适用形式 知识点03：直接开平方法解题步骤 知识点04：右边为常数但左边是完全平方的识别 知识点05：n＜0时方程无实数解的判断 知识点06：形如a(x＋m)²＝n（a≠0）的方程解法 ▌知识点01：降次思想 解一元二次方程的核心思路是将“二次”方程转化为“一次”方程求解，这个过程叫做“降次”。 直接开平方法是利用平方根的性质实现降次的典型方法，是后续学习配方法、公式法的基础。 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解，即可． 【详解】解：， 化简得， 两边直接开平方，得， 解得． 故选：D． 2．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）解方程： ； 【答案】， 【详解】解： 解得：， 3．（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）解方程：； 【答案】； 【分析】整理后，利用直接开平方法求解即可； 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得； 4．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）解方程：； 【答案】， 【分析】利用直接开平方法计算即可． 【详解】解：∵, ∴ ∴ 解得，． ▌知识点02：直接开平方法适用形式 直接开平方法是利用平方根的定义，对形如(x＋m)²＝n的方程两边同时开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程的方法。 适用条件：方程左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数（n≥0）。 1. 当n＞0时，方程有两个不相等的实数根；当n＝0时，方程有两个相等的实数根（即一个根）； 2. 当n＜0时，方程没有实数根（因为在实数范围内负数没有平方根）。 例如：(x－3)²＝16适用直接开平方法，而x²＋2x－3＝0需要先变形才能使用。 5．（2026九年级·吉林·专题练习）方程的根为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的求解，可用直接开平方法计算，先移项，再将的系数化为，最后开平方即可得到方程的根． 【详解】解： ，． 6．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）的解是___________． 【答案】 或 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的解法是解题关键，通过移项和开平方求解方程即可． 【详解】方程 ， 移项，得 ， 开平方，得 ，即或． 故答案为 ：或． 7．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）解方程： 【答案】， 【分析】用直接开平方法解一元二次方程； 【详解】 所以， 8．（25-26九年级上·河南周口·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】根据，得解答即可． 【详解】解：， ， 即， 解得，． ▌知识点03：直接开平方法解题步骤 解题步骤： 1. 将方程化为(x＋m)²＝n的形式； 2. 当n≥0时，两边开平方得x＋m＝±√n； 3. 分离未知数得，即，； 4. 当n＜0时，直接判定方程无实数根。 例如：解方程(x－2)²＝9→x－2＝±3→x＝2±3→x₁＝5，x₂＝－1。 又如：解方程(x＋1)²＝0→x＋1＝0→x₁＝x₂＝－1。 再如：解方程(x－3)²＝－4→∵右边为负数，∴方程无实数根。 9．（25-26九年级上·江苏南京·期末）方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解法，可通过移项后利用直接开平方法即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 即 故选：D． 10．（25-26八年级上·上海·期末）方程的解是____________． 【答案】 ．/． 【分析】本题主要考查了运用平方根解方程，灵活运用平方根解方程是解题的关键．通过移项和开平方解方程，运用平方根的性质求解． 【详解】解：移项得， 开平方得，即， 当时，解得； 当时，解得． 故答案为：． 11．（25-26九年级上·海南·期中）解下列方程：； 【答案】 【分析】先将方程整理成的形式，再利用直接开平方法求解即可； 【详解】解： 或 解得； 12．（25-26九年级上·山东聊城·期末）解方程：； 【答案】， 【分析】运用直接开平方法解方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 解得， ▌知识点04：右边为常数但左边是完全平方的识别 判断方程是否符合直接开平方法的左边形式，需满足两个条件： 1. 左边是某个只含未知数的一次整式的平方（如x、x＋3、2x－1等的平方）； 2. 展开后方程仅含二次项、一次项和常数项，无更高次项或分式项。 若左边是展开后的完全平方形式（如x2－4x＋4），可先整理为平方形式（(x－2)2）再使用直接开平方法。 13．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）方程的根为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，方程左边为完全平方式，直接开平方求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， 故选：B． 14．（25-26九年级上·北京·期末）方程的解是______． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程.根据解一元二次方程的直接开平方法，进行计算即可解答． 【详解】解： 移项得：， 两边同时除以得：， 开平方得：， 故答案为：，． 15．（25-26八年级上·上海普陀·期末）方程的根是______． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，用直接开平方法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 即或， 解，得，， 解，得，， ∴方程的根是， 故答案为：． 16．（25-26九年级上·江苏南京·期末）解方程． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用直接开平方法解方程是解题的关键．先移项，然后运用直接开平方法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得． ▌知识点05：n＜0时方程无实数解的判断 据平方根的性质，负数没有实数平方根。 因此，当方程整理为(x＋m)²＝n的形式后，若n＜0，则该方程在实数范围内无实数解，直接作答即可，无需引入虚数概念。 17．（25-26八年级下·河北张家口·期末）已知甲方程为，乙方程为，则关于甲、乙两方程的解的情况，下列叙述正确的是（     ） A．甲有两个不相等的解，乙无解 B．甲、乙都有两个不相等的解 C．甲有两个相等的解，乙无解 D．甲有两个相等的解，乙有两个不相等的解 【答案】A 【分析】利用直接开平方法结合实数平方的非负性，分别判断两个方程解的情况即可． 【详解】解：甲方程： ∴两边开平方得， 解得，因此甲有两个不相等的实数解； 乙方程：， ∵任意实数的平方都满足，不可能等于 ∴不存在实数使等式成立，因此乙无解； 综上，甲有两个不相等的解，乙无解． 18．（24-25九年级上·河南安阳·阶段检测）用直接开平方解下列一元二次方程，其中无解的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法．根据负数没有平方根即可求出答案． 【详解】解：A．移项得，无解，故符合题意； B．化简得，有解，故不符合题意； C．移项得 ，有解，故不符合题意； D． ，有解，故不符合题意； 故选：A． 19．（25-26九年级上·广东茂名·阶段检测）下列方程一定有实数解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查用直接开平方法解一元二次方程，根据非负数的性质逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ，则一定有解，故该选项正确，符合题意；     B. ，即，无实数解，故该选项不正确，不符合题意； C. 当时，无实数解，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，即，无实数解，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 20．（2025·山东·模拟预测）关于的方程的一个根为0，则实数的值是（   ） A．1 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了直接开方法解一元二次方程，方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，根据方程解的定义得到，再解关于a的方程，即可确定a的值． 【详解】解：把代入方程中， 得， 解得， 当时，原方程为，则是方程的根，符合题意； 故选：D． ▌知识点06：形如a(x＋m)²＝n（a≠0）的方程解法 解题步骤： 将系数化为1：两边同时除以a，得到； 判断符号：若≥0，对两边开平方得； 移项求解：，即，；若＜0，则方程无实数解。 注意：表示的算术平方根（非负），“±”需单独标注。 21．（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）解方程：； 【答案】，； 【分析】本题考查了一元二次方程的解法（直接开平方法），解题的关键是根据方程结构选择对应解法． 【详解】解： 移项得：， 系数化为1得：， 开平方得：， 即，． 22．（25-26八年级上·四川巴中·期中）求下列各式中的x： 【答案】或 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程即可； 【详解】解： ， ， ， 或； 23．（25-26九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）解方程：． 【答案】，； 【分析】先将方程两边同时除以2，再利用直接开平方法求解； 【详解】解：， ， ， 或， ∴，； 24．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）解下列方程：； 【答案】 【分析】整理得，然后直接开平方，即可得出答案； 【详解】解： ， ； ▌课时训练 一、选择题 1．（2026·江苏南通·一模）解一元二次方程时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为，则另一个方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正数的平方根互为相反数的性质，即可推出另一个一元一次方程． 【详解】解：原方程为，对等式两边开平方可得，或， 故另一个方程为． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D．， 【答案】D 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，掌握用直接开平方法解方程时，开平方要考虑正负两种情况，得到两个解是解题的关键． 通过直接开平方的方法求解方程，得到两个解． 【详解】解：∵ ∴ 当 时， 当 时， ∴方程的解为 , 故选：D． 3．（25-26九年级上·山西忻州·期末）方程的根为（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，通过直接解一元二次方程，得到两个根，再对比选项即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即，， 故选：C． 4．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）在欧几里得的《几何原本》中，形如的方程的图解法是如图（1），分别以和b为直角边作，，再在斜边上截取，则AD的长就是所求方程的正根．若关于x的一元二次方程，按照图（1）构造图（2），在中，，连接CD，若，则m的值为（   ） A．8 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，一元二次方程等．根据题意可得的长，继而表示出，再利用面积比列出方程解出即可． 【详解】解：∵， 由题意知：，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 解得：或， 根据题意， ∴， 经检验，是原方程的解； 故选：C． 二、填空题 5．（25-26八年级下·广西崇左·期末）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，方程的解为____________． 【答案】 【分析】根据新定义的运算规则，将原方程转化为一元二次方程，再利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 解得． 6．（24-25八年级下·山东烟台·期中）关于x的一元二次方程中不含x的一次项，则此方程的解为 _____． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解一元二次方程，理解一元二次方程的基本定义是解题关键．根据一次项的定义先确定一次项，然后确定系数，解方程即可． 【详解】解：∵一元二次方程中不含x的一次项， 即不含x的一次项， ∴， ∴， ∴原方程为， 解得：， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·上海闵行·阶段检测）方程的解是_____． 【答案】或 【分析】本题考查了直接开平方法，掌握直接开平方法解方程是解题的关键．根据直接开平方法求解方程即可． 【详解】解：， ， 或（舍去）， ， 或． 故答案为：或． 8．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）方程的根是______． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：， ． 三、解答题 9．（2026八年级下·全国·专题练习）用直接开平方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解可得； （2）利用直接开平方法求解可得； （3）先整理成，再直接开平方可得； （4）利用直接开平方法求解可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得，； （2）解：∵， 整理得， ∴， ∴，； （3）解：∵， ∴， 则， ∴，即，； （4）解：∵． ∴或， 解得，． 10．（25-26九年级上·河南南阳·开学考试）阅读下列材料．完成相应问题： 我们知道，解一元一次方程的核心是通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤，将方程化为“”（a为常数）的形式，从而求出解．而解一元二次方程时，常运用“转化思想”，把未知的一元二次方程转化为已知的一元一次方程来求解．例如“直接开平方法”就是典型例子： 对于方程，根据平方根的定义，若，则或．因此可将原方程转化为两个一元一次方程：或，分别求解得． 问题： (1)请用“直接开平方法”解一元二次方程，写出转化过程及最终解． (2)已知方程，小明发现左边可以写成完全平方形式，他先将方程变形，再用直接开平方法求解．请你按照这个思路，完成该方程的求解过程． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法是解题的关键． （1）直接利用直接开平方法解方程即可； （2）先用完全平方公式将方程左边因式分解，再利用直接开平方法解方程即可． 【详解】（1）解：开方得：或 解得：或； （2）解： 或 解得：或． / 学科网（北京）股份有限公司 $