25.1 一元二次方程及其解法-【追梦之旅 · 初中同步铺路卷】2026-2027学年九年级数学单元检测卷（人教版·河南专版）

第二十五章 一元二次方 测试时间：40分钟 一、选择题（每小题3分，共15分） 1.一元二次方程7x2=3x-2化成一般形式ax2 +bx+c=0(a>0),它的一次项系数与常数项 的和为( A.-1 B.1 C.-4 D.4 2.用配方法解方程x2-2x=2时，左右两边需 同时加上常数是( A.1 B.-2 C.2 D.-1 3.关于x的方程x2-4x+3=0,下列说法错误 的是( A.二次项系数为1 B.常数项为0 C.一次项系数为-4 D.适合用因式分解法解方程 4.在用求根公式x=-b土v-4c求一元二次 2a 方程的根时，小慧同学正确地代入了α、b ,得到x=3±√-3)2-4×2x(-1) 则她求 2×2 解的一元二次方程是( A.2x2+3x-1=0 B.2x2-3x-1=0 C.-2x2-3x+1=0 D.3x2-2x-1=0 5.如图，E为矩形ABCD对角线AC上的一点， AE=AB=3,AD=4,则方程x2+6x-16=0的 正数解是( ) A.线段AE的长 D B.线段BE的长 C.线段CE的长 D.线段AC的长 追梦之旅铺路卷·铺路帮手 一元二次方程 程及其解法 测试分数：55分 二、填空题（每小题3分，共12分） 6.若关于x的方程2xm-2+3x+5=0是一元二 次方程，则m的值为 7.若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两 个实数根分别为3和-2，则多项式x2+bx+c 可以因式分解为 8.王涛利用电脑设计了一个程序：当输入实数 对(x,y)时，会得到一个新的实数x2+y-1, 例如输入(2,5)时，就会得到实数8（即2+ 5-1=8).若输入实数对(m,2)时得到实数 3,则m= 9.三角形两边的长分别是8和7，第三边的长 是一元二次方程x2-16x+60=0的一个实数 根，则该三角形的周长是 三、解答题（共28分） 10.（12分)解方程： (1)x2-2x-5=0(用配方法)； (2)3x2+2x=4(用公式法)； 九年级·RJ·数学第1页 (3)x2-4x+3=0(用因式分解法)； (4)x2-4x+4=5(用适当的方法). 11.（8分)按要求解答下列问题： 小华与小芳两位同学解方程3(x-5)=(x 5)2的过程如下框： 小华： 小芳： 解：两边同时除 解：3(x-5)=(x-5)2, 以(x-5),得3= (x-5)(3-x-5)=0, x-5, x-5=0或3-x-5=0, ∴.x=8. 解得：x1=5,x2=-2. 任务： (1)小华的解法是 (填“正确”或 “错误”). 小芳的解法是 (填“正确”或“错 误”). (2)如果小华或小芳的解法正确，请写出 用配方法或公式法求解原方程的过程；如 果小华和小芳的解法都错误，请写出原方 程正确的解答过程， 追梦之旅铺路卷·铺路帮手 12.新定义(8分)“新定义”问题就是给出一 个从未接触过的新规定，要求同学们现学 现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和 创新能力.定义：方程cx2+bx+a=0是一元 二次方程ax2+bx+c=0的倒方程，其中a, b,c为常数（且a,c≠0）.根据此定义解决 下列问题： (1)一元二次方程-4x2+3x+1=0的倒方程 是 (2)若x=-1是一元二次方程x2-2x+c=0 的倒方程的解，求出c的值； (3)若m是一元二次方程-6x2+x+1=0的 倒方程的一个实数根，求m3+m2-6m+ 2026的值 九年级·RJ·数学第2页形，∴.EF=DQ=4.2m,在Rt△AEF中，tana EF,当a A 60时，AF= EF ≈2.43m. (7分) 5 当∠BAC=2a=1040时，La=52°，A=,EF ian520≈3.28m, 328-2.43≈0.9(m),答：点E下降的高度约为 0.9m. (9分) 2,解：1由题可得抛物线的顶点坐标为(4，弩)，设拉物 线的函数表达式为y=a(x-42+将(0,0)代人y=0 （g-4+至得0=a(0-4r+受解得a=石，此港物 线对应的函数表达式为y=名一4) 3;(4分) (2)连接DE交BC于点F.:四边形DBEC是菱形，BC =nDs1Bc,BF=CP=,令名(-4y+- +3 3,解得x=4±22，DE=4+22-(4-22)=42 mS装cDE·BCE)x4,2x8-16230☒ 2 3-3 162 =1602（元），.购买该区域的涂料需要花费 3 160√2元 (10分)》 23.解：(1)60° ③ (每空1分，共2分)》 3 (2)∠ADB=90°，∠A=45°，.∠ABD=90°-∠A= 45°，∴.∠CBD=∠ABC-∠ABD=45°，∠A=∠ABD, ∠A=∠CBD,AD=BD,CD⊥DE,∴∠CDE=90°， ∠BDC+LBDE=90°.∠ADE+∠BDE=90°，∴.LADE =∠BDG,△ADE≌△BDC(ASA),AE=BC,BCF 1； (8分) (3)△BDE的面积为6或12. (10分) 【解析】过点D作DP⊥AB于点P,AD=BD=6, 铺 ∠BDP =2∠ADB=45.:LA=45∠DBP=450= ∠BDP,.BP=DP=32,同(2)可得，△ADE≌△BDC, CD=DE,由折叠的性质可知四边形CDEF为正方形， 答案 连接DR,则DE=2DR,∠EDF=∠BDP=45°，分两种 2 情况：①如图1，当点D的对应点F在AB的上方时， DPDE√2 LBDF=LBDP=45°，DBD2,LBDF=LPDE, EP DP2 △BDF△PDE,BEDB=2BF=2,∴EP3 + 2BE-BP-PE=22 SA=2 BE.DP=- 22×32=6;②如图2，当，点D的对应，点F在AB的下 方时，同理可得BE=BP4PE=42,S=2E·DP =。×42×32=12:综上可得，△BDE的面积为6或12 图 图2 追梦之旅铺路卷·九年 十十十十十十十十十十” 《铺路帮手》答案 义++++++++++ 第二十五章 一元二次方程 一元二次方程及其解法 1.A2.A 3.B【解析】x2-4x+3=0的常数项是3，B错误.故选B. 4.B 5.C【解析】解方程，得x=2或-8；.·四边形ABCD是矩 形，AE=AB=3,AD=4,∴.BC=AD=4,∠ABC=90°，∴.AC =√AB2+BC=5,.CE=AC-AE=2..方程x2+6x-16= 0的正数解是线段CE的长.故选C. 6.47.(x-3)(x+2)8.±√2 9.25或21【解析】解方程x2-16x+60=0,得x=6或x= 10,当x=6时，6+7>8，.三角形的周长为：6+7+8=21； 当x=10时，7+8>10，.三角形的周长为：7+8+10=25； 综上所述，三角形的周长是25或21. 10.解：(1)移项，得x2-2x=5.配方，得x2-2x+1=5+1,(x- 1)2=6.由此可得x-1=±6，x1=1+√6，x2=1-√6. (3分) (2)方程化为3x2+2x-4=0,此时a=3,b=2,c=-4,..△ =b-4ac=22-4x3×(-4)=52>0,方程有两个不相等的 实数根，x=-6tV-4ac。-2±213 即x1= 2a 6 -1+W13-1-√/13 ,x2=1 (6分) 3 3 (3)左边分解因式，得(x-1)(x-3)=0,于是x-1=0,或 x-3=0,即x1=1,x2=3; (9分) (4)由方程(x-2)2=5,得x-2=±5，即x,=2+5,x2=2 -5. (12分) 11.解：(1)错误错误 (4分) (2)移项，得3(x-5)-(x-5)2=0.左边分解因式，得(x- 5)(3-x+5)=0, (6分) 于是x-5=0,或8-x=0,即x1=5,或2=8. (8分) 12.解：(1)x+3x-4=0 (2分) (2)由条件可得倒方程为cx2-2x+1=0,把x=-1代入 方程，得c+2+1=0,解得c=-3; (4分)》 (3)方程-6x2+x+1=0的倒方程为x2+x-6=0,由题意 得m2+m-6=0,∴.m+m2-6m=0,.∴.m+m-6m+2026= 2026. (8分) 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系 1.A 2.B【解析】关于x的一元二次方程x2+(2-k)x-1=0的 两根之和为k-2,因为此方程的两根互为相反数，所以k -2=0,解得k=2.故选B. 3.C【解析】：直线y=kx+1不经过第四象限，.k≥0，由 根的判别式可知：4=12+4>0，.关于x的方程x2+x-k =0有两个不相等的实数根.故选C 4.B5.C 6.C 【易错提醒】应用一元二次方程的根与系数的关系时，不 能忽略前提：b2-4ac≥0.当b2-4ac≥0时，才可以应用一 元二次方程的根与系数的关系求两根之和，两根之积， 当b2-4ac<0时，无解. 7.A【解析】根据根与系数的关系可得：-2a=4a-3,解得 故选A, a-2 8.m<1 9.6【解析】由条件可知x1+x2=-5,x号+5x2-1=0,即x号= -5x2+1,则x2+4x2-x1=(-5x2+1)+4x2-x1=-x1-x2+1= 6. 10.三11.2 级·RJ·数学第23页