2.3.2 有理数的乘方运算（第二课时）同步练习 2026-2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 初中数学有理数的乘方运算同步练，覆盖乘方运算律与混合运算、科学记数法、乘方实际应用，通过“过基础+过能力”分层设计，实现从单一知识点到综合应用的进阶，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |过基础|乘方运算、科学记数法表示、简单实际应用（细胞分裂、折纸）|选择/填空/解答题结合，直接应用运算律与公式，突出符号法则和基本模型| |过能力|混合运算综合、规律探究（个位数字循环）、复杂实际问题（成本降低）|含多选题与推理解答题，融合相反数/倒数等知识，强化抽象思维与问题解决|

2.3.2 有理数的乘方运算（第二课时）学习目标、知识点总结与练习题设计（含详情解析） （建议作答时间：45分钟） 第一部分 学习目标与知识点总结 学习目标 1. 进一步理解乘方的意义，能正确进行乘方混合运算； 2. 掌握乘方运算律，能运用运算律简化乘方计算； 3. 掌握科学记数法的概念，能正确用科学记数法表示数； 4. 能运用乘方解决实际问题（增长率、面积体积、规律探究等）。 知识点一：乘方运算律与混合运算 乘方运算律： · 符号法则：奇负偶正 · 运算顺序：乘方 → 乘除 → 加减（有括号先算括号内） 常见公式： · · 口诀： 混合运算顺序清，乘方优先要记明；括号里面先算清，乘除加减依次行。 知识点二：科学记数法 科学记数法： 把一个大于  的数表示成  的形式，其中 ， 为正整数。 确定  的方法：  等于原数的整数位数减 。 口诀： 科学记数有妙招， 在  到  之间找；小数点向左移动几位， 的指数就是几。 知识点三：乘方的实际应用 常见应用模型： 1. 增长率问题： 经过  次增长后的总量  2. 折纸问题： 对折  次的层数  3. 细胞分裂： 分裂  次后的个数  4. 面积/体积： 边长扩大  倍，面积扩大  倍，体积扩大  倍 第二部分 练习题巩固（过基础） 知识点一：乘方运算律与混合运算 1. [2025·广东广州·荔湾区期末]（选择题） 计算  的结果是（ ） A.   B.   C.   D.  2. [2025·四川成都·青羊区期中]（多选题） 下列计算正确的是（ ） A.    B.  C.    D.  3. [2026·湖北武汉·江岸区月考]（选择题） 计算  的结果是（ ） A.   B.   C.   D.  4. [2025·江苏南京·玄武区期末]（填空题） 计算：。 5. [2026·浙江杭州·西湖区期中]（填空题） 计算：。 6. [2025·山东济南·历下区期末]（解答题） 计算下列各题： （1）； （2）。 知识点二：科学记数法 7. [2026·陕西西安·碑林区期中]（选择题） 我国人口约为  人，用科学记数法表示为（ ） A.   B.   C.   D.  8. [2025·湖南长沙·岳麓区期末]（选择题） 下列用科学记数法表示正确的是（ ） A.    B.  C.    D.  9. [2026·福建福州·鼓楼区模拟]（选择题） 地球半径约为  m，用科学记数法表示为  m，则  的值为（ ） A.   B.   C.   D.  10. [2025·安徽合肥·包河区期中]（填空题）  的原数是 ________。 11. [2026·辽宁沈阳·和平区期末]（填空题） 光速约为  m/s，用科学记数法表示为 ________ m/s。 12. [2025·江西南昌·东湖区期末]（解答题） 用科学记数法表示下列各数： （1）；  （2）；  （3）。 知识点三：乘方的实际应用 13. [2026·广东深圳·南山区期末]（选择题） 某种细菌每  分钟分裂一次，一个细菌经过  小时分裂后的个数为（ ） A.   B.   C.   D.  14. [2025·河南郑州·金水区期中]（选择题） 一个棱长为  cm 的正方体，棱长扩大到原来的  倍，体积扩大到原来的（ ） A.  倍  B.  倍  C.  倍  D.  倍 15. [2026·山东青岛·市南区期末]（选择题） 将一张厚度为  mm 的纸对折  次，其厚度为（ ） A.  mm   B.  mm C.  mm   D.  mm 16. [2025·吉林长春·朝阳区期末]（填空题） 某商品原价  元，每年涨价 ，两年后的价格为 ________ 元。 17. [2026·贵州贵阳·南明区期中]（填空题） 边长分别为  和  的两个正方形，面积比为 ________。 18. [2025·广西南宁·青秀区期末]（解答题） 某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（由一个分裂成两个）。 （1）经过  小时，这种细菌由  个可分裂成多少个？ （2）若有  个这种细菌，经过  小时后共有多少个细菌？ （3）若经过  小时后共有  个细菌，求  的值。 第三部分 过能力（ 选 +  填 +  解答） 1. [2025·北京·海淀区期末]（选择题） 若 ，，则  的值为（ ） A.   B.   C.   D.  2. [2026·上海·黄浦区期中]（选择题） 下列用科学记数法表示的数中，原数最大的是（ ） A.   B.   C.   D.  3. [2025·天津·和平区期末]（选择题） 计算  的结果是（ ） A.   B.   C.   D.  4. [2026·重庆·沙坪坝区期末]（选择题） 若 ，，则  的值为（ ） A.   B.   C.   D.  5. [2025·江苏苏州·工业园区期中]（选择题） 已知 ，则  的值为（ ） A.   B.   C.   D.  6. [2026·广东佛山·南海区期末]（选择题） 计算  的结果是（ ） A.   B.   C.   D.  7. [2025·浙江宁波·海曙区模拟]（选择题） 某城市人口为  万人，每年增长率为 ， 年后人口为（ ） A.  万人  B.  万人 C.  万人  D.  万人 8. [2026·四川成都·高新区期中]（选择题） 将一张正方形纸片按如图所示的方式对折（图略），对折  次后，展开得到的折痕条数为（ ） A.   B.   C.   D.  9. [2025·湖北武汉·武昌区期末]（填空题） 计算：。 10. [2026·湖南长沙·开福区期中]（填空题）  的原数中“”在 ________ 位上。 11. [2025·福建厦门·思明区期末]（填空题） 若 、 互为相反数，、 互为倒数， 的平方等于 ，则 。 12. [2026·山东济南·槐荫区期中]（填空题） 观察下列等式：，，，，，…根据规律， 的个位数字是 ________。 13. [2025·陕西西安·雁塔区期末]（填空题） 已知 ，则  用含  的式子表示为 ________。 14. [2026·广东广州·天河区期末]（解答题） 计算下列各题： （1）； （2）； （3）。 15. [2025·江苏南京·建邺区期末]（解答题） 阅读材料： 表示  个  相乘。当底数为分数时，；当底数为乘积时，。 〖运用〗 （1）计算：； （2）若 ，，求  和  的值，并判断二者是否相等； （3）若 ，，求  的值。 16. [2026·浙江杭州·上城区期末]（解答题） 某公司生产一种产品，成本为每件  元。 （1）若每年成本降低 ，则两年后每件成本为多少元？ （2）若每年成本降低 ，则  年后每件成本为多少元？（用含  的式子表示） （3）若公司计划使成本降到每件  元，按每年降低  计算，需要多少年？（提示：，） 参考答案（含详细分析解析） 一、过基础 知识点一：乘方运算律与混合运算 1.【答案】 A 【考点】同底数幂的除法拓展 【分析】本题可用乘方定义展开计算，也可利用  的规律（拓展知识）。 【解析】方法一：； 方法二：。故选 A。 【方法点睛】同底数幂相除，底数不变，指数相减。符号遵循乘方符号法则。 2.【答案】 ACD 3.【答案】 A 【解析】。故选 A。 4.【答案】  【解析】。 5.【答案】  【解析】。 6.【答案及解析】 （1）； （2）。 【方法点睛】混合运算中，确定符号是首要任务。先算乘方确定每项的符号，再算乘除，最后加减。 知识点二：科学记数法 7.【答案】 B 【分析】 的整数位数为 ，指数  = 整数位数 ，。 【解析】。故选 B。 【方法点睛】确定  的指数  的方法：数小数点向左移动了几位，即整数位数减 。 8.【答案】 B 【解析】A 错：；B 正确：；C 错：；D 错：。故选 B。 9.【答案】 B 【解析】，。故选 B。 10.【答案】  【解析】。 11.【答案】  【解析】。 12.【答案及解析】 （1）； （2）； （3）。 【方法点睛】用科学记数法表示负数时，负号照抄， 部分仍满足 。 知识点三：乘方的实际应用 13.【答案】 B 【分析】 小时  分钟，（次）。 【解析】分裂  次后个数为 。故选 B。 【方法点睛】细胞分裂次数 = 总时间 ÷ 每次分裂所需时间。分裂  次后的数量为 。 14.【答案】 D 【分析】正方体体积  棱长 。棱长扩大  倍，体积扩大  倍。 【解析】。故选 D。 【方法点睛】长度扩大  倍，面积扩大  倍，体积扩大  倍。 15.【答案】 B 【分析】对折  次厚度变为原来的  倍，对折  次为  倍。 【解析】对折  次后厚度  mm。故选 B。 【方法点睛】折纸问题模型：层数 。规律：对折  次  层， 次  层， 次  层。 16.【答案】  【解析】（元）。 17.【答案】  【解析】面积比 。 18.【答案及解析】 （1） 小时  个半小时，分裂  次，个数 （个）； （2） 小时  个半小时，分裂  次， 个细菌共 （个）； （3） 个细菌说明分裂了  次，每次半小时，（小时）。 答：（1） 个；（2） 个；（3） 小时。 二、过能力 1.【答案】 A 【解析】。故选 A。 2.【答案】 C 【解析】A：；B：；C：；D：。最大的是 。故选 C。 3.【答案】 A 【解析】。故选 B（我算的是 ，选 B）。注意验证：，。选 B。 4.【答案】 A 【解析】。故选 A。 【方法点睛】，。 5.【答案】 A 【解析】，； 。故选 A。 【方法点睛】非负数和为  的模型：，。注意平方是常见的非负形式。 6.【答案】 A 【解析】。故选 A。 【方法点睛】提取公因数 ：。 7.【答案】 A 【解析】增长率为 ， 年后为 ， 年后为 ， 年后为 。故选 A。 【方法点睛】增长率模型： 年后总量 ，其中  为增长率（用小数表示）。 8.【答案】 A 【分析】对折  次： 条折痕； 次： 条； 次： 条； 次： 条。 【解析】规律为 。故选 A。 【方法点睛】折痕条数 ，与折纸层数  相差 。 9.【答案】  【解析】。 10.【答案】 百 【解析】，数字  在百位上。 11.【答案】  【解析】，，； 。 12.【答案】  【解析】 的个位数字循环为 ，周期为 。 余 ，所以个位数字为 。 【方法点睛】末尾数字周期问题： 的个位以  循环，周期为 。求  的个位只需看  的余数。 13.【答案】  【解析】。 【方法点睛】同底数幂相乘：，即 。 14.【答案及解析】 （1） （先算乘方） （除法化乘法） 。 （2） （先算乘方） 。 （3） （先算乘方） 。 【方法点睛】混合运算的核心步骤：① 先算乘方（确定各幂的值和符号）；② 再算乘除；③ 最后加减。每一步都要注意符号的处理。 15.【答案及解析】 （1） （先算乘方） （异号得负） 。 （2）； 。 二者相等，验证了 。 （3）；； 当  时，，； 当  时，，。 所以 。 【方法点睛】 是恒等式，无论 、 取何值都成立。第（3）问可用恒等式直接得 。 16.【答案及解析】 （1） 年后：（元）；  年后：（元）。 答：两年后每件成本为  元。 （2） 年后每件成本为  元。 （3）设需要  年，则 ，。 已知 ，所以 。 答：需要  年。 【方法点睛】成本降低模型： 年后成本 ，其中  为降低率。本题关键是将  与已知条件  对应起来。 2 学科网（北京）股份有限公司 $