向量问题 练习- 2027届高三数学一轮复习圆锥曲线的专题复习

**基本信息** 以向量为工具整合圆锥曲线问题，提炼坐标化、韦达定理、点差法等核心方法，构建几何问题代数化的解题逻辑，培养数学思维与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |椭圆综合|1|向量条件坐标转化、韦达定理求参数范围|向量共线与椭圆几何性质结合，通过代数运算解决范围问题| |抛物线与椭圆综合|1|向量模平方坐标运算、函数法求范围|向量工具串联抛物线与椭圆，实现几何条件向代数关系转化| |抛物线定值证明|1|向量共线坐标表示、韦达定理证定值|向量关系简化抛物线中线段比例问题，体现运算能力| |椭圆中点弦与向量证明|1|点差法证斜率、向量加法证等差数列|向量与椭圆定义结合，培养推理能力与应用意识|

向量问题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．设椭圆：的左、右焦点分别为，上顶点为A，过点A与垂直的直线交轴负半轴于点，且，若过，，三点的圆恰好与直线相切．过定点的直线与椭圆交于，两点（点在点，之间）． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若实数满足，求的取值范围． 2．已知抛物线的焦点为，点与关于坐标原点对称，直线垂直于轴（垂足为），与抛物线交于不同的两点且. （I）求点的横坐标； （II）若以为焦点的椭圆过点. ①求椭圆的标准方程； ②过点作直线与椭圆交于两点，设，若的取值范围. 3．已知在平面直角坐标系中，抛物线方程为． （1）若直线与抛物线相交于、两点，且，求抛物线的方程； （2）直线过点交抛物线于、两点，交x轴于点，如图，设，求证：为定值． 4．已知斜率为k的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB的中点为． （1）证明：; （2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且．证明：成等差数列． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 向量问题参考答案 1．（Ⅰ） ；（Ⅱ） ． 【详解】试题分析：（1）由题意，得椭圆方程为.；（2）设直线方程为，， 所以，利用韦达定理，就出的取值范围． 试题解析： （Ⅰ）因为，所以为的中点.设的坐标为， 因为，所以，， 且过三点的圆的圆心为，半径为. 因为该圆与直线相切，所以. 解得，所以，. 故所求椭圆方程为. （Ⅱ）①当直线斜率存在时， 设直线方程为，代入椭圆方程 得. 由，得. 设，， 则，. 又，所以. 所以. 所以，. 所以. 所以. 整理得. 因为，所以，即. 所以. 解得且. 又，所以. ②又当直线斜率不存在时，直线的方程为， 此时，，，， ，所以. 所以，即所求的取值范围是 点睛：本题考查直线和椭圆的位置关系．圆锥曲线问题关键是分析解题思路，逻辑思维要清晰．本题中要求线段长的比值，转化为横坐标的比值关系，则需要韦达定理，所以通过设直线，得到整个题目的思路． 2．（I）；（II）①，② 【分析】（Ⅰ）由题意得，，设，，由已知得到关于的一个方程；又点在抛物线上得方程，联立方程解得； （II）①由已知得椭圆的半焦距，由椭圆过点可得，即可求解 ②设直线 的方程为，将直线方程代入椭圆方程得，设，利用根与系数的关系得，，因为，根据向量模平方通过坐标运算转化为关于 的函数， 即可求解. 【详解】（Ⅰ）由题意得，，设，， 则，. 由，得即，① 又在抛物线上，则，② 联立①、②易得 （Ⅱ）（ⅰ）设椭圆的半焦距为 ，由题意得， 设椭圆C的标准方程为，则 ③ ④ 将④代入③，解得或（舍去） 所以 故椭圆 的标准方程为 （ⅱ）方法一：当直线 的斜率为0时，此时与 轴重合，此时 或 ，不符合舍去， 设直线的方程为， 将直线的方程代入中得： 设，则由根与系数的关系， 可得： ⑤ ⑥ 因为，所以，且. 将⑤式平方除以⑥式，得： 由 所以 因为，所以， 又，所以， 故 ， 令，所以 所以，即， 所以. 而，所以. 所以. 方法二： 1）当直线的斜率不存在时，即时，， 又，所以 2）当直线的斜率存在时，即时，设直线 的方程为 由得 设，显然，则由根与系数的关系， 可得：， ⑤ ⑥ 因为，所以，且. 将⑤式平方除以⑥式得： 由得即 故，解得 因为， 所以， 又， 故 令，因为 所以，即， 所以. 所以 综上所述：. 【点睛】本题考查了椭圆的方程，以及直线与椭圆的位置关系，与向量知识的结合，利用韦达定理，解决参数的范围，考查了分析解决问题的能力，计算量较大，属于较难的题目. 3．（1）；（2），证明见解析. 【解析】（1）设，联立直线与椭圆的方程，利用弦长公式列方程即可解出的值，进而求出抛物线的方程； （2）设，，，直线方程为与抛物线方程联立， 可得，，将向量共线用坐标表示，可得，即可得 【详解】（1）设，联立 可得：； 因为，所以； 则 ， 所以， 解得： ∴抛物线的方程为； （2）设，， ∵直线过点； 故可设直线方程为； 将直线方程与抛物线方程联立整理得； ∴； ， ③ ， ④； ∵，，=，；且，可得 即 ； ∴；即； 所以为定值﹣1． 【点睛】本题主要考查了利用抛物线的弦长求抛物线的标准方程，考查了圆锥曲线与向量的综合，向量共线的坐标表示等，属于中档题. 4．（1）证明见解析.（2）证明见解析 【分析】（1）设点，点的坐标，利用点差法和中点坐标公式求解即可； （2）利用已知可得点坐标，用坐标表示向量，确定的值，而可根据抛物线定义（或两点间距离公式）求得，从而可得成等差数列，设该数列的公差为，将直线方程代入椭圆方程，消元后利用韦达定理即可求解. 【详解】（1）设，， 则，． 两式相减，并由 得． 由题设知，， 于是． 由题设得 ， 故． （2） 可得． 设， 则． 由（1）及题设得，． 又点P在C上， 所以， 从而， 于是． 同理． ． 故． 成等差数列 【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，第一问利用点差法，设而不求可减小计算量，得到,再有两点间距离公式表示出，考查了学生的计算能力，难度较大． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $