2.3.3 点到直线的距离公式2.3.4 两条平行直线间的距离(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

本讲义聚焦点到直线的距离公式及两条平行直线间的距离公式，以仓库到铁路的最短距离情境导入，通过坐标法和向量法推导点到直线距离公式，再将平行直线间距离转化为点到直线距离，结合例题、训练题及距离最值问题构建完整学习支架。 资料亮点在于注重公式推导过程，通过坐标法和向量法培养逻辑推理能力，情境导入联系实际体现数学眼光。例题分层设计，从基础应用到综合提能，规律方法总结助力数学运算。课中辅助教师清晰授课，课后训练题帮助学生查漏补缺，提升直观想象与问题解决能力。

2.3.3　点到直线的距离公式 2.3.4　两条平行直线间的距离 课标要求 情境导入 1.经历用坐标法、向量法推导点到直线的距离公式的运算过程（数学运算、逻辑推理）. 2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用（数学运算、直观想象）. 3.理解两条平行线间的距离公式的推导，会求两条平行直线间的距离（逻辑推理、数学运算）. 在铁路的附近，有一大型仓库.现要修建一条公路与之连接起来，易知沿仓库垂直于铁路方向所修的公路最短.将铁路看作一条直线l，仓库看作点P.怎样求得仓库到铁路的最短距离呢？ 知识点一　点到直线的距离公式 问题　（1）如图，在平面直角坐标系中，已知点P（x0，y0），直线l：Ax＋By＋C＝0（A≠0，B≠0），怎样求出点P到直线l的距离？ 提示：点P到直线l的距离就是点P到直线l的垂线段的长，如图，过点P作直线l的垂线为l'，垂足为Q，由l'⊥l可知l'的斜率为，∴l'的方程为y－y0＝（x－x0），与l联立方程组，解得交点Q（，）， ∴｜PQ｜＝. （2）向量是解决距离、角度问题的有力工具，如图，怎样用向量方法求点P（x0，y0）到直线l的距离？ 提示：可以看作在直线l的垂线上的投影向量，直线l：Ax＋By＋C＝0（AB≠0）的斜率为－，所以m＝（B，－A）是它的一个方向向量. ①由向量的数量积运算可求得与直线l垂直的一个单位向量n＝·（A，B）. ②在直线l上任取点M（x，y），可得向量＝（x－x0，y－y0）. ③｜PQ｜＝｜｜＝｜·n｜＝. 1.定义：点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是　垂足　. 2.公式：点P（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）的距离d＝　　. 提醒：（1）利用公式时直线的方程必须是一般式；（2）若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立. （1）（链接教材P77例5）已知点P（－1，2），则点P到直线l1：y＋3＝0，l2：3x－4y＋6＝0的距离分别为（　A　） A.5，1 B.1，1 C.5，3 D.3，1 解析：点P（－1，2）到直线l1：y＋3＝0的距离d1＝＝5（也可利用d1＝｜2－（－3）｜＝5求得）.点P（－1，2）到直线l2：3x－4y＋6＝0的距离为d2＝＝1. （2）（2026·苏州月考）点P在x轴上，且到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为　（8，0）或（－12，0）　. 解析：设点P的坐标为（x，0），则＝6，解得x＝8或x＝－12.∴点P的坐标为（8，0）或（－12，0）. 规律方法 点到直线距离的求法 （1）求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可； （2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝｜x0－a｜或d＝｜y0－b｜. 训练1　（1）已知坐标平面内两点A（3，2）和B（－1，4）到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值为　－6或　； 解析：由＝，得｜3m＋5｜＝｜m－7｜，∴m＝－6或m＝. （2）已知△ABC的三个顶点分别为A（－1，3），B（－3，0），C（1，2），则△ABC的面积S＝　4； 解析：由两点间的距离公式得｜BC｜＝＝2，BC所在直线的方程为＝，即x－2y＋3＝0.点A到直线BC的距离d＝＝，所以△ABC的面积S＝｜BC｜·d＝×2×＝4. （3）已知直线l经过点（－2，3），且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为　x＋2＝0或5x＋12y－26＝0　. 解析：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－2，符合原点到直线l的距离等于2；当直线l的斜率存在时，设所求直线l的方程为y－3＝k（x＋2），即kx－y＋2k＋3＝0，由原点到直线l的距离d＝＝2，得k＝－，即直线l的方程为5x＋12y－26＝0.综上，直线l的方程为x＋2＝0或5x＋12y－26＝0. 知识点二　两条平行直线间的距离公式 问题　怎样求两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离？ 提示：在直线Ax＋By＋C1＝0上任取一点P（x0，y0），点P（x0，y0）到直线Ax＋By＋C2＝0的距离，就是这两条平行直线间的距离. 两条平行直线间的距离：两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0（C1≠C2）间的距离d＝　　. （1）（链接教材P78例7）两平行直线l1：x－2y－＝0，l2：4y－2x－3＝0之间的距离为（　A　） A. B.3 C. D.2 解析：直线l1：x－2y－＝0⇔2x－4y－2＝0，直线l2：4y－2x－3＝0⇔2x－4y＋3＝0，两平行直线之间的距离d＝＝.故选A. （2）与直线2x＋y－1＝0的距离等于的直线方程为（　C　） A.2x＋y＝0 B.2x＋y－2＝0 C.2x＋y＝0或2x＋y－2＝0 D.2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0 解析：设与直线2x＋y－1＝0的距离等于的直线方程为2x＋y＋m＝0，依题意，得＝，解得m＝0或m＝－2.∴与直线2x＋y－1＝0的距离等于的直线方程为2x＋y＝0或2x＋y－2＝0. 规律方法 求两条平行直线间的距离的方法 （1）转化法：将两条平行直线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.因为结果与点的选择无关，所以选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算； （2）公式法：直接利用公式计算，但要注意两直线方程中x，y的系数对应相等. 训练2　（1）（2026·云浮月考）已知两平行直线x＋2y－5＝0与2x＋4y＋m＝0间的距离为，则m＝（　　） A.0或－10 B.0或－20 C.15或－25 D.0 解析：B　∵2x＋4y＋m＝0可化为x＋2y＋＝0，∴两平行直线间的距离为＝＝，解得m＝0或m＝－20. （2）在梯形ABCD中，｜CD｜＝2｜AB｜＝6，且AB和CD所在直线的方程分别是x＋2y－3＝0与x＋2y＋7＝0，试求梯形ABCD的面积. 解：由AB：x＋2y－3＝0，CD：x＋2y＋7＝0知AB∥CD，所以梯形ABCD的高即为直线AB和CD间的距离d＝＝2，所以梯形ABCD的面积为（｜AB｜＋｜CD｜）·d＝×（3＋6）×2＝9. 提能点　距离的最值问题 （1）已知点P（－2，3），若点Q是直线l：3x＋4y＋3＝0上的动点，则｜PQ｜的最小值为（　B　） A.2 B. C. D. 解析：由点P（－2，3），点Q是直线l：3x＋4y＋3＝0上的动点，则｜PQ｜的最小值为点P到直线l的距离，所以｜PQ｜的最小值为d＝＝.故选B. （2）若直线2x＋y－3＝0与直线4x＋2y＋a＝0之间的距离不大于，则实数a的取值范围是　[－16，4]　. 解析：直线2x＋y－3＝0可化为4x＋2y－6＝0，则两直线之间的距离d＝≤，即｜a＋6｜≤10，解得－16≤a≤4.所以实数a的取值范围为[－16，4]. 规律方法 1.点在直线上运动时，与直线外一点最小距离为垂线段长度；直线围绕点转动时，与直线外一点最大距离为两定点距离. 2.平行线间的距离是分别在两条直线上的两个动点之间距离的最小值. 提醒：注意数形结合思想的应用. 训练3　（1）P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任一点，则｜PQ｜的最小值为（　　） A.2　　　 　B.3 C.4　　　 　D.5 解析：B　6x＋8y＋6＝0可化为3x＋4y＋3＝0，则两直线平行，｜PQ｜的最小值即为两平行线之间的距离，故｜PQ｜min＝＝＝3. （2）已知直线l：（3m＋2）x＋（2m＋1）y＝m＋2，试求点A（－1，－1）到直线l的距离的取值范围. 解：直线l的方程可变形为m（3x＋2y－1）＋（2x＋y－2）＝0，易得直线过定点P（3，－4），如图，kAP＝－，当直线l与AP垂直时，直线l的斜率为，直线方程为4x－3y－24＝0，此时点A（－1，－1）到直线l的距离最大，最大值为｜AP｜＝＝5；当直线l经过A，P时，直线l的斜率为－，直线方程为3x＋4y＋7＝0，此时点A（－1，－1）在直线l上，d＝0.所以0≤d≤5，即点A（－1，－1）到直线l的距离的取值范围是[0，5]. 1.点A（0，－4）到直线y＝2－x的距离为（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：C　点A（0，－4）到直线x＋y－2＝0的距离为d＝＝3. 2.直线－＝1与y＝x＋1之间的距离为（　　） A.　　 B. C.　 　D.24 解析：B　两直线变形为3x－2y－12＝0与3x－2y＋2＝0，两直线平行，则两直线间的距离d＝＝＝.故选B. 3.直线y＝2x与y＝mx＋n（n＞0）平行且距离为，则mn＝　10　. 解析：易知m＝2，由＝＝，得n＝5（－5舍去），故mn＝2×5＝10. 4.点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）距离的最大值为　　. 解析：直线y＝k（x＋1）恒过（－1，0），当直线与（0，－1），（－1，0）的连线垂直时距离最大，最大值为＝. （时间：45分钟　满分：86分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.两条平行直线2x－y＋3＝0与4x－2y＋7＝0间的距离为（　　） A. B. C. D. 解析：A　方程2x－y＋3＝0变形为4x－2y＋6＝0，由两条平行直线间的距离公式可得所求距离d＝＝. 2.已知点P（x0，y0）到直线x＝1的距离为1，则x0＝（　　） A.0或2 B.1或2 C.0 D.2 解析：A　因为点P（x0，y0）到直线x＝1的距离为1，所以｜x0－1｜＝1，解得x0＝0或x0＝2.故选A. 3.已知A（－2，4），B（－4，6）两点到直线l：ax－y＋1＝0的距离相等，则a＝（　　） A.－1或－ B.3或4 C.3 D.4 解析：A　由题意知，＝，整理得｜2a＋3｜＝｜4a＋5｜，即2a＋3＝±（4a＋5），解得a＝－1或a＝－.故选A. 4.已知A，B两点的坐标分别为（1，0），（－1，2），若两平行直线l1，l2分别过点A，B，则l1，l2间的距离的最大值为（　　） A.1 B. C.2 D.2 解析：D　当l1，l2垂直AB时，l1，l2间的距离取最大值，即最大值为｜AB｜＝＝2.故选D. 5.经过两直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 解析：C　设所求直线l的方程为x＋3y－10＋λ（3x－y）＝0，即（1＋3λ）x＋（3－λ）y－10＝0，因为原点到直线的距离d＝＝1，所以λ＝±3，即直线方程为x＝1或4x－3y＋5＝0，所以和原点相距为1的直线的条数为2. 6.〔多选〕已知直线l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线l的方程为（　　） A.2x＋3y－8＝0 B.4x＋6y＋5＝0 C.6x＋9y－10＝0 D.12x＋18y－13＝0 解析：BD　设直线l：4x＋6y＋m＝0，m≠－2且m≠－9，直线l到直线l1和到直线l2的距离分别为d1，d2.则d1＝，d2＝.因为＝，所以＝，即2｜m＋2｜＝｜m＋9｜，解得m＝5或m＝－，所以直线l的方程为4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0.故选B、D. 7.〔多选〕（2026·焦作月考）已知在△ABC中，A（3，2），B（－1，5），点C在直线3x－y＋3＝0上.若△ABC的面积为10，则点C的坐标可以为（　　） A.（－1，0） B.（，8） C.（1，6） D.（－，－2） 解析：AB　设C（m，n），由｜AB｜＝5，△ABC的面积为10，得点C到边AB所在直线的距离为4.又线段AB所在直线的方程为y－5＝－（x＋1），即3x＋4y－17＝0.所以解得或故点C坐标为（－1，0）或（，8）. 8.若倾斜角为45°的直线m被直线l1：x＋y－1＝0与l2：x＋y－3＝0所截得的线段为AB，则AB的长为　　. 解析：由题意，可得直线m与直线l1，l2垂直，则由两平行线间的距离公式，得｜AB｜＝＝. 9.已知直线l经过点（3，4），且点A（－2，2），B（4，－2）到直线l的距离相等，则直线l的方程为　2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0　. 解析：当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－4＝k（x－3），即kx－y＋4－3k＝0，由点A（－2，2），B（4，－2）到直线l的距离相等，得＝，解得k＝2或k＝－，所以直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0. 10.（13分）已知直线l1：2x＋3y＋18＝0，l2：2x＋3y－8＝0，在l1上任取点A，在l2上任取点B，过线段AB的中点作l2的平行线l3. （1）求直线l1与l2之间的距离； （2）求直线l3的方程. 解：（1）易知直线l1与l2平行，所以两平行直线l1与l2间的距离为d＝＝2. （2）由l3与l2平行可设l3的方程为2x＋3y＋C＝0（－8＜C＜18）. 由（1）知l3与l1之间的距离为， 所以有＝，解得C＝5或C＝31（舍去），所以直线l3的方程为2x＋3y＋5＝0. 11.已知实数x，y满足2x＋y＋5＝0，那么的最小值为（　　） A. B. C. D. 解析：D　表示直线2x＋y＋5＝0上的动点到点（0，－3）的距离，过点（0，－3）向直线2x＋y＋5＝0作垂线，由垂线段最短知的最小值为点（0，－3）到直线2x＋y＋5＝0的距离，即＝，故选D. 12.〔多选〕若直线m被两条平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：2x－2y＋5＝0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角等于（　　） A.45°　　 　B.135° C.105°　　 　D.165° 解析：CD　如图，作与平行线垂直的直线n，由于两条平行线的倾斜角为45°，故直线n的倾斜角为135°，由于两条平行线间的距离为d＝＝，直线m被平行线截得线段的长为，且sin 60°＝＝，可得直线m和两平行线的夹角为60°，所以直线m的倾斜角为105°或165°. 13.（15分）在平面直角坐标系中，四边形OABC为等腰梯形，OA∥BC，点A（4，2），B（1，4）.求： （1）点C的坐标； （2）等腰梯形OABC的面积. 解：（1）因为OA∥BC，所以kBC＝kOA＝＝. 又B（1，4），所以直线BC的方程为y－4＝（x－1），即y＝x＋. 设C（a，a＋），由｜AB｜＝｜OC｜，得a2＋（a＋）2＝13， 解得a＝－3或a＝. 当a＝－3时，C（－3，2），kOC＝kAB＝－，OC∥AB，不符合题意， 当a＝时，C（，），kOC＝18≠－，OC与AB不平行，符合题意， 故点C的坐标为（，）. （2）｜OA｜＝＝2，｜BC｜＝＝， 点B（1，4）到直线OA：x－2y＝0的距离d＝＝， 故等腰梯形OABC的面积S＝（｜OA｜＋｜BC｜）d＝×（2＋）×＝. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $