切线问题练习 -2027届高三数学一轮复习圆锥曲线的专题复习

**基本信息** 聚焦圆锥曲线与曲线切线问题，以分类讨论、导数几何意义、韦达定理为核心方法，构建“切线方程求法-位置关系判定-几何性质应用”的逻辑体系，培养数学思维与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |椭圆切线|1题|基本不等式求最值、分类讨论斜率、点到直线距离|椭圆方程→离心率→直线与椭圆位置关系→定圆存在性| |抛物线切线|1题|切线斜率关系、韦达定理、圆的切线条件|抛物线方程→切线方程→斜率范围求解| |一般曲线切线|1题|导数求切线方程、直线系过定点、弦长公式|曲线导数→切线方程→直线过定点→面积计算| |综合应用|1题|联立方程判别式、面积最值、点到直线距离|直线与椭圆相切→面积最值→椭圆离心率|

切线问题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．已知椭圆：过点，过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别交于，两点. （1）证明：当取得最小值时，椭圆的离心率为. （2）若椭圆的焦距为2，是否存在定圆与直线总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由. 2．已知抛物线上一点，F为焦点，面积为1. （1）求抛物线C的方程； （2）过点P引圆的两条切线PA、PB，切线PA、PB与抛物线C的另一个交点分别为A、B，求直线AB斜率的取值范围. 3．已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B. （1）证明：直线AB过定点： （2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积. 4．已知直线与椭圆恰有一个公共点，与圆相交于两点. （I）求与的关系式； （II）点与点关于坐标原点对称.若当时，的面积取到最大值，求椭圆的离心率. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《切线问题》参考答案 1．（1）证明见解析；（2）存在， 【解析】（1）将点代入椭圆方程得到，结合基本不等式，求得取得最小值时，进而证得椭圆的离心率为. （2）当直线的斜率不存在时，根据椭圆的对称性，求得到直线的距离.当直线的斜率存在时，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用，则列方程，求得的关系式，进而求得到直线的距离.根据上述分析判断出所求的圆存在，进而求得定圆的方程. 【详解】（1）证明：∵椭圆经过点，∴， ∴， 当且仅当，即时，等号成立， 此时椭圆的离心率. （2）解：∵椭圆的焦距为2，∴，又，∴，. 当直线的斜率不存在时，由对称性，设，. ∵，在椭圆上，∴，∴，∴到直线的距离. 当直线的斜率存在时，设的方程为. 由，得， . 设，，则，. ∵，∴， ∴， ∴，即， ∴到直线的距离. 综上，到直线的距离为定值，且定值为，故存在定圆：，使得圆与直线总相切. 【点睛】本小题主要考查点和椭圆的位置关系，考查基本不等式求最值，考查直线和椭圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查分类讨论的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题. 2．（1）（2） 【解析】（1）由题意可知：，求出p的值，从而得到抛物线C的方程； （2）设直线PA斜率为，则PA方程为，利用直线PA与圆相切，可得，设直线PB斜率为，同理得，所以是方程的两个根，从而得到，，联立直线PA与抛物线方程，由韦达定理得，同理，代入直线AB的斜率公式得，再根据r的范围即可求出直线AB斜率的取值范围． 【详解】解：（1）由已知得，，即，解得， 所以C的方程为； （2）由（1）得，设直线斜率为，则方程为， 即，直线与圆相切，， 设直线斜率为，同理得， 是方程的两个根， ， ，， 设， 由得，由韦达定理得， ，同理， 所以， ，, ， 直线AB斜率的取值范围是. 【点睛】本题主要考查了抛物线方程，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题． 3．(1)见详解；(2) 3或. 【分析】（1）可设，，然后求出A，B两点处的切线方程，比如：，又因为也有类似的形式，从而求出带参数直线方程，最后求出它所过的定点. （2）由(1)得带参数的直线方程和抛物线方程联立，再通过为线段的中点，得出的值，从而求出坐标和的值，分别为点到直线的距离，则，结合弦长公式和韦达定理代入求解即可. 【详解】(1)证明：设,,则． 又因为，所以.则切线DA的斜率为， 故，整理得. 设，同理得. ,都满足直线方程. 于是直线过点，而两个不同的点确定一条直线，所以直线方程为.即， 当时等式恒成立．所以直线恒过定点. （2） [方法一]【最优解：利用公共边结合韦达定理求面积】 设的中点为G，,则，，． 由，得， 将代入上式并整理得， 因为，所以或． 由（1）知，所以轴， 则（设）． 当时，，即； 当时，， 即，． 综上，四边形的面积为3或． [方法二]【利用弦长公式结合面积公式求面积】 设，由（1）知抛物线的焦点F的坐标为，准线方程为．由抛物线的定义， 得． 线段的中点为． 当时，轴，， ； 当时，，由，得，即． 所以，直线的方程为． 根据对称性考虑点和直线的方程即可． E到直线的距离为， D到直线的距离为． 所以． 综上，四边形的面积为3或． [方法三]【结合抛物线的光学性质求面积】 图5中，由抛物线的光学性质易得，又，所以． 因为，，所以， 所以． 同理，所以，即点D为中点． 图6中已去掉坐标系和抛物线，并延长于点H． 因为，所以． 又因为G，D分别为的中点，所以， 故为平行四边形，从而． 因为且，所以I为的中点， 从而．． 当直线平行于准线时，易得． 综上，四边形的面积为3或．    [方法四]【结合弦长公式和向量的运算求面积】 由（1）得直线的方程为. 由，可得， 于是 . 设分别为点到直线的距离，则. 因此，四边形ADBE的面积. 设M为线段AB的中点，则， 由于，而，与向量平行，所以，解得或. 当时，；当时 因此，四边形的面积为3或. 【整体点评】(2)方法一：利用公共边将一个三角形的面积分割为两个三角形的面积进行计算是一种常用且有效的方法； 方法二：面积公式是计算三角形面积的最基本方法； 方法三：平稳的光学性质和相似、全等三角形的应用要求几何技巧比较高，计算量较少； 方法四：弦长公式结合向量体现了数学知识的综合运用. 4．（Ⅰ）（II） 【分析】（I）联立直线与椭圆的方程，根据判别式等于0，即可求出结果； （Ⅱ）因点与点关于坐标原点对称，可得的面积是的面积的两倍，再由当时，的面积取到最大值，可得，进而可得原点到直线的距离，再由点到直线的距离公式，以及（I）的结果，即可求解. 【详解】（I）由，得， 则 化简整理，得； （Ⅱ）因点与点关于坐标原点对称，故的面积是的面积的两倍. 所以当时，的面积取到最大值，此时， 从而原点到直线的距离， 又，故. 再由（I），得，则.   又，故，即， 从而，即. 【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，以及椭圆的简单性质，通常需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、判别式等求解，属于中档试题. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $