专题07 倍数与因数（讲义）-2026-2027学年五年级上册数学北师大版

该小学数学单元复习讲义通过知识框架系统梳理倍数与因数知识，从基本概念、找法与特征到2、5、3倍数特征，再到质数合数及100以内质数规律，层层递进呈现知识脉络，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于易错指引精准避坑和分层练习设计，如“有序成对找因数”“3的倍数数位和判定”培养数学思维，例题中“方阵人数”“分本子”等实际问题引导用数学眼光解决问题，真题拔高满足不同学生需求，助力教师精准教学。

单元复习讲义：专题07 倍数与因数 知识精讲 知识点一、倍数与因数的基本概念 1. 研究范围界定 倍数与因数的研究范围仅限于非0自然数（1、2、3、4……），小数、分数、0均不参与倍数与因数的概念研究。 2. 倍数与因数的定义 在非0自然数除法算式中，如果被除数除以除数，所得的商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。 3. 相互依存关系 倍数和因数是相互依存、成对出现的概念，不能单独说某一个数是倍数或某一个数是因数，必须表述为谁是谁的倍数、谁是谁的因数。 知识点二、找因数的方法与因数的特征 1. 找一个数因数的方法 从1开始，有序成对寻找两个自然数相乘等于这个数的所有组合，所有参与相乘的数都是这个数的因数，查找过程必须从小到大、不重复、不遗漏。 2. 因数的核心特征 一个数的因数个数是有限的；一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身。 3. 特殊数的因数特点 数字1的因数只有它本身，1是所有非0自然数的公因数；除1以外的自然数，至少有两个及以上因数。 知识点三、找倍数的方法与倍数的特征 1. 找一个数倍数的方法 用这个数依次乘1、2、3、4……所得的积，都是这个数的倍数，倍数可以无限依次列举。 2. 倍数的核心特征 一个数的倍数个数是无限的；一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 3. 因数与倍数整体关系 一个数的最大因数和最小倍数相等，都等于这个数本身。 知识点四、2、5的倍数特征 1. 2的倍数特征 个位上是0、2、4、6、8的自然数，都是2的倍数。 2. 奇数与偶数的定义 是2的倍数的数叫做偶数，最小的偶数是0；不是2的倍数的数叫做奇数，最小的奇数是1。自然数分为奇数和偶数两大类。 3. 5的倍数特征 个位上是0或5的自然数，都是5的倍数。 4. 同时是2和5的倍数特征 个位上是0的自然数，既能满足2的倍数特征，又能满足5的倍数特征，是2和5的共同倍数。 知识点五、3的倍数特征 1. 3的倍数判定规则 一个数各个数位上的数字相加的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，与个位数字大小无关。 2. 拓展规律 判断大数是否为3的倍数时，可反复累加数位数字，直至算出简单和值，快速判定；3的倍数个位数字无固定规律。 3. 2、3、5共同倍数特征 个位必须是0，且各个数位数字之和是3的倍数，同时满足2、3、5的倍数条件。 知识点六、质数与合数 1. 质数的定义 一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数（也叫素数）。质数的因数个数固定为2个。 2. 合数的定义 一个数除了1和它本身以外，还有其他因数，这个数叫做合数。合数的因数个数大于2个。 3. 特殊数字分类规定 1既不是质数，也不是合数。最小的质数是2，最小的合数是4。 4. 质数合数奇偶规律 2是唯一的偶质数，其余所有质数都是奇数；合数既有奇数也有偶数。 5. 自然数分类标准 按因数个数多少，自然数可分为三类：质数、合数、1，三者独立、无重叠、无遗漏。 知识点七、100以内质数核心规律 1. 基础特征 100以内质数除2以外全部为奇数，除5以外，个位不会出现5；质数无法被2、3、5、7任意一个数整除。 2. 快速判定方法 判断一个数是否为质数，只需试除2、3、5、7，若均不能整除，即为质数；若能整除则为合数。 易错指引 1. 概念范围易错 对小数、分数讨论倍数与因数；忽略研究范围仅限非0自然数，概念适用范围混淆。 2. 依存关系易错 单独描述一个数是倍数或一个数是因数，违背相互依存的定义规则。 3. 因数倍数特征易错 误认为一个数的因数个数无限、倍数个数有限；记错最大因数、最小倍数的规律。 4. 倍数特征易错 判断3的倍数只看个位；混淆2、5、3的倍数判定规则，判定依据记错。 5. 质数合数易错 误认为所有奇数都是质数、所有偶数都是合数；忘记1既不是质数也不是合数；混淆最小质数和最小合数。 6. 奇偶分类易错 遗漏0是偶数；混淆奇数、偶数、质数、合数四者概念，交叉判断出错。 7. 找因数倍数易错 找因数时无序查找，出现重复、遗漏；找倍数时终止，误以为倍数数量有限。 一、例题讲解 【例题】 1．10和15的最小公倍数是( )，根据最小公倍数再写出10和15的两个公倍数( )、( )。 【例题】 2．356至少加上( )才是5的倍数，至少减去( )才有因数3。 【例题】 3．五年级同学进行军体拳展示，每个班的学生人数都不超过40人，其中五（1）班同学排成方阵时，正好可以排成5行或7行。这个班共有多少人？ 【例题】 4．张老师把42本作文本和30本数学本分别平均分给几个同学，正好分完。最多可以分给几个同学？每个同学分得两种作业本各多少本？ 真题拔高 二、填空题 5．斐波那契数列又称黄金分割数列，指的是这样一串数列：这串数列的前100个数中共有( )个奇数。 6．把一张长30厘米、宽24厘米的长方形纸剪成边长是整厘米数、相同的正方形（没有剩余），正方形边长最大是( )厘米，可以剪出( )个这样的正方形。 7．学校美术社团总人数在30～50人之间，且平均分成4组或5组都正好分完没有剩余。根据以上信息可知，该社团共有( )人。 8．哥德巴赫猜想认为：“任意一个大于2的偶数，都可以表示为两个质数之和。”如：4＝2＋2，6＝3＋3，8＝5＋3，10＝7＋3，12＝7＋5…如果要符合此猜想，那么50＝( )。 9．实验小学舞蹈队排练每8人一行或每12人一行都能正好排成整行数，已知舞蹈队的人数在80—100人之间。实验小学舞蹈队共有( )人。 10．已知A＝2×3×3×5，B＝2×5×7，A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 11．有八十多个桃子，4个装一盒、6个装一盒都恰好装完，桃子一共有( )个。 12．9和8的最小公倍数是( )。36和54的最大公因数是( )。 三、选择题 13．如果都是非零自然数，那么和的最大公因数是（    ）。 A． B． C．1 D． 14．下面说法不正确的是（    ）。 A．一个数是4的倍数，它一定是偶数 B．2是所有质数中唯一的偶数 C．一个数越大，它的因数的个数越多 D．1既不是质数也不是合数 15．若两个不同质数相乘得到一个合数，这个合数的因数一共有（    ）个。 A．2 B．3 C．4 D．无数 16．用36朵玫瑰和24朵百合搭配成同样的花束（正好用完，没有剩余），最多能搭配成（    ）束。 A．6 B．8 C．10 D．12 17．用3、4、5三个数字任意排列组成一个三位数，这个三位数一定是（    ）。 A．2的倍数 B．3的倍数 C．5的倍数 D．无法确定 四、判断题 18．一个三位数是2、3、5的公倍数，这个三位数最小是150。( ) 19．在1－20中，既是质数又是奇数的数有8个。( ) 20．如果B是A的2倍（A、B为非零自然数），那么A、B的最大公因数是A，最小公倍数是B。( ) 21．如果n是自然数，那么2n＋1一定是偶数。( ) 22．两个数的和是偶数，如果其中一个是奇数，另一个一定是奇数。( ) 五、计算题 23．用短除法求下面每组数的最大公因数。 13和17        18和48        81和27        26和91 六、解答题 24．5路和17路公交车都是早上6：20首次同时发车，5路和17路公交车第二次同时发车的时间是几时几分？ 5路公交车每12分钟发一次车 17路公交车每16分钟发一次车 25．一段公路长240米，在公路的一侧原计划每10米栽一棵树（两端都栽）。现在改成每8米栽一棵树，除两端的2棵树不需要移动外，中间还有多少棵树不需要移动？ 26．把长120厘米，宽100厘米的长方形铁板裁成面积相等，边长最大的正方形（边长为整厘米数）而且没有剩余，可以裁成多少块？ 27．有两根铁丝，长分别是24厘米和60厘米，现在要把它们截成同样长的小段，不能有剩余。每段最长是多少厘米？一共可以截成多少根这样的小段？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元复习讲义：专题07 倍数与因数 知识精讲 知识点一、倍数与因数的基本概念 1. 研究范围界定 倍数与因数的研究范围仅限于非0自然数（1、2、3、4……），小数、分数、0均不参与倍数与因数的概念研究。 2. 倍数与因数的定义 在非0自然数除法算式中，如果被除数除以除数，所得的商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。 3. 相互依存关系 倍数和因数是相互依存、成对出现的概念，不能单独说某一个数是倍数或某一个数是因数，必须表述为谁是谁的倍数、谁是谁的因数。 知识点二、找因数的方法与因数的特征 1. 找一个数因数的方法 从1开始，有序成对寻找两个自然数相乘等于这个数的所有组合，所有参与相乘的数都是这个数的因数，查找过程必须从小到大、不重复、不遗漏。 2. 因数的核心特征 一个数的因数个数是有限的；一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身。 3. 特殊数的因数特点 数字1的因数只有它本身，1是所有非0自然数的公因数；除1以外的自然数，至少有两个及以上因数。 知识点三、找倍数的方法与倍数的特征 1. 找一个数倍数的方法 用这个数依次乘1、2、3、4……所得的积，都是这个数的倍数，倍数可以无限依次列举。 2. 倍数的核心特征 一个数的倍数个数是无限的；一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 3. 因数与倍数整体关系 一个数的最大因数和最小倍数相等，都等于这个数本身。 知识点四、2、5的倍数特征 1. 2的倍数特征 个位上是0、2、4、6、8的自然数，都是2的倍数。 2. 奇数与偶数的定义 是2的倍数的数叫做偶数，最小的偶数是0；不是2的倍数的数叫做奇数，最小的奇数是1。自然数分为奇数和偶数两大类。 3. 5的倍数特征 个位上是0或5的自然数，都是5的倍数。 4. 同时是2和5的倍数特征 个位上是0的自然数，既能满足2的倍数特征，又能满足5的倍数特征，是2和5的共同倍数。 知识点五、3的倍数特征 1. 3的倍数判定规则 一个数各个数位上的数字相加的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，与个位数字大小无关。 2. 拓展规律 判断大数是否为3的倍数时，可反复累加数位数字，直至算出简单和值，快速判定；3的倍数个位数字无固定规律。 3. 2、3、5共同倍数特征 个位必须是0，且各个数位数字之和是3的倍数，同时满足2、3、5的倍数条件。 知识点六、质数与合数 1. 质数的定义 一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数（也叫素数）。质数的因数个数固定为2个。 2. 合数的定义 一个数除了1和它本身以外，还有其他因数，这个数叫做合数。合数的因数个数大于2个。 3. 特殊数字分类规定 1既不是质数，也不是合数。最小的质数是2，最小的合数是4。 4. 质数合数奇偶规律 2是唯一的偶质数，其余所有质数都是奇数；合数既有奇数也有偶数。 5. 自然数分类标准 按因数个数多少，自然数可分为三类：质数、合数、1，三者独立、无重叠、无遗漏。 知识点七、100以内质数核心规律 1. 基础特征 100以内质数除2以外全部为奇数，除5以外，个位不会出现5；质数无法被2、3、5、7任意一个数整除。 2. 快速判定方法 判断一个数是否为质数，只需试除2、3、5、7，若均不能整除，即为质数；若能整除则为合数。 易错指引 1. 概念范围易错 对小数、分数讨论倍数与因数；忽略研究范围仅限非0自然数，概念适用范围混淆。 2. 依存关系易错 单独描述一个数是倍数或一个数是因数，违背相互依存的定义规则。 3. 因数倍数特征易错 误认为一个数的因数个数无限、倍数个数有限；记错最大因数、最小倍数的规律。 4. 倍数特征易错 判断3的倍数只看个位；混淆2、5、3的倍数判定规则，判定依据记错。 5. 质数合数易错 误认为所有奇数都是质数、所有偶数都是合数；忘记1既不是质数也不是合数；混淆最小质数和最小合数。 6. 奇偶分类易错 遗漏0是偶数；混淆奇数、偶数、质数、合数四者概念，交叉判断出错。 7. 找因数倍数易错 找因数时无序查找，出现重复、遗漏；找倍数时终止，误以为倍数数量有限。 一、例题讲解 【例题】 1．10和15的最小公倍数是( )，根据最小公倍数再写出10和15的两个公倍数( )、( )。 【答案】 【分析】利用列举法求出10、15的最小公倍数，几个数公有的倍数叫作这几个数的公倍数，其中最小的一个叫作最小公倍数。这几个数的最小公倍数依次乘2、乘3……可以得到其他公倍数。 【详解】10的倍数：10、20、30、40、50、60、70、80、90… 15的倍数：15、30、45、60、75、90… 找出两个列表里共同出现的数就是公倍数：30、60、90… 其中最小的那一个30就是10和15的最小公倍数。 30×2＝60，30×3＝90。 所以10和15的其他两个公倍数是60、90。（答案不唯一） 【例题】 2．356至少加上( )才是5的倍数，至少减去( )才有因数3。 【答案】 4 2 【分析】5的倍数的特征：个位上是0或5的数。要使356加上一个数后是5的倍数，且加上的数最小，需找到比356大的最小的5的倍数。 3的倍数的特征：各位数字之和是3的倍数。要使356减去一个数后有因数3（即是3的倍数），且减去的数最小，需找到比356小的最大的3的倍数。 【详解】判断5的倍数：356的个位数字是6。比356大且个位是0或5的最小数是360。 至少加上的数为：360－356＝4。 判断3的倍数：计算356各位数字之和：3＋5＋6＝14。14不是3的倍数，14÷3＝4……2。要使结果有因数3，即各位数字之和需变为3的倍数。至少减去的数即为余数2（此时各位数字之和变为12，是3的倍数）。 【例题】 3．五年级同学进行军体拳展示，每个班的学生人数都不超过40人，其中五（1）班同学排成方阵时，正好可以排成5行或7行。这个班共有多少人？ 【答案】人 【分析】（）因为排成每行人数相等的队列时，总人数是行数的倍数，所以如果能排成行的方阵，那么总人数是的倍数；如果能排成行的方阵，那么总人数是的倍数。 （）因为总人数同时是和的倍数，所以需要先求出和的公倍数。 （）再结合班级人数不超过人的限制条件，从公倍数中筛选出符合要求的数值。 【详解】因为排成行或行都正好没有剩余，所以班级人数是和的公倍数。和的最小公倍数是： 因为，符合每班人数不超过人的要求，所以这个班共有人。 答：这个班共有人。 【例题】 4．张老师把42本作文本和30本数学本分别平均分给几个同学，正好分完。最多可以分给几个同学？每个同学分得两种作业本各多少本？ 【答案】个；本作文本；本数学本； 【分析】要使两种本子都正好分完，同学人数是和的公因数；求最多的人数，就是求和的最大公因数。再用总本数除以人数，得到每人分得的本数。 【详解】 和的最大公因数是，即最多分给个同学。 （本） （本） 答：最多可以分给个同学，每个同学分得本作文本和本数学本。 真题拔高 二、填空题 5．斐波那契数列又称黄金分割数列，指的是这样一串数列：这串数列的前100个数中共有( )个奇数。 【答案】66 【分析】这串数列每个数的奇偶性分别是偶数、奇数、奇数、偶数、奇数、奇数、偶数、奇数⋯。可得奇偶性以“偶数、奇数、奇数”为一个周期循环。 【详解】 奇数：33×2＝66（个） 6．把一张长30厘米、宽24厘米的长方形纸剪成边长是整厘米数、相同的正方形（没有剩余），正方形边长最大是( )厘米，可以剪出( )个这样的正方形。 【答案】 6 20 【分析】要把长方形纸剪成相同的正方形且没有剩余，正方形的边长必须既是长方形长的因数，也是宽的因数，即长和宽的公因数。要求正方形边长最大，就是求长和宽的最大公因数。求出边长后，用长方形的长和宽分别除以边长，所得商的乘积即为正方形的个数。 【详解】30的因数有：1，2，3，5，6，10，15，30； 24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24； 30和24的公因数：1，2，3，6，最大公因数是6； 所以正方形边长最大是6厘米。 可以剪出的正方形个数： （个） 因此，正方形边长最大是6厘米，可以剪出20个这样的正方形。 7．学校美术社团总人数在30～50人之间，且平均分成4组或5组都正好分完没有剩余。根据以上信息可知，该社团共有( )人。 【答案】 40 【分析】根据题意，社团总人数在30到50之间，且能平均分成4组或5组正好分完，说明总人数既是4的倍数，又是5的倍数。我们可以先找出30到50之间5的倍数，再逐一验证这些数是否也是4的倍数，从而确定总人数。 【详解】 5×8＝40 因此，30到50之间5的倍数是30、35、40、45、50； 验证这些数能否被4正好分完（没有剩余）： 30÷4＝7……2，不能正好分完； 35÷4＝8……3，不能正好分完； 40÷4＝10，能正好分完； 45÷4＝11……1，不能正好分完； 50÷4＝12……2，不能正好分完。 因此，该社团共有40人。 8．哥德巴赫猜想认为：“任意一个大于2的偶数，都可以表示为两个质数之和。”如：4＝2＋2，6＝3＋3，8＝5＋3，10＝7＋3，12＝7＋5…如果要符合此猜想，那么50＝( )。 【答案】3＋47 【分析】质数是指大于1的自然数中，除了1和它自身之外，没有其他正因数的数，注意数字1不属于质数。根据题干给出的规律，任意一个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和。找出50以内的质数，依次用50减去上面的质数，判断得到的差是不是质数，寻找和为50的两个质数。 【详解】首先找出50以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47。 从较小的质数开始尝试： 50－2＝48，48除了1和48之外还有因数，不是质数，不符合要求。 50－3＝47，47除了1和47之外没有其他因数，是质数，因此3＋47符合要求。 50－5＝45，45除了1和45之外还有因数，不是质数，不符合要求。 50－7＝43，43除了1和43之外没有其他因数，是质数，因此7＋43符合要求。 50－11＝39，39除了1和39之外还有因数，不是质数，不符合要求。 50－13＝37，37除了1和37之外没有其他因数，是质数，因此13＋37符合要求。 50－17＝33，33除了1和33之外还有因数，不是质数，不符合要求。 50－19＝31，31除了1和31之外没有其他因数，是质数，因此19＋31符合要求。 50－23＝27，27除了1和27之外还有因数，不是质数，不符合要求。 50－29＝21，21除了1和21之外还有因数，不是质数，不符合要求。 50－41＝9，9除了1和9之外还有因数，不是质数，不符合要求。 符合条件的：3＋47或7＋43或13＋37或19＋31。 9．实验小学舞蹈队排练每8人一行或每12人一行都能正好排成整行数，已知舞蹈队的人数在80—100人之间。实验小学舞蹈队共有( )人。 【答案】96 【分析】每8人一行或每12人一行都正好能排成整行，说明舞蹈队的人数是8和12的公倍数，先求出8和12的最小公倍数，再结合人数范围确定舞蹈队的人数。 【详解】8＝2×2×2 12＝2×2×3 所以8和12的最小公倍数是2×2×2×3＝24。 已知舞蹈队的人数在80~100人之间，所以舞蹈队的人数为24×4＝96人。 即：实验小学舞蹈队共有96人。 10．已知A＝2×3×3×5，B＝2×5×7，A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 10 630 【分析】先计算出A、B的最终结果，然后再用短除法分别求出A和B的最大公因数和最小公倍数即可。 【详解】 A和B的最大公因数是： A和B的最小公倍数是： 11．有八十多个桃子，4个装一盒、6个装一盒都恰好装完，桃子一共有( )个。 【答案】84 【分析】确定桃子总数是4和6的公倍数，先用短除法计算4和6的最小公倍数。 因为桃子数量为八十多个，所以在4和6的公倍数中找到取值在80到90之间的数，即为所求。 【详解】 4和6的最小公倍数是： 4和6的公倍数：12、24、36、48、60、72、84、96…… 4和6的公倍数中在80到90之间的数是84。 所以桃子一共有84个。 12．9和8的最小公倍数是( )。36和54的最大公因数是( )。 【答案】 72 18 【分析】最大公因数：指两个数公有质因数的乘积（把相同的质因数乘起来）。最小公倍数：指两个数公有质因数与各自独有质因数的乘积（把相同的质因数和各自不同的质因数都乘起来）。 【详解】求9和8的最小公倍数：9和8是相邻的两个数，它们的公因数只有1，属于互质数，互质数的最小公倍数就是两个数的乘积，9×8＝72。 求36和54的最大公因数：可以分别列出两个数的所有因数，36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36，54的因数有1、2、3、6、9、18、27、54，从中找出共有的最大的数，就是18。 三、选择题 13．如果都是非零自然数，那么和的最大公因数是（    ）。 A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】因为两个非零自然数，所以m＝3n，再根据两个数成倍数关系时，较小数就是它们的最大公因数。 【详解】因为，可知m是n的3倍，两数成倍数关系，因此m和n的最大公因数是较小数n。 14．下面说法不正确的是（    ）。 A．一个数是4的倍数，它一定是偶数 B．2是所有质数中唯一的偶数 C．一个数越大，它的因数的个数越多 D．1既不是质数也不是合数 【答案】C 【分析】先明确偶数、质数、合数、因数的基本定义，作为判断各选项的依据。 （）因为是的倍数，所以如果一个数是的倍数，那么它一定能被整除，结合偶数的定义判断即可。 （）根据质数的定义列出最小质数，判断是否只有是偶数。 （）如果要判断因数个数和数的大小的关系，那么只需举反例对比大小不同的数的因数个数即可。 （）根据质数和合数的定义，直接判断的归类。 【详解】．是的倍数的数一定能被整除，能被整除的数是偶数，该说法正确。 ．质数只有和它本身两个因数，所有大于的偶数都至少有、、它本身三个因数，都是合数，因此是所有质数中唯一的偶数，该说法正确。 ．举反例：，的因数有、、、、、共个，的因数只有、共个，可见因数个数和数的大小没有必然联系，该说法错误。 ．只有个因数，不符合质数（个因数）、合数（至少个因数）的定义，因此既不是质数也不是合数，该说法正确。 15．若两个不同质数相乘得到一个合数，这个合数的因数一共有（    ）个。 A．2 B．3 C．4 D．无数 【答案】C 【分析】质数只有1和它本身两个因数，合数除了1和它本身还有别的因数；找出两个不同质数，计算出乘积得到合数，然后找出合数的全部因数，统计个数即可。 【详解】假设两个不同的质数为2和3，它们的乘积为：，6的因数有1、2、3、6，共4个。 假设两个不同的质数为5和7，它们的乘积为：，35的因数有1、5、7、35，共4个。 假设两个不同的质数为11和17，它们的乘积为：，187的因数有1、11、17、187，共4个。 这个合数的因数一共有4个。 16．用36朵玫瑰和24朵百合搭配成同样的花束（正好用完，没有剩余），最多能搭配成（    ）束。 A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】要搭配成同样的花束且两种花正好用完没有剩余，求最多能搭配的束数，就是求36和24的最大公因数。 【详解】 36和24的最大公因数是。 用36朵玫瑰和24朵百合搭配成同样的花束（正好用完，没有剩余），最多能搭配成12束。 17．用3、4、5三个数字任意排列组成一个三位数，这个三位数一定是（    ）。 A．2的倍数 B．3的倍数 C．5的倍数 D．无法确定 【答案】B 【分析】2的倍数特征：末尾数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数字就是3的倍数；5的倍数特征：末尾数字是0或5的数是5的倍数，据此选择即可。 【详解】因为3＋4＋5＝12，12是3的倍数，所以用3、4、5三张数字卡片任意摆一个三位数，这个三位数一定是3的倍数。 四、判断题 18．一个三位数是2、3、5的公倍数，这个三位数最小是150。( ) 【答案】 × 【分析】同时是2、3、5的倍数的数个位必须是0，且三个数位数字之和是3的倍数，据此判断即可。 【详解】2、3、5的公倍数，个位只能是0；要得到最小的三位数，百位最小取1，此时百位和个位的和为： 要满足是3的倍数，三个数位的和最小为3，因此十位最小取， 这个数是120，120＜150，所以最小的符合要求的三位数是120。 故答案为：× 19．在1－20中，既是质数又是奇数的数有8个。( ) 【答案】× 【分析】质数：只有1和它本身两个因数。 奇数：不能被2整除的整数。 先找出1～20以内质数，再从中筛选奇数。 注意：1既不是质数，也不是合数。 【详解】1～20中的质数：2，3，5，7，11，13，17，19 其中奇数：3，5，7，11，13，17，19，一共7个。 2是质数，但属于偶数。 题目说有8个，说法错误。 故答案为：× 20．如果B是A的2倍（A、B为非零自然数），那么A、B的最大公因数是A，最小公倍数是B。( ) 【答案】√ 【分析】成倍数关系的两个非零自然数，较小的数是两数的最大公因数，较大的数是两数的最小公倍数。 【详解】已知B是A的2倍，A、B为非零自然数，所以A和B成倍数关系，且B＞A。 因此A、B的最大公因数是A，最小公倍数是B，原题说法正确。 故答案为：√ 21．如果n是自然数，那么2n＋1一定是偶数。( ) 【答案】× 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数，可结合奇偶性性质或举例判断。 【详解】n是自然数时，2n是2乘自然数，一定是2的倍数，属于偶数。偶数加1得到的数不是2的倍数，属于奇数。 举例验证： n＝1时，，3是奇数； n＝2时，，5是奇数。 所以2n＋1一定是奇数。 故答案为：× 22．两个数的和是偶数，如果其中一个是奇数，另一个一定是奇数。( ) 【答案】 √ 【分析】依据奇偶数相加的和的奇偶性规律：奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数， 奇数＋偶数＝奇数，判断即可。 【详解】两个数的和是偶数，说明这两个数同为奇数或同为偶数，已知其中一个是奇数，因此另一个一定是奇数。 故答案为：√ 五、计算题 23．用短除法求下面每组数的最大公因数。 13和17        18和48        81和27        26和91 【答案】 ；；； 【分析】用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数时，除以两个数的公因数，一直除下去，直到除得的两个商互质为止。把所有的除数连乘起来就得到它们的最大公因数，把所有的除数和最后的两个商连乘起来就是它们的最小公倍数。 【详解】 和都是质数，只有公因数； 和的最大公因数：； 和的最大公因数：； 和的最大公因数是：。 六、解答题 24．5路和17路公交车都是早上6：20首次同时发车，5路和17路公交车第二次同时发车的时间是几时几分？ 5路公交车每12分钟发一次车 17路公交车每16分钟发一次车 【答案】7时8分 【分析】5路车的发车间隔是12的倍数，17路车的发车间隔是16的倍数，两路车第二次同时发车的间隔时间是12和16的最小公倍数，用首次同时发车时间加上这个间隔时间就能得到结果。 【详解】12＝2×2×3，16＝2×2×2×2 12和16的最小公倍数：2×2×3×2×2＝48， 也就是两路车每隔48分钟会同时发车一次。 首次同时发车的6∶20再过48分钟时：6时20分＋48分＝7时8分 答：5路和17路公交车第二次同时发车的时间是7时8分。 25．一段公路长240米，在公路的一侧原计划每10米栽一棵树（两端都栽）。现在改成每8米栽一棵树，除两端的2棵树不需要移动外，中间还有多少棵树不需要移动？ 【答案】5棵 【分析】由题意可知，不需要移动的树的位置，是10和8的公倍数的位置，则相邻两棵不需要移动的树之间的间隔是米，间隔数＝总长÷间隔距离，不需要移动的总棵数＝间隔数＋1，再减去两端的2棵，即是中间不需要移动的棵数。 【详解】10＝2×5，8＝2×2×2 8和10的最小公倍数是2×2×2×5＝40 240÷40＋1－2 ＝6＋1－2 ＝7－2 ＝5（棵） 答：中间还有5棵树不需要移动。 26．把长120厘米，宽100厘米的长方形铁板裁成面积相等，边长最大的正方形（边长为整厘米数）而且没有剩余，可以裁成多少块？ 【答案】30块 【分析】裁成的正方形边长需同时是120和100的因数，要使正方形边长最大且无剩余，应取120和100的最大公因数作为边长，再用长、宽分别除以边长得到两个方向的块数，相乘得总块数。 【详解】 120和100的最大公因数是： ＝ ＝ （个） （个） （块） 答：可以裁成30块。 27．有两根铁丝，长分别是24厘米和60厘米，现在要把它们截成同样长的小段，不能有剩余。每段最长是多少厘米？一共可以截成多少根这样的小段？ 【答案】12厘米；7根 【分析】截成同样长的若干小段，不能有剩余，说明每段长度是24厘米的因数，也是60厘米的因数，即每段长度是24厘米与60厘米的公因数，每段最长是多少厘米，就是24与60的最大公因数。求出每段长度后，用24厘米与60厘米的和除以每段长度可算得一共可以截成多少根这样的小段。 【详解】24的因数：1，2，3，4，6，8，12，24。 60的因数：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60。 24和60的最大公因数是12。 （24＋60）÷12 ＝84÷12 ＝7（根） 答：每段最长是12厘米，一共可以截成7根这样的小段。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $