2.4.1 圆的标准方程(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“圆的标准方程”核心知识点，从圆的几何定义（平面内到定点距离等于定长的点的集合）出发，通过坐标法推导方程（(x-a)²+(y-b)²=r²），明确确定方程的关键条件（圆心坐标与半径），进而学习点与圆的位置关系（距离与半径比较），构建“定义-推导-应用”的学习支架。 该资料以“月亮”情境导入，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过问题链（如“圆的定义是什么”“如何推导方程”）培养逻辑推理能力。练习题设计一题多解（如几何法和待定系数法求圆方程），提升数学运算能力。课中辅助教师引导学生构建知识体系，课后通过判断正误、变式训练等帮助学生查漏补缺，巩固知识。

2.4.1　圆的标准方程 课标要求 情境导入 1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程（数学抽象、直观想象）. 2.会用待定系数法求圆的标准方程，能准确判断点与圆的位置关系（数学运算、逻辑推理）. 月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮，在文学作品中也大量描写月亮，如果把天空看作一个平面，月亮当作一个圆，建立一个平面直角坐标系，那么圆的坐标方程如何表示？ 知识点一　圆的标准方程 问题　（1）回忆一下，圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么？ 提示：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.确定圆的要素：圆心和半径. （2）已知圆心为A（a，b），半径为r，你能推导出圆的方程吗？ 提示：设圆上任一点M（x，y），则｜MA｜＝r，由两点间的距离公式，得＝r，两边平方，得（x－a）2＋（y－b）2＝r2. 确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径. 提醒：（1）当圆心在原点O（0，0），半径长r＝1时，圆的方程为x2＋y2＝1，称为单位圆；（2）相同的圆，建立的坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的. 1.〔多选〕下列关于圆的标准方程（x－1）2＋（y＋2）2＝3的叙述正确的是（　　） A.圆心坐标为（1，－2），半径r＝ B.圆心坐标为（－1，2），半径r＝3 C.圆上任意一点M与圆心C的距离满足｜CM｜＝3 D.圆上任意一点M与圆心C的距离满足｜CM｜＝ 解析：AD　由圆的标准方程（x－1）2＋（y＋2）2＝3可知，圆心C（1，－2），半径r＝，故选A、D. 2.以两点A（－3，－1）和B（5，5）为直径端点的圆的标准方程是　（x－1）2＋（y－2）2＝25　. 解析：∵AB为直径，∴AB的中点（1，2）为圆心，｜AB｜＝＝5为半径，∴该圆的标准方程为（x－1）2＋（y－2）2＝25. 3.（2026·清远月考）分别求下列圆的标准方程： （1）圆心为C（4，0），且过点（5，2）； （2）圆心在y轴上，半径为5，且过点（3，－4）. 解：（1）圆心为C（4，0），且过点（5，2）， ∴半径r＝＝， ∴圆的标准方程为（x－4）2＋y2＝5. （2）设圆心为C（0，b）， ∴r＝＝5， ∴（4＋b）2＝16＝42， ∴4＋b＝4或4＋b＝－4，∴b＝0或b＝－8， ∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋（y＋8）2＝25. 规律方法 1.利用（x－a）2＋（y－b）2＝r2可以直接写出圆心和半径，但要注意，如果r是参数，则半径为｜r｜，且r≠0. 2.用直接法求圆的标准方程的策略：确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程. 知识点二　点与圆的位置关系 问题　平面内的点与圆有哪几种位置关系？如何判断？ 提示：分为点在圆外、点在圆上、点在圆内，可以用圆心与点的距离与圆的半径相比较判断位置. 点M（x0，y0）与圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2的位置关系及判断方法 位置关系 用距离判断 用方程、不等式判断 M在圆上 ｜CM｜　＝　r （x0－a）2＋（y0－b）2＝r2 M在圆外 ｜CM｜＞r （x0－a）2＋（y0－b）2　＞　r2 M在圆内 ｜CM｜　＜　r （x0－a）2＋（y0－b）2＜r2 （1）〔多选〕（链接教材P83例1）下列点在圆（x＋1）2＋（y－2）2＝4的内部的是（　CD　） A.（－1，0） B.（0，－1） C.（－1，1） D.（－1，3） 解析：将点的坐标分别代入只有选项C、D满足（x＋1）2＋（y－2）2＜4，故选C、D. （2）若点（1，a）不在圆（x＋2）2＋（y－3）2＝13的外部，则实数a的取值范围为　[1，5]　. 解析：因为点（1，a）不在圆（x＋2）2＋（y－3）2＝13的外部，所以（1＋2）2＋（a－3）2≤13，解得1≤a≤5. 规律方法 判断点与圆位置关系的两种方法 （1）几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小； （2）代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，比较式子两边的大小，并作出判断. 训练1　（1）若圆的标准方程是（x－2）2＋（y－3）2＝4，则点（1，5）（　D　） A.是圆心 B.在圆上 C.在圆内 D.在圆外 解析：由题意可得，圆心坐标为（2，3），半径为2，圆心到点（1，5）的距离为＝＞2，故点（1，5）在圆外. （2）已知点P（2，1）和圆C：（x＋）2＋（y－1）2＝1，若点P在圆C上，则实数a＝　－2或－6　.若点P在圆C外，则实数a的取值范围为　a＜－6或a＞－2　. 解析：由题意，得（x＋）2＋（y－1）2＝1，当点P在圆C上时，（2＋）2＋（1－1）2＝1，解得a＝－2或a＝－6.当点P在圆C外时，（2＋）2＋（1－1）2＞1，解得a＜－6或a＞－2. 提能点　求圆的标准方程 〔一题多解〕求经过点P（1，1）和坐标原点O，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程. 解：法一（待定系数法）　设圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2， 则有 解得 即圆的标准方程是（x－4）2＋（y＋3）2＝25. 法二（几何法）　由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0. ∵弦的垂直平分线过圆心， ∴得 即圆心坐标为（4，－3）， 半径为r＝＝5. 即圆的标准方程是（x－4）2＋（y＋3）2＝25. 变式　经过点P（1，1）和坐标原点O且周长最小的圆的标准方程为　（ x－）2＋（ y－）2＝　. 解析：当线段OP为圆的直径时，过点O，P的圆的半径最小，从而周长最小，即所求圆以线段OP的中点（ ，）为圆心，＝为半径，故所求圆的标准方程为（ x－）2＋（ y－）2＝. 规律方法 求圆的标准方程的两种方法 （1）几何法：利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，从而得到圆的标准方程； （2）待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组得到圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程. 训练2　（1）过A（5，1），B（1，3）两点且圆心在x轴上的圆的标准方程是　（x－2）2＋y2＝10　； 解析：线段AB的垂直平分线为y－2＝2（x－3），令y＝0，则x＝2，所以圆心坐标为（2，0），半径r＝＝，所以圆的标准方程为（x－2）2＋y2＝10. （2）已知△ABC的三个顶点分别为A（0，5），B（1，－2），C（－3，－4），则该三角形的外接圆的方程为　（x＋3）2＋（y－1）2＝25　. 解析：设所求圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2.因为A（0，5），B（1，－2），C（－3，－4）都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的标准方程，于是有解得故所求圆的标准方程是（x＋3）2＋（y－1）2＝25. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）圆心位置和圆的半径确定，圆就唯一确定.（　√　） （2）方程（x－a）2＋（y－b）2＝m2一定表示圆.（　×　） （3）圆（x＋1）2＋（y－1）2＝2的圆心坐标是（1，－1），直径长是4.（　×　） （4）圆心为（1，－2）且半径为3的圆的标准方程是（x－1）2＋（y＋2）2＝3.（　×　） 2.点P（m2，5）与圆x2＋y2＝24的位置关系是（　　） A.点P在圆内 B.点P在圆外 C.点P在圆上 D.不确定 解析：B　由（m2）2＋52＝m4＋25＞24，得点P在圆外. 3.已知圆C：（x＋1）2＋y2＝3，则圆的面积为　3π　，经过圆心C且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是　x－y＋1＝0　. 解析：由圆的方程（x＋1）2＋y2＝3，得r2＝3，所以圆的面积S＝πr2＝3π.因为圆心C的坐标为（－1，0），所求直线的斜率k＝1，所求直线的方程是y＝x＋1，即x－y＋1＝0. 4.〔一题多解〕求圆心在直线x＝2上，且与y轴交于点A（0，－4），B（0，－2）的圆的标准方程. 解：法一　因为圆心在直线x＝2上， 所以设圆心为C（2，y）， 又圆经过A，B两点，所以｜AC｜＝｜BC｜， 即＝， 解得y＝－3， 所以圆心C（2，－3），半径r＝， 所以圆的标准方程为（x－2）2＋（y＋3）2＝5. 法二　因为圆与y轴交于点A（0，－4），B（0，－2），所以圆心在直线y＝－3上. 又圆心在直线x＝2上，所以圆心的坐标为（2，－3），所以圆的半径r＝＝，故圆的标准方程为（x－2）2＋（y＋3）2＝5. （时间：60分钟　满分：106分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.若直线x＋y＋a＝0过圆（x－1）2＋（y＋2）2＝2的圆心，则实数a的值为（　　） A.－1 B.1 C.0 D.2 解析：B　由圆的标准方程（x－1）2＋（y＋2）2＝2，可得圆心坐标为（1，－2），因为直线x＋y＋a＝0过圆心（1，－2），所以1－2＋a＝0，解得a＝1. 2.已知圆（x－a）2＋（y－1）2＝2a（0＜a＜1），则原点O在（　　） A.圆内 B.圆外 C.圆上 D.圆上或圆外 解析：B　由圆的标准方程（x－a）2＋（y－1）2＝2a，知圆心为（a，1），则原点与圆心的距离为.∵0＜a＜1，∴＞＝r，即原点在圆外. 3.圆心在x轴上，半径为2，且过点（1，2）的圆的标准方程是（　　） A.（x－1）2＋y2＝4 B.（x＋1）2＋y2＝4 C.（x＋2）2＋y2＝4 D.（x－2）2＋y2＝4 解析：A　设圆心为（a，0），则＝2，即a＝1，所以圆的标准方程是（x－1）2＋y2＝4.选A. 4.若直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，则圆（x＋a）2＋（y＋b）2＝1的圆心位于（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：D　圆的圆心为（－a，－b）.∵直线经过第一、二、四象限，∴a＜0，b＞0，即－a＞0，－b＜0，∴圆心在第四象限. 5.已知一圆的圆心为点A（2，－3），一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的标准方程为（　　） A.（x＋2）2＋（y－3）2＝13 B.（x－2）2＋（y＋3）2＝13 C.（x－2）2＋（y＋3）2＝52 D.（x＋2）2＋（y－3）2＝52 解析：B　如图，结合圆的性质可知，原点在圆上，圆的半径为r＝＝.故所求圆的标准方程为（x－2）2＋（y＋3）2＝13. 6.〔多选〕以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的标准方程可能为（　　） A.x2＋（y－4）2＝20 B.（x－4）2＋y2＝20 C.x2＋（y－2）2＝20 D.（x－2）2＋y2＝20 解析：AD　令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝2.所以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的交点分别为A（0，4），B（2，0），｜AB｜＝＝2，以A为圆心，过B点的圆的标准方程为x2＋（y－4）2＝20.以B为圆心，过A点的圆的标准方程为（x－2）2＋y2＝20. 7.〔多选〕下列方程中表示圆心在直线y＝x上，半径为，且过原点的圆的标准方程为（　　） A.（x－1）2＋（y－1）2＝ B.（x－1）2＋（y＋1）2＝2 C.（x＋1）2＋（y＋1）2＝2 D.（x－1）2＋（y－1）2＝2 解析：CD　因为圆心在y＝x上，所以设圆心为（a，a），因为圆的半径为，所以圆的标准方程为（x－a）2＋（y－a）2＝2，因为该圆过原点，所以（－a）2＋（－a）2＝2，解得a＝±1，所以圆心为（1，1）或（－1，－1），当圆心为（1，1）时，圆的标准方程为（x－1）2＋（y－1）2＝2，D正确；当圆心为（－1，－1）时，圆的标准方程为（x＋1）2＋（y＋1）2＝2，C正确. 8.（2026·昆明月考）已知半径为1的圆C关于直线2x－y－4＝0对称，写出一个满足题意的圆C的标准方程为　（x－2）2＋y2＝1（答案不唯一）　. 解析：由题意可知圆心C在直线2x－y－4＝0上，不妨取x＝2，y＝0，则当圆心为C（2，0）时，圆C的标准方程为（x－2）2＋y2＝1. 9.已知点P（x，y）为圆x2＋y2＝1上的动点，则x2－4y的最小值为　－4　. 解析：∵点P（x，y）为圆x2＋y2＝1上的动点，∴x2－4y＝1－y2－4y＝－（y＋2）2＋5.∵y∈[－1，1]，∴当y＝1时，－（y＋2）2＋5有最小值－4. 10.（13分）已知圆N的标准方程为（x－5）2＋（y－6）2＝a2（a＞0）. （1）若点M（6，9）在圆N上，求a的值； （2）若点P（3，3）与Q（5，3）有一点在圆内，另一点在圆外，求a的取值范围. 解：（1）∵点M（6，9）在圆N上， ∴（6－5）2＋（9－6）2＝a2，∴a2＝10. 又a＞0，∴a＝. （2）由已知，得圆心N（5，6）. ∵｜PN｜＝＝， ｜QN｜＝＝3， ∴｜PN｜＞｜QN｜，故点P在圆外，点Q在圆内， ∴a的取值范围是（3，）. 11.（2026·山西名校联考）曲线y＝与x轴围成的区域的面积为（　　） A.4π　　 　B.2π C.π　　 　D. 解析：B　曲线的方程可化为y2＝4－（x＋1）2（y≥0），即（x＋1）2＋y2＝4（y≥0），所以这条曲线与x轴围成的区域是一个半径r＝2的半圆，其面积为S＝πr2＝2π. 12.〔多选〕（2026·珠海月考）设圆Ck：（x－k）2＋（y－k）2＝4（k∈R），则下列说法正确的是（　　） A.无论k如何变化，圆心Ck都在一条直线上 B.所有圆Ck均不经过点（3，0） C.经过点（2，2）的圆Ck有且只有一个 D.所有圆Ck的面积均为4π 解析：ABD　易知圆心Ck（k，k）在直线y＝x上，∴A中说法正确；令（3－k）2＋（0－k）2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴方程2k2－6k＋5＝0无解，∴B中说法正确；令（2－k）2＋（2－k）2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8＞0，∴k2－4k＋2＝0有两个不相等的实数根，∴经过点（2，2）的圆Ck有两个，∴C中说法错误；易知圆Ck的半径为2，∴圆Ck的面积为4π，∴D中说法正确. 13.若圆C与x轴和y轴均相切，且过点（1，2），则圆C的半径长为　1或5　. 解析：根据题意，若圆C与x轴和y轴均相切，则圆心C在直线y＝x或y＝－x上，当圆心C在直线y＝x上时，设圆心C的坐标为（a，a），此时圆的标准方程为（x－a）2＋（y－a）2＝a2，将（1，2）代入可得（1－a）2＋（2－a）2＝a2，即a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，此时圆的半径长为1或5；当圆心C在直线y＝－x上时，设圆心C的坐标为（a，－a），此时圆的标准方程为（x－a）2＋（y＋a）2＝a2，将（1，2）代入可得（1－a）2＋（2＋a）2＝a2，即a2＋2a＋5＝0，方程无解，综上所述，圆的半径长为1或5. 14.（15分）根据下列条件，求圆的标准方程： （1）过点（0，1）和点（2，1），半径为； （2）已知A（3，5），B（－1，3），C（－3，1）为△ABC的三个顶点，O，M，N分别为边AB，BC，CA的中点，求△OMN的外接圆的方程. 解：（1）设圆心坐标为（a，b），则圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝5. 因为（0，1），（2，1）是圆上的点， 所以 解得或 因此所求圆的标准方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝5或（x－1）2＋（y－3）2＝5. （2）因为点O，M，N分别为AB，BC，CA的中点且A（3，5），B（－1，3），C（－3，1）， 所以O（1，4），M（－2，2），N（0，3）. 因为所求圆经过点O，M，N， 所以设△OMN外接圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2， 把点O，M，N的坐标代入圆的方程得解得 所以圆的方程为（x＋）2＋（y－）2＝. 15.（15分）已知圆心为C的圆经过O（0，0），A（0，2）两点，且圆心C在直线l：y＝x上. （1）求圆C的标准方程； （2）点P在圆C上运动，求｜PO｜2＋｜PA｜2的取值范围. 解：（1）由圆经过O（0，0），A（0，2）两点，得圆心在OA的中垂线y＝上， 又圆心C在直线l：y＝x上，联立直线方程有得 即圆心坐标为C（1，），又r2＝｜CO｜2＝4， 故圆C的标准方程为（x－1）2＋（y－）2＝4. （2）设P（x0，y0），易知x0∈[－1，3]， 则｜PO｜2＋｜PA｜2＝＋＋＋（y0－2）2＝2＋2（y0－）2＋6，（*） 因为点P在圆C上运动，则（x0－1）2＋（y0－）2＝4， 故（*）式可化简为｜PO｜2＋｜PA｜2＝2＋2[4－（x0－1）2]＋6＝4x0＋12， 由x0∈[－1，3]得｜PO｜2＋｜PA｜2的取值范围为[8，24]. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $