上册 第30章追梦综合演练卷-【追梦之旅 · 初中同步铺路卷】2026-2027学年九年级数学单元检测卷（人教版·河南专版）

铺路卷 河南专版·RJ· 九年级数学上 ,为期中、期末铺路”为中考、未来铺路 第三十章追梦综合演练卷 测试时间：100分钟 测试分数：120分 得分： 一、选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 3 5 6 10 答案 1.如图是江边的一幅景象，若将图中的江面和太阳分别看成直线 和圆，则它们的位置关系为( 黑 A.相离 B.相切 C.相交 D.平行 0 妆 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2.如图，PB,PC是⊙0的两条切线，切点分别为B,C,若∠A=65°， 则∠P的度数为()》 A.50 B.55° C.65° D.70° 3.如图，△ABC的内心为点O,∠B0C=110°，则∠A的度数 救 是( A.70° B.60° C.50° D.40° 4.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O,半径为4，则边心距OM的 长为( ) A.2 B.23 C.4 D.43 5.如图，AP、AQ分别与⊙0相切于B、C两点，点D在⊙0上，连接 爵 BD、CD.若∠A=60°，∠PBD=75°，CD=4,则⊙0的半 郡 径为( ) A.22 B.23 C.3 D.4 剂 图 图2 第5题图 第6题图 第7题图 6.跨学科试题·化学苯（分子式为CH。)的环状结构是由德国化 学家凯库勒提出的.随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯 分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2， 点O为正六边形ABCDEF的中心.若CD=1,则OC的 长是( A.1 B.3 C.2 D.3 7.如图，PA,PB分别与⊙0相切于点A,B,点C为AB上的点，过 点C的切线分别交PA,PB于点M,N.若△PMN的周长为32，则 PA的长为( A.16 B.15 C.30 D.26 8.如图，点A的坐标为(-3，-2)，⊙A的半径为1，P为x轴上一动 点，PQ切⊙A于点Q,则当PQ为最小值时，点P的坐标为( A.(-4,0) B.（-2,0)》 C.(-4,0)或(-2,0) D.(-3,0) y个 Q 4.) 第8题图 第9题图 第10题图 9.如图所示，在平面中⊙P和⊙Q分别与直线1相切，⊙P的直径 为4，⊙Q的直径为6，作直线1与⊙P相切于点A且平行于直 线L,直线L2与⊙Q相切于点B且平行于直线1，若线段AB与直 线11的夹角恰为30°，则两圆心PQ的距离是( A.9 B.43 C.√13 D.10 10.如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙0的 内接正方形，BC∥QR,则∠AOQ=() A.60° B.65° C.72° D.75° 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.如图，正方形ABCD是⊙0的内接正方形，点P是劣弧CD上 不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是 度 第11题图 第12题图 第13题图 12.如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，若∠ADB=15°，则该 正多边形的边数为 13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，⊙0是△ABC的内切圆.三个切 点分别为D,E,F,若BF=3,AF=10,则⊙0的半径为 14.文化情境·数学文化刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”」 利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史 上圆周率研究的新纪元.某同学在学习“割圆术”的过程中，作 了一个如图所示的圆内接正十二边形.若⊙0的半径为3，则 这个圆内接正十二边形的面积为 0 B 第14题图 第15题图 15.如图，PA、PB是⊙0的切线，A、B为切点，点C、D在⊙0上.若 ∠P=108°，则∠B+∠D= 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.文化情境·传统文化(9分)司南是我国古代辨别方向用的一 种仪器.其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始 祖.如图，司南中心为一圆形，圆心为点0，直径为20，根据八个 方位将圆形八等分（图2中点A~H),过点E作⊙0的切线与 AG的延长线交于点M,连接EG (1)相邻两个方位间所夹的圆心角的度数为 (2)求AG的长； (3)求线段ME与EG的长，并比较大小 北 西北B H东北 西C 0 G东 西南D 东南M TO 图1 图2 17.(9分)如图，⊙0的周长等于16πcm,正六边形ABCDEF内接 于⊙0. (1)求圆心O到CD的距离； (2)求正六边形ABCDEF的面积. 。17。 18.(9分)如图，⊙0为△ABC的内切圆，切点分别为F、G、H,点 D,E分别为BC,AC上的点，且DE为⊙O的切线， (1)若∠C=40°，求∠A0B的度数； (2)若AC=8,AB=6,BC=9,求△CDE的周长 19.(9分)如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC 于点D,过点D作AC的垂线，垂足为E,延长ED交AB的延长 线于点F. (1)判断直线DE与⊙0的位置关系，并说明理由； (2)如果AB=5,BC=6,求DE的长 THE ROAD TO DREAM 20.(9分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆 ⊙O交AC于点D,点E为BC的中点，连接DE. (1)求证：DE是半圆⊙0的切线； (2)若∠ACB=60°，DE=2,求AD的长 B E 。18. 21.（10分)如图，⊙0是△ABC的外接圆，连接OA,过点C作一条 射线CD. (1)请从以下条件中：①CD∥A0,∠ABC=45°；②∠BCD= ∠BAC;③CB平分∠ACD.选择一组能证明CD是⊙O的切线 的条件，并写出证明过程； (2)若OA=2,∠OAB=22.5°，AB=CB,求∠B0C的度数， 22.文化情境·传统文化(10分)抖空竹在我国有着悠久的历史， 是国家级非物质文化遗产之一.为弘扬传统文化，某校将抖空 竹列入了体育课程.在学习了圆之后，数学兴趣小组的同学们 对抖空竹进行了探究，示意图如图所示，已知绳AC,BD分别与 空竹⊙O相切于点C,D,且AC=BD,连接左右两个绳柄A,B, AB经过圆心0，交⊙0于点E,F (1)求证：AE=BF; (2)若AE=4,AC=8,求两个绳柄之间的距离AB. 23.（10分)阅读以下材料，并完成相应的任务： 定义：顶，点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫作弦切 角.弦切角定理：弦切角等于它所夹的孤所对的圆周角， 下面是该定理的部分证明过程： 已知：如图，AB与⊙0相切于点A,点C,D在⊙0上，连接AC, CD.AD. 易错 分析 求证：∠CAB=∠D. 证明：连接AO并延长交⊙O于点E,连接CE. :AB与⊙0相切于点A, ∴∠EAB=90°.（ 依据1 ∴.∠EAC+∠CAB=90 AE是⊙0的直径， ∴.∠ECA=90°.( 依据2 ∴.∠E+∠EAC=90° 任务： (1)上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1： 依据2： (2)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分： (3)已知图中⊙0的半径2，弦切角∠CAB=30°，求出AC的长， 做题 心得 笨0D垂直弦BC,.∠BD0=90°∴.0D=)0B=1.(9分） 17.解：(1)连接0B,解方程x2-9x+18=0,得x1=3,x2=6, AC=3,AB=6,∠A0B=2∠C=90°，△A0B为等 腰直角三角形， (3分) ∴0B2+0A2=AB2,即20B2=62,.0B=32.即⊙0的半 径为3√2. (5分) (2).·∠C=45°，AE⊥BC,∴.△AEC为等腰直角三角形， 由勾股定理得AB=32 2,.∴.BE=√AB2-AE 3/. (9分) 18.解：(1)△ABC的外接圆如图所示； (4分) 大 不 豪 (2)连接OB.记DH垂直平分AB交AB于点D,交BC 于点H,记OE垂直平分BC,交BC于点E,:AB=42, BC=6,∴.BD=22,BE=3,又：∠ABC=45°，∠BD0= 90°，∴.∠BHD=45°，∴.BD=DH,在Rt△BDH中，BH= 4,.0E=EH=4-3=1,B0=W12+32=√10， △ABC外接圆的半径长为√/10. (9分) 19.(1)证明：连接OD,.·∠BAC=60°，.∠BOC=2∠BAC =120°.AD平分∠BAC.BD=CD,.∠B0D=∠C0D =60°OB=OD,OC=OD,∴.△B0D和△C0D是等边 三角形，∴.OB=BD=DC=OC,.四边形OBDC是菱形； (4分) (2)解：连接OA..OB=OA,∠AB0=15°，∴.∠OAB= ∠AB0=15°，.LA0B=150°，.∠A0C=360°-150°- 120°=90°，0A=0C=0B=2,.AC=V0A+0C= 2√2. (9分) 20.解：(1)连接04，由题意得：4D二)4B=30米，0D=( 18)米，在Rt△AD0中，有2=302+(r-18)2,解得r=34 米 (5分) (2)连接OA'.OE=OP-PE=30米，.在Rt△A'E0 中，A'E=√A'0-0E2=16(米)，.A'B'=32米.A'B =32>30,∴.不需要采取紧急措施. (9分) 21.解：(1)在同圆中相等的弧所对的弦相等 圆内接四边 形的对角互补 (4分) (2)证明：：∠CEA+∠CEB=180°，∴.∠CFB=∠CEB, I∠CFB=∠CEB 在△CFB和△CEB中，{∠CBF=∠CBE,∴.△CFB≌ ABC=BC △CEB(AAS),∴.BF=BE (10分) (CA=CB 22.解：(1)连接0D,在△0AC和△0BC中，{0A=0B, (0C=0C △OAC≌△OBC(SSS),∴.∠AOC=∠BOC,:∠AOC+ ∠B0C=180°，.∴.∠A0C=∠B0C=90°，.OA=0D=OE ∴.∠OAD=∠ODA,∠ODE=∠OED,设∠OAD=∠ODA =x,∠ODE=∠OED=y,在四边形OADE中，·∠OAD+ ∠ADE+∠OED+∠A0C=360°，∴.x+x+y+y+90°=360° ∴.∠ADE=∠AD0+∠0DE=x+y=135°； (5分) (2)连接OD,.∠AOC=90°，D为AC中点，.0D=AD= =2X6=3,.0D=0A=AD=3,.△AD0为等边三 角形，.∠A0D=60°，.∠D0E=90°-60°=30°，.DE 30m×31 的长为 1802π. (10分) 23.解：(1)4π平方米 (2分) (2)图中0，C,0,B,弧BC围成的扇形面积为90ma_1 360=4 追梦之旅铺路卷·九年 πa2(平方米)，….S危险x城=42-4T-(a201:的 4m02)=(16-4m-a2+ 4ma2)平方 米 (4分) 02 危1B 当a=2时，S右转危验区战=(12-3π)平方 米 (6分) D C E (3)有危险，理由：如图，连接002 并延长一定过点E,由题意知OE= 42米，则02E=(42-3)米，∴.02C _8-32米>1.2米，3+1.2=4.2（米） >4米，有危险， (10分) 第三十章追梦综合演练卷 答案123456 78910 速查CADBAAADC D 1.c 2.A【解析】连接OB..OB=OA,.∠OBA=∠OAB=65 ∴.∠BOC=130°..PC,PB是⊙0的切线，∴.OB⊥PB, 0C⊥PC,∴.∠PB0=∠PC0=90°，∴.∠P=360°-∠PB0- ∠PC0-∠BOC=50°.故选A. 3.D 4.B【解析】连接0B,0C,则0B=0C,∠B0C=×360 h =60°，.△B0C是等边三角形，.∠OBC=60°..0M是 边心距，∴.∠OMB=90°，∴.BM= 0B=2,.OM=23. 故选B. 5.A6.A 7.A【解析】：△PMW的周长为32，.PM+MW+PW=32, .PM+MC+NC+PN=32,由题意，得PA=PB,MA=MC, NB=NC,∴.PM+MA+NB+PN=32,∴.PA+PB=32,∴.PA= PB=16.故选A. 8.D【解析】连接AQ,AP.根据切线的性质定理，得AQ⊥ PQ,要使PQ最小，只需AP最小，根据垂线段最短，可知 当AP⊥x轴时，AP最短，.点P的坐标是(-3,0).故选 D. 9.C【解析】连接AP并延长交直线l于点C,连接BQ并 延长交直线I于，点D,过点A作AE⊥BD于点E,过，点P 作PF⊥BD于点F,连接PQ,根据题意可得AC=4,BD= 6,.AC=DE=4,.BE=6-4=2.∠BAE=30°，.AB= 4,∴.AE=W/42-22=2W3,.∴.PF=AE=2W3,又.PC=DF= 2,D0=3,QF=1,.PQ=PF2+QF2=√13.故选C. 10.D【解析】连接OD,AR..:△POR是⊙O的内接正三 角形，∠PRQ=60°，.∠P0Q=120°.：四边形ABCD 是⊙O的内接正方形，∴.A0=D0,∠AOD=90°..：BC∥ RQ,AD∥BC,∴.AD∥QR,∴.∠ARQ=∠DAR,∴AQ=DR △PQR是等边三角形，PQ=PR,.PQ=PR,.AP= PD,..LAOP= 2∠A0D=45,.∠A0Q=120°-450= 75°.故选D. 11.45 12.十二【解析】设正多边形的外接圆为⊙0，连接OA, OB..·∠ADB=15°，.∴.∠AOB=2∠ADB=30°，而360°÷ 30°=12，..这个正多边形为正十二边形. 13.2【解析】由题可得OE⊥AC,OD⊥BC,CD=CE,BD= BF=3,AF=AE=10,.∴.AB=AF+BF=13.∴.∠C=90°， OD=OE,∴.四边形OECD是正方形，设EC=CD=OE= OD=x,在Rt△ABC中，BC2+AC2=AB2,故(x+3)2+(x+ 10)2=132,解得x1=2,x2=-15(舍去)，故⊙0半径为 14.27 15.216°【解析】连接AB..·PA、PB是⊙0的切线，A、B为 切点，∴.PA=PB,∴.∠PAB=∠PBA=。(180°-∠APB) =36°.：A、D、C、B四，点共圆，.∠D+∠CBA=180°， ∠PBC+∠D=∠PBA+∠CBA+∠D=36°+180°=216° 16.解：(1)45° (2分) (2).·AE为⊙0的直径，∴.∠AGE=90°..AG=EG, 级·RJ·数学第9页 ∠GAE=∠AEG=45°..·AE=20,由勾股定理，得AG= 10W2,.AG的长是10W2: (6分) (3)连接0G.:ME为⊙0的切线，.∠AEM=90°，由 (2)知：EG=102,∠GAE=45°，∴.ME=AE=20.20> 102,.ME>EG. (9分) 17.解：(1)连接0C、0D,过点⊙0作OH⊥CD于点H,则 ∠CH0=90°，由题意知⊙0的周长等于16rcm,由周长 公式可得⊙0半径为8cm,即0C=8cm,∠C0D=360° 6 60,÷∠C0H=30,CH=20c=4em,50H= √0C2-Cr=43(cm)； (4分) (2).·∠C0D=60°，OC=OD,.△OCD是等边三角形， ∴.CD=0C=8cm,.SAOCD= 2CD·OH= 2×8×43= 16√3(cm2),ARCDE=6S600=,963.cm。（9分) 18.解：(1).∠C=40°，.∠ABC+∠BAC=180°-40°= 140°.⊙0是△ABC内切圆，.∠BA0=∠CA0, ∠ABO=∠CBO,.∴.∠OAB+∠OBA= 2×140°=70， ∠A0B=180°-70°=110°： (4分) (2)设DE与⊙0相切于点I,∴EH=EI,DI=DG, △CDE的周长为：CD+CE+DE=CD+DI+CE+EI=CD+ DG+CE+EH=CG+CH.AF=AH,BF=BG,CG=CH, CG+CH=(AB+BC+AC)-(AH+AF+BF+BG)=8+6+9- 2AB=11. (9分) 19.解：(1)DE与⊙0相切，理由：连接OD..AB=AC, ∠ABC=∠C.,OB=OD,∴.∠ABC=∠ODB,∠ODB= ∠C,.OD∥AC,又.DE⊥AC,.OD⊥DE,又.OD是 ⊙O的半径，.DE是⊙O的切线； (4分) (2)连接AD.AB为⊙O的直径，.AD⊥BC.,·AC= AB,.'.CD=BD=-BC=3..AB=5...AD=AB2-BD2 2 =4.AC=AB=5,.S△AGn= ×4×3=1D×5,.·.D四= 12 5 (9分) 20.（1)证明：连接OD、BD..AB为⊙O的直径，∴.∠ADB= ∠CDB=90°. (2分) 点E为BC的中点，.BE=DE=CE,.∠DBE= ∠BDE.,OB=OD,.∠OBD=∠ODB,∴.∠OBD+ ∠DBE=∠ODB+∠BDE,即∠ABC=∠ODE=90°，.·.OD ⊥DE,·OD是⊙O的半径，.DE是半圆⊙O的切线： (5分) (2)解：由(1)知：BE=DE=CE=2,.BC=4.∠ACB= 60°，∴.△CDE是等边三角形，∴.CD=CE=2.在Rt△ABC 中，∠BAC=30°，AC=2BC=8,∴.AD=8-2=6.(9分) 21.(1)证明：选择①CD∥A0,∠ABC=45°.连接0C,则 ∠A0C=2∠ABC=90°，即OC⊥OA..'CD∥A0,∴.OC⊥ CD.OC是半径，∴CD是⊙0的切线； （5分) (2)解：连接0B,0C.AB=CB,OB=OB,OA=OC,∴ △AOB≌△COB(SSS),∴.∠ABO=∠CBO=∠OAB= 22.5°，∠B0C=∠A0B=180°-22.5°-22.5°=135°. (10分) 22.(1)证明：连接OC,OD..·AC,BD分别与⊙0相切于点 C,D,∴.∠AC0=∠BD0=90° (3分) (AC=BD 在△ACO和△BDO中， {∠AC0=∠BD0=90°，..△AC0 lOC=OD △BDO(SAS),.AO=BO.又.·EO=FO,∴.AE=BF (6分) (2)解：设0E=0C=x,则A0=x+4.在Rt△AC0中，由勾 股定理，得(x+4)2=x+82.解得x=6.∴.A0=10..∴.AB= 20.∴.两个绳柄之间的距离AB为20. (10分) 23.(1)圆的切线垂直于过切点的半径直径所对的圆周 角是直角 (2分) (2)证明：∠E=∠CAB.AC=AC,.∠E=∠D,. ∠CAB=∠D; (6分) 追梦之旅铺路卷·九年 (3)解：弦切角∠CAB=30°，由(2)可知：∠CAB=∠D =∠E=30°.AE为⊙0直径，∴.∠ACE=90°，在 Rt△AEC中，AE=2x2=4,.AC=7AE=2. (10分) 追梦期末达标测试卷 答案12345678910 速查BD CC D CD D B C 1.B 【知识回顾】绕某一点旋转180度后和原图形完全重合 的图形，是中心对称图形. 2.D 3.C【解析】根据定义，得3x※(-1)=9x2+6x+1=-2,∴ 9x2+6x+3=0..:△=62-4×9×3=-72<0，.方程无实数 根.故选C. 大 4.C 5.D【解析】y=-3(x-1)2-7,-3<0,.对称轴为直线x= 1,抛物线开口向下，函数的最大值是-7，顶点的坐标为 案 (1,-7),.D正确.故选D. 6.C 7.D【解析】∠ACB=90°，∠ABC=30°，∠A=60°，由旋 转的性质可得CA=CA',LACA'=a,.△CA'A是等边三 角形，∴.∠ACA'=60°，∴.=60°.故选D. 8D【解析】设A(a,点)，则4D=a,0D=冬 401 AC2' ∴.AC=2a,CD=3a.'CA⊥y轴，BC⊥AC,∴.BCy轴，∴ B(3a,3a' kk 2k ),.BC= a3a3 .S#形0BCD=S△A0D+ 1k+2k)×3a= S回选840c,小2X( a 3a k+8,解得k=4.故选 D. 9.B【解析】连接OA.,·AB⊥CD,且AB=10寸，∴.AE=BE =5寸，设圆0的半径0A的长为x,则0C=0D=x.CE =1,∴.0E=x-1,在直角三角形AOE中，根据勾股定理得 x2-(x-1)2=52,解得x=13,.2x=26,.CD=26寸.故选 B. 10.C【解析1由题意得，设p=(k≠0)，将点(20,30) 代入反比例函数的解析式可得300= ,解得k=6000, Γ20 6000 ,p= ,当V=15mL时，p= 6000 =400kPa,.k=6000 15 >0,p随V的增大而减小，观察图象可知，当气体体积 V大于20mL时，压强p小于300kPa,当V=60mL时，p= 6000=100kPa,.当15ml<<60mL时，压强p的变化范 60 国为100kPa<p<400kPa.当V=30mL时，p=6000- 30 200kPa,当气体体积增加10mL时，即V=40mL时，p= 6000=150kPa,200-150=50(kPa),C错误.故选C. 40 11.x2-3x=0(答案不唯一)12.y=x2-3 1 13.60m【解析】S%形=2=2×12m×10=60m(cm). 144【解析1候题意，令h=0时，则=0，解得=0， t2=4,则4-0=4，∴.仿生跳跃机器人从起跳到落地所用 的时间为4s. 15.2【解析】当y=0时，(x+4)(x-1)=0,解得x=-4,x2 =1,则A(-4,0),B(1,0).Q是线段PA的中点，在x 轴上确定点M(4,0),使得点0为AM的中点，连接 PM,此时OQ为△AMP的中位线，OQ=2MP,当MP 最小时，OQ最小，连接MC交圆C于，点P时，此时MP 最小.∠C0M=90°，C(0,3),M(4,0),∴.在Rt△C0M 中，MC=√3+4=5，MPa=CM-CP=4,0Q=2 及·RJ·数学第10页